FH-Hof

Schwierigkeit von Aufgabenstellungen

Richard Göbel

FH-Hof

Fragestellungen

Gibt es Aufgabenstellungen die nicht lösbar

sind?

Gibt es unterschiedlich schwierige

Aufgabenstellungen?

Schwierigkeit einer Aufgabenstellung:

Laufzeit

Speicherplatzverbrauch

. . .

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Existieren unlösbare Aufgabenstellungen?

Betrachte die folgende Aufgabenstellung:

Existiert ein Programm U für eine RAM,

das für ein anderes Programm P einer RAM

und dessen Eingabe E entscheidet,

ob das Programm P mit der Eingabe E nach

endlich vielen Schritten anhält (terminiert)?

Ausgabe für Programm U:

Programm hält (‘1’, ‘true’, ‘yes’ oder 'Ja' )

Programm hält nicht (‘0’, ‘false’, ‘no’ oder 'Nein')

STOPS? : PRAM A* { true, false }

Bezeichnung: Halteproblem

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Beispiel einer Eingabe für die RAM

1 r e a d ; 2 i f 1 t h e n 2 ;

3 w r i t e 0 ; 4 e n d ; / 1 /

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Programm U für das Halteproblem - Analyse

Annahme: es gibt ein solches Programm U

Modifiziere das Programm U wie folgt:

Programm U gibt „false“ aus, falls das Programm

P mit Eingabe E nicht anhält

Programm U läuft unendlich lang, falls das

Programm P mit Eingabe E anhält (i: goto i)

Starte das Programm U mit dem Programm U

als Eingabe sowie dem Programm U als Daten

Wie verhält sich das Programm U in diesem

Fall?

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Menge aller denkbaren Funktionen

Wie groß ist die Menge der Funktionen?

Eine Funktion ordnet jeder Zeichenkette aus A*:

entweder eine Zeichenkette oder

den Wert „undefiniert“ zu

Eine Funktion lässt sich durch eine unendliche

lange Sequenz von Zeichenketten darstellen

Diese unendliche lange Zeichenkette lässt sich

als reelle Zahl kodieren

Wie ist die Mächtigkeit der Menge der reellen

Zahlen?

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Menge aller denkbaren Programme

Jedes Programm besteht aus einer endlichen

Menge von Anweisungen

Jedes Programm lässt sich als natürliche Zahl

darstellen

Wie ist die Mächtigkeit der Menge der

natürlichen Zahlen?

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Vergleich der Mengen

Die Menge der Programme bildet eine

abzählbar unendliche Menge

Die Menge der Funktionen bildet eine

überabzählbar unendliche Menge

Die Menge der Funktionen ist deutlich größer

als die Menge der Programme!

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Gruppen unlösbarer Probleme

Entscheidungsprobleme haben ein binäres

Ergebnis (true, false)

Fall 1: Es gibt ein Programm das immer

terminiert falls das Ergebnis „true“ ist.

Fall 2: Es gibt ein Programm das immer

terminiert falls das Ergebnis „false“ ist.

Fall 3: Es gibt kein Programm das für einen

dieser beiden Fälle terminiert

Programme mit anderen Ausgaben

Semientscheidbare Probleme

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Beispiel für verschiedene unlösbare Probleme

Hält ein Programm mit einer Eingabe an

(Halteproblem)?

Erfüllt ein Programm eine Bedingung für alle

Ausgaben?

Liefern zwei Programme dieselbe Ausgabe für

jede Eingabe?

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Schwierige Probleme

Gibt es lösbare Aufgabenstellungen, die aber

trotzdem schwierig sind?

Schwierig kann bedeuten:

viel Speicherplatzverbrauch

lange Laufzeit

. . .

Komplexitätsmaß

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Diskussion –was wird gemessen?

Laufzeit ist zum Beispiel abhängig von:

der Rechnertechnologie

dem Befehlssatz des Rechners

weiteren Prozessen auf diesem Rechner

der Menge der zu verarbeitenden Daten

Zentral: Schwierigkeit des Aufgabenstellung

und nicht Laufzeit eines Programms

Der Aufwand wächst mindestens linear mit der

Menge der zu verarbeitenden Daten!

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Ansatz - Zielsetzung

Wähle ein Komplexitätsmaß

Analysiere das Verhältnis zwischen Menge der zu

verarbeitenden Daten und dem Komplexitätsmaß

Betrachte nur den qualitativen Verlauf, wie zum

Beispiel:

linear: O(n)

quadratisch: O(n2)

exponentiell: O(2n)

Die Komplexität einer Aufgabenstellung ist die

Komplexität des effizientesten Programm

RAM als Referenzmaschine

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Ansatz - Methode

Ober- und Untergrenze für die Komplexität einer

Aufgabenstellung A:

Die Komplexität eines Programms für A ist eine

Obergrenze für die Komplexität von A

Ein Untergrenze ergibt sich aus der

Transformation von A in eine Aufgabenstellung B

mit bekannter Komplexität

Transformation von A in B

Transformiere die Eingabe von B in A

Transformiere die Ausgabe von A in B

Aufwand für die Transformation muss im

Verhältnis zur Komplexität der Problems B gering

sein.

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Aufgabenstellung – Erfüllbarkeit logischer Ausdrücke

Logischer Ausdruck in konjunktiver Normalform

Klauseln mit logisches UND verknüpft

Jede Klausel enthält mit logischem ODER

verknüpfte Literale

Jedes Literal besteht aus einer Variable und

optional einem logischen NICHT

(l11 l12 . . . l1n1) (l21 l22 . . . l1n2

) . . .

(lm1 lm2 . . . lmnm) mit lij : xij oder xij

Für welche Werte ist dieses Ausdruck erfüllt?

Beschränkung auf drei Literale pro Klausel: 3SAT

(l11 l12 l13) (l21 l22 l13) . . . (lm1 lm2 lm3)

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Aufgabenstellung - Rucksackproblem

Optimales Füllen eines Rucksacks

Gegeben:

n Gegenstände

Gewichte: g1, g2, . . ., gn

Nutzen: a1, a2, . . ., an

Gesamtgewicht von G nicht überschreiten

Finde Auswahl von Gegenständen mit

maximalem Nutzen

Modifiziertes Problem

Gewicht G muss genau erreicht werden

Nutzen wird nicht berücksichtigt

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Aufgabenstellung – Problem des Handlungsreisenden

Kürzeste Rundweg durch n Orte

Für je zwei Orte i und j wird die Entfernung dij

angegeben (nicht direkt erreichbar: )

Ergebnis ist die Reihenfolge in der die Orte zu

besuchen sind

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Transformation - 3SAT mod. Rucksackproblem

Erzeuge einen Gegenstand:

für jede Variable

für jede negierte Variable

Gewicht für einen Gegenstand ist eine

Dezimalzahl mit einer Stelle für jede Klause

Die Stelle gibt die Anzahl an, in der dieses

Literal in der zugehörigen Klausel vorkommt

Ziel: Summe der Gewichte muss an jeder Stelle

größer als Null sein

Beispiel:

(x1 x2 x3) (x2 x3 x4) (x1 x2 x4)

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Transformation - Themen

Zielgewicht muss genau eingehalten werden

Definiere „hohes“ Zielgewicht . . .

. . . sowie Füllgewicht . . .

. . . die bei einer Summe von 1 oder größer das

Zielgewicht erreichbar machen

Variable und negierte Variable dürfen nicht

gleichzeitig gewählt werden

Führe eine weitere Stelle für jede Variable ein . . .

. . . an dieser Stelle Wert 1 für zugehörige

Variable . . .

. . . sonst 0 . . .

. . . sowie Zielgewicht hat 1 an dieser Stelle

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Ergebnisse

Mit diesem Ansatz konnten verschiedene

Komplexitätsklassen identifiziert werden

Es gibt keinen Beweis, dass zwei Klassen

wirklich unterschiedliche Komplexitäten haben

Es fehlen also Referenzprobleme mit bekannter

Komplexität

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Diskussion

Eventuell existieren keine unterschiedlichen

Komplexitätsklassen?

Dann müssten alle Aufgabenstellungen mit

linearer Komplexität lösbar sein: Sehr

unwahrscheinlich!

Eventuell existieren nur wenige

Komplexitätsklassen?

Dann würden Komplexitätsklassen ohne

Aufgabenstellungen existieren:

Unwahrscheinlich!

Die identifizierten Komplexitätsklassen

werden heute allgemein akzeptiert!

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Zwei bekannte Klassen

Zeitaufwand für die Lösung einer Aufgabenstellung wird durch ein Polynom begrenzt:

Rechenoperation wir Addition und Subtraktion

Sortieren

. . .

Zeitaufwand für die Lösung einer Aufgabenstellung wächst mindestens exponentiell:

Rucksackproblem

Problem des Handlungsreisenden

Erfüllbarkeit eines booleschen Ausdrucks in konjunktiver Normalform

. . .

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Nichtdeterministische Turingmaschine

Mehrere Regeln sind in einem Zustand

anwendbar

Rechenaufwand

Sequenz von Regeln

welche die Aufgabenstellung löst

Minimale Sequenz definiert den Rechenaufwand

Diese Maschine löst zum Beispiel das 3SAT-

Problem mit einem polynomialen Aufwand

Lässt sich eine solche Maschine herstellen?

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Klassen von Aufgabenstellungen - Begriffe

P: Polynomialer Zeitaufwand auf einer

deterministischen Turingmaschine

NP: Polynomialer Zeitaufwand auf einer

nichtdeterministischen Turingmaschine

NP-Hart: Problem lässt sich auf einer

deterministischen Turingmaschine nicht mit

polynomialen Zeitaufwand lösen.

NP-Vollständig: Problem ist NP-Hart und lässt

sich auf einer nichtdeterministischen

Turingmaschine mit polynomialen Aufwand

lösen

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Komplexitätsskala

P

NP-Hart

NP-Vollständig

Linearer Zeitaufwand

Polynomialer Zeitaufwand

Exponentieller Zeitaufwand

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Bedeutung für die Praxis

Vermeide

unlösbare Probleme

NP-harte Probleme

Ändere ggf. die Spezifikation . . .

. . . oder finde einen einfach zu lösenden

Spezialfall

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Merkmale schwieriger Aufgabenstellungen

Unlösbare Probleme beziehen sich auf eine

unendlich große Menge

Die Lösung NP-harter Probleme besteht in der

Regel aus einer Vielzahl von einzelnen

„Entscheidungen“, wie zum Beispiel:

ganze Zahlen in einem Gleichungssystem

Planungsentscheidungen

. . .