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Dinámica de la red Dinámica de la red FononesFonones
Fallas de la aproximación estática para elFallas de la aproximación estática para el cristal
Propiedades térmicas del equilibrio:Calor específico:
Las vibraciones de la red son la principal causa de absorción decalor y dan cuenta del calor específico observado tanto de metalescomo de aisladores.
Expansión térmica:Las vibraciones (anharmónicas) hacen que el volumen del sólidodependa de la temperatura.
Fusión:Un sólido se funde cuando el valor cuadrático medio de la posiciónde un átomo es una cierta fracción del espaciado interatómico(criterio de Linderman 1910)
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Fallas de la aproximación estáticaFallas de la aproximación estática
Propiedades de transporte:Propiedades de transporte:La resistividad de los metales:
L d d i d l i ti id d l t t (T) d bLa dependencia de la resistividad con la temperatura ρ(T) se debeescencialmente a la interaccion de los electrones con lasvibraciones de la red (fonones)vibraciones de la red (fonones).
C d ti id d té i d i l dConductividad térmica de aisladores:Se debe al intercambio de fonones desde el extremo caliente al frio.
Transmisión del sonido
SuperconductividadSuperconductividad(Onnes 1911)
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Fallas de la aproximación estática: Propiedades de transporteFallas de la aproximación estática: Propiedades de transporte
S d b l i t ió l t ó f ó (BCS 1957)Se debe a la interacción electrón-fonón (BCS 1957)
Interacción con la radiación:Reflectividad de los cristales iónicos:
Tiene un máximo en frecuencias del infrarrojo que no corresponde aenergías electrónicas sino a las fluctuaciones en el momento dipolarcreado por las vibraciones iónicas.
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Fallas de la aproximación estática: Interacción con la radiaciónFallas de la aproximación estática: Interacción con la radiación
Dispersión inelástica de Luz:La luz laser dispersada por el sólido tienen un corrimiento enp pfrecuencia (Raman).
Dispersión de Rayos X:Dispersión de Rayos X:La intensidad de los picos es menor que la predicha por un modeloestático Además hay un fondo de radiación en direcciones que noestático. Además hay un fondo de radiación en direcciones que nosatisfasen la ley de Bragg.
Dispersión de inelástica de neutrones:Intercambian energía y momento con las vibraciones
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La aproximación armónicaLa aproximación armónica
Desviación de la posición de equilibrio
Posición de un átomo cuya posición media es el vector de la RBmedia es el vector de la RB
Si las interacciones son debidas a un potencial (r).que actúa entre pares de átomos a distancia r La energía potencial del cristal se escribe como:átomos a distancia r. La energía potencial del cristal se escribe como:
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La aproximación armónicaLa aproximación armónica
Si l (R) hi d di l d d d l i ió dSi los u(R) son chicos podemos expandir alrededor de la posición de equilibrio usando Taylor en varias variables:
Tomando y en U, tenemos:y
Energía potencial en posiciones de Energía potencial armónicaEnergía potencial en posiciones de
equilibrio(Fuerza ejercida sobre un átomo por l t ) 0
armónica
los otros)=0
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La aproximación armónicaLa aproximación armónica
Fuerza en la dirección ν que ejerce el átomo R al moverse en la dirección µ sobre el átomo R’sobre el átomo R’.
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La aproximación adiabáticaLa aproximación adiabática
Para un sólido general, el potencial no puede representarse como una suma de potenciales de a pares. p p
La fuerza entre átomos proviene de la deformación de la estructuraLa fuerza entre átomos proviene de la deformación de la estructura electrónica producida por el desplazamiento iónico.
Aproximación adiabática: La estructura electrónica se deforma instantáneamente siguiendo la deformación iónica (mión<< melectrón o g ( ión electrónvión ~105 cm/s<<velectrón =vF ~108 cm/s
se toma como punto de partida con
ajustado a los experimentos o tomados de cálculos de la estructura electrónica
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Paso a paso:Paso a paso:
Empecemos por el ejemplo más simple de una cadena monoatómica con interacciones sólo a primeros vecinos
Potencial de interacción entre dos átomos separados xPotencial de interacción entre dos átomos separados x
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Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica
Un análogo mecánico es:
KK
Con ecuaciones de movimiento:Con ecuaciones de movimiento:
Si la cadena es muy larga lo que pase en los bordes no afectará al interior, tomamos como condiciones de contorno las periodicas ya que notomamos como condiciones de contorno las periodicas ya que norompen la invariancia de traslación.
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Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica
Proponemos soluciones de la forma con las condiciones iódiperiódicas entero
Reemplazando en las ecuaciones de movimiento:
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Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica
Esto determina una relación entre ω y k (relación de dispersión):
Los movimientos de las partículas estarán dados por:
Ahora k no puede ser arbitrario (además de su discretización) porque dos soluciones con k1 y k2 que solo difieren en 2π/a representan en realidad la misma dinámica de las partículas.
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Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica
Podemos restringir -π/a < k < π/a, primera zona de Brillouin.
N puntos = N modos normales
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Cadena MonoatómicaCadena Monoatómica
C d k hi l l ió d di ió h li lCuando k es chico la relación de dispersión se hace lineal
Corresponde a ondas en un medio continuo. No hay dispersiónla velocidad de grupo y de fase son iguales y dan la g p y g yvelocidad del sonido en el medio
v=
En k=π/a la velocidad de grupo se anula ondas estacionarias
vg
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛MKa
g
k
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Cadena Cadena DiatómicaDiatómica
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Cadena Cadena DiatómicaDiatómica
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Cadena Cadena DiatómicaDiatómica
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Cadena Cadena DiatómicaDiatómica
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Cadena Cadena DiatómicaDiatómica
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Cristal monoatómico tridimensionalCristal monoatómico tridimensional
Las simetrías de D son:
1-
2-2Los puntos de una red de Bravais están en centros de inversión.
3-
Un desplazamiento rígido de todos los átomos no cambia la energía totaltotal.
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Cristal monoatómico tridimensionalCristal monoatómico tridimensional
L i d i i tLas ecuaciones de movimiento son:
Las condiciones periódicas:
dirección.cadaencristal delsdimensione , , 321
NNN321
aaa
celdas de total número
3 21
NNNN =321
321
k 1era zona de Brillouin
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Cristal monoatómico tridimensionalCristal monoatómico tridimensional
Matriz Dinámica
D(k) es simétrica real y tiene 3 autovalores reales y tres autovectores ortonormales(para cada k)autovectores ortonormales(para cada k).
Tres ramas acústicas k<<π/a
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Cristal monoatómico tridimensional: Ejemplo PbCristal monoatómico tridimensional: Ejemplo Pb
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Cristal Cristal poliatómicopoliatómico tridimensionaltridimensional
Para un cristal con p átomos en el motivo habrá 3Np grados de libertad lo que lleva a 3 ramas acústicas y 3(p 1) ramas ópticaslibertad , lo que lleva a 3 ramas acústicas y 3(p-1) ramas ópticas
Ejemplo 2 átomos por celdaEjemplo 2 átomos por celda
KBr
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Transformación a coordenadas normalesTransformación a coordenadas normales
V l di á i d l d té i d t f ió dVeamos la dinámica de la red en términos de una transformación de coordenadas que convierta el problema en osciladores desacopladosdesacoplados.
Para la cadena monoatómica:Para la cadena monoatómica:
lid dddi ió*1/ ikna AAAA ∑ realidaddecondicióncon /k
kk
iknaknkn
AAeAN
uAu ∑ ==→−
Teniendo en cuenta que:
22211 )'()'( NjN -jNa
keN
eN k
kanninakki ≤<=== ∑∑ −− nn'kk'
πδδ22NaNN kn
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Transformación a coordenadas normalesTransformación a coordenadas normales
T l t f ió iTenemos la transformación inversa:
∑ −iknaA 1 ∑=n
iknankeu
NA
∑∑ ==−=−+
kkk
nnn
AAkMuuKU )(21....)(
222
1ω
−=kn
MUTL
∑=−
kkk
AAMT 2
=∂∂
=−kk
AMALP
∑ ⎬⎫
⎨⎧
+=
∂
−kk
k
AAkMPP
H
A
)(1 2ω∑⎭⎬
⎩⎨ +=
−k
kkAAkM
MH )(
2ω
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Transformación a coordenadas normalesTransformación a coordenadas normales
C d i t d il d d l dCorresponde a un sistema de osciladores desacoplados con coordenadas Ak y momentos Pk coordenadas normales.
Las ecuaciones de movimientos son :
LLd ∂⎞⎛ ∂kk
kk
AkAAL
AL
dtd )(0 2ω−=→=
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−kk ⎠⎝
Análoga a la de un oscilador armónico xx 2ω−=
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Transformación a coordenadas normalesTransformación a coordenadas normales
P l l d i t l t idi i l átPara el caso general de un cristal tridimensional con p átomos con celda, las coordenadas normales adquieren un índice de rama (o polarización)polarización)
λk
Aó tiacústicas
p3....,3,2,1=λ
Primera Zona
ópticasacústicas
{ }1 { }∑ += λλλ
λλ ω 2 )(21
kkkkk AAPPH { }∑ −−
λλ
,)(
2 kkkkk
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Cuantificación Cuantificación FononesFonones
RRepaso…Para un oscilador armónico:
Paso a operadores de creación y destrucción
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E t i li bi d i t t ió
Cuantificación Cuantificación FononesFonones
Esto implica un cambio de interpretación.
íestado de vacio, sin partículas.
estado con una partícula (sin estructura interna).
estado con n partículasLa energía del sistema en un estado con n partículas es ω .(número de partículas) , ya que y
R t ió i i l
Pictoricamente:2’fonones’2ndo exciitado
Nueva representaciónRepresentación original
Pictoricamente:
Sin ’fonones’
1’fonon’
Estado fundamental
1er exciitado
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Cuantificación para el cristal armónicoCuantificación para el cristal armónico
El Hamiltoniano queda:
∑ += λλλω 21ˆˆ()(1 k ︶aaH t∑ +
λ
ω,
2()(2 k
kkk ︶ aaH
Ahora los fonones tienen estructura, momento y polarización, y p
Un estado se determina por el número de fonones para cada k y λ
{ }nkλ ={ }
ppp nnnnnnnnn 333 ,......,,,.......,,......,,,,......,, 212121
kkkkkkkkk
k
λλλλλλ
222111 NNN kkkkkkkkk
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Cuantificación para el cristal armónicoCuantificación para el cristal armónico
La nueva interpretación para una cadena sería
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico
La mecánica estadística clásica predice que el calor específico de los sólidosdebería ser constante e igual a (Ley de Dulong y Petit): g ( y g y )
)2/32/3(BB
kkNpc += )(BBv
pContribuciones de la energía cinéticay potencialNúmero de celdas y potencial
Partículas por celda
Sin embargo:
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico
V t i d l tifi ió
La energía total del cristal pensado como gas de fonones es:
Veamos entonces que es consecuencia de la cuantificación.
a e e g a o a de c s a pe sado co o gas de o o es es
∑ += λλω )21()(1 k nE ∑ +
λ
ω,
)2()(2 k
kk nE
donde da el número de fonones con (casi)momento k y polarización λ. λk
nk
La energía media (o energía interna) a temperatura T es:
1
1,)21()(
21
)(=+== ∑ βω
λλλλω nn EU
kkkk
Bosede óndistribuci 122 )(
, −βωλ e kk
kk
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico
O más formalmente:
∑ ∑ ∏∑∞ ∞
+−−− ===
)21()(ˆ }{ ....][ kk
k n EH eeeTrZ n ωββ
βλλλ
= =0 0 ,}{ 11
12k kk
kn nn λλ
)(kλ
)(
2)(
)(2/)( )(
n eZeek
k
kkλ
λ
λλ
β
ωβωβωβ
−∞−− =∴= ∏∑∏ )(
,
1
0, 1)(
n e k
kkλωβ
λλ −
= −∏∑∏
1 )(e kλωβ − −
La energía libre es:La energía libre es:
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico
∑ ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ − ωβ
λ
2)(
llk
eTkZTkF
∑⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
−==
−λ
ωβ λ
,)(1
lnlnk
k BB eTkZTkF
⎠⎝
y la energía interna:y la energía interna:
∑ ⎟⎞
⎜⎛ +
∂λ 11)(kB
TkF
U ∑ ⎟⎠
⎜⎝
+−
=∂
=λ
ωβλ
λωβ ,
)( 21)(
kk
k
B
eU
coincidente con lo anterior
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico
Finalmente el calor específico por unidad de volumen es:
⎞⎛∂∂ 1111 U ∑ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−∂∂
=∂∂
=λ
ωβλ
λω,
)( 21
11)(11
kk
k v eT
VT
UV
c
Analicemos los límites de alta y baja T
Alta T: usando
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico
NpkT 31 ⎟⎞
⎜⎛∂∑ λ
k
VNp
kT
TVc
v
3)(
)(1,
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
≈ ∑λ
λλ
ωω
k kk
Petity Dulong deLey
Baja T:
Cambié λ por s y pase de suma en k a integral en la primera zona
A baja T los modos con dan contribuciónA baja T los modos con dan contribución despreciable porque el integrando se anula exponencialmente
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico
Sin embargo cuando , para las 3 ramas acústicas . Los modos de larga longitud de onda contribuyen por g g y pchica que sea T. A bajas T podemos eliminar las ramas ópticas, quedarnos con el comportamiento de bajo k de las acústicas y extender la integral a infinito.
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónico
Cambiando variables aCambiando variables a
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Termodinámica del cristal armónicoTermodinámica del cristal armónicoLey de Dulong y Petit
3Tα
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Modelo de Modelo de DebyeDebye
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Modelo de Modelo de DebyeDebye
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Modelo de Modelo de DebyeDebye
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Modelo de Modelo de DebyeDebye
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Modelo de EinsteinModelo de Einstein
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Modelo de EinsteinModelo de Einstein
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Modelo de EinsteinModelo de Einstein