Failure Theories

2103320 Des Mach Elem Mech. Eng. Department

Chulalongkorn University

• Review stress transformation

• Failure theories for ductile

materials

•Maximum-Shear-Stress Theory

• Distortion-Energy Theory

• Coulomb-Mohr Theory

• Failure theories for brittle materials

•Maximum-Normal-Stress Theory

•Modifications of the Mohr Theory

Stress transformation

• จุดๆ หนึ่งบนวตัถุ จะมคีา่ State of stress (σx, σy, τxy) อยา่งหนึ่ง

• เมือ่ใชร้ะบบพกิดัแตกต่างกนั จะอ่านคา่ σx, σy, τxy ได้

ต่างกนั คอืได ้σ′x, σ′y, τ′xy แต่ State of stress คงเดมิ เพราะพจิารณาจุดเดมิ

• เมือ่ใชร้ะบบพกิดัทีเ่หมาะสมอนัหนึ่ง จะทาํให ้τ′xy = 0 คอื

มแีต่ σ1, σ2 เรยีกทศินัน้วา่ Principal direction

xσxyτ

yσ

Torque Bending moment

P x

y x′ y′

xσ ′xyτ ′yσ ′

State of stress เหมือนกนั

Stress, shear ต่างกนัท่ีมมุ

ต่างๆ

1σ2σ

θτθσσσσ

σ 2sin2cos2

)(2

)(xy

yxyxx +

−+

+=′

θτθσσσσ

σ 2sin2cos2

)(2

)(xy

yxyxy −

−−

+=′

θτθσσ

τ 2cos2sin2

)(xy

xyxy +

−=′

θ

Mohr’s circle

2/1

22

21 22)(

,

+

−±

+= xy

yxyx τσσσσ

σσPrincipal stress

Maximum shear stress 2

21max

σστ −=

กรณี 2 มิติ กรณี 3 มิติ

Principal stress 321 ,, σσσ 321 σσσ ≥≥

Maximum shear stress 2

31max

σστ −=

xσxyτ

yσ

Failure Theories

• การทดสอบวสัดุจะทาํเพยีงกรณพีืน้ฐาน เชน่ Tension test, Compression test กรณทีีม่ภีาระหลายๆ ชนดิกระทาํ

จงึตอ้งมทีฤษฎทีีบ่อกวา่ความเสยีหายจะเกดิเมือ่ใด

• ไมม่ทีฤษฎคีวามเสยีหายไหนใชไ้ดก้บัวสัดุทุกชนิด

• โดยปกตจิะคดิแยกระหวา่งวสัดุเหนียว (Ductile) กบัวสัดุเปราะ (Brittle)

• ขอ้มลูจะอา้งองิจากผลการทดสอบพืน้ฐาน เชน่ Tension-test, Compression test

Ductile Materials

05.0≥fε (Elongation ≥ 5%)

• Maximum shear stress theory (MSS)

• Distortion energy theory (DE)

• Ductile Coulomb-Mohr (DCM)

Brittle Materials

05.0<fε (Elongation < 5%)

• Maximum normal stress theory (MNS)

• Brittle Coulomb-Mohr (BCM)

• Modifier Mohr (MM)

Maximum shear stress theory (1)

• ทฤษฎี ความเค้นเฉือนสงูสดุ ทาํนายว่า การครากจะเร่ิมเกิดเมื่อ ค่าความเค้นเฉือนสงูสดุของจดุใดๆ

เท่ากบัหรือมากกว่า ค่าความเค้นเฉือนสงูสดุท่ีได้จาก Tension-test specimen ของวสัดชุนิดเดียวกบั

วสัดท่ีุกาํลงัพิจารณา

• อาจเรียกว่า Tresca หรือ Guest theory

State of stress ของจดุใดๆ การทดสอบ Tension-test

xσxyτ

yσ

231

maxσστ −

=22max

yS==

στ

AP

=σ

yS== 1σσ

2max yS=τ

2231

maxyS

≥−

=σστYield เมื่อ yS≥− 31 σσหรอื และจะได ้ ysy SS 5.0=

nS y

2231

max ≥−

=σστกรณีมี S.F. nSy≥− 31 σσหรอื

Maximum shear stress theory (2)

กรณี 2D - Plane stress

σA σB σ1 σ3 Yield condition

+ + σA 0

+ - σA σB

- - 0 σB

• พจิารณาที ่Principal direction

• กาํหนดให ้

• เนื่องจากไมม่คีวามเคน้ที ่Plane ตัง้ฉาก

ดงันัน้ Principal stress อกีตวั = 0

BA σσ ≥

yA S≥σ

yBA S≥−σσ

yB S−≤σ

จะ Yield เมื่อความเค้นอยู่นอกขอบเขต

หกเหล่ียมสีชมพ ู

Distortion-Energy theory (1)

• ทฤษฎี Distortion energy ทาํนายว่าการครากจะเร่ิมเกิดเมื่อ distortion strain energy per unit volume

ของจดุใดๆ มีค่าเท่ากบัหรือมากกว่า distortion strain energy per unit volume ท่ีได้จากการทดสอบ

Tension-test หรือ Compression-test ของวสัดชุนิดเดียวกบัวสัดท่ีุกาํลงัพิจารณาขณะเกิดการคราก

• อาจเรียกทฤษฎีน้ีว่าว่า The von Mises หรือ von Mises-Hencky theory หรือ the octahedral-shear-

stress theory

Angular distortion element

พจิารณาที ่Principal direction

Pure volume change Pure angular distortion

3321 σσσσ ++

=av

Strain energy per

unit volume

Strain energy for

producing only

volume change

Distortion energy = +

Distortion-Energy theory (2)

Strain energy per unit volume

F

F

s

L

graph S-Funder Area work =⋅= ∫ dsF

graph -under Area work εσσ =⋅=⋅= ∫∫ dεLds

AF

V

F

s

Work

(σ)

(ε)

กรณ ีsimple tension:

strain energy per unit volume εσσ21 =⋅= ∫ dεu

[ ]33221121 σεσεσε ++=u

[ ])(1zyxx E

σσνσε +−=

[ ])(1xzyy E

σσνσε +−=

[ ])(1yxzz E

σσνσε +−=

Hooke’s law

[ ])(221

13322123

22

21 σσσσσσνσσσ ++−++=

Eu

Distortion-Energy theory (3)

[ ])(221

13322123

22

21 σσσσσσνσσσ ++−++=

Eu

)21(2

3 2

νσ−=

Eu av

v

)222(2

21133221

23

22

21 σσσσσσσσσν

+++++−

=E

uv

strain energy per unit volume

strain energy per unit volume

Distortion energy

−+−+−+=−=

2)()()(

31 2

132

322

21 σσσσσσνE

uuu vd

Distortion-Energy theory (4)

• ทฤษฎี Distortion energy ทาํนายว่าการครากจะเร่ิมเกิดเมื่อ distortion strain energy per unit volume

ของจดุใดๆ มีค่าเท่ากบัหรือมากกว่า distortion strain energy per unit volume ท่ีได้จากการทดสอบ

Tension-test หรือ Compression-test ของวสัดชุนิดเดียวกบัวสัดท่ีุกาํลงัพิจารณาขณะเกิดการคราก

Distortion strain energy ของจดุใดๆ การทดสอบ Tension-test

−+−+−+=

2)()()(

31 2

132

322

21 σσσσσσνE

ud

ทีจุ่ด Yield yS=1σ 032 ==σσ

2

31

yd SE

u ν+=

Yield เมื่อ

yS≥

−+−+−2/12

132

322

21

2)()()( σσσσσσ

22

132

322

21

31

2)()()(

31

ySEEνσσσσσσν +

≥

−+−+−+

Von Mises stress

Distortion-Energy theory (5)

2/1213

232

221

2)()()(

−+−+−=′

σσσσσσσVon Mises stress

กรณพีกิดั xyz (ไมใ่ช ่principal direction)

[ ] 2/1222222 )(6)()()(2

1zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσσ +++−+−+−=′

Yield เมื่อ Von Mises stress σ′ ≥ Yield strength Sy

กรณคีดิ Factor of Safety nS y≥′σ

Distortion-Energy theory (6)

2/122 )( BBAA σσσσσ +−=′

กรณี 2D - Plane stress

• พจิารณาที ่Principal direction

• กาํหนดให ้

• เนื่องจากไมม่คีวามเคน้ที ่Plane ตัง้ฉาก

ดงันัน้ Principal stress อกีตวั = 0

BA σσ ≥

จะ Yield เมื่อความเค้นอยู่นอกขอบเขตวงรีสีชมพ ู

Von Mises stress

• เมือ่เทยีบกบั Maximum shear stress theory แลว้จะพบวา่ ขอบเขต

Nonyield ของทฤษฎ ีDistortion-Energy จะกวา้งกวา่

• ผลจาก Distortion-energy สอดคลอ้งกบัผลการทดลองในกรณขีองวสัดุเหนียว

จงึเป็นทีน่ิยมใชก้นัอยา่งกวา้งขวาง

Distortion-Energy theory (7)

กรณี 2D - Plane stress + pure shear

0== yx σσxyτ

[ ] 2/1222222 )(6)()()(2

1zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσσ +++−+−+−=′จากสมการ von Mises stress

2/12 )3( xyτσ =′

Yield เมื่อ yxy S≥=′ 2/12 )3( τσ

yy

xy SS

577.03=≥τ ysy SS 577.0=

Shear yield strength

Example

วสัดุชนิดหน่ึงม ีyield strength Syc = Syt = 100 Mpa และมคีา่ εf = 0.55 ใหห้า factor of safety ในกรณตี่อไปน้ี

(Mpa) σx σy τxy

a 70 70 0

b 60 40 -15

c 0 40 45

d -40 -60 15

e 30 30 30

Coulomb-Mohr Theory (Ductile Materials) (1)

• ใช้กบัวสัดท่ีุ strength ด้านดึงไม่เท่ากบัด้านกด

• ใช้ข้อมูลการทดสอบ Tension test และ

Compression test เขียน Mohr’s circle

• ลากเส้นตรงสมัผสัวงกลมทัง้สอง และกาํหนดให้

เป็น Failure line

• ถ้า stress และ shear เกินกว่าขอบเขตน้ี จะเกิด

ความเสียหาย

31

1133

21

1122

CCCBCB

CCCBCB −

=−

จากสามเหลีย่มคลา้ย

211 tSCB =

2)( 3122 σσ −=CB

233 cSCB =

2)( -origin 312 σσ +=C

2 -origin 1 tSC =

2 -origin 3 cSC =

131 =−ct SS

σσ

Yield เมื่อ 131 ≥−ct SS

σσ

คิด S.F.

Yield เมื่อ nSS ct

131 ≥−σσ

Coulomb-Mohr Theory (Ductile Materials) (2)

กรณี 2D - Plane stress

σA σB σ1 σ3 Yield condition

+ + σA 0

+ - σA σB

- - 0 σB

• พจิารณาที ่Principal direction

• กาํหนดให ้

• เนื่องจากไมม่คีวามเคน้ที ่Plane ตัง้ฉาก

ดงันัน้ Principal stress อกีตวั = 0

BA σσ ≥

tA S≥σ

1≥−c

B

t

A

SSσσ

cB S−≤σ

จะ Yield เมื่อความเค้นอยู่นอกขอบเขต

หกเหล่ียมสีชมพ ู

Maximum-Normal-Stress Theory (Brittle)

• ทฤษฎี Maximum-Normal-Stress ทาํนายว่าความเสียหายจะเกิดเมื่อ ค่า Principal stress ตวัใดตวัหน่ึง

มีค่าเท่ากบัหรือมากกว่า ค่า Strength

321 σσσ ≥≥Principal stress

Yield เมื่อ utS≥1σ ucS−≤3σหรอื

คิด S.F.

Yield เมื่อ nSut≥1σ n

Suc−≤3σหรอื

Note

Brittle materials ไมมี่ค่า yield strength ท่ีชดัเจน จึงมกัใช้ค่า

ultimate tensile หรือ ultimate compressive stress แทน

Modifications of the Mohr Theory (Brittle)

Brittle-Coulomb-Mohr

พจิารณากรณ ีplane stress และคดิ Safety factor

σA σB σ1 σ3 Yield condition

+ + σA 0

+ - σA σB

- - 0 σB

nSutA ≥σ

nSS uc

B

ut

A 1≥−

σσ

nSucB −≤σ

Modified Mohr

พจิารณากรณ ีplane stress และคดิ Safety factor

σA σB σ1 σ3 Yield condition

+ + σA 0

+ -

σA σB

+ -

σA σB

- - 0 σB

nSutA ≥σ

nSSSSS

uc

B

utuc

Autuc 1)(≥−

− σσ

nSucB −≤σ

1≤AB σσ

1>AB σσ

nSutA ≥σ

Modifications of the Mohr Theory (Brittle)

Selection of Failure Criteria