INSTITUTOPOLITECNICONACIONALESCUELASUPERIORDEFISICAYMATEMATICAS2015, a no del Generalsimo Jos e Mara Morelos y Pav onCentenario de la fundaci on de la ESIMEConcurso Nacional de MatematicasPierreFermatPierreFermatDenicionUnafuncionf: [ a, b] Rsedicequeesde1clasedeBaireen[ a, b]siexisteunasucesiondefuncionescontinuas fnn; fn: [ a, b] Rtalquefnpuntf en[ a, b] .ConjeturaSi B1 ([ a, b] ) =_f R[ a,b]: fesde1clasedeBaireen[ a, b]_, en-toncescard (B1 ([ a, b] )) = c.GuagratuitaparacategoraNIVELSUPERIOR 2015CONCURSONACIONALDEMATEMATICASPierreFermat2015GUIA PARA NIVELSUPERIOR2Patrocinadopor:TexasInstrumentsUniversidadAnahuacUniversidadAutonomaMetropolitanaUnidadIztapalapaInstitutoPolitecnicoNacionalGlobalBookInstitutoKeplerReasonPlayS.A.Lic.JorgeJairHerreraFloresMatedacticasJJHFCONCURSOPIERREFERMAT, EDICION2015GUIAPARANIVELSUPERIOR1. Presentaci onBreveRese na. Desdela ultimadecadadelpasadosiglo,elIns-titutoPolitecnicoNacional, atraves delaEscuelaSuperior deFsicayMatematicas(ESFM),haorganizadoel ConcursoNacional deMatemati-cas Pierre Fermat.Esteconcurso,sellevaacabograciasalosrecursosecon omicos aportados por el IPN y por los generosos donativos en especiedeempresas, individuoseinstitucioneseducativasp ublicasyprivadasdetodo el territorio nacional. Menci on aparte, merece el entusiasta y desinte-resadoapoyoqueparasurealizaci onbrindantrabajadoresadministrativosydeintendencia, profesores, alumnosyexalumnosdelaESFM, donan-dopartedesuvaliosotiempoytrabajoparalaconstrucci ondetodoelmarcosustantivodel concurso, desdelaelaboraci ondeguasdeestudio,impresi onyaplicaci ondeexamenes, paginaWEBytodosesospeque nosdetallesqueensuconjuntodanvidaalconcurso,elcualsehaconvertidoenunahuellaidenticatoriadelaESFMyporendedelIPN.Amanerade justicaciondel concurso. LaESFM, preocupadapor lapoca preparacion matematica basica de la que hacen gala algunos alumnosdenuevoingresoal IPN, sehadadoalatareadeorganizarel concursoPierre Fermat, persiguiendo entre otros objetivos, el despertar el amor por34 GUIAPARANIVELSUPERIORlasmatematicasenlosestudiantes, captaralumnosytenerunpatr ondereferenciadelaeducacionmatematicaenMexico.2. Qui enfuePierreFermat?PierreFermat fueunabogadofrances nacidoel 17deagostode1601enBeaumontdeLomages, Francia, yfallecidoel 12deenerode1665enCastres, Francia. Fermatfuehijodeunherreroacaudaladoysebeneciodeunaeducaci onprivilegiadavedadaagranpartedel pueblofrances.Susprimerosestudioslosrealizaenel monasteriofranciscanodeGrandselve, estudiandoposteriormenteenlaUniversidaddeToulouselacarrera de leyes. Presionadopor sufamilia, pasa a formar parte de laburocracia francesa, desempe nando por30 a nos el puesto de consejero enlaCamaradelasPeticionesdel ParlamentodeToulouse. Por todoestotendrael derechodeanteponer asuapellidoel artculode, es decir,PierredeFermat.LasmatematicasnofueronunaprofesionparaFermat, sinosupa-satiempo o como decimos en Mexico por amor al arte, sin embargo, suscontribucionesalasmatematicashansidotrascendentes. Fermat nuncapublic osustrabajosenvida,granpartedeestosseconocenporlacomu-nicaci onepistolarqueintercambiabaconmatematicosderenombrecomoMersenne, y por la recopilacion que de ellos publicaron sus hijos, cinco a nosdespues de su muerte bajo el ttulo de Varia Opera Mathematica. EntrealgunasdesusaportacionessobresaleunaGeometraAnalticapropuestavarios a nos antes queladeDescartes, laTeoradeProbabilidades quedesarroll oconPascal,el Principiode Fermatde laOpticaGeometrica, losFundamentosdel CalculoDiferencial, dise noel metododedemostraci ondel descensoinnito, mostr oel potencial delasdemostracionporinduc-ci on. Pero al parecer fue la Teora de N umeros lo que mas gust o a Fermatyfueesteamor loquelellevoaproponer loquepor casi cuatrosiglosrepresent oel sue noinalcanzable, el as llamado,UltimoTeoremadeFer-mat yquemotivoquegranpartedelaTeoradeN umerosAlgebraicosfuesedesarrolladaapartir delos intentos deErnst EduardKummer ysuscontemporaneos,todoelloconeln unicodedemostrartalTeorema.CONCURSOPIERREFERMAT, EDICION2015 5Porotraparte,esteTeoremaapareceen Varia Opera Mathematica sindemostraci on.Paramuchosdesuscontemporaneos,Fermatfueunhombrededi-versos matices. Descartes le llam o fanfarr on, quiza debido a su impotenciapordescalicarloencuantoasuinteligenciayvastosconocimientosma-tematicos. MartinMersenne, conquienFermatintercambiabacorrespon-dencia, le calicaba de el muy ilustrado hombre de Toulouse, mientras quePascal, queposeaungranintelectoyuntalentoinusual parael pensa-miento matematico, lo calic o como el mas grande matematico de Europa,lo cual tal vez, molestaba a Descartes. Wallis, con quien Fermat polemiza-baencuantoalaimportanciadesusresultados,sereferaael comoesemalditofrances.La fama de Fermat y por ende de su ultimo Teorema, se debe a unanotamarginal,manuscritaenunodesuslibros(al parecerfueenunodelosseisdelostrecetomosqueFermatposeadelaobra L Arithmeticarecopiladapor Diofantode Alejandra) tal libroconlas anotaciones deFermatsehaperdidoys olosesabedesuexistenciaporunaedici ondela L Arithmetica publicadaporSamuelFermat,suhijo.Enestaedici on,Samuel transcribi o la nota de su padre bajo los textos griego y latino de lapregunta8dellibro2.Lanotadicetextualmente:ObservatioDominiPetriDeFermatCubumautemin dous cubos, aut quadrato quadratumin duosquadrato quadratos, et generaliter nullam in innitum ultraquadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est divi-dere: cuius rei demostrationem mirabilem sane detexi. Hancmarginis exiguitas non caparet.1Latraduccionaproximadaes:ObservaciondelSe norPierreDeFermat1Existenvariasversionesdeestanotaenlaliteratura.UnadeellasapareceenEd-wardsH. M., FermatsLastTheorem, aGeneticIntroductiontoAlgebraicNumberTheory,SpringerVerlag,1977.6 GUIAPARANIVELSUPERIOREs imposible separar uncuboendos cubos, ounacuartapotencia en dos cuartas potencias o en general, cualquier po-tenciamayorquelasegundaendospotenciassimilares. Hedescubierto una demostraci on verdaderamente maravillosa deesto,peroestemargenesdemasiadopeque noynocabe.En notaci on matematica moderna el ultimo Teorema de Fermat se escribe:Sin 3esunn umeroentero,entonceslaecuaci onxn+ yn= znnotienesolucionesenterasconxyz ,= 0.Enrealidad, nuncasabremosquequisodaraentenderFermatconlacrpticafrase:Hedescubiertounademostraci onverdaderamentemaravi-llosadeesto, peroestemargenesdemasiadopeque noynocabe..Algunos autores sostienen, que si Fermat no hubiese escrito tal frase,losmatematicosnosehubiesenempe nadotantoendemostrarsu ultimoTeorema.3. UnaPeque namuestradeltalentodeFermatAl parecer fue Fermat el verdaderoinventor del c alculo diferencialPierreSimondeLaplaceUna de las grandes contribuciones de Fermat, a quien con toda jus-ticiaselepodranombrar comoel padredelateoraden umeros, esel resultadoqueactualmenteseconocecomopeque noteoremadeFer-mat, y se le llama as, para distinguirlo del ultimo teorema de Fermat. EsteCONCURSOPIERREFERMAT, EDICION2015 7peque no teorema es una de las observaciones mas brillantes que Fermat es-tableci o para los n umeros primos. Su descubrimiento ha tenido numerosasconsecuenciasentodalateoraden umeros,unadeellaseslaaritmeticamodulardeGauss.Comoerahabitual enFermat, el teoremalocomunic oporcartaaFrenicledeBessyel 18deoctubrede1640, enellaFermat noincluyelademostracionporsuponerqueerademasiadolarga, porlodemas, losdestinatarios de Fermat, rara vez le exigieron demostraciones de sus resul-tados.2El teorema, escritoenel lenguajedelascongruenciasideadoporGauss,seescribecomosigue.Peque noTeoremadeFermat. Seapunn umeroprimo. Entonces, paracualquierenteroanodivisibleporp,setieneque:ap1 1 m odp.Lademostracionexcedeel propositodeestemodestotrabajo. El lectorinteresado, puede consultarla en la pagina 51 de la obra: Felipe Zaldvar, In-troduccion a la Teora de N umeros, Mexico, Fondo de Cultura Econ omica,2012.Enrealidad,Fermatoriginalmente,formul osuresultadoparaente-rosatalesque1 a3x 14;7x + 62