ゲージ場の不思議 - u-toyama.ac.jp...(glashow 1961, weinberg 1967, salam 1968) q α(x),...
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2007年3月6日 富山大学理学部
ゲージ場の不思議
富山大学理学部 平山 実
1. 序2. 電場・磁場・電磁ポテンシャル3. 量子力学と電磁ポテンシャル4. AB効果5. 非可換ゲージ場6. 非可換ゲージ場がもたらすAB的効果7. 結語
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1.序物理法則全体が従っている原理は何だろうか
Principles for laws of physics
運動学的法則:作用原理
δS = 0, S =∫Ldt.
S: 作用, L: ラグランジアンNewtonの運動方程式, etc.
動力学的法則(力の法則): ゲージ原理強い力, 電弱力(電磁力と弱い力), 重力
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2. 電場・磁場・電磁ポテンシャル荷電粒子の古典力学
F: 電荷qに働く力, E: 電場, B: 磁場A = A(x) = (φ,A): 4元電磁ポテンシャルx = (t,x): 4元時空座標
F = q(E +v
c×B),
E = −∇φ− 1c
∂A
∂t,
B = ∇×A,
md2x
dt2= F.
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E,B: 変換 A→ A +∇Λ, φ→ φ− 1c ∂Λ∂t の下で不変.(Λはxの一価微分可能関数)
E, Bは各x = (t,x)で確定した値をもつ場.
A: Newtonの運動方程式の中に現れない.Maxwell方程式もE, Bのみで書ける.Λの分だけ値が定まらない.場? 不要?
ハミルトニアン : H = 12m
[p− q
cA(t,x)
]2+ qφ(t,x).
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荷電粒子の量子力学
i~∂ψ(t,x)∂t = Ĥψ(t,x), (?)Ĥ = 12m
{p̂− qcA(t, x̂)
}2+ qφ(t, x̂).
p̂:正準運動量(−i~∇), p̂− qcA:力学的運動量(mv)
(?)は下の変換に対して不変:
A→ A +∇Λ, φ→ φ− 1c ∂Λ∂t ,ψ → exp[iΦ]ψ, Φ = qΛ~c .
ψ → exp[iΦ]ψの意味は?
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ψ(x)の場の理論要請:大域的位相変換ψ → exp[iΦ]ψ (Φ = const.) のもとで
作用は不変であるべし. → 電荷の保存.より強い要請 (ゲージ原理):
局所的位相変換 ψ → exp[iΦ(x)]ψ, Φ(x) = qΛ(x)~cのもとで作用は不変であるべし.
→ A→ A +∇Λ, φ→ φ− 1c ∂Λ∂tのように変換するゲージ場Aがなければならない.
A: U(1)ゲージ場.ゲージ原理によって導かれる. Λ(x)だけの不定性あり.積分 ∮sA · ds =
∫∫SB · dS = 磁束: 不定性なし.
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4. AB効果
(M.Ueno. Doctor thesis)
• 電子はコイル外のみを運動.•コイル内でのみB 6= 0.•コイル内外でA 6= 0.
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スクリーン上の干渉縞はコイル内のBの影響を受けるか.(電子はBを感じるのか, Aを感じるのか.)
受ける. Aを感じるのだ.Ehrenberg− Siday(1949)Aharonov −Bohm(1959)
S-W(1974): Bのみを感じるのだ.∵ 流体力学的定式化では |ψ|2を決めるのにAは不要.
B-L(1978): 受ける筈がない. Bのみを感じるのだ.∵ (多価のΛによる)ゲージ変換でコイル外でA = 0とできる.
S-Wの場合 : あらたに波動関数(ψ)の一価性の条件を課す必要あり.B-Lの場合 : コイル内にAが定義されない点(特異点)が発生する.
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実験Möllenstedt-Bayhの実験(1962)
干渉縞への影響を確認.棒状コイル. 磁場は洩れていないのか.
Tonomura et al.の実験(1984)ドーナツ状強磁性体. 磁場は洩れていない.
電子はU(1)ゲージ場A = (φ,A)を感じている.Aは実在.
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(外村彰:電子通信学会誌, 2000年)
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5. 非可換ゲージ場
1930年代の強い力:核力の理論は陽子と中性子を混ぜ合わせる大局的変換の下で不変.
Yang-Mills 1954
現代的バージョン:クオークの力学はカラー自由度を混ぜ合わせる局所的SU(3)変換の下で不変.(ゲージ原理)
QRQGQY
→ h(x)
QRQGQY
, h(x) ∈ SU(3).
→Aaµ(x) = (φ
a(x),Aa(x)), (a = 1 ∼ 8). 8種類のグルーオン.非可換ゲージ場. 相互作用の形態(動力学)が決まる.
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ゲージ原理→ Aµ = ∑8a=1AaµT a, T a: su(3)の生成子.E, B→ Ea,Ba (a : 1 ∼ 8)
Fµν =8∑
a=1F aµνT
a =∂Aν
∂xµ− ∂Aµ∂xν
− ig(AµAν −AνAµ).
(g:結合定数)
QR, QG, QY の変換に伴って
Aµ(x) → h(x)Aµ(x)h−1(x) + igh(x)
∂h−1(x)∂xµ
,
Fµν(x) → h(x)Fµν(x)h−1(x).
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Aµ(x)の量子論
近距離で力が弱まる. 漸近自由性.
定理:4次元のくりこみ可能で漸近自由な理論は非可換ゲージ場を含まねばならない.
(Gross-Wilczek, Politzer 1973)
漸近自由への補正は(エネルギーについて)対数的.
実験: 電子・陽子の深非弾性散乱, 高エネルギー→ Bjorkenスケーリング則.
エネルギー↓, スケーリング則の対数的破れ.
遠距離でも力が弱まらない. クオークの閉じ込め?
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クレイ数学研究所千年期懸賞問題
Prove that the quantum theory of non-Abelian gauge field ex-
ists according to the rigorous standards of mathematical physics
(i.e. constructive quantum field theory) and it has a mass gap.
It has already been well proven at the standards of theoreti-
cal physics, but not mathematical physics, that the quantum
theory of non-Abelian gauge field exhibits a property known as
confinement.
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可解方程式の理論へのボーナス
非可換ゲージ場の古典論4次元ユークリッド空間,ゲージ群G,反自己双対条件 (Ea,Baについての線形関係式)
G, 離散対称性の選択,積分定数の選択,ゲージ固定の仕方,次元リダクション(4 → d = 1,2,3)
→ 知られているほとんど全ての1,2次元可解方程式.
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ex. d = 2, G = SL(2,C): NLS, KdV, etc.
ex. d = 1:
戸田格子 (ゲージ固定)Euler top (G = SL(2,C))Lagrange top (G = SO(3,1))Kovalevskaya top (G = SO(3,2))Painlevé eqs. (G = Painlevé group ⊂ GL(4,C)))
KdVのd = 2 + 1への一般化= KP : NO.NLSのd = 2 + 1への一般化= Davey-Stewartson: NO.
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6.非可換ゲージ場がもたらすAB的効果 ( 松原, 菅野-上野-山腰 1998 )
三つ葉結び目 三つ葉結び目を縁とする面S′
(M.Ueno. Doctor thesis)
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S′の変形S”(M.Ueno. Doctor thesis)
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G, Hの近傍でのみEa, Ba 6= 0.三つ葉結び目={x(κ)| κ = 0 ∼ 1, x(0) = x(1)} ≡ γ
Gγ = Pκ expig
∫ 10dκAµ(x(κ))
dxµ(κ)
dκ
,
Aµ =∑
aAaµT
a.
Gγ : Stokes型公式. 面の張り方によらない.Gγ=Ga(Gb)−1(Ga)−1Gb, Ga,Gb ∈ G. tr Gγ 6= 1.群の非可換性 ⊗ ループのトポロジーの非自明性
→ AB-効果のような効果( U(1)ゲージ場ではGγ = 1 )
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7. 結語重力:局所ローレンツ変換の下で不変な理論を実現するためのゲージ場
が引き起こす力 (Utiyama 1956)弱電力:局所U(1)× SU(2)変換の下で不変な理論を実現する
ためのゲージ場が引き起こす力(Glashow 1961, Weinberg 1967, Salam 1968)
Qα(x), Aaµ(x), Faµν(x):値が定まらない.
Q:いいのだろうか.A:いいのだ.
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場の概念の拡張:時空Mとゲージ群Gの積:直積M ×G → Mの各点で定義された場MとGのねじれた積
→ ねじり方の自由度→ ファイバー束のConnection(接続), Curvature(曲率)→ Aaµ, F aµν.
ねじり方の自由度に依存しない量のみが測定可能.
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(M0̈bius Strip-Wikipedia)
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本日
頭脳明晰につき休講