final examination, 2008 fluid mechanics professor joon hyun kim

Final Examination, 2008Fluid Mechanics

Professor Joon Hyun Kim

Problems of 5th and 11th Chapter

(Viscous Flow and Pipe Flow)[5.9] [5.10] [5.11]

Problems of 5th and 11th Chapter(Viscous Flow and Pipe Flow)

5.9 Explain the algorithm of the Hardy Cross Method for the pipe network analysis.

( 관망해석에 관한 Hardy Cross 방법의 알고리즘에 대해 설명하라 .)


관망

여러 회로들로부터 하나의 주어진 출구로 유동하도록 상호연결된 파이프를 파이프관망이라 한다 .

이것은 전기관망과 많은 점에서 유사하다 . 이에 관한 문제는 일반적으로 복잡하며 기본회로들이

유동조건을 만족할 때까지 차례로 균형을 이루도록 시키는데 , 시행 해법을 필요로 한다 .

파이프관망에서는 아래 조건들이 반드시 만족되어야 한다 .


1. 각 회로에서의 압력강하의 대수합은 0 이어야 한다 . (에너지방정식 )

2. 각 연결부로 들어가는 유동과 나가는 유동은 같아야 한다 . ( 연속방정식 )

3. 각 파이프에 대한 Darcy-Weisbach 방정식 혹은 이에 등가한 지수마찰공식이 만족되어야 한다 .

즉 , 수두손실과 유량 사이의 적절한 관계가 각 파이프에서 유지되어야 한다 . ( 수두손실식 : 압력 = 마찰력 , 운동방정식 )


유체의 유동 고체의 움직임 질량 보전 : 연속방정식 힘 보전 : 운동방정식 에너지 보전 : 에너지방정식

그림 11.15 관망


첫 번째 조건은 회로의 어느 두 점 , 예를 들면 그림 11.15 의 A 와 G 사이의 압력강하는 파이프 AG 를 통과하든지 혹은 AFE

DG 를 통과하든지 모두 같아야만 한다는 것이다 . 두 번째 조건은 연속방정식이다 .

관망문제를 해석적으로 해결하는 것은 현실적이 되지 못하므로 반복근사해법이 이용된다 . Hardy Cross 방법 (3) 은 모든 연결점에서 연속방정식이 만족되도록 각 파이프에 대해 유동을 가정하는 방법이다 .

그리고 각 회로에서의 유동에 대한 보정값을 차례로 계산하고 , 이 값을 사용해서 회로들의 평형상태를 더욱 향상시킨다 .


국부손실은 각 파이프의 등가길이로서 포함된다 . 지수방정식은 보통 의 형태로 사용되며 , 여기서 r 은 식 (11.1.1)

에서 이다 . r 의 값은 각각 관로에서 일정한 값이며 (Darcy-Weisbach 의 식이 사용되지 않는 한 ), 루프 - 균형 (loop-balancing) 과정에 앞서서 결정된다 . 보정함은 아래와 같이 얻어진다 .

임의 파이프에 대해 초기유량 가 가정될 때 ,

여기서 는 보정된 유량이고 는 보정량이다 . 이때 각각의 파이프에 대해


만일 가 에 비해 작다면 두 번째 항 이외의 모든 항은 무시될 수 있다 . 지금 하나의 회로에 대해

는 회로내의 모든 파이프에서 동일하기 때문에 로부터 밖으로 나왔고 , 절대값 기호는 회로에 따른 합의 방향을 고려하기 위해 부가되었다 . 마지막 식을 풀면 관망중의 각 회로에 대한 를 구할 수 있다 .


를 식 (11.7.1) 에 따라 회로내의 각 파이프에 적용할 때 방향이 매우 중요하다 . 즉 , 유동이 시계방향일 때는 더해 주고 반시계방향일 때는 빼준다 .

계산은 아래와 같은 단계를 밟는다 . 1. 관망을 잘 살펴보아서 , 연속식을 만족시키는 가장 좋은

유동분포를 가정한다 . 2. 하나의 기본회로내의 각 파이프에 대해서 순 수두손실을

계산하여 이들의 합 을 구한다 . 또한 그 회로의 를 계산한다 . 식 (11.7.2) 에서 음의 비율로써

보정량을 구하고 , 유량을 보정하기 위해서 이것을 회로내의 유동에 대수적으로 더해준다 .


3. 다른 기본회로들에 대해 적용하여 2 의 보정과정을 반복한다 . 이를 모든 기본회로에 대해 계속한다 .

4. 보정량 (he) 이 임의의 적은 양이 되기까지 2 와 3 의 과정을 여러 번 반복한다 . r 값은 분자와 분모 양쪽에 나타난다 .

따라서 유량분포를 구하기 위해서는 실제의 r 에 비례하는 값을 이용할 수 있다 .

마찬가지로 유량의 분할량은 실제유량의 백분율로 나타내진다 . 실제 수두손실을 구하기 위해서는 유동분포가 결정된 후에 r 과 Q 의 실제 값을 이용해야 한다 .


5.10 The distribution of flow through the network as shown below is desired for the inflows and outflows as given. For simplicity n has been given the value 2.0. Implement the Hardy Cross Method for this problem.

( 아래의 주어진 유입량과 유출량에 대해 관망의 유동분포를 구하라 . 이때 단순화하기 위 해 n 은 2.0 으로 한다 . Hardy Cross 방법을 이용하여 문제를 풀어라 .)


그림 11.16 단순관망에서의 유동에 대한 해


(c) 그림 11.16(a) 에는 가정된 유동분포가 표시되어 있다 . 위쪽

좌측에는 아래쪽의 1 번 회로에 대한 의 항이 계산되어 있다 . 그 옆에는 같은 회로에 대한 를 계산한 것이다 . 그림의 우측 위편에는 제 2 회로에 대한 것이 같은 형식으로 나타나 있다 . 첫 번 단계에서 보정된 유량은 맨 위쪽 수평 관에서 15 + 11.06 = 26.06 이 결정되고 , 대각선 파이프는 35 + (-21.17) + (-11.06) = 2.77 이다 .


그림 11.16(b) 에는 이와 같이 한 번 보정된 유량이 제시되어 있고 그림 11.16(c) 는 4 번째 보정된 값이 제시되어 있다 .

그림 11.16 에서 보여 지는 것과 같은 매우 단순한 관망의 경우는 , 약 15 개의 기억 용량과 100 개의 프로그램 단계를 갖는 계산기가 있으면 수동으로 계산될 수 있다 .

앞의 예보다 큰 관망에 대해서나 또는 복수의 수조나 , 공급펌프 , 승압 펌프 등을 포함하는 관망에 대해서는 Hardy Cross 의 루프 - 균형해법에 의해 디지털 컴퓨터로 수치 해석할 수 있도록 프로그래밍 할 수 있다 .


보다 일반적인 방법들이 있으나 , 이들은 기본적으로 Hardy Cross 루프 균형법 , 또는 격자 점균형 (node balancing) 법에 근거를 두고 있다 .

이 시스템을 보다 일반적인 방법으로 다루려고 하는 경우에는 한 쌍의 연립방정식으로 나타내고 그들을 Newton-Raphson법으로 푸는 것이 보통이다 .

몇몇의 프로그램해법에는 연결점압력과 유량에 및 붙여 파이프 크기 또는 조도가 미지수로 취급되어 있으므로 설계수단으로서 매우 유용하다 .


5.11 The program in Fig. 11.18 in the text book is used to solve the network problem displayed as below. The pump data are as follows:

(11.18 의 프로그램은 그림 11.17 의 회로 방을 푸는 데 사용한다 . 펌프 데이터는 다음과 같다 .)


Implement the pipe network modeling for this problem by using the suggested program of Hardy Cross Method.

(pipe network modeling 에 관한 이 문제를 Hardy Cross 방법의 창안된 프로그램을 사용하여 풀어라 .)


관로와는 다른 요소를 갖는 수력시스템은 이들을 등가 길이로 대치함으로써 취급 될 수 있다 . 부가요소가 점프일 때는 특별한 주의가 필요하다 . 또 시스템에서 수력구매선의 고정된 높이가 두 군데 이상 있는 경우에도 특별한 기교가 필요하다 .

앞의 그림과 같이 압력 수두의 높이가 여러 곳에서 고정되어 있는 시스템의 경우는 수조에서의 미지의 유입량과 유출량을 고려하기 위해 , 그리고 균형을 이를 때까지 연속식을 만족시키기 위해 가요소 (pseudo elements) 를 도입한다 . 이의 요소에 의해 각 쌍의 고정압력수준 사이를 연결하면 가상적인 또는 인위적인 회로가 형성된다 .


이의 요소들은 유동을 수반하지는 않지만 , 수조들의 높이차와 같은 크기만큼의 수력 구배선의 수준을 강하시킨다 .

만일의 요소에서 수두강하가 가정된 양의 방향으로 양의 값을 갖는다면 루프 3( 그림 11.17) 의 보정량은 다음과 같다 .

이 보정량은 단지 파이프 1 과 4 에만 적용된다 . 만일 실제 관로가 가상루프 내에 추가로 존재한다면 , 각각은

루프 균형의 반복에 따라서 적절하게 조절될 것이다 .


식 (11.8.1) 의 항들은 식 (11.7.2) 와 관련시킴으로써 쉽게 확인할 수 있다 . 또는 Newton 방법 ( 부록 B) 을 적용하여도 같은 식을 얻을 수 있다 .

시스템내의 펌프는 그것을 통과하는 유량에 대응하는 펌프의 수두상승과 같은 크기의 음의 수두손실을 나타내는 유동요소로서 취급된다 . 그림 에서 요소 8 의 펌프 양정 - 유량 곡선은 3 차 방정식으로 표시될 수 있다 .

이때 는 점프의 차단양정이다 .


루프 4 의 보정량은

이 보정량은 루프 중의 파이프 5 와 펌프 8 에 적용된다 . 식 (11.8.2) 는 Newton 방을 루프에 적용하여도 얻을 수 있다 .

펌프를 가진 관망을 만족스럽게 균형 시키기 위해서는 , 양정 -유량 곡선의 기울기가 0 보다 작거나 같아야만 한다 .

그림 11.18 의 BASIC 프로그램은 정상상태에 있는 다양한 액체의 파이프 유동 문제를 해석하는 데 이용될 수 있다 .


여기서는 Hardy-Cross 의 루프 - 균형법이 이용되어 있고 , Hazen-Williams 식으로 기술된 관로의 유동 또는 Darcy-Weisbach식으로 해석된 층류나 난류유동이 취급될 수 있다 .

즉 , 스프링쿨러 시스템에서와 같이 여러 개의 수조는 고정

압력 레벨을 갖는 경우도 해석될 수 있고 , 승압펌프 또는 급수펌프를 갖는 시스템도 취급될 수 있다 .

입력 데이터를 적절히 지정함으로써 USC 단위계나 Sl 단위도 사용할 수 있다 .

final examination, 2008 fluid mechanics professor joon hyun kim

Documents