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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

Título: Números Decimais – suas operações: uma proposta para a Formação de Docentes

para as Séries Iniciais.

Autor Rita Eliceia Kubit

Disciplina/Área Matemática

Escola de

Implementação do

Projeto e sua

localização

Colégio Estadual Nilo Cairo

Sito à Rua Osório Ribas de Paula,970

Município da escola Apucarana

Núcleo Regional de

Educação Apucarana

Professor Orientador Regina Célia Guapo Pasquini

Instituição de Ensino

Superior UEL – Universidade Estadual de Londrina

Relação

Interdisciplinar -

Resumo

Por meio da experiência que construímos com os alunos do Curso

de Formação de Docentes e, os relatos posteriores desses alunos nas

aulas que ministramos, percebemos que as operações com números

decimais, em especial, a divisão, são conteúdos de matemática que

envolvem muitos problemas de aprendizagem. Dessa forma, este

trabalho foi elaborado com vistas a oferecer uma proposta de

trabalho com o objetivo de promover compreensões sobre essas

operações para os alunos do Curso de Formação de Docentes das

Séries Iniciais. Para isso, nos apoiaremos nas representações que o

Material Dourado nos oferece no que tange ao trabalho com

números decimais. Como estratégia metodológica escolhemos a

resolução de problemas que serão propostos a partir do uso de

materiais manipuláveis e jogos.

Palavras-chave Material Dourado. Operações com Números Decimais. Formação

de Docentes para Séries iniciais.

Formato do Material

Didático Unidade Didática

Público Alvo Alunos do curso Formação de Docentes

RITA ELICEIA KUBIT

UNIDADE DIDÁTICA

NÚMEROS DECIMAIS – SUAS OPERAÇÕES: UMA

PROPOSTA PARA A FORMAÇÃO DE DOCENTES PARA AS

SÉRIES INICIAIS

LONDRINA - PR

2012

Secretaria de Estado da Educação Superintendência da Educação

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional

Universidade Estadual de Londrina

RITA ELICEIA KUBIT



SÉRIES INICIAIS

Produção Didática Pedagógica – Unidade Didática, elaborada e implementada como um dos requisitos necessários na participação do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), idealizado e mantido pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED/PR), em convênio com as Instituições Públicas de Ensino Superior (IES).

Orientadora: Prof.ª Dra. Regina Célia Guapo Pasquini

LONDRINA - PR 2012

Secretaria de Estado da Educação do Paraná Programa de Desenvolvimento Educacional Núcleo Regional de Educação de Apucarana

RITA ELICEIA KUBIT



SÉRIES INICIAIS

Plano de trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE 2012 – SEED- PR, sob orientação da Prof.ª Dra. Regina Célia Guapo Pasquini do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina-UEL.

LONDRINA - PR 2012

SUMÁRIO

1. APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 3

2. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................. 5

4. A PROPOSTA .......................................................................................................... 10

4.1. Encaminhamento ..........................................................................................................10

4.2. Procedimentos ..............................................................................................................11

5. TAREFAS ................................................................................................................. 12

5.1. Primeira Tarefa: Ambientação ...................................................................................12

5.2. Segunda Tarefa: Representação ...............................................................................18

5.3. Terceira Tarefa: Trocas ...............................................................................................21

5.4. Quarta Tarefa: Operações com números decimais ...............................................22

5.4.1. ADIÇÃO ....................................................................................................................22

5.4.2. SUBTRAÇÃO ...........................................................................................................25

5.4.3. MULTIPLICAÇÃO ....................................................................................................28

5.4.4. DIVISÃO ....................................................................................................................32

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 42

7. REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 43

3

1. APRESENTAÇÃO

Esse material é uma produção didática pedagógica, resultado do Programa de

Desenvolvimento Educacional (PDE), a fim de proporcionar ensino de qualidade para a

Educação Pública. Caracteriza-se como uma Unidade Didática tendo como tema

“Números Decimais na Formação de Professores nas Séries Iniciais” que está

direcionada ao Curso de Formação de Docentes do Colégio Estadual Nilo Cairo, no

município de Apucarana (Paraná) e aos professores de matemática das séries iniciais

(2º ao 6º ano). O material teve início no 2º semestre do ano de 2012 e desenvolvido em

parceria com a Universidade Estadual de Londrina (UEL), sob a orientação da

Professora Doutora Regina Célia Guapo Pasquini.

Pretendemos colaborar no ensino e na aprendizagem dos números decimais

com foco nas operações, principalmente a divisão. As estratégias usadas para isso

debruçam-se sobre o uso de material manipulável, a resolução de problemas e jogos.

Esperamos apresentar significados às operações entre esses números, promovendo a

compreensão das regras que frequentemente são usadas, mas não entendidas. A

nossa expectativa é resolver o trabalho dos professores nos cursos de formação

docente, aumentando assim, outras possibilidades em relação ao tratamento dos

conteúdos de matemática por meio de estratégias de ensino amparadas em tendências

atuais em Educação Matemática.

A seguinte proposta foi desenvolvida por meio de tarefas com as respectivas

soluções, seguidas de encaminhamentos detalhados para que outros professores

possam utilizá-la se desejarem.

4

2. INTRODUÇÃO

Conforme as Diretrizes Curriculares do Curso de Formação de Docentes

(PARANÁ, 2006) na questão curricular, em todas as etapas do Curso, deverão ocorrer

atividades operacionais durante as aulas, oficinas, seminários e estágios realizados nas

escolas de Educação Infantil e Ensino Fundamental, além de vivências artísticas que

deverão propiciar a compreensão da prática docente como práxis.

Os anos de exercício em docência na disciplina de matemática, no Curso de

Formação de Docentes nos permitiu observar que alguns alunos apresentavam pouca

motivação em aprender determinados conteúdos matemáticos, considerados “difíceis e

complicados”, distantes da sua realidade.

O tema escolhido para desenvolvermos essa proposta são as operações entre

os números decimais, a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. A escolha do

tema deve-se a forte presença que esses números exercem no cotidiano dos alunos,

pois apresentam relações diretas com o sistema monetário e também com os sistemas

de medidas. O mundo está cercado de números que fazem parte de quase todas as

atividades da nossa sociedade.

O tratamento dos números decimais é um dos assuntos que consideramos

merecer especial atenção, em particular na formação de docentes. É um conteúdo que

perpassa por toda a vida escolar dos estudantes principalmente nas séries iniciais por

aparecerem pela primeira vez na escola. Desse modo, em cursos de formação de

docentes a atenção quanto ao tema é de fundamental importância, não é uma questão

de escolha, já que terão a responsabilidade de ensiná-lo na sua prática ao concluírem

seus estudos, pois esses alunos serão futuros professores.

Embora seja um assunto de tamanha importância para a formação humana,

infelizmente ainda existe uma grande dificuldade para apresentá-lo em relação ao

ensino e à aprendizagem. Quando um pequeno grupo consegue dominar os algoritmos

que pertencem às operações, mesmo entre esses, poucos compreendem o significado

das regras. Acreditamos que o saber do conteúdo matemático só é alcançado quando o

conhecimento possui significado para o aluno.

5

A proposta ampara-se no uso de estratégias metodológicas da Educação

Matemática. Para construirmos significados aos procedimentos operacionais, usaremos

material manipulável, jogos e resolução de problemas. Junto a isso, pretendemos

fomentar essas estratégias na prática docente dos futuros professores. Nossos estudos

estarão direcionados às abordagens desenvolvidas, visando construir um tratamento

especial acerca do tema, capaz de promover a compreensão do assunto.

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Segundo as Diretrizes Curriculares do Curso de Formação de Docentes

(Paraná 2006), a proposta de currículo do curso Normal, em nível médio, está voltada

para a visão educacional em que o trabalho é o eixo do processo educativo.

O princípio fundamental da Formação de Docentes por um lado é o domínio dos

conteúdos, que é o objeto do processo ensino aprendizagem e por outro lado, o

domínio das formas que se realiza este processo.

Se o trabalho é um dos princípios educativos do currículo de formação de

professores, então a prática docente deve ser encarada no sentido da

práxis, o que significa dizer que a dimensão política torna-se a chave para

a compreensão do saber e do fazer educativo (PARANÁ, 2006, p.250).

A utilização e recursos pedagógicos, para a construção do conhecimento

matemático, relativos aos números decimais, vêm com a intenção de fomentar a

motivação dos futuros professores e, sobretudo a compreensão conceitual dos objetos

matemáticos envolvidos.

Os números pertencem a vida do homem há muito tempo. Inicialmente aparecem

na história da matemática como números “inteiros”, com o passar do tempo surgem os

números que representam quantidades não inteiras, primeiramente como frações.

Segundo Boyer (1991) “As frações decimais só se tornaram amplamente

conhecidas, quando o matemático holandês Simon Stevin(1548 - 1620) se dispôs a

explicar o sistema decimal de forma elementar e completa”. Foi ele que em 1585,

6

publicou a obra “O Décimo”, na qual não fazia uso do denominador. Diferentemente do

que fazemos hoje, sobre o número, que para nós ocupa a posição de numerador. Ele

colocava um número que indicava a posição que o algarismo daquele número ocupava

depois da vírgula, quando escrevemos os decimais. No quadro a seguir

exemplificamos, em um comparativo com a notação atual, o modo como Stevin escrevia

um número decimal.

Notação atual das frações Notação de Stevin Notação do decimal hoje

2,5

3,42

0,874

Entretanto foi Jonh Napier (1550 – 1617) que ao retomar a aritmética decimal de

Stevin propôs o uso do ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da parte

fracionária, como separatriz decimal (Boyer, 1991).

Na tabela a seguir exemplificamos a forma como Napier representou os

decimais:

7

Notação atual das frações Notação de Napier Notação do decimal hoje

25

De 2.5 para 2,5

342

De 3.42 para 3,42

874

De 0.874 para 0,874

De longa data, nossa experiência mostra que o trabalho com números decimais

tem sido afagado pela memorização e fixação de procedimentos, o que torna o ensino e

a apresentação dos mesmos algo distante da compreensão dos alunos.

Outro ponto a destacar é a falta de interesse dos alunos com relação à

matemática, portanto, faz-se necessário desenvolver um trabalho que os leve para um

ambiente onde a reflexão é fundamental para o aprendizado. Incentivar o uso de

estratégias diferentes, que valorizam outras concepções de ensino é uma alternativa

que pode gerar nos estudantes do Curso de Formação de Docentes, a consciência da

necessidade de uma mudança nos métodos educacionais, para que a experiência dos

seus futuros alunos seja melhor do que a que eles tiveram e que esse ciclo sempre

continue evoluindo.

Segundo o texto do Currículo Básico do Paraná (1990)

(...) aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas, é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber esses mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível. (Paraná, 1990, p.66).

Já as Diretrizes Curriculares da Educação Básica coloca que aprender

Matemática é criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir

8

significado às ideias matemáticas, levando-o a estabelecer relações, justificar, analisar,

discutir e criar. É de grande importância superar o fato de que a matemática deve ser

usada apenas para desenvolver habilidades de cálculo e resolutivas ou ainda, uma

disciplina baseada na fixação e memorização de conceitos e listas de exercícios

(Paraná, 2008).

No ensino tradicional, os alunos se apropriam do conhecimento dos algoritmos

de maneira mecânica, que a eles, é imposto de forma passiva. Segundo Andrini e

Vasconcelos (2006, p.8) “para que o sistema de ensino torne-se mais acelerado e

eficaz, há tendências pedagógicas que preconizam que ele deva ser fundamentado no

concreto”. Dessa forma, o professor deve desenvolver os conteúdos dados em sala de

aula de forma objetiva e que vise sempre à construção do conhecimento matemático.

Nessa perspectiva, Lorenzato (2010) afirma que os materiais manipuláveis são

utilizados como facilitador da aprendizagem, e que, além disso, desenvolvem o

raciocínio lógico, crítico e científico na construção dos conhecimentos. Mais ainda,

Os materiais manipuláveis devem visar mais diretamente à ampliação de conceitos, à descoberta de propriedades, à percepção da necessidade do emprego de termos ou símbolos, à compreensão de algoritmos, enfim aos objetivos matemáticos (LORENZATO, 2010, p. 9).

Com base no exposto, entendemos que a utilização do material manipulável

promoverá o aprendizado do educando de forma a possibilitar compreensões que são

necessárias para que o futuro professor possa exercer sua prática com segurança e

habilidade em relação ao tema a que se dedica este trabalho.

O objeto manipulável no qual o trabalho se ampara para as atividades com

números decimais é o “Material Dourado”, conhecido também como material de contas

douradas. Atualmente é encontrado facilmente de forma industrializada confeccionado

em madeira, mas mesmo assim mantém-se o nome original.

9

Segundo Freitas (2004) o Material Dourado, idealizado pela médica e educadora

italiana Maria Montessori, foi desenvolvido e destinado à educação sensorial, onde o

foco na metodologia e o ambiente de ensino, materiais aqui inclusos, possuem o

mesmo grau de importância.

Por meio da utilização desse material é possível desenvolver um trabalho com

alunos de qualquer idade, pois as frações e os números decimais estão intrínsecos ao

nosso dia a dia, e de tal forma, que a aprendizagem torna-se essencial para que

consiga lidar com situações que a ele seja apresentado na vida.

Além de, o material colocar em foco o uso das relações abstratas, vistas antes só

em papel, de forma manipulável, pode levar a compreensão de conceitos,

desenvolvendo o raciocínio lógico e promovendo o aprendizado.

O Material Dourado pode ainda ser usado como promotor na aprendizagem de

diversos conteúdos facilitando o entendimento das quatro operações fundamentais do

sistema de numeração decimal-posicional, sendo elas o estudo das frações, a

conceituação do cálculo das áreas e dos volumes, o trabalho com números decimais,

raiz quadrada e outras atividades.

Por outro lado, com a intenção de apresentarmos situações que envolvam os

números decimais vinculadas ao Material Dourado, desenvolvemos um trabalho com a

Resolução de Problemas. O problema surge na utilização do Material Dourado para a

compreensão das regras das operações e ao mesmo tempo na realização das mesmas.

Segundo Dante (2010) a resolução de problemas tem os seguintes objetivos:

Fazer o aluno pensar produtivamente;

Desenvolver o raciocínio do aluno;

Ensinar o aluno enfrentar situações novas;

10

Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas;

Dar uma boa base matemática as pessoas;

Liberar a criatividade do aluno.

Com base nesses objetivos é que acreditamos que a escolha dessa estratégia

circunstanciará nossas ações.

Embora não seja o foco do trabalho a utilização de jogos, decidimos utilizar um

jogo proposto como uma das “Tarefas”, pois consideramos oportuno para determinada

atividade. É o jogo conhecido como "Jogo Nunca Dez", com uma pequena adaptação.

4. A PROPOSTA

4.1. Encaminhamento

As tarefas elaboradas para esse material serão desenvolvidas no primeiro

semestre do ano letivo de 2013. Serão implementadas junto aos alunos do 3º e 4º ano

do Curso de Formação Docente do Colégio Estadual Nilo Cairo, no município de

Apucarana - PR.

Primeiramente entregaremos as caixas contendo o Material Dourado aos alunos

e explicaremos a nossa proposta de trabalho. Em posse do material começaremos a

propô-las. Serão apresentadas em forma de problemas. Elas foram elaboradas

obedecendo a uma ordem de apresentação. É importante ressaltar que aqueles que

desejarem implementar a proposta, que sigam a ordem apresentada. Poderão ser

aplicadas para os alunos individualmente, ou em grupo de no máximo quatro alunos,

para favorecer o manuseio do Material Dourado, o trabalho da resolução de problemas

e a utilização do jogo.

Para o bom desempenho da realização das atividades propostas é necessário o

respeito e a colaboração dos colegas.

O envolvimento do aluno nas atividades é a condição fundamental para que

ocorra a proposta apresentada e assim, tenha êxito na sua tarefa.

Para garantir o bom desempenho do aluno, cabe ao professor:

11

Acompanhar de perto o trabalho em grupo e estimular a introdução da tarefa

proposta;

Retomar o assunto quando necessário;

Esclarecer dúvidas sem intimidar o aluno em relação a dúvidas e erros;

Desenvolver seu trabalho sempre questionando, levando o aluno a pensar sobre

sua dúvida, ao invés de oferecer respostas prontas;

4.2. Procedimentos

Em um primeiro momento formaremos grupos de 4 (quatro) alunos e, para cada

grupo será entregue 1 caixa do Material Dourado. A princípio deixaremos que

manuseiem e explorem o material, assim poderemos verificar qual o conhecimento que

possuem. Esse trabalho de reconhecimento será desenvolvido a partir de atividades

que serão propostas aos alunos. Nessa etapa de reconhecimento ou apresentação

usaremos o "Jogo do Nunca Dez".

Na sequência, apresentaremos outras Tarefas circunstanciadas por situações

problemas que envolvem as operações que serão trabalhadas em cada passo.

A base do nosso trabalho será a utilização do Material Dourado. A manipulação

e o significado que as peças poderão promover no estudo com os números decimais

serão o ponto de partida para que os alunos possam compreender os algoritmos

necessários para a realização das operações com esses números. Essa exploração é

prevista na Tarefa 1. Na Tarefa 2, trabalharemos com as operações entre números

decimais, iniciando com a adição. Ainda na Tarefa 2, com a Subtração, na Tarefa 3 com

a multiplicação e na Tarefa 4, com a divisão.

Antes de iniciarmos essas atividades, apresentaremos abaixo as representações

que usaremos do Material Dourado. Podemos fazer isso por meio de um cartaz que

será apresentado após a sistematização da primeira tarefa, já que o objetivo é concluir

o que descrevemos abaixo.

Consideraremos as peças do material da seguinte forma:

12

O cubo deve corresponder a um inteiro.

Observando a figura podemos estabelecer as seguintes relações:

O cubo possui 10 placas, logo uma placa é a décima parte do cubo

O cubo possui 100 barras, logo uma barra é a centésima parte do cubo.

O cubo possui 1.000 cubinhos, logo um cubinho é a milésima parte do

cubo.

A placa possui 10 barras, logo uma barra é a décima parte da placa.

A placa possui 100 cubinhos, logo um cubinho é a centésima parte da

placa.

A barra possui 10 cubinhos, logo um cubinho é a décima parte da barra.

Assim, o cubo é o inteiro, a placa é o décimo, a barra é o centésimo e o cubinho

é o milésimo. Para nomear as peças de décimo, centésimo e milésimo, é importante

que o professor enfatize que o cubo sempre estará se referindo ao inteiro.

Apresentamos na sequência as Tarefas que serão desenvolvidas.

5. TAREFAS

5.1. Primeira Tarefa: O Material Dourado

Objetivo: Conhecer/reconhecer, manusear e estabelecer relações entre as peças do

Material Dourado.

Material:

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Caixas de Material Dourado, uma para cada grupo de 4 alunos.

Folha impressa com as atividades.

Encaminhamento:

O professor deverá entregar o Material Dourado aos grupos já constituídos, com

no máximo 4 alunos . De posse do material, eles deverão manipulá-lo e após um tempo

o professor realizará questionamentos que direcionem os alunos a estabelecer relações

entre as peças. É importante salientar que o cubo representará um inteiro. Se os alunos

não fizerem essa associação ou representação, cabe ao professor recomendar e

auxilia-los na execução da atividade. Depois de estabelecidas relações e

representações desejadas é necessário sistematizar esse conhecimento. Para isso,

entregaremos uma folha impressa com as figuras desejadas para que os alunos

preencham com os resultados obtidos na exploração do material, em seguida, registrem

as conclusões obtidas. É importante que o professor entregue a tabela somente após a

exploração e o conhecimento do material, ou seja, após a Atividade 1. Na sequência da

atividade apresentamos a solução esperada em vermelho.

____________________________________________________________________

Atividade 1: Explore o Material Dourado.

______________________________________________________________________

Atividade 2: A partir do explorado, e fixando o cubo como 1 inteiro e preencha a tabela

a seguir1 descrevendo as relações que você estabeleceu com as peças do material.

1A tabela está preenchida com a solução em vermelho.

14

.Representação Gráfica Representação Escrita Representação Numérica

1 Inteiro

1 =

__________

1 =

__________

=

__________

=

15

Solução:

Representação Gráfica Representação Escrita Representação Numérica

1 Inteiro

1 =

1 Décimo

1 =

1 Centésimo

0,01 =

1 Milésimo

0,001 =

As seguintes conclusões poderão ser obtidas a partir da exploração:

O cubo equivale a um inteiro.

16

O cubo tem 10 placas, então a placa é a décima parte do cubo.

O cubo tem 100 barras, então uma barra é a centésima parte do cubo.

O cubo tem 1000 cubinhos, então o cubinho é a milésima parte do cubo.

A placa tem 10 barras, então uma barra é a décima parte da placa.

A placa tem 100 cubinhos, então um cubinho é a centésima parte da placa.

A barra tem 10 cubinhos, então um cubinho é a décima parte da barra.

Observação: É importante reforçar que a partir dessa atividade fique claro que as

peças do Material Dourado representam milésimos, centésimos, décimos e inteiros,

para cubinho, barra, placa e cubo, respectivamente.

A próxima atividade investigará quais as concepções que os alunos possuem

sobre número decimal.

___________________________________________________________________

Atividade 3: Apresente uma definição de número decimal.

Encaminhamento:

O professor distribuirá uma folha impressa com essa questão para que cada

aluno responda individualmente, mesmo em grupo. A partir das respostas apresentadas

sugerimos realizar uma discussão sobre o realizado de forma a apresentarmos uma

definição plausível para o conceito de número decimal. É importante essa discussão,

visto que, embora nossa intenção não seja trabalhar o conceito de número decimal por

meio da sua representação em fração decimal, existirá momentos em que essa

representação será necessária.

Solução:

A solução dependerá de cada aluno.

Na sequência o professor desenvolverá a sistematização da definição de número

decimal.

SISTEMATIZAÇÃO:

Inicialmente vamos relembrar o que é uma fração decimal:

Uma fração decimal é aquela cujo denominador é uma potência de 10.

Por exemplo:

17

Observando a seguinte fração decimal

e sua decomposição:

Se fixarmos a posição que deve ocupar o algarismo que representa as unidades

da parte inteira, usando uma vírgula, podemos representar os décimos, os centésimos e

milésimos como abaixo:

Cuja leitura é seis inteiros e novecentos e quarenta e um milésimos.

Assim, a fração decimal

será representada por 6,941. Podemos observar a

relação entre o número de algarismos após a vírgula e a ordem do denominador que é

a mesma.

OBSERVAÇÃO:

1. O número decimal não altera o valor quando se acrescentam ou se suprimem zeros à

parte decimal, à direita do numeral que o representa. Exemplo:

2,5 = 2,50

Note que 2,5 =

e 2,50 =

=

= 2,5.

2. Um número natural pode ser sempre escrito sob a forma de número decimal.

Exemplo:

9 = 9,0 = 9,00 = 9,000 = ...

18

Pois,

...

5.2. Segunda Tarefa: Representação

Objetivo: Representar números decimais por meio das peças do Material Dourado.

Material:

Caixa de Material Dourado, uma para cada grupo de 4 alunos.

Folha impressa com os problemas.

Encaminhamento:

Para realizar essa atividade o aluno deverá representar quantidades com o

Material Dourado, será necessário pelo menos 3 caixas do material (na solução, os

números envolvem 3 inteiros ou 3 cubos).

_____________________________________________________________________

Atividade 1: Represente os números decimais abaixo por meio das peças do Material

Dourado:

(a) 3,14

(b) 2, 018

(c) 1,307

(d) 0,451

(e) 2,5

(f) 0,002

Solução:

(a)

19

3 Inteiros

1 Décimo

4 Centésimos

ou

3,14

(b)

2 Inteiros

1 Centésimo

8 Milésimos

ou

2,018

(c)

1 Inteiro

3 Décimos

0 Centésimos

7 Milésimos

ou

1,307

20

(d)

0 Inteiros

4 Décimos

5 Centésimos

1 Milésimo

ou

0,451

(e)

2 Inteiros

5 Décimos

ou

2,5

(f)

2 Milésimos

ou

0,002

21

5.3. Terceira Tarefa: Trocas

Objetivo: Realizar por meio do jogo as trocas de inteiros por décimos, décimo por

centésimo e centésimo por milésimo e vice-versa.

Material:

Caixa de Material Dourado, uma para cada grupo de 4 alunos;

Dados nas cores amarelo, azul e verde;

Uma folha de papel em branco;

Um lápis ou caneta para cada aluno.

Encaminhamento:

Para essa atividade formaremos grupos de quatro alunos. A disputa será entre

os integrantes do grupo. Cada jogador deverá anotar os pontos de sua jogada. A cada

grupo será entregue um jogo de Material Dourado, um conjunto de três dados nas

cores, amarelo, verde e azul, uma folha para fazer as marcações e os cálculos de cada

um e ainda um lápis ou uma caneta para anotar os resultados.

JOGO NUNCA DEZ2

Modo de jogar

- O grupo decide quem inicia o jogo;

- Cada aluno, na sua vez de jogar, lança três dados e retira a quantidade de cubinhos

conforme a quantidade que saiu no dado;

- O número de pontos que o jogador irá conseguir em cada jogada será determinado

pela cor do dado, seguindo a tabela:

Amarelo Permanece a mesma quantidade

Verde Vale o dobro da quantidade

Azul Vale o triplo da quantidade

2Jogo adaptado do Jogo Nunca Dez

22

- Quando o jogador conseguir mais do que dez cubinhos deverá trocá-los por uma

barra;

- Quando o jogador conseguir dez barras deverá trocá-las por uma placa.

- Quando o jogador conseguir dez placas deverá trocá-las por um cubo.

- Em cada jogada o jogador deverá fazer o registro em um papel se necessário.

- O critério que determina o vencedor pode ser estabelecido pelo grupo ou por todos os

alunos em conjunto com o professor ou atribuído pelo professor no início do jogo.

Poderá ser adotado o seguinte critério:

Vence o jogador que conseguir completar 1inteiro (cubo).

5.4. Quarta Tarefa: Operações com números decimais

Objetivo: Realizar operações com números decimais por meio das peças do Material

Dourado.

Material:

1 caixa completa de Material Dourado para cada grupo;

Folha impressa com os problemas;

Encaminhamento:

Para realizar essa tarefa os grupos podem ser mantidos, ou seja, 4 alunos.

Distribuiremos um jogo de Material Dourado a cada grupo e na respectiva ordem em

que segue, cada problema deverá ser entregue em folha impressa com espaço para

que os alunos registrem o desenvolvimento da atividade.

5.4.1. ADIÇÃO

Encaminhamento:

Antes de realizarmos a operação de adição entre dois números decimais, o

professor deverá retomar a denominação de alguns elementos da operação. Por

exemplo, na operação:

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1,291 + 0,342 =

1,291 :1ª. parcela

0,342 : 2ª. parcela

Resultado: Soma

______________________________________________________________________

Atividade 1: Resolva os problemas.

PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado.

1,231 + 0,342 =

Encaminhamento:

Para resolver o problema representaremos cada valor acima por meio do

Material Dourado. Esperamos que os estudantes sintam a necessidade de fazer as

trocas para exprimir o valor desejado. Dessa forma, poderemos explorar o verdadeiro

significado da forma como efetuamos a adição de números decimais. Em outras

palavras, para efetuar somas com Material Dourado, devemos seguir as ordens:

juntando-se inteiro com inteiro; décimos com décimos; centésimos com centésimos e

assim por diante. É importante salientar que nossa intenção é construir a regra,

portanto, a soma deve ser realizada por meio das peças do material e não pelo uso do

algoritmo da operação de soma já conhecido.

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Solução: Para adicionarmos, começaremos da menor unidade do Material Dourado que

são os cubinhos (milésimos), respeitando os valores atribuídos na Atividade 1 da

primeira tarefa. Em seguida as placas (décimos), as barras (centésimos) e os cubinhos

(milésimos).

Se agruparmos os milésimos (cubinhos) obteremos 3 milésimos (3 cubinhos). Se

agruparmos os centésimos resultarão 7 centésimos (7 barras). Agrupando os décimos

teremos em 5 décimos (5 placas). Como temos apenas 1 inteiro (1 cubo), o resultado

obtido será: 1 inteiro, 5 décimos, 7 centésimos e 3 milésimos. Portanto:

1,231 + 0,342 = 1,573

Observação: Com as peças na mão a soma não precisa necessariamente seguir uma

ordem. Porém, é muito importante o professor ressaltar que na representação das

quantidades por meio do número decimal faz diferença, pois o sistema decimal admite

valor posicional, é isso que caracteriza o algarismo que representa a parte inteira,

decimal, centesimal e milesimal.

______________________________________________________________________

PROBLEMA: Realize a operação a seguir usando as peças do Material Dourado:

1,99 + 1,24 =

Como não temos os milésimos para somar começaremos então pelos

centésimos. Somando os centésimos (barras) temos 13 centésimos (13 barras).

Trocamos 10 centésimos (10 barras) por 1 décimo (1 placa) que resulta em 3

25

centésimos. Ao somarmos os décimos (placas) obtemos 12 décimos (12 placas), que

ao trocarmos 10 décimos (10 placas) por 1 cubo, corresponderá a 1 inteiro. Somando

os inteiros (cubos) obteremos 3 inteiros (3 cubos). Dessa forma, o resultado final será: 3

inteiros, 2 décimos e 3 centésimos. Portanto: 1,99 + 1,24 = 3,23

Encaminhamento (continuação): A partir das experiências vivenciadas o professor

deve questionar os alunos sobre a possibilidade de construirmos uma regra para a

adição. Quando posta a regra, deverá ser sistematizada na lousa e registrada pelos

alunos.

___________________________________________________________________

Atividade 2: Com base na experiência da atividade anterior, escreva uma regra para a

adição de dois números decimais.

Solução:

REGRA

Para realizar a adição basta escrever os números decimais uns sob os outros, de

modo que as vírgulas se correspondam, isto é, vírgula embaixo de vírgula; dispondo as

unidades de mesma ordem na mesma coluna, soma-se e para o resultado coloca-se a

vírgula alinhada com a vírgula das parcelas.

5.4.2. SUBTRAÇÃO

Encaminhamento:

Antes de realizarmos uma operação de subtração entre dois números decimais

vamos relembrar a denominação de alguns elementos da operação. Por exemplo,

usando os dados do próximo problema:

1,633 - 0,312 =

1,633 : minuendo

0,312 : subtraendo

Resultado: diferença

____________________________________________________________________

Atividade 1: Resolva os problemas abaixo:

26


1,633 - 0,312 =

Solução: Para resolver o problema não precisamos fazer trocas, pois temos,

1 inteiro, 6 décimos, 3 centésimos e 3 milésimos

Menos

3 décimos, 1 centésimos e 3 milésimos.

Fazendo as subtrações das respectivas peças, temos como diferença:

1,321

______________________________________________________________________

PROBLEMA: Desenvolva a operação abaixo utilizando as peças do Material Dourado.

1 - 0,65 =

1º passo:

2º passo:

27

Solução: Para resolver os problemas acima representaremos cada valor envolvido por

meio do Material Dourado.

Dessa forma, conclui-se que deveremos seguir as ordens: retirando-se inteiro de inteiro;

décimos de décimos; centésimos de centésimos e assim por diante. Se necessário,

efetuaremos as trocas para isso. Ilustraremos essas trocas usando os dados do último

problema. Esperamos que os estudantes sintam a necessidade de fazer as trocas para

alcançar o valor desejado.

Como o minuendo é 1 e o subtraendo é 0,65 a operação em termos do material será:

subtrair 6 décimos e 5 centésimos de 1 inteiro.

Como 1 inteiro possui 10 décimos, devemos realizar a troca: trocamos 1 inteiro (cubo)

por 10 décimos (placas) para subtrairmos 6 décimos. Realizamos a subtração e ficamos

com 4 décimos.

Na continuidade, precisamos subtrair 5 centésimos do que temos, como 1 décimo

possui 10 centésimos, trocamos 1 décimo (placa) por 10 centésimos (barras) e desses

10 centésimos subtraímos 5 centésimos. Ao subtrairmos, nos restam 3 décimos e 5

centésimos, ou seja, 0,35. Então: 1 - 0,65 = 0,35.

Em resumo, efetuamos a subtração dos valores segundo as representações de cada

algarismo, centésimos de centésimos, décimos de décimos e inteiro de inteiro.

A princípio não comentaremos sobre a ordem que comumente usamos na subtração, se

da direita para a esquerda ou vice versa. Esperamos que os alunos estabeleçam essa

ordem na sistematização da regra, ao final.

ATENÇÃO: a utilização do Material Dourado impõe necessariamente a ordem que

devemos fazer as trocas pela sua manipulação da esquerda para a direita, entretanto

em termos de estabelecermos uma regra para isso, depois de realizadas as trocas, a

ordem com que será realizada a operação não é importante.

______________________________________________________________________


subtração de dois números decimais.

Solução:

REGRA

28

Para realizar a subtração basta escrever o subtraendo sobre o minuendo, de

modo que as vírgulas se correspondam, isto é, vírgula embaixo de vírgula, dispondo as

unidades de mesma ordem na mesma coluna e efetuamos os cálculos fazendo as

trocas necessárias e para o resultado, coloca-se a vírgula alinhada com a vírgula do

minuendo e do subtraendo.

5.4.3. MULTIPLICAÇÃO

Encaminhamento:

Antes de realizar a operação de multiplicação entre dois números decimais

vamos relembrar com os alunos a denominação de alguns elementos da operação. Por

exemplo, na operação:

3x 1,23

3: primeiro fator

1,23: segundo fator

Resultado: produto

Na sequência desenvolveremos a seguinte atividade:

______________________________________________________________________

Atividade 1: Resolva os problemas a seguir.


3x 1,23 =

Solução: Devemos fazer a seguinte leitura para a representação no Material Dourado:

Para a operação (3 x 1,23) temos:

3 vezes 1,23 que corresponde a 3 inteiros ou 3 partes inteiras de: 1 inteiro, 2 décimos e

3 centésimos. Ou seja:

3 partes inteiras de 1 inteiro que são 3 partes inteiras.

3 partes inteiras de 2 décimos que são 6 décimos.

3 partes inteiras de 3 centésimos que são 9 centésimos.

29

Obtendo o seguinte resultado: 3 inteiros, 6 décimos e 9 centésimos, portanto:

3 x 1,23 = 3,69

______________________________________________________________________


2 x 1,7 5 =

Encaminhamento:

Para esse caso podemos utilizar o processo da soma. Fazendo as trocas

necessárias. Sugerimos que, pela quantidade de peças do Material Dourado que será

utilizada, para a solução do problema que seja o professor mediador na escolha de um

representante da turma para fazer a correção de forma que todos visualizem.

Solução: Devemos fazer a seguinte leitura para a representação no Material Dourado:

Para a operação (2 x 1,75) temos:

2 vezes 1,75 que corresponde a 2 inteiros ou, 2 partes inteiras de: 1 inteiro, 7 décimos e

5 centésimos. Ou seja,

2 partes inteiras de 1 inteiro que é 2 partes inteiras.

2 partes inteiras de 7 décimos que são 14 décimos.

2 partes inteiras de 5 centésimos que são 10 centésimos.

Obtendo o seguinte resultado: 3 inteiros, 14 décimos e 10 centésimos e para

representar esse número é necessário realizar as trocas que devem ser:

Como 10 centésimos equivalem a 1 décimo, teremos 1 décimo, que agrupado aos 14

décimos que já tínhamos do outro fator, ficaremos com 15 décimos. Ora 15 décimos

equivalem a 1 inteiro e 5 décimos. Como tínhamos 2 inteiros, agrupando mais 1 inteiro

teremos 3 inteiros. Portanto, ao final das trocas, obteremos:

3 inteiros e 5 décimos. (0 centésimos que não é necessário representar) Ou seja,

2 x 1,75 = 3,5

______________________________________________________________________

Os próximos problemas envolvem operações onde ambos os fatores são

números com parte decimal, ou a presença da vírgula. A ideia é fazer com que, a partir

30

das operações realizadas o aluno consiga estabelecer uma regra para a multiplicação

de números decimais quaisquer. Começamos com o seguinte:

PROBLEMA: Realize a operação abaixo utilizando as peças do Material Dourado.

0,1 x 0,1 =

Observação: é importante ressaltar que a partir desse ponto o 1/10 (um décimo)

representa a décima parte de 1.

Solução: Conforme a figura a seguir,

0,1 x 0,1 = 0,01

Ou seja, 1 décimo de 1 décimo significa "a décima parte de 1 décimo" que é igual a 1

centésimo.

______________________________________________________________________

Em outra situação:


0,2 x 0,1 =

Solução: Note que 2 décimos de 1 décimo (placa) é "2 vezes a décima parte de 1

décimo (placa)", que corresponde a 2 vezes um centésimo (barra) ou seja:

(2 x 0,1) x 0,1 = 2 x (0,1 x 0,1) = 2 x 0,01.

Dessa forma, 2 vezes 1 centésimo (barra) é igual a 2 centésimos (barra). Portanto:

0,2 x 0,1 = 0,02

______________________________________________________________________

O próximo problema explora outra situação, envolvendo décimos e centésimos:


0,1 x 0,01 =

Solução: 0,1 x 0,01 = 0,001

31

Ou seja, 1 décimo de 1 centésimo significa "a décima parte de 1 centésimo" que é igual

a 1 milésimo.

______________________________________________________________________


0,2 x 0,01 =

Solução: Note que 2 décimos de 1 centésimo é "2 vezes a décima parte de 1

centésimo”, que corresponde a 2 vezes um milésimo ou seja:

(2 x 0,1) x 0,01 = 2 x (0,1 x 0,01) = 2 x 0,001.

Dessa forma, 2 vezes 1 milésimo é igual a 2 milésimos. Então:

0,2 x 0,01 = 0,002

______________________________________________________________________


0,1 x 1,2 =

Solução: 0,1 x 1,2 = 0,12

Pois, 0,1 é a décima parte de 1 inteiro e 2 décimos, ou, 12 décimos. Logo, a décima

parte de 12 décimos é igual a 12 centésimos, ou seja, 0,12.

______________________________________________________________________


1,2 x 0,12 =

Solução: Podemos resolver essa operação usando o que vimos nas duas operações

anteriores e utilizando as propriedades de associatividade e distributividade da

multiplicação, sendo assim:

1,2 x 0,12 = (1 + 0,2) x 0,12 = (1 x 0,12) + (0,2 x 0,12)

Assim temos 1 vez de 1 décimo e 2 centésimos no primeiro parênteses, que é o mesmo

que 1 vez de 12 centésimos.

32

No segundo parênteses, 2 vezes a décima parte de 1 décimo e 2 centésimos, ou 2

vezes a décima parte de 12 centésimos, que é igual a 24 milésimos, ou 0,024. O

resultado será: 12 centésimos adicionados a 24 milésimos, ou seja, 120 milésimos

adicionados a 24 milésimos, que são 144 milésimos. O resultado será 0,144.

Encaminhamento:

Com os problemas acima, podemos partir para uma generalização da regra do

produto. Esperamos que os alunos percebam que, em todas as multiplicações

realizadas, o que determina a parte decimal do número ou a posição da vírgula, é a

soma do número de algarismos que compõe a parte decimal de cada fator. O professor

deve encaminhar a próxima atividade de forma que os alunos tenham essa percepção.

______________________________________________________________________


multiplicação de dois números decimais.

Solução:

REGRA

Para multiplicar dois números decimais basta multiplicá-los como se fossem

naturais e separar a parte decimal no resultado, colocando a vírgula, a partir da direita,

tantas casas decimais quantos forem a soma do número de casas decimais dos fatores.

5.4.4. DIVISÃO

Encaminhamento:

Antes de realizarmos a operação de divisão entre dois números decimais vamos

retomar a denominação de alguns elementos da operação. Por exemplo, na operação:

0,5 : 2

0,5: dividendo

2: divisor

Resultado : quociente + resto

Lembrete: a divisão só é definida para divisores diferente de zero.

33

Encaminhamento:

Durante a elaboração desse material estudamos as diferentes situações que

podem ocorrer na divisão de dois números inteiros ou decimais. Essas diferentes

situações advêm do processo da divisão e não dos números envolvidos na operação

em si. Dessa forma, para organizar a proposta e explorar todos os casos que

consideramos necessários para isso, escolhemos apresentá-los conforme abaixo:

- divisão de decimal por inteiro e vice-versa:

- divisão de decimal por decimal;

- divisão de inteiro por inteiro que resulta em decimal.

O seguinte problema aborda o caso divisão de decimal por inteiro. De forma

análoga podemos realizar a divisão de inteiro por decimal. Acreditamos que não há

necessidade abordar esse caso, porém, podemos comentar com os alunos a respeito.

Em todas as operações abaixo que exploram a divisão entre decimais é

importante salientar que antes de iniciarmos a divisão, para o que foi construído nessa

proposta, deveremos trabalhar com números de mesma ordem, isso significa que só

podemos realizar divisões entre inteiros. Para isso, caso não tenhamos números de

mesma ordem podemos usar uma das propriedades da aritmética e multiplicar ambos

os números da operação, dividendo e divisor por um mesmo número, 10, 100 ou 1000

de forma a transformá-los em inteiros sem alterar o resultado, ou o quociente desejado.

Impomos essa condição, de trabalharmos com inteiros, para que o primeiro resultado

do processo da divisão tenha como resultado um algarismo no quociente, que

representa a parte inteira do número. Convém lembrar que se não fizéssemos isso a

divisão tornaria mais complicada ainda.

______________________________________________________________________

Vamos observar o exemplo a seguir que já inicia uma divisão fazendo essa

transformação.

Atividade 1: Resolva os problemas.


0,5 : 2 =

34

Solução: Para realizarmos a divisão de 0,5 por 2 devemos transformar o decimal em

inteiro, para isso multiplicamos por 10, já que a menor ordem é décimos, multiplicamos

tanto o dividendo como o divisor e ficamos com 5 : 20.

Entendendo que nosso problema agora é realizar a divisão de 5 inteiros por 20, temos:

para dividirmos 5 inteiros por 20 precisamos realizar uma troca, já que 5 é menor que

20. Trocamos 5 inteiros (cubo) por décimos (placa) obtendo 50 décimos (placas).

Consequentemente, o algarismo que representa a parte inteira no quociente é o zero, já

que temos ausência de quantidades nessa unidade.

i 5 2 0

d 5 0 0,

d 5 0

Agora precisamos dividir 50 décimos por 20 cujo resultado será 2 décimos com resto 10

décimos.

i 5 2 0

d 5 0 0, 2

d - 4 0 i d

d 1 0

Nosso próximo passo é dividir 10 décimos por 20, novamente precisamos realizar a

troca. Trocamos 10 décimos por 100 centésimos e realizamos a divisão: 100

centésimos dividido por 20 resulta em 5 centésimos.

d 0 5 0 2 0

d - 4 0 0, 2 5

c 1 0 0 i d c

c - 1 0 0

c 0

Dessa forma:

5 décimos dividido por 2 são 2 décimos e 5 centésimos ou seja:

0,5 : 2 = 0,25

35

______________________________________________________________________

Passamos agora para outro caso, a divisão de decimal por decimal.

PROBLEMA: Realize a operação abaixo usando as peças do Material Dourado

0,744 : 0,6 =

Solução: Para realizarmos a divisão de 0,744 por 0,6 devemos transformar o decimal

em inteiro, para isso multiplicamos por 1000, tanto o dividendo quanto o divisor e

ficamos com 744 : 600.

Nosso problema agora é realizar a divisão de 744 inteiros por 600, como 744 é maior

que 600, resulta em 1 inteiro com resto 144 inteiros. Assim, o algarismo que representa

a parte inteira é 1.

i 0 7 4 4 0 6 0 0

i - 6 0 0 1

i 1 4 4 I

Nosso próximo passo é dividir 144 inteiros (cubo) por 600, como 144 é menor que 600

precisamos realizar a troca. Trocamos 144 inteiros por 1440 décimos e prosseguimos

com o algoritmo, dividindo 1440 décimos por 600. Consequentemente, o algarismo que

representa o resultado dessa divisão é 2 décimos e por isso surge a vírgula como

separação da parte inteira da decimal.

i 0 7 4 4 0 6 0 0

i - 6 0 0 1,

i 1 4 4 I

d 1 4 4 0

Dividimos agora, 1440 décimos por 600. O resultado da divisão de 1440 décimos por

600, é representado pelo algarismo 2 na posição do décimo do quociente. Desse passo

resulta, ainda, 240 décimos.

36

i 0 7 4 4 0 6 0 0

i - 6 0 0 1, 2

i 1 4 4 I d

d 1 4 4 0

d - 1 2 0 0

d 2 4 0

Continuando a divisão, o próximo passo é dividir 240 por 600 e como 240 é menor que

600, é necessário realizarmos a troca, 240 décimos por 2400 centésimos. Dividimos

assim, 2400 centésimos por 600 o que resulta em 4 centésimos.

i 0 7 4 4 0 6 0 0

i - 6 0 0 1, 2 4

i 1 4 4 I d c

d 1 4 4 0

d - 1 2 0 0

d 2 4 0

c 2 4 0 0

c - 2 4 0 0

c 0

Obteremos assim, o seguinte, 7 décimos, 4 centésimos e 4 milésimos dividido por 6

décimos resultam em 1 inteiro, e 2 décimos e 4 centésimos.

0,744 : 0,6 = 1,24

______________________________________________________________________

O próximo problema aborda o caso da divisão de decimal por decimal com uma

pequena variação, a ausência de quantidades nos décimos no quociente.


0,612 : 0,6 =

37

Solução: Para realizarmos a divisão de 0,612 por 0,6 devemos transformar o decimal

em inteiro, para isso multiplicamos por 1000, tanto o dividendo como o divisor e ficamos

com 612 : 600.

O problema agora é realizar a divisão de 612 inteiros por 600, como 612 é maior que

600, resulta em 1 inteiro com resto 12 inteiros. Assim, o algarismo que representa a

parte inteira é 1.

i 0 6 1 2 0 6 0 0

i - 6 0 0 1,

i 1 2 I

O próximo passo é dividir 12 inteiros (cubo) por 600, como 12 é menor que 600

precisamos realizar a troca. Trocamos 12 inteiros por 120 décimos e prosseguimos com

o algoritmo que é dividir 120 décimos por 600. Consequentemente, o algarismo que

representa o décimo no quociente é zero.

i 0 6 1 2 0 6 0 0

i - 6 0 0 1, 0

i 1 2 I d

d 1 2 0

Prosseguindo, como 120 é menor que 600 novamente precisamos realizar a troca de

120 décimos por 1200 centésimos. Dividimos agora, 1200 centésimos por 600. O

resultado da divisão de 1200 centésimos por 600, é representado pelo algarismo 2 na

posição do centésimo no quociente.

i 0 6 1 2 0 6 0 0

i - 6 0 0 1, 0 2

i 1 2 i d c

d 1 2 0

c 1 2 0 0

c - 1 2 0 0

c 0

38

Teremos o seguinte, 6 décimos, 1 centésimo e dois milésimos dividido por 6 décimos

resultam em 1 inteiro e 2 centésimos.

0,612 : 0,6 = 1,02

______________________________________________________________________

O caso seguinte é a divisão de inteiro por inteiro que resulta em decimal.


1 : 5 =

Solução: Nesse caso, dividendo e divisor são inteiros, mas 1 é menor que 5 por isso é

necessário realizarmos a troca de 1 inteiro por 10 décimos. Consequentemente, o

algarismo que representa a parte inteira é zero.

i 1 5

d 1 0 0,

i

Dividindo 10 décimos por 5, resulta em 2 décimos. Portanto, 1 inteiro dividido por 5 tem

como quociente 2 décimos.

i 1 5

d 1 0 0, 2

d - 1 0 i D

d 0

1 : 5 = 0,2

______________________________________________________________________

Os próximos problemas abordam o caso divisão de inteiro por inteiro com situações

diferenciadas, vejamos:


1 : 200 =

39

Solução: Para realizarmos a divisão de 1 inteiro por 200 precisamos realizar a troca de

1 inteiro por 10 décimos, pois 1 é menor que 200. Consequentemente, o algarismo que

representa a parte inteira é zero.

i 1 2 0 0

d 1 0 0,

i

O problema passa a ser agora, dividir 10 décimos por 200. Como 10 é menor que 200,

novamente precisamos realizar uma troca, de 10 décimos por 100 centésimos.

Consequentemente, o algarismo que representa o décimo no quociente é zero.

i 1 2 0 0

d 1 0 0, 0

c 1 0 0 i D

Assim, a operação será: 100 centésimos dividido por 200. Como 100 é menor que 200,

trocaremos 100 centésimos por 1000 milésimos. Consequentemente, o algarismo que

representa o centésimo no quociente é zero.

Agora realizamos a divisão, de 1000 milésimos por 200. O resultado será 5 milésimos.

i 1 2 0 0

d 1 0 0, 0 0 5

c 1 0 0 i D c m

m 1 0 0 0

m 1 0 0 0

m 0

i 1 2 0 0

d 1 0 0, 0 0

c 1 0 0 i D C

m 1 0 0 0

40

Assim, 1 inteiro dividido por 200 são 5 milésimos.

1 : 200 = 0,005

______________________________________________________________________


21 : 2 =

Solução: o problema é dividir 21 inteiros por 2, cujo resultado são 10 inteiros com resto

1 inteiro.

i 2 1 2

i -2 0 1 0

i 1 di ui

Onde di é a dezena do inteiro e ui é a unidade do inteiro

Para continuarmos a divisão, como 1 é menor que 2, é necessário trocarmos 1 inteiro

por 10 décimos.

i 2 1 2

i - 2 0 1 0

i 1 di ui

d 1 0

Efetuando a divisão 10 décimos dividido por 2 é igual a 5.

i 2 1 2

i 2 0 1 0, 5

i 1 di ui d

d - 1 0

d 1 0

d 0

41

Com isso, 21 inteiros dividido por 2 são 10 inteiros e 5 décimos.

21 : 2 = 10,5

______________________________________________________________________


1 : 3 =

Solução: nesse caso, vamos dividir inteiro por inteiro. Como 1 é menor que 3, é

necessário fazermos a troca do 1, obtendo 10 décimos. Consequentemente a parte

inteira do quociente é zero.

i 1 3

d 1 0 0,

i

Em continuidade, dividimos 10 décimos por 3 obtendo 3. Com resto 1 décimo.

i 1 3

d 1 0 0, 3

d - 9 i d

d 1

Novamente, dividimos 1 décimo por 3. Como 1 é menor que 3, é necessário fazermos a

troca do 1 décimo, obtendo 10 centésimos. Realizamos a divisão, obtendo 3

centésimos, com resto 1 centésimo.

i 1 3

d 1 0 0, 3 3

d - 9 i d c

d 1

c 1 0

c - 9

c 1

42

Novamente, dividimos 1 centésimo por 3. Como 1 é menor que 3, é necessário

fazermos a troca do 1 centésimo, obtendo 10 milésimos. Com resto 1 milésimo.

i 1 3

d 1 0 0, 3 3 3

d - 9 i d c m

d 1

c 1 0

c - 9

c 1

m 1 0

m - 9

m 1 . . .

E assim, sucessivamente, teremos infinitos algarismos iguais a 3 se continuarmos a

divisão. O quociente dessa operação é um número decimal conhecido como Dízima

Periódica.

E a regra para a divisão ? ! ?

Ressaltamos que, para essa operação não exploraremos uma atividade que

estabeleça uma regra para a divisão, já que são diversas situações a considerar

intrínsecas desta operação.

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O trabalho com Números Decimais exige muita atenção da parte do professor

tanto em relação ao aluno quanto em relação ao conteúdo. Com a elaboração dessa

unidade constatamos que o conteúdo é mais complexo do que a priori pode parecer. E

para aqueles que sequer tenham estudado sobre o assunto a situação pode tornar-se

ainda pior. Por isso ressaltamos que a abordagem construída é dedicada à Formação

de Docentes para as séries iniciais, que já tiveram um primeiro contato com as

43

operações entre números decimais. Por isso, concentramos nossos esforços às

justificativas que essas operações possuem com o auxílio de um material altamente

recomendado para esse trabalho - o Material Dourado. Esperamos obter bons

resultados na fase de implementação dessa proposta, circunstanciada pela nossa

prática que sempre enfrentou grandes dificuldades no tratamento desse assunto.

Esse trabalho dedica-se indiretamente às séries iniciais, já que é destinado à

Formação de Docentes para esse nível, desse modo, acreditamos que essa produção

contribuirá circunstancialmente com o rol de produções desenvolvidas no campo da

Educação Matemática. Esperamos acrescentar novas formas de desenvolvermos o

conteúdo relativo a números decimais e suas operações à prática docente dos futuros

professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental e consequentemente, que as

crianças por eles ensinadas tenham maior compreensão do conteúdo trabalhado.

7. REFERÊNCIAS

ANDRINNI, A., VASCONCELOS, M. J. Praticando Matemática. Manual do Professor.

São Paulo: ed. do Brasil, 2006.

AZEVEDO, A. de et al. (Org). Programa de admissão. 19. Ed. São Paulo: São Paulo

Editora S.A., 1968. 516 p.

BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo:

Edgard Blücher LTDA,1991. BUTTS, T. Formulando Problemas Adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997, p. 32 – 48. DANTE, L. R. Formulação e resolução de Problemas de Matemática: Teoria e Prática. São Paulo: Ática, 2010. D’ AMBRÓSIO, U. Educação Matemática: Da Teoria à Prática. Campinas: Papirus,

1996.

44

FREITAS, R. C. de O. Um ambiente para operações virtuais com Material Dourado.

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