1

Ferde helyzetű kéttámaszú tartó - feladat – ismét

E témakörben már több korábbi dolgozatunk is született:

~ KD - 1: A ferde tartó megoszló terheléseiről;

~ KD - 2: Kéttámaszú tartó ferde támasszal;

~ KD - 3: Néhány feladat a ferde kéttámaszú tartók témaköréből.

Ezekben már sok mindent elmondtunk a témáról, amit most megint kiegészítünk.

Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

1. ábra

Az [ 1 / 1 ] feladatgyűjteményben találkoztunk egy hasonló feladattal, amit így alakítunk

át.

Adott: egy egyenes tengelyű, l hosszúságú kéttámaszú tartó, melynek

~ tengelyvonala a vízszintessel α szöget zár be,

~ alsó támasza fix csuklós, felső pedig görgős, ámde változtatható β állásszöggel;

~ terhelése egy a hossza közepén ható F nagyságú, függőlegesen lefelé mutató koncentrált

erő;

~ keresztmetszete téglalap, melynek méretei b és h.

Keresett:

~ a tartóban ébredő maximális nyomófeszültség.

Útmutatás:

~ a gerenda önsúlyát hanyagoljuk el, valamint

~ dolgozzunk ki számpéldát!

2

A megoldáshoz tekintsük a 2. ábrát is!

2. ábra

Itt a ferde rúdra ható, egyensúlyban lévő ( F, A , B ) erőrendszert szemléltettük.

A három erő hatásvonala az M pontban metsződik. A jobb oldali ábrán a közös metszés -

pontú síkbeli erőrendszer egyensúlyát kifejező zárt vektorháromszöget is megrajzoltuk.

Ebből szinusztétellel a reakcióerők nagysága:

innen:

( 1 )

Hasonlóan:

innen:

( 2 )

Most felállítjuk a φA és az α , β szögek közti összefüggést. A 2. ábra bal oldali részéről:

tehát:

( 3 )

3

Az ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) képletekkel a reakcióerők ismertté váltak.

A tartó igénybevételi ábráihoz nyújt segítséget a 3. ábra.

3. ábra

Felbontjuk az F aktív és az A , B reakcióerőket x és y menti összetevőikre:

( 4 )

( 5 )

( 6 / 1 )

( 6 / 2 )

Egyensúly esetén fennállnak az alábbi összefüggések is:

( 7 / 1 )

( 7 / 2 )

Folytatjuk a reakciókomponensek számításának részletezését.

Most ( 1 ) és ( 5 ) - tel:

( 8 )

majd ( 2 ) és ( 6 ) - tal:

( 9 )

4

Az igénybevételi ábrák elkészítéséhez számadatokat veszünk fel, mivel a 3. ábra csak

minőségi képet mutat, a mennyiségi viszonyokat nem valósághűen mutatja be.

Adatok:

F = 1000 N; α = 60°; β = 30° ; l = 600 cm. ( A )

Először ( 3 ) és ( A ) - val:

( a )

Másodszor ( 8 ), ( 9 ), ( A ) és ( a ) - val:

( b )

( c )

( d )

( e )

Az F erő komponensei ( 4 ) - gyel és ( A ) - val:

( f / 1 )

( f / 2 )

Ellenőrzés ( 7 ), ( b ), ( c ), ( d ), ( e ) és ( f ) - fel is:

( g / 1 )

( g / 2 )

A ( g ) egyenletek szerint a ( 7 ) ellenőrző összefüggések teljesültek, így jól dolgoztunk.

A legnagyobb hajlítónyomaték értéke az elsőrendű elmélet szerint:

( 10 )

így ( 10 ), ( A ) és ( c ) - vel:

( h )

5

Az igénybevételi ábrákat a 4. ábrán jelenítjük meg.

4. ábra

A nyomatéki és a normálerő ábra alapján mondható, hogy a legnagyobb nyomófeszültség

a tartó középső keresztmetszetétől egy kicsivel balra ébred. Ennek nagysága:

( 11 )

itt:

6

~ S: a rúd keresztmetszeti területe,

( 12 )

~ K : a téglalap keresztmetszet keresztmetszeti tényezője:

( 13 )

ámde ( 10 ) - zel is ismételve:

( 14 )

majd ( 1 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel:

( 15 )

ámde ( 5 ) - ből:

( 16 )

így ( 15 ) és ( 16 ) szerint:

( 17 )

most ( 8 / 1 ) és ( 17 ) - tel:

( 18 )

Felvéve a keresztmetszeti méreteket:

b = 10 cm , h = 14 cm ; ( B )

most ( 17 ), ( a ), ( b ), ( A ), ( B ) - vel:

( i )

Megjegyezzük, hogy a legnagyobb nyomófeszültség értékét az elsőrendű elmélet alapján

nyertük, vagyis nem vettük figyelembe a behajlás miatti, a normálerő okozta hajlító -

nyomaték ~ növekedést. Fagerenda esetén az ( i ) szerinti érték kb. egynegyede a megen -

gedhetőnek.

7

Most vegyük szemügyre a

( * )

speciális esetet – ld. az 1. ábrán középen!

Ekkor ( 3 ) és ( * ) szerint:

( 3* )

Ezután ( 3 * ) - gal is:

( 19 )

Most ( 18 ) - cal, tekintettel ( * ) - ra és ( 19 ) - re is:

tehát:

( 20 )

A ( 20 ) függvény szélsőértékét keressük:

( 21 / 1 )

innen:

( 21 / 2 )

ebből a szélsőértéket adó hajlás:

( 22 )

A szélsőérték nagysága ( 20 ) és ( 21 / 2 ) - vel:

( 23 )

most felhasználjuk, hogy

( 24 )

8

így ( 22 ), ( 23 ) és ( 24 ) - gyel:

tehát:

( 25 )

Számpéldánk adataival, ( 22 ) és ( 25 ) szerint:

( j )

( k )

Az adatainkkal számított ( 20 ) összefüggést az 5. ábra szemlélteti.

5. ábra

Látjuk, hogy a Graph rajzoló szoftver szélsőérték - kereső szolgáltatásával is a ( j ) és ( k )

9

eredményeket kaptuk. Eszerint megfogalmazhatjuk azt az eredmény - következtetést, hogy

a vizsgált tartó β = α speciális esetében létezik a ( 22 ), illetve ( j ) szerinti hajlás, melynél

a ( 25 ), illetve ( k ) szerinti legeslegnagyobb nyomófeszültség lép fel. Ez kicsivel több a

zérus hajlásnál fellépő értéknél. Hogy a szélsőérték maximum, az az 5. ábráról leolvasha -

tó, illetve analitikusan is belátható; ugyanis ( 21 / 1 ) - ből:

( 26 )

a vizsgált 0 ≤ α ≤ 90° szögtartományban.

Elmondhatjuk, hogy feladatunk e speciális esetében gyakorlatilag a gerenda vízszintes

helyzetében ( β = α ≈ 0° ) kapjuk a legnagyobb nyomófeszültséget, a tartó teher alatti

keresztmetszetének szélső szálaiban. Annál is inkább, mert a vízszintestől 1° - nál is ki -

sebb eltérés akár az építés során is előállhat. Ekkor a normálerő hajlító hatása valóban

figyelmen kívül hagyható.

Az 5. ábrán a tompaszög - tartományt is megjelenítettük, csak hogy lássuk a függvény

teljesebb alakját. Itt igazából az 0 ≤ α ≤ 90° szögtartomány érdekes számunkra.

A 6. ábrán az A és B reakcióerő - nagyságok változását szemlélhetjük, a β szög függvé -

nyében, F = 1000 N és α = 60° adatokkal, az ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) képletek alapján.

6. ábra

10

Itt azt látjuk, hogy amíg a megfigyelt 0 ≤ β ≤ 90° szögtartományban A monoton nő, addig

B - nek minimuma van β = α = 60° - nál, azaz π / 3 ( rad ) - nál: Bmin = 250 N.

Most térjünk vissza az 1. ábrához! Itt három különböző, egyszerű statikai modellt látha -

tunk. Meglehet, ezek közül kell választanunk egy valós fizikai probléma modelljének fel -

vételekor. Ám az is megtörténhet, hogy összetettebb modell után kell néznünk, mert az

egyszerűbb nem tudja azt, ami nekünk kell. Elég sok feladat megoldása a helyes(ebb)

modellválasztásban is előrelépést hozhat. Ezért is térünk vissza időnként a ferde helyzetű

kéttámaszú tartó különböző eseteihez: viszonylag egyszerű, ám mégis sok tanulási lehető -

séget rejt magában.

Kiegészítések

K1. Az 1. ábra a 7. ábra saját megfelelője.

7. ábra – forrása:[ 1 / 2 ]

Látható, hogy e feladat hengerelt I - gerendával kapcsolatos, melynek keresztmetszeti

adatai táblázatból veendők. A közölt végeredményekből leolvasható, hogy a görgős meg -

támasztás állása hogyan befolyásolja a maximális nyomófeszültséget.

11

K2. Ezután vegyük a [ 2 ] - ben kidolgozott mintapéldát 8. ábra !

8. ábra – forrása:[ 2 ]

Adatai, a mi jelöléseinkkel:

F = 25000 N ; α = 30° ; l’ = l cosα = 3 m ; b = 16 cm ; h = 30 cm . ( C )

Most ( 20 ) és ( C ) - vel:

( l )

Az ( l ) eredmény megegyezik a 8. ábráról leolvashatóval. ☺

Ez egyfajta ellenőrzés képletünkre nézve.

Megjegyezzük, hogy a régi könyvekben még olyan mértékegységeket is használtak, ami -

ket ma már nem, vagy nem így használunk. Ilyen pl. az erő nagyságának tonnában, vagy

kilogrammban – tehát tömeg mértékegységgel való – megadása is.

K3. Térjünk vissza még egy kicsit a β = α speciális esethez! Ekkor ( 4 ), ( 8 ), ( 9 ) és

( * ) - gal, felhasználva ( 19 ) - et ( 3* ) - ot is:

( 27 )

( 28 )

( 29 )

12

tehát – ( 6 / 2 ), ( 28 ), ( 29 ) - cel is – :

( 30 )

A ( 27 ) … ( 30 ) eredmények teljes összhangban vannak a szemlélettel – 9. ábra.

9. ábra

Megjegyzések:

M1. K2. - ben láttuk, hogy a ( 20 ) képlet működik. Ezek szerint a belőle kapott ( 22 ) és

( 25 ) eredmények is helyesek, amit az 5. ábra grafikonja, illetve az erről levett számszerű

eredmények is megerősítettek. Ezek alapján úgy tűnik, hogy egy számunkra eddig még is -

meretlen, új szélsőérték - feladatra bukkantunk. Persze, lehet, hogy másoknak ez nem új.

Az általunk – az utóbbi évtizedek során – átnézett sok tankönyv és feladatgyűjtemény ezt

nem tartalmazta, emlékeink szerint. Igaz – ezt fentebb már megbeszéltük – , hogy gyakor -

lati jelentősége valószínűleg elhanyagolható.

M2. Érdemes a forrásjegyzékben feltüntetett munkákat megkeresni – akár az interneten is.

A figyelmes Olvasónak feltűnhetett, hogy az eredeti munkák milyen sok kiadást megértek,

valamint az is, hogy az idegen nyelvű kiadás sem akárhol történt. Nagyon ajánlott művek!

M3. A feladat kiírása során azt az útmutatást adtuk, hogy a gerenda önsúlyát hanyagoljuk

el. Az egyenletesen megoszló önsúlyteher esetében is létezik egy szélsőérték - feladat,

13

ahogyan az [ 3 ] - ban is látható – 10. ábra. Itt is a maximális nyomófeszültségre vonat -

kozik a szélsőérték - keresés, ámde rögzített gerenda - hajlás esetén, a rúd hossztengelye

mentén megkeresve a szélsőértéket adó keresztmetszetet. A feladat megoldása során

kiderül, hogy

~ a szélsőérték helye a ferde gerenda hosszának közepétől kicsivel az alsó fix támasz felé

tolódik el;

~ a szélsőérték nagysága csak nagyon kevéssel több, mint a gerenda közepén előálló érték.

Érdemes a feladatot végigszámolni, a sajtóhibát, számítási pontatlanságokat felderíteni,

kijavítani. A gerenda itt is, mint a 7. ábrán is, I keresztmetszetű, melyet előzetes számítás -

sal választanak ki.

Most gondoljuk meg, hogy mi lenne a helyzet, ha mind az egyenletesen megoszló, mind a

koncentrált terhet figyelembe kellene venni! Ez legyen a mai házi feladat!

10. ábra – forrása: [ 3 ]

14

Megemlítjük, hogy a 10. ábra 65. példájával részletesen foglalkoztunk egy régebbi dol -

gozatunkban, melynek címe: Egy újabb szilárdságtani szélsőérték - feladat ( 2011 ).

( Van egy ugyanilyen című dolgozatunk 2008 - ból is, ezért írtuk ide az évszámot. )

M4. Úgy látjuk, hogy érdekesek a szilárdságtani szélsőérték - feladatok; az idők során már

megtárgyaltunk egy pár ilyet. Reméljük, eredménnyel! Az érdeklődő Olvasó figyelmébe

ajánljuk, hogy keresse ezeket, majd idővel állítson fel és oldjon meg saját feladatokat is!

Források:

[ 1 / 1 ] – N. M. Beljajev: Szbornyik zadacs po szoprotyivlenyiju matyerialov

11. kiadás, Nauka, Moszkva, 1968., 227. o.

[ 1 / 2 ] – N. M. Belyayev: Problems in Strength of Materials

Pergamon Press, Oxford, 1966., 328 ~ 329. o.

[ 2 ] – N. M. Beljajev: Szoprotyivlenyije matyerialov

14. kiadás, Nauka, Moszkva, 1965., 499. o.

[ 3 ] – I. N. Miroljubov és tsai: Poszobije k resenyiju zadacs po szoprotyivlenyiju

matyerialov

Moszkva, Vüszsaja Skola, 1967., 212 ~ 213. o.

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2017. 07. 23.