TC

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ

MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

TIMOSHENKO KİRİŞLERİ VE TİMOSHENKO

KİRİŞLERİNDE BURKULMA ANALİZİ

BİTİRME PROJESİ

Fatih Sultan ERDEM

2002508030

Projeyi Yöneten Yrd.Doç.Dr.Evren TOYGAR

OCAK 2007 İZMİR

1

TEZ SINAV SONUÇ FORMU

Bu çalışma 20/06/03 günü toplanan jürimiz tarafından BİTİRME PROJESİ

olarak kabul edilmiştir / edilmemiştir.

Yarıyıl içi basan notu 100 (yüz) tam not üzerinden .........( ...........................) dir.

Başkan Üye Üye

Makina Mühendisliği Bölüm Başkanlığına,

2002508030 numaralı Fatih Sultan Erdem jürimiz tarafından 26/01/07 günü saat

..................................................................................................................................

da

yapılan sınavda, 100 (yüz) tam not üzerinden..............almıştır.

Başkan Üye Üye

ONAY

2

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın başlangıcından bitimine kadar yardımlarını gördüğümüz kıymetli

hocamız Yrd.Doç.Dr.Evren TOYGAR Hanım’a , Araş.Gör. Hasan Öztürk’e ,

Araş.Gör. Yusuf Arman’a , ortak çalışma yürüttüğümüz sevgili arkadaşım Serkan

Kurt’a ve aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim.

Fatih Sultan Erdem

3

ÖZET

Nârin elemanlarda burkulmanın mühim bir yer tuttuğu bilinmektedir. Bunun için

bu tür elemanların burkulmaya başladığı kritik yükün hesabı makine mühendisliğinde

geniş bir yer tutar. Bu kritik yük hesabı için geliştirilmiş çeşitli formülasyonlar vardır.

Bulunuşu günümüze göre bayağı eskiye dayanan Bernoulli-Euler formüllerinin

yanında 20. asırda Stephan Timoshenko tarafından geliştirilen Timoshenko hesap

usûlü çözüm için yaygın kullanım sahasına sahiptir. Timoshenko’nun hesap yöntemi

Euler hesap yönteminde ihmal edilen kesme kuvvetinin de işe katılmasıyla

geliştirilmiştir. Kesme kuvvetinin de hesaba katılması dolayısıyle , tahmin

edilebileceği üzere Timoshenko’nun yönteminde bulunan kritik yük Euler hesap

yönteminde bulunan kritik yük değerinin altında olacaktır. Bunun için

Timoshenko’nun hesap yöntemini daha emniyetli bir hesap yöntemi addedebiliriz.

Bu projede teorik hesapların yapılmasının yanı sıra, sonlu elemanlar

metoduyla çalışan Ansys 10.0 programı da kullanılmıştır. Hesaplarda kare kesitli

ve lineer değişken kesitli bir ucu serbest bir ucu ankastre kirişler kullanılmıştır.

Teorik hesapta çıkartılan sonucun, Ansys 10.0 programının değerleriyle

karşılaştırılması yapılmıştır.

4

İÇİNDEKİLER

Sayfa

İçindekiler……………………………………………………………………… 4

Şekil listesi…………………………………………………………………….. 6

Giriş……………………………………………………………………........ 7

Bölüm Bir

1.Timoshenko Kirişleri…………………………………………………….. 7

1.1 Bazı Ön Bilgiler ………………………………………………………. 7

1.2 Kesme Kuvvetlerinin Kiriş Sehimlerine Etkisi……………………….. 9

Bölüm İki

2.Burkulmanın Genel Tanımı………………………………………………… 15 2.1 Bir ucu serbest bir ucu ankastre kiriş ………………………………. 16

2.2 Bir Ucu Mafsallı Bir Ucu Ankastre …………………………………. 17

2.3 Elastik Burkulma formüllerinin Geçerlilik Sınırları ………………. 19

Bölüm Üç

3.Burkulmada Kayma Kuvvetinin Kritik Yüke Etkisi………………............. 20

Bölüm Dört

4. Ansys 10.0’da Kare Kesitli Timoshenko Kiriş Modelinin Oluşturulması

ve Burkulma Analizi………………………………………………………... 26

4.1 Problem Tipinin Tanımlanması……………………………………… 26

4.2 Malzeme Özellikleri…………………………………………………. 27

4.3 Modelin Oluşturulması………………………………………………. 29

4.4 Meshing İşlemi ……………………………………………………… 31

4.5 Sınır Şartlarının Belirlenmesi ve Çözüm……………………………. 33

.

Bölüm Beş

5. Ansys Sonucunun Teorik Değerle Karşılaştırılması……………………… 40

5

Bölüm Altı 6. Ansys 10.0’da Lineer Değişken Kesitli Timoshenko Kirişinin Modelinin

Oluşturulması ve Burkulma Analizi…………………………………….. 41

Sonuç……………………………………………………………………. 43

6

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa

Şekil 1.1 Kesme Kuvveti ve Moment Diyagramları……………… 8

Şekil 1.2 Birbirine Göre Kayan İki Plaka………………………… 8

Şekil 1.3 Kesitlerin Birbirine Göre Kayması…………………….. 9

Şekil 1.4 Yayılı Yük Moment Diyagramları……………………... 10

Şekil 1.5 Kirişin Küçük Bir Kısmına Etkiyen Yayılı Yüklerin Tek Bir Yük Gibi

Gösterilmesi………………………………………………………. 12

Şekil 1.6 Ankastre Kirişin Eğilmesi …………………………….... 14

Şekil 2.1 Bir ucu mesnetli diğer ucu serbest kiriş ……………….. 16

Şekil 2.2 Bir ucu mafsallı diğer ucu ankastre kiriş ……………….. 18

Şekil 3.1 Burkulmada Kesme Yükün Gösterilişi ………………… 21

Şekil 3.2 mn Elemanının Deformasyonu ve Kritik Yük …………. 25

Şekil 4.1 Kare Kesitli Kiriş ve Düzgün Değişken kesitli kiriş …… 43

7

GİRİŞ

Makine ve İnşaat Mühendisliğinde hatanın önceden tahmin edilmesi ,

tasarlanacak yapıların güvenliği açısından önemli , hattâ kritik bir yer tutar. Belki

de en yaygın olarak kullanılan yapı elamanı yüklenmiş kirişlerdir. Bundan dolayı

kirişlerin bükülme ve stabilitelerine dâir malûmata geniş bir ilgi ve bu konulara

dâir bir çok uygulama vardır. Kirişlerin davranışlarını tanımlamak için

geliştirilmiş komplekslikleri ve geçerlilikleri değişik birçok kiriş teorisi vardır.

Bunlardan biri olan Timoshenko Kiriş Teori’si kabûl görmüş Euler-Bernoulli

Kiriş Teorisi’nin , kesme kuvvetlerinden doğan deformasyonun da hesaba

katılarak geliştirilmesiyle doğmuştur.

1.BÖLÜM

TİMOSHENKO KİRİŞLERİ

Düzlemsel bir kiriş parçasını dengede tutabilmek için üç kuvvet elemanına

gereksinim duyulur. Bunlar eksenel kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momentidir.

Biz Timoshenko kirişlerinde eğilme momentinin yanında kesme kuvvetlerinin

oluşturduğu kayma gerilmelerini inceleyeceğiz. Eğilmenin sebep olduğu normal

gerilme dağılımı Euler-Bernoulli yöntemindeki gibi hesap edilecektir. Bu normal

gerilme ile kayma gerilmesi, denge denklemi yardımıyla birbirine bağlandığından,

basit bir integrasyonla kayma gerilmesi hemen tayin edilebilir.

1.1 BAZI ÖN BİLGİLER

Önce, bir kirişteki V kesme kuvveti ile M eğilme momentinin değişimi

arasında bir bağıntının olduğunu hatırlamak gerekir.

dM = -Vdx

8

Yani, kirişin bir kesitinde kesme kuvveti mevcut ise bitişik kesitlere etkiyen

eğilme momentleri farklı olmalıdır.

Şekil1.1

Bağlantı civataları ve kirişlerdeki kayma gerilmelerini ifadesini veren

denklemlerin elde edilmesine geçmeden önce, doğruluğu daha çok sezgiye

dayanan bir örnek verelim. Alttaki şekillerde gösterildiği gibi, biri diğerinin

üzerine oturan ahşap bir kalas düşünelim. Bu kalaslar birbiri üzerinden kaydığı ve

içten bir bağlantısı olmadığı için birer bağımsız kiriş gibi davranırlar. Kaymaya

olan bu temayülü hayalimizde canlandırmak hiç de zor değildir.

Şekil1.2

9

Birbirine sıkıca bağlanmayan iki plaka yüklendiği zaman birbirine göre kayar.

1.2KESME KUVVETLERİNİN KİRİŞ SEHİMLERİNE ETKİSİ

Daha önce de bahsettiğimiz gibi klasik çözümlemelerde sâdece eğilme

momentinden doğan sehimler göz önüne alınmıştı. Ancak kesme kuvveti de buna

ilâve olarak bir sehim hâsıl eder. Bu sehim komşu kesitlerin birbiri boyunca

karşılıklı kayması şeklinde baş gösterir. Kayma gerilmeleri uniform olarak

yayılmadıkları için önceden düzlemsel olan kesitler şekilde görüldüğü gibi eğri bir

biçim alırlar .

Şekil1.3

Kesitlerin ağırlık merkezlerindeki elemanlar düşey kalırlar fakat birbirine göre

kayarlar. Onun için yalnız kesme kuvvetinden doğan elastik eğrinin herhangi bir

kesitdeki eğimi bu kesitin ağırlık merkezindeki kayma açısına eşittir. Kesmeden

doğan sehimleri y1 ile gösterdiğimize göre herhangi bir kesitdeki eğim için şu

ifâdeyi elde ederiz :

dy1/dx = τ y x / G = α*V / A*G

burada V/A , τ y x ortalama kayma gerilmesini , G kayma modülünü ve x

kesitin ağırlık merkezindeki kayma gerilmesini elde etmek için ortalama kayma

gerilmesinin çarpılması icab eden sayısal bir faktörü gösteriyor. Dikdörtgen kesit

10

için α = 3/2 , dâiresel kesit için α = 4/3 ‘tür. Sürekli yüklü bir kirişte V kesme

kuvveti de sürekli bir fonksiyon olup bunun x’e göre diferansiyeli alınabilir. Buna

göre yalnız kesmeden hâsıl olan eğrilik şudur :

qAGdx

dVAGdx

yd αα−==

2

21

2

Bununla eğilme momentinin oluşturduğu momentin toplamı

)(12

2

qAGEIM

EIdxyd z

z

α+−=

olur. Kesme kuvveti tesirinin göz önüne alınması icap eden bütün hallerde

sehimleri tayin etmek için bu denklem kullanılır.

Misâl olarak basit mesnetli ve uniform yüklü bir kirişi göz önüne alalım.

Herhangi bir x kesitinde eğilme momenti şudur :

22

2qxxqlM −=

Şekil 1.4

Farazî kirişteki yük şu iki kısımdan oluşur. 1- parabolik eğilme diyagramı

2- uniform yayılmış yük. Herhangi bir kesitde kesme kuvvetinden dolayı husûle

gelen ilâve edilmiş sehim , bu tarzda yüklenmiş olan farazî kirişin aynı kesitindeki

11

eğilme momentinin EIz ile bölümüne eşittir. Netice itibarıyle kirişin ortasındaki

ilâve edilmiş sehim

AG

qllqAGEI

EIz

z 88)(1 22 ααδ ==

dir. Bunu , eğilme momentinin hâsıl etdiği sehime eklersek , toplam sehim için

şu değeri elde ederiz :

)5

481(384

58384

52

2222

GlEk

EIql

AGql

EIql z

zz

ααδ +=+=

Burada )/( AIk zz = , z eksenine göre atalet yarıçapıdır.

Yüksekliği h olan bir dikdörtgen kesitde 22 12/1 hkz = , α=3/2’dir. E/G =

2(1+μ)=2,6 koyarsak üsteki denklemden şu denklemi elde ederiz :

)12,31(384

52

24

1 lh

EIql

z

+=δ

Görülüyor ki l/h = 10 oranı için kesme kuvvetinin sehime tesiri yüzde 3

kadardır. l/h oranı küçüldükçe bu tesir büyür.

I kirişleri için α faktörü çoğunlukla 2’den büyüktür ve bu kirişler kısa oldukları

takdirde kesme kuvvetinin tesiri nispeten büyük olabilir. Sonuç olarak

)](88

[ 1

21

2

1

bbhbhIb

VAV

z

−−=α

Buradan

)](88

[ 1

21

2

1

bbhbhIbA

z

−−=α

Elde edilir. Meselâ h=55 cm , h1= 49 cm , A = 213 cm2 , b=20 cm ,

Iz=99184cm4 , gövde et payı b=1.9 cm ve l=6h olduğunu farzedelim. Bu değerler

12

denklemde yerine taşınırsa kesmenin oluşturduğu sehimin , eğilmeden oluşan

sehimin yüzde 26,8’i kadar olduğu görülür. Onun için göz önüne alınması icap

eder.

Münferit bir P yükü hâlini ele alalım. Bu çeşit bir yük , kirişin çok kısa bir e

parçası üzerine yayılmış olan yüklerin limit hâli gibi göz önüne alınabilir. Buna

göre

P1= α * ( EIz/AG) *P

Şekil1.5

olacaktır. Bu denklemle verilen münferit farazî yüklerin , farazî kirişte hâsıl

ettikleri eğilme momentleri EIz ile bölünürse kesme kuvvetlerinden doğan

munzam sehim elde edilir. Meselâ bir kirişin merkezî yüklenmesinde P1 yükünün

farazî kirişin ortasında hâsıl etdiği eğilme momenti α * ( EIz/AG) *Pl/4

olacağından orta yerde kesme kuvvetinin hâsıl etdiği munzam sehim

41Pl

AGαδ =

olur. Bu sehim yalnız eğilme momentinden hâsıl olan sehime eklenirse toplam

sehim için şu ifâde elde edilir :

)121(48448 2

233

GlEk

EIPl

AGPl

EIPl z

zz

ααδ +=+=

yüksekliği h olan bir dikdörtgen kesitli kirişte

13

2

2

2

2

12lh

lk z = ,

23

=α

olduğundan

)90,31(48 2

23

lh

EIPl

z

+=δ

olur. h/l=10 için kesme kuvvetinin munzam tesiri yüzde 4 kadardır.

Yukarıdaki bütün incelemelerde kiriş kesitlerinin başlangıç şeklinde de

gösterildiği gibi serbestçe biçim değiştirebildiği farz edilmiştir. Bu şart yalnız

uniform yüklü kiriş hâlinde yaklaşık olarak sağlanır. Böyle bir kirişin orta yerinde

kesme kuvveti 0 olduğundan bu yerde şekil değiştirme olmayacaktır. Orta yerden

itibaren kirişin sol veya sağ parçası boyunca ilerlediğimize göre şekil değiştirme

kesme kuvvetiyle orantılı olarak artar. Onun için orta kesite nazaran

deformasyonların simetrik olması şartı da sağlanır. Şimdi orta yerdeki bir tek

yükün hâsıl etdiği eğilmeyi göz önüne alalım. Simetriden dolayı kirişin orta

yerdeki kesitinin düzlemsel kalması icap eder. Aynı zamanda yükün sağ ve

solundaki komşu kesitlerden her biri P/2’ye eşit bir kesme kuvveti taşır. Bu kesme

kuvvetlerinin hâsıl etdikleri şekil değiştirmeyi de hesaba katmak lâzımdır.

Bununla beraber deformasyonların sürekli olacağı şartından biliyoruz ki orta kesit

düzleminden , şekil değiştirmiş olan komşu kesitlere geçerken ani bir değişme

olamaz. Kiriş üzerinde orta yerden itibaren her iki tarafa doğru ilerlerken şekil

değiştirmenin sürekli olarak artması lâzımdır. P/2 kesme kuvveti , yüke yakın olan

yerlerde şekil değiştirme tamamen serbestmiş gibi bir tesir yapabilir. Bu

incelemeden anlaşıldığı gibi , orta kesit civârındaki gerilme yayılışı daha önceki

incelemelerden anlaşılamaz. Şekil değiştirme kısmen önlenecek ve kesme

kuvvetinin hâsıl etdiği sehim yukarıdaki değerden bir miktar daha küçük olacaktır.

Daha kapsamlı bir araştırma ile orta yerde bir tek yükün bulunması hâlinde bu

yerdeki sehimin

14

])(84,085,21[48

32

23

lh

lh

EIPl

z

−+=δ

olduğu gösterilebilir.

Konsol kiriş halinde de buna benzer durumlar vardır. Alttaki şekilde gösterilen

ankastre kirişin sehimi için l/2 yerine l , P/2 yerine P konulursa şeklin altındaki

denklem elde edilir.

)98,01(3 2

23

lh

EIPl

+=δ

Şekil 1.6

Ankastre kesitin düzlemden ayrılmasına tamamen mâni olunursa şartlar (k)

denkleminin çıkarılmasında farz edilen şartların aynı olur ve sehim

])(10,071,01[3

32

23

lh

lh

EIPl

−+=δ

bulunur. Bu da bir önceki denklemde verilen sehimden küçüktür.

15

2.BÖLÜM

BURKULMANIN GENEL TANIMI

Mukavemet ve yapı elemanlarının boyutlandırılmasında üç temel

karakteristik bulunmaktadır. Bunlar, mukavemet (akma veya kırılma), rijitlik ve

buna bağlı olarak deformasyon ve stabilitedir. Stabilitede kritik parametreler

diğerlerinden çok daha farklıdır. Akma ve kopmada sistemdeki gerilmeler belirli

bir değeri aşmışsa sistemde emniyet kalmamıştır denir. Bu tip problemlere

gerilme problemi denir. Burkulmada ise bir denge problemi söz konusudur. Eğer

denge konumu kararlı değilse sistemde doğabilecek en küçük bir farklılık

sistemde çok büyük şekil değiştirmelere sebep olur ve sistemin tekrar ilk

konumuna gelmesi imkansızlaşır. Bu tip problemlere kısaca denge (stabilite)

problemleri ismi verilir. Burkulmada karşılaştırma kriteri kritik burkulma

yüküdür.

Çeşitli mesnet hallerinde formüllemeler farklılık göstermektedir. Biz tek

taraftan ankastre, diğer taraftan serbest kiriş için incelememizi yapacağız. Çeşitli

mesnet halleri;

Klasik haller veya diğer adıyla Euler halleri:

a) Bir ucu serbest bir diğer ucu ankastre kolon

b)Bir ucu ankastre diğer ucu mafsallı kolon

c) iki ucu ankastre kolon

d)İki ucu mafsallı kolon

16

2.1 BİR UCU SERBEST DİĞER UCU ANKASTRE KOLON

Aşağıdaki şekillerde de görüldüğü gibi,

Şekil 2.1 Bir ucu mesnetli diğer ucu serbest kiriş

Eksenel basınç kuvvetlerinin şiddeti, kritik yük denilen, bir limit değere vardığı

zaman, uygulanma noktasının en ufak bir yer değiştirmesine veya eksenel yükün

şiddetinin en ufak bir artışına karşı, kirişin çökmesi son derece hassas bir hale

gelir ve kirişin eğilmesi, birden bire karakteristik yanal bir burkulma halini alır.

Uygulanan bir P eksenel kuvveti için çubuğun çökmesi Q yanal kuvveti ile

orantılıdır.

Çubuğa etkiyen eksenel kuvvet aynı kalmak şartıyla, Q yanal kuvvetine bir Q1

kuvveti ilave edilirse, neticede çökme, Q’dan ve Q1’den dolayı meydana gelen

çökmelerin süperpozisyonu ile elde edilir.

P kuvveti kritik değerin altında oldukça, çubuk ancak eksenel bir basınca

maruzdur diyebiliriz. Bu durumda çubuk doğrusal kalır. Elastik dengenin bu

doğrusal konumu kararlıdır, yani yanal bir kuvvet neticesinde küçük bir çökme

meydana gelirse, yanal kuvvet kaldırıldıktan sonra çubuk tekrar doğrusal

konumuna gelir. Doğrusal denge konumunun kararsız olduğu eksenel yükte

17

uygulanan yanal kuvvet sayesinde ortaya çıkan çökme, yanal kuvvetin

kaldırılmasıyla kaybolmaz. Buda gösterir ki, kritik yük, çubuğun hafifçe eğilmiş

bir şekli muhafaza edebilmesi için kâfi gelen eksenel yüktür.

Bir ucu serbest diğer ucu ankastre bir çubuk için kritik yük değeri,

k2= P/EI

olmak üzere:

kL = (2n+1) π/2 n=0,1,2,… dir.

Bu denklemi sağlayan en küçük n değeri (n=0) yerine konursa,

kL= L P / EI =π/2

olur.

Buradan da,

P=Pcr=π2EI/4L2 elde edilir.

Yani böyle bir çubuğu hafif eğik bir konumda tutabilecek en küçük eksenel yüktür

ve bu da kritik burkulma yükü adını alır.

n’nin diğer değerleri için,

P=9π2EI/4l2 P=25π2EI/4l2

değerlerini alır.

2.2 BİR UCU MAFSALLI DİĞER UCU ANKASTRE KOLON

Kendi ekseni doğrultusunda eksenel bir basma kuvvetinin etkisi altında kalan bir

çubuk bu kuvvetin şiddeti, kopma kuvvetinin altında belirli bir değere eriştiğinde eğer

18

kesit boyutları uzunluğuna oranla küçük ise kararsız durumdadır Bu durumda kuvvetin

veya mesnetleme sisteminin yer değiştirmesi çubuğun ani olarak burkulmasına yol

açar.

Boyu uzun kesiti değişmeyen bir çubuğun bir ucu sabit mafsallı diğer ucu kuvvet

doğrultusunda hareketli kayıcı mafsallı olarak eksenel kuvvetle basmaya

zorlandığını düşünelim.

F basma kuvveti altında bu çubuğun herhangi bir sebeple şekildeki gibi

burkulduğunu ve bu durumda dengede durduğunu kabul edelim.

N = F.cosQ

Q = F.sinQ

Şekil değiştirme malzemenin elastik sınırları altında kaldığı takdirde elastik

eğrinin eğimi çok küçük olacağı için

Şekil2.2 Bir ucu mafsallı diğer ucu ankastre kiriş

cos Q = 1 . sin Q = 0 alınabilir. Q=0, N=F olur Elastik eğrinin

diferansiyel denklemi;

19

Euler burkulma yükü, kritik yük bulunur.

Elastik alanda flambaj (Burkulmadın meydana gelmesi için Fbr A*1σ≤ olması gerekir

brbrbr AF σσ >= / olduğunda Euler formülü kullanılmaz.

Euler formülünün uygulanabilmesi için :

ebr σσ ≤ olmalıdır.

2.3 ELASTİK BURKULMA FORMÜLLERİNİN GEÇERLİLİK SINIRI

Burkulma yükünün tayin edilmesinde, malzemenin lineer elastik davrandığı bölge içinde Euler

formülü kıülandabilinir. Euler formülünün kullanılma alanının belirlenmesi gereklidir. Çünkü

elastik olmayan bölgede Euler formülü kritik yük için doğru sonuçlar vermez.

20

2

2

LEIPcr

π=

I incelenen kesitin en küçük atalet momenti olmalıdır ki Euler formülü en küçük kritik burkulma

yükünü versin. Atalet yarıçapı ( r ), minumum atalet momenti için minumum olmalıdır

ArI =

2

22

LEArPcr

π=

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

rL

EA

pcrcr

πσ

Kritik gerilme kritik yükün A kesit alanı üzerine üniform olarak dağıtılmasından elde

edilmiştir. Kolon uzunluğunun atalet yarıçapına oranı narinlik oranı olarak tanımlanır. Narinlik

oranı burkulma mukavemetinde kolonların kalınlık ve incelikleri ile ilgilidir. Kalın çubuklar için

narinlik oranı ,ince çubuklara göre daha küçük değere sahiptir.

Narinlik oranı

kritik gerilme formülünde yerine konulursa

2

2

λπσ E

cr = elde edilir. Buradan kritik gerilmenin narinlik

oranını karesiyle ters orantılı olduğu görülür.

BÖLÜM 3

BURKULMADA KAYMA KUVVETİNİN KRİTİK YÜKE ETKİSİ

Daha önce kritik yükü belirlemek için çıkardığımız denklemlerde, kayma kuvvetinin

tesirinin ihmâl edildiği bir eğilme eğrisinin diferansiyel denklemini kullandık.

Burkulma meydâna geldiği zaman çubuğun kesitlerinde , bir şekilde, etkiyen kayma

kuvvetleri olacaktır. Bu kuvvetlerin kritik yüke etkisi şimdi gösterilmeğe çalışılacaktır.

21

(c)

Şekil 3.1

dx uzunluğundaki, m ve n kesitleri arasında seçilmiş bir elemana tesir eden kayma

kuvveti Q yukarıda gösterilmiştir. Bu kuvvetin büyüklüğü:

Not: Q kayma kuvvetleri çubuğun eksenine dik olan kesitlere etkir.

A’nın sütunun bütün kesitlerinin toplam alanı, G’nin kayma modülü,ve n’nin kesitin

şeklinin değişimindeki nümerik faktör olduğu kabul edilirse, kesme kuvvetinin etkisiyle

eğilme eğrisinde meydana gelen eğim nQ/AG’ dir. Dikdörtgen bir kesit için n = 1.2, dairevî

bir kesit için n = 1.11. Kesitin minör ekseninden eğilmeğe başlıyan bir I kirişi için ( burda,

eğilme flanşların yüzeyindedir) nümerik faktör n ≈ 1.2A/Af9 , A/Af9 flanşların toplam alanı.

Bu değer normal I kirişleri için 1,4 ile 2,8 arasında değişir. Eğer bir I kirişi major

eksenden eğilmeğe başlarsa nümerik faktör n ≈ A/Aw ‘dir. Burada Aw “web”in alanıdır. Bu

halde , n’nin, rulo çelik kesitler için tipik değerleri 2’den 6’ya kadardır.

Kesme kuvveti Q tarafından meydâna getirilen eğimin değişim oranı kaymaya bağlı olan ek

bir eğrilik derecesini temsîl eder ve şuna eşittir

22

Şimdi eğilme eğrisinin toplam eğrilik derecesi, eğilme momenti tarafından meydâna getirilen

eğrilik derecesine kayma kuvveti tarafından meydâna getirilen eğrilik derecesinin eklenmesiyle

sağlanmış olur. Sonra , yukarıda çizilmiş sütun için , eğilme eğrisinin diferansiyel denklemi şu

hâli alır:

(b)

Bu denklem

Denkleminden çıkartılmışdır. Sadece (1 — nP/AG) faktörü sağ tarafda paydaya konmuştur.

Aynı usûlle burda da devâm edicek olursak , yükün kritik değeri için şu denklemi çıkartmış

oluruz

Pe =π 2EI/412 burada Euler kritik yükünü temsîl etmektedir. Böylece, kayma kuvvetinin

hareketinden ötürü , kritik yük şu oranda azalır:

Bu oran, dikdörtgen kesit sütunu yahut I kesitli bir sütun gibi katı sütunlarda hemen hemen

bire eşittir. Bundan dolayı bu hallerde kayma kuvvetinin tesiri genellikle ihmal edilir. Bağlayıcı

23

çubuklarla veya tahtadan plakalarla bağlanmış payandalardan oluşan sütunlar için kesme

kuvveti pratik bir ehemmiyet sağlıyacak hale gelebilir ve hesaba katılır.

Eğilme eğrisinin, denklem b’ye benziyen uygun bi diferansiyel denklemini kullanarak,

sıkıştırılmış çubukların herhangi bir sınır şartındaki kayma etkileri bulunabilir.

Enerji Metodu ; kritik yükte kayma kuvvetlerinin etkisi hesaba katıldığı zaman, enerji

metodu da kullanılabilir. Bir misal olarak, uçlarından menteşelenmiş bir çubuğu alalım.

Eğilme eğrisinin genel açılımı şöyledir:

Kaymanın enerjisini işe katarsak, şuna ulaşırız:

dxdxdy

AGnPdxy

EIPdx

AGnQ

EIdxMU

llll2

00

22

2

0

2

0

2

)(2222 ∫∫∫∫ +=+=Δ

∑∑∞=

=

∞=

=

+=m

mm

m

mm

amAGl

PaEI

lP1

222

1

2

22 44ηπ

Burkulma esnasında P kuvveti tarafından yapılan iş:

2

1

22

4 m

m

mam

lPT ∑

∞=

=

=Δπ

...3sin2sinsin 321 +++=lxa

lxa

lxay πππ

24

ΔU=ΔT’ den

P’nin en küçük değeri yukardaki denklemden sâdece ilk terimi alarak bulunur.

Burda

Modifiye Edilmiş Kayma Denklemi; daha önceki kesme kuvvetinin etkisi

bahisinde kesme kuvveti denklemi, kesme kuvveti Q’nun değerini tâyin için

kullanıldı. Başka bir çıkartım da, gösterilen sütundan çıkartılmış mn elementinin

deformasyonunun hesaba katılmasıyla yapılabilir. Şekilde gösterilen dθ açısı

M=P(δ-y) eğilme momentine bağlı olan eğimdeki değişmeyi temsîl ediyor. θ ,

burada x ekseniyle kesite indirilen N normalinin arasında kalan açıdır. Böylece

eğilmeğe maruz kalmış eğrinin eğimi :

Eksenel kuvvet P N’nin doğrultusunda P cosθ bileşenine sahiptir, ki bu

yaklaşık olarak P’ye eşittir. Ve bir bileşeni de Q=Psinθ yaklaşık olarak Pθ’ya

eşittir. Buradan:

AGnPl

EIPe

cr

+=

1

12

2π

2

2

lEIPe

π=

AGnQ

dxdy

+=+= θγθ

)1(AGnP

AGnP

dxdy

+=+= θθθ

25

dθ/dx= M/EI=P(δ-y)/EI olduğunu göz önünde tutarsak yukardaki denklemden

şu çıkar:

Daha once yaptığımız çıkartımdaki yolu

takip edersek ;

SONLU ELEMANLAR METODU NEDİR?

Mühendisler uğraştıkları kompleks problemlere doğrudan yaklaşamadıkları zaman ya da

doğrudan yaklaşımla çözümün daha zor olduğu durumlarda ana problemi daha

kolaylaştırılabilen alt problemlere ayırıp, sonra bu alt problemlerin çözümünden orijinal

problemin çözümünü elde etmeleri çoğu zaman kullanılan tabii metodtur.

Problemin çözümünde, iyi tanımlanmış sonlu sayıda eleman kullanarak yeterli bir

model elde edilebilir. Böyle problemler sonlu olarak adlandırılır. Bazı problemler

matematiksel sonsuz küçük kurgusuyla tanımlanabilir. Bu tanım diferansiyel denklemlere

)1()(2

2

AGnP

EIyP

dxyd

+−

=δ

Şekil 3.2

26

veya sonsuz sayıda eleman kullanımına götürür. Bu sistemler sürekli olarak vasıflandırılır.

Gerçekte elastik sürekli ortamda elemanlar arası bağlantı noktalarının sayısı sonsuzdur.

Sonlu elemanlar metoduyla bu sonsuz sayıdaki bağlantı sonlu bir sayıya indirgenir.

Cisim sanki sadece bu noktalardan birbiriyle bağlıymış gibi düşünülür. Sonlu sayıda bu

bağlantı noktaları ne kadar çoğaltılırsa bu metodla yapılan çözümdeki hata oranı o kadar

küçülür. Diğer taraftan bu sayımın çok fazla artması da sayısal çözümlemede büyük zorluk

getirir. Bilgisayarlar yardımıyla bu zorluk bir derece giderilmiştir.

Sonlu eleman metodunun önemli bir öze1liği, tüm problemi temsil etmek üzere

elemanları bir araya koymadan önce, her bir elemanın ayrı formüle edilebilmesidir. Eğer

bir gerilme analizi problemi ile uğraşıyorsa her bir elemana etki eden dış kuvvetler ile

elemanın düğüm noktalarının, yer değiştirme bağıntıları bulunduğunda tüm sistem

çözülmüş olur. Bu şekilde kompleks bir problem oldukça basit bir probleme dönüşür.

BÖLÜM 4

ANSYS 10.0 ‘ DA KARE KESİTLİ TIMOSHENKO KİRİŞ MODELİNİN

OLUŞTURULMASI VE BURKULMA ANALİZİ

4.1 Problem tipinin tanımlanması

PREFERENCES tıklanarak aşağıdaki menüden structural seçilir ve OK basılır.

27

4.2 Malzeme Özellikleri

PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD EDIT DELETE / ADD /

STRUCTRAL BEAM / 2D ELASTIC 3

Element tipi BEAM3 olarak seçilir

PREPROCESSOR / MATERIAL PROPS / MATERIAL LIBRARY /

SELECT UNITS / USER

28

Girilecek birimler kullanıcının tercihine bırakılır.

PREPROCESSOR / REAL CONSTANTS / ADD EDIT DELETE /ADD/OK

AREA =900

IZZ =67500

HEIGHT =180 Değerleri girilir.

29

PREPROCESSOR / MATERIAL PROPS / MATERIAL MODELS /

STRUCTURAL/LINEAR / ELASTIC / ISOTROPIC

4.3 Modelin oluşturulması

PROCESSOR / MODELING / CREATE /KEYPOINTS / IN ACTIVE CS

APPLY denir

X=0, Y=90 değeri girilir ve APPLY denir.

30

X=0, Y= 180 değeri girilir ve OK denir.

PROCESSOR / MODELING / CREATE /LINES / LINES /STRAIGHT LINE

1-2 ve 2-3 keypointleri tıklanarak lines oluşturulur.

31

4. 4 Meshing İşlemi

PREPROCESSOR / MESHING/MESHTOOL

Aşağıda çıkan menüden SIZE CONTROLS / GLOBAL.... SET... SIZE=10 değeri

girilir.

32

Mesh boyutunun belirlenmesi

PREPROCESSOR / MESHING/MESHTOOL / MESH / PICK ALL

Mesh Edilmiş Model

33

4.5 Sınır Şartlarının Belirlenmesi ve Çözüm

PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD DOF// UX UY UZ ROTX

ROTY ROTZ

serbestlik derecesinin seçimi

SOLUTION / DEFINE LOADS / APPLY / STRUCTRAL /DISPLACEMENT / ON

NODES .... uç bölgedeki node seçilir.

Ankastre sınır şartının(ALL DOF=0) uygulanması

34

Uç taraftaki nodun seçimi

SOLUTION / DEFINE LOADS / APPLY/FORCE-MOMENT/ON

NODES/ ….uç kısım seçilerek kuvvet uygulanır.

Üst alana birim kuvvet uygulanması

35

SOLUTION/(UNABRIGDEG MENU)/ANALYSIS TYPE/ ANALYSIS OPTIONS

Statik analiz yapılırken prestress ON açık bulunmalı

SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS

Statik analizin çözümlenmesi

Solutıon Done penceresi kapatılır.

36

SOLUTION / NEW ANALYSIS / EIGEN BUCKLING

Burkulma analizi yapmak için EIGEN BUCKLING seçimi

SOLUTION/ANALYSIS TYPE/ ANALYSIS OPTIONS

Subspace, Nmode=1

37

Subspaces working size=1

SOLUTION / LOAD STEP OPTS / OUTPUT CTRLS / SOLUPRINTOUT

All items sekmesine gelinir.

38

SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS

Statik burkulma analizin çözümlenmesi

Solutıon Done penceresi kapatılır.

FINISH

SOLUTION / ANALYSIS TYPE> EXPANSIONPASS

Expansion pass on olarak ayarlanır.

39

SOLUTION / LOAD STEP OPTS / EXPANSIONPASS / EXPAND MODES

NMODE =1 olarak girilir.

SOLUTION / SOLVE / CURRENT LS

Statik Burkulma analizin çözümlenmesi

40

GENERALPOSTPROCESSOR/ RESULT SUMMARY

Kritik burkulma yükü değeri belirlenmiş olur.

BÖLÜM 5

ANSYS SONUCUNUN TEORİK DEĞERLE KARŞILAŞTIRILMASI

Bu kısımda Ansys programının verdiği sonucun doğruluğunu, teorik formülümüzden

çıkardığımız sonuçla programın verdiği değeri karşılaştırarak test edeceğiz.

Timoshenko kirişlerinde kritik yükün formülü ;

idi.

Bu formüle sayısal değerlerimizi girecek olursak;

AGnPl

EIPe

cr

+=

1

14 2

2π

41

)(80000*)(900)(180*4

(67500*)(200000**11

1*)(180*4

)(67500*)(200000*

2

22

)4222

42

Mpammmm

mmMPammmmMpaPcr π

π

+

=

442.1013619=crP N

çıkar.

Ansys’in bize verdiği değer ise 1028100N idi. Görüldüğü üzere sonuçlar birbirine

yakındır.

BÖLÜM 6

ANSYS 10.0 ‘DA LINEER DEGISKEN KESİTLİ TIMOSHENKO KİRİŞİNİN

MODELİNİN OLUŞTURULMASI VE BURKULMA ANALİZİ

Bir önceki analizde yapılandan farklı olarak sadece element type ve real constant

basamaklarında değişiklik yapılarak ANSYS 10 analizinde sonuca ulaşabiliriz. Aşağıdaki

değişiklikler yapılarak analiz tekrar yapılsın.

PREPROCESSOR / ELEMENT TYPE / ADD EDIT DELETE / ADD /

STRUCTRAL BEAM / 2D TAPERED 54

PREPROCESSOR / REAL CONSTANTS / ADD EDIT DELETE /ADD/

OK

42

AREA 1 =900

IZ 1 =67500

HYT 1 =180

AREA 2 =1600

IZ 2 =213333.33

HYB 2 =180 Değerleri girilir

43

GENERALPOSTPROCESSOR/ RESULT SUMMARY

Kritik burkulma yükü değeri belirlenmiş olur.

SONUÇ

Şekil 4.1

1. Model boyutları: 2. Model Boyutları

a=30 mm a1=30 mm a2=40 mm

b =30 mm b1=30 mm b2=40 mm

H=180 mm H=180 mm

Kare kesitli kiriş Lineer değişken kesitli kiriş

44

Teorik çözümün karmaşık şekilli parçalarda uygulanması hayli zordur. Bunun

için birinci modeli basit bir şekilde seçtik. Bu basit şekle teorik formülü

uyguladıktan sonra , çıkan sonucu Ansys ile karşılaştırdık. Bu mukâyese sonucunda

Ansys programının doğru sonuca çok yaklaşık bir değer verdiğini

gözlemlediğimizden dolayı daha karmaşık şekilli ikinci modelde sadece Ansys

çözümlemesi yaptırmakla yetindik. Seçilen tapered kirişin kritik yükünün aynı

boydaki normal kirişin kritik yükünün hemen hemen iki katı olduğu sonucuna

ulaştık.

45

KAYNAKÇA

1. Prof. Dr. Egor P. POPOV “Mukavemet Katı Cisimlerin Mekaniğine Giriş” , 1976 2. S. TIMOSHENKO “ Cisimlerin Mukavemeti” 1960

3. S. TIMOSHENKO, James M. GERE “Theory of Elastic Stability” 1961

4. Saeed MOAVENI “Finite Element Analysis”