Diretoria de Ciências Exatas

Laboratório de Física

Roteiro 01

Física Geral e Experimental I

Experimento: Medidas de Grandezas Físicas

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Medidas de grandezas Físicas

1. Objetivos:

a. Analisar dados e apresentar os resultados finais de medidas de uma Grandeza Física,

segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI) e normas gerais da ABNT. b. Observar grandezas físicas fundamentais como comprimento, tempo e massa,

representando medidas destas grandezas, acompanhadas do erro instrumental. c. Explorar as operações fundamentais com algarismos significativos. d. O aluno deverá ser capaz de identificar e classificar os possíveis erros que ocorrem

durante um processo de medição. e. A partir de uma série de medidas do Período do pêndulo efetuadas com a utilização de

um cronômetro, o aluno deverá determinar o valor mais provável, eleger a incerteza adequada e expressar a medida na forma correta.

2. Material utilizado:

a. Trena; b. Pêndulo simples; c. Balança digital; d. Cronômetro digital; e. Transferidor analógico; f. Proveta graduada.

3. Medidas de Grandezas Físicas

A nomenclatura e as regras básicas sobre incertezas em metrologia foram discutidas nos últimos anos por grupos de trabalho constituídos de especialistas indicados por diversas organizações internacionais (BIPM, ISO, IUPAC, IUPAP, IEC e OIML) e foram publicadas em dois importantes textos: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements e International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology. Esta última publicação foi traduzida pela INMETRO em 1994.

Com a finalidade de tornar a exposição mais clara, e em conformidade com a Legislação Brasileira, serão apresentadas as definições e alguns comentários sobre termos mais usuais em Teoria dos Erros.

3.1. Algarismos Significativos

A sensibilidade e precisão de todo instrumento de medida está limitada na sua fabricação. Muitas vezes a leitura do valor de uma grandeza é intermediária a dois traços consecutivos da escala como na Figura1.

Figura1 - Exemplo de Medida de Distância.

A barra que está sendo medida na Figura 1 tem uma extremidade ajustada ao zero de uma régua marcada em centímetros. A outra extremidade da barra não está coincidindo com nenhum traço.

Observa-se que o valor deste comprimento é 27 cm mais alguns décimos de

centímetro, mas não podemos afirmar com certeza o seu valor. Ou seja, podemos apenas

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estimar ou avaliar estes décimos de centímetros e a aproximação ao valor "verdadeiro" dependerá da perícia e da capacidade da avaliação do operador.

Por exemplo, suponha que três pessoas diferentes apresentem como resultado desta medida os seguintes valores:

27,3 cm 27,4 cm 27,5 cm

Pode-se verificar que há concordância com relação aos algarismos 2 (dezenas) e 7

(unidades) e, portanto um consenso de que eles são "verdadeiros" ou "exatos", enquanto que os algarismos 3, 4, e 5 (décimos) são duvidosos. Os algarismos exatos de uma medida

bem como os algarismos duvidosos, são denominados algarismos significativos. No exemplo acima, os dois primeiros algarismos de cada medição (2 e 7) são significativos exatos mas os últimos algarismos de cada uma das medições (3, 4 e 5) são significativos

duvidosos. O termo duvidoso vem do fato de que o mesmo apresenta uma incerteza, gerada pela

própria grandeza medida, pela sensibilidade do instrumento bem como pela perícia do observador.

É importante observar que não há sentido em se escrever algarismos após o algarismo duvidoso de uma medida.

Qualquer grandeza física escalar pode ser escrita na forma: ( )aA a u

onde A é o símbolo que representa determinada grandeza física, a é o seu valor numérico,

a é a sua incerteza e u é a sua unidade da grandeza física medida. O valor numérico (a) poderá ser resultado de uma ou mais medições diretas ou

indiretas. Entretanto, qualquer que seja a precisão adotada a quantidade de algarismos estará limitada pelas condições experimentais, a uma determinada quantidade de algarismos que têm realmente significado que, por esse motivo, são denominados algarismos significativos.

3.2. Notação Científica (NC)

A maneira de se escrever o valor numérico em trabalhos científicos é, preferencialmente, a notação científica. Nesta notação escreve-se o número recorrendo à potência de dez, com a particularidade de que se deve conservar à esquerda da vírgula, apenas um algarismo, diferente de zero.

Exemplos:

1) 125 g = 21,25 10 g

3 algarismos significativos

2) 22,34 m = 2,234 10m 4 algarismos significativos

3) 0,0350 Ω = 33,50 10 3 algarismos significativos

4) 1,0052 V = 1,0052 V 5 algarismos significativos

A razão para se preferir a notação científica a qualquer outra forma de indicação está relacionada à facilidade e à rapidez com que se pode visualizar a grandeza (com a devida potência de 10) e a quantidade de algarismos significativos.

3.3. Arredondamentos de Algarismos Significativos

As operações precisas com algarismos significativos exigem o conhecimento da Teoria dos Erros, tema de próximos tópicos. Entretanto, algumas regras básicas podem auxiliar para evitar o exagero de casas decimais, muitas vezes, representando uma precisão que não corresponde à realidade.

Desta forma, resultados finais de operações matemáticas precisam ser arredondados (ou truncados). Para tanto, são utilizadas as seguintes regras de arredondamento:

- Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo (o duvidoso) a ser conservado permanecerá

sem modificação.

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Exemplo: 1,5734 = 1,57 (truncado com 3 algarismos significativos)

- Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5 e este seguido de no mínimo um algarismo diferente

de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. Exemplos: 1) 1,666 = 1,67 (truncado com 3 algarismos significativos) 2) 4,8505 = 4,9 (truncado para 2 algarismos significativos)

- Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a ser conservado for 5 e este for seguido de zeros ou não houver algarismos depois do 5, deve-se considerar:

a. se o último algarismo significativo for ímpar, arredondar o algarismo a ser conservado

para o próximo algarismo par.

Exemplos: 1) 4,5500 = 4,6 (truncado para 2 algarismos significativos)

2) 75,35=75,4 (truncado para 3 algarismos significativos)

b. se ele for um número par, o último algarismo é conservado.

Exemplos: 1) 7,156500 = 7,156 (truncado para 4 algarismos significativos)

2) 9,45=9,4 (truncado para 2 algarismos significativos)

3.4. Grandezas Físicas e o Sistema Internacional de Unidades (SI)

Tabela 1: Grandezas Fundamentais do SI e sua nomenclatura.

GRANDEZA NOME DA UNIDADE

SÍMBOLO DA UNIDADE

DEFINIÇÃO DA UNIDADE

Comprimento metro M “... o comprimento do percurso coberto pela luz, no

vácuo, em 1/299.792.458 de um segundo.” (1983)

Massa quilograma Kg “... este protótipo (um certo cilindro de liga de

platina-irídio), será considerado daqui por diante a

unidade de massa.” (1889)

Tempo segundo S “... a duração de 9.192.631.770 vibrações da

transmissão entre dois níveis hiperfinos do estado

fundamental do átomo de césio 133”.(1967)

Corrente elétrica Ampère A

“... a corrente constante que, mantida em dois

condutores retilíneos, paralelos, de comprimento

infinito, de seção circular desprezível e separada

pela distância de 1 metro no vácuo, provoca entre

esses condutores uma força igual a 2.10-7 newtons por metro de comprimento.” (1946)

Temperatura

termodinâmica Kelvin K

“... a fração 1/273,16 da temperatura

termodinâmica do ponto triplo da água”.(1967)

Quantidade de

substância mol Mol

“... a quantidade de substância de um sistema que

contém tantas entidades elementares quanto são os

átomos em 0,012 quilogramas de carbono 12.”

(1971)

Intensidade luminosa candela Cd

“... a intensidade luminosa, na direção

perpendicular, de uma superfície de 1/600.000

metros quadrados, de um corpo negro na temperatura de solidificação da platina, sob a

pressão de 101,325 newtons por metro quadrado.”

(1967)

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Uma grandeza física é um atributo a um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. Há dois tipos de grandezas físicas: as grandezas fundamentais e as grandezas derivadas. Grandezas Físicas Fundamentais: São grandezas que, funcionalmente, são

independentes de qualquer outra. Por exemplo, o comprimento de uma barra de ferro e a massa de um corpo sólido. O tempo e a temperatura são outros exemplos de grandezas fundamentais. Grandezas Físicas Derivadas: As Leis da Física são expressas em termos de grandezas que requerem uma definição clara e precisa. Assim, todas as Grandezas Derivadas da Mecânica, como a velocidade, a área, a aceleração, a força etc., podem ser escritas em termos das três Grandezas Fundamentais (comprimento, massa e tempo). A Tabela 2

fornece alguns exemplos de Grandezas Derivadas no SI. Tabela 2: Grandezas Derivas e sua nomenclatura no SI.

GRANDEZA NOME DA UNIDADE SÍMBOLO DA

UNIDADE OUTRAS UNIDADES

Aceleração metro por segundo quadrado m/s2

Área metro quadrado m2

Densidade quilograma por metro cúbico kg/m3

Energia, Trabalho Joule J kg.m2/s

2

Força Newton N kg.m/s2

Potência Watt W kg.m2/s

3 (J/s)

Pressão Pascal Pa kg/m.s2

Velocidade metro por segundo m/s

Volume metro cúbico m3

Nota: No Sistema Internacional, a abertura angular é dada em radianos (rad):

Figura 2: Aberturas angulares em radianos.

0o = 360o = 2 rad

r = 1 rad

S r

180o = rad

270o = rad

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Além das unidades do SI, como o metro, o quilograma e o segundo, também se pode utilizar subunidades, como o milímetro e o nanossegundo onde, os prefixos mili e nano significam várias potências de dez. Alguns prefixos são frequentemente utilizados para expressarem potências de dez, por exemplo:

1) 110-3

m, é equivalente a 1 milímetro (mm) e

2) 1103 m corresponde a 1 quilômetro (km).

3) De forma semelhante, 1 kg = 1103 g.

A Tabela 3 fornece alguns prefixos comumente utilizados.

Tabela 3: Prefixos do SI.

POTÊNCIA PREFIXO SÍMBOLO

1024

Iota Y

1021

Zeta Z

1018

Exa E

1015

Peta P

1012

Tera T

109 Giga G

106 Mega M

103 Quilo k

102 Hecto h

101 Deca da

100 = 1 -- --

10-1

Deci d

10-2

Centi c

10-3

Mili m

10-6

Micro µ

10-9

Nano n

10-12

Pico p

10-15

Femto f

10-18

Ato a

10-21

Zepto z

10-24

Iocto y

Há regras e convenções específicas para se apresentar, de forma mais compacta, o resultado de uma grandeza física, tanto para grandezas fundamentais como para qualquer grandeza derivada serão adotadas as regras e convenções do Sistema Internacional de Unidades (SI). Então pode-se escrever o resultado da grandeza física L da seguinte forma:

Símbolo da unidade

Resultado da medida física

Símbolo da Grandeza

Física

L = 5,12 m

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3.5. Definições

- Medição: Conjunto de operações que têm por objetivo determinar o valor de uma grandeza.

- Repetitividade: Grau de concordância entre os resultados de sucessivas medições de um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas condições de medições.

- Reprodutibilidade: Grau de concordância entre os resultados de medições de um mesmo mensurando, efetuadas sob condições de medições diferentes.

- Exatidão ou Acurácia: Grau de concordância entre o resultado de uma medição e o valor verdadeiro do mensurando.

- Precisão: Conceito qualitativo para indicar o grau de concordância entre os diversos resultados experimentais obtidos em condições de repetitividade.

Então, boa precisão significa erro estatístico pequeno, de forma que os resultados apresentem boa repetitividade.

Observação: Mesmo com boa precisão, a exatidão ou a acurácia pode ser ruim caso existam erros sistemáticos consideráveis.

- Valor Médio : Definição de uma dada grandeza específica, considerando uma quantidade finita n de medições.

- Valor Médio Verdadeiro : Valor consistente com a definição de uma dada

grandeza específica, considerando uma quantidade infinita de medições. O valor verdadeiro de uma grandeza é o valor que seria obtido para uma medição

perfeita e a determinação do mesmo pode ser entendida como o objetivo final da medição. Entretanto, o valor verdadeiro é indeterminado por natureza.

- Resultado de uma medição: Valor obtido por medição e atribuído ao mensurando.

- Mensurando: Grandeza específica submetida à medição. - Desvio: É a diferença entre o resultado de uma medição e o valor médio verdadeiro

do mensurando. Como o valor verdadeiro é uma quantidade desconhecida logo, o desvio também é

desconhecido, em princípio.

- Variância associada ao processo de medição : É a média dos quadrados dos

desvios quando a quantidade de medições tende a infinito. - Desvio padrão experimental : Definido com sendo a raiz quadrada da

variância. - Incerteza de medição: Parâmetro associado ao resultado de uma medição e que

caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentalmente atribuídos ao mensurando.

Embora desconhecido, o mensurando tem um valor verdadeiro único por hipótese. Entretanto, diferentes valores podem ser "atribuídos" ao mensurando e a incerteza caracteriza a dispersão destes valores.

Evidentemente, a incerteza só pode ser obtida e interpretada em termos probabilísticos.

Existem várias formas de indicar a incerteza tais como a incerteza padrão, incerteza expandida e limite de erro.

- Erro estatístico: Resultado de uma medição menos o Valor Médio Verdadeiro (ou Média Limite).

- Erro sistemático: Diferença entre o Valor Médio Verdadeiro e o Valor verdadeiro. O Erro Sistemático é o erro do valor médio verdadeiro. - Incerteza padrão: Resultado final dado na forma de um desvio padrão.

3.6. Objetivos da Teoria de Erros

Quando uma grandeza física experimental x é determinada a partir de medição o resultado é uma aproximação para o valor verdadeiro xv da grandeza. Os objetivos da teoria

de erros podem ser resumidos em obter:

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a) O melhor valor para o mensurando a partir dos dados experimentais disponíveis. Isto significa determinar a melhor aproximação possível para o valor verdadeiro em termos estatísticos.

b) A incerteza no valor obtido, o que significa determinar em termos estatísticos o grau de precisão e confiança na medida da grandeza física.

3.6.1. Erros Sistemáticos e Erros Estatísticos

Geralmente, ocorrem erros de vários tipos numa mesma medição. Estes erros podem

ser agrupados em dois grandes grupos que são: os erros sistemáticos e erros estatísticos

(ou aleatórios).

Considerando o conjunto de xi determinações (i = 1, 2,..., n) de um mensurando, os

erros podem ser divididos em: a. Erro sistemático: é um erro que afeta igualmente todas as n medições xi. Isto é, o

conjunto completo das n medições xi apresenta-se igualmente deslocada com relação ao valor verdadeiro xv.

Os erros sistemáticos podem ser de vários tipos: a.1. Erro sistemático instrumental: Relativo à calibração do instrumento de medição. a.2. Erro sistemático ambiental: Erro devido a efeitos do ambiente sobre a experiência.

Fatores ambientais como temperatura, pressão, umidade, luminosidade e outros podem introduzir a erros no resultado de medição.

a.3. Erro sistemático observacional: Erro devido a pequenas falhas de procedimentos ou limitações do observador. Por exemplo, o efeito de paralaxe na leitura de escalas de instrumentos.

b. Erro estatístico ou erro aleatório: Medida da dispersão dos n resultados xi em torno do valor verdadeiro xv.

Os erros estatísticos (ou aleatórios) resultam de variações aleatórias nas medições, provenientes de fatores que não podem ser controlados ou que, por algum motivo, não foram controlados. Por exemplo, na medição de massa com uma balança, correntes de ar ou vibrações (fatores aleatórios) podem introduzir erros estatísticos na medição.

3.6.2. Desvio Padrão (n-1)

Para estabelecer uma quantidade para a medida da dispersão com significado mais amplo, emprega-se o conceito de que um conjunto represente uma amostra do universo de medidas realizadas uma quantidade infinita de vezes naquele universo.

Uma das quantidades que é de interesse chama-se desvio padrão (n-1) que vem a ser o desvio médio quadrático das medidas com relação à média do universo de medidas.

Como é impossível fazer infinitas medidas em um universo de medições para determinar a sua média, o procedimento adotado considera uma análise estatística a partir de uma quantidade n de observações para obter a melhor estimativa para o desvio padrão.

Desta forma, a melhor estimativa para o desvio padrão é calculada por:

O desvio padrão indica o erro que teríamos caso fizéssemos uma única observação. O

significado do erro padrão de um dado conjunto de n determinações é que, em torno do valor médio, uma dada observação tem:

68% de probabilidade de estar no intervalo ;

95% de probabilidade de estar no intervalo .

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3.6.3. Desvio Padrão da Média (m)

Considerando um conjunto de n resultados de medições, o Desvio Padrão da Média ou Desvio Padrão do Valor Médio é a incerteza final correspondente aos erros estatísticos nas medições e pode ser calculado por intermédio das fórmulas:

3.6.4. Incerteza Padrão Final

Ao se realizar um processo de medição, o ideal é que o instrumento de medida esteja devidamente calibrado e que tenha uma sensibilidade suficiente para permitir a observação de flutuações estatísticas.

Alguns erros sistemáticos podem ser corrigidos e, com isso, melhorar os resultados finais da medição. Erros sistemáticos para os quais não é possível fazer correções são chamados Erros Sistemáticos Residuais e as incertezas correspondentes são denominadas Incertezas Sistemáticas Residuais.

No caso dos instrumentos de medida não preencherem a condição acima (possuírem sensibilidade suficiente para observar as flutuações estatísticas), costuma-se especificar um erro sistemático avaliado adotando-se uma das regras práticas especificadas abaixo:

- é a menor divisão da escala (em geral em instrumentos digitais) ou

- é a metade da menor divisão da escala (em geral para instrumentos analógicos).

Nessa avaliação é necessário considerar que este valor será tomado como um desvio padrão, a fim de permitir cálculos de propagação de erros coerentes. Portanto essa avaliação não deve abranger 100% de confiança, mas sim um pouco mais da metade (68%).

As incertezas estatísticas são obtidas por intermédio do cálculo do desvio padrão do valor médio .

As incertezas sistemáticas residuais advindas de multiplicidade de efeitos são

mais difíceis de serem obtidas e não existe nenhum método padrão bem estabelecido para isso, exceto o bom senso.

Para combinar as incertezas estatísticas e as incertezas sistemáticas residuais, determina-se a incerteza padrão final de uma medição por intermédio da fórmula:

3.6.5. Quantidade de Algarismos Significativos na Incerteza Padrão

Quanto à quantidade de algarismos significativos no desvio ou na incerteza, um

procedimento muito comum é expressá-lo com apenas com um algarismo significativo.

No entanto, considerando que não existe uma regra muito bem estabelecida para a quantidade de algarismos significativos com a qual deve ser indicada a incerteza padrão, a tendência atual é de se indicar a incerteza padrão com 2 algarismos significativos, além de

zeros à esquerda (quando necessário). Entretanto, há situações em que não é possível atribuir mais de 1 algarismo significativo para a incerteza padrão.

Então, quando o nível de confiança é dado pelo desvio padrão e a sua precisão é grande, usa-se 2 algarismos significativos para o desvio, principalmente nos casos em que o primeiro algarismo do desvio for 1 ou 2.

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3.6.6. Resultado de uma Medição

Para escrever o resultado de uma medição, deve-se considerar o último algarismo significativo da incerteza padrão final da medição, conforme os exemplos abaixo:

a.

Então:

No SI e em NC, fica 2,757 0,012 10A m

b.

Então:

No SI e em NC, fica 54,45600 0,00023 10L m

c.

Então:

No SI e em NC, fica 47,53 0,41 10M kg

d.

Então:

Em NC, fica 9,736 0,010 10T C

No SI e em NC, fica 2(3,7036 0,0010) 10T K

e.

Então:

Em NC, vem 21,350 0,020 10

No SI e em NC, fica 2,3563 0,0017 rad

f. 2,356 0,05BB cm e cm

Então: (2,36 0,05)B cm

No SI e em NC, vem 22,36 0,05 10B m

g. 25,9865 0,04569tt s e s

Então: (25,986 0,046)t s

No SI e em NC, vem 2,5986 0,0046 10t s

4. Procedimento Experimental

Denominamos pêndulo simples o conjunto constituído por um fio ideal (inextensível e de massa desprezível), fixo por uma das extremidades e que mantém suspenso na outra extremidade um corpo de pequenas dimensões, que oscile em torno de uma posição de equilíbrio. O período do movimento de um pêndulo simples corresponde ao tempo gasto para uma oscilação completa do corpo suspenso.

Para pequenas amplitudes, ângulos () de abertura que obedecem à igualdade:

= sen

Quando é expresso em radianos, vale a equação abaixo, para a determinação do período (T) do pêndulo simples:

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Utilizaremos um pêndulo simples para aplicarmos os conceitos adquiridos neste experimento.

5.1. Escolha um ângulo de abertura () menor do que 10º, no transferidor analógico para as

medidas dos períodos e expresse esta medida com a respectiva incerteza instrumental na Tabela 4.

Tabela 4: Valores de Medidas Físicas.

5.2. Utilizando o cronômetro medir oito vezes o período de uma oscilação completa de um pêndulo simples e completar a Tabela 5.

Grandeza física

Medida acompanhada da unidade da escala

de leitura

Quantidade de algarismos

significativos

Incerteza

instrumental na escala de leitura

Medida na unidade de escala

de leitura, acompanhada da

incerteza instrumental

Medida em NC e no SI,

acompanhada da incerteza

instrumental

Massa do corpo de prova do

pêndulo

Massa do fio inextensível

Comprimento do fio

inextensível

Abertura angular

Período de uma oscilação do

pêndulo

Massa de um tronco de cone

Altura do tronco de cone

Temperatura ambiente

Volume de um líquido

PÊNDULO SIMPLES

Figura 3: Ilustração de um pêndulo simples

0,0º < <10,0º

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Tabela 5: Conjunto de n=8 medidas do período de um pêndulo simples.

Nº Período de oscilação

Desvio Absoluto

Quadrado do Desvio

( )iT s ( )iT T s 2 2( ) ( )iT T s

1

2

3

4

5

6

7

8

Média

1

n

i

i

T

Tn

Soma dos quadrados dos desvios

2

1

n

i

i

T T

5.3. Calcular o desvio padrão 1n da medida de um período de oscilação:

2

11

1

n

i

in

T T

n

5.4. Calcular o desvio padrão do valor médio m :

2

1 1

1

n

i

n im m

T T

oun nn

5.5. Calcular a incerteza padrão final p das medidas dos períodos feitas através do

cronômetro.

2 2

p m s

5.6. Expresse o valor mais provável do período, com sua devida incerteza em Notação Científica (NC) e no Sistema Internacional de Unidades (SI).

(_______ _______) ________pT T u T