(7)  Linear Programming 

A student took 60 minutes to answer a combination of 20 multiplechoice and extendedresponse questions. She took 2 minutes to answer each multiplechoice question and 6 minutes to answer each extendedresponse question.  How many of each type of question was on the test? 

Bell work

Linear Programming

Linear Programming is a method for finding a minimum or maximum value of some quantity, given a set of constraints 

(7)  Linear Programming 

• Developed in 1947 by George Dantzig, while working on the problem of allocating supplies for Air Force troops during World War II, in a way that minimized total cost.  

• Today, business and industry are quick to use his methods when solving problems related to warehouse locations, factory designs, and utilizing resources among many other  problems.

A little history...

Feasible region:  contains all the points that satisfy ALL the constraints

Objective function: the quantity you are trying to maximize or minimize

If there is a maximum or minimum value of the linear objective functions, it occurs at one or more vertices of the feasible region.   

(7)  Linear Programming 

The constraints in a linear programming situation form a system of inequalities, like the one below. The graph of the system is the feasible region. 

The quantity you are trying to maximize or minimize is modeled with an objective function. *This quantity is often cost or profit .

x ≥ 2y ≤ 6y ≥ 3x +y ≤ 10

Constraints 

{

If there is a maximum or a minimum value of the linear objective function, it occurs at one or more vertices of the feasible region.

(7)  Linear Programming 

Step 1: graph the inequalitiesStep 2: form the feasible regionStep 3: find the coordinates of each vertexStep 4: Evaluate objective function at each value 

Steps to Linear programming 

Find the point that minimizes the objective function: C= 3x+2y

Constraints

x ≤ 2

y ≥ 1

y  x ≤ 3{

(7)  Linear Programming 

x+2y ≤ 5x  y ≤ 2x≥0y≥ 0

constraints 

{P = 2x + y 

What point in the feasible region maximizes P of the objective function P = 2x + y ?

P has a maximum value of 7 when x= 3 and y = 1

Use the set of constrains to find the maximum and minimum value of the objective function: C= 8x+15y

Constraints

x + y ≥ 1

8x  2y ≤ 8

3y ≤ 7x+3{

(7)  Linear Programming 

Find the minimum value and the maximum value of C = x + 3y subject to the following constraints.

Constraints

x ≥ 2

x ≤ 5

y ≥ 0

y ≤ 2x + 12

{

Jan, the ticket agent for a small commuter airline, has developed a model to forecast the total monthly revenue from the airline's passenger service.

Under this model, the total revenue, R, is equal to $360 times the number of firstclass passengers, F, plus $322 times the number of coach passengers, C.

Their flight schedule and overall aircraft capacity limit the total number of passengers carried during a single month to a maximum of 30,625.

The number of coach passengers is at least 5 times the number of firstclass passengers, and, logically, the number of airline passengers in either class cannot be negative.  

Express this model mathematically.

(7)  Linear Programming 

Mrs. Simpson, an analyst at MegaCorp, has developed a model to forecast the company's profits from investment.  

Under this model, profit, P, is equal to 0.29 times the investment in equipment plus 0.38 times the investment in labor.  

Budget constraints mean that total investment in labor and equipment cannot exceed $150,000; logically, investment in labor and equipment cannot be negative.

Write and graph the objective function for profit, P, and the set of constraints to which it applies.

P= 0.29x + 0.38y

x + y ≤ 150,000

x≥0

y≥0{x = investment in equipment 

y = investment in labor

(7)  Linear Programming 

Max is a farmer who plants corn and wheat.  In making planting decisions, he used the 2006 statistics in the chart from the US Bureau of the Census.

Crop Yield per acre Average price

corn 113.5 bu $3.15 per buwheat 35.8 bu $4.45 per bu

Max wants to plant according to the following constraints:

• no more than 120 acres of corn and wheat• at least 20 and no more than 80 acres of corn• at least 30 acres of wheat

How many acres of each crop should Max plant to maximizethe revenue from the harvest?

(7)  Linear Programming 

Linear Programming Word Problems

Baking a tray of corn muffins takes 4 cups of milk and 3 cups of wheat flour.  Baking a tray of bran muffins takes 2 cups of milk  and 3 cups of wheat flour.  A baker has 16 cups of milk and 15 cups of wheat flour.  He makes $3 profit per tray of corn muffins and $2 profit per tray of bran muffins.  How many trays of each type of muffin should the baker make to maximize his profits?

Organize the information in a table.Corn Muffintrays, x

Bran Muffintrays, y  Total

Milk

Flour

Profit

Define Variables:

Use the information in the table to write the constraints and objective function.

Corn Muffintrays, x

Bran Muffintrays, y  Total

Milk 4x 2y  16 Flour 3x  3y 15 Profit 3x  2y  3x + 2y 

3x + 3y 

(7)  Linear Programming 

4x + 2y  0

Answer:  (3, 2) So the baker should make 3 trays of                corn muffins and 2 trays of bran muffins.

Page 1Page 2Page 3Page 4Page 5Page 6Page 7Page 8Page 9Page 10