METODE FAKTORISASIFERMAT DAN

DIXON

ARIF FACHRU ROZI

27 Oktober 2010

Overview RSA

Algoritma kunci publik yang terdiri dari 2 buah kunci publik dan kunci prifat.Kunci publik (n,e) diketahui oleh umum dan

digunakan untuk proses enkripsi pesan.Kunci prifat (n,d) dirahasiakan dan

digunakan untuk proses dekripsi pesan. “n” merupakan perkalian dua buah

bilangan prima yang besar.

Overview RSA

Variabel Pembangun RSAn = p.q

p, q merupakan bilangan prima

e.d = 1 mod Ø(n)

∅(n) = (p-1) (q-1)

c = me mod (n)

m = cd mod (n)

Bilangan Intejer

Bilangan prima adalah sebuah bilangan asli yang lebih besar dari 1, tidak dapat dibagi oleh bilangan asli selain bilangan tersebut dan 1

Teorema ( Fundamental Theorem of Arithmetic) : “Setiap integer positif n > 1 dapat direpresentasikan sebagai perkalian bilangan prima dan representasi ini bersifat unik“

METODE FERMAT

Metode Fermat

Ide dasar dari metode faktorisasi Fermat adalah: ”Setiap bilangan komposit ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih dari dua buah bilangan kuadrat”.

n = x2 – y2 = (x-y)(x+y)

(x-y) dan (x+y) merupakan faktor dari ”n”

Algoritma Faktorisasi Fermat Input : bilangan integer ganjil positif “n” Output : Sebuah faktor dari “n”, atau

sebuah pesan “n” adalah prima Langkah 1 : Dimulai dengan . Jika

, lalu merupakan faktor dari dan selesai;

jika tidak, naikan 1 nilai bilangan dan ke langkah 2

n2xn x n

x

Algoritma Faktorisasi Fermat Lanj Langkah 2 : Jika ,

kemudian merupakan bilangan prima dan selesai; jika tidak hitung

Langkah 3 : Jika merupakan sebuah bilangan integer ( jika ) kemudian mempunyai faktor (x+y) dan (x-y) dan selesai; Jika tidak naikan 1 nilai bilangan dan ke langkah 2

2/)1( nx

y

nxy 2

nxy 22

x

Contoh Fermat

n = 1342127; Langkah 1;

Cari nilai ‘x” dimana ; diperoleh nilai

Krn x bukan faktor dari n maka ambil nilai x = 1158 lalu naikkan 1 nilai bilangan x;

nx

50,11581342127 x

Contoh Fermat Lanjutan

Langkah 2

Hitung nilai x = (n+1)/2;

x = (1342127+1)/2 = 671064;

x bukan bilangan prima maka lanjut ke langkah 3 hitung nxy 2

Contoh Fermat Lanj.

Langkah 3 Hitung hingga diperoleh nilai

“y” merupakan bilangan integer, dengan menambahkan nilai 1 pada bilangan x .

maka diperoleh nilai sebagai berikut :

nxy 2

1159 33,97

1160 58,97

1161 76,11

1162 90,09

1163 102,18

1164 113

x nxy 2

Contoh Fermat Lanj.

Diperoleh nilai x = 1164; dan nilai y = 113.

Sehingga faktor bilangan “n” diperoleh :

(x+y) = 1164 + 113 = 1277;

(x-y) = 1164 – 113 = 1051;

Faktor bilangan 1342127 adalah 1277 dan 1051

Analisis

Metode Fermat efektif menemukan x dan y jika dua buah bilangan tersebut saling berdekatan. Akan tetapi, metode ini tidak efektif bila dua buah bilangan x dan y tidak saling berdekatan.

METODE DIXON

Metode Dixon

Ide dasar metode ini adala menguraikan bilangan intejer besar bukan mencari nilai x dan y yang menghasilkan namun mencari perbedaan kuadrat modulo bilangan yang diuraikan

atau

Karena membagi

22 yxn

),gcd( nyx ),gcd( nyx n ))((22 yxyxyx

Algoritma Dixon1. Identifikasi factor base, yang merupakan

B-number

2. Cari bilangan-bilangan intejer positifmerupakan

3. Produk dari menghasilkan

4. Produk dari yang berelasi dengan produk tersebut menghasilkan

5. Hitung faktor-faktor dari , yaitu :

atau

)(mod2 npbb ii numberB

nbi mod x)(modnp i

i

nbi mody

n),gcd( nyx ),gcd( nyx

Algoritma Dixon Lanj.- Definisi Least Absolute Residue:

Suatu bilangan b mrpkn least absolute residue

dr a modulus n, dmn n adl bil ganjil jk:

a ≡ b (mod n) dan –(n-1)/2 ≤ b ≤ (n-1)/2

- Metode Dixon m’coba menemukan x dan y dg

menggunakan factor base;

- Factor Base

“Suatu factor base merupakan himpunan bilangan prima yang berbeda kecuali dapat berupa -1”

},...,,{ 21 hpppB 1p

Algoritma Dixon Lanj.

Definisi B-number (B-smooth): merupakan B-number jika

t adalah least absolute residue modulu n, dan

dimana B={p1, p2, …, ph} adalah factor base dan 0, untuk setiap i

)(mod2 ntb

h

iiipt

1

i

Kompleksitas

Contoh Algoritma Dixon

Akan dilakukan percobaan memfaktorkan N=84923

Langkah 1

Kita memilih factor base P={2,3,5,7} Langkah 2

Secara random kita mencari B-number yang dimulai dari hingga N.

Anggap kita peroleh 513 dan 537 n

Contoh Algoritma Dixon Lanj.5132 = 8400 mod 84923 = 24 . 3 . 52 . 7

5372 = 33600 mod 84923 = 26 . 3 . 52 . 7

Jadi

(513.537)2 = (275481)2 mod 84923 = 210 . 32 . 54 . 72

Langkah 3

Mencari bilangan x dari bi mod n;

(513.537)2 mod 84923 = (20712)2 mod 84923

x = 20712

Contoh Algoritma Dixon Lanj. Langkah 4

Produk dari yang berelasi dengan produk tersebut menghasilkan

207122 mod 84923 = (25 . 3 . 52 . 7)2

mod 84923 = 168002 mod 84923 Langkah 5

Hitung faktor-faktor dari , yaitu :

84923 = gcd(20712 - 16800, 84923) x gcd(20712 + 16800, 84923) = 163 x 521

)(modnp ii

nbi mod

y

n

Analisis

Tingkat kesuksesan metode Dixon sangat tergantung pada pencarian bi dengan least absolute residue dari

mod n2ib

Referensi

Mathematics Cipher, SS Coutinho.1998 Factorization and Primality Testing,

David M.Bressoud. 1988 Teori dan Aplikasi Kriptografi, Sentot

Kromodimedjo. 2010 Wikipedia,

Dixon's_factorization_method.htm