FILTROS BI-CUADRATICOS

Santiago Amores

Nicol Rodríguez

Paúl Quinatoa

Edwin Velasco

Los filtros bi-cuadráticos o simplemente biquad en inglés , son filtros que constan de dos polos y dos ceros y cuya función de transferencia está dada por:

donde g es la ganancia. Dado que tanto el numerador como el denominador son polinomios de segundo orden en z , esta funcion de transferencia se conoce como bi-cuadrática en z.

El filtro bicuadrático (bicuad) es un filtro activo muy estable, fácil de conectar en cascada, capaz de dar Qs de mas de 100 en la aplicación paso-banda. Una de las características del bicuad es que su ancho de banda permanece constante a medida que sé varia su frecuencia, de manera que su Q aumenta con la frecuencia de los filtros ajustables.

El filtro bicuad de paso-banda, que aparece en la figura 1.13, consiste en un integrador sumador que alimenta a un amplificador inversor que a su vez alimenta a un segundo integrador. Rc/R1. La frecuencia central se puede ajustar con R2. Rc determina el Q del circuito.

El circuito funciona así:

El integrador sumador resta una señal paso-bajas de Vent, 180° fuera de fase, hasta que se alcanza la región de transición.

A medida que se llega a la banda de frecuencias de transición de segundo orden cerca de fo, la salida decreciente delintegrador deja de cancelar la entrada, de manera que se produce una salida.

Arriba de fo, la atenuación progresiva de los dos integradores en serie atenúa la señal de salida, proporcionando así una respuesta paso-banda.

Las funciones de transferencia bicuadráticas de la forma,

juegan un papel fundamental en el diseño de filtros activos. En muchas ocasiones se utilizan simplemente estas secciones de segundo orden en equipos de comunicaciones o de medida para eliminar ruido o interferencias. Pero también se utilizan como bloque básico en la construcción de filtros de mayor orden.

A la hora de seleccionar filtros adecuados deben tenerse en cuenta diferentes criterios:

a)Un criterio fundamental es conseguir una baja sensibilidad a las variaciones de los componentes.

Tal como se demuestra en el apéndice A.1 y se representa gráficamente en la Fig. 5.1, la magnitud de la función de transferencia es mucho más sensible a variaciones en que a variaciones en por lo que como criterio de diseño resulta prioritario minimizar las sensibilidades de ωo.

b)Los valores de los componentes deben ser prácticos y la diferencia entre el máximo y el mínimo no sea excesivamente grande.

c)Los filtros requieren normalmente un proceso de ajuste posterior por lo que dicho ajuste debe ser sencillo, preferiblemente los parámetros importantes, ωo y Q, deben poder ajustarse independientemente.

d)Los biquads tienen grandes cargas, como otros biquads en conexiones en cascada o realimentadas de lazo múltiple, por lo que es necesario que tengan baja impedancia de salida y alta impedancia de entrada.

Existen diferentes maneras de implementar un filtro bi-cuadrático.

Una de las más conocidas es a través de las fórmulas obtenidas por Robert Bristow-Johnson. Estas formulas pueden utilizarse para calcular los coeficientes de los tipos más comunes de filtros digitales: pasa-bajos, pasa-altos, pasa-bandas, notch, peakingEQ, lowShelf y highShelf.

Síntesis

Son filtros de segundo orden, aunque se suele llamar así al también denominado filtro resonador o filtro de Tow-Thomas.

Este filtro consiste en dos integradores, uno con perdidas y otro sin ellas, y un amplificador de ganancia unidad, aunque se pueden hacer otras combinaciones.

Diagrama de un biquad

Los filtros bicuadráticos o TT utilizan tres o cuatro amplificadores operacionales .

Aunque mas complejos , los filtros bicuadráticos ofrecen una menor sensibilidad a los componentes y un ajuste mas sencillo .

Este tipo de filtro también proporciona simultáneamente salidas paso bajo y paso alto , o paso alto y de banda eliminada .

Los filtros de variable de estado o KHN también utilizan tres o mas amplificadores operacionales .

Si se emplea un cuarto amplificador operacional, se consigue un ajuste mas sencillo , porque la ganancia de tensión, la frecuencia central y Q se pueden ajustar de forma independiente

En muchas ocasiones se utilizan simplemente estas secciones de segundo orden en equipos de comunicaciones o de medida para eliminar ruido o interferencias. Pero también se utilizan como bloque básico en la construcción de filtros de mayor orden.

El KHN biquad (filtro de variables de estado) realiza las funciones de paso bajo, paso alto y paso banda, mientras el Thomas y el Ackerberg-Mossberg biquads realizan las funciones de paso banda y paso bajo.

Estos tres tipos de filtros son aceptados en la práctica y son muy utilizados, pero tienen el problema de que cada uno esta limitado a las funciones especificadas anteriormente.

Los circuitos están de hecho demasiado limitados para ser útiles en muchas aplicaciones prácticas que requieren la realización de ceros de transmisión en cualquier parte en el plano-s. Lo que se requiere es una función de segundo-orden para realizar la función del bicuadrático.

Método de conseguir un filtro biquad

POR MÉTODO DE LA SUMA

El método de la suma es bastante popular, especialmente con el KHN biquad. Consiste en formar la suma pesada de las salidas paso bajo, paso alto y paso banda usando un cuarto amplificador sumador. Esta técnica esta ilustrada en la siguiente figura. Se han deducido formulas para los valores de las resistencias según el método de la suma para el Thomas el biquad.

El desarrollo de este método de la suma es el siguiente:

1ª Parte (sumador-restador):

Calculamos las tensiones V- y V+ y seguidamente las igualamos:

Con lo que:

2ª Parte (integrador):

Tenemos dos integradores en el circuito. Igualamos las intensidades en el punto de tierra virtual:

y en el otro

Aplicamos la transformada de Laplance a las ecuaciones anteriores:

y en el otro

3ª Parte (sumador):

Igualamos las intensidades en el punto de tierra virtual:

Operando:

Una vez que tenemos todo esto, sacamos primeramente el valor de VHP/VS:

Llamando :

resulta la función de transferencia:

Una vez que tengo esta ecuación la uso para hallar la relación entre Vout/VS:

De esta ecuación, podemos encontrar los valores de R1, R2 y R3 para realizar los ceros de transmisión dados. Para las funciones del filtro especiales, estos valores son los siguientes: