FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia (momentum, heat, mass transfer)

processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico

esempi moto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti

(moti interni, moti esterni) scambio di massa attraverso pareti cellulari e membrane fenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria

moti convettivi terrestri

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

RBC RBC membrane Plasma film around RBC Plasma Plasma film adiacent to capillary wall Endotelium Tissue

A B C D E F G

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

controlled drug release system

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia (momentum, heat, mass transfer)

processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico

meccanismi simili su scala molecolare (analogie fisiche intrinseche)

forze motrici: differenze di concentrazione Dci gradienti di concentrazione ci

effetti risultanti: flussi del componente i

processi risultanti da differenti valori di grandezze (velocità, temperatura, concentrazioni)

all’interno di una regione, tra due regioni o fasi contigue

esempi moto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti

(moti interni, moti esterni) scambio di massa attraverso pareti cellulari e membrane fenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria

esempio: diffusione di massa all’interno di una regione gassosa (emissioni di inquinanti) permeazione di principi attivi in applicazioni transdermali assorbimento di gas in fasi liquide o di idrogeno in metalli

<>

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

scelta dell’espressione delle forze motrici: Dci o ci : scelta dell’approccio analitico

Dci approccio ‘ingegneristico’ convenzionale (rate process approach)

coefficienti di trasferimento e correlazioni empiriche per il calcolo del trasferimento globale

leggi costitutive: equazioni differenziali simili (analogie formali sul piano matematico)

ci approccio ‘fondamentale’ molecolare (transport approach)

proprietà di trasporto e leggi costitutive

possibilità di calcolo delle condizioni locali (profili di velocità, temperatura, concentrazione)

possibilità di analisi di processi simultanei di trasporto

possibilità di impiego nell’analisi di nuove tecnologie

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

diffusione di H2 in un metallo:

profili di concentrazione di H2 nel metallo a tempi differenti

Dc costante nel tempo

flusso variabile nel tempo

k variabile nel tempo

flusso = k Dc

H2

co

cb

Dc = co-cb

metallo

c variabile nel tempo

flusso variabile nel tempo D costante nel tempo

flusso = -D c

H2 metallo transport approach

rate process approach

scelta dell’espressione delle forze motrici: Dci o ci : scelta dell’approccio analitico

MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

trasporto convettivo - trasporto molecolare

dipendente indipendente

dal moto di insieme del fluido

trasporto convettivo : trasporto simultaneo di massa, quantità di moto, energia

trasporto efficace, legato alla velocità del fluido, importante lontano dai contorni del sistema

trasporto convettivo:

complessità dell’analisi legata alla complessità del moto

miscelazione di due fluidi dissoluzione di sali

raffreddamento di un corpo caldo

dipendente da:

natura del moto (forze motrici, applicate o inerenti), velocità (moti laminari, moti turbolenti) contorni semplici, regolari o irregolari proprietà (struttura) del fluido

differente efficacia dei processi di trasporto in assenza o in presenza di un moto impresso

(interno o esterno)

MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

esempio di trasporto molecolare in assenza di meccanismi convettivi : trasporto di energia (calore) in solidi

fattore di proporzionalità: proprietà inerente del materiale di trasportare energia (calore)

su scala molecolare:

energia tempo

DT, S, 1

l

S

l

T1 (> T2) T2

q

conducibilità termica k

k = 380 W / m . K (rame) 0.04- 0.13 W / m . K (legno)

conducibilità termica k legata a meccanismi molecolari (moti traslazionale, vibrazionale, rotazionale)

alla struttura microscopica (cristallina/amorfa) in solidi

trasporto convettivo e trasporto molecolare possono coesistere in fluidi

e avere direzioni uguali o differenti

differenti velocità di trasporto

trasporto convettivo trasporto molecolare

MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

conducibilità termica k di materiali

conducibilità termica k di elementi

MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

conducibilità termica k di materiali (W m-1 K-1)

conducibilità termica k di elementi

MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

conducibilità termica k di elementi

MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

conducibilità termica k di elementi

FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

processo di trasporto molecolare tra punti / regioni diverse di uno stesso sistema / fase

oppure di sistemi / fasi diverse comunicanti tra loro attraverso una parete / interfaccia permeabile al processo

trasporto molecolare di energia (calore) prodotto da condizioni di non equilibrio termico

velocità di trasporto molecolare in direzione x da alta T a bassa T

velocità di trasporto dipendente da

differenza di temperatura DT e distanza Dx

DT 0

dalla velocità di trasporto dipendono:

le dimensioni dell’apparecchiatura destinata allo scambio termico (condizione di progetto)

la capacità di scambio termico di un’apparecchiatura esistente (condizione di verifica)

T grandezza misurabile e controllabile

FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

trasporto molecolare di materia prodotto da condizioni di non equilibrio chimico:

velocità di trasporto molecolare della specie i in direzione x

da alto potenziale chimico mi a basso potenziale mi

velocità di trasporto dipendente da differenza di potenziale Dmi e distanza Dx

Dmi 0

mi grandezza di riferimento necessaria

in presenza di più cause fisiche del trasporto di materia

(effetti di concentrazione, temperatura, pressione)

in termini volumetrici

densità di massa ri o densità (concentrazione) molare ci

in termini relativi

frazione di massa wi o frazione molare xi

V

m ii r

V

nc i

i

r

rw

i

ii

i

ii

c

cx

mi grandezza non misurabile (direttamente)

sostituzione con concentrazioni

ijij nnP ,T ,nnV,S ,n

G

n

Uμ

ii

i

FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

due direzioni distinte

della velocità (z) e del trasporto di quantità di moto (x)

trasporto molecolare di quantità di moto (mv, ) da regione di alta velocità v a regione di bassa v

vm

grandezza vettoriale (non scalare) vm

z

x v

alta v

bassa v

rappresentazione formale più complessa

(ricorso a grandezze tensoriali)

per tener conto delle due direzioni

FLUSSI

flusso FL di una proprietà estensiva L:

quantità di L che attraversa una sezione unitaria

nell’unità di tempo

trasporto molecolare flusso diffusivo trasporto convettivo flusso convettivo

A

L .

dt

dLL portata di L attraverso

la sezione A normale

alla direzione del trasporto

AF

LL

V

LL rconcentrazione volumetrica di L:

AvV portata volumetrica:

vA

VF LLL rr

flusso convettivo di L

attraverso la sezione A

vF LL rflusso convettivo di L in un punto

flusso FL : grandezza vettoriale (FL o ) FL

CONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSI

energia cinetica

concentrazione

volumetrica

2

2

2

12

1

vV

mvr

flusso convettivo

in direzione x

xvv r 2

2

1

entalpia

)(ˆˆ

0TTcHV

Hmp rr xp vTTc r )( 0

massa (specie A)

AA c,r xAxA vcv ,r

xx v

V

m vr

quantità di moto (momento)

xx vv r )(

y

yv

V

m vr xy vv r )(

zz v

V

m vr xz vv r )(

flusso diffusivi equazioni costitutive

del trasporto molecolare

EQUAZIONI COSTITUTIVE

relazione valida per ogni Dx

Ax

Dx

T1 T2

flusso in direzione opposta al gradiente di temperatura

relazioni matematiche tra flussi diffusivi e forze motrici su scala molecolare (puntuale)

trasporto molecolare di energia (calore) osservazioni di Fourier

x

TAkQ x

D

D

x

Qx

Tkq

D

D

flusso

di calore

Dx 0

dx

dTkq

flusso orientato

da alta T (T1) a bassa T (T2) 0

dx

dT

Tkqd x

d Tkq x

legge di Fourier (estensibile in termini vettoriali)

conducibilità termica k: proprietà di trasporto del materiale

EQUAZIONI COSTITUTIVE

serbatoio

ad alta concentrazione di A serbatoio

a bassa concentrazione di A

diffusione

x

xDcJ A

A mxAD

D flusso diffusivo di A

Dx 0

x

Ax

dx

dxDcJ A

A mxA

in direzione opposta al gradiente di concentrazione

flusso orientato da alta xA a bassa xA

0dx

dx A

legge di Fick (estendibile in termini vettoriali)

diffusività o coefficiente di diffusione DAm: proprietà di trasporto del materiale

proprietà di miscela (A m)

d x

d cD

d x

d xDcJ A

A mA

A mxA a c costante

AAA cxcJ A mA m DD

trasporto molecolare di materia osservazioni di Fick e di Graham

EQUAZIONI COSTITUTIVE

trasporto molecolare di quantità di moto osservazioni di Newton

in direzione opposta al gradiente di velocità

z

x v

alta v

bassa v

trasporto di quantità di moto secondo z in direzione x

da strati ad alta vz a bassa vz

0v

dx

d z

legge di Newton, valida per fluidi semplici (Newtoniani) (indipendente dalle condizioni di moto e dal tempo)

viscosità m: proprietà di trasporto del materiale

dx

d zx z

vm

xz flusso di quantità di moto (sforzo tangenziale)

primo indice: direzione del trasporto di quantità di moto

secondo indice: direzione del moto

legge di Newton generalizzabile in forma tensoriale

vm

ANALOGIE

equazioni costitutive (Fourier, Newton, Fick)

riscrittura delle leggi di Newton e di Fourier

n viscosità cinematica, a diffusività termica

)v(ρ)v(ρρ

μvμτ zzx z

d x

dv

d x

d

d x

d z

flusso

gradiente proprietà di trasporto =

Ohm forza motrice

resistenza flusso =

d x

d cJ A

A mxA D

: concentrazioni volumetriche zvr Tc p

ˆr Ac

: diffusività A mD,,v a

A mD diffusività (di materia)

significato analogo, stesse dimensioni ( L2/ t ) confrontabili numericamente

numeri caratteristici: Prandtl, Schmidt

)(c(ρα)c(ρcρ

kkq 0

pp

p

x TTd x

dT

d x

d

d x

d T

Pr n / a

Sc n / DAm

ESTENSIONI E GENERALIZZAZIONI

equazioni costitutive in coordinate sferiche e cilindriche

dr

d zrz

vm

dr

dTkq r

dr

dcDJ A

A mA r

componente radiale in coordinate sferiche e cilindriche

z

x

y

z

r

r

F

equazioni costitutive in forma generalizzata (vettoriale e tensoriale)

AA mAA m cDxDcJ Tkq

vettori (tre componenti) Jqtensore (nove componenti)

operatore

k

zj

yi

x

: vettore (tre componenti)

operatore

gradiente di grandezza scalare vettore

gradiente di grandezza vettoriale tensore

divergenza di grandezza vettoriale

scalare

TAc

v

(in coordinate cartesiane)

vm

)vv(μ T

v

OPERATORE GRADIENTE

z

k

zj

yi

x

coordinate cartesiane

k

zj

ri

r

1

coordinate cilindriche

k

rj

ri

r sin

11

coordinate sferiche

z

x

y

z

r

r

F

STATI STAZIONARI E NON

stati stazionari

(grandezze indipendenti dal tempo)

v

z

x

xv z

xv z lineare in stato stazionario

F

per costante nel tempo F

A

Fxz costante nel tempo e nello strato piano

(flusso di quantità di moto costante)

evoluzione della distribuzione di velocità nel tempo

verso il profilo lineare (gradiente di velocità costante)

t1 t2> t1 t

evoluzione analoghe in geometrie analoghe

per la distribuzione delle temperature e delle concentrazioni

F

LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI

applicazione dei principi di conservazione di energia, di materia e di quantità di moto

bilanci di energia, di materia e di quantità di moto per volumi di controllo finiti

bilanci di energia, di materia e di quantità di moto in un punto (equazioni differenziali)

[ input ]-[ output ]+[ sources ]-[ sinks ]=[ accumulation ]

equazione di conservazione

da applicare ad un volume di controllo

scelta agevole del volume di controllo in condizioni di trasporto monodimensionale

flusso z

x

y

Lx Ly

Dz r

r+Dr flusso

Dz

flusso D

Lz

flusso

Dr

LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI

[ input ] e [ output ] risultano dal prodotto dei flussi molecolari e convettivi

che attraversano le superfici del volume di controllo per le corrispondenti aree

[ input ] e [ output ] corrispondono, rispettivamente, ai flussi entranti e uscenti attraverso le superfici

seguendo la direzione positiva del sistema di coordinate indipendentemente dalla direzione del flusso reale

[ sources ] e [ sinks ] sono i termini legati a processi di generazione e di consumo

uniformi all’interno del volume di controllo

(termini di generazione positiva e negativa) reazione esotermica ed endotermica

VHR A DD

HD

AR velocità di reazione della specie A (moli di A reagenti per unità di volume e di tempo)

calore di reazione riferito alla specie A energia per moli di A reagenti

(endotermico: negativo, esotermico: positivo)

[ accumulation ] = 0 stato stazionario

VR A D

[ input ]-[ output ]+[ sources ]-[ sinks ]=[ accumulation ]

equazione di conservazione

da applicare ad un volume di controllo

RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI

elementi necessari per la risoluzione dei problemi di trasporto di energia, di materia e di quantità di moto

e procedura di risoluzione

equazioni di bilancio (equazioni differenziali)

(principi di conservazione)

equazioni costitutive (equazioni differenziali)

(comportamento dei materiali e valori delle proprietà di trasporto)

condizioni al contorno e condizioni iniziali (particolarizzazione del problema)

(dalla soluzione generale a quella particolare)

combinazione dell’equazione di bilancio e dell’equazione costitutiva:

equazione per la risoluzione del problema (equazione differenziale)

soluzione generale attraverso integrazione/i

CONDIZIONI AL CONTORNO

esemplificazione per un problema di trasporto di energia in stato stazionario

problema del riscaldamento della guaina

calcolo della distribuzione di T

filo elettrico con guaina esterna

LR

flusso

2R2 2R1

r

z

TF

Condizioni del sistema (assunzioni, semplificazioni): temperatura del filo costante in direzione z

temperatura alla parete interna della guaina (R1) eguale alla temperatura del filo TH

temperatura alla parete esterna (R2) eguale alla temperatura del fluido TF

0)( dr

dTr

dr

d

dal bilancio di energia in direzione radiale all’interno della guaina

CONDIZIONI AL CONTORNO

0)(22 D D

Lrrqr Lqrrrrr

r

z

r+Dr r

L

[ input ] - [ output ] = 0

0)(

D

DD

r

qrrrqrrrrr

0rrqdr

d

dr

dTkq r

0)( dr

dTkr

dr

d

0)( dr

dTr

dr

dk costante

due integrazioni : due costanti (C1, C2) da determinare

per ricavare la soluzione specifica

due condizioni al contorno del sistema (guaina)

1Rrp e rTT H

2Rrp e rTT F

21 ln CrCT

1

1

2

ln

lnR

r

R

R

TTTT FH

H

21 RrRp e r

CONDIZIONI AL CONTORNO

condizioni al contorno: due valori di temperatura

altre condizioni al contorno

nei problemi di trasporto di energia (calore)

riguardanti il flusso:

b) caso di perfetto isolamento

a) flusso costante al contorno

22

Rrp e rc o s t a n t eqRr

22

Rrp e r0qRr

profilo di temperatura

nella guaina

r

R

R

TTk

dr

dTkq FH 1

ln1

2

cost

ln

22Q

1

2

R

R

TTkLqrL FH

TF

TH

CONDIZIONI AL CONTORNO

condizioni al contorno tipiche dei problemi di trasporto

di energia, di materia, di quantità di moto

quantità di moto

energia

materia

costdx

dTkq

i

i

sulle variabili sui flussi

0iqperfetto isolamento

(adiabaticità)

costdx

dcDJ

i

A

iA

0iAJ

impermeabilità

da velocità di reazione alla superficie

(catalisi eterogenea)

costdx

d

i

i j mjv

ii xi jxi j

all’interfaccia tra due fluidi

0 i j

all’interfaccia gas/liquido

c o s tT

superfici isoterme

c o s tc A

equilibrio

all’interfaccia

c o s tj vvelocità dei contorni mobili

(assenza di slittamento)

0j vcontorni fissi

(assenza di slittamento)