filtros butterworth

1Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

FILTROS

A tecnologia mais antiga usada na concepção de filtros utilizava condensadores e bobines sendo esses circuitos designados como filtros LC passivos.

Introdução

Este tipo de filtros funciona bem para frequências elevadas, no entanto para aplicações em baixa frequência (DC até 100kHz) as bobines tornam-se muito grandes e as suas características deixam de ser ideais. Estas bobines são também impossíveis de fabricar por processo monolíticos e incompatíveis com as modernas técnicas de integração. È então interessante o uso de outras implementações de filtros que não necessitem de bobines como é o caso dos filtros activos RC.

Os filtros activos RC utilizam Amp Ops em conjunto com condensadores e resistências e são fabricados usando técnicas convencionais de integração. Actualmente para grandes volumes de produção e com tecnologias de fabrico mais recentes, este tipo de filtros não são economicamente viáveis, sendo usado outro tipo de tecnologia designada por filtros de condensadores comutados.


FILTROS Transmissão do filtro, tipos e especificações de filtros

Os filtros que vão ser estudados são circuitos lineares que podem ser representados por um quadripólo representado na Fig. 1. A sua função de transferência é a relação entre a tensão de entrada e saída dada por

Fig. 1

(1)

A transmissão do filtro é dada por T(s) para frequências com significado físico s=jω, e pode ser expressa em termos de amplitude e fase

(2)

Transmissão do filtro

A amplitude de saída é normalmente expressa em dBs como um ganho ou como uma atenuação, respectivamente

(3) (4)


FILTROS

Tipos de filtros

O filtro altera o espectro de frequências do sinal de entrada Vi(jω) de acordo com a sua função de transferência T(jω), dando origem a uma saída V0(jω)

(5)

A fase do sinal é também modificada de acordo com ϕ(ω).

Os filtros fazem essencialmente uma selecção de frequências deixando passar frequências que estão dentro de uma determinada gama e rejeitando outras fora dessa gama.

Na Fig. 2 estão representadas as funções de transferencia ideais dos filtros, que podem genericamente ser de quatro tipos: passa-baixo (a); passa-alto (b); passa-banda(c) e rejeita-banda (d).

Transmissão do filtro, tipos e especificações de filtros


FILTROS

Fig. 2



FILTROS

Especificações de filtros

O projecto de um filtro inicia-se com a selecção do tipo de filtro desejado, que não poderá ter uma função de transferência ideal como as da Fig.2 devido às limitações físicas dos circuitos. Na fig. 3 temos uma curva mais realista de um filtro passa-baixo.

Fig. 3

Como os circuitos reais não podem apresentar a mesma resposta em todas as frequências da banda passante, as especificações admitem normalmente um desvio do valor ideal de 0 dBdesignado como Amax(dB). Dependendo da aplicação tipicamente este valor está entre 0,05 e 3 dB. Para a banda de rejeição, pela mesma razão anterior normalmente as especificações admitem que as frequências sejam atenuadas pelo menos Amin (dB) relativamente à banda passante. Dependendo da aplicação Amin está normalmente entre 20 e 100 dBs.



FILTROS

Como a função de transferência não pode variar abruptamente no limite da banda passante, as especificações indicam uma banda de frequências para as quais a atenuação aumenta de 0 dB para Amin. A essa banda chama-se banda de transição considerada desde ωp a ωs.

A relação ωs/ωp é designada como factor de selectividade e dá uma ideia sobre o declive da função de transferência na banda de transição.

Por conveniência a banda passante está especificada para 0 dB, no entanto, o filtro final pode ter um ganho nesta banda, se desejável, sem alterar as suas características.

Resumindo o filtro passa-baixo é especificado por quatro parâmetros:- Limite da banda passante ωp;- Variação máxima permitida na banda passante Amax;- Limite da banda de rejeição ωs;- Atenuação mínima na banda de rejeição Amin.

Quanto mais rígidas for as especificações de um filtro (menor Amax, maior Amin e ωs/ωp perto da unidade) mais semelhante será a resposta da ideal, sendo para isso necessário um circuito de ordem superior, mais complexo e dispendioso.



FILTROS

Após as especificações do filtro definidas, o próximo passo é determinar a função de transferência que cumpre essas especificações. Para isso terá que estar compreendida dentro na zona não sombreada na Fig. 3.

Para o caso da figura ao longo da banda passante a resposta do filtro mantém um ripple constante e igual a Amax, sendo Amax designado como ripple da banda-passante e ωp também como largura de banda de ripple (foi definido como limite da banda passante).

O processo de obtenção de uma função de transferencia que obedeça a certas especificações é designado como projecto de filtro. Este processo é normalmente implementado usando software específico ou em casos mais simples, como veremos, usando fórmulas fechadas.

Fig. 4

Na Fig. 4 está representada a função de transferência de um filtro passa banda. Neste caso não temos um ripple constante na banda passante, mas sim um decaimento desde o centro da banda passante.



FILTROS Função de transferência do filtro

A função de transferência de um filtro T(s) pode ser dada pela relação de dois polinómios

(6)

O grau do denominador, N, define a ordem do filtro. Para o filtro ser estável o grau do numerador tem de ser menor ou igual ao do denominador (M£N). Os coeficientes a e b de ambos os polinómios são reais. Os polinómios podem ser factorizados dando origem a

(7)

As raízes do numerador z1, z2,…zM são os zeros da função de transferência e as raízes do denominador p1, p2,…pN são os pólos da função de transferência. Os pólos podem ser reais ou complexos, ocorrendo em pares conjugados: se por exemplo -1+2j é um zero, -1+2j também será um zero.



Como normalmente se pretende que a transmissão seja nula ou pequena na banda de rejeição, os zeros são colocados no eixo jω para as frequências limites dessa banda. Éesse o caso do filtro da Fig. 3 que tem atenuação infinita (transmissão nula) para dois valores da banda de rejeição (ωl1 e ωl2). O filtro deve ter então zeros em s=jωl1 e em s=jωl2, mas como os zeros complexos surgem sempre como pares conjugados, devem existir zeros também para s=-jωl1 e s=-jωl2. Logo o numerador deve ter os factores (s+jωl1)(s-jωl1)(s+jωl2)(s-jωl2) que pode ser apresentado como (s2+ω2

l1)(s2+ω2l1).

Para s=jω (frequências com significado físico) o numerador é dado por (ω2-ω2l1)(ω2-

ω2l1), verificando-se que é nulo para ω=ωl1 e paraω=ωl1 .

Ainda na Fig. 3 pode-se verificar que quando ω→∞ a transmissão diminui até -∞. O filtro deve ter um ou mais zeros em s=∞. Geralmente o número de zeros em s=∞ é dado pela diferença entre os graus do numerador e do denominador de (6).

Para o filtro ser estável todos os pólos devem estar na parte esquerda do plano s, ou seja a sua parte real deve ser negativa. Na Fig. 5 temos a localização típica dos pólos e zeros de um filtro passa-baixo.



Este filtro é de quinta ordem (N=5) com dois pares de pólos conjugados e um pólo no eixo real. Todos os pólos se encontram na vizinhança da banda passante o que está na origem da elevada transmissão para essas frequências.

Fig. 5

Os cinco zeros estão localizados em s=±jωl1, s=±jωl2 e em s=∞, sendo a função de transferência dada por

(8)

Outro exemplo é o filtro passa-banda cuja resposta está representada na Fig. 4. este filtro tem zeros em s=±jωl1, s=±jωl2 e um ou mais zeros em s=∞ e s=0. Se existir apenas um zero para s=∞ e para s=0 o filtro será de sexta ordem e a sua função de transferência tem a seguinte forma



Outro exemplo é o filtro passa-baixo representado na Fig. 7. Neste caso não existem valores finitos de ω para os quais a atenuação é infinita (ausência de transmissão).

(9)

A localização típica dos zeros e pólos é apresentada na Fig. 6

Fig. 6

Fig. 7


Para este caso é possível que todos os zeros do filtro estejam em s=∞, se for esse o caso a função de transferência é dada por


(10)

A localização dos pólos e zeros é mostrada na Fig. 8

Fig. 8

Neste ponto vão ser apresentadas duas funções usadas frequentemente para aproximar as curvas de transmissão de filtros passa-baixo. Estão conhecidas expressões fechadas para os parâmetros destas funções, que podem ser usadas no projecto do filtro sem recorrer ao computador ou tabelas específicas.


O filtro de Butterworth

FILTROS Filtros de Butterworth e de Chebyshev

O projecto de filtros apenas vai incidir sobre filtros passa-baixo, podendo as funções apresentadas ser também usadas no projecto de outro tipo de filtros através de transformações de frequência (assunto que está para além do âmbito do nosso estudo).

Fig. 9

A Fig. 9 representa a resposta de um filtro de Butterworth que exibe uma resposta monótona decrescente com todos os zeros em ω=∞. A função de transferência de um filtro Butterworth de ordem N com limite de banda-passante ωp é dada por

(11)

Um filtro de 3ª ordem tem os seus zeros em ω=2 rad/s e em ω=∞. Os seus pólos estão localizados em s=-1 e s=-0,5+j0,8. O ganho em DC é unitário. Determine T(s).

Exercício 1



Para ω=ωp (12)

Logo o parâmetro e (épsilon) determina a máxima variação na banda passante (Amax)

(13)

De forma inversa, se Amax for dado, podemos determinar e

(14)

)))1/(11log(20( 2ε+−

De notar que a máxima variação na banda passante (Amax) ocorre no limite da banda passante o que faz com que a resposta do filtro Butterworth seja bastante plana para ω=0. Esta propriedade faz com este filtro seja também conhecido como de máxima resposta plana.



Fig. 10

Pela Fig. 10 pode ser visto que com o aumento da ordem do filtro (N) vai aumentar a zona na banda passante com resposta plana, bem como a aproximação à resposta ideal.

No limite da banda de rejeição ω=ωs, a atenuação do filtro é dada por

(15)

Esta equação pode ser usada para a determinação da ordem do filtro pretendida, que é dada pelo menor valor inteiro N tal que A(ωs)≥Amin.

Os pólos de ordem N de um filtro Butterworth podem ser determinados pela construção gráfica da Fig. 11 (a).



Fig. 11

Os pólos estão localizados num circulo com raio e espaçados com o 1º modo no ângulo a partir de +jω.

Como os pólos tem distância idêntica à origem, têm todos a mesma frequência As Fig. 12 (b), (c), e (d) mostram os modos naturais de filtros Butterworthde ordem N=2, 3 e 4.

Após serem conhecidos os pólos p1, p2, p3…a função de transferência pode ser escrita como,

(16)

onde K define o ganho em DC.



Procedimento para determinar a função de transferência de Butterworth que cumpra as especificações:

1 - Determinar e (eq. (14)).2 - Determinar a ordem do filtro (eq. (15)) de forma a que A(ωs)≥Amin.3 - Determinar os N pólos graficamente.4 - Determinar T(s) (eq.(16)).

Determine a função de transferência de um filtro de Butterworth que cumpra as seguintes especificações:fp=10kHz, Amax=1dB, fs=15kHz, Amin=25dB e ganho DC unitário.

Exercício 2


O filtro de Chebyshev


A Fig. 12 representa a resposta de filtros de Chebyshev de ordem par e impar. Este tipo de filtro exibe um ripple constante na banda passante e um decaimento constante na banda de rejeição. Enquanto o filtro de ordem impar tem |T(0)|=1, o filtro de ordem par tem o desvio máximo em ω=0. Em ambos os casos o número total de máximos e mínimos na banda passante é igual à ordem do filtro. Todos os zeros estão localizados em ω=∞.

Fig. 12



A função de transferência de um filtro de Chebyshev de ordem N cujo limite da banda passante é ωp é dada por

(17)

Para ω=ωp

O parâmetro e determina o ripple na banda passante

Se for dado Amax podemos determinar e

(18)

(19)

A atenuação do filtro para ω=ωs é dada usando (17) por (20)



Por tentativa e erro usando a eq. (20) pode ser determinada a ordem N do filtro de forma a obter A(ωs)>Amin. O aumento da ordem do filtro vai aproximar a sua resposta àresposta ideal.

Os pólos do filtro de Chebyshev são dados por

(21)

A função de transferencia T (s) é dada por (22)

Sendo K o ganho em DC pretendido.

Sendo os argumentos do seno e do coseno em radianos



Procedimento para determinar a função de transferência de Chabyshev que cumpra as especificações:

1 - Determinar e (eq. (19)).2 - Determinar a ordem do filtro (eq. (20)) de forma a que A(ωs)≥Amin.3 - Determinar os N pólos usando a eq. (21).4 - Determinar T(s) (eq.(22)).

O filtro de Chebyshev permite uma melhor aproximação à resposta ideal comparativamente ao filtro de Butterworth. Ou seja, para a mesma ordem, tem maior atenuação na banda de rejeição (situação ilustrada no exercício seguinte).

Determine a função de transferência de um filtro de Chebyshev que cumpra as seguintes especificações:fp=10kHz, Amax=1dB, fs=15kHz, Amin=25dB e ganho DC unitário (mesmas especificações do exercício 2).

Exercício 3


FILTROS Filtros de 1ª e 2ª ordem

Os filtros de 1ª e 2ª ordem podem usados como filtros simples ou em cascata de forma a darem origem a filtros de ordem mais elevada. A utilização de filtros em cascata é o método mais conhecido na implementação de filtros activos com AmpOpse malhas RC. A função de transferência total é dada pelo produto das funções de transferência individuais.

Filtros de 1ª ordem

A expressão genérica da função de transferência é dada por (23)

Verifica-se a existência de um pólo em s=-ω0, um zero em s=-a0/a1 e um ganho nas altas frequências de a1. Os coeficientes do numerador a0 e a1 determinam o tipo do filtro.

Na Fig.13 são mostradas implementações práticas de filtros passivos (malhas RC) e de filtros activos (RC e AmpOps).



Fig. 13



Os filtros activos são bastante mais versáteis que os seus congéneres passivos:- O ganho pode ser facilmente ajustado;- Alguns parâmetros da função de transferência podem ser ajustados sem afectar outros;- A impedancia de saída é muito baixa, possibilitando ligação em cascata com ausência de efeito de carga entre andares;- A desvantagem tem ver com as limitações do AmpOp em altas frequências.

Projecte um filtro de passa-baixo de 1ª ordem com um AmpOp e malhas RC (Fig.13 (a)) com as seguintes especificações: frequência a -3dB em 10 kHz, ganho de 10 e resistência de entrada de 10 kΩ.

Exercício 4



Filtros de 2ª ordem

A expressão genérica da função de transferência é dada por (24)

onde ω0 e Q definem os pólos de acordo com (25)

Normalmente estamos interessados no caso em existem pólos complexos conjugados, obtidos para Q>0,5. Essa situação está representada na Fig. 14.

Fig. 14

A distância à origem é ω0, que é designada como frequência natural não amortecida.

O parâmetro Q determina a distância dos pólos ao eixo jω: quanto maior o valor de Q, mais próximos estão os pólos do eixo imaginário, e mais selectivo é o filtro.



Um valor infinito de Q coloca os pólos no eixo jω, o que pode provocar instabilidade. Um valor negativo de Q implica que os pólos estariam no semi-plano direito dando origem certamente a instabilidade. O parâmetro Q é designado como factor de qualidade.

Os zeros do filtros de 2ª ordem são determinados pelos coeficientes do numerador a0, a1 e a2, e consequentemente estes coeficientes vão também definir o tipo de filtro.

Na Fig. 15 (a) mostra a função de transferência, a localização no plano s dos zeros e pólos e ainda a resposta em amplitude de um filtro passa-baixo.

Fig. 15 (a)



A resposta pode exibir um pico como se vê na figura. Pode-se provar que esse pico existe apenas para . A resposta para é de Butterworth. 2

1>Q2

1=Q

Para o filtro passa-alto (Fig. 15 (b)) ambos os zeros estão localizados em s=0 (DC). A resposta mostra um pico em para . De notar a a dualidade entre as respostas passa-baixo e passa-alto.

21>Q

Fig. 15 (b)



Vamos analisar agora o filtro passa-banda (Fig. 15 (c)). Neste caso um zero está em s=0 (DC) e o outro em s=∞. A resposta mostra um pico em ω=ω0, logo a frequência central do filtro passa-banda é igual à frequência do pólo ω0.

A selectividade do filtro é geralmente expressa em termos da sua largura de banda(BW) a -3dB, que é dada pela diferença entre duas frequências ω1 e ω2 cujas amplitudes da resposta está 3 dB abaixo do valor máximo.

Fig. 15 (c)



Pode-se mostrar que essas frequências são dadas por

(26)

Sendo a largura de banda (27)

De notar que com o aumento de Q existe uma diminuição da largura de banda dando origem a uma maior selectividade do filtro. A largura de banda é inversamente proporcional ao factor de qualidade.

Nas Fig. 15 (d) a (g) é apresentado o filtro rejeita-banda (notch). Neste caso os zeros estão localizados no eixo jω em +/-jωn, logo temos transmissão nula para ω=ωn.


Fig. 15 (d)

Determine a função de transferência de um filtro passa banda com frequência central de 105 rad/s, um ganho na frequência central de 10 e uma largura de banda a -3dB de 103 rad/s.

Exercício 5

Para um filtro passa-baixo de 2ª ordem de máxima resposta plana ( ), mostrar que para ω=ω0 a resposta está 3 dB abaixo do valor DC.

Exercício 6

21=Q

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