fatorial - combinação simples e pricipio de contagem

7/25/2019 Fatorial - Combinao Simples e Pricipio de Contagem

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Seqncia ou sucesso

Seqncia

Uma viagemno tempo

Leonardo de Pisa, conhecido como Leonardo Fibonacci, viveu no sculo XII, no perodo de 1175a 1240. Educado na frica, viajou muito pela Europa e sia Menor, tornando-se famoso por seusconhecimentos matemticos.

Em 1202, Fibonacci publicou o "Liber Abaci" (Livro de Clculo), que popularizou no Ocidente o usode algarismos arbicos e os mtodos hindus de clculo com nmeros inteiros, fraes e razes.

No "Liber Abaci", um dos problemas propostos o seguinte: umcasal de coelhos torna-se produtivo depois de dois meses de vida. Apartir de ento, produz um novo casal a cada ms. Comeando comum nico casal de coelhos recm-nascidos, quantos casais ter aofinal de um ano?

Considere:

A: um casal adulto

J: um casal jovem

Os nmeros 1, 1, 2, 3, 5, 8,... formam, nessa ordem, a seqnciade Fibonacci.Observando atentamente essa seqncia, percebe-seque, a partir do terceiro, cada nmero igual soma dos dois anterio-res. Assim, a seqncia de Fibonacci se escreve:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144...

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)...

Para solucionar o problema proposto por Fibonacci, basta determinar a soma:

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144=376

Depois de um ano, haver 376 pares de coelhos, sendo um par matriz e 375 pares produzidos.

A palavra seqncia ou sucesso sugere a idia determos sucessivos: um primeiro termo seguido de umsegundo termo, de um terceiro, de um quarto e assimpor diante.

As seqncias tero ou no uma lei de formao e,ainda, sero finitas ou infinitas.

Definies:

Seqncia finita toda funoou aplicaof de N*em R. Portanto, em qualquer seqnciafinita, a cada nmero natural i (1 i n)est associado um nmero real an.

f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), ..., (n, an)}

Seqncia infinita toda funoo u aplicaof deN* em R. Logo, em qualquer seqncia infinita, acada iN* est associado um nmero real a i.f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), ..., (i, a i), ...}

As seqncias sero indicadas apenas pelas imagensde f, desse modo:

f = (a1, a2, a3, a4, ..., a i, ..., an)

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Lei deformao

As seqncias cujos termos verificam uma determinadaregra ( lei de formao) se apresentam das seguintesformas:

Expressando c ada t ermo em funo de sua p os io ,ou seja, dada uma frmula que expressa an emfuno de n. Por exemplo:

Seja a seqncia infinita fcujos termos obedecem lei an= 2n, n N *.

Tem-se:

a1= 2 . 1 a1 = 2

a2= 2 . 2 a2 = 4

a3= 2 . 3 a3= 6

a4= 2 . 4 a4= 8

Portanto:f= (2, 4, 6, 8, ...)

Expressas po r meio de um a prop riedade dos ter-mos. Por exemplo:

Seja a seqncia finita f de seis termos, em quecada termo igual ao nmero de divisores inteirosdo respectivo ndice.

Tem-se:

D(1) = {1, 1} a1= 2D(2) = {1, 1, 2, 2} a2= 4

D(3) = {1, 1, 3, 3} a3= 4

D(4) = {1, 1, 2, 2, 4, 4) a4= 6

D(5) = {1, 1, 5, 5} a5= 4

D(6) = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6} a 6= 8

Ento:

f= (2, 4, 4, 6, 4, 8)

Expressas at ravs de uma frmul a de reco rrncia,ou seja, so dadas duas regras: uma para identifi-car o primeiro termo a1 e outra para determinarcada termo an, a partir do antecedente an 1. Porexemplo:

Seja a seqncia finita f cujos termos obedecem seguinte frmula de recorrncia:

a1= 2

an = an 1+ 3, n {2, 3, 4, 5, 6}

Tem-se:

n = 2 a2= a1+ 3 a2= 2 + 3 a2= 5

n = 3 a3= a2+ 3 a3= 5 + 3 a3= 8

n = 4 a4= a3+ 3 a4= 8 + 3 a4= 11

n = 5 a5= a4+ 3 a5= 11 + 3 a5= 14n = 6 a6= a5+ 3 a6= 14 + 3 a6= 17

Logo:f= (2, 5, 8, 11, 14, 17)

01. Determine os cinco primeiros termos da seqncia infi-nita gem que se verificam a relao an= 2n 3, n N* .

Tem-se:

n = 1 a1= 2 . 1 3 a1= 1n = 2 a2= 2 . 2 3 a2= 1

n = 3 a3= 2 . 3 3 a3= 3

n = 4 a4= 2 . 4 3 a4= 5

n = 5 a5= 2 . 5 3 a5= 7

Portanto:

g = (1, 1, 3, 5, 7)

02 . Determine os cinco termos iniciais da seqnciainfinita fdada pela frmula de recorrncia:

a1= 1

an= 3 . aa 1, n N e n 2

Tem-se:

n = 2 a2= 3 . a1 a2= 3 . 1 a2= 3

n = 3 a3= 3 . a2 a3= 3 . 3 a3= 9

n = 4 a4= 3 . a3 a4= 3 . 9 a4= 27

n = 5 a5= 3 . a4 a5= 3 . 27 a5= 81

Logo:

f = (1, 3, 9, 27, 81)

01 . Calcule os cinco primeiros termos das seqncias dadaspelas seguintes leis:

a) an= 3n 2, n 1

a1= 3 . 1 2 a1 = 1

a2= 3 . 2 2 a2= 4

a3= 3 . 3 2 a3= 7

a4= 3 . 4 2 a4= 10

a5= 3 . 5 2 a5= 13

Portanto, a seqncia : (1, 4, 7, 10, 13).

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b) an= 2 . 3n, n 1

c) an= (1)n. 2n, n N *

d) an=1 3

2

+ nn

, n N *

02 . Determine os cinco primeiros termos da seqncia:

an=( )

nn

se n

nn

se nn

+

; ,

Calcule a soma dos cinco primeiros termos dessa seqncia.

04 . Determine se o nmero 512 pertence seqncia definidapor an= 2

n 1. Em caso afirmativo, qual a posio desse nmero

na seqncia?

05 . A soma do 3 e 4 termos da seqncia:

( )

a

a ann

n

1

11

18

18 1

== +

+

+. , com n N*

Fazendo an= 512, tem-se:

2n 1= 512

Decompondo-se o nmero 512 em fatores primos, vem:2n 1= 29n 1 = 9 n = 10

Ento, o nmero 512 pertence seqncia e ocupa a 10 posio, ouseja, a10= 512.

a3=a a2 1

2

+ a3=

40 20

2

+ a3= 30

a4=a a3 2

2

+ a4 =

30 40

2

+ a4= 35

a5=a a4 3

2

+ a5=

35 30

2

+ a5=

65

2

Portanto:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 20 + 40 + 30 + 35 +65

2

=315

2

= 157,5

a2= 18 + (1)2. a1 a2= 18 + 1 . 18 a2= 36a3= 18 + (1)

3. a2 a3= 18 + (1) . 36 a3= 18

a4= 18 + (1)4. a3 a4= 18 + 1 . (18) a4= 0

Portanto: a3+ a4= 18 + 0 = 18.

a2=2

212

1

+ aa.

a2=2 1

2 1

2+.

a2=3

2

a3=( )2

2

22

2

+ a

a.

a3=2

3

2

2 3

2

2

+

.

a3=2

9

4

3

+

a3=

17

43

a3=17

4

1

3. a3=

17

12

06 . (PUCPRAdaptado) Na seqncia (a1, a2, a3, ...), tem-

se: a1= 1 e an + 1=2

2

2+ aa nn . Determine a3.

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07 . (UFBA) Sejam as seqncias:

a

aan n

1

1

42

1

=

= +

+e

Se P = a4. b4, tem-se:

a) P < 0b) 0 P < 1

c) 1 P < 2

d) 2 P < 3

e) P 3

a2=2

1a+ 1 a2=

2

4+ 1 a2=

3

2

a3=2

2a+ 1 a3=

23

2

+ 1 a3=7

3

a4=2

3a+ 1 a4=

27

3

+ 1 a4=13

7

b2=1

1 1+ b b2=

1

1 5+ b2=

1

6

b3=1

1 2+ b b3=

1

1 1

6+

b3=6

7

b4=1

1 3+ b b4=

1

1 6

7+

b4=7

13

P = a4. b4

P = 137

7

13. P = 1

b

bbn n

1

1

5

1

1

=

=++

a1=1

2 1 1

2

. + a1 =

1

3

a2=2

2 2 1

2

. + a2 =

4

5

a3=3

2 3 1

2

. + a3 =

9

7

a4=4

2 4 1

2

. + a4 =

16

9

b1= 0

b2= 1 b1 b2 = 1 0 b2= 1

b3= 1 b2 b3 = 1 1 b3= 0

b4= 1 b3 b4= 1 0 b4= 1

c1= a1+ b1 c1=1

3+ 0 c1=

1

3

c2= a2+ b2 c2=4

5+ 1 c2=

9

5

c3= a3+ b3

c3=

9

7 + 0

c3=

9

7

c4= a4+ b4 c4=16

9+ 1 c4=

25

9

Logo, a seqncia :1

3

9

5

9

7

25

9, , ,

.

08 . Considere as seqncias ane bndefinidas por an=n

n

2

2 1+ ,

n 1 eb

b b pp p

1

1

0

1 1

==

+ , . Determine os quatro primeiros

termos da seqncia cn, tal que: c

n= a

n+ b

n, n 1 .

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11 . Determine a soma das afirmativas verdadeiras:

01) Seja a seqncia definida por an = 5 . 2n 1; n 1.

Portanto, a1+ a2= 15

02) Na seqncia definida por an = ( )1 1

1

+

n n ; n 1,

pode-se dizer que a5=24

5.

04) Seja a seqncia definida pela frmula de recorrncia:

a

a ak k

1 1

1

3

3 4

=

= +

+ , k 1. Ento, a4= 60.

08) Dada a seqncia: ( )aa a nn n

1

1

211 2

= = +

, .

Portanto:a

a4

34= .

09. (U.C. SALVADOR) Considere a seqncia 1 1

2

1

3

1

4

1

5, , , , , ...

na qual um termo e seus sucessores tm sinais opostos edenominadores consecutivos. O dcimo terceiro termo dessaseqncia :

a) 1

14

d) 1

12

b) 113

e) 113

c) 112

10 . (UFRS) A soma dos seis primeiros termos da seqncia,

definida por an= 21

2n

, com n N*, :

a) 2112 d) 99 2

b) 31 2 e) 512 2

c) 63 2

a1= 21

1

2

a1= 21

2 a1= 2

a2= 22

1

2

a2= 23

2 a2= 2 2

a3= 23

1

2

a3= 2

5

2 a3= 4 2

a4= 24

1

2

a4= 27

2 a4= 8 2

a5= 25

1

2

a5= 29

2 a5= 16 2

a6= 26

1

2

a6= 211

2 a6= 32 2

Portanto:

a1+ a2+ ... + a6= 2 + 2 2 + 4 2 + 8 2 + 16 2 + 32 2 = 63 2

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12 . Considere a seqncia de nmeros reais definida por:

an=

n

an

+

1

21

, se n mpar

, se n par, n {1, 2, 3, ...}

Determine o produto dos seis primeiros termos dessa seqncia.

13 . (CESGRANRIORJ) Os termos da sucesso a 1, a2, . . . , an, . . .e s t o r e l a c i o n a d o s p e l a f r m u l a : a n + 2 = 2 a n + a n + 1 , o n d e

n = 1, 2, 3, ... Se a1= a2= 1, ento a5 :

a) 0 d) 11

b) 1 e) 21

c) 6

14 . Considere a sucesso de nmeros reais dada pelo termo geral:

bn= 2 +n

n

1. Calcule

b b

b4 2

5

+.

n = 1 (mpar)

an=n +1

2 a1=

1 1

2

+ a1= 1

n = 2 (par)an= an 1 a2= a1 a2= 1

n = 3 (mpar)

an=n +1

2 a3=

3 1

2

+ a3= 2

n = 4 (par)a

n= a

n 1 a

4= a

3 a

4= 2

n = 5 (mpar)

an=n +1

2 a5=

5 1

2

+ a5= 3

n = 6 (par)an= an 1 a6= a5 a6= 3

Logo, o produto : 1 . 1 . 2 . 2 . 3 . 3 = 36.

n = 1 a3= 2a

1+ a

2 a

3= 2 . 1 + 1 a

3= 3

n = 2 a4= 2a2+ a3 a4= 2 . 1 + 3 a4= 5

n = 3 a5= 2a3+ a4 a5= 2 . 3 + 5 a5= 11

b4= 2 +4 1

4

b4= 2 +

3

4 b4=

11

4

b2= 2 +2 1

2

b2= 2 +

1

2 b2=

5

2

b5= 2 +5 1

5

b5= 2 +

4

5 b5=

14

5

3

2

=

11

4

5

214

5

+=

11 10

414

5

+

= 214

5

14. =

15

8

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15 . Dada a sucesso de termo geral an=1 3

2

+ nn

:

a) calcule a soma dos quatro pr imeiros termos.

b ) v er if iq ue se31

20 termo da sucesso e, em caso afir-

mativo, indique a sua ordem.

a1 =1 3 1

2 1

+ ..

a1=4

2 a1= 2

a2=1 3 2

2 2

+ .

.

a2=7

4

a3 =1 3 3

2 3

+ ..

a3=10

6 a3=

5

3

a4=1 3 4

2 4

+ ..

a4=13

8

= 2 + 74

+ 53

+ 138

=48 42 40 39

24

+ + +=

= 16924

an=31

20

1 3

2

31

20

+=

n

n

62n= 20 + 60n

2n = 20 n = 10

31

20 termo da sucesso e corresponde ao 10 termo, ou seja, a10=

31

20.

16 . Considere a sucesso de nmeros reais dada pelo termo geral:

bn= 2 1+n

n

. Calcule bn + 2 bn + 1.

bn+ 2= 2 2 1

2+

++

n

n

= 2

1

2+

++

n

n

bn+ 1= 2 1 1

1+

++

n

n

= 2

1+

+n

n

bn+ 2 bn+ 1= 2

1

2+

++

n

n 2

1

n

n +

bn+ 2 bn+ 1=n

n

n

n

n n n

n n

++ +

=+ +

+ +1

2 1

1 2

3 2

2

2

( ) ( )

bn+ 2 bn+ 1=n n n n

n n

2 2

2

2 1 2

3 2

+ ++ +

bn+ 2 bn+ 1=1

3 22n n+ +

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Progresses aritmticas

Progressoaritmtica:

PA

Nmerosprimos de

uma pro-gressoaritmtica

Classificao

A anlise de uma tabela de nmeros primos sugere que eles tendem a se tornar cada vez mais raros medida que se avana na seqncia dos nmeros naturais. Por exemplo, so 168 os nmeros primosentre 1 e 1 000, 135 entre 1 000 e 2 000 e 127 entre 2 000 e 3 000.

Apesar desses fatos, sabe-se h mais de dois milnios, que o conjunto dos nmeros primos infinito. A distribuio desses infinitos nmeros primos ao longo da sucesso dos nmeros naturais

uma das questes mais interessantes da Matemtica.

Gauss, entre 1792 e 1793, com aproximadamente 15 anos de idade, tabulou detalhadamente a distribuio dosprimos em intervalos de 1 000 nmeros, de 1 a 300 000, com pouqussimos erros, considerando os parcos recursoscomputacionais de que dispunha. E chegou estatisticamente concluso que o nmero de primos menores que x,costumeiramente indicado por (x), aproximadamente igual a x/n x, tanto mais prximo quanto maior x. Porexemplo: (1 000 000) = 78 498, ao passo que 1 000 000/ n 1 000 000 = 72 382,414. Porm, Gauss no demonstroue tampouco publicou esse resultado.

O primeiro matemtico a publicar uma forma possvel para a funo (x) foi Legendre em seu ensaio sobre a

teoria dos nmeros. Tambm do exame de um grande nmero de casos, Legendre conjecturou que (x) se avizinhaarbitrariamente de x/(n x 1,08366), fazendo x crescer indefinidamente.

Tudo indica, portanto, que valeria o seguinte teorema (conhecido como teorema dos nmeros primos): o

quociente( ) x

x n x/tende a 1, medida que x cresce indefinidamente.

Denomina-se progresso aritmtica (PA) a seqncianumrica em que cada termo, a partir do segundo,

igual ao anterior adicionado de um nmero fixo, chama-do razo da progresso.

Portanto, por definio, uma PA uma seqncia dadapela seguinte frmula de recorrncia:

a a

a a r n N nn n

1

1 2

== +

; ,

ou seja, uma seqncia da forma:

(a, a + r, a + 2r, a + 3r, ...)

Exemplos de progresses aritmticas:

(1, 4, 7, 10, 13, ...) onde a1= 1 e r = 3(0, 3, 6, 9, 12, ...) onde a1= 0 e r = 3

(5, 5, 5, ...) onde a1= 5 e r = 0

12

32

52

72

, , , , ...

onde a1=

12

e r = 1

3 5

2 2

32

, , , , ...

onde a1= 3 e r =

12

As progresses aritmticas podem ser classificadas daseguinte maneira:

PA crescente: so as progresses em que cadatermo maior que o anterior, ou seja:

an> an 1 an an 1> 0 r > 0

PA decrescente:so as progresses em que cadatermo menor que o anterior, ou seja:

an< an 1 an an 1< 0 r < 0

PA constante: so as progresses em que cadatermo igual ao anterior, ou seja:

an= an 1 an an 1= 0 r = 0

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Numa PA (a1, a2, a3, ..., an 1, an, ...) de razo r,

aplicando-se a definio, tem-se:

a2= a1+ r

a3= a2+ r

a4= a3+ r

................

an 1= an 2+ r

an= an 1+ r

Adicionando-se membro a membro essas (n 1) igual-dades, tem-se:

Portanto:

an= a1+ (n 1) r

Propriedadesdos termos deuma PA

Frmula dotermo geral

Notaes especiai s: quando se dese jaobter uma PA de trs, quatro ou cinco

termos, utiliza-se a seguinte notao:

1) para t rs termos:

(x r, x, x + r)

2) para quatro termos:

(x 3y, x y, x + y, x + 3y), onde r = 2y

3) para c inco termos:

(x 2r, x r, x, x + r, x + 2r) Qualquer te rmo de um a PA pode se r escr it o em

funo de a1e r, lembrando que:

a2= a1+ r

a3= a1+ 2r

a4= a1+ 3r..............

a10 = a1+ 9r

...............a15 = a1+ 14r

................

an= a1+ (n 1) r

a2+ a3+ a4+ ... + an 1+ an= a1+ a2+ a3+ ... + an 1+ r + r + r + ... + r

Cancelam-se (n 1) parcelas

Numa PA fi ni ta , a soma dos term os eqidi stan tesdos extremos igual soma dos extremos.

Por exemplo, seja a PA:

(5, 9, 13, 17, 21, 25)

Observe que:

a1+ a6 = 5 + 25 = 30

a2+ a5 = 9 + 21 = 30 a1+ a6= a2+ a5= a3+ a4a3+ a4= 13 + 17 = 30

Considere-se a PA finita (a 1, a 2, ..., ap, ..., an 1, a n). Os

termos ap e aqso eqidistantes dos extremos a1 e anse o nmero de termos que antecedem a pe o nmero de

termos que sucedem aqso iguais, isto :

p 1 = n q

Se n mpar, o termo eqidistante dosextremos denominado termo central oumdio.

M di a ar it m ti ca : nu ma PA , cada te rm o, a pa rt ir dosegundo, igual mdia aritmtica entre o termoantecedente e o conseqente da seqncia, ouseja, considerando-se trs termos consecutivosap 1, ap, ap + 1, tem-se:

(a 1, a2, ..., ap 1, ap, a p + 1, ...)

ap=a ap p ++1 1

2

Por exemplo, seja a PA:

(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...)

Observe-se que:

7 =

3 11

2

+

, portanto a2=

a a1 3

2

+

11 =7 15

2

+, portanto a3=

a a2 42

+

15 =11 19

2

+, portanto a4=

a a3 52

+

01. Determine x de modo que (x, 2x + 1, 5x + 7) seja,nessa ordem, uma PA.

Sabe-se que:

a2= a a1 32+ (mdia aritmtica)

Ento:

2x + 1 =x x+ +5 7

2

2 . (2x + 1) = 6x + 7

4x + 2 = 6x + 7

6x + 7 = 4x + 2 (propriedade comutativa)

2x = 5 x = 52

Logo: x = 52

.

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Interpolaoaritmtica

02 . Determine uma PA de trs termos, tais que suasoma seja 24 e seu produto seja 440.

Utilizando-se a notao especial (x r, x, x + r) para aPA, tem-se:

x r + x + x + r = 24 (I)

(x r) . x . (x + r) = 440 (II)

De (I) obtm-se x = 8. Substituindo-se em (II), vem:(8 r) . 8 . (8 + r) = 440

Dividindo-se ambos os membros por 8, obtm-se:

(8 r) . (8 + r) = 55

64 r2= 55

r2= 9 r = 3

Desse modo, a PA procurada :

(5, 8, 11) para x = 8 e r = 3 ou(11, 8, 5) para x = 8 e r = 3

03 . Numa PA de primeiro termo a1= 10 e razo r = 2,determine:

a) o termo geral dessa PA.

an= a1+ (n 1) r

an= 10 + (n 1) . 2

an= 10 + 2n 2

an= 8 + 2n

Logo, o termo geral : an= 2n + 8

b) o t rigsimo quarto termo da PA.

n = 34 a34= a1+ (34 1) r

a34= a1+ 33r

a34= 10 + 33 . 2

a34= 10 + 66

a34= 76

Portanto, o trigsimo quarto termo igual a 76.

04. Quantos termos existem na PA (25, 22, 19, ..., 59)?

Observe-se que:

a1= 25

r = a2 a1 r = 22 25 r = 3

an= 59, portanto cacula-se n. Substituindo, na frmula

do termo geral, an= a1+ (n 1) r, vem:

59 = 25 + (n 1) . (3)

59 = 25 3n + 3

59 = 3n + 28

3n = 28 + 59

3n = 87 n = 29

Logo, o nmero de termos da PA igual a 29 (n = 29).

05. Determine a razo da PA em que a2= 9 e a14 = 45.

Sabe-se que qualquer termo de uma PA pode ser escritoem funo de a1e r, assim:

a2= a1+ r a1+ r = 9

a14= a1+ 13 a1+ 13r = 45

Resolvendo o sistema:a1+ r = 9

a1+ 13r = 45

Pelo mtodo da adio, tem-se:

a1 r = 9

a1+ 13r = 45

12r = 36 r = 3

Portanto, a razo da PA r = 3.

Em qualquer sucesso finita (a1, a 2, a 3, ..., an 1, an), ostermos a1e anso denominados extremos, enquanto osdemais meios . In terpo lar , inser i r ou in terca lar kmeios aritmticos entre os nmeros a e b significa obteruma PA de extremos a1= a e an = b, com n = k + 2termos. Portanto, para se determinarem os meios deuma PA, necessrio calcular a razo r.

Sabendo-se que:

a1= a

an= b

n = k + 2

an= a1+ (n 1) r, tem-se:

b = a + (k + 2 1) r

b = a + (k + 1) r

(k + 1) r = b a

r =b a

k

+ 1

Soma dostermos deuma PA

Dada uma seqncia qualquer (a1, a2, a3, ..., an 1, a n),indica-se por Sna soma dos seus n termos:

Sn= a1+ a2+ a3+ ... + an 1+ an

De um modo geral, para uma PA (a1, a2, a3, ..., an 1, an),tem-se:

Sn= a1+ a2+ a3+ ... + an 1+ an

Sn= an+ an 1+ an 2+ ... + a2+ a1

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Adicionando-se membro a membro, vem:

2 . Sn= a1+ an+ a2+ an 1+ ... + an 1+ a2+ an+ a1

Observe que a soma dos ndices sempre igual a(1 + n). Portanto, essas n somas so todas iguais aa1+ ane conclui-se que:

2 Sn= (a 1+ an) . n Sn=( )a a nn1

2

+ .

01. Interpole 5 meios aritmticos entre 4 e 38.

Obtm-se a razo da PA em que:

a1= 4

an= 38

n = 7 (k = 5, n = k + 2). Substituindo-se na frmula dotermo geral, tem-se:

an= a1+ (n 1) r

38 = 4 + (7 1) r

38 = 4 + 6r

6r = 42 r = 7

Logo, a PA :

(4, 3, 10, 17, 24, 31, 38)

k = 5 meios aritmticos

02. Quantos nmeros inteiros e posit ivos, formadoscom trs algarismos, so mltiplos de 13?

Nmeros de trs algarismos, ou seja, nmeros entre 100 e999, inclusive. Mltiplos de 13, portanto divisveis por 13.

Clculo de a1

:

100 13

9 7

a1= 7 . 13 + 13 a1= 91 + 13 a1= 104

Clculo de an:

999 13

89 76 11

an= 999 11 an = 988

Logo: a1= 104, an = 988 e r = 13.

Substituindo na frmula do termo geral an= a1+ (n 1) r,tem-se:

988 = 104 + (n 1) . 13

988 = 104 + 13n 13

988 = 13n + 9113n = 897 n = 69

Ento, existem 69 nmeros inteiros e positivos formadoscom 3 algarismos.

03. Inscrevendo-se nove meios aritmticos entre 15 e45, qual o sexto termo da PA?

Inicialmente, obtm-se a razo da PA em que:

a1= 15

an= 45

n = 11 (k = 9, n = k + 2). Substituin do na frmula do termogeral, tem-se:

an= a1+ (n 1) r

45 = 15 + (11 1) r

45 = 15 + 10r

10r = 30 r = 3

A seguir, determina-se o sexto termo, assim:

a6= a1+ 5r

a6= 15 + 5 . 3

a6= 15 + 15 a6= 30

Ento, o sexto termo : a6= 30.

04. Calcule a soma dos 35 termos iniciais da PA (2, 8,14, 20, ...).

A soma dos n termos iniciais de uma PA dada por:

Sn=( )a a nn1

2

+.

Portanto, a soma dos 35 termos iniciais dada por:

S35=( )a a1 35 35

2

+ .(I )

Da PA, temos:

a1= 2

r = a2 a1 r = 8 2 r = 6

n = 35

Logo calcula-se a35:

a35 = a1+ 34r

a35= 2 + 34 . 6

a35= 2 + 204 a35= 206

Retornando em (I), obtm-se:

S35

=( )2 20 35

2

+ .

10 4

1

S35=208 35

2

.

S35= 3 640

Dada uma seqncia qualquer (a1, a2,..., an 1, an), pode-se dizer que a soma

dos n termos de uma PA igual ao pro-duto do nmero de termos (n) pela m-dia aritmtica entre os extremos a1e an.

Cons iderando que os te rmos ap e aq so eqidis-

tantes dos extremos a1e ane, portanto,

ap+ aq= a1+ an(p + q = 1 + n), ento:

S =( )a a np q+

2

Interpolar: inser i rc e r t o n m e r o d e

termos (meios arit-mt icos) ent re osdois ext remos daPA.

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01 . Escreva uma PA de:

a) cinco termos, em que o 1 termo (a1) 10 e a razo (r) 7.

b) seis termos, em que a1= 4 e r = 5.

c ) o it o t ermos, em que a1= 13 e r = 4.

d) quatro te rmos, em que a1= b + 3 e r = b.

02 . Determine o valor de x, tal que os nmeros x2, (x + 2)2 e

(x + 3)2formem, nessa ordem, uma PA.

a1= 10 e r = 7, logo a PA :

(10, 17, 24, 31, 38)

Sendo a1= 4 e r = 5, ento a PA :

(4, 1, 6, 11, 16, 21)

Sendo a1= 13 e r = 4, ento a PA :(13, 9, 5, 1, 3, 7, 11, 15)

Sendo a1= b + 3 e r = b, ento a PA :

(b + 3, 2b + 3, 3b + 3, 4b + 3)

Sabendo que:

a2=a a1 3

2

+, tem-se:

(x + 2)2=( )x x2

23

2

+ +

2( x2+ 4x + 4) = x2+ x2+ 6x + 9

2x2+ 8x + 8 = 2x2+ 6x + 9

8x 6x = 9 8

2x = 1 x = 12

Produto notve l : oquadrado da soma dedois termos igual aoquadrado do primeirotermo; mais duas ve-zes o produto do pri-

me i ro pe lo segundotermo; mais o quadra-do do segundo termo.

Assim:

(a + b)2= a2+ 2ab + b2

10( )a a1 20 20

2

+ .= 15 a1+ a20=

32

1

A soma dos ndices 1 + 20 = 6 + 15, portanto:

a1+ a20= a6+ a15, ou seja, a6+ a15= 32

.

05 . A soma dos vinte primeiros termos de uma progres-so aritmtica 15. Calcule a soma do sexto termodessa PA com o dcimo quinto termo.

S20= 15

a6+ a15= ?

S20=

( )a a1 20 202

+ .

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03. Se a seqncia (1, x + 3, 3x + 1, ...) uma PA, determine ovalor de x e a razo.

04. Com base nos estudos das seqncias, correto afirmar:

01) Seja a seqncia definida por an = n . (1)n + 1, com

n 1. A seqncia uma PA de razo r = 3.

02) Os termos de uma seqncia satisfazem a condio:

an= 1 +1n

, n N*. Ento, a5 a1=45

.

04) Sabendo-se que os nmeros 3x 1, x + 3 e x + 9,nessa ordem, formam uma PA, ento x = 1.

08) Dada a PA

7

3

11

4, , ...

, ento o termo geral da PA :an=

5 23

12

n + .

16) O dcimo termo da PA (4, 10, . . .) a10 = 58.

32) Numa PA de razo 3 e st imo termo 21, o primeirotermo 3.

05. Calcule a soma das afirmativas verdadeiras.

01) Numa PA de razo 5 e primeiro termo 4, o termo igual a44 ocupa a nona posio.

02) Sabendo-se que a1= 5, an= 16 e r = 3, ento a PAtem oito termos.

04) Numa PA de 37 termos, o primeiro a1 = 1 503 e oltimo an= 2 077. Ento o termo central a19 = 3 580.

08) Interpolando k meios aritmticos entre 12 e 34, obtm-

se uma PA de razo 12

. Portanto, k = 41.

16) A soma dos 30 primeiros termos da PA (2, 5, ...) S30 = 1 365.

06. Determine a PA em que a10 = 7 e a12 = 8.

Sabe-se que:

a2= a a1 3

2

+, ento:

x + 3 =1 3 1

2

+ +x

2x + 6 = 3x + 2

3x + 2 = 2x + 6

x = 4

a1= 1

a2= x + 3 a2= 4 + 3 a2= 7

Sabendo que:

r = a2 a1, tem-se:

r = 7 1 r = 6

Portanto, x = 4 e r = 6.

60 (04+08+16+32)

19 (01+02+16)

a10= a1+ 9r a1+ 9r = 7

a12= a1+ 11r a1+ 11r = 8

a1+ 9r = 7 a 1+ 9r = 7

a1+ 11r = 8 a1+ 9 .

15

2= 7

a1 9r = 7 a 1= 7 +135

2a1+ 11r = 8

a1= 14922r = 15

r = 152

Portanto, a PA : 1492

134

2

119

2, , , . . .

.

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07 . Determine a PA em que o 6 termo 7 e o 10, 15.

08 . Numa PA, a10 = 130 e a19 = 220. Calcule o quarto termo

dessa PA.

09 . Numa PA, a2+ a6= 20 e a4+ a9= 35. Escreva a PA.

10 . A soma de trs nmeros em PA crescente 21 e a soma deseus quadrados 165. Determine os trs nmeros.

Seja a PA

(a1, a2, ..., an 1, an),

vale a relao:ap= aq+ (p q) r

a2+ a6= 20 a1+ r+ a1+ 5r = 202a1+ 6r = 20

a4+ a9= 35 a1+ 3r + a1+ 8r = 352a1+ 11r = 35

2a1 + 6r = 202a1+ 11r = 35

5r = 15 r = 32a1+ 18 = 20

2a1= 2 a1= 1

Logo, a PA : (1, 4, 7, 10, ...).

a10= 130

a19= 220

a19= a10+ 9r

220 = 130 + 9r

9r = 90 r = 10

a10= a4+ 6r

130 = a4+ 60 a4= 70

Portanto: a4= 70.

a6 = 7

a10= 15

Fazendo p = 10 e q = 6, tem-se:

a10= a6+ (10 6)r

15 = 7 + 4r

4r = 8

r = 2Como, a6= 7, ento:

a1+ 5r = 7

a1+ 10 = 7 a1= 3

Logo, a PA : (3, 1, 1, 3, 5, 7, ...).

(a1, a2, a3) (x r, x, x + r)

x r + x + x + r = 21 (I)

(x r)2+ x2 + (x + r)2= 165 (II)

De (I) obtm-se x = 7. Substituindo em (II), tem-se:

(7 r)2+ 72+ (7 + r)2= 165

49 14r + r2+ 49 + 49 + 14r + r2= 165

2r2= 18

r2= 9 r = 3

Como a PA crescente, ento r = 3 e x = 7.

Logo, a PA : (4, 7, 10).

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13. As medidas dos lados de um tringulo so expressos porx + 1, 2x e x 2 5 e esto em PA, nessa ordem. Calcule opermetro do tringulo.

11. Determine trs nmeros em PA crescente, sabendo que oseu produto igual soma dos trs e que o maior, igual somados dois menores.

12. Numa PA, a1= 3 e r = 5, calcule a soma dos 20 primeirostermos.

a20= a1+ 19ra20= 3 + 19 . 5

a20= 3 + 95 a20= 92

S20=( )a a1 20 20

2

+

10

S20=( ) +3 92 20

2

.

1S20= 890

(x + 1, 2x, x2 5) a2=a a1 3

2

+

2x =x x+ + 1 5

2

2

x2+ x 4 = 4xx2 3x 4 = 0 x1= 1 ou x2= 4

Como x + 1, 2x e x2 5 so as medidas dos lados de um tringulo, x = 1 no nos interessa.

Para x = 4, tem-se:

a1= x + 1 a1= 5

a2= 2x a2= 8

a3= x2 5 a3= 11

Portanto, o permetro do tringulo 2p = a1+ a2+ a3 2p = 5 + 8 + 11 2p = 24 u.c.

(x r, x, x + r)

( x r) . x (x + r ) = x r + x + x + r ( I)

x + r = x + x r ( II )

Da equao (I), tem-se:(x r) . x (x + r) = 3x

(x r) . (x + r ) = 3 ( I II )

Da equao (II), tem-se:

x + r = 2x r

2x r = x + r

x = 2r

Substituindo-se em (III), vem:

(2r r ) . ( 2r + r) = 3

r . 3r = 3

r2= 1 r = 1

Como a PA crescente, r = 1 e x = 2.

Portanto, a PA : (1, 2, 3).

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14 . Hoje um atleta nada 500 metros e, nos prximos dias, eledever nadar uma mesma distncia a mais do que nadou no diaanterior. No 15 dia ele quer chegar a nadar 3 300 metros.Determine:

a) qual a distncia que ele dever nadar a mais por dia?

b) qual a distncia que dever nadar no 10 dia?

15. Determine a razo de uma PA com 10 termos, sabendo que asoma dos dois primeiros 5 e a soma dos dois ltimos, 53.

16 . (UNICAMPSP) Os lados de um tringulo retngulo estoem progresso aritmtica. Sabendo-se que a rea do tringulo 150, calcule as medidas dos lados desse tringulo.

a) 1 dia a1= 500...............................15 dia a15= 3 300

a15= a1+ 14r

3 300 = 500 + 14r

14r = 2 800 r = 200

Portanto, o atleta dever nadar 200 metros a mais por dia.

b) a10= a1+ 9r

a10

= 500 + 9 . 200

a10= 500 + 1 800 a10= 2 300

Portanto, o atleta dever nadar 2 300 metros no 10 dia.

a1+ a2= 5 a1+ a1+ r = 5 2a1 + r = 5

a9+ a10= 53 a1+ 8r + a1+ 9r = 53 2a1+ 17r = 53

2a1+ r = 5

2a1+ 17r = 53

16r = 48 r = 3

A rea de um tringuloretngulo igua l aoproduto dos cate tos,dividido por 2.

Teo rema de Pitgoras:

a2= b2+ c2S = 150

S =( )x x r

2

( )x x r2

= 150 (I)

Aplicando o teorema de Pitgoras, tem-se:

(x + r)2= x2+ (x r)2

x2+ 2xr + r2= x2+ x2 2xr + r2

x2 4xr = 0 (II)

Resolvendo o sistema:

x (x r) = 300

x2 4xr = 0 x (x 4r) = 0 x = 0 ou

x 4r = 0 x = 4r

Como x a medida do lado de um tringulo, ento x = 0 no serve.4r (4r r) = 300

12 r2= 300

r2= 25 r = 5 (r = 3 no serve)

Como x = 4r, ento x = 20. Logo, os lados do tringulo so: 15, 20, 25.

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17. Numa estrada existem dois telefones instalados no acosta-mento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles sero coloca-dos mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones conse-cutivos sempre a mesma distncia. Determine em qual marcoquilomtrico dever ficar o dcimo primeiro telefone.

18. Interpolam-se n meios aritmticos entre 10 e 20, e (n + 1)meios aritmticos entre 40 e 50. O quociente entre a razo daprogresso formada no primeiro caso e a razo do segundo

igual a 87

. Quantos termos tem cada uma das progresses?

19. Determine a soma dos 60 primeiros termos da progresso

aritmtica em que: 2 11

3 12

1 3

2 5

a a

a a

+ = =

a1= 3

an= 88

n = 18 (k = 16, n = k + 2)an= a1+ (n 1) r

88 = 3 + (18 1) r

88 = 3 + 17r

17r = 85 r = 5

a11 = a1+ 10r

a11 = 3 + 10 . 5

a11 = 3 + 50 a11 = 53

Logo, o dcimo primeiro telefone ficar no quilmetro 53.

2a1+ a1+ 2r = 11 3a1+ 2r = 11

a1+ r 3 (a1+ 4r) = 12 2a1 11r = 12

3a1+ 2r = 11

6a1+ 4r = 22

2a1 11r = 12 6a 1 33r = 36

29r = 58

29r = 58 r = 2

3a1+ 4 = 11

3a1= 15 a1= 5

a60= a1+ 59r

a60= 5 + 59 . 2

a60= 5 + 118 a60= 113 30

S60=( ) +5 113 60

2 1

s60= 108 . 30 S30= 3 240

1 ca so: a 1= 10 2 caso: a 1= 40

an= 20 a 2= 50

n1= n + 2 n 2= n + 1 + 2 n2= n + 3

20 = 10 + (n + 2 1) r1 50 = 40 + (n + 3 1) r2(n + 1)r1= 10 (n + 2 ) r 2= 10

r1=10

1n +r2=

10

2n +

r

r1

2

8

7=

10

1

10

2

8

7

n

n

+

+

=

10

1

2

10

8

7n

n

++

=.

8n + 8 = 7n + 14

n = 6

1

1

Portanto, o nmero de termos de cada progresso 8 e 9.

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19/70

20 . A razo de uma PA igual a 8% do primeiro termo. Saben-do que o 11 termo vale 36, determine o valor da soma dos 26primeiros termos dessa PA.

21 . No conjunto A = {x N / 51 x 1 500}, h quantosnmeros no mltiplos de 11?

22 . (PUCSP) Seja o tringulo ABC tal que AB = AC . Se asmedidas, em centmetros, da altura AH , do lado AB e da baseBC , nessa ordem, constituem uma progresso aritmtica derazo 2 cm, qual a rea do tringulo ABC?

8% =8

100

r = 8% de a1 r =8

100. a1 r =

2

251a

a11 = 36

a11 = a1+ 10r r =

2 20

25

.

36 = a1+ 10 .2

251a r = 8

5

36 = a1+4

51a

180 = 5a1+ 4a19a1= 180 a1= 20

a26= a1+ 25r

a26= 20 + 25 .8

5

a26= 20 + 40 a26= 60

S26=( )20 60 26

2

+

S26= 80 . 13 S26= 1 040

13

1

5

1

2

5

4

5

A = {51, 52, 53, 54, ..., 1 500}

O nmero de elementos de A :n (A) = 1 500 50 n (A) = 1 450

Os mltiplos de 11 pertencentes ao conjunto A formam a PA (55, 66, 77, ..., 1 496), em que se tem:

a1= 55

r = 11

an= 1 496 Logo: a

n= a

1+ (n 1) r

1 496 = 55 + (n 1) . 11

1 496 = 55 + 11n 11

11 . n = 1 452 n = 132

Portanto, em A existem 1 450 132 = 1 318 nmeros no mltiplos de 11.

( )AH AB BC , , PA r = 2

Se AB = x, tem-se: x 2, x, x + 2 uma PA

No tringulo ABH, tem-se:

AB AH BH 2 2 2

= +

Substituindo os valores, tem-se:

x2= (x 2)2+x +

2

2

2

x2 12 20 = 0

Logo, x1= 2 (no serve) ou x2= 10

Portanto, x = 10

Substituindo x por 10, obtm-se:

BC= 12 e AH= 8 S =BC AH .

2

S =12 8

2

. S = 48 cm2

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20/70

23. (FUVESTSP) Resolva a equao:

log2x + log2x2+ log2x

3+ ... + log2x10 0= 15 150

24. Num rali, os pilotos devem percorrer 100 km na primeiraetapa, 120 km na segunda, 140 km na terceira, 160 km naquarta e assim por diante.

a) Quantos quilmetros esses pilotos devero percorrer

na dcima sexta etapa?b) Q u a n t os q ui l m et r o s s e r o p e r c or r i d os n es s a s

dezesseis etapas?

25. Observe a figura ao lado:

a) Calcule a rea do tr ingulo OAB.

b) O intervalo [0,1] foi d ivid ido em cempartes iguais, formando 99 retngu-l o s . C a l c u l e a r e a d a r e g i oformada por esses retngulos.

log2 (x . x2. x3. ... . x10 0) = 15 150

log2x(1 + 2 + 3 + ... + 100)

= 15 150

Observe que o expoente igual soma dos termos da PA(1, 2, . . . , 100) em que:

a1= 1an= 100

n = 100

r = 1

S10 0=( )1 100 100

2

+ .

S10 0= 101 . 50 S10 0= 5 050

Portanto: log2x5 0 5 0 = 15150

5 050 . log2x = 15 150

log2x = 3 x = 23

x = 8

Propriedade doslogaritmos:

logba + logbc = logba . c

a) 1 etap a 100 km

2 etapa 120 km

3 etapa 140 km..............................

16 etapa ?

(100, 120, 140, ...) PA

a1= 100r = 20

n = 16

a16= a1+ 15r

a16= 100 + 15 . 20

a16= 100 + 300 a16= 400 km

a ) rea do t ri ngu lo OAB.

S =OA AB .

2 S =

1 1

2

. S = 0,5 u.a.

b) S = 0 ,49 5 u .a .

b) S16=( )a a1 16 16

2

+

S16=( )100 400 16

2

+ .

S16= 4 000 km

50

1

O

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26 . A figura seguinte representa um corte de escada maciade 20 degraus. A base de cada degrau um retngulo de20 cm x 50 cm e a diferena de altura entre degraus consecuti-vos 10 cm. Calcule o volume da escada em m3.

27 . A soma dos n termos de uma PA n (n 2), qualquer que

seja n. Determine o quinto termo dessa PA.

28 . Num salo h 800 pessoas. Se todas resolverem cumpri-mentar-se, quantos cumprimentos sero trocados?

O volume do paraleleppedo o produto das trs di-menses:

V1= 50 x 20 x 10 = 10 000 cm3= 0,01 m3

O volume do 2 degrau o dobro de V1, pois ele con-serva a largura e a profundidade, porm duplica a altu-ra. Logo V2= 2V1= 0,02 m

3

Da mesma forma:

V3= 3V1= 0,03 m3

V4= 4V1= 0,04 m3

..............................

V20= 20V1= 0,20 m3

Ento, o volume V :

V = V1+ V2+ V3+ ... + V20V = 0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 0,20, em que as parcelas,nessa o r dem, so t e r mos de uma PA, t a l que a1= r = 0,01 e a20= 0,20.

Logo:

V =( )0,01 0,20 20

2

+ . V = 2,1 m3

Sn= n (n 2)a1+ a2+ a3+ ... + an = n (n 2), n

Fazendo n = 1, tem-se:

a1= 1 (1 2) a1= 1

Fazendo n = 2, tem-se:

a1+ a2= 2 (2 2) a1+ a2= 0

Como a1= 1, tem-se:1 + a2= 0 a2= 1

Ento, a razo da PA :r = a2 a1= 1 (1) = 2

Para se obter o quinto termo, lembrar que:a5= a1+ 4ra5= 1 + 4 . 2 a5= 7

Inicialmente, calcula-se o volume do primeiro degrau (de baixopara cima).

Se numerarmos as pessoas de 1 a 800, a primeira pessoa trocar 799cumprimentos; a segunda pessoa trocar 798 cumprimentos (excludoaquele trocado com a primeira pessoa); a terceira pessoa trocar 797cumprimentos; ...; a pessoa nmero 799 trocar um cumprimento.O total de cumprimento trocados ser a soma dos termos da seqncia(799, 798, 797, ..., 1), que uma PA de 799 termos com a1 = 799 ean= 1. Logo:

S799=( )a a1 799 799

2

+ . S79 9=

( )799 1 799 2

+ .

S799= 319 600

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Progresses geomtricas

Progressogeomtrica:PG

Aplicaes

Classificao

Exemplos de progresses geomtricas:

(1, 3, 9, 27, 81, ...) em que a1= 1 e q = 3

6, 3, 3

2

3

4, , ...

em que a1= 6 e q =

1

2

(40, 20, 10, 5, ...) em que a1= 40 e q = 12

(3, 3, 3, 3, ...) em que a1 = 3 e q = 1

(2, 4, 8, 16, 32, ...) em que a1= 2 e q = 2

Progresso geomtrica (PG) a seqncia numrica emque cada termo, a partir do segundo, igual ao anteriormultiplicado de um nmero fixo, chamado razo da pro-gresso.

Portanto, por definio, uma PG uma seqncia dadapela seguinte frmula de recorrncia:

a1= aan= an 1. q; n N, n 2

ou seja, uma seqncia da forma:

(a, aq, aq2, aq 3, ...)

As progresses geomtricas podem ser classificadas da

seguinte maneira: PG crescente: so as progresses em que cada

termo maior que o anterior. Isso pode ocorrer deduas maneiras:

1) PG com termos posit ivos:

an > an 1 a

an

n 1> 1 q > 1

2) PG com termos negativos:

an> an 1 0 1

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Numa PG (a1, a2, a3, ..., an 1, an, ...) de razo q,

aplicando a definio, tem-se:

a2= a1. q

a3= a2. q

a4= a3. q

..............

an= an 1. q

Multiplicando essas (n 1) igualdades, tem-se:

a2. a3. a4. .. .. an= a1. a2. a3. a4. .. .. qn 1

Portanto:

an= a1. qn 1

Propriedadesdos termosde uma PG

Frmula dotermo geral

Interpolaogeomtrica

PG constante: so as progresses em que cadatermo igual ao anterior.

an= an 1 a

an

n 1= 1 q = 1

PG alternante ou oscilante: so as progressesem que cada termo tem sinal contrrio ao do termoanterior. Isso ocorre quando:

a

an

n 1< 0 q < 0

Notaes especiai s: quando se dese jaobter uma PG de trs termos, utiliza-sea seguinte notao:

x

q x xq, ,

Qualquer te rmo de um a PG pode se r escr it o emfuno de a

1e q, lembrando que:

a2= a1. q

a3= a1. q2

a4= a1. q3

................

a10 = a1. q9

................

an= a

1. qn 1

Em qualquer seqncia f inita (a1, a2, a3, ..., an 1, an),os termos a1 e an so os extremos e os demais, osmeios. Interpolar k meios geomtricos entre os nme-ros a e b significa obter uma PG de extremos a 1= a ean= b, com n = k + 2 termos. Portanto, para se deter-

minarem os meios geomtricos de uma PG, necess-rio calcular a razo q.

Sabendo que:

a1= a

an= b

n = k + 2

an = a1. qn 1, tem-se: b = a . q(k + 2 1)

qk + 1= ba

q = ba

K + 1

cancelam-se

Numa PG fini ta , o produto dos ex trem os igua l aoproduto dos termos eqidistantes dos extremos.

Por exemplo, seja a PG:

(1, 3, 9, 27, 81, 243)

Observe que:

a1. a6= 1 . 243 = 243

a2. a

5= 3 . 81 = 243 a

1. a

6= a

2. a

5= a

3. a

4a3. a4= 9 . 27 = 243

Se n mpar, o te rmo eqidi stan te dosextremos denomina-se termo central outermo mdio.

Mdia geomtrica: numa PG, cada termo, a part ir dosegundo, mdia geomtrica entre o termo antece-dente e o conseqente da seqncia, ou seja, consi-derando trs termos consecutivos ap 1, ap, ap + 1,tem-se:

(a 1, a2, a3, ... ap 1, ap, ap + 1, ...)

(ap)2= ap 1. ap + 1

Por exemplo, seja a PG:

(5, 10, 20, 40, 80, 160)

Note-se que:

10 2= 5 . 20, portanto (a2)2= a1. a3

20 2= 10 . 40, portanto (a3)2= a2. a4

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01. Qual o nmero que deve ser adicionado a 1, 9 e 15para termos, nessa ordem, uma PG?

O nmero que deve ser adicionado x. Portanto,

(1 + x, 9 + x, 15 + x), nessa ordem, deve formar uma PG.

Sabendo que:

a

a

a

a2

1

3

2= , tem-se:

9

1

15

9

++

=++

x

x

x

x (9 + x)2= (1 + x) . (15 + x)

81 + 18x + x2= 15 + x + 15x + x2

18x 16x = 15 81

2x = 66

x = 33

Portanto, o nmero que deve ser adicionado 33.

02. Determine o termo geral da PG (1, 5, ...).

a1= 1

q =a

a2

1

q = 51

q = 5

an= a1. qn 1

an= 1. 5n 1

an= 5n 1

03. Numa PG de 4 termos, a razo 5 e o ltimo termo 375. Calcule o primeiro termo dessa PG.

n = 4

q = 5

an= 375 a4= 375

an= a1. qn 1

a4= a1. q3

375 = a1. 53

a1=375

125 a1= 3

04. Numa PG, o 2 termo 8 e o 5 termo 512. Deter-mine essa PG.

a2= 8

a5= 512

Sabendo que qualquer termo pode ser escrito em funode a1e q, tem-se:

a2= a1. q a1. q = 8 (I)

a5= a1 . q4

a1. q4= 512 (II)

Dividindo a equao (II) pela equao (I), vem:

a q

a q1

4

1

512

8

.

.= q3= 64

q = 643

q = 4

Substituindo q = 4 na equao (I), tem-se:

a1. 4 = 8 a1= 2

Portanto, a PG : (2, 8, 32, 128, 512).

05 . A soma de trs nmeros em PG 39 e o produtoentre eles 729. Determine esses nmeros.

Trs nmeros em PG

x

q x xq, ,

Forma-se o sistema:x

q x xq I

x

q x xq II

+ + =

=

39

729

( )

. . ( )

Da equao (II), obtm-se x = 9.

Substituindo em (I), vem:9

q + 9 + 9q = 399 + 9q + 9q2= 39q

9q2 30q + 9 = 0

Dividindo ambos os membros por 3, tem-se:

3q2 10q + 3 = 0

= 64 q1= 3

q =10 8

6

q2= 13

Para x = 9 e q = 3, tem-se:

a1= x

9 a1=

9

3 a1 = 3

a2= x a2= 9

a3= xq a3= 9 . 3 a3= 27

Para x = 9 e q =

1

3 , tem-se:

a1=x

9 a1=

91

3

a1= 27

a2= x a2= 9

a3= x . q a3= 9 .1

3 a3 = 3

Portanto, os nmeros so: 3, 9 e 27.

06. Entre os nmeros 18 e b foram inseridos dois termos,obtendo-se uma PG de razo 3. Qual o valor de b?

Sabe-se que:

a1= 18

an= b

k = 2 n = 4 (n = k + 2)

q = 3

Substituindo na frmula do termo geral: an = a1. q

n 1

,tem-se:

b = 18 . 33

b = 18 . 27 b = 486

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De um modo geral, para uma PG (a1, a2, a3, a4,..., an 1, an),a soma dos termos :

Sn= a1+ a2+a3+ ... + an 1+ an

Multiplicando ambos os membros pela razo q:

qS n= a1. q+ a2. q + ... + a n 1. q + an. q

qS n= a2 + a3 + ... + an + an . q

Adicionando a1a ambos os membros, vem:

a1+ qS n= a1+ a2+ a3+ ... + an+ an. q

Sn

Ento:

a1+ q . Sn= Sn+ an . q

qS n Sn = an. q a1

Sn(q 1) = an. q a 1

Sn=a q a

qn .

1

1, q 1

Soma dostermos deuma PG finita

Soma dostermos de umaPG infinita

07. Determine a razo e o primeiro termo da PG alter-nante, em que o quinto termo 16 e o stimo termo, 64.

Como a PG alternante, a razo negativa, ou seja,q < 0.

a

a5

7

16

64

==

Dados dois termos quaisquer de uma PG,vale a relao:

an= am. qn m

Aplicando a relao, tem-se:

a7= a5. q2

64 = 16 . q2

q2= 4 q = 2

Como a PG alternante, ento: q = 2.

Sendo: a 5= a1. q4

, vem que:16 = a1. (2)4

16 . a1= 16 a1= 1

Portanto, a1= 1 e q = 2.

Se q = 1, en to a PG cons tante:

(a, a, a, ...).

Nesse caso, a soma dos n primeiros termos :

Sn= n . a

Em Sn, fazendo an= a1. qn 1, tem-se:

Sn=a q q a

q

n1

11

1

. .

Sn=a q a

q

n1 1

1

.

Sn=( )a q

q

n1 1

1

.

0

Considere-se a seqncia:

1

2

1

4

1

8

1

2, , , ..., , ...

n

Na reta real tem-se:

Observe-se que:

O va lo r de n pode se r to grande quan to se dese-ja ; po r is so di z- se que n tende a ma is in fi ni to (+).

Pode-se ap roximar de zero com a expresso 12n

tanto quanto se quer; por exemplo, quando se quer

que 12n es te ja mais prx imo de zero do que

0,00001, basta atribuir a n o valor 17 e se obtm:

1

2

1

131 07217= = 0,000007629; por isso se diz que

1

2n tende a zero quando n tende a mais infinito, ou

ainda, que o limite da expresso 12n

para n tendendo

a mais infinito zero. Simbolicamente:

li m 1

2n

= 0

n

De um modo geral, toda PG de termos reais (a1, a2, a3,a4, ...) e com razo compreendida entre 1 e 1 (1 < q < 1)apresenta os termos tendendo a zero (a n0).

Assim, a soma dos n termos de uma PG :

Sn=a q a

qn

1

1, q 1

Portanto:

Sn=a q

q

a

qn

1 11

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26/70

Produtodostermos deuma PG

Simbolicamente:

lim Sn= S =a

q1

1 n

O nmero S denomina-se limite da soma dos termos da PG.

Existe o limite da soma dos termos de umaprogresso geomtrica de razo q se, e so-mente se, 1 < q < 1.

Considere-se a PG (a1, a1q, a1q2, a1q

3,...). Indica-se oproduto dos seis primeiros termos dessa PG assim:

P6= a1. a1q . a1q2. a1q

3. a1q4. a1q

5

P6= a16. q15

Generalizando, o produto dos n primeiros termos da PG(a 1, a2, a3, a4, a5, ..., an), de razo q, dado por:

Pn= a1. a2. a3. a4. ... . an, ou seja:

Pn= a1. a1q . a1q2

. a1q3. ... . a1q

n 1

Logo:

Pn= (a1. a1. a1. ... . a1) . (q0. q1. q2. q3. ... . qn 1)

n fatores n fatores

Pn= a1n. q0 + 1 + 2 + 3 + ... + (n 1) (I )

Note-se que a soma 0 + 1 + 2 + 3 ... + (n 1) a somados n primeiros termos da PA (0, 1, 2, 3, ...).

Calculando a soma dos n primeiros termos dessa PA,tem-se:

Sn=( )0 1

2

+ n n Sn=

( )n n12

Substituindo-se em (I), obtm-se:

Pn= a1n.

( )

qn n1

2

01. Calcule a soma dos dez pr imeiros termos daPG (3, 6, 12, ...).

Tendo:

a1= 3

q =a

a2

1

6

3= q = 2

n = 10

Como q 1, aplica-se a frmula: Sn=( )a qq

n1 1

1

S10=( )3 2 1

2 1

10

S10=( )3 1 024 1

1

S10= 3 069

02. A soma dos n primeiros termos de uma PG 5 115.

Determine n, sabendo que a1= 5 e q = 2.Tendo:

Sn= 5 115

a1= 5

q = 2 (q 1)

Aplica-se a frmula: Sn=( )a qq

n1 1

1

5 115 =( )5 2 12 1

n

2n 1 = 1 023

2n = 1 024 (decompondo 1 024 em fatores primos, ob-tm-se: 1 024 = 210)

Logo: 2n= 210 n = 10

03. Calcule a soma dos infinitos termos da PG 5 5

2

5

4, , , ...

.

Tendo:

a1= 5

q =a

a2

1

5

25

= q = 52

1

5. q =

1

2

Como 1 < q < 1, ento existe a soma S. Pela frmula:

S = lim S n=a

q1

1 S = 5

1 1

2n

S = 51

2

S = 10. Portanto, o limite da soma 10.

04 . A soma dos infinitos termos da PG x x x

, , , ...2 4

5.

Determine x.

Sendo:a1= x

q =a

a

x

x2

1

2= q = xx2

1. q =

1

2

S = 5

Como 1 < q < 1, existe a soma. Pela frmula: S =a

q1

1

5 = x

1

1

2

5 = x1

2

x = 52

Portanto: x = 52

.

Como an 0, quando n tende a mais infinito (n ),

ento a expressoa q

qn

1 tambm tende a zero. Logo, a

expresso:

Sn=a q

q

a

qn

1 11 , tende a

a

q1

1 , quando n + .

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01. As sucesses a seguir so progresses geomtricas. De-termine a razo.

a ) (2, 6, 18 , 54, .. .)

b) 21 7 7

3, , , ...

c)

+...,

4

13,

2

1,

2

13

d) 32

243

16

81

8

27, , , ...

e) 1

5

1

5

1

510 8 6, , , ...

q = aa2

1 q = 62 q = 3

q =a

a2

1

q = 721

q =1

3

q =a

a2

1

q =

1

2

3 1

2

q = 1

2

2

3 1.

q = 13 1

(racionalizando)

q = ( )( ) ( )

1 3 1

3 1 3 1

+ +

q =3 1

3 1+

q =

3 1

2+

q =a

a2

1

q =

1

51

5

8

10

q = 15

5

18

10

. q = 52

05. Calcule o produto dos catorze primeiros termos daPG (128, 64, 32, ...).

Sendo: a1= 128

q =a

a2

1

64

128= q = 1

2

n = 14

Pela frmula, tem-se:

P = a1n.

( )q

n n 12

1 3

q = aa

2

1

q =

16

8132

243

q = 1681

24332

. q = 32

1 2

Logo:

P14= 12814.

( )1

2

14 14 1

2

P14= (27)14. (21)91

P14

= 298. 29 1 P14

= 27

Portanto: P14= 128.

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28/70

02. Calcule o quarto termo de uma PG, cujo primeiro termo

9b e a razo q = 23

a2b.

03. Calcule o primeiro termo de uma PG, em que o quintotermo vale 405 e a razo 3.

04. Calcule a razo de uma PG em que o quarto termo 192 eo primeiro, 3.

05. Numa PG, cujo primeiro termo 5 e a razo 3, calcule aordem do termo 405.

Sendo:a1= 9b

q = 2

3a2b

a4= ?

Pela frmula: an= a1qn 1

a4= a1. q3

a4= 9b .

2

32

3

a b

a4= 9b .

8

276 3a b

a4= 8

3a6b4

Tendo:

a5= 405 n = 5

q = 3

a1= ?

Pela frmula: an= a1. qn 1

a5= a1. q4

405 = a1. 34

81a1= 405 a1=405

81 a1= 5

Sendo:

a4= 192 n = 4

a1= 3

q = ?

Pela frmula: an= a1qn 1

a4= a1. q3

192 = 3 . q3 q3= 64 q = 643 q = 4

Sendo:

a1 = 5

q = 3

an= 405 n = ?

Pela frmula: an= a1. qn 1

405 = 5 . 3n 1

3n 1= 81

3n 1

= 34

n 1 = 4 n = 5

Logo, 405 o quinto termo.

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06 . Com base nas seqncias, determine a soma das proposi-es verdadeiras:

01) Em toda PG, sendo q 0 e a 10, o quociente entre umtermo qualquer e o seu antecedente igual razo.

02) Em toda PG, qualquer termo, exceto os extremos, mdia geomtrica entre o seu antecedente e seu con-seqente.

04) Em uma PG finita, o produto de dois termos eqidistantesdos extremos igual ao produto dos extremos.

08 ) Se a1> 0 e q > 1, ento a PG crescente.

16 ) Se a1> 0 e 0 < q < 1, ento a PG decrescente.

32) A PG (x, 3x, 9x, 27x, ...) crescente se, e somente se,x < 0.

07 . Observe a seguinte PG:

(a 1, a1q, a1q2, a1q

3, a 1q4, ..., a1q

k 1, ..., a1qn 1, ...)

a2 a3 a4 a5 ak an

Note, por exemplo, que o termo a7pode ser expresso em fun-

o de a1e q, isto , a 7= a1q6. Expresse:

a) o termo a7em funo de a3e q;

b) o termo a10 em funo de a4e q;

c) o termo a20 em funo de a13 e q;

d) o termo anem funo de ak, q, n e k.

08 . Determine a PG, cujo sexto termo 5

8e o nono, 5

64.

31 (01+02+04+08+16)

a7= a3. q4

a10 = a4. q6

a20= a13. q7

an= ak. qn k

Tendo:

a6=5

8

a9=5

64

Pela relao: an= akqn k

a9= a6. q3

5

64

5

8

= . q3

q3= 564

8

5. q3=

1

8 q =

1

2

Como a6= a1. q5, tem-se:

5

8= a1.

1

2

5

a1 =5

8

32

1. a1= 20

Logo, a PG : 2 0 10 5 5

2

5

4, , , , , . . . .

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09. Determine trs nmeros em PG, sendo a soma 147 e asoma do primeiro com o terceiro 119.

10. Na PG (a1, a2, a3, ..., a41 ), tem-se a1. a41 = 81. Calcule:

a) o produto a8. a34 .

b) o termo a21 .

11. Calcule a soma dos termos e a razo de uma PG alternantede sete termos, cujos extremos so 1 e 729.

Sendo:

a1+ a2+ a3= 147

a1+ a3= 119

Fazendo a1= x, a2= xq e a3= xq2, tem-se:

x + xq + xq2= 147 (I)

x + xq2= 119 (II)

Substituindo-se (II) em (I), obtm-se:

xq + 119 = 147

xq = 28 x = 28q

(III)

Substituindo-se (III) em (II), obtm-se:

28 28

q q+ . q2= 119

28q + 28q = 119

28 + 28q2= 119q

28q2 119q + 28 = 0 (7)

4q2 17q + 4 = 0

= 225

q1= 4

q =17 15

8

q2=1

4

Para x = 7 e q = 4, tem-se:(7, 28, 112)

Para x = 112 e q =1

4, tem-se:

(112, 28, 7)

a8 e a34so termos eqidistantes dos extremos da PG, pois 8 + 34 = 1 + 41.

Logo, pela propriedade, conclui-se que: a8. a34= a1. a41= 81.

a21 o termo mdio da PG, pois vale a relao: p =n +1

2

p = 21 =41 1

2

+. Portanto, pela propriedade, tem-se:

a212= a1. a41

a212= 81 a21 = 9

Tendo:a1= 1

an= 729

n = 7. Pela frmula: an= a1qn 1

a7= a1. q6

729 = 1 . q6 q = 7296 q = 3

Soma dos termos: Sn=( )a q

q

n1

1

1

S7=( )[ ]1 3 1

3 1

7

S7= 2187 1

4 S7=

21884

S7= 547

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12 . Calcule o produto dos dezoito primeiros termos da PG

1

256

1

128

1

64, , , ...

.

13 . Determine o produto dos doze primeiros termos da PG

1

5

1

5

1

510 8 6, , , ...

.

14 . Calcule a soma dos infinitos termos da PG (45, 15, 5, ...).

15 . A soma dos infinitos termos da PGx x x

2 4 8

2 3

, , , ...

1

10.

Determine x.

Sendo:

a1=1

256 a1= 2

8

q = 1

128

256

1. q = 2

n = 18

P18= (28)18.

( )

2

18 18 1

2

P18= 2144. 215 3

P18= 29

Portanto: P18= 512.

Sendo:

a1=1

510 a1= 5

1 0

q = 15

5

18

10

. q = 52

n = 12

P12= (510)12. ( )

( )

5212 12 1

2

P12= 5120. 5132 P12= 512

Sendo:a1= 45

q = 1545

q =1

3

S =a

q1

1 S =45

1 1

3

S = 45 .3

2

S =135

2

Sendo:

a1=x

2

q = xx

2

4

2. q =

x

2

S = 110

1

102

12

=

x

x

1

10 2

2

2=

x

x.

110 2

=x

x

10x = 2 x

11x = 2 x = 211

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16. Com relao s progresses, correto afirmar:

01) Interpolando-se quatro meios geomtricos entre o n-mero x e o nmero 2, nessa ordem, obtm-se uma PG

cuja razo igual a1

2. Portanto, x = 64.

02) Seja a seqncia (2, 2x, 4x + 6) uma PG crescente.Logo, o valor de x e a razo da progresso so, res-

pectivamente, 3 e 4.04) A seqncia (x, x 1, x + 2, ...) uma PG. O seu

quarto termo 274

.

08) A soma dos trinta primeiros termos da PG (2, 2, 2,2 , .. .) S30 = 0.

16) Seja a PG (a1, a2, a3, ...), em que a1= 1 e o produtodos sete primeiros termos 5. Ento, a razo daPG 5

21.

32) O limite da soma dos termos da progresso geomtrica1

3

1

9

1

27, , , ...

1

2.

17. (PUCPR) Numa progresso geomtrica de termos positi-vos, o primeiro termo igual razo e o segundo termo 3.Qual o oitavo termo da progresso?

a) 81 d) 273

b) 37 e) 333

c) 27 3

18. Dada a progresso geomtrica ..., , , , ...1 3 1

2

2 3

2

,

determine o termo que precede 1.

a1= q

a2= 3 a1. q = 3

q . q = 3 q2= 3 q = 3

Como a PG de termos positivos, tem-se:

q = 3

a1= 3

a8= a1. q7

a8= 3 . ( )37

a8

= ( )38

a8

= 34= 81

q =

2 3

2

3 1

2

q =

2 3

3 1

q =( ) ( )( ) ( )2 3 3 1

3 1 3 1

+

+

.

. q =

2 3 2 3 3

3 1

+

q =3 1

2

1 3 1

2an=

an =

2

3 1

an =

( )2 3 12

+

an= 3 + 1

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19. Qual o nmero que deve ser adicionado aos nmerosa 2, ae a + 3para que formem uma PG?

20. Um qumico tem 12 litros de lcool. Ele retira 3 litros e ossubstitui por gua. Em seguida, retira 3 litros da mistura, subs-tituindo-os por gua novamente. Aps efetuar essa operao 5vezes, aproximadamente quantos litros de lcool sobram namistura?

21. Prove que, se a, b, c so elementos de ordem p, q, r,respectivamente, da mesma PG, ento: aq r. br p. cp q= 1.

(a 2, a, a + 3) (a 2 + x, a + x, a + 3 + x)

a x

a x

a x

a x

+ +

=+ +

+23

(a + x)2= (a 2 + x) (a + 3 + x)

a2+ 2ax + x2= a2+ 3a + ax 2a 6 2x + ax + 3x + x2

2ax = a + 2ax 6 + x

x 6 + a = 0 x = 6 a

Representa-se o volume de lcool existente na mistura, aps cada uma dasoperaes realizadas, por:

a1, a2, a3, a4, a5

Sendo:

a1= 12 3 = 9

a2= 9 9

12. 3 a2=

27

4(pois a quantidade de lcool nos 3 litros reti rados

de 912

do total)

a3 =27

4

27

412

. 3 a3 =81

16 (pois a quantidade de lcool nos 3 litros

retirados de

27

412

do total)

Pode-se notar que, a1, a2, ..., a5 uma PG com a1= 9 e q = 3

4.

Da vem: a5= a1. q4

a5= 9 .3

4

4

a5= 9 .81

256

a5=729

256

a5= 2,8476 litros

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22. Qual o nmero mximo de meios geomtricos que devemser in terpo lados ent re 1 458 e 2 para que a razo de

interpolao seja menor que1

3?

23. Em uma PG limitada, o produto dos treze primeiros termos 1

213 , e o primeiro termo a stima potncia do inverso da razo.Calcule o terceiro termo.

24. Em uma PG de sete termos, o quarto termo 10. Determineo produto de todos os termos dessa PG.

Tem-se:

a1= 1 458

an= 2

q 1 n 1 < 6 n < 7

Como a PG deve ter no mximo 6 termos, ento o nmero de meiosgeomtricos a interpolar , no mximo, 4.

Tem-se:

P13=1

213 P13= 2

13

a1=1

7

q

a1= q

7

Pela frmula: Pn= a1n.

( )q

n n12 , resulta:

213= (q7)13 .( )

q1 3 1 3 1

2

213= q91 . q78

213= q1 3 q = 2

a1= 27

a3= a1. q2

a3= 27. 22 a3= 2

5 a3=

1

32

Numa PG de sete termos o quarto termo o termo mdio (ou central),portanto, pela propriedade, tem-se:

a42= a1. a7

102= a1. a7 a1. a7= 100

Pela frmula: Pn ( )a ann

1 2. , resulta:

P7= ( )a a1 77

2. P7= ( )1007

2 P7= ( )1027

2

P7= 107

P7= 10000 000

O pro dut o dos ter mosde uma PG dado por:

Pn= ( )a ann

1 2.

Numa PG fin ita de n-mero mpar de termos, o

termo mdio igual mdia geomtrica entreos extremos.

25 C id PG i i t 0

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25 . Considere uma PG, em que o primeiro termo a, a > 0, arazo q, q > 1 e o produto de seus termos c. Se logab = 4,

logqb = 2 e logcb = 0,01, quantos termos tem essa PG?

26 . Uma seqncia tal que:

I . os termos de ordem par so ordenadamente as potn-

cias de 2, cujo expoente igual ao ndice do termo,isto , a2n = 2

2n para todo n 1.

I I . os termos de ordem mpar so ordenadamente as po-tncias de 3 cujo expoente igual ao ndice do termo,

isto , a2n 1 = (3)2n 1 para todo n 1. Calcule o

produto dos 55 termos iniciais dessa seqncia.

Como a1 = a > 0 e q > 1, ento a PG crescente.

Assim:logab = 4 a

4= b

logqb = 2 q2= b

Portanto: q2= a4 q = a2

Sendo: logcb = 0,01 c0,01= b

c0,01= a4 c1

100

100

= (a4)100 c = a400

Pn= c

Pn= a1n.

( )q

n n 12 c = an. ( )

( )

an n

21

2

Como c = a400, resulta:

a40 0= an. an(n 1)

a40 0= an + n(n 1)

a40 0= an2 n2= 400 n = 20

(a1. a2. a3. a4. ... . a2n 1. a2n) = ( a2. a4. ... . a2n) . (a1. a3. ... . a2n 1)

n = 1 a2= 22= 4

a2n= 22n

n = 2

a4= 24

= 16 n = 3 a6= 26= 64

Ento, essa seqncia dos termos de ordem par (4, 16, 64, ...) em quea2= 4 e q = 4.

n = 1 a1= (3)1= 3

a2n 1= (3)2n 1

n = 2 a3= (3)

3= 27

n = 3 a5= (3)5= 243

Ento, a seqncia dos termos de ordem mpar (3, 27, 243, ...) em quea1= 3 e q = 9.

Entre os 55 termos iniciais, h 28 termos mpares e 27 termos pares.

Assim:

P28= (3)28. ( )

( )9

28 28 1

2

P28= 378 4

P27= (22)27. ( )

( )22

27 27 1

2

P27= 275 6

Portanto: P55= P28. P27= 3784. 275 6

27 Se S 21 e S 45 so respectivamente as somas dos

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27. Se S3= 21 e S4= 45 so, respectivamente, as somas dostrs e quatro primeiros termos de uma progresso geomtricacujo termo inicial 3, determine a soma dos cinco primeirostermos da progresso.

28. As bolas a seguir tm centros sobre a reta r e so tangen-tes exteriormente, tendo, cada uma, a metade da rea da ante-rior. Sabendo que a primeira tem dimetro igual a d, determine

a distncia ao ponto A0ao ponto An, quando n .

Tendo:a1= 3, S3= 21 e S4= 45

S3= ( )3 1

1

3q

q

( )3 1

1

3q

q

= 21

q

q

3 1

1

= 7 ( ) ( )q q q

q

+ +

1 1

1

2

= 7

q2+ q + 1 = 7 q2+ q 6 = 0 q = 3 ou q = 2

S4=( )3 1

1

4q

q

( )3 1

1

4q

q

= 45

q

q

4 1

1

= 15 ( ) ( )q q

q

2 21 1

1

+

= 15 (q2+ 1) (q + 1) = 15

Verifica-se q = 3 no satisfaz essa ltima condio. Ento, q = 2.

S5=( )3 2 12 1

5

S5= 93

As reas dos crculos formam a PG (a1, a2, a3, ...) de razo q =1

2.

Determina-se a seqncia (d1, d2, d3, ...) dos dimetros dessas circun-ferncias.

d1= d a1= .d

2

2

a1=

. d2

4

a2= 1

2 4

2

.d

a2=d2

8 d2

2= d2

2 d2=

d

2

d2=d

2 a2= .

d22

2

=

d2

8

a3=1

2a2=

d2

16 d3

2= d2

4 d3=

d

2

Logo, os dimetros formam a PG d d d

, , , .. .2 2

, cuja soma A 0An.

Portanto:

A0 An=d

1 1

2

= d ( )2 2+

A0 A1 A2

An r

(a 3 b3) = (a b) . (a2+ ab + b2)

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29 . Determine o valor da soma1

3

2

9

3

27

4

81+ + + + . .. , em que

os numeradores formam uma PA e os denominadores uma PG.

30 . (UFPR) Considere a seqncia de nmeros reais cujos ter-mos so definidos por:

an =

2n se n {1, 3, 5, 7, ...) 2nse n {2, 4, 6, 8, ...)

A soma das afirmaes verdadeiras :

01) (a1, a2, a3, a4, a5, ...) uma seqncia de nmerosreais em PA.

02) (a2, a4, a6, ...) uma seqncia de nmeros reais em

PG.

04) a2+ a4+ a6+ ... + a10 0= 5 100

08) A soma dos termos de seqncia inf inita (a1, a3, a5, a7,

...) igual a 23

.

1

3

1

3=

2

9

1

9

1

9= +

327

127

127

127

= + +

4

81

1

81

1

81

1

81

1

81= + + +

1

3

1

9

1

27

1

81, , , , . . .

S =

1

3

1 1

3

= 12

1

9

1

27

1

81, , , . . .

S =

1

9

1 1

3

= 16

1

27

1

81, , . ..

S =

127

1 1

3

= 118

Portanto, a seqncia1

2

1

6

1

18, , , . . .

uma PG infinita. Logo:

S=1

2

1 1

3

S =

1

22

3

S = 12

3

2. S =

3

4

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Princpiofundamentalda contagem:

PFC

Observe-se que o diagrama assim construdo apresentatodos os possveis resultados do experimento.

Assim, o nmero de elementos igual ao nmero de

resultados possveis do experimento. Portanto:

3 . 3 . 3 = 27

Com base nesse exemplo, enuncia-se o princpio fun-

damental da contagem:Se o experimento composto por trs etapas (extra-es) e a 1 etapa tem m resultados distintos, a2 etapa n resultados e a 3 etapa tem p resultados,ento o experimento apresenta m . n . p resultadospossveis.

Se um experimento composto por k etapas eas etapas tm respectivamente n1, n2, ..., nk re -

sultados possveis, ento o experimento apresen-ta n1. n2. ... . nk resultados possveis.

Mtodos de contagem princpio fundamental da contagemVoc jpercebeu o

quanto necessriocontar emnosso dia-a-dia?

Diagrama de rvoreNmero deresultados

da 1extrao

Nmero deresultados

da 2extrao

Nmero deresultados

na 3extrao

O estudo da anlise combinatria teve origem no sculo XVII, quando, por correspondncia, osmatemticos Blaise Pascal e Pierre de F ermat passaram a analisar problemas de lanamento de dadose jogos de cartas, os chamados jogos de azar.

O interesse pelo estudo da anlise combinatria grandeem diversos segmentos do conhecimento humano, a saber:

na qumica, ao se estudarem as possveis unies entre os ele-mentos qumicos;

na administrao de uma empresa, para a distr ibuio de seuquadro de funcionrios nas diferentes atividades;

na lingst ica, ao se estudarem os possveis signif icados dossmbolos de um idioma desconhecido.

De um modo geral, utilizada na indstria e na cincia em todos osnveis e, aliada probabilidade e estatstica, torna-se um instrumento

poderoso, responsvel por tomadas de decises em diferentes ativida-des da sociedade.

O princpio fundamental da contagem (PFC) fornece o instrumentobsico para a anlise combinatria.

Blaise Pascal.

Considere-se o seguinte problema:

Numa urna existem bolas vermelhas (V), pretas (P) eamarelas (A). Uma bola retirada, tem sua cor observa-

da e devolvida urna. O nmero de resultados poss-veis em 3 extraes sucessivas 27.

Assim:

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01. Uma montadora de automveis apresenta um carroem quatro modelos diferentes e em cinco cores diferen-tes. Um consumidor, que quiser adquirir esse veculo,ter quantas opes de escolha?

Considere-se o seguinte diagrama:

modelo cor

Para a primeira casa, h quatro possibilidades e, paraa segunda, cinco possibilidades:

modelo cor

Nmero depossibilidades 4 5

Pelo princpio fundamental de contagem, o consumidorter 4 . 5 = 20 opes de escolha.

02. Quantos nmeros naturais de trs algarismos po-dem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8 e 9?

Preenche-se com um algarismo cada uma das casas dodiagrama:

centenas dezenas unidades

O nmero de possibilidades para cada casa cinco:

5 5 5

Assim, realiza-se o seguinte experimento: preencher aprimeira casa, a segunda e a terceira casa. Pelo princ-pio fundamental de contagem, o total de nmeros quepodem ser formados : 5 . 5 . 5 = 125.

03. Quantos nmeros naturais de trs algarismos distin-tos podem ser formados com os algari smos 1, 2, 6, 8 e 9?

01. Num pas, as placas dos automveis tm trs letras segui-das de quatro algarismos. As letras usadas so as vinte e trsdo alfabeto latino e ainda, K, W e Y, sendo que no se fazemplacas com os quatro algarismos iguais a zero. Quantas placasdiferentes umas das outras existem nesse pas?

1 2 3 4 5 6 7

Inicialmente, consideram-se tambm as placas do tipo 0000, em queos quatro algarismos so iguais a zero.Observe-se que para o preenchimento da 1 casa, h 26 possibili-dades; para a 2 casa tambm so 26 possibilidades; seguindoesse raciocnio, h:

1 2 3 4 5 6 7

26 26 26 10 10 10 10

Ento, pelo PFC, o nmero total de placas, incluindo a do tipo 0000,:26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175 760 000

Preencher, sem repetir algarismos, cada uma das casasdo diagrama:

centenas dezenas unidades

O nmero de possibilidades para a primeira casa cinco:

5

O nmero de possibilidades para a segunda casa qua-tro, pois um algarismo j foi usado para preencher aprimeira casa e no pode ser repetido na segunda:

5 4

O nmero de possibilidades para a ltima casa trs,pois dois algarismos j foram usados nas casas anterio-res, no podendo ser repetidos:

5 4 3

Pelo princpio fundamental de contagem, o total de n-meros que podem ser formados : 5 . 4 . 3 = 60.

04 . Calcule o nmero de divisores de 600.Decompondo 600 em fatores primos, obtm-se:

600 = 23. 3 . 52. Todo divisor natural de 600 da forma2m . 3n . 5p, com m assumindo o valor 0, 1, 2, ou 3, nassumindo o valor 0 ou 1, e p assumindo o valor 0,1 ou 2.

Divisor: 2 m. 3n. 5p

Nmero de possibilidades: 4 2 3

Portanto, resulta: 4 . 2 . 3 = 24 divisores de 600.

Em seguida, calcula-se o nmero de placas do tipo 0000.Observe-se o esquema:

1 2 3 4 5 6 7

letra letra letra 0 0 0 0

26 26 26 1 1 1 1

Para cada uma das quatro ltimas casas, s existe umapossibilidade de preenchimento (o algarismo 0), ento,pelo PFC, o nmero de placas do tipo 0000 :

26 . 26 . 26 . 1 . 1 . 1 . 1 = 17 576

Portanto, nesse pas, h:

175 760000 17 576 = 175 742424 p lacas.

02. Com os dados do exerccio anterior, calcule quantas so

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02. Com os dados do exerccio anterior, calcule quantas soas placas de automveis que tm os dois primeiros algarismosdiferentes um do outro (como por exemplo AAC 1231 ouAKC 1871)?

03. Cinco cavalos disputam um preo. Qual o nmero de resul-tados possveis para os trs primeiros lugares?

04. Quantos divisores naturais possui o nmero 72?

05. Duas linhas de nibus vo da cidade A para a cidade B etrs linhas vo da cidade B para a cidade C. De quantos modosdiferentes um usurio dessas linhas pode ir de A para C, pas-sando por B?

1 2 3 4 5 6 7

letra letra letra

26 26 26 10 9 10 10 Algarismos diferentes

Observe-se que para o preenchimento das quatro primeiras casas, oprocedimento igual ao do exerccio anterior. Para o preenchimento daquinta casa, h nove possibilidades, pois nela no se pode colocar omesmo algarismo que ocupa a 4 casa. E, para cada uma das duasltimas casas, h 10 possibilidades.

Pelo PFC, resulta:

26 . 26 . 26 . 10 . 9 . 10 . 10 = 158 184 000 possibil idades.

Note-se que, nessas possibilidades, no esto includas as placas dotipo 0000, pois contam-se apenas aquelas em que os dois primeirosalgarismos so diferentes entre si.

1 2 3

5 4 3

Para o 1 lugar, um cavalo qualquer entre os cinco pode vencer.

No 2 lugar, um qualquer dos quatro restantes (excluindo o que chegouem 1 lugar).

No 3 lugar, um qualquer dos trs restantes (excluindo os que chegaramem 1 e em 2 lugares).

Portanto, o nmero de resultados possveis , pelo PFC, 5 . 4 . 3 = 60possibilidades.

Sabe-se que: 72 = 23. 32. Os divisores de 72 so do tipo 2x. 3y, em quex {0, 1, 2, 3} e y {0, 1, 2}. Assim, o total de divisore s de 72 igual aonmero de pares ordenados (x, y) que podem ser formados de modo quex {0, 1, 2, 3} e y {0, 1, 2}. Pelo PFC, obtm-se:

(x, y) 4 . 3 = 12

Portanto, o nmero 72 possui 12 divisores naturais.

A B C 2 3

Pelo PFC, tem-se: 2 . 3 = 6 modos.

06. Quantos nmeros naturais de quatro algarismos podem ser

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09. Uma prova constituda por dez testes do tipo verdadeiroou falso. De quantas maneiras diferentes um candidato poderresponder aos dez testes, no deixando nenhum sem respostae assinalando apenas uma alternativa em cada um?

10. Qual o nmero de divisores naturais de n = 24. 33. 5?

Q q g pformados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

07. Quantos nmeros naturais de quatro algarismos distintospodem ser formados com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

08. Quantos nmeros de telefone de seis dgitos podem serformados com os dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, de modo que ostrs primeiros dgitos sejam distintos?

milhar centena dezena unidade

7 7 7 7

Pelo, PFC, o total de nmeros de quatro algarismos que podem ser

f or mados : 7 . 7 . 7 . 7 = 2401.

milhar centena dezena unidade

7 6 5 4

Pelo, PFC, o total de nmeros naturais que podem ser formados : 7 . 6 . 5 . 4 = 840.

Para o 1 dgito, h 7 possibilidades; como o 2 e o 3 dgitos devem ser diferen tes,haver, respectivamente, 6 e 5 possibilidades, pois excluem-se os dgitos queocuparam as posies anteriores; para os demais dgitos, cada um tem 7 possibili-dades, assim:

1 2 3 4 5 6

7 6 5 7 7 7

dgitos diferentes

Pelo PFC, o total de telefones : 7 . 6 . 5 . 7 . 7 . 7 = 72 030.

De quantos modos diferentes se pode responder cada questo?

1 2 3 ... 1 0 V F V F V F V F

Para cada questo, h duas possibilidades: verdadeiro ou falso.

Assim, o nmero de maneiras diferentes de responder aos dez testes :

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 210= 1 024

Os divisores de n so do tipo 2x. 3y . 5z, em que x {0, 1, 2, 3, 4},y {0, 1, 2, 3} e z {0, 1}. Portanto, o total de divisores de n igualao nmero de triplas ordenadas (x, y, z) que podem ser formadas. PeloPFC:

(x, y, z)

5 . 4 . 2 = 40

Logo, o nmero n tem 40 divisores naturais.

11. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos nmeros

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g qde quatro algarismos distintos podem ser formados?

12. Quantos nmeros naturais pares de quatro algarismos dis-tintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

13. Quantos nmeros naturais maiores que 400 com trs alga-rismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 6?

Observe-se, por exemplo, que no se considera o nmero 0157 como dequatro algarismos, mas sim de trs. Portanto, na casa dos milhares, nose coloca o 0. Assim, h 7 possibilidades de preenchimento.Na casa das centenas, no se coloca o algarismo usado na casa dosmilhares; entretanto, pode-se preench-la com 0. Existem, portanto, 7possibilidades de preenchimento. Prosseguindo, verifica-se que h 6possibilidades para a casa das dezenas e 5 para a casa das unida-

des. Assim:

milhares centenas dezenas unidades

7 7 6 5

Logo, o total de nmeros de quatro algarismos : 7 . 7 . 6 . 5 = 1 470.

Para que o nmero seja par, seu ltimo algarismo deve ser 2 ou 4.Considerar, inicialmente, os terminados em 2:

1 2 3 4

milhar centena dezena 2

Na 1 casa milhar h 4 possibilidades (no se pode usar o 2).Na 2 casa centena no se usa o 2 nem o algarismo da 1 casa: so3 possibilidades.Na 3 casa dezena no se usa o 2 nem os algarismos das casasanteriores. Assim, haver duas possibilidades:

1 2 3 4


4 3 2 1

Pelo PFC, o total de nmeros pares terminados em 2 : 4 . 3 . 2 . 1 = 24.

Agora, considerem-se os terminados em 4, repetindo o processo:


4 3 2 1

Logo, o total de nmeros pares terminados em 4 : 4 . 3 . 2 . 1 = 24.

So 24 nmeros terminados em 2 e 24 terminados em 4, logo o total denmeros naturais pares : 24 + 24 = 48.

Para que o nmero seja maior que 400, deve comear por 4 ou 5 ou 6. Conside-rem-se, inicialmente, os iniciados por 4:

1 2 3

4 dezena unidade

A 1 casa deve iniciar pelo algarismo 4. Na 2 casa dezena so 5 possibili-dades. Na 3 casa unidade tambm so 5 possibilidades. Assim:

1 2 3

4 dezena unidade

1 5 5

Pelo PFC, o nmero total de nmeros maiores que 400 que comeam por 4 :

1 . 5 . 5 = 25Utilizando o mesmo raciocnio, o total de nmeros maiores que 400 que come-am por 5 ou 6 tambm 25.

Portanto, o total de nmeros naturais maiores que 400 : 25 + 25 + 25 = 75.

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14. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos nmeros detrs algarismos podem ser formados, sendo que um dos alga-rismos deve ser 4 e os outros diferentes de 4?

15. (UFRS) De um ponto A a um ponto B existem cinco caminhos;de B a um terceiro ponto C existem seis caminhos; e de C a umponto D existem tambm seis caminhos. Quantos caminhos exis-tem para ir do ponto A ao ponto D, passando por B e C?

a) 17 d) 680

b) 30 e) 4 080

c) 180

16. (FGVSP) Antes de 1990, as placas de automveis eramconstitudas de duas letras seguidas de quatro algarismos.Quantas placas desse tipo, diferentes, podem ser formadascom as vogais do alfabeto e os algarismos pares?

a) 400 d) 15 625

b) 31 250 e) 2 400

c) 7 812

Considerem-se, inicialmente, os iniciados em 4:

1 2 3

4 dezena unidade

Na 2 casa dezena no se coloca o 4: so 6 possibilidades. Na 3casa unidade so tambm 6 possibilidades.Assim:

1 2 3

4 dezena unidade

1 6 6

Logo, 1 . 6 . 6 = 36 nmeros iniciados por 4.

Considerem-se os que tm 4 na 2 casa dezena. Desse modo:

1 2 3

centena 4 unidade

Na 1 casa centena no se pe o 4 e nem o 0 (nmeros de trsalgarismos): so 5 possibilidades.

Na 3 casa unidade no se usa o 4: so 6 possibilidades. Assim:

1 2 3

centena 4 unidade

5 1 6

Logo, 5 . 1 . 6 = 30 nmeros com o 4 na 2 casa dezena.

Analogamente, com 4 na 3 casa unidade tem-se:

1 2 3

centena dezena 4

5 6 1

Logo, 5 . 6 . 1 = 30 nmeros com o 4 na 3 casa unidade.

Portanto, o total de nmeros : 36 + 30 + 30 = 96.

A B C D 5 . 6 . 6 = 180

1 2 3 4 5 6

vogal vogal par par par par

5 5 5 5 5 5

5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 15 625

17. O nmero n = 2x . 34 . 52, com x N, possui sessenta

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divisores naturais. Determine x.

18. (U.C. SALVADOR) Um cdigo para leitura tica constitu-do por seis barras brancas ou pretas. Nenhum cdigo tem bar-ras de uma s cor. Veja dois exemplos desses cdigos:

Quantos desses cdigos, distintos entre si, podem ser formados?

a) 128 b) 64 c) 62 d) 32 e) 16

Os divisores de n s o da forma n = 2x. 3y. 5z. Logo, o total de divisoresde n igual ao nmero de triplas ordenadas (x, y, z) que podem serformadas, de modo que y {0, 1, 2, 3, 4} e z {0, 1, 2}.

(x, y, z) n . 5 . 3 = 60 15n = 60 n = 4

x {0, 1, 2, 3}, ou seja, x pertence a um conjunto com 4 elementos.Portanto: x = 3.

1 2 3 4 5 6

barra barra barra barra barra barra

b ou p b ou p b ou p b ou p b ou p b ou p 2 2 2 2 2 2

Pelo PFC, 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64.

Como nenhum cdigo tem barras de uma s cor, o total de cdigos :64 2 = 62

A tarefa da cincia, iniciada h milnios, de perseguir uma adaptao cada vez mais precisa de nosso esprito realidade, de construir uma representao cada vez mais adequada do mundo que nos rodeia e ao qual pertence-mos, para compreend-lo primeiro, depois para passar da compreenso preciso e, em seguida, ao.

Paul Laugevin

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Fatorial

Definio

Uma viagemno tempo

Conforme F. Cajori, em sua obra The History of Mathematical Notations, o primeiro matemtico ausar a notao n!(l-se: fatorial do nmero n) foi Christian Kramp, de Strasbourg, Frana, em 1808, noseu livro Elements dArithmtique Universalle. Ele mesmo justifica: O emprego freqente que fao daanlise combinatria na maior parte das minhas demonstraes tornou indispensvel esta notao.

Antes e depois de Kramp, outras notaes foram usadas, como por exemplo:M = 1 . 2 . 3 . ... . m, por Euler, em 1751 ou [p]n= p . (p 1) . (p 2) . ... . (p n + 1), por Vandermonde, em 1772, ou5*= 5 . 4 . 3 . 2 . 1, por Basedow, em 1774 e, Ln= 1 . 2 . ... . n, por alguns matemticos ingleses e americanos, nosculo passado, ou m1= 1 . 2 . ... . m, por Weierstrass, em 1841. Em 1915, o Council of the London MathematicalSociety recomendou, afinal, a notao n! em vez de Lne, a partir de ento, a notao n! foi a que se imps, mesmopor convenincias de impresso.

Exemplos:

2! = 2 . 1 = 2

3! = 3 . 2 . 1 = 6

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

Seja n um nmero natural, n 2. Define-se o fatorial den, indicado por n!, como o produto dos nmeros naturais

consecutivos n, (n 1), (n 2), ..., 1, isto :n! = n (n 1) (n 2) . ... . 1

Observao:

Por conveno: 0! = 1 e 1! = 1

01 . Calcule:

a) 6!

6! = 6 . 5 . 4 . 3

fatorial - combinação simples e pricipio de contagem

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