65

第 6章

大気境界層

6.1 参考書○和書

• 気象学のプロムナード No.4「大気境界層の科学」近藤純正 著、東京堂出版、1982

• 大気科学講座 1 地表に近い大気、竹内清秀・近藤純正 著、東京大学出版会、1981

• 微細気象学－大気境界層の構造と観測－、J. C. Kaimal著、光田寧・山田道夫訳、技報堂出版、1993

• 水環境の気象学，近藤純正　編著，朝倉書店，1994

○洋書

• Turbulence and Diffusion in the Atmosphere : Lectures in Environmental Sciences, by A. K. Blackadar,

Springer, 1998

• An Introduction to Boundary Layer Meteorology, by R. B. Stull, Kluwer Academic Publishers, 1988

• Lectures on Air Pollution Modeling, Ed. by A. Venkatram and J. C. Wyngaard, AMS, 1988

• The Structure of Atmospheric Turbulence, by J. L. Lumley and H. A. Panofsky, Monographs and

Texts in Physics and Astronomy. Vol 12. Interscience Publ., Jon Wiley & Sons, 1964

• Statistical Fluid Mechanics, Vols 1 & 2, by A. S. Monin and A. M. Yaglom, MIT Press, 1971

6.2 大気境界層の定義ここでは，「地球表面の影響を直接に受け、１時間かそれ以下の地表の強制力に応答する対流圏の最下層」と定義しておく。地表の強制力としては

• 摩擦• 蒸発散 (潜熱輸送)

• 顕熱輸送• 地形による風の場の変形

が考えられる。

66 第 6章 大気境界層

図 6.1 寒い 2 月のマサチューセッツ州で観察された，強い逆転層があるときの大気の流れの可視化例。高い煙突は 150 ｍ，低い煙突は 75 ｍ，下は霧。(Venkatram and Wyngaard, “Lectures on Air Pollution

Modeling”, (1988) より)

6.3 大気境界層の構造境界層の厚さは時間と場所により数百 mから数 kmまで変化する。

図 6.2 大気境界層の日変化の模式図 (Stull, “An Introduction to Boundary Layer Meteorology”, (1988)より)

図で使われている用語：

Capping Inversion 逆転層Convective Mixed Layer 対流混合層

6.3 大気境界層の構造 67

Entrainment Zone エントレインメント帯（層）Free Atmosphere 自由大気Residual Lyer 残余層Stable (nocturnal) Boundary Layer 安定（夜間）境界層Surface Layer 接地（境界）層

図 6.3 大気境界層内部構造の模式図：上は平均的構造，下は対流混合層と夜間安定層内の流れの模式図。(Kaimal, 「微細気象学－大気境界層の構造と観測－」、(1993)より)

図 6.4 燻し現象の模式図 (Stull, “An Introduction to Boundary Layer Meteorology”, (1988)より)

オーストラリアWangara における境界層観測とシミュレーションこの仮温位分布図（図 6.5）のように，境界層の厚さは時間と場所により数百ｍから数 kmまで変化する。昼間のほぼ仮温位一定の対流境界層または混合層（1km程度）と夜間の安定層（100ｍ程度）の移り変わりも見ることができる。

68 第 6章 大気境界層

図 6.5 Wangaraでの境界層観測結果とそのシミュレーション。(Yamada and Mellor, “A simulation of the

Wangara atmospheric boundary data”, (1975)より)

6.4 平均量と変動成分6.4.1 平均と変動

• 境界層内の平均場と変動場の観測例• 平均の種類

6.4 平均量と変動成分 69

図 6.6 変動と平均量の観測例。(竹内清秀・近藤純正、「地表に近い大気」、(1981)より)

1. 時間平均

At(x) =

1N

N∑i=1

A(i,x) , At(x) =

1T

∫ T

0

A(t,x)dt

2. 空間平均

Ax(t) =

1N

N∑j=1

A(t,j) , Ax(t) =

1L

∫ L

0

A(t,x)dt

3. アンサンブル平均

Ae(t,x) =

1N

N∑k=1

Ak(t,x)

• アンサンブル平均と他の平均との差 (収束性) 実験室なら同じ条件の下で実験を繰り返し、アンサンブル平均をとることができる。実験誤差を小さくするためにもその方が望ましい。　しかし，現実大気では全く同じ条件の下での観測を積み重ねることができないので、アンサンブル平均をとることは不可能である。したがって他の２つの平均を用いざるをえない。　場が一様で定常ならば、十分大きな集合に対する平均をとると、各平均よって結果の差はない (エルゴード定理)。逆にいえば、それらの条件が充たされていない現実大気では，各平均よって差がでてきてしまうので統計処理の際には注意が必要である。

6.4.2 乱れの強さと変動の形

・乱れの強さの定義と観測例

1. 乱れの強さの定義１　：標準偏差を用いたものσu

U,

σv

U,

σw

U

70 第 6章 大気境界層

ただし

σu ≡(u′2

)1/2

, σv ≡(v′2

)1/2

, σw ≡(w′2

)1/2

は、風の変動成分の標準偏差。2. 乱れの強さの定義１’ ：摩擦速度で規格化

σu

u∗,

σv

u∗,

σw

u∗

ただし u∗ は、摩擦速度である。乱れは地表面粗度の大きいところでは大きくなるが、u∗ も大きくなるので、この定義では地表面粗度への依存性が小さくなる。

3. 乱れの強さの定義２：分散を用いたもの

u′2 , v′2 , w′2

• skewness(歪み度):

(a)は平均値のまわりに対称的に分布している。(b)は (a)と平均値や乱れの強さが同じ程度だが、負の値をとることが多く、時おり正の大きな値をとる。　このように各瞬間毎の乱れの大きさの頻度分布が正規分布からずれている程度を歪み度（Skewness）

6.4 平均量と変動成分 71

u′3(u′2

)3/2

で示す。(a)は歪み度は小さく、(b),(c)で正と負になる。(b)は日中、地面が熱せられて熱気泡が上昇するような場合、(c)はその逆の場合に見られる。

• その他、Flatness(平坦度)または尖度（Kurtosis）というものもある。• フラックス：「単位時間に単位面積を通じて輸送される量」　平均風によるフラックスの例

W · q , U · Θ , U · W

　乱れによるフラックスの例

w′ · q′ , u′ · θ′ , u′ · w′

大気の乱流が完全にはランダムではない、つまり構造を持っているため、乱れによるフラックスがゼロでない。

図 6.7 乱れによるフラックスの観測例。(竹内清秀・近藤純正、「地表に近い大気」、(1981)より)

72 第 6章 大気境界層

図 6.8 乱れによる輸送の説明　 (Stull, “An Introduction to Boundary Layer Meteorology”, (1988)より)

• 共分散 (covariance)

定義　 a′ · b′ 　　　　　　例　 u′ · w′ , w′ · θ′

6.4.3 安定度

• (Bulk) Richardson Number

Ri =gΘ

dΘdz(

dUdz

)2

• Flux Richardson Number

Rf =gw′θ′

Θ

u′w′ dUdz

　これは，浮力によるエネルギー散逸（生成）とシアーによるエネルギー生成の比になっている。（以下の「復習」参照）　乱流フラックスは平均場の勾配に比例すると仮定すると：

Rf =gw′θ′

Θ

u′w′ dUdz

=gΘKh

dΘdz

KmdUdz

dUdz

=Kh

KmRi

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＜復習＞○方程式系　境界層では温位の変化が小さく鉛直スケールも小さいので、Boussinesq近似を用いて良い。

6.4 平均量と変動成分 73

• 運動方程式 (Navier-Stokes eq.)

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z− fv +

1ρ0

∂p

∂x=

µ

ρ0

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z+ fu +

1ρ0

∂p

∂y=

µ

ρ0

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)

∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z+

1ρ0

∂p

∂z= − ρ

ρ0g +

µ

ρ0

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2

)ここで ρ0 は平均場の密度。　成層の効果が鉛直の重力加速度の部分のみにかかっていることに注意。また，ニュートン流体（流体の運動による応力と歪み速度が比例する流体）を仮定し，かつ，粘性率を定数としてある。

• 熱力学第１法則

∂θ

∂t+ u

∂θ

∂x+ v

∂θ

∂y+ w

∂θ

∂z= Q

ただし、Qは非断熱項（拡散項も Qに含めておく）

なお，粘性係数 µを密度 ρで割ったものを動粘性率 ν といい，大気では ν ≈ 1.467 × 10−5 m2sec - 1 程度。　地表近くの大気の典型的な平均風のシアー （0.5 sec−1 程度）をつかうと，分子粘性による応力は 7 ×10−6 m2sec - 2 の程度と，非常に小さい。

○エネルギー方程式平均場のエネルギー方程式　物理量 φを平均と乱れとに分ける：

φ = φ + φ′ (6.1)

　平均の取り方は時間平均，空間平均，アンサンブル平均のどれかは特定しないことにする。よって，時間微分，空間微分は必ずしもゼロではない。　 Boussinesq 流体の運動方程式の物理量を式 (6.1)のように分離したのちに平均をとると，平均場の運動方程式になる。例えば，x方向の平均場の運動方程式は以下のようになる。

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z− fv +

1ρ0

∂p

∂x= ν∇2u −

(∂u′2

∂x+

∂u′v′

∂y+

∂u′w′

∂z

)

最後の項は Reynolds 応力による平均流の変化を示す。　レイノルズ応力の地表近くの典型的な値は 5 × 10−2 m2sec−2 程度なので、少なくとも地表近くでは圧倒的にレイノルズ応力が分子粘性による応力より大きい。よって、大気の議論では分子粘性は通常考えず，非粘性流体を対象としている。ただし，考えているスケール以下の乱れの効果は（渦粘性として）考慮に入れる場合が多い。　平均流の運動方程式（分子粘性を省く）に各方向の運動量を乗じて整理すると，平均場の運動エネルギーの式になる：

74 第 6章 大気境界層

∂ES

∂t+ u

∂ES

∂x+ v

∂ES

∂y+ w

∂ES

∂z

= −ρwg −(

∂up

∂x+

∂vp

∂y+

∂wp

∂z

)− ρ0u

(∂u′2

∂x+

∂u′v′

∂y+

∂u′w′

∂z

)− ρ0v

(∂u′v′

∂x+

∂v′2

∂y+

∂v′w′

∂z

)

− ρ0w

(∂u′w′

∂x+

∂v′w′

∂y+

∂w′2

∂z

)(6.2)

　ただし、ESは平均場の運動エネルギーである。

ES ≡ ρ0

2(u2 + v2 + w2

)平均運動エネルギーの式 (6.2)をもう少し整理すると、

∂ES

∂t+

∂

∂x

{ES u + ρ0

(uu′2 + vu′v′ + wu′w′

)+ up

}+

∂

∂y{} +

∂

∂z{}

= −ρwg + ρ0

(u′2 ∂u

∂x+ u′v′ ∂u

∂y+ u′w′ ∂u

∂z+ · · ·

)となる。

乱流のエネルギー方程式　運動方程式から平均場の運動方程式を引くと、擾乱の運動方程式になる：

∂u′

∂t+ u

∂u′

∂x+ v

∂u′

∂y+ w

∂u′

∂z+ u′ ∂u

∂x+ v′ ∂u

∂y+ w′ ∂u

∂z+ u′ ∂u′

∂x+ v′ ∂u′

∂y+ w′ ∂u′

∂z

= fv′ − 1ρ0

∂p′

∂x+

(∂u′2

∂x+

∂u′v′

∂y+

∂u′w′

∂z

)

　これに、乱流の運動量を乗じ平均して整理すると

∂ET

∂t+

∂

∂x

{ET u + ρ0

(u′3 + u′v′2 + u′w′2

)+ u′p′

}+

∂

∂y{} +

∂

∂z{}

= −gρ′w′ − ρ0

(u′2 ∂u

∂x+ u′v′

∂u

∂y+ u′w′ ∂u

∂z+ · · ·

)ここで ET は擾乱の運動エネルギー：

ET ≡ ρ0

2

(u′2 + v′2 + w′2

)各項の意味

　 ES , ET 共に、その時間変化は：　 (i) 各種フラックスの発散（左辺第２項）　 (ii) 位置エネルギーとの変換（右辺第１項）　 (iii) Reynolds 応力による平均場と擾乱場とのエネルギー変換（右辺３ 項）に起因することがわかる。

6.5 境界層理論 75

＜復習終り＞＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

6.4.4 Closure problem

　通常、測定するのはなんらかの平均量である。それらの量の時間変化を支配する式を求めるためには、Navier-

Stokes 方程式に平均操作をしてやればよい。これは (1)式である。ところが、擾乱の 2次の項（Reynolds 応力）が現れる。この項の時間変化は乱流の運動方程式に乱流の１次の項を乗じて平均すると Reynolds 応力の予報式が得られるが、すぐわかるように、２次相関である Reynolds 応力の方程式にはより高次の３次相関の項が現れる。３次相関の方程式を作れば４次が現われる。これはいつまでも続くので、何かの近似または仮定（パラメタリゼーション）を導入して、どこかで打ち切らなければ解けない。（閉鎖問題または Closure Problem）。これは、「乱流理論」や「境界層理論」の重要なテーマのひとつ。

6.5 境界層理論6.5.1 １次の closure ： K-theory

　１次の closureでは時間変化の方程式に（０次である）平均量しかでてこないようにする。平均場の時間変化を表す式は

Du

Dt= fv − 1

ρ0

∂p

∂x−

(∂u′2

∂x+

∂u′v′

∂y+

∂u′w′

∂z

)Dθ

Dt= −

(∂u′θ′

∂x+

∂v′θ′

∂y+

∂w′θ′

∂z

) (6.3)

　ただし、

Du

Dt=

∂

∂t+ u

∂

∂y+ v

∂

∂z+ w

∂

∂z

.

また、分子拡散項は落としてある。上の式には２次モーメント（u′w′ や w′θ′ など）が含まれているので、これらの乱流フラックス項をパラメタライズして平均量で表さなければ，実際に計算することができない。Ｋ-理論では任意の物理量 q に対し

u′q′ = −K∂q

∂x, v′q′ = −K

∂q

∂y, w′q′ = −K

∂q

∂z

と近似する。このパラメーター K は渦粘性係数とか渦拡散係数と呼ばれる。たとえば，運動量や温位のフラックスは、

u′w′ = −Km∂U

∂z, θ′w′ = −Kh

∂Θ∂z

となる。また、成層がほぼ中立および不安定な条件での観測では、それぞれ

中立：Kh ≈ 1.35Km

76 第 6章 大気境界層

不安定：Kh ≈ 2.5Km

となることが知られている。

(a) 理論的背景：プラントルの混合距離理論（1925）　鉛直方向に勾配を持つ物理量 S の乱流による輸送を考える。もし、乱流が小さな気塊を z − dz から z まで dz

だけ鉛直に移動させたとすると、周囲が S(z)の所に S(z− δz)の部分ができたことになるので zでの変動量 S′ は

S′ = S(z − δz) − S(z)

={

S(z) +∂S

∂z(−δz) + · · ·

}− S(z)

= −∂S

∂zδz

(6.4)

乱流による鉛直風速の変動 w′ と水平風速の変動とは比例していると仮定すると（観測でもほぼ比例していることが認められる）、dU/dz > 0 では w′ = −cu′ 、dU/dz < 0 では w′ = cu′ と思われる。u′ は上式よりu′ = −(dU/dz)δz と書けるから

w′ = c

∣∣∣∣dU

dz

∣∣∣∣ δz

となる。故に w′ による物理量 S のフラックスは

S′w′ = −c

∣∣∣∣dU

dz

∣∣∣∣ ∂S

∂zδz2 = −KE

∂S

∂z(6.5)

ただし

KE ≡ l2∣∣∣∣dU

dz

∣∣∣∣ , l2 ≡ cδz2

.

この lを混合距離という。

(b) Kの式の examples（図 6.9参照）　地面近くでは、渦は地表の存在のために大きくなれないので、 l = kz という仮定がされることもある。

(c) 適用例(i) Log profile

　混合距離 l = kz と仮定すると、

KE = κ2z2

∣∣∣∣dU

dz

∣∣∣∣この粘性係数で平衡になっている風速分布を求めてみよう。平衡，つまり時間変化しないので

0 =d

dz

(KE

dU

dz

)=

d

dz

(κ2z2

∣∣∣∣dU

dz

∣∣∣∣ dU

dz

)

6.5 境界層理論 77

図 6.9 いろいろな渦拡散係数の例　 (Stull, “An Introduction to Boundary Layer Meteorology”, (1988)より)

dU/dz > 0 の場合を考えると、絶対値記号が取れて、

0 =d

dz

(κ2z2

(dU

dz

)2)

= 2κ2z

(dU

dz

)2

+ 2κ2z2 dU

dz

d2U

dz2

∴ dU

dz+ z

d2U

dz2= 0

この解は

U = γ ln(z

z0)

78 第 6章 大気境界層

つまり，風速が高度と共に対数的に変化している分布となる。実際，中立の地面近くの大気では対数的に変化している（風速の対数則という）。ここにでてくる z0 を粗度とよび，地面の摩擦の程度を示すパラメータとなる（図6.10参照）。

図 6.10 粗度の決定と粗度の値の例　 (近藤純正、「水環境の気象学」、(1994) より)

(ii) Ekman spiral

　定常で（∂/∂t = 0）、水平一様な（∂/∂x = ∂/∂y = 0）、中立成層した（∂θ/∂z = 0）、順圧大気（地衡風 Ug, Vg

が高さ変化しない）を考える。平均した鉛直流はない（w = 0）とする。地衡風の風向に x軸をとると、運動方程式は：

−fV = −du′w′

dz

f(U − Ug) = −dv′w′

dz

定数の渦拡散係数 Km を使ったＫ-理論を適用すると、

−fV = Kmd2U

dz2

f(U − Ug) = Kmd2V

dz2

変形して

−fV = Kmd2

dz2

(fUg + Km

d2V

dz2

)= K2

m

d4V

dz4

6.5 境界層理論 79

この４階微分方程式を解くために z → ∞で U → Ug , V → 0を考慮して、V = A · exp(λz)を仮定すると：

−f2 = K2mλ4 ∴ λ = ±

ñi

f

Km

この内、z → ∞で発散しないように実部が負の根だけをとると

λ =√

f

2Km(−1 ± i)

z = 0 で V = U = 0 、z → ∞で U → Ug だから

U = Ug

[1 − e−γz cos(γz)

]V = Uge

−γz sin(γz)

γ =√

f

2Km

　高さ hE = π/γ で風向が地衡風と等しくなる（風速は少し大きい）。この高さをエクマン層の高さという。Km ≈ 10 m2/sec2

, f ≈ 10−4 sec−1 とすると hE ≈ 1400 mとなる。

図 6.11 大気と海洋の Elman螺旋　 (Stull, “An Introduction to Boundary Layer Meteorology”, (1988)より)

　エクマン層内では風は地衡風ではない⇒等圧線を横切る風 ⇒高気圧では発散、低気圧では収束が起こる ⇒鉛直流が起こる：このように境界層の摩擦によって風が地衡風からずれ、鉛直流ができることをエクマン・ポンピングという。この循環（鉛直流）によって境界層内の低渦度大気が上層に輸送され、自由大気中の擾乱を弱める。摩擦による高低気圧の減衰は、主としてこのエクマン・ポンピングによって引き起こされている。

(d) Refineされた K-theory： Mellor & Yamada の level 2

(Mellor, G.L. and T. Yamada, 1974: A hierarchy of turbulence closure models for planetary boundary layers.

J. Atmos. Sci., 31, 1791-1807.)

80 第 6章 大気境界層

　 Full のレイノルズ応力方程式を、一様な乱流からのずれが小さいとして簡単化していき、移流項や拡散項も２次として一様乱流からのずれの２次の項まで省略した方程式系を作った。そうすると、乱れに関する予報式はなくなり、Ｋ理論の渦拡散係数の表式が非常に複雑なモデルができる。

−(u′w′, v′w′

)= lqSM

(∂U

∂z,∂V

∂z

)−w′θ′ = lqSH

∂Θ∂z

SM ≡ 3A1γ1 − C1 − (6A1 + 3A2)Γ/B1

γ1 − γ2Γ + 3A1Γ/B1(γ1 − γ2Γ)

SH ≡ 3A2(γ1 − γ2Γ)

γ1 ≡ 13− 2A1

B1, γ2 ≡ B2 + 6A1

B1

Γ ≡ Rf

1 − Rf, Rf ≡ βg

w′θ′

u′w′ ∂U∂z + v′w′ ∂V

∂z

=γ1

γ1 + γ2

この境界層パラメタリゼーションは，大気境界層の観測や理論との整合を十分に考えて作られている。

6.5.2 1.5次の closure

(a) TKEの予報 (Mellor & Yamada, 1982) ：“’level 2.25～2.5”

　２次の項まで省略した方程式系（温位の分散の予測式のみ移流項や拡散項を無視する）を用いる。この省略の仕方は一般には正しくないが、安定から少し不安定な成層中の流れでは使える。強不安定な条件では保証がない。

∂q2

∂t+ u

∂q2

∂x+ · · · = Prod + Dissip +

∂

∂x

(Kq

∂q2

∂x

)· · ·

Prod ≡ Buoy + Shear = βgw’θ’θ

+ u′iu

′j

∂ui

∂xj= −gKH

∂θ

∂z+ Km

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)− 2

3δijq

2

Km = SM l q , Km = SH l q , Kq = Sqq

定数の SM を用いたモデルも、主としてメソスケールモデルや積乱雲のモデルを中心に採用されている。

(b) TKE と 長さを予報 (Yamada, 1983)：“q2l model”

　 Level 2.5 のモデルだと乱流の長さスケール lの表式に任意性があった。その点を改善するため、長さのスケールも方程式系に取り込んだもの。(a) の乱流エネルギーの予測式に乱流エネルギーと長さスケールの積 q2lの予測式を追加する。乱流フラックスと平均場との関係には、level 2 の関係式を使う。

(c) k − ϵ方程式 (Rodi, 1985; Detering & Etling, 1985; Kitada, 1987) 　工学の分野で主に使われていた乱流モデル。乱流の運動エネルギーとその消散率の予測式を用いる。　 k − ϵモデルは、現在では、海陸風、境界層、山岳波等の気象の問題に適用されているが、もともとが中立成層流体に適用されていたモデルのため、成層によって変化するべき部分（例えば，σ など）が定数になっている。また、Yamada & Mellor 達のモデルと違って、接地層への漸近も考えられていない。そのため、大気のような成層流体を扱うにはまだ不十分な所が残っており、今も種々の改訂版が提案されている。

6.5 境界層理論 81

6.5.3 Monin-Obukovの相似則（similarity theory）

(a) 相似則と基本スケール　ソ連のMoninと Obukovは 1946～1954年の一連の論文において、定常で水平方向に一様な（つまり、高さｚだけの関数として表される）接地層を考え、そのなかで起こっている乱流の統計量（平均、分散、スペクトルなど）は高さ z 以外には地表での

摩擦応力［m2/sec2］

τ0

ρ≡ −u′w′

鉛直熱フラックス［K m/sec］

H0

cpρ≡ w′θ′ ≡ Q0

浮力のパラメーター［m/sec2/K］

gΘ

だけで決定されるという仮説を提出した。これが Monin-Obukov の相似則。これらの量から次の３つの基本スケールを得る。

速度　：　摩擦速度

u∗ ≡(

τ0

ρ

)1/2

=(−u′w′

)1/2

温度　：　摩擦温度

T∗ ≡ −Q0

u∗= −w′θ′

u∗

長さ　：　Monin-Obukov の長さ

L ≡ − u3∗Θ

κgQ0

= − u3∗Θ

κgw′θ′

ただし、κ はカルマン定数（≈ 0.4）。Monin-Obukov の長さ L は，浮力による乱流エネルギー生成と力学的な（シアー）による生成との比に関連した量となっている。　相似則が正しいとすると、接地層におけるある統計量 F は、上の基本スケールで作った F と同じ次元を持つ F∗

によって F = F* × GF (z/L)と表現されるはず。ここで GF (z/L)は普遍関数と呼び、ζ ≡ z/Lのみの関数で、観測によって決定される。相似則が成立しているかどうかも観測によって検証される。

82 第 6章 大気境界層

　各量の符号は

安定成層のとき

∂Θ∂z

> 0 w′θ′ < 0, T∗ > 0, L > 0

中立のとき

∂Θ∂z

= 0 w′θ′ = 0, T∗ = 0, L = ∞

不安定成層のとき

∂Θ∂z

< 0 w′θ′ > 0, T∗ < 0, L < 0

となる。

(b) 普遍関数(i) Monin-Obukovの相似則の立証　まず、相似則が成立しているか確かめてみる。相似則が成り立っていたら，風速と気温の鉛直勾配は

dU

dz=

u∗

κLGm(z/L) (6.6)

dΘdz

=T∗

κLGh(z/L) (6.7)

で表されるはず。平均風速の鉛直分布は式 (6.6)を ζ で積分して，

U(z) =u∗

κL(fm(z/L) − fm(z0/L))

fm(ζ) ≡∫ ζ

Gm(ζ)

ここで、z0 は粗度（roughness）である。そこで、接地層の風の観測を、例えば

κ

u∗[U(z) − U(|L| /2)]

で整理すると、

κ

u∗[U(z) − U (|L| /2)] = (fm(ζ) − fm(±0.5))

となり、ζ のみに依存した関数で表わされる。つまり、いろんな場所のいろんな安定度の測定値が一つの曲線上にのるはずである。

この図 6.12ように測定値が良くまとまっているので， Monin-Obukovの相似則は接地層の現象を良く表していると考えてよい。

6.5 境界層理論 83

図 6.12 普遍関数の確認 (竹内清秀・近藤純正、「地表に近い大気」、(1981) より)

(ii) 普遍関数の形○安定度が中立に近い場合（|L| >> 1, |ζ| << 1）　成層が中立 (ζ = 0)の場合は特に詳しく調べられていて、観測から次の対数則 (logarithmic law or log law) が成立していることがわかっている。

U(z) =u∗

κln

(z

z0

)つまり

dU

dz=

u∗

κ

1z

=u∗

κL

L

z=

u∗

κL

1ζ

⇒ Gm =1ζ

ここで、z0 は「粗度」。式 (6.6)の普遍関数 Gm は z = 0 で無限大になるので

φm(ζ) = ζGm(ζ) (6.8)

φh(ζ) = ζGh(ζ) (6.9)

も普遍関数として良く使われる。φm(0) = 1だから、ζ << 1 で φm をテイラー展開すると

84 第 6章 大気境界層

φm(ζ) = 1 + βζ + · · ·

ゆえに

dU

dz=

u∗

κLGm =

u∗

κLζφm(ζ) ≈ u∗

κLζ(1 + βζ)

∴ U(z) ≈u∗

κL(ln

z

z0+ β

z − z0

L)

これは「対数プラス直線則（log+linear law) 」という。

○非常に不安定な場合 (−ζ >> 1)

これは，|L| << 1のとき（つまり Q0 が大きく u∗ が小さいとき）、または z が大きいときである。接地層では z

は大きくないので、Q0 に比べて u∗ が小さいときになる。すなわち、摩擦速度は重要な量ではなくなり速さのスケールとしては適当でなくなる。そこで、高さのスケールとして z を採用して：

速度：

uf ≡(

zgQ0

Θ0

)1/3

温度：

Tf ≡ Q0

uf

長さ：　 z

　摩擦速度や摩擦温度とはつぎの関係がある。

uf

u∗∝

(− z

L

)1/3

Tf

T∗∝

(− z

L

)−1/3

：Ｌの定義を使用−z/L >> 1なので、非常に不安定なとき風速変動は大きいが、温度変動は小さいことがわかる。普遍関数は次の形になる：

φm ≈ φh =κz

T∗

dΘdz

κz

T∗

Tf

z

Tf

T∗∝

(− z

L

)−1/3

○非常に安定な場合（ζ >> 1）　このときは強い成層のために上下運動は著しく制限され、乱れの代表的な長さは地上高 z よりかなり小さくなってしまい、z は長さのスケールとして不適当である。故に、Lを長さのスケールとして使うのが適当であろう。そのとき、

6.5 境界層理論 85

dU

dz

u∗

L

となる。すなわち，非常に安定な場合の風速シアーは z の関数ではない。普遍関数は、

φm =κz

u∗

dU

dz

κz

u∗

u∗

L∝ z

L

φh =κz

T∗

dΘdz

κz

T∗

T∗

L∝ z

L

図 6.13 普遍関数の形 (竹内清秀・近藤純正、「地表に近い大気」、(1981)より)

(iii) 種々の物理量と普遍関数との関係○運動量輸送

u2∗ =

τ0

ρ= −u′w′ = Km

dU

dz∴ Km =

u2∗

dUdz

=κu∗L

Gm(ζ)=

κu∗z

φm(ζ)

○熱輸送も同様に、

Km =u∗T∗

dΘdz

=κu∗L

Gh(ζ)=

κu∗z

φh(ζ)

○拡散係数の比（プラントル数）

86 第 6章 大気境界層

Pr =Km

Kh=

Gm

Gh=

φm

φh

○ Richardson 数(Gradient) Richardson number

Ri =gΘ

dΘdz(

dUdz

)2 =gΘ

T∗κL

u2∗

(κL)2

Gh

G2m

=Gh

G2m

=PrGm

Flux Richardson number

Rf ≡ gw′θ′/Θu′w′ ∂U

∂Z

乱流運動エネルギーの生成項はリチャードソン数を使って書き直すと

dET

dt= −u′w′ ∂U

∂z+ g

w′θ′

Θ· · · = −u′w′ ∂U

∂z(1 − Rf ) · · ·

となるので，flux Richardson数が 1より大きい（浮力による安定化項がシアーによる不安定化項より大きい）と乱流は減衰することがわかる。なお，K理論を使ってフラックスを近似すると

Rf =gw′θ′/Θu′w′ ∂U

∂z

=KH

Km

g

Θ∂θ/∂z

(∂U/∂z)2=

KH

KmRi

図 6.14 リチャードソン数や拡散係数の変化　 (竹内清秀・近藤純正、「地表に近い大気」、(1981)より)

○ KEYPSの式φの式は安定度によって異なるので、それらをつなぐ内挿式があれば便利である。内挿式

6.5 境界層理論 87

φ4 − γζφ3 − 1 = 0 (6.10)

は Kazanski & Monin (1956), Ellison (1957), Yamamoto (1959), Panofsky (1961) によって提案され，彼らの頭文字をとって KEYPSの式、または Obukov (1946) を追加して O’KEYPSの式と呼ばれる。KEYPSの式 (6.10)は次のように導ける：中立の拡散係数 Kn は

Kn =κzu∗

φm∝ κzu∗ |ζ|1/3

非常に不安定なとき (∥Rf∥ >> 1, or − ζ >> 1)の拡散係数 Kf は

Kf =κzu∗

φm∝ κzu∗ |Rf |1/4

となる。これらの内挿式として

K = κzu∗(1 − γRf )1/4

が考えられるが

K =κzu∗

φ, Rf =

ζ

φ

なので式 (6.10)が導かれる。γ 10という値が使われている。

6.5.4 Canopy の問題

　これまでは運動量、ガス、顕熱、潜熱の交換が厚さのない面を通じて行なわれるとしてきた。しかし、植物の生えた畑や森林における物理量の交換は厚さを持つ「キャノピー層」で行なわれる。ちなみに，建築物の立っている町では「都市キャノピー」で物理量の交換が行なわれる。キャノピーとは「蚊帳」とか「天蓋」のこと。　植物群落の上での風速分布を測定すると、裸地と同じように対数分布をしている。ただし、その対数分布における高度の基準は地表面ではなく、植物の上端（z = h）より少し低いところの高度（z = d）になる：

u =u∗

κln

(z − d

z0

), forz > h

この高さ dをゼロ面変位（高度）（zero-plane displacement）と呼ぶ。植物が密に生えていると d ≈ hだが，畑などでは d ≈ 0.7h程度となることが多い。

(a) 簡単なモデルによるキャノピー層内の風速分布　気象のようにレイノルズ数が高い流れ（乱流）の中の物体が受ける抗力は、物体の断面積を aとすると以下のようになることが知られている。

F =12ρcau2 (6.11)

ここの比例定数 cを物体の抵抗係数という。キャノピー層内では葉面や樹幹などによってキャノピーより上の大気より風速が減少する。このキャノピー層内の渦粘性による風速減少が式 (6.11)で表現されるとすると

88 第 6章 大気境界層

図 6.15 植生によるキャノピー (竹内清秀・近藤純正、「地表に近い大気」、(1981)より)

d

dz

(K

du

dz

)=

12ρcau2 (6.12)

この場合の aは単位体積に含まれる物体の断面積で、葉面積の空間密度と言う。拡散係数 K は混合距離 l を用いるとK = l2du/dz だが，簡単のため、l＝一定とし、風速に指数関数を仮定すると式 (6.12)の解は，z = hでの風速を uh として，

u = uh exp [γ(z − h)] , γ =(ρ

ac

4l2

)1/3

このように、風速は z < hでは z = hで最大となるような指数関数分布となる。

図 6.16 植生キャノピー内の風速分布　 (竹内清秀・近藤純正、「地表に近い大気」、(1981)より)

6.5 境界層理論 89

(b) 植生model 　顕熱や潜熱の交換を求めるためには、植物体からの寄与を考えなければならない。植物体による潜熱の放出（蒸散）は主に葉面の気孔を通じて行なわれる。気孔は葉面の 1cm2 当たりに 104 個程度存在し、各気孔は 100mm 程度の間隔で並んでいる。気孔の全面積は葉面の 0.3 3％程度を占めている。気孔が占める割合は小さいが、蒸散量は葉面全体が水で覆われているときの３０％近くになることが簡単なモデルでわかっている (Yeh

& Brutsaert, 1971)。そこで、植物体による顕熱や潜熱の交換を簡単化してモデルに取り入れる方法が提案された（例えば；Sellers (1985) による SiB，Dickinson (1984) による BATS など。日本人開発による MATSIRO,

MINoSGIなどもある ）。

90 第 6章 大気境界層

図 6.17 SiBの概念図