アポロニウスの円錐曲線論snii/calculus-half/3-2.pdfアポロニウスの円錐曲線論...
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アポロニウスの円錐曲線論
. – p.1/16
アポロニウスの円錐曲線論アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる曲線 (円錐曲線)についての考察を行った。
circle
ellipse
hyperbola parabola
. – p.2/16
アポロニウスの円錐曲線論アポロニウスは、円錐を平面で切ったときの切り口に現れる曲線 (円錐曲線)についての考察を行った。
circle
ellipse
hyperbola parabola
. – p.2/16
アポロニウスの円錐曲線論
. – p.3/16
アポロニウスの円錐曲線論定理楕円は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し PF + PF ′ が一定である様な点 P の軌跡である。
F' F
P
. – p.4/16
アポロニウスの円錐曲線論定理楕円は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し PF + PF ′ が一定である様な点 P の軌跡である。
F' F
P
. – p.4/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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AAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAA
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AAAAAA
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Q
P
Q'F'
F
H
円錐を平面 で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、 に上からと下から接する球との接点を とする。
楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
. – p.5/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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Q
P
Q'F'
F
H
円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。
円錐に内接し、 に上からと下から接する球との接点を とする。
楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
. – p.5/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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Q
P
Q'F'
F
H
円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。
楕円上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
. – p.5/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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Q
P
Q'F'
F
H
円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。
ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
. – p.5/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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Q
P
Q'F'
F
H
円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′
= PF ′
従って 一定、となる。
. – p.5/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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Q
P
Q'F'
F
H
円錐を平面 H で切った切り口の楕円を考える。円錐に内接し、H に上からと下から接する球とH の接点を F, F ′ とする。楕円上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′
= PF ′
従って PF + PF ′= QQ′
=一定、となる。
. – p.5/16
アポロニウスの円錐曲線論定理双曲線は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し |PF − PF ′|
が一定である様な点 P の軌跡である。
F' F
P
. – p.6/16
アポロニウスの円錐曲線論定理双曲線は、平面上の二定点 F, F ′ (焦点)に対し |PF − PF ′|
が一定である様な点 P の軌跡である。
F' F
P
. – p.6/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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H
F
F'P
Q'
QAAAAAA
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円錐を平面 で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。
双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
. – p.7/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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H
F
F'P
Q'
QAAAAAA
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。
円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。
双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
. – p.7/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
AAAAAA
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AAAAAAAAA
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F
F'P
Q'
QAAAAAA
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。
双曲線上の点 を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を とすると
は の一によらず一定である。ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
. – p.7/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
AAAAAA
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F
F'P
Q'
QAAAAAA
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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。
ここで と は同じ球に対する接線なので 。同様に従って 一定、となる。
. – p.7/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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F'P
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QAAAAAA
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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAA
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′
= PF ′
従って 一定、となる。
. – p.7/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
AAAAAA
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F
F'P
Q'
QAAAAAA
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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAA
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円錐を平面 H で切った切り口の双曲線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F, F ′ とする。双曲線上の点 P を通る円錐の斜辺が球と円錐の接円と交わる点を Q,Q′ とするとQQ′ は P の一によらず一定である。ここで PQと PF は同じ球に対する接線なので PQ = PF。同様に PQ′
= PF ′
従って PF − PF ′= QQ′
=一定、となる。
. – p.7/16
アポロニウスの円錐曲線論定理放物線は、平面上のある定点 F (焦点)と F を通らないある直線 l (準線)に対し、PF = PQ (但し、Qは P から l に下ろした垂線の足)を満たす点 P の軌跡である。
F
P
l Q
. – p.8/16
アポロニウスの円錐曲線論定理放物線は、平面上のある定点 F (焦点)と F を通らないある直線 l (準線)に対し、PF = PQ (但し、Qは P から l に下ろした垂線の足)を満たす点 P の軌跡である。
F
P
l Q
. – p.8/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
AAA
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P
F
QRR'l' l
m'm
HH'
O
K
円錐を平面 で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。
球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に
接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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AAAAAAAAAAAAAA
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P
F
QRR'l' l
m'm
HH'
O
K
円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。
円錐に内接し、 に接する球との接点を とする。
球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に
接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
AAA
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P
F
QRR'l' l
m'm
HH'
O
K
円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。
球と円錐の接円を含む平面を とする。と平行で、円錐に
接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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P
F
QRR'l' l
m'm
HH'
O
K
円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。
と平行で、円錐に接する平面を 、その接線を 。放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
AAA
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P
F
QRR'l' l
m'm
HH'
O
K
円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。
放物線上の点 を通り に平行な直線を 。 直線 点 を取る。
. – p.9/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
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AAAAAAAAAAAAAAAAAA
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P
F
QRR'l' l
m'm
HH'
O
K
円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。放物線上の点 P を通り m′ に平行な直線をm。
直線 点 を取る。
. – p.9/16
アポロニウスの円錐曲線論証明
AAA
AAAAAAAA
AAAA
AAAA
AAAAAAAA
AAAAAAAA
AAAA
AAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAAAAAAAA
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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAAAAAA
AAAA
AAAAAA
AAA
P
F
QRR'l' l
m'm
HH'
O
K
円錐を平面 H で切った切り口の放物線を考える。円錐に内接し、H に接する球とH の接点を F とする。球と円錐の接円を含む平面を K とする。H と平行で、円錐に接する平面を H ′、その接線を m′ 。放物線上の点 P を通り m′ に平行な直線をm。 直線 l, l′点O,Q,R,R′を取る。
. – p.9/16
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 を含む平面上で考える。なので
は二等辺三角形である。と が平行なので
も二等辺三角形。従って、
. – p.10/16
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 m,m′ を含む平面上で考える。
なのでは二等辺三角形である。
と が平行なのでも二等辺三角形。
従って、
. – p.10/16
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。
と が平行なのでも二等辺三角形。
従って、
. – p.10/16
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。mと m′ が平行なので△PQRも二等辺三角形。
従って、
. – p.10/16
アポロニウスの円錐曲線論証明続きm′ と l′ は直交するので、mと l も直交する。
O
R' R Q
P
mm'
平行線 m,m′ を含む平面上で考える。OR = OR′ なので△ORR′ は二等辺三角形である。mと m′ が平行なので△PQRも二等辺三角形。従って、 PF = PR = PQ
. – p.10/16
アポロニウスの円錐曲線論定理P を楕円上の点とし、直線 AB を P におけるこの楕円への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPB である。
F' F
PA
B
. – p.11/16
アポロニウスの円錐曲線論定理P を楕円上の点とし、直線 AB を P におけるこの楕円への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPB である。
F' F
PA
B
. – p.11/16
アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では楕円の外にあることを示す。
F' F
PA
B
F"Q
. – p.12/16
アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では楕円の外にあることを示す。
F' F
PA
B
F"Q
. – p.12/16
アポロニウスの円錐曲線論定理P を双曲線上の点とし、直線 AB を P におけるこの双曲線への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPAである。
F' F
P
A
B
. – p.13/16
アポロニウスの円錐曲線論定理P を双曲線上の点とし、直線 AB を P におけるこの双曲線への接線とする。このとき ∠F ′PA = ∠FPAである。
F' F
P
A
B
. – p.13/16
アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPAとなる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では双曲線の外にあることを示す。
F' F
P
A
B
F"
Q
. – p.14/16
アポロニウスの円錐曲線論証明∠F ′PA = ∠FPAとなる様に直線 AB を引くと、この直線が P 以外では双曲線の外にあることを示す。
F' F
P
A
B
F"
Q
. – p.14/16
アポロニウスの円錐曲線論定理P を放物線上の点とし、直線 AB を P におけるこの放物線への接線とする。P から軸に平衡に引いた直線を PQとする。このとき ∠QPA = ∠FPB である。
F
P
A
B
Q
. – p.15/16
アポロニウスの円錐曲線論定理P を放物線上の点とし、直線 AB を P におけるこの放物線への接線とする。P から軸に平衡に引いた直線を PQとする。このとき ∠QPA = ∠FPB である。
F
P
A
B
Q
. – p.15/16
アポロニウスの円錐曲線論証明∠QPA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線がP 以外では放物線の外にあることを示す。
F
P
A
B
Q
F'l
R
. – p.16/16
アポロニウスの円錐曲線論証明∠QPA = ∠FPB となる様に直線 AB を引くと、この直線がP 以外では放物線の外にあることを示す。
F
P
A
B
Q
F'l
R
. – p.16/16