- 1/52 -シラバスを参照

この科目のテーマは，大きく３つ。

（ａ） 一端子対回路

（ｂ） 二端子対回路

（ｃ） 分布定数回路

- 2/52 -大宮→郡山 １時間

２０００人／１編成 １６両

１２分間隔 １時間に５本

１万人／時間

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

でも，

最初の１時間は だれも来ない よね。

- 3/52 -

分布定数回路

例：テレビのアンテナケーブル

ＬＡＮケーブル

電話線

光ファイバー

送電線

今回の参考書は，「遠藤勲，鈴木靖：電気回路Ⅱ，コロナ社」

- 4/52 -

同軸ケーブル(1) LANケーブル(2) 送電線(3)

引用元

(1)株式会社藤倉 http://www.fujikura.co.jp/products/cable/coaxial/__icsFiles/afieldfile/2009/04/02/cd1201_08_d_620w350h.jpg

(2)エレコム株式会社 http://www.elecom.co.jp/photo/p02/LD-CTFSBU20_02.jpg

(3)送電鉄塔見聞録 http://transmltkbr.sakura.ne.jp/Resources/to0104.jpg

- 5/52 -コンピュータの中

電線を通して命令を出す。↓

届く。↓

電線を伝わって反応が返ってくる。

メモリ

ＣＰＵ

キャッシュ

ケーブル

ＳＳＤなど

のデバイス

マザーボード

- 6/52 -

コンピュータのクロックをいくら速くしても，

電線が長いとコンピュータは速くならないのだ。

ケーブルを短く → 小さいコンピュータを作ろう。

これは情報工学のエンジニアではなく，

電気電子工学のエンジニアの仕事です。

コンピュータは，電気で動いているのだよ。

技術の未来は，諸君にかかっているのだよ。

- 7/52 -具体的な数値で：

光速 ３×１０８[m/s]３００ ｆ : 周波数[MHz]

波長λ＝ [m]ｆ

☆ｆ = 3[MHz] λ=100[m]・AMラジオより少し上。・数 cm サイズの回路なら，λ≒０←集中定数回路

- 8/52 -☆ 50[Hz]で，λ=6千[km]・青森－長野 ：6 百[km] 東北電力－中部電力

札幌－鹿児島：１千６百[km]地球の直径 ：１万３千[km]

☆ｆ = ３[GHz] λ=１０[cm]・コンピュータの中はこれ位が基本波，

高調波はもっと上。１５次→７[mm]・スマートフォン，携帯電話。

- 9/52 -つまり，

・数 mmの回路が，波長と同程度 ←分布定数回路

定在波が乗ってくるので，

電線の長さや素子のサイズも考えるのだ。

さらに，

☆波長短縮率

例：０．６７（同軸ケーブル RG-58A/U）λ≒４[ｍｍ]

- 10/52 -

(a) 部品面 (b) パターン面図．ハードディスクのプリント基板

- 11/52 -

引用 浜田，回路とシステム，共立(2006)，p. 100

- 12/52 -引用 浜田，回路とシステム，

共立(2006)，p. 101

長さ Dx[m]の微小区間で考える。

R [W/m]→ RDx 導線の抵抗，超電導じゃないんだ。L [H/m]→ LDx 0回巻のｺｲﾙでもｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽはあるよ。C [F/m]→ CDx 平行導線の間の静電容量です。G [S/m]→ GDx 導線間の絶縁材料にも少しだけ電流

が流れる。

- 13/52 -

参考書の図 11.3

P→ Q（長さ Dx）の間に電圧が下がる。 →左辺

電流による電圧降下 →右辺

¶ i(x, t)v(x, t)-v(x+Dx, t)=RDx･i(x, t)+LDx …(11.1)

¶ t

電圧 v(x, t)

電流 i(x, t)

距離 x x+Δx

C・Δx G・Δx

P点 Q点

i(x+Δx, t)

v(x+Δx, t)

R・Δx L・Δx

- 14/52 -

d iv = R i + L

d tの形ね。

- 15/52 -

参考書の図 11.3

P→ Q（長さ Dx）での電流の減少 →左辺

線間の漏れ電流 →右辺

¶ v(x+Dx, t)i(x, t)-i(x+Dx, t)=GDx･v(x+Dx, t)+CDx

¶ t …(11.2)

電圧 v(x, t)

電流 i(x, t)

距離 x x+Δx

C・Δx G・Δx

P点 Q点

i(x+Δx, t)

v(x+Δx, t)

R・Δx L・Δx

- 16/52 -両式から，

一様線路の基本式を得る。

い ち よ う

¶ v(x, t) ¶ i(x, t)ー = R･i(x, t) + L …(11.3)

¶ x ¶ t

¶ i(x, t) ¶ v(x, t)ー = G･v(x, t) + C …(11.4)

¶ x ¶ t

・R, L, C, G ：どんな線路かに依って決まる。・初期条件と境界条件に応じて微分方程式を解く。

- 17/52 -電信方程式 電圧だけ，電流だけ の式

¶2 v(x, t) ¶

2 v(x, t) ¶ v(x, t)= LC + (RC+LG) + RG･v(x, t)

¶ x2¶ t2

¶ t…(11.5)

¶2 i(x, t) ¶

2 i(x, t) ¶ i(x, t)= LC + (RC+LG) + RG･i(x, t)

¶ x2¶ t2

¶ t…(11.6)

- 18/52 -基本式(11.3)(11.4)を解いてみる。

電源の時間的変化が正弦波なら，→ jwが使える。

v(x, t) = V(x) ejwt

i(x, t) = I(x) ejwt

ejwt = ejwt自然対数の底 e = e = 2.71828…

e：イプシロン（ギリシャ文字）

e：イー（英語）

- 19/52 -

d2V(x)= (R + jwL)(G + jwC)V(x)

dx2

d2I(x)= (R + jwL)(G + jwC)I(x)

dx2

- 20/52 -

他科目との関連

集中定数回路 分布定数回路

定常状態 電気回路伝送回路

過渡状態 過渡現象

- 21/52 -閑話休題，集中定数だったら，

v(t)=Vm sin(wt+q1)

i(t)=Im sin(wt+q2)

dq(t)= i(t) dv(t) di(t)

dt i(t) = C ，v(t) = Ldt dt

q(t)=C･v(t)v(t) = R・i(t)

という瞬時値の式から，

- 22/52 -

V = Z・I． ． ．

1Z = R + jwL +．

jwC

のように定常状態として，

インピーダンス Ｚ を使いたいよね。．

- 23/52 -特性インピーダンスＺ０

線路を入力端から見ると，

このインピーダンスに見える。

例：ﾃﾚﾋﾞのｱﾝﾃﾅｹｰﾌﾞﾙ 75[Ω](3C-FV等)

伝搬定数γガンマ

α：減衰定数，β：位相定数アルファ ベータ

と置くと，

Z0=G+jyCR+jyL

γ = R+jyL G+jyC = α + jβ

- 24/52 -

V(x) = a･e-gx + b･egx

1I(x) = (a･e-gx + b･egx)

Z0となります。

ここで，右辺第１項：右へ進む波，入射波，進行波

右辺第２項：左へ進む波，反射波，後退波

引用 池田哲夫，回路網理論，丸善(昭 55)

- 25/52 -Ｚ０，γの計算は，ややこしそうだが，実際には，

ガンマ

無損失線路 R = 0 導線の抵抗率も

G = 0 絶縁物の導電率も

かなり小さいよね。

であれば，

， だね。

また，

位相速度(波動の伝搬速度) …(11.10)

Z0= CL

γ = jβ = jy LC

up = 1/ LC

- 26/52 -分布定数回路を２端子対回路として表現できる。

Ｆパラメータを使って，

V 1

I1= F

V 2

I2

- 27/52 -

Ｆパラメータ

Ｚパラメータ

Ｙパラメータ

池田哲夫，回路網理論，丸善(昭 55)

F =coshγℓ Z0sinhγℓsinhγℓ

Z0coshγℓ

Y =

cothγℓZ0

-Z0sinhγℓ

1

-Z0sinhγℓ

1 cothγℓZ0

Z =Z0cothγℓ sinhγℓ

Z0

sinhγℓZ0

Z0cothγℓ

- 28/52 -双曲線関数sinh x =

ex - e-x

2

cosh x =ex + e-x

2

tanh x =cosh xsinh x

=ex + e-x

ex - e-x

coth x =tanh x

1=

ex + e-x

ex - e-x( x ≠ 0 )

sech x =cosh x

1=

ex + e-x

2

cosech x =sinh x

1=

ex - e-x

2( x ≠ 0 )

- 29/52 -

次に，分布定数回路の

過 渡 状 態

についても考えてみよう。

- 30/52 -まずは，集中定数回路のことを思い出そう。

Ｒ－Ｌ直列

ここで，v(t)=V・u(t)

単位ステップ関数(unit step function)

科目「過渡現象」で使う。

v(t)=Vm sin(wt)なら，科目「電気回路」で使った。

d i(t)L + R・i(t) = v(t)

d t

１

０ ｔ

- 31/52 -V

i(t) = (1 ー ε-(R/L)t )R

T = L / Ri(-0) = 0i(∞) = V / R

引用 高橋,他，電気回路，p.187，ｵｰﾑ社(平 17)

- 32/52 -電流 i(t)は，回路のどこでも同じです。

Rを分散させてみましょう。r1=r2=r3=r4=r5=r6=r7=r8

R=r1+r2+r3+r4+r5+r6+r7+r8

直列→合成抵抗は Rです。

rn･i(t)=vn(t) n=1,2,3,4,5,6,7,8回路のどこでも電圧は同じです。

- 33/52 -ところが，長～～い線路では，

t = 0 でステップ状の入力

- 34/52 -

■■ x = 0 での電圧

ところが，x = x1(送電線の途中)では，電圧が伝わってくるのに時間がかかります。

x = ℓ (需要家)では，スイッチを入れてもしばら～くしないと，電圧が届きません。

ﾀｲﾑﾗｸﾞあり。

- 35/52 -電圧が届くのに，なぜ時間がかかるのだろう。

ｑ(t)ｖ(t) ＝

Ｃ

q(t) = i(t) dt

- 36/52 -グラフの横軸を xにして描いてみましょう。

エネルギー機器実験で測定＆ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝをやっています。

- 37/52 -さて，

線路が無限長なら→電圧の波はどこまでも進行して行きます。

有限長なら→反射します。

特性ｲﾝﾋﾟｰﾀﾞﾝｽ Z01 から Z02 の線路(回路)へ抜けようと

する場合の電圧反射係数 rv

Z01 - Z02rv =

Z01 + Z02

- 38/52 -

特性インピーダンスが異なる伝送線路をつなぐと，

エネルギーが反射して戻ってきちゃう。

送りたい→→→→ →→→→

送信機－ ケーブル －アンテナ

← ←戻っちゃう

- 39/52 -例 50[W]から∞(開放)へ

∞ - 50rv = = 1∞ + 50

例 50[W]から 150[W]へ150 - 50rv = = 0.5150 + 50

例 50[W]から 50[W]へ50 - 50rv = = 050 + 50

特性ｲﾝﾋﾟｰﾀﾞﾝｽと等しいｲﾝﾋﾟｰﾀﾞﾝｽで終端されると反射がありません（無限長と同じです）。

- 40/52 -

出典「遠藤勲，鈴木靖：電気回路Ⅱ，p.94，コロナ社」例題 11.2

- 41/52 -

ならったよね。

- 42/52 -

１ナノ秒＝１０－９秒

- 43/52 -

ちなみに，

周期 Ｔ ＝１０［ｎＳ］なら，

周波数 ｆ＝１／Ｔ＝１００［ＭＨｚ］な感じです。

どんなに「高速」の通信でも，

このような距離による遅延は，どうにもなりません。

- 44/52 -

- 45/52 -

- 46/52 -

- 47/52 -

- 48/52 -

長～い電線の左に 20[V]をつないでも，

右で電圧を観測できるまでには，少し時間がかかるのだ。

右が 20[V]になるには，線路全体が 20[V]に充電されるには，もっと時間がかかるのだ。

- 49/52 -【分布定数 演習１】 Ｚ０

無損失線路の特性インピーダンスが ５０［Ω］，

静電容量が １０２［ｎＦ／ｋｍ］であるとき，

インダクタンス［μＨ／ｋｍ］を求めよ。

であるから，

ｋ とか μ とか ｎ に注意ね。キロ マイクロ ナノ

Z02 =CL

502 = L [H/km] / 102× 10-9 [F/km]L =

==

50255× 10255

2× 102× 10

[μH/km]-6 [H/km]

-9

Z0 =CL

- 50/52 -【分布定数 演習２】 ｕｐ

伝搬速度が ２００，０００［ｋｍ／秒］で，

全長 １［ｋｍ］の有限長線路がある。

送端に印加した信号が，受端に到達するのに必要な

時間［μ秒］（最初の波が届くまでの時間）を求めよ。

時間＝距離／速度

＝１×１０３／２０００００×１０３

＝５×１０－６［秒］＝５［μ秒］

- 51/52 -

試験，がんばって。

- 52/52 -１．一端子対回路

(1) フォスターの方法で回路を構成する。（部分分数展開）(2) カウエルの方法で回路を構成する。（連分数展開）

２．二端子対回路

(1) L形回路の Z, Y, Fパラメータを求める。(2) T形回路の Z, Y, Fパラメータを求める。(3) π形回路の Z, Y, Fパラメータを求める。

３．分布定数回路

(1) 伝搬速度(2) 特性インピーダンス