FibonacciFibonacci

Leonardo de PisaLeonardo de Pisa

Leonardo de Pisa, Leonardo Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo Pisano o Leonardo Bigollo

(1170 - 1250)(1170 - 1250) También llamado También llamado FibonacciFibonacci, fue un , fue un

matemático italiano, famoso por la matemático italiano, famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por su papel en la conejos, y por su papel en la popularización del sistema de popularización del sistema de numeración posicional en base 10 (o numeración posicional en base 10 (o decimal) en Europa.decimal) en Europa.

El apodo de Guglielmo (Guillermo), El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era padre de Leonardo, era BonacciBonacci (simple (simple o bien intencionado). Leonardo recibió o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo de póstumamente el apodo de FibonacciFibonacci ( por ( por filius Bonaccifilius Bonacci, hijo de Bonacci). , hijo de Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajo allí para de niño Leonardo viajo allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe.numeración árabe.

Consciente de la superioridad de los Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más estudiar con los matemáticos árabes más destacados. En 1202, a los 32 años de edad, destacados. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el publicó lo que había aprendido en el Liber Liber AbaciAbaci (libro del ábaco o libro de los (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de medidas, cálculo, intereses, conversión de medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras aplicaciones. En cambio de moneda, y otras aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la estas páginas describe el cero, la numeración de posición, la descomposición numeración de posición, la descomposición en factores primos, los criterios de en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.matemático europeo.

Conocido por Fibonacci, hijo de Conocido por Fibonacci, hijo de Bonaccio, no era un erudito, pero Bonaccio, no era un erudito, pero por razón de sus continuos viajes por por razón de sus continuos viajes por Europa y el cercano oriente, fue el Europa y el cercano oriente, fue el que dio a conocer en occidente los que dio a conocer en occidente los métodos matemáticos de los métodos matemáticos de los hindúes.hindúes.

La La sucesión de sucesión de FibonacciFibonacci es una es una sucesión infinita de sucesión infinita de números naturales¸donde números naturales¸donde el primer elemento es 0, el primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada el segundo es 1 y cada elemento restante es la elemento restante es la suma de los dos suma de los dos anteriores. Tiene anteriores. Tiene numerosas aplicaciones numerosas aplicaciones en ciencias de la en ciencias de la computación, matemática computación, matemática y teoría de juegos.y teoría de juegos.

Fórmula explícitaFórmula explícita La definición de la La definición de la

sucesión de Fibonacci sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir es recurrente; es decir que se necesitan que se necesitan calcular varios términos calcular varios términos anteriores para poder anteriores para poder calcular un término calcular un término específico. Se puede específico. Se puede obtener una fórmula obtener una fórmula explícita de la sucesión explícita de la sucesión de Fibonacci (que no de Fibonacci (que no requiere calcular requiere calcular términos anteriores):términos anteriores):

Relación de Relación de recurrencia:recurrencia:

El polinomio El polinomio característico de característico de esta relación de esta relación de recurrencia es recurrencia es tt22 − − tt − 1 = 0, y sus − 1 = 0, y sus raíces son:raíces son:

De esta manera, la De esta manera, la fórmula explícita fórmula explícita de la sucesión de de la sucesión de Fibonacci tiene la Fibonacci tiene la forma:forma:

Si se toman en Si se toman en cuenta las cuenta las condiciones condiciones iniciales, entonces iniciales, entonces las constantes las constantes bb y y dd satisfacen la satisfacen la ecuación anterior ecuación anterior cuando cuando nn = 0 y = 0 y nn = = 1, es decir que 1, es decir que satisfacen el sistema satisfacen el sistema de ecuaciones:de ecuaciones:

AlAl resolver este resolver este sistema de sistema de ecuaciones se ecuaciones se obtiene: obtiene:

Por lo tanto, cada Por lo tanto, cada número de la número de la sucesión de sucesión de Fibonacci puede Fibonacci puede ser expresado ser expresado como:como:

Para simplificar Para simplificar aún más es aún más es necesario necesario considerar el considerar el

número áureo número áureo φφ

de manera que la de manera que la ecuación se reduce ecuación se reduce a:a:

A pesar de que la sucesión de A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula números naturales, su fórmula explícita incluye al número explícita incluye al número irracionalirracional φφ..

Forma matricialForma matricial

Se puede Se puede representar representar mediante su mediante su notación matricial notación matricial como:como:

Conociendo Conociendo ff00 y y ff11

al aplicar la al aplicar la fórmula anterior fórmula anterior nn veces se obtiene: veces se obtiene:

Los números de Fibonacci aparecen Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud cadenas de bits de longitud nn que no que no tienen ceros consecutivos y en una tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos vasta cantidad de contextos diferentes. diferentes.

Algunas de las Algunas de las propiedades de propiedades de esta sucesión son esta sucesión son las siguientes: las siguientes:

1.1. La razón entre La razón entre un término y el un término y el inmediatamente inmediatamente anterior varía, anterior varía, pero tiende al pero tiende al número áureonúmero áureo..

Joaquín Torres GarcíaJoaquín Torres García

"He dicho Escuela del Sur; porque en "He dicho Escuela del Sur; porque en realidad, realidad, nuestro norte es el Surnuestro norte es el Sur. No debe . No debe haber norte, para nosotros, sino por oposición haber norte, para nosotros, sino por oposición a nuestro Sur. Por eso ahora ponemos el mapa a nuestro Sur. Por eso ahora ponemos el mapa al revés, y entonces ya tenemos justa idea de al revés, y entonces ya tenemos justa idea de nuestra posición, y no como quieren en el nuestra posición, y no como quieren en el resto del mundo. La punta de América, desde resto del mundo. La punta de América, desde ahora, prolongándose, señala insistentemente ahora, prolongándose, señala insistentemente el Sur, nuestro norte.el Sur, nuestro norte.” ”

Joaquín Torres García. Joaquín Torres García. Universalismo Universalismo ConstructivoConstructivo, Bs. As.,1941. , Bs. As.,1941.    

Joaquín Torres García nació en Montevideo el Joaquín Torres García nació en Montevideo el 28 de julio de 1874. 28 de julio de 1874.