- -1

アルキメデスによる円周率の計算（平成１２年）

はじめに1.アルキメデスは，紀元前２００年頃に活躍した大天才である．彼が求めた円周率

は，小数第２位，３ １４ まで正しく計算されていた． 彼の死後，１ ４００年も. ,の間，これを凌ぐ円周率が出現することはなかった．

夏休みを使って，彼の計算を検証してみた．計算機を使用しないで，複雑な計算

をした彼の計算力と忍耐力に驚嘆し 、コンピュータの有り難さをしみじみ感じた．，

引用した文献は，文章，図版の右肩に 印を付した．

アルキメデスが使ったと考えられる不等式2.

古代ギリシャでは， の値を求めるとき， と変形

して，この不等式を利用して計算したものと考えられている．

（証明） とおくと，

だから

……………………①

よって，

だから

a ± 2a ± 1b

< a2 ± b < a ± 2ab

(複号同順）…………(＊)

A = a2 ± b ( b > 0 )1), 2), 3)

a2 ± b = a ± c （a：正の整数 c：正の小数）

a2 ± b = a2 ± 2ac + c2 > a2 ± 2ac

∴ ±b > ±2ac

∴ ± 2ab

> ±c

a2 ± b = a ± c < a ± 2ab

a2 ± b = a ± c 2 = a2 ± 2ac + c2

a2 ± b < a2 ± 2ac + c = a2 ± c 2a ± 1

a > 0

0 < c < 1 c2 < c

A

n)

- -2

は正の整数だから

①と②より，

（ ） ， ．注 古代バビロニアでは 次の近似方法が知られていたと言われている

（証明）

ただし，等号は のとき成り立つ．

アルキメデスによる開平近似計算3.アルキメデスがどのように開平計算を行ったのか，その方法は明らかでない．歴史

家の推測では，不等式（＊）を用いて計算したものと考えられている．

実際に，その計算を検証してみると次のようになる．

( ) の計算1( )a

で ， の近似値を として， と 変 形2

して，不等式（＊）を用いると，

∴ ±b < ±c 2a ± 1

a 2a ± 1 > 0

よって, a ± 2a ± 1b

< a ± c = a2 ± b …………………………②

∴ ± 2a ± 1b

< ±c

a ± 2a ± 1b

< a2 ± b < a ± 2ab

(複号同順)

1)

a2 + b ≒ a +2ab

a2 + b = a ×a2 + b

a (相乗平均)

≦

a +a2 + b

a2

(相加平均)

= a +2ab

b = 0

3 1), 3)

1 < 3 < 4 3 3 = 22－1

53

< 3 <74

1) ,2) ,3)

- -3

( )b

より，分母を払って

の近似値を として と変形して，不等式（＊）を5 ，

用いると，

( ) …………………………c

より，分母を払って

の近似値が として と変形し，不等式（＊）26 ，

を用いると，

（注）近似を左右交互に行っている．

2 － 2×2－11

< 22－1 < 2 － 2×21

1911

< 3 <2615

53

< 3 <74 5 < 27 <

214

5 +2×5 + 1

2< 52 + 2 < 5 +

2×52

5711

< 3 3 <265

∴1911

< 3 <2615

265153

< 3 <1351780

(a)

1911

< 3 <2615

28511

< 675 < 26

675 675 = 262－1

26 － 2×26－11

< 262 －1 < 26 － 2×261

132551

< 15 3 <135152

∴265153

< 3 <1351780

27

∴53

< 3 <74

27 = 52 + 2

- -4

と小数第４位まで正しく計算している．

( ) …………………………2

（注） よ り を選んでいる．

( ) …………………………3

( )4

…………………………

1.7320261 < 3 < 1.732052

349452 > 59118 (b)

349452 = 5912 + 169

> 591 +2×591 + 1

169

= 591 +1183169

= 59117

> 59118

17

18

13739433364

> 117218

(c)

13739433364

=18

87932385

=18

93772 + 4256

>18

9377 +2×9377 + 1

4256

=18

9376 +2301118755

> 117218

5472132161

> 233914 (d)

- -5

（注） を選んでいる．

注 を選んでいる．（ ）

5472132161

=14

87554113

=14

93572 + 664

>14

9357 +2×9357 + 1

664

=14

9356 +1937918715

> 233914

(5) 9082321 < 301334 …………………………(e)

9082321 = 30142－1875

< 3014－ 2×30141875

= 3014－14

= 301334

3380929 = 18392－992

< 1839－ 2×1839992

= 183826863678

< 1838119

14 より

34

34 より 11

9

= 3014－18756028

(6) 3380929 < 1838119

…………………………(f)

- -6

( ) …………………………7

( ) …………………………8

1018405 < 100916

(g)

1018405 = 10092 + 324

< 1009 +2×1009

324

< 100916

4069284361

< 201714 (h)

4069284361

=16

146494225

=16

121022 + 35821

<16

12102 +2×12102

35821

=16

12102 +3582124204

<16

12102 +32

= 201714

- -7

円周率の計算4.

「 」アルキメデスの著述で現存するものが１５巻ある． その中に 円の測定

と題する論文がある．その中で，彼は次のように述べている 「すべての円周は，その．

直径の３倍に，その直径の７分の１より小さくて，７１分の１０より大きい超過分を加

えたものである と となり，円周率を小数第２位まで正し．」 ，

く求めていることが分かる．

（注）

( ) 計算の概要1円 に外接する正６角形をつくり，次々とその辺数を２倍して，円に外接するO正１２，２４，４８，９６多角形を作っていく．それらの周の長さは，順次に小さ

くなり，円の直径の になる．

同様に，円 に内接する正６角形を作り，次々とその辺数を２倍して，円に内接Oする正９６角形まで作る．それらの周の長さは，順次大きくなり，円の直径の

に至る．

以下，彼の計算方法を見てみよう．

( ) 計算の実際2( ) 外接正９６角形についてi

O OB B , , ,中心 ，半径 とする円に，円周上の点 で円に外接する正６１２２４

４８９６角形の一部分を次に示す．,

即ち, ,31071

< p < 317

31071 ≒

3.1408, 317 ≒

3.1428

317

31071

よって, 31071 ×（円の直径）

< p ×（円の直径）< 317 ×（円の直径）

となり, 31071

< p < 317 と結論する.

1),2),3),4)

- -8

は正３角形の半分だから，△A1OB

A1BBO

= 3 >265153

,A1OA1B

= 2 …………………………① (a)より

A

A

A

A

A

1

2

3

4

5

B

B

B

B

B

…

…

…

…

…

外接正６角形の一辺の半分

外接正１２角形の一辺の半分

外接正２４角形の一辺の半分

外接正４８角形の一辺の半分

外接正９６角形の一辺の半分

1)

- -9

の二等分線だから

一般に，次のことが成り立つ．

OA1は∠A1OB

(・)A1OBO

=A1A2

A2B∴

A1O + BOBO

=A1A2 + A2B

A2B(合比の理)

∴ A2BBO

=A1O + BO

A1B

=A1OA1B

+A1BBO

(：)A2OA2B

2

=

=

A2B2 + BO2

A2B2

1 +A2BBO 2

(三平方の定理) (注) ∠A

cos h

12 = h とすると,

2

= 1 + tan2 h

(・)AnBBO

=An~1OAn~1B

+An~1BBO

(：)AnOAnB

2

= 1 +AnBBO 2

(・)A2BBO

=A1OA1B

+A1BBO

>265153

+ 2 ①より

=571153

(：)A2OA2B

2

= 1 +A2BBO 2

> 1 +571153

2

=349450

1532

- -10

∴A2OA2B

>349450153

>591

18

153(b)より

∴A2BBO

>571153 ,

A2OA2B

>591

18

153 …………………………②

(：)A3OA3B

2

= 1 +A3BBO 2

(・)A3BBO

=A2OA2B

+A2BBO

>591

18

153+

571153

②より

=1162

18

153

> 1 +1162

18

153

2

=137394

3364

1532

∴A3OA3B

>137394

3364

153

>1172

18

153(c)より

∴A3BBO

>1162

18

153 ,A3OA3B

>1172

18

153 …………………………③

- -11

(・)A4BBO

=A3OA3B

+A3BBO

>1162

18

153+

117218

153 ③より

=2334

18

153

(：)A4OA4B

2

= 1 +A4BBO 2

> 1 +2334

14

153

2

=5471632

161

1532

∴A4OA4B

>

5471632161

153

>2339

14

153(d)より

∴A4BBO

>2334

14

153 ,A4OA4B

>2339

14

153 …………………………④

(・)A5BBO

=A4OA4B

+A4BBO

>

2339 14

153+

233414

153④より

=

4673 12

153

- -12

外接正９６角形の周の長さＬは、次のようになる。

円周の長さは， だから，

( ) 内接正９６角形についてii

中心がＯ，半径 とする円に，点 で内接する正６１２２４４８９６角形OB B , , , ,の一部分を次に示す．

∴ A5B <4673

12

153BO …………………………⑤

L = 2×A5B×96

< 2×4673

12

153OB×96 ⑤より

= 313359347 ×

(2BO) < 317×

(2BO)

p×(2BO)

p×(2OB) < 317×

(2OB)

∴ p < 317 …………………………(＊＊)

- -13

①②より、

一般に，次のことが成り立つ．

は正３角形だから

∴A2CA2B

=A1DA1C

=A2DA2B

…………………………①

△A1DCと△BCDにおいて、DCが∠Cの２等分線だから

A1CBC

=A1DBD

∴ A1DA1C

=BDBC

…………………………②

A2CA2B

=A1DA1C

=BDBC

…………………………③

(・)A2CA2B

=A1D + BDA1C + BC

（加比の理）

=A1C + BC

A1B

(：)A2BBC 2

=A2B2 + A2C2

A2B2 = 1 +A2CA2B

2

(注) ∠A

cos h1

2 = h とすると、2

= 1 + tan2 h

(・)AnCAnB

=An-1CAn-1B

+An-1BBC

(：)AnBBC 2

= 1 +AnCAnB

2

△A1BO

A1CA1B

= 3 <13517801

,A1BBC

= 2 …………………………④

A

A

A

A

A

1

2

3

4

5

B…

B…

B…

B…

B…

内接正６角形の一辺

内接正１２角形の一辺

内接正２４角形の一辺

内接正４８角形の一辺

内接正９６角形の一辺

△A2BC∽△A1DC∽△A2BD

- -14

(・)A2CA2B

=A1CA1B

+A1BBC

<1351780

+ 2

=2911780

(：)A2BBC 2

= 1 +A2CA2B

2

< 1 +2911780

2

=9082321608400

∴A2BBC

=9082321

780

<3013

34

780(e)より

A2CA2B

<2911780 , A2B

BC<

301334

780 …………………………⑤

(・)A3CA3B

=A2CA2B

+A2BBC

<2911780

+3013

34

780

=1823240

(：)A3BBC 2

= 1 +A3CA3B

2

< 1 +1823240

2

=3380929

2402

- -15

∴A3BBC

<3380929

240

<

1838119

240(f)より

A3CA3B

<1823240 , A3B

BC<

1838119

240 …………………………⑥

(・)A4CA4B

=A3CA3B

+A3BBC

<1823240

+

1838119

240

=100766

=3661

119

240

(：)A4BBC 2

= 1 +A4CA4B

2

< 1 +100766

2

∴A4BBC

<1018405

66

A4CA4B

<100766 , A4B

BC<

1009 16

66 …………………………⑦

<1009

16

66(g)より

=1018405

662

- -16

内接正９６角形の周の長さ は，次のようになる．

=2016

16

66

(・)A5CA5B

=A4CA4B

+A4BBC

<100766

+1009

16

66

(：)A5BBC 2

= 1 +A5CA5B

2

< 1 +2016

16

66

2

=4069284

361

662

∴A5BBC

<4069284

361

66

<2017

14

66(h)より

∴66×BC

201714

= A5B

p×BC = A5B×96

>2017

14

6336BC

p×BC

- -17

(＊＊)(＊＊＊)より，

参考図書

) アルキメデスを読む 上垣 渉 著 １９９９ 日本評論社1

) 円周率の歴史 平山 諦 著 １９９０ 大阪教育図書2) ギリシャ数学史Ⅰ Ⅱ 平田 寛 訳 １９５９ 共立出版3 ,

T. L. Heath, A MANUAL OF GREEK MATHEMATICS 1931 OXFORD) ギリシャの数学 彌永 昌吉著 １９７９ 共立出版4

31071

< p < 317

=2017

14

6336BC

= 311378069

BC

> 31071

BC

∴ p > 31071 …………………………(＊＊＊)