UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de Loja

ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

SEÑALES ANALOGICAS Y DIGITALES

CRISTIAN AGUIRRE ESPARZA

2013FILTROS IIR

Los filtros IIR, también conocidos como Sistemas Auto-regresivos (Auto-Regresive {AR}), son llamados de respuesta infinita, porque el proceso de filtrado se realiza por medio de la evaluación de la ecuación de diferencias que regulan el sistema. Como la ecuación de diferencias depende de las salidas anteriores del filtro, existe una dependencia de los infinitos estados anteriores de la variable de salida a la variable de salida actual, por tal razón son llamados de Respuesta al Impulso Infinita.

La función de transferencia de los filtros IIR está dada por la siguiente ecuación y como se puede observar este filtro cuenta con ceros y polos, por lo que la estabilidad del mismo no está garantizada.

No todo sistema que tenga esta forma es IIR. Por ejemplo:

Es aparentemente un filtro IIR pues presenta términos recursivos, sin embargo vemos que ésta no es sino una forma distinta de representar el sistema:

que es claramente de fase lineal.

Comparado con un FIR, un filtro IIR requiere un orden mucho menor para cumplir las especificaciones de diseño, sin embargo estos últimos no pueden diseñarse para tener fase lineal. Existen técnicas de compensación de fase mediante la utilización de filtros pasa todo, sin embargo esto aumenta la longitud total del filtro. Si no es necesario que el sistema sea causal (no funcionará en tiempo real) se puede conseguir fase lineal mediante filtros IIR realizando un filtrado BIDIRECCIONAL este consiste en filtrar la señal, invertir el orden de las muestras obtenidas y volver a filtrar de nuevo. La señal obtenida no tendrá distorsión de fase.

EXISTEN DOS FILOSOFÍAS DE DISEÑO DE FILTROS IIR.

INDIRECTA Se basa en aplicar a filtros analógicos diseñados previamente, transformaciones que los conviertan en digitales con las mismas características. Hay tres métodos fundamentales:

• Diseño por impulso invariante• Diseño por analogía o aproximación de derivadas• Diseño por transformación bilineal.

DIRECTA Se propone el diseño de filtros digitales imponiendo una serie de condiciones a la respuesta para determinar los coeficientes. Nos centraremos en dos métodos simples como son:

• Diseño por la aproximación de Padé• Diseño por aproximación de mínimos cuadrados.

También podemos considerar como método directo aunque de uso limitado el diseño por ubicación de ceros y polos.

LOCALIZACIÓN DE CEROS Y POLOS EN FILTROS IIR

Los filtros IIR más generales (ARMA) contienen ceros y polos. Si los coeficientes del filtro son reales, si los ceros o polos son complejos siempre aparecen como pares complejos conjugados.

La condición de estabilidad, para sistemas causales implica que los POLOS se encuentran en el interior de la circunferencia unidad. Los ceros no tienen efecto sobre la estabilidad del sistema y pueden encontrarse en el interior o en el exterior de dicha circunferencia. Cuando los ceros y polos de un sistema se encuentran en el interior de la circunferencia unidad se dice que el sistema es de FASE MÍNIMA. Cuando todos los ceros y polos están en el exterior de la circunferencia unidad se dice que el sistema es de FASE MÁXIMA. En general, cuando tenemos ceros y polos en el exterior y en el interior se dice que el sistema es de FASE MIXTA

Es sencillo verificar que si un sistema tiene un cero en el exterior de la circunferencia unidad (zk =a

|a| > 1) y éste se sustituye por su recíproco conjugado (zk = ( 1a ) |a|>1) el sistema tiene la misma

respuesta en frecuencia en módulo multiplicado por un factor constante igual al módulo de cero, si bien la respuesta en fase sí experimenta cambios. Un sistema de FASE MÍNIMA también se define como aquel que experimenta un cambio de fase neto nulo; es decir, ∅ (π )−θ (0 )=0

FILTROS IRR AUTOREGRESIVO (AR)

La ecuación diferencia que describe un filtro AR es:

lo que da lugar a una función de transferencia

CARCATERISTICAS:

La función de transferencia contiene solo polos. El filtro es recursivo ya que la salida depende no solo de la entrada actual sino además de

valores pasados de la salida (Filtros con retroalimentación). El término auto regresivo tiene un sentido estadístico en que la salida y[n] tiene una

regresión hacia sus valores pasados. La respuesta al impulso es normalmente de duración infinita, de ahí su nombre.

Imagen 1. Filtro IIR autoregresivo

Filtros ARMA (Autoregresivo y Media en Movimiento)

Es el filtro más general y es una combinación de los filtros MA y AR. La ecuación diferencia que describe un filtro ARMA de orden N es.

lo que da lugar a una función de transferencia

CARCATERISTICAS:

Un filtro de este tipo se denota por ARMA(N,M), es decir es autoregresivo de orden N y Media en Movimiento de orden M.

Su respuesta a impulso es también de duración infinita y por tanto es un filtro del tipo IIR.

Imagen 2. Filtro IIR Arma

VENTAJA DE LOS FILTROS IIR

Pueden diseñarse a partir de prototipos analógicos, transformando resultados, por ello, se puede partir de especificaciones y de técnicas de diseño propias de filtros analógicos, y posteriormente se discretizan los resultados. Una situación práctica que se beneficia de esta ventaja es cuando se pretende reemplazar, por motivos de actualización tecnológica, un filtro analógico por otro digital equivalente.

Requiere menos coeficientes que un filtro FIR para diseñar filtros de un mismo orden. Como consecuencia los requisitos de tiempo de cálculo y de capacidad de memoria son menores en los filtros IIR.

La sensibilidad de la salida del filtro por efectos de truncamientos y redondeos de los resultados es menor en los filtros IIR (salvo en situaciones de inestabilidad)

CRITERIO DE SELECCIÓN FILTROS IIR

Diseños en que no se prevean problemas de estabilidad

Filtros de orden muy elevado Aprovechamiento de especificaciones basadas en aproximaciones analógicas (de

Butterworth, de Chebyscheb, Elípticos, etc.)

CODIGOS EN MATLAB FILTROS IIR

IIR PASA BAJO

%%Filtro IIR pasa bajofm2=1000/2; %Frecuencia de muestreofc2=60/fm; %Frecuencia de corteN2=3; %orden del filtro[a1,b1]= butter( N2,fc2 ); %Filtro pasa bajafigure(1) freqz(a1,b1,128,120) %respuesta del filtro

IIR PASA BANDA

fm3=5000/2; %Frecuencia de muestreofc3=[100 1000]/fm3; %Frecuencia de pasoN3=10; %Orden del filtro[a2,b2]= butter( N3,fc3 ); %Filtro pasa bandafigure(2)freqz(a2,b2,128,5000) %Respuesta del filtro

IIR PASA ALTO

fm=5000/2; %Frecuencia de muestreofc=2000/fm; %frecuencia de corteN=3; %orden del filtrofigure(3)[a,b]= butter( N,fc, 'high'); %Filtro IIR pasa altafreqz(a,b,128,5000) %Respuesta del filtro

CODIGOS EN MATLAB FILTROS FIR

FIR PASA BAJO

Fs=1000; %Frecuencia de muestre0Fm=Fs/2; %Frecuencia de nyquistfc=60/Fm; %Frecuencia de corten=50; %orden del filtrofigure(4)B=fir1(n,fc,'low'); %Filtro FIR pasa bajofreqz(B,1,1000,Fs) %Respuesta del filtro

FIR PASA BANDA

fp = 100; %Frecuencia de paso1fp1 = 1000 %Frecuencia de paso2S = 5000; %Frecuencia de muestreoM= S/2 %Frecuencia de NyquistN = 40; %Orden del filtroWn =[fp fp1]/ M %Normalización de las frecuenciasfigure(5)B= fir1(N, Wn) %Filtro FIR pasa bandafreqz(B,1,5000,S); %Grafica del filtro en frecuencia

FIR PASA ALTO

fp = 2000; %Frecuencia de pasoS = 5000; %Frecuencia de muestreoN = 40; %Orden del filtroFc =(fp)/S %Normalización de la frecuenciafigure(6)B= fir1(N, Fc ,'high') %Filtro FIR pasa alto freqz(B,1,1000,S); %Grafica del filtro en frecuencia