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COMO FACTORIZAR POLINOMIOS Factorizar polinomios es transformarlos en una multiplicación de polinomios de grado menor. Veremos como se factoriza con un ejemplo: Queremos factorizar: x4+2x3-3x2-4x+4 0) si el polinomio no está ordenado, hemos de ordenarlo. 1) buscamos los divisores del último número Divisores del 4 : ±1, ±2, ±4 2) sustituimos esos valores en el polinomio hasta que nos dé 0. Probamos con el +1⇒ 14+2⋅13-3⋅12-4⋅1+4=0 Como nos da cero, podemos hacer Ruffini 3) Dividimos por Ruffini: +1

1 2 -3 -4 4 1 3 0 -4

1 3 0 -4 0

1x3-3x2+0x-4=1x3-3x2-4 hay que seguir +1

1 3 0 -4 1 4 4

1 4 4 0

1x2+4x+4 hay que seguir

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Hay que seguir factorizando y tenemos dos opciones: a) seguir aplicando Ruffini como hasta ahora b) aplicar la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado (más rápido)

Nosotros vamos a utilizar la ecuación de segundo grado.a

acbbx

2

42 −±−=

x=-2

=⋅

⋅⋅−±−=12

41444 2

x

x=-2 4) Ahora hacemos una tabla en la que recogemos todos los datos (en rojo):

Raíz Factor

x=+1 (x-1)

x=+1 (x-1)

x=-2 (x+2)

x=-2 (x+2)

5) Resultado, nuestro polinomio factorizado será:

1x4+2x3-3x2-4x+4= 1(x-1)⋅(x-1)⋅(x+2)⋅(x+2)

Siempre delante del resultado hemos de poner multiplicando el número que hay delante de la x de mayor coeficiente

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CUANDO EL POLINOMIO NO ACABA EN UN NÚMERO…

Lo vemos con un ejemplo: 2x4-10x3+12x2

a) Sacamos factor común la x2

x2(2x2-10x+12)

b) Ahora factorizamos el polinomio que nos queda en el paréntesis que ya tenemos número 2x2-10x+12

2

3

22

12241010 2

==

=⋅

⋅⋅−±=x

xx

c) Colocamos los datos en una tabla:

Raíz Factor

x=+3 (x-3)

x=+2 (x-2)

d) Resultado 2x4-10x3+12x2 = 2x2(x-3)⋅(x-2) Colocamos los factores, el número de la x de mayor coeficiente (2) y la x que hemos sacado factor común(x2)

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EJERCICIOS PARA PRACTICAR Factoriza los siguientes polinomios: 1) P(x)=x4-5x3+7x2-5x+6 Sol:(x-2)(x-3)(x2+1)

2) P(x)=4x4-16x3+x2+39x-18 Sol:4(x-2)(x-3)(x+3/2)(x-1/2)

3) P(x)=x4-5x3+5x2+5x-6 Sol:(x-2)(x-3)(x+1)(x-1)

4) P(x)=x2-5x+6 Sol:(x-2)(x-3)

5) P(x)=x3-5x2+6x Sol:x(x-2)(x-3)

6) P(x)=x5+x4-13x3-10x2 Sol:x2(x3+x2-13x-10)

7) P(x)=4x5+12x4+9x3-2x2-3x Sol:4x(x+1)(x+1)(x+3/2)(x-1/2)

8) P(x)=x6-5x5+7x4-5x3+6x2 Sol:x2(x-2)(x-3)(x2+1)

9) P(x)=x3+3x2+3x+1 Sol:(x+1)3

10) P(x)=x4+2x3-2x2-6x-3 Sol: (x+1)2 (x-√3)(x+√3)

11) P(x)=16x5-48x4+51x3-22x2+3x Sol:16x(x-1)2(x-1/4)(x-3/4)

12) P(x)=x4-6x3+7x2+6x-8 Sol:(x-2)(x-4)(x+1)(x-1)

13) P(x)=x5-7x4+x3-7x2 Sol:x2(x-7)(x2+1)

14) P(x)=x5-x4+x-1 Sol:(x-1)(x4+1)

15) P(x)=x6+4x5+x4-10x3-4x2+8x Sol:x (x-1)2(x+2)3

16) P(x)=x6+x4+x2+1 Sol: no se puede factorizar

17) escribe un polinomio de grado 3 que tenga por raíces :1,-2,3