FICHA PARA CATÁLOGO PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

Título:Resolução de Problemas

Autor João Primo Gasparim

Escola de Atuação Colégio Estadual Parque Itaipu Ensino fundamental e Médio

Município da escola Maringá

Núcleo Regional de Educação Maringá-Pr

Orientador Osvaldo Germano do Rocio

Instituição de Ensino Superior UEM- Universidade Estadual de Maringá

Disciplina/Área (entrada no PDE) Matemática

Produção Didático-pedagógica Unidade Didática

Relação Interdisciplinar

Público Alvo

Alunos

Localização

Colégio Estadual Parque Itaipu Ensino Fundamental e Médio

Rua Travessa Piapara nº 150-Parque Itaipu, -Maringá-Pr

Apresentação:

Para construir esta proposta de investigação, de acordo com estudos realizados nos primeiros períodos desse programa de ensino, foram propostas atividades para serem desenvolvidas no decorrer da implementação no ano de 2011. Em todas elas, procurou-se partir sempre da resolução de problemas, considerando que, a mesma permite, a todo instante, que o professor desafie seus alunos a pensarem matematicamente, resgatando o prazer pela matemática. O Objetivo da elaboração dessa proposta é fazer com que os alunos passem a gostar de Matemática, relacionando-o com sua prática de vida. Como são sugeridas sempre que as tarefas sejam feitas em grupos, procurando dessa forma que os alunos tenham oportunidades de trocar ideias e reflexões acerca dos conteúdos trabalhados, e possam construir seus conhecimentos, de forma expressiva.

Palavras-chave Problema; Plano; Estratégia; Resolução.

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Sumário

1. Ficha de identificação da Produção Didática – Pedagógica -------------------- 03

2. Introdução------------------------------------------------------------------------------------ 04

3. Roteiro para resolver problemas ------------------------------------------------------- 05

3.1. Entender o Problema ------------------------------------------------------------------- 05

3.2. Construindo uma estratégia ---------------------------------------------------------- 06

3.3. Executar a estratégia ------------------------------------------------------------------- 06

3.4. Revisão ------------------------------------------------------------------------------------ 06

3.5. Rol de problemas e seus encaminhamentos e soluções --------------------- 07

4. Problemas Convencionais e não Convencionais ----------------------------------17

4.1. Problemas Fechados ------------------------------------------------------------------ 17

4.2. Problemas Abertos --------------------------------------------------------------------- 17

4.3. Problemas sem solução -------------------------------------------------------------- 19

4.4. Problemas de Lógica ------------------------------------------------------------------ 19

4.5. Problemas de Tentativas e Erro ---------------------------------------------------- 20

5. Figuras e Ilustrações --------------------------------------------------------------------- 24

5.1. Objetivos ---------------------------------------------------------------------------------- 24

5.2 Conteúdos abordados ------------------------------------------------------------------ 24

5.3 Metodologia --------------------------------------------------------------------------------24

5.4. Materiais ----------------------------------------------------------------------------------- 24

5.5. Desenvolvimento da aula ------------------------------------------------------------- 24

5.6. Procedimentos no decorrer da aula ------------------------------------------------ 25

5.7. Atividades sugeridas ------------------------------------------------------------------- 26

5.8. Considerações sobre as atividades ------------------------------------------------ 28

5.9. Avaliação ---------------------------------------------------------------------------------- 28

6. Problemas Propostos ---------------------------- ---------------------------------------- 29

7. Considerações Finais --- ------------------------------------------------------------------32

8. Referências Bibliográficas --------------------------------------------------------------- 33

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1. IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA PROFESSOR PDE

1. Nome do Professor PDE: João Primo Gasparim

2. Disciplina/Área: Matemática

3. IES: UEM – Universidade Estadual de Maringá

4. Orientador: Professor Dr. Osvaldo Germano do Rocio

5. Caracterização do objeto de estudo: Construir estratégias para resolver

problemas de matemática de tal modo que possa contribuir nas 5ª séries do

ensino fundamental.

6. Titulo da Produção Didático-Pedagógica: Resolução de problemas: Uma

fórmula didática para trabalhar a matemática no ensino fundamental.

7. Justificativa da Produção: Para construir uma proposta de intervenção, de

acordo com estudos realizados nos primeiros períodos desse programa de

ensino, foram propostas atividades para serem desenvolvidas no decorrer

da implementação no ano de 2011. Em todas elas, procurou-se partir

sempre da Resolução de Problemas, considerando que, a mesma permite,

a todo instante, que o professor desafie seus alunos a pensarem

matematicamente, resgatando o prazer pela matemática.

8. Objetivo da Produção: O objetivo da elaboração dessa proposta é fazer com

que os alunos passem a gostar de Matemática, relacionando-o com sua

prática de vida. Como são sugeridas sempre que as tarefas sejam feitas em

grupos, procurando dessa forma que os alunos tenham oportunidades de

trocar idéias e reflexões acerca dos conteúdos trabalhados, e possam

construir seus conhecimentos, de forma expressiva.

9. Produção didático-pedagógica: Atividades que exigem a compreensão do

método da Resolução de Problemas.

10. Público-alvo: Alunos da 5ª série do ensino Fundamental.

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2. INTRODUÇÃO

O presente material é composto por atividades direcionadas para a 5ª

série do Ensino Fundamental.

Para a construção dessas atividades, buscou-se sempre que possível

a Metodologia de Resolução de Problemas, considerando que a mesma

permite, que o professor desafie o aluno a pensar e refletir a matemática. O

professor nesta proposta deve ser um organizador da aprendizagem dos

alunos, ficando mais como observadores e intervindo sempre que julgar

necessário. Relacionar também essa disciplina com seu dia a dia e trabalhar

as atividades em grupos quando possíveis, procurando com que os alunos

tenham oportunidades de trocar idéias e reflexões a cerca dos conteúdos

trabalhados.

A Resolução de Problemas é um tema com características particulares

em relação a outros temas, exigindo ainda mais a compreensão e análise das

situações propostas. Muitas vezes, os alunos apresentam dificuldades de

seguir seqüências lógicas de raciocínio e de construir estratégias e habilidades

para elaboração desses, além destes problemas, os alunos não possuem

hábitos de contextualização. Esta proposta tem como objetivo a intenção de

motivar o estudo da matemática e de desenvolver o raciocínio lógico dos

alunos, proporcionarem suporte necessário para que estes pensem

matematicamente. Pretende-se com este trabalho que os alunos desenvolvam

habilidades para notar diferenças, capacidades para cálculos, para análise e

destreza para trocar de estratégia se estas não forem adequadas. Este material

será construído e fundamentado diante de uma proposta no qual será

elaborado uma lista de Problemas convencionais e não convencionais

problemas abertos, problemas fechados, problemas de lógica, problemas de

tentativas de erro e problemas sem solução, permitindo trabalhar sempre todas

as operações compatíveis com a série envolvida.

Segundo Polya, um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de

problemas, propõe quatro fases de trabalho para resolução de problemas: Para

este autor as fases que são:

• Compreender o problema;

5

• Estabelecer um plano;

• Executar o plano;

• Fazer um retrospecto da resolução encontrada.

3. ROTEIRO PARA RESOLVER PROBLEMAS 3.1. Entender o problema

• Qual a incógnita?

• Quais são os dados?

• Quais são as condições?

• É possível satisfazer as condições?

• Elas são suficientes para determinar à incógnita?

• Ou são insuficientes?

• São redundantes?

• Ou contraditórias?

• Fazer uma ou mais figuras.

• Introduzir nela notações adequadas e por último separe as condições em

partes.

PROBLEMA

3

EXECUTAR O PLANO

1 COMPREENDER O PROBLEMA

2 ESTABELECER

UM PLANO

4

RETROSPECTO

6

3.2. Construir uma estratégia de resolução

• Fazer uma ligação entre os dados e a incógnita;

• Pensar em um problema auxiliar;

• Encontrar um problema semelhante;

• Conhecer teoremas ou fórmulas que possam ajudar;

• De acordo com a incógnita encontrar um problema familiar e que tenha uma

incógnita semelhante;

• Verificar se o aluno consegue enunciar o problema de outra maneira;

• Escolher um problema não muito difícil e nem muito fácil, natural e

interessante para o aluno.

3.3. Executar a estratégia Esta é a etapa mais fácil do processo de resolução do problema. Contudo,

a maioria dos iniciantes tende a pular para essa etapa precocemente e acabam

se dando mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se

perdendo na execução.

Ao executar a estratégia, verificar cada passo e se o aluno consegue

mostrar que cada um dos passos está correto.

3.4. REVISÃO

Fazer um retrospecto da resolução completa, isto é, verificar se a solução

encontrada satisfaz as condições do problema.

• Examinar a solução encontrada;

• Verificar o resultado e o argumento;

• Verificar se o aluno obteve a solução utilizando-se de outra seqüência de

raciocínio;

• Qual a essência do problema e do método de resolução empregado?

Verificar se o aluno consegue usar resultado ou o método em algum outro

problema.

7

• Até os melhores alunos fecham os livros e passam para outros

problemas ou outros assuntos ao chegar à solução e escrita da demonstração,

perdendo assim uma fase importante e instrutiva do trabalho da resolução. Ao

fazer um retrospecto da resolução completa, reconsiderando o resultado final e

o caminho que levou até este, os alunos poderão ampliar seu conhecimento e

aperfeiçoar sua capacidade de resolver problemas.

3.5. Seguindo a proposta do pesquisador George polya, na qual está

fundamentada essa pesquisa, segue abaixo alguns problemas que faz os

alunos pensar produtivamente, desenvolver o raciocínio lógico, tornando a

matemática mais interessante e desafiadora, levando-os a passar pelas quatro

fases já mencionadas no diagrama acima. 3.5.1. Duzentas e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de

meninos, mas na hora de reparti-las 5 meninos não apareceram para pegar as

suas figurinhas. Por causa disso, cada menino recebeu 8 figurinhas a mais.

Quantos meninos receberam figurinhas?

Para resolução deste problema, o professor usa inicialmente como

estratégia metodológica a seguinte pergunta:

• Qual é a incógnita?

Deve-se pedir aos alunos nesse momento que leiam atentamente o

problema para que em seguida descubram o que se pretende, ou seja, a

quantidade de meninos que receberam figurinhas.

• Qual o plano ou a estratégia executar?

Nesse caso o professor deverá intervir e orientar os alunos para quais

ferramentas ou conteúdos condiz ao problema que possam conseguir a

solução do mesmo. Como já foi mencionada incógnita é bem provável que

alguns alunos traduzam o enunciado para linguagem matemática apropriada

propondo o equacionamento.

240/x + 8 = 240/x-5

• Como executar o plano estabelecido?

A partir daqui basta resolver a equação seguindo os passos:

8

Encontrar o mmc (x, x-5) e efetuar as operações de modo a chegar à

equação propriamente dita:

X² - 5x – 150 = 0 após estes passos, o aluno poderá utilizar alguns

procedimentos padronizados para a resolução, como por exemplo, a aplicação

da fórmula de Bhaskara, nesse caso a solução é x= 15, ou seja, o número de

meninos que receberam figurinhas foram 15.

-A solução encontrada satisfaz o problema?

• Verificando a solução encontrada.

A verificação desse problema é feita da seguinte maneira, basta

substituir o valor de x na equação e verificar se a igualdade é verdadeira.

X² - 5x – 150 = 0 → 15² - 5.15 – 150 = 0 → 225 – 75 – 150 = 0 → 0=0

3.5.2. Um hospital serve almoço para 144 pacientes diariamente. Sabendo que

1 litro de suco de laranja dá para quatro copos e durante o almoço cada

paciente recebe um copo de suco de laranja. Quantos litros de suco de laranja

serão necessários para 15 dias?

• Compreendendo o problema

O professor deve fazer algumas perguntas à classe para que os alunos

possam compreender o problema.

Sugestões de perguntas:

O que o problema está perguntando?

Quantos litros por semana, por dia ou por mês?

A quantos pacientes o hospital serve almoço todo dia?

Todos os 144 pacientes tomam suco?

Isso faz diferença em nosso problema?

Por quê?

O problema está pedindo o número de copos ou o número de litros?

• Estabelecendo um plano

9

Nesta etapa, o professor deve fazer com que os alunos proponham

estratégias para solucionar o problema. Para ajudá-los, pode formular

perguntas como:

-Alguém já resolveu algum problema semelhante a este?

-Como foi resolvido?

Caso a classe não reaja, uma boa estratégia para o professor é dar um

problema semelhante mais simples. Como por exemplo:

Cada um dos 36 alunos de uma classe receberá 1 copo de suco,

sabendo que em cada litro cabem 4 copos, quantos litros serão necessários?

Neste caso mais simples, com números pequenos, os alunos podem

descobrir como resolver o problema até mesmo agindo concretamente:

36 COPOS

.. ...

1 LITRO 1 LITRO 1 LITRO 1 LITRO

9 LITROS

Este procedimento fará com que descubra qual é a operação a ser

efetuada para resolver este problema simples. Em seguida basta usar a

mesma estratégia para resolver o problema original.

• Executando o plano

Os planos traçados anteriores são agora executados pelos alunos. Se

um determinado plano não funcionar, procuremos outro. Lembrando sempre

que os planos não são infalíveis.

A ênfase que deve ser dada aqui é a habilidade do aluno em executar o

plano traçado, e não só cálculo. Há uma tendência muito forte (que devemos

evitar) de reduzir todo o processo de resolução de problemas aos simples

cálculos que levam as respostas corretas.

Plano A – soma de 4 em 4 até chegar a 144

Números de quatros necessários:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 = 36

Portanto são necessários 36 litros.

Plano B – Subtração de 4 em 4 até chegar a 0

O 4 cabe 36 vezes em 144. Portanto, são necessários 36 Litros.

10

Querendo aproveitar a idéia do plano B e simplificar os cálculos, podemos

efetuar a divisão por estimativa. 144: 4 = 36

São necessários 36litros.

O professor pode, agora, discutir com a classe qual é a execução mais

compreensível, qual é a mais curta.

• Fazendo o retrospecto ou verificação

Esta etapa é muito importante para completar o processo de resolução de

problema. Os alunos devem dizer por que a resposta encontrada está correta

e, em seguida, fazer um retrospecto de toda a resolução. É muito importante

justificar o que e como se fez.

• Verificação

Um litro corresponde a 4 copos de suco

Trinta e seis litros corresponderão a 36. 4 = 144 copos.

Logo, a resposta está correta.

Resposta: São necessários 36litros de suco por dia.

Antes de encerrar este problema, o professor pode explorá-lo um pouco

mais. Pode perguntar, por exemplo:

-Se cada litro de suco custa R$ 2, 20, qual será o gasto diário total com

suco?

-Se déssemos uma nota de R$ 100,00 para pagar esse gasto diário total,

quanto receberíamos de troco?

3.5.3. Na semana da matemática foram feitas fichas para um jogo lúdico.

Em cada folha de cartolina cabem 8 fichas. No jogo serão necessárias 60

fichas. Quantas folhas de cartolinas precisarão ser compradas para fazer este

jogo?

• Compreendendo o problema

-Dados:

Precisamos de 60 fichas e cabem 8 em cada folha de cartolina.

-Objetivo:

Determinar o número de folhas de cartolina necessárias.

11

-Figura:

• Estabelecendo um plano

Dividir 60 por 8 para saber quantos grupos de oito cabem em 60. Verificar o

que significa o resto.

• Executar o Plano

60 ∟8

56 7→ número de folhas de cartolina necessárias

4→ fichas extras necessárias

São necessárias 7 folhas de cartolina mais 4 fichas.

Para obter mais 4 fichas precisamos comprar mais 1 folha de cartolina,

portanto 7+1=8.

• Fazendo o retrospecto ou verificação

-Seriam suficientes 7 folhas de cartolina? Não, pois 7.8 = 56. -São suficientes 8 folhas de cartolina? Sim, pois 8.8 = 64, e precisamos de

60 fichas. -A execução foi correta? Sim, pois (7.8) + 4 = 60. -Há outra maneira de se verificar a resposta? Sim: 8.8 = 64 e 64 – 4 = 60. Resposta: Precisamos comprar 8 folhas de cartolina para construir esse

jogo.

3.5.4. O pai de Marcos comprou uma tela de 40 metros de comprimento para

cercar um terreno retangular que pretende fazer plantação de tomates. Marcos

decidiu ajudar seu pai para obter a maior área possível com esta tela. Quais

devem ser as dimensões do terreno?

Esse problema exige do aluno domínio básico de geometria.

O professor pode iniciar pedindo para os alunos ler com atenção o

problema.

Em seguida fazer algumas perguntas:

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-O que é dimensão?

-Fazer um desenho;

-O que é área;

-O que é perímetro;

-Quais são os dados do problema;

-Pedir para alguns alunos colocar no quadro seu desenho e as dimensões

usadas.

• Estratégias

-Montar uma tabela com os dados encontrados.

Comprimento largura Perímetro Área

15 5 40 75

13 7 40 91

16 4 40 64

10 10 40 100

. : : :

E assim sucessivamente para outros resultados.

• Fazendo a verificação

Segundo dados da tabela a maior área foi à quadrada 10x10=100 m²

No final o professor ainda pode pedir para os alunos resolver esse mesmo

problema com perímetros iguais a 20m, 30m ou 50 m, para certificar-se um

pouco mais da sua afirmação.

3.5.5. No aniversário de Marcos foi tirada uma foto de algumas crianças

brincando com cachorros. Na foto há 7 cabeças e 22 pernas. Quantas crianças

estão na foto?

• Compreendendo o problema

Como estratégia de resolução desse problema o professor pode iniciar

questionando os alunos sobre os possíveis caminhos que serão usados para

encontrar a solução. Para isso deve levar em consideração os dados que o

problema oferece e o que ele pretende.

• Plano de ação

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Dados do problema:

-7 cabeças;

-22 pernas;

-Cada criança tem 2 pernas;

-Cada cachorro tem 4 pernas

• Executando o plano

Solução: Vamos supor que tanto as crianças como os cachorros tivessem 4 pernas.

Como temos 7 cabeças então:

7.4 = 28 pernas

O problema diz que temos 22 pernas. Então, as 6 pernas e mais (28-

22=6) apareceram porque supusemos as crianças com 4 pernas também. Ao

aumentarmos 2 pernas em cada criança (4-2=2), o número total ficou

aumentado de 6 . Logo, o número de crianças é 3 (6:2=3) e, como são 7

cabeças, temos 4 cachorros (7-3=4).

• Verificação

3 crianças: 3.2 = 6 pernas

4 cachorros: 4.4 = 16 pernas

6 + 16 = 22 pernas

3 + 4 = 7 cabeças

• Resposta: na foto estão 3 crianças e 4 cachorros.

3.5.6. Esta atividade permite que sejam produzidos significados para

afirmações feitas em relação a um recipiente para guardar pirulitos, podendo

ser possível justificar cada afirmação.

Temos dois recipientes iguais para pirulitos, P1 e P2. Os dois possuem

uma quantidade indefinida de Pirulitos X e Y, respectivamente. Sabemos que

para completar P1 faltam 6 pirulitos e, para completar P2, faltam 10 pirulitos.

14

P1

x

A partir dessa situação os alunos deverão ser estimulados, depois de

alguns exemplos do professor, a fazer afirmações a respeito do assunto e

justifica-las.

Combinar o uso da letra P para Pirulitos.

Exemplos: a) Afirmação: P1 = P2

Justificativa: Os dois recipientes comportam a mesma quantidade de

pirulitos (são iguais).

b) Afirmação: X + 6p = Y + 10p

Justificativa: Se acrescentarmos 6 pirulitos em P1 ele ficará completo e

se acrescentarmos 10 pirulitos em P2, também ficara completo, e P1=P2

c) Afirmação: X = Y + 4p

Justificativa: Se acrescentar 4 pirulitos em P2, faltarão 6 pirulitos para

completa-lo, que é o mesmo que falta em P1.

d) Afirmação: X + 2p = Y + 6p

Justificativa: Acrescentando 2 pirulitos a X faltarão 4 pirulitos para

completar P1 e 6 pirulitos a Y, também faltarão 4 pirulitos para completar P2.

e) Afirmação: X – 2p = Y + 2p

Justificativa: Se retirarmos 2 pirulitos de X, faltarão 8 pirulitos para

completar P1, e se acrescentarmos 2 pirulitos a Y, também faltarão 8 pirulitos

para completar P2.

f) Afirmação: Y = X – 4p

Justificativa: se retirarmos 4 pirulitos de X, em P1 faltarão 10 pirulitos

para completa-lo como em P2.

g) Afirmação: X – Y = 4b

Como justificar essa afirmação?

P2

y

15

Apesar dessa afirmação parecer muito natural para o professor, pode

não ser para o aluno. Como tirar de X uma quantidade Y que não se conhece?

É possível fazer isso na prática? Uma situação como essa deve ser

considerada com muito cuidado e promover um longo diálogo com os alunos.

Podemos aproveitar para comentar que a diferença nem sempre está

associada à subtração; não iremos retirar uma quantidade diretamente da

outra. Podemos retirar um pirulito de cada recipiente e repetir a operação até

que P2 ficar vazio. O que sobrar no recipiente P1 (4p) é a diferença entre eles.

Muitos outros contextos podem servir para este tipo de atividade, no

entanto o principal é que as frases (expressões) a serem transformadas devem

ter significado, devem ser objetos para os alunos; em geral há mais de um

modo de produzir significados para novas frases e diferentes modos de

produzir justificativas, que as situações ou exemplos como este serve para que

os alunos se concentrem no método e não em resultados.

3.5.7. Este problema tão importante quanto o resultado, ou mais, é como se

chega a ele. Cada resposta deverá ser justificada.

Construa e desenhe uma seqüência de triângulos eqüiláteros (triângulos

de lados de mesma medida) de modo que o primeiro tenha uma unidade de

medida de lado, o segundo duas unidades de medida, o terceiro três e assim

por diante...

a) Complete a tabela que relacione o lado do triângulo com o número de

unidades de medidas necessário para construí-lo.

Número de unidades de medidas

do lado do ▲

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 27

Total de unidades de medidas do

▲

b) Responda: Quantas unidades de medidas são necessárias para

construir um triângulo de 10 unidades de medidas de lado? E de 19 unidades

de medidas de lado? E de 50?

c) E de um número infinito de unidades de medidas?

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d) Se forem gastos 300 unidades de medidas quantas tem em cada lado do

triângulo?

e) É possível construir um triângulo eqüilátero com 304 unidades de

medidas? E com 305? E com 306? Diga o porquê em cada caso.

3.5.8. Uma lanchonete possui mesas quadradas iguais de quatro lugares.

Entretanto se juntarmos duas mesas teremos lugar para seis pessoas (perdem-

se dois lugares).

Responda:

a) Se juntarmos três mesas (linearmente) teremos quantos lugares?

b) Complete a tabela que relaciona número de mesas juntadas

linearmente e número de lugares disponíveis.

Nº de mesas juntadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Nº de lugares disponíveis 4 6

c) Se juntarmos 50 mesas, quantos lugares disponíveis teríamos?

d) Se juntarmos n (nº. qualquer de) mesas como representaríamos o

número de lugares disponíveis?

e) Se todos os lugares estiverem ocupados è possível que estejam

sentados 63 pessoas nas mesas justapostas? Justifique.

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4. Problemas convencionais e Problemas não convencionais ou Problemas

fechados e Problemas abertos e seus respectivos comentários.

4.1 . Problemas fechados – classificam-se em exercícios de reconhecimento,

exercício algorítmico e problemas de aplicação. Assim, como ponto de partida, pode dizer que o exercício algorítmico são

os problemas que podem ser resolvidos passo-a-passo tecnicamente, ou seja,

algorítmico numérico. Os exercícios de reconhecimentos são todos os

problemas que exigem que o aluno reconheça ou recorde um conceito, uma

definição, um teorema, uma linguagem matemática ou um cálculo. E os

problemas de aplicação são aqueles que envolvem algoritmos aplicativos, ou

seja, o problema é apresentado simbolicamente e o aluno deverá manipular os

símbolos mediante algoritmos diversos.

Exemplo: Marcos tem 20 anos. Daqui a 25 anos, ele terá a idade que sua mãe

tem hoje. Quantos anos têm a mãe de marcos?

Nessa situação, basta fazer uma adição com os números do problema,

ou seja, ela tem 45 anos.

Podemos observar que esse tipo de problema aplica-se o mero conceito de

adição.

4.2 . Problemas abertos - por serem mais familiares, permitem que os alunos

tenham condições de resolvê-los. E, sobretudo, por possuírem enunciados

curtos, os problemas abertos podem permitir ao aluno gravar as primeiras

idéias em um novo estudo. Isso pode dar impressão de que o problema é de

fácil solução, fazendo com que o aluno viva a necessidade da busca dessa

solução. Um problema aberto também possui uma ou mais soluções. Ele pode

ser trabalhado em grupo, evitando eventuais desistências, diminuindo o medo

de não conseguir a resolução, possibilitando a troca de idéias o surgimento de

conflitos entre alunos. Esses conflitos ocorrem entre dois ou mais indivíduos

quando confrontam suas diferentes opiniões. O problema aberto tem como

objetivo permitir que o aluno desenvolva um processo de resolução de

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problemas com a capacidade de tentar, supor, testar e provar o que foi

proposto. Exemplo 1: Na festa de aniversário de Marcos foram contados trinta e dois pés

e dois rabos. Quem poderia ter participado da festa de Marcos?

Neste caso é necessário disponibilizar vários conhecimentos para a

resolução desse problema, se havia dois rabos, suponha que havia dois

animais, que poderia ser cachorros ou gatos que tem quatro pés e o restante

poderia pertencer a pessoas convidadas incluídas o próprio Marcos. Mas se os

rabos fossem de pássaros? Esse é um tipo de problema que apresenta várias

soluções.

Exemplo 2: Disponha os números de 1 a 9, sem repetição, em cada

quadradinho, de modo que nenhum número fique vizinho de seu antecessor e

de seu sucessor.

Esse problema também apresenta mais que uma solução, uma vez que

não foi exigida a obrigatoriedade da posição dos números, somente se exigiu

que não ficassem juntos os antecessores e sucessores.

EXEMPLO 3: Marcos, Maria e Carlos moram na mesma estrada. Marcos mora

a 23 quilômetros de Maria. Carlos mora a sete quilômetros de Maria. Observe a

ilustração e responda a que distância Marcos mora de Carlos.

19

Casa de Marcos casa de Maria

.----------23 quilômetros. ------------

Qualquer aluno da turma poderia dar como resposta a esse problema 16

ou 30 quilômetros, inclusivamente. É possível que esse aluno tenha uma idéia

da relação das três casas na estrada, más pode ter decidido supondo a

operação como adição ou subtração.

4.3. Problemas sem solução: Esse tipo de problema apresenta nos alunos a

sensação de dúvida, incerteza e frustração.

Exemplo 1: Maria tem 30 anos a mais que José. No mês de maio ela foi

passar o dia das mães com sua família em São Paulo, a que horas Maria

chegou a seu destino? Alunos que rotineiramente resolvem problemas

convencionais, logo irão fazer aquela crucial pergunta: que conta devo fazer?

Não é possível saber a que horas Maria chegou a seu destino só com os

dados apresentados no problema.

4.4. Problemas de lógica: A lógica se dedica ao estudo dos conceitos,

determinando se a argumentação utilizada para chegar a certa conclusão é

válida ou não. Precisa de raciocínio dedutivo, habilidade, capacidade para criar

hipóteses e analisar os dados do problema.

Exemplo: Uma determinada rede de medicamentos usa barras curtas e barras longas para representar o código de um determinado remédio. A barra curta corresponde ao zero (0) e a longa ao um (1).

Obs.: A primeira e última barra não fazem parte do código.

Esse problema exige do aluno o raciocínio lógico. Ele deverá ficar atento, por exemplo, nas barras curtas e longas e seus respectivos valores.

20

A tabela de conversão do código é mostrada abaixo:

11000 = 0 00011 = 1

01010 = 2 00101 = 3

00110 = 4 01100 = 5

10100 = 6 00001 = 7

10001 = 8 10010 = 9

a) Escreva o código 458021736 no formato de código de barras.

Resposta – Primeiramente, escrevemos o código na forma de 0’s e 1’s:

00110-01100-10001-11000-01010-00011-00001-00101-10100

4 5 8 0 2 1 7 3 6

Podemos, agora, escrever o código de barras desse medicamento.

I’’II’’II’’I’’’III’’’’I’I’’’’II’’’’I’’I’II’I’’I

b) Identifique o medicamento que representa o código de barras abaixo:

I’’II’I’’’II’’I’’’’’I’I’I’’’’IIII’’’I’’I’I

Resposta - Primeiramente, escrevemos o código de barras na forma de 0’s e e1’s:

00110 10001 10010 00001 01010 00011 11000 10010

4 8 9 7 2 1 0 9

Podemos, agora, escrever o código 48972109.

4.5. Problemas de tentativa e Erro: Os passos são:

1) Escolher uma operação plausível;

2) Executar a operação com os dados;

3) Verificar se a meta foi alcançada.

Se a resposta ao item três não for positiva, deve-se repetir o processo até que atinja a meta ou evidencie o erro do problema.

21

O problema

Num criadouro de coelhos e Marrecos, uma pessoa contou 18 cabeças, a outra, 50 pernas. Quantos são os coelhos?

Poderíamos resolver este problema por meio da equação matemática.

C+M = 18

4C+2M = 50

Resolvendo:

C = 18-M

4 (18-M)+2M = 50

72-4M+2M = 50 -2M = -22 M = 11 C = 7

Porém, não podemos resolver por meio da equação, pois os alunos são de 5ª série do ensino fundamental.

Como resolvê-lo sem uso da equação matemática?

Aí é que entra o Método de Tentativa e Erro.

Comecemos pelos extremos:

COELHOS MARRECOS Pernas

18 00 72 (mais)

00 18 36 (menos)

Método Aleatório das Tentativas

COELHOS MARRECOS Pernas

03 15 42

10 08 56

16 02 68

12 06 60

05 13 46

22

02 16 70

07 11 50

Não é eficiente, porque demanda muito tempo.

Método Sistemático das Tentativas

COELHOS MARRECOS Pernas

0 18 36

1 17 38

2 16 40

3 15 42

4 14 44

5 13 46

6 12 48

7 11 50

Poderá gerar muitas respostas, mas dará certo.

Método Orientado das Tentativas

COELHOS MARRECOS Pernas Tentativa seguinte

6 12 48 ACRESCENTE COELHOS

8 10 52 REDUZA COELHOS

7 11 50 RESOLVIDO

23

ATIVIDADES PARA A

5ª SÉRIE DO

ENSINO

FUNDAMENTAL

24

5. FIGURAS . Objetivos

• Investigar, sondar, elaborar problemas com estratégias e executá-los,

analisando as soluções encontradas.

• Resolver esses problemas trabalhando sempre todas as operações

compatíveis com a série envolvida.

• Desenvolver a autoestima e a capacidade investigativa, aumentar a

autonomia e confiança nos alunos.

. Conteúdos abordados

• Problemas convencionais e não convencionais

• Problemas abertos e problemas fechados,

• Problemas de lógica;

• Problemas de tentativas de erro

• Problemas sem solução.

. Metodologia Analisar a situação proposta, elaborando a seqüência de raciocínio

para chegar a uma conclusão, contribuindo assim na prática educativa do

ensino da matemática.

. Materiais

• Figuras e ilustrações que permite o aluno construir situações problemas

a partir do contexto social, cultural, econômico e político em que os alunos

estão inseridos e, realizar cálculos matemáticos em seguida.

Desenvolvimento da aula Propor aos alunos que construa problemas a partir da observação

das figuras e das ilustrações.

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Foto: http://www.google.com.br/imgres

5.6 Procedimentos no decorrer da aula É de extrema importância que cada aluno tenha a liberdade para formular

seus problemas. Assim não será necessário direcionar a atividade para uma

operação específica.

Em seguida sugerir a elaboração de algumas atividades que podem ser

feitas a partir das situações problemas formuladas pelos alunos:

• Trocar os problemas entre os alunos da turma para que um resolva o

problema do outro;

• Sortear alguns dos problemas, registrando no quadro e propor para que

todos os alunos resolvam;

• A escolha pelo professor de um problema que esteja incompleto ou mal

formulado, para trabalhar seu texto, reelaborando em conjunto com todos

os alunos da sala, tomando cuidado para não colocar o aluno que formulou

aquele problema em situação de constrangimento.

• É importante que cada problema, ao ser disponibilizado para os outros,

contenha o nome do aluno que redigiu.

26

5.7 Atividades sugeridas: 1. Observe o cardápio abaixo e formule problemas relacionados com ele:

CARDÁPIO Cachorro quente ------------------------------------------------------------------------------- 3,00 reais

Sanduíche com presunto -------------------------------------------------------------------- 2,50 reais

Sanduíche com queijo ------------------------------------------------------------------------2,80 reais

Sanduíche com legumes ---------------------------------------------------------------------2,70 reais

Pêra ------------------------------------------------------------------------------------------------0,80 reais

Laranja ------------------------------------------------------------------------------------------- 0,50 reais

Leite com café ---------------------------------------------------------------------------------- 0,70 reais

Leite com chocolate -------------------------------------------------------------------------- 1,20 reais

2. Elabore problemas a partir das operações abaixo:

a) Divisão e adição;

b) Subtração e multiplicação;

c) Adição e subtração;

d) Potenciação.

3. Observe o texto e a tabela abaixo formule situações problemas relacionando

os dados:

EVOLUÇÃO DA OCUPAÇÃO URBANA DO ESPAÇO MARINGAENSE

No início da colonização de Maringá houve um processo de crescimento vertiginoso motivado pela implantação de cultura cafeeira. Nas décadas seguintes o aumento do número de habitantes foi menor.

De acordo com o censo do IBGE, desde 1960 ocorre crescimento negativo para a população rural. Esse fenômeno é justificado pela erradicação dos cafezais e pela implantação da mecanização agrícola que expulsou o homem do campo.

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EVOLUÇÃO DA OCUPAÇÃO MARINGAENSE DE ACORDO COM O CENSO DEMOGRÁFICO

Ano População Rural População Urbana Total

1950 31.318 7.270 38.558 1960 56.539 47.592 104.131 1970 21.279 100.100 121.374 1980 7.550 160.689 168.239 1990 6.198 233.937 240.135 2000 4.673 283.792 288.465

Fonte: IBGE

4. Observe a ilustração. Um problema relacionado com ela já está formulado.

Resolva-o e em seguida formule mais um.

Cento e vinte alunos devem ser colocados em filas, oito em cada uma.

Quantas filas haverá?

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1. Observe a foto abaixo de um barco mercado flutuante, formule situações

problemas relacionado com ela:

5.8 Considerações sobre as atividades. Os problemas criados pelos alunos frequentemente serão de interesse

dos outros alunos e os processos envolvidos na concepção e na resolução

desses problemas podem melhorar seus desempenhos em outros problemas.

A intensidade da orientação deve variar de acordo com a experiência dos

alunos. Fazer com que os alunos compartilhem de problemas escritos por

colegas deveria fazer parte do plano de ensino da escola.

Algumas atividades proporcionam uma mudança no ritmo e na rotina da aula.

As situações problemas construídos por alunos frequentemente incluem

dados desconhecidos e, no conjunto, podem envolver mais de uma operação

ou processo. Desse modo, eles precisam ser lidos e resolvidos por todos, se

possível.

5.9 Avaliação A avaliação deve ser realizada no decorrer das aulas, verificando a

resolução dos algoritmos, as habilidades de redigir situações problemas e

interpreta-los.

29

No processo avaliativo, é necessário que o professor faça uso da

observação sistemática para diagnosticar as dificuldades dos alunos e criar

oportunidades diversificadas para que possam expressar seu conhecimento.

Tais oportunidades devem incluir manifestação escritas, orais e de

demonstração, inclusive por meio de ferramentas e equipamentos tais como:

materiais manipuláveis computadores e calculadoras. Alguns critérios devem orientar as atividades avaliativas. Essas práticas

devem possibilitar ao professor verificar se o aluno:

• Verificar se o aluno compreende, por meio da leitura, o problema

matemático;

• Elaborar um plano que possibilite a solução do problema;

• Encontrar meios diversos para a resolução do problema matemático;

• Realizar o retrospecto da solução do problema.

Dessa forma, no processo de aprendizagem, o aluno deve ser estimulado

a:

• Partir de situações-problemas interna ou externas à matemática;

• Pesquisar acerca de conhecimentos que possam auxiliar na solução dos

problemas;

• Perseverar na busca de soluções, mesmo diante de dificuldades;

• Argumentar a favor ou contra os resultados.

6. Problemas propostos 1. Complete as seis casas da tabela, colocando um algarismo em cada uma,

de modo que os três números de dois algarismos formados na vertical e os

dois números de três algarismos formados na horizontal sejam quadrados

perfeitos. Quais são esses números? Quantas soluções existem?

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2. Um matemático italiano nasceu em 1714 e morreu com 87 anos. Em que

ano ele morreu?

3. No ponto de ônibus ao lado da casa de Marcos, existem duas linhas de

ônibus que ele pode usar para ir à academia: uma passa de 15 em 15 minutos

e a outra de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram juntos às 7 h 30 min, a

que horas passarão juntos novamente?

4. Marcos comprou pão de queijo para o café da manhã de domingo porque iria

receber parentes em sua casa e deparou-se com a seguinte questão:

• Cada 100 gramas de pão de queijo custam R$ 3,20 e correspondem a 10

pães de queijo; cada pessoa come em média cinco pães de queijo.

Chegaram 16 pessoas na casa de Marcos que mora com mais cinco

pessoas. A pesagem máxima da balança da padaria é de 100 gramas.

a) Quanto Marcos gastará?

b) Se cada pessoa comer cinco pães de queijo, sobrará algum pão de

queijo?

c) Quantas gramas de pão de queijo ele deve comprar para que cada

pessoa coma pelo menos cinco pães?

5. Marcos subtraiu 325 de um número. A diferença deu 437. Qual era esse

número?

6. Num estacionamento há 14 veículos, entre motos e carros. Se o total de

rodas é 44 quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

7. Com R$ 3,00 Marcos comprou seis sacos de pipoca. Quanto saco de pipoca

pode comprar com R$ 4,00?

8. Uma porção com três balas de limão custa 10 centavos. Cada bala de

hortelã custa cinco centavos. Marcos comprou 20 balas. Quantas balas de

cada sabor podem ter comprado?

31

9. Na construção de um obelisco, ele estava com 2 metros de altura na

segunda feira. Na terça-feira, a altura do obelisco dobrou e ele está com 4

metros. A cada dia, o obelisco está com o dobro da altura do dia anterior. Qual

será sua altura no sábado?

10. Marcos e João estão brincando com um jogo. Ao fim de cada partida, o

perdedor dá ao vencedor um real. Depois de algum tempo, Marcos havia

ganhado três partidas e João estava com três reais a mais do que no inicio.

Quantas partidas já haviam jogado?

11. Mostre as maneiras de colocar nove balas em cinco copos, de tal forma

que cada copo tenha um número diferente de balas.

12. Na noite passada assistia a um jogo de futebol e percebi algumas crianças

e cachorros brincando na grama ao lado do campo. Ouvi um barulho e saí para

ver, quando as crianças e os cachorros passaram correndo por mim. Decidi

contá-los de uma forma diferente. Contei as pernas e descobri que havia 22 e 7

cabeças. Agora o que quero saber: quantas crianças e quantos cachorros

passaram por mim?

13. Mostre as formas de colocar 15 moedas de um real em quatro montes, de

tal forma que cada monte tenha um número diferente de notas.

14. Na seqüência abaixo descubra qual a próxima linha.

1

1 1

2 1

1 2 1 1

3 1 1 2

1 3 2 1 1 2

. . . . . .

15. Marcos tem 20 anos. Daqui a 25 anos, ele terá a idade que sua mãe tem

hoje. Quantos anos têm a mãe de marcos.

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16. Numa empresa, a metade dos funcionários são homens. A terça parte dos

homens veste roupa branca e são 6. Qual é o total de funcionários desta

empresa?

17. As cores do semáforo da frente da casa de Marcos mudam a cada 20

segundos. Se Marcos tem nove anos, quantas vezes mudaram as cores do

semáforo desde o seu nascimento?

18. Numa pequena cidade do interior, 1/4 dos jovens joga somente vôlei, 1/3

joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum deles.

• Quantos jovens têm a cidade?

• Quantos jovens jogam somente futebol?

• Quantos jovens jogam futebol?

• Quantos jovens praticam um dos 2 esportes?

7. Considerações finais A metodologia da resolução de Problemas apresentada tem como objetivo

motivar o estudo da matemática, desenvolver o raciocínio lógico no aluno

potencializando suas aptidões e aprendizagem, desenvolver hábitos de

estabelecer relações entre conhecimentos científicos elaborados e situações

do cotidiano, proporcionar suportes necessários para que esses alunos

pensem matematicamente situações problemas na sua vida real.

Para alcançar esses objetivos é necessária a elaboração de problemas

que venham de encontro com o interesse e expectativa dos alunos, de forma

que possam prender suas atenções com o assunto trabalhado e dessa forma

alcançar o alvo que é o de investigar, sondar, elaborar estratégias e executa-

las, bem como de analisar as soluções encontradas.

Pretende-se que no final desse trabalho, esses alunos tenham

desenvolvido determinadas características como habilidades para cálculos,

notar diferenças e conformidades, e de analisar. Assim sentem mais

encantados e atraídos pela matemática e começa a ver esta disciplina de uma

forma mais agradável e prazerosa.

33

8. Referencias Bibliográficas

• DANTE. Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática.

São Paulo: Editora Ática, 2005.

• Krulik, Stephen A resolução de problemas na Matemática Escolar. São Paulo:

Atual Editora, 1980.

• PARANÁ. Secretaria de estado de Educação. Diretrizes Curriculares da

Educação Básica do Paraná - Matemática. Curitiba: SEED/DEPG, 2008.

• POLYA, G A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

• STEWART, Ian. Mania de Matemática. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor,

2005.