fi-1 2 kmity a vlnění i i i
DESCRIPTION
FI-1 2 Kmity a vlnění I I I. Hlavní body. Harmonické vlny Rychlost šíření Přenos energie I nterferenc e vln Stojaté vlny Dopplerův jev. Rychlost šíření vln I. Mějme vlnu, která se šíří například v napjaté struně. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
4. 4. 2007 1
FI-12 Kmity a vlnění III.
4. 4. 2007 2
Hlavní body
• Harmonické vlny• Rychlost šíření
• Přenos energie
• Interference vln
• Stojaté vlny
• Dopplerův jev
4. 4. 2007 3
Rychlost šíření vln I
• Mějme vlnu, která se šíří například v napjaté struně. • Maximální amplitudu si lze představit jako
kopec, jehož vrchol se šíří rychlostí c.
• Elementy délky struny se na něm pohybují po dráze, kterou lze aproximovat částí kružnice.
• Potom musí složení tahů sousedních elementů realizovat dostředivou sílu.
4. 4. 2007 4
Rychlost šíření vln II
• Předpokládáme malý úhel, který nahradíme parametry kružnice a hmotnost vyjádříme pomocí hustoty na jednotku délky :
Tedy :
F
c
R
mcF
2
sin2
R
cl
R
lFFF
2
2sin2
4. 4. 2007 5
Rychlost šíření vln III• v čitateli je síla, která souvisí s elastickými
vlastnostmi prostředí a • ve jmenovateli lineární hustota, představující
vlastnosti setrvačné.• Pro rychlost zvuku například platí : • Kde K je modul objemové pružnosti a
součinitel objemové stlačitelnosti, zavedený dříve :
K
c
VdVdp
K
1
4. 4. 2007 6
Energie vln I
• Vlnění je postupné kmitání jednotlivých oscilátorů podél jeho šíření.• Lze tedy očekávat, že se bude prostřednictvím
vlny šířit energie kinetická i potenciální.
• Přitom střední kinetická i střední potenciální energie bude polovina energie celkové.
• Vyšetříme střední kinetickou energii.
4. 4. 2007 7
Energie vln II• Kinetická energie elementu délky dx závisí na
jeho rychlosti kmitání :
• Střední kinetickou energii na jednotkovou délku struny obdržíme integrací :
)(sin)(2
2202
12
kxtudxudm
dEk
20
241
0
1 udEE kk
4. 4. 2007 8
Energie vln III• Tato energie se přenáší spolu s potenciální energií
úsekem jednotkové délky, čili po derivaci podle času platí pro přenášený výkon :
• Výkon obsahuje • parametry prostředí a c
• vlastnosti vlny 2 a u02
20
221)( uccEEP pk
4. 4. 2007 9
Skládání vln I
• Při skládání vln platí podobně jako při skládání kmitů princip superpozice.
• Ten je podle okolností realizován vektorovým nebo prostým součtem.
• Jedná-li například o dvě příčná nebo podélná vlnění, šířící se v ose x, platí :
),(),(),( 21 txutxutxu
4. 4. 2007 10
Skládání vln II
• Pro charakter složené vlny platí obdoba téhož, jako při skládání kmitů.• Obecně má vlna kromě amplitudy tři další
parametry např. úhlovou frekvenci, vlnové číslo a fázi. Může kmitat totiž různě v čase a může mít i různou rychlost šíření a počáteční výchylku. Fázi zatím nebudeme uvažovat.
)cos()cos(),( 22201110 xktuxktutxu
4. 4. 2007 11
Skládání vln III• V určitém prostředí předpokládáme, že rychlost
šíření nezávisí na úhlové frekvenci. Tím se počet nezávislých parametrů vlny redukuje na dva, takže platí přesně totéž, co pro skládání kmitů.
• V reálném prostředí rychlost šíření vln na úhlové frekvenci závisí. Tento jev se nazývá disperze a je například v optice příčinou barevné vady čoček nebo rozkladu světla na optickém hranolu.
4. 4. 2007 12
Skládání vln IV
• Šíří-li se harmonické vlny stejnou rychlostí, ale liší se amplitudou a úhlovou frekvencí, je výsledná vlna obecně aperiodická, ale může být i periodická, dokonce i harmonická. Závisí to na vzájemných vlastnostech úhlových frekvencí.
4. 4. 2007 13
Skládání vln V• K zajímavému efektu dochází, mají-li vlny
úhlovou frekvenci stejnou:• V každém bodě se potom skládají kmity stejné
frekvence
• Výsledkem je opět kmit stejné frekvence a určité amplitudy a fáze
• uvažujme pro jednoduchost vlny s jednotkovou amplitudou
4. 4. 2007 14
Skládání vln VI
• výsledná vlna je modulována veličinou závislou na vzájemném fázovém posunu.
• Zajímavé jsou dva extrémy • konstruktivní interference, kdy vznikne vlna o
dvojnásobné amplitudě
• destruktivní interference, kdy se vlny navzájem vyruší
)cos(cos2
)cos()cos(),(
22
kxt
kxtkxttxu
4. 4. 2007 15
Stojaté vlnění I
• Zvláštním případem je složení vlny se svým odrazem na překážce
• Fázový posun zde zohledňuje skutečnosti, že • podle charakteru překážky se může změnit fáze
• k odrazu může dojít v různých vzdálenostech
)cos()cos(2
)cos()cos(
22
tkx
kxtkxt
4. 4. 2007 16
Stojaté vlnění II• Za vhodných okolností je vlna stabilní a je
prostorově modulována. Existují na ní :• kmitny – místa, kde je maximální rozkmit
• uzly – místa, kde se vlny úplně vyruší
4. 4. 2007 17
Skládání vln VII
• Složením vln s násobnými frekvencemi je možné aproximovat libovolnou periodickou vlnu.
• Na tomto principu je založena Fourierova analýza.
n
n kxtnatxu )cos(),(
4. 4. 2007 18
Skládání vln VIII
• Ukážeme si například složení pilového kmitu jako součtu :
n
n tntu )sin()( 1
4. 4. 2007 19
Dopplerův jev I• Pohybuje-li se zdroj vlnění, pozorovatel nebo
prostředí, ve kterém se vlnění šíří, dochází ke změně pozorované frekvence.
• Popišme pohyb : • zdroje vlnění rychlostí v• příjemce vlnění rychlostí u• prostředí šíření rychlostí w• rychlost šíření c je větší než u, v, w, ale menší než
rychlost světla ve vakuu• všechny rychlosti ve směru osy +x jsou kladné
4. 4. 2007 20
Dopplerův jev II• Předpokládejme stojící zdroj v počátku a stojící
prostředí (v = w = 0) a pozorovatel (napravo od počátku) se vzdaluje od zdroje rychlostí u > 0.
• Jakou frekvenci (výšku tónu) vnímá pozorovatel závisí na počtu vln, které kolem něj projdou za jednotku času.
• kdyby byl pozorovatel v klidu :0
0 c
f
4. 4. 2007 21
Dopplerův jev III• Když se pozorovatel pohybuje, vlny kolem něj
neprochází rychlostí c, ale relativní rychlostí
c - u. S použitím předchozího platí :
• Pro vzdalujícího se pozorovatele je tedy frekvence nižší, pro přibližujícího se by bylo u záporné a frekvence by byla vyšší.
c
uc
f
ff
c
ucucf u
u
00
0
4. 4. 2007 22
Dopplerův jev IV• Nyní jsou pozorovatel a prostředí v klidu. A zdroj se
pohybuje rychlostí v od počátku k pozorovateli.• Během jedné periody T0 vyšle zdroj jednu vlnu.• V momentě, kdy zdroj vysílá konec vlny, je vzdálen od
bodu, odkud vysílal začátek o T0v. Začátek se ale dostal do vzdálenosti T0c. Takže vlna se zmačkla do prostoru T0(c-v). Proto :
• Pro vzdalující se zdroj je tedy v<0 a frekvence je nižší, pro přibližující se by byla frekvence opět vyšší.
)()(
0
00
00 vcT
cT
f
fvcT v
4. 4. 2007 23
Dopplerův jev V• Pohybuje-li se jen prostředí, a to rovnoměrně,
přičítá se jeho rychlost w k rychlosti šíření c a pozorovaná frekvence se nemění.
• Jsou-li ale nenulové i pohyby pozorovatele nebo zdroje, musí se změněná rychlost šíření vzít v úvahu a lze tedy napsat souhrnný vztah pro všechny možné vzájemné pohyby :
wvc
wuc
f
fv
0
4. 4. 2007 24
Dopplerův jev VI• Nevýhodou použité konvence je, že kladná rychlost u
neznamená automaticky vzdalování. Pouze, je-li větší než v.
• Pro správné posouzení, zda se jedná o přibližování nebo vzdalování, je nutné zkoumat rozdíl u - v.
• Konvence je ale konzistentní s normálními znaménky rychlosti, ale hlavně vztahy vycházejí jednoznačně.
• Zajímavá je nesymetrie vůči pohybu zdroje nebo pozorovatele. Ta ale není daná konvencí, ale je skutečná.
4. 4. 2007 25
Dopplerův jev VII• Předpokládejme nulovou rychlost prostředí a
rychlosti zdroje nebo pozorovatele zanedbatelné vůči rychlosti šíření. Potom :
• tento vztah již symetrický je.
• v – u je vzájemná rychlost, kladná při přibližování
• platí i pro elektromagnetické vlny (světlo)
c
uv
vc
uv
vc
uvvc
vc
uc
f
fv
11)(
0
Příklad – rychlost zvuku I• Pomocí výbuchů v malých hloubkách pod
mořskou hladinou byla zjištěna rychlost šíření zvuku c = 1.43 103 m/s.
• Jak je stlačena voda v největších hlubinách na Zemi?
• Z hustoty mořské vody = 1.03 103 kgm-3 můžeme určit K modul její objemové pružnosti :
GPacKK
c 1.22
Příklad – rychlost zvuku II• Součinitel objemové stlačitelnosti tedy je:
• Relativní stlačení při atmosférickém tlaku 105 Pa tedy je 5 10-5 a na dně Mariánského příkopu, při tlaku cca 108 Pa je asi 5%. Voda tedy není dokonale nestlačitelná!
1101075.411 PaKpV
V
^