filtri multirate e banchi di filtri studio ed applicazioni
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Filtri Multirate e Banchi di FiltriFiltri Multirate e Banchi di Filtri
Studio ed applicazioni
Banchi di filtriBanchi di filtri
Sono sistemi che scompongono il segnale in varie “bande di frequenza”
Vengono Impiegati in molteplici settori Analisi dei segnali Compressione e Codifica di segnali ed immagini Crittografia Sistemi di antenna Speech processing Ecc.
Filtri MultirateFiltri Multirate
Sono sistemi che operano a diverse frequenze di campionamento Possono essere impiegati per modificare T
(Es. Scalaggi di immagini, conversione di dati digitali tra diversi supporti CD, MC, … )
Si possono impiegate per realizzare sistemi digitali piu’ semplici da un punto di vista realizzativo
Sorgono nuove problematiche Aliasing Imaging
Blocchi FondamentaliBlocchi Fondamentali
Decimatore
Interpolatore
M
)(nx ) ( )( nMxnyD
L
)(nx
altrove 0
intero) :(p pLn )()( L
n
I
xny
Blocchi Fondamentali (esempio)Blocchi Fondamentali (esempio)
Decimatore
Interpolatore
2
2
[ …1 2 3 4 5 6 7 …] [… 1 3 5 7…]
[… 1 2 3 4 5 6 7… ] [ …1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7… ]
ConsiderazioniConsiderazioni
Il decimatore e l’interpolatore Sono sistemi lineari NON SONO tempo invarianti
)()(ˆ
)())(()(
)()(ˆ)(ˆ)(ˆ
)()(ˆ
)()()(
0
o
ooo
o
nnyny
MnMnxnnMxnny
nMnxMnxnynx
nnxnx
Mnxnynx
Dim:
ConsiderazioniConsiderazioni
Il decimatore e l’interpolatore Sono sistemi lineari NON SONO tempo invarianti Pertanto perdono di significato alcuni strumenti quali:
risposta impulsiva risposta in frequenza
Es:
2
[1 2 3 4 5 6 7] [1 3 5 7]
[0 1 2 3 4 5 6 7] [0 2 4 6]
Effetti sullo spettro (Interpolatore)Effetti sullo spettro (Interpolatore)
Interpolatore:
)(
:ove )(
L di multiplo n a limitata
)()(
L
m
mL
n
n
n
n
zX
Lnmzmx
zLnx
znyzY
)()( Ljj eXeY In particolare:
Effetti sullo spettroEffetti sullo spettro
Interpolatore:
)()( Ljj eXeY
E
Effetto Imaging
X(e ) Y(e )j j
2
Effetti sullo spettro (Decimatore)Effetti sullo spettro (Decimatore)
Decimatore
)(1
)'(1
zz' ponendo )(1
1)(
mnM :ponendo )()()(
1
M1
1
0
1
0
1
0
1
0
kM
k
M
k
kkm
m
M
k
M
k
km
m
n
n
n
n
WzXM
zXM
WWzmxM
zWM
mx
znMxznyzY
M
Mm
Mm
)(1
)(k 2
Mj
k
j eXM
eY
In particolare:
Effetti sullo spettro (Decimatore)Effetti sullo spettro (Decimatore)
Decimatore
)(1
)(k 2
Mj
k
j eXM
eY
2
Possibile effetto Aliasing !!!
InterconnessioneInterconnessione
Il segnale originale si puo’ recuperare Con un opportuno filtro anti-imaging Purche’ non vi sia stato aliasing
Il segnale originale deve avere banda limitata entro NON e’ necessario che la banda sia centrata attorno allo 0 !!!
M M
1
0
)(1
)(M
k
kzWXM
zY
Maa 2
InterconnessioneInterconnessione
In generale i due blocchi non sono intercambiabili Es: decimare ed interpolare non e’ lo stesso che interpolare e
decimare
I blocchi sono invece intercambiabili se M ed L sono “primi fra loro”
M L
InterconnessioneInterconnessione
)(1
)(1
02
kLM
k
WzXM
zY ML
M L
)(1
)(1
01
kM
k
WzXM
zY ML
L M
InterconnessioneInterconnessione
kLk WW Pertanto i risultati sono uguali se e solo se gli insiemi dei valori realizzati da:
coincidono !!!
M
kLjW kL 2
exp
Perche’ WkL copra tutti i punti sul cerchio unitario coperti da Wk, L ed M devono essere primi fra loro
FiltriFiltri
Per modificare il periodo di campionamento Il decimatore è preceduto da un filtro anti-aliasing
L’interpolatore è seguito da un filtro anti-imaging
Mc
Lc
LP filter M
L LP filter
Variazione di un fattore razionaleVariazione di un fattore razionale
LP filter M L
Il filtro serve da anti-imaging ed anti-aliasing La freq. di taglio va dimensionata sul max(L,M) Problema:
Il filtro lavora ad alta frequenza Si possono usare strutture polifase (vedi dopo!)
Realizzazioni in più stadiRealizzazioni in più stadi
Se le specifiche sono troppo stringenti si può operare in due fasi: Esempio:
decimatore per 100 ed un filtro anti-aliasing con specifiche:
p= (nessun aliasing) s=si salvi l’80% della banda utile)
Caso 1:
p=
s=
LP
LP filter 100
Le specifiche del filtro sono molto stringenti
Realizzazioni in più stadiRealizzazioni in più stadi
Caso 2:
LP 1 50 LP 2 2
2=s=
LP 1 p=
1=
p=
s=
LP 2
Si accetta aliasing in LP1 che poi verrà eliminato da LP2Il primo decimatore (50) allarga lo spettro rilassando le specifiche di LP2Entrambi I filtri presentano specifiche meno stringenti
Equivalenze fondamentali (1)Equivalenze fondamentali (1)
G(z)M
MG(zM)
x(n) w(n) y(n)
kMM
k
MkkM
k
kM
k
kM
k
Wzz'zGzXM
WzGWzXM
zGWzXM
zGzWzY
WzXM
zW
M
MM
M
M
1
11
1
1
ove )'()'(1
))(()(1
)()(1
)()()(
)(1
)(
1
0
1
0
1
0
1
0
Equivalenze fondamentali (2)Equivalenze fondamentali (2)
G(zL)L
LG(z)x(n) w(n) y(n)
)()()()(
)()()(LLL zXzGzWzY
zXzGzW
Banchi di Filtri (analisi e sintesi)Banchi di Filtri (analisi e sintesi)
x(n)H0(z)
H1(z)
HM-1(z)
x0(n)
x1(n)
xM-1(n)
F0(z)
F1(z)
FM-1(z)
+y0(n)
y1(n)
yM-1(n)
y(n)
banco di analisi banco di sintesi
……
…
H0 H1 H2 HM-1 H0
20
Banchi di Filtri (analisi e sintesi)Banchi di Filtri (analisi e sintesi)
Banco di analisi suddivide il segnale in M sotto bande
Banco di sintesi elabora M segnali (tipicamente da un banco di analisi) ricombina i risultati in un segnale finale y(n)
I filtri possono essere progettati secondo diverse tipologie (Nyquist, complementari, DFT,…)
Questo schema trova impiego in molti campi Analisi dei segnali Codifica / compressione, multiplexing, .. Crittografia …
Uniform DFT filter banksUniform DFT filter banks
Tutti i filtri derivano da un “prototipo”
Ovvero
Ossia sono versioni traslate dello stesso spettro
10 ove )()( 0 MkzWHzH kk
)()(2
0
M
kj
jk eHeH
…
H0 H1 H2 HM-1 H0
20
ApplicazioniApplicazioni
Transmultiplexers Multiplazione di segnali in tempo o in frequenza
Segnali audio digitali HI-FI Per ottenere una banda utile di 22k si deve
campionare almeno a 44k Questo richiede un filtro analogico anti-aliasing con
caratteristiche stringenti (elittici a fase non lineare) Campionando ad una frequenza superiore (88k) si
puo’ usare un filtro analogico meno stringente, si aggiunga quindi un filtro digitale ed un decimatore
88kHz sampler
A/DConverter H(z) 2
ApplicazioniApplicazioni
Subband Coding Spesso i segnali presentano l’energia concentrata in certe sotto-
bande (Es. speech, immagini, …) Se l’energia è limitata ad una sotto-banda si può usare ad esempio
un filtro ed un decimatore Se l’energia occupa tutta la banda utile ma in modo diverso si può
usare un banco di analisi, una opportuna codifica ed un banco di sintesi.
Note: Conoscenza a priori della tipologia di segnali Fondamentale l’eliminazione di Aliasing-Imaging
H0(z) 2 2 F0(z)
H1(z) 2 2 F1(z)
+
ApplicazioniApplicazioni
Crittografia di un segnale vocale su linea telefonica analogica suddivisione di un segnale in n sottobande ogni sottobanda viene quindi suddivisa in m segmenti
temporali permutazione dei segnali ( nm! ) ricombinazione
Decomposizione PolifaseDecomposizione Polifase
Si riuniscano i coefficienti h(n) di un filtro in piu’ gruppi (Ad es. pari e dispari)
)()()(
)12()(
)2()(
)12()2()()(
21
120
1
0
122
zEzzEzH
znhzE
znhzE
znhznhznhzH
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Es: [… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 …]=
[… 1 0 3 0 5 0 7 0 9 0 7 0 5 0 …]+[… 0 2 0 4 0 6 0 8 0 8 0 6 0 4 …]
E0 : filtro composto dai soli coeff. pari
E1 : filtro composto dai soli coeff. dispari
Decomposizione PolifaseDecomposizione Polifase
Filtri IIR analogamente si può operare anche su filtri IIR
221220
22
1
2222
1
1
1)(
1
1)(
11
1
1
1
1
1)(
za
azE
zazE
za
az
zaza
az
azzHEs:
Decomposizione PolifaseDecomposizione Polifase
Più genericamente (I Tipo):
Essendo e0(n) la versione decimata di h(n) vale la seguente proprietà
10 con )()(
ove
)()(1
0
MkknMhne
zEzzH
k
Mk
kM
k
)(1
)(1
00
kM
k
M zWHM
zE
Decomposizione PolifaseDecomposizione Polifase
Schema (I Tipo):
E0(zM)
z-1
z-1
E1(zM)
EM-1(zM) +
+
Decomposizione PolifaseDecomposizione Polifase
Esiste anche una versione alternativa (II tipo)
che è solo un modo diverso per numerare gli insiemi dei coefficienti del filtro h(n) (si spostano i ritardi a valle)
Nota: la decomposizione polifase si può applicare a qualunque sequenza.
)()(
ove
)()(
1
)1(1
0
zEzR
zRzzH
KMk
Mk
kMM
k
Decomposizione PolifaseDecomposizione Polifase
Schema (II Tipo):
R0(zM)
z-1
z-1
R1(zM)
RM-1(zM) +
+
Notare i ritardi messi a valle dei filtri
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
Finora nei decimatori e negli interpolatori il fitro operava nella parte ad alta frequenza
Inoltre il filtro compie molte operazioni inutili campioni nulli all’ingresso dell’interpolatore campioni eliminati in uscita dal decimatore
h0 h1 h2 hn-1
z-1 z-1 z-1
+ + + 2
Il sistema deve eseguire N Moltiplicazioni ed N-1 somme ogni qualvolta esce un capione pari e potrebbe venir spento durante i campioni dispari
x(n)
y(n) y(2n)
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
Implementazione polifase del decimatore:
E0(z2)
E1(z2)
z-1
+ 2y(n) y(2n)
x(n)
E0(z)
E1(z)
z-1
+
2
2
x(n)
y(2n)
•I filtri ricevono i campioni in ingresso con una cadenza dimezzata•La prima parte può essere vista come un de-multiplexer
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
Implementazione polifase dell’interpolatore:
R0(z2)
R1(z2)
z-1
+
2x(n)
R0(z)
R1(z)
z-1
+
2
2
x(n)
•I filtri ricevono i campioni in ingresso con una cadenza dimezzata•La seconda parte può essere vista come un multiplexer
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
Implementazione polifase dell’interpolatore per un numero razionale:
Lo schema canonico è doppiamente inefficiente il filtro opera nella parte ad alta frequenza, ovvero:
L’ingresso del filtro contiene L-1 zeri All’uscita viene salvato solo un risultato ogni M
LP filter M L
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
Esempio L=2, M=3;
R0(z)
R1(z)
z-1
+
2
2
x(n)
3 y(n)
y(n)
E0(z)
E1(z)
z-1
+
3
3
x(n)
E2(z) +3
z-1
2I Tipo
II Tipo
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
Notando che:321 zzz
R0(z)
R1(z)
z-1
+
2
2
x(n)
3 y(n)
R0(z)
R1(z)
z-3
+
2
2
x(n)
3 y(n)
z2
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
R0(z)
R1(z)
z-3
+
2
2
x(n)
3 y(n)
z2
R0(z)
R1(z)
z-1
+
2
2
x(n) 3
y(n)
z-1
3
Per le “equivalenze fondamentali”:
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
R0(z)
R1(z)
z-1
+
2
2
x(n) 3
y(n)
z-1
3
Essendo M ed L primi tra loro:
R0(z)
R1(z)
z-1
+
3
3
x(n) 2
y(n)
z-1
2
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
z-1
+
x(n)
2
y(n)
z-1
2
R00(z)
R01(z)
z-1
+
3
3
R02(z) +3
z-1
R10(z)
R11(z)
z-1
+
3
3
R12(z) +3
z-1
Sistemi polifase per modificare TSistemi polifase per modificare T
Un esempio pratico: Siano [a b c d e f e d c b a ] i coefficienti del filtro LP:
E0=[a d e b] E1=[b e d a] E2=[c f c] R0=[b d f d b] R1=[a c e e c a] R00=[b d] R01=[d b] R02=[f] R10=[a e] R11=[c c] R12=[e a]