Examen Final,Curso Dirigido de Topologa

Eder Leandro sanchez.

23 de mayo de 2015

Universidad Tecnologica de Pereira Prof: Herman Serrano

1. (20 Puntos) Demuestre que dos nudos siempre son hoinoo-morfos. La definicion de nudo es una curva en R* que es ce-rrada pero que no tiene intersecciones. A cambio, demuestreque dos nudos son iguales, es decir, son el mismo nudo, si suscomplementos en R son homeomorfos.

2. (10 Puntos) Demuestre que la imagen continua de un espacioconexo es conexa.

3. (10 Puntos) De una dcscricion de una curva de Pcano yexplique por que es tan csjccial.

4. (10 Puntos) Demuestre que un conjunto es cerrado si y solosi contiene todos sus puntos de acumulacion.

1

Cuando nos referimos a topologa, suele suceder que el receptor confunda estaciencia con la mas comun llamada topografia, que en realidad son dos ciencias biendiferentes. , veamos entonces que se entiende por topografia.

La topografia se encarga del estudio de los metodos para obtener larepresentacion plana de una parte de la superficie terrestre con todos susdetalles, y de la construccion,del conocimiento y del manejo de instru-mentos necesarios para ello.(Garcia Martin, Antonio p1)[1].

Por otra parte se puede dar cierta aproximacion del significado de la topologiapero la cual requiere de un conocimiento axiomatico fuerte, ya que para entenderesto con profundidad se necesita de un vagage en sus principios.

.... la topologa se ocupa de aquellas propiedades de las figuras quepermanecen invariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas,contradas o deformadas, de modo que no aparezcan nuevos puntos, ose hagan coincidir puntos diferentes. La transformacin permitida presu-pone, en otras palabras, que hay una correspondencia biunvoca entrelos puntos de la figura original y los de la transformada, y que la de-formacion hace corresponder puntos proximos a puntos proximos. Estaultima propiedad se llama continuidad, y lo que se requiere es que latransformacion y su inversa sean ambas continuas: as, trabajarnos conhomeomorfismos(Marta M Standler P1)[2]

Entonces aqui ya se ve con claridad que la similitud en estos nombres es unacoincidencia, pero esto en sus inicios no se tenia ya que la topologia recibia elnombre de Geometriam Situs (Geometria de la posicion) bien nombrada por Leib-nitz, que anos despues iba a encontrar un sentido practico L Euler en la soluciondel problema de los puentes de Konigsberg.

De acuerdo a Euler, Leibnitz haba sido el primero en notar queademas de la geometra que se ocupa de las medidas y su calculo, debahaber otra que se ocupara de la posicion y de sus propiedades que sonindependientes de las medidas(Marta M Standler P1)[2]

La definicion de topologa tal como la conocemos ahora surgio despues de va-rios acontecimientos tales como la definicon de lmite que personajes como IsaacNewton, Jean le Rond DAlembertr,Bernhard Bolzano,Augustin Louis Cauchy yfinalmente el aleman Karl Weierstrass buscaron y que culmino con exito por elultimo, ese trabajo que duro al rededor de siglo y medio queriendo dar una nocionde lmite mas general y precisa que tanto necesitaba el calculo:

2

Definicion 1 el lmite de una funcion f(x) vale l cuando x tiende ax0 si para cualquier entidad positiva > 0 existe otra cantidad positiva > 0 de manera que para todo punto x verificando 0 0, existe otra cantidad positiva > 0 de manera que, para todopunto del intervalo | x x0 |< donde la funcion f este definida, severifica que | f(x) f(x0) |< .

Si nos fijamos bien esta definicion puede generalizarse a una aplicacion sobredos espacios metricos de la siguiente manera:

Definicion 3 Si (M,) y (N, ) son espacios metricos, una funcionf : M N f(x) es continua en x0, donde x0 M si y solo si, paracualquier > 0, existe algun > 0 tal que, (f(x), f(x0)) < siempreque (x, x0) < .

Podemos ver que la definicion original esta definida sobre una funcion de losR R con la metrica usual del valor absoluto. !Gran paso para llegar a nuestrofin, ahora es pertinente preguntarse Sera posible deshacernos de la metrica paradefinir la continuidad?, la respuesta es afirmativa, solo tenemos que primeramentedefinir lo que es una bola en un espacio metrico y definir la continuidad en terminosde bolas como sigue:

Definicion 4 Sea (M,) un espacio metrico, x un punto de M . Para < 0, Nosotros definimos. U(x, ) = {y M | (x, y) < }f : (M,) (N, ) es continua en x0, donde x0 M si y solo si,para cualquier > 0, existe algun > 0 tal que, f(U(x, )) U(x, ).

Todo esto tiene buena cara pero aun se depende de las metricas que definen losespacios metricos. Ahora solo sigue un paso crucial para la topologa, el elemen-to con el que se trabaja lo conocido como conjunto abierto el cual se definiraacontinuacion como sigue:

3

Definicion 5 Un conjuntoE en un espacio metrico (M,) es abiertosi y solo si para cada x E hay una Bola U(x, ) alrededor de x queesta contenida en E.

Ahora bien ya se puede observar que un abierto no tiene un radio, ni forma deter-minada,pero antes de mostrar el teorema referente a la continuidad usando abiertose mostrara algunas propiedades.

Teorema 1: Un abierto E en un espacio metrico (M,) tiene las si-guientes propiedades:

1. X, son dos abiertos2. Cualquier union de abiertos es abierto.

3. Cualquier finita interseccion de dos abiertos es abierta.

Solo falta enunciar la continuidad apartir de abiertos, y convernserse de que ladefinicion de topologa salio tan natural apartir de esto.

Definicion 6 Si (M,) y (N, ) son espacios metricos, una funcionf : M N Sea (M,) es continua en x0 M si y solo si para cadaabierto V en N que contiene al punto f(xo), hay un abierto U en M quecontiene al punto x0 tal que f(U) V

Figura 1: Continuidad.

!EUREKA como algun un dia lo grito arquimedes,ya se tiene aqui con estolos elementos para trabajar y una natural idea sobre la topologa, ahora es,enunciarla definicion conjuntista que ha simple vista se nota sin dificutades pero que eltrayecto historico para llegar aqui fue por muchos anos y por muchos famososmatematicos que yacen en la historia como pensadores extraudinarios. Ahora se

4

podra apreciar el concepto de continuidad dejando atras las distancias y llegandoahora a una nocon de proximidad.

Definicion 7 : TopologaSea X un conjunto no vacio , y una familia de subconjuntos de X esdefinida como una topologia.

1. X, 2. La union de cualquiera familia (finita e infinita)de conjuntos de

pertenece a

3. La interseccion de un par de conjuntos de pertenece a U, V entonces U V

(X, ) es conocido como espacio topologico. Donde X es un conjunto y la topologia del conjunto.

Es interesante resaltar que no solo se podria definir la topologa en terminos deabiertos sino tambien:

1. Abiertos o cerrados.

2. Clausura o interior.

3. Localmentediciendo cuales son las vecindades de cada punto.

Para mostrar un ejemplo, se dara la deficion con cerrados.

Definicion 8 Sea (X, ) es un espacio topologico,entoncesa) X, son conjuntos cerradosb) La Interseccion de cualquier numero (finito e infinito)de conjun-

tos cerrados es cerrado.c) La union de cualquier numero finito de conjuntos cerrados es un

conjunto cerrado.

Es bueno aclarar que el conjunto de cerrados, ya no es una union infinita sinoque en cambio solo se cumple para uniones finitas de conjuntos cerrados, ypara intersecciones funicionan con conjuntos finitos e infinitos, invertida acomo abiertos.

Es necesario decir que este concepto, que a simple vista no tiene mucho pro-blema para ser aprendido, tuvo un proceso historico bien dificultoso, ya que es unconcepto de gran grado de abstraccion que la manera aqui deducida, se queda cortacon su verdadera historia.

5

Despues de que ya tenemos esta definicion se hace necesario mostrar un ordenen las topologias ya que en un mismo conjunto se puede formar varias topologiasentre estas tenemos entonces:

la topologia discreta y la topologia indiscreta,las cuales para cualquier conjuntoX estas pueden formar un espacio discreto e indiscreto y ademas existe un numeroinfinito de estos espacios topologicos.

discreta: la mas fina de todas las topologias definias sobre un conjunto.indiscreta la menos fina definida sobre un conjuntoVeamos un ejemplo simple para entender esto

Ejemplo 1:

SeaX = {a, b} luego sobre este conjunto podemos definir las siguientestopologias.

Discreta: t1 = { X, {a}, {b}, 0}t2 = { X, {a}, 0}

Indiscreta: t3 = {X, 0}Nota: X es llamado el espacio de Sierpinski

Es facil comprobar las tres propiedades para saber que tanto t1, t2 y t3son topologias sobre X

vemos entonces como ya habiamos dicho que t3 t2 t1Retomando la idea inicial, la cual nos dice que para que dos espacios topologi-

cos sean equivalentes debe existir una correspondencia biunvoca entre los pun-tos de la figura inicial y los de la transformada, esto se refiere a la continuidad quese podria decir de cuatro maneras diferentes.

1. Cada punto y y cada vecindad de f(y) contiene la imagen de una vecindad dey.

2. Preimagen de abierto es abierto

3. Preimagen de cerrado es cerrado

4. Imagen (Clausura) clausura(Imagen)Pero aun as no es suficiente para decir que dos espacios son equi-

valentes, como en teoria de grupos para poder tener una clasificacion de

6

los grupos y poder declarar que dos grupos son estructuralmente igua-les(isomorfos) se debe tener un isomorfismo, aqu en topologa se haceclara la nececesidad de la definicion de HOMEOMORFISMO

Definicion 9 Sea (X, ) y (Y, 1) son espacios topologicos,se dicen qeestos son Homomorfos si existe f : X Y con las propiedadessiguientes.

1. f es inyectiva,(es decir f(x1) = f(x2)impricax1 = x2)

2. f es sobreyectiva (es decir, para toda y Y existe una x X talque f(x) = y)

3. Para cada U 1, f1(U) y4. Para cada V , f(V ) 1

Ademas la funcion f se le llama Homeomorfismo entre (X, ) y(Y, 1), En este caso escribimos (X, ) ' (Y, 1)

Bueno , la tarea desde este punto es buscar criterios, lo suficiente-mente claros para poder admitir una equivalencia entre espacios, e ir in-dagando sobre nuevos teoremas, todos estos sobre funciones continuas,y el comportamiento de nuevos espacios.

Chiste Matematico: Un topologo es una persona que no sabe cuales la diferencia entre una taza de cafe y un donut.

Figura 2: Homeomorfismo.

Entonces con los argumentos anteriormente planteados, se podria encontrar unhomeomorfismo tanto de la taza a la segunda imagen como de esa a el donut, sehace pertinente enunciar el siguiente teorema:

Teorema 2: si f,g son homeomorfismos entonces fog es homeomor-fismo

7

Nuevas Topologias:

Luego de tener una nocion de lo tan importante que iba ser la topologa en lasmatematicas es necesario incursionar en elementos que ya se habian trabajado an-teriormente como la nocion de subespacio, producto cartesiano y de espacio co-ciente y es aqui la topologia muestra un plus globalizante, dotandola del poder deestar en varias ramas de la matematica y que pueda explicar cosas que la geometrano logra, mostremos unos ejemplos interesantes.

Figura 3: El toro.

En nuestros juegos de videos,los objetos animados podian atravezar los bor-des de la pantalla,como un tipo de teletransportacion. pero no, la ciencia tiene unarazon para esto, La topologa para ser exactos,en realidad los objetos no se movianen un plano, se movian en un toro, y lo que nuestros ojos veian era un espaciohomeomorfo a el toro y dicho espacio era generado de identificar (unir los puntosextremos) atravez de una relacion de equivalencia que al final iba a modificar nues-tro espacio en un espacio cociente que une elementos de las clases de equivalenciay los nuevos abiertos son la union de abiertos de elementos de la clase ( no separanelementos de la clase).

Cuando se habla de topologa, siempre es importante referirnos a estas dos su-perficies, que son muy interesante , la cinta de Moebius y la botella de klein.

Banda de Moebius: Es una superficie con borde, que es muy utilizada en va-rios campos tales como, ingenieria,arte, el diseno, etc. Refiriendonos a sus propie-dades,la banda es una superficie no dirigible, con una sola cara. un dato curiosode esta banda,es que fue descubierta independientemente por Ferdinand Moebius(1790-1868) y por el que se podria considerar el fundador de la topologa Johann

8

Benedict Listing (1808-1882) Para saber mas de este, el lector podria ir a: [7]

Figura 4: Cinta de Moebius.

Botella de Klein::fue ideada por elmatematico aleman Felix Klein (1849-1925), Refiriendonos a sus propieda-des. es una superficie cerrada , dondeadentro y afuera es lo mismo, en la fi-gura 5 se muestra la manera como to-pologicamente se puede obtener, Parasaber mas de este, el lector podria ir a:[4]

Figura 5: Botella de Klein.

En busqueda de clasificacion de los espacios topologicos apartir de los axio-mas de separacion

Ahora depues de la argua tarea de encontrar argumentos fuertes para determi-nar que dos espacios topologicos sean homeomorfos,criterios llamados invariantestopologicas, ahora se formulara un conjunto de axiomas que determinara la se-paracion y as encontrar una clasificacion de espacios topologicos, eso se refierea la manera como los abiertos estan distribuidos sobre el espacio.

...Estas separaciones fueron estudiadas por P. S. Alexandroff y H.Hopf en 1925, bajo la denominacion de axiomas Tk, k = 0, 1, 2, 3, 3 1

2, 4

los cuales nos muestran basicamente el grado en que puntos y conjun-tos pueden ser mantenidos aparte o separados por medio de conjuntosabiertos. aunque no dejan de existir esfuerzos en crear cada da otro Tk,k-racional, donde la separacion optima podra pensarse que la poseen losespacios metricos[3].

9

T0, T1, T2

Se ilustara de una manera rapida lo que sucede en cada espacio y se dara algunosejemplos importantes.

(a) T0 (b) T1

Figura 6: Axiomas de separacion.

Algunos ejemplos de estos espacios se demuestra que todo T2 = T1 = T2

Ejemplo T0: El espacio de Sierpinski con la topologa = { X, {a}, } es T0Ejemplo T1: Todo espacio discreto es T1Ejemplo T2ohausdorf : Espacios metricos son T2

10

T3, T4

En estos dos se es mas riguroso a la hora de pedir distanciamiento entre elespacio a continuacion se muestra las imagenes correspondientes.

(a) T3 (b) T4

Figura 7: Axiomas de separacion

Ejemplo T3: La linea Looped es T3Ejemplo T4: Todos espacios metricos son espacios T4.Todos estos esfuerzo terminaron, cuando las cosas dejaron de funcionar como

lo hacian en un principio, con espaciosT0, T1, T2 y prodria decirse que T3pero es necesario comentar que no todo fue malo ya que apartir de estos aximas

salieron dos lemas importantes, Lema de Urysohns y Teorema de Extesion deTietze.

La convergencia apartir de la topologa

Figura 8: Convergencia

11

La convergencia fue un estudio anterior a la topologa que pudo involucrarse enla teoria y que al final resulto muy util, fue posible entonces definir la convergen-cia, pero fue preciso generar definiciones lo suficientemente generales, para podertrabajar en un contexto suficientemente amplio, tal fue el concepto de sucesion queya sabemos por nuestros cursos de calculo que es una funcion deN X y ahoraen su generalizacion paso a ser de un conjunto diregible X

Hay dos lineas para trabajar la convergencia en topologa Redes, Filtros ana-lizar la convergencia atravez de puntos o localmente, ya las personas tendran masapatia por alguno, pero que al final son dos caminos guales ya que a cada filtrose le hace corresponder una red y viceversa

Y al final que camino lleva esto ?Todo esto esta direccionado al poder encontrar elementos de estudio topologi-

cos tales como continuidad,desde el uso de convergencia de sucesiones en los espa-cios Sn y tambien sucesiones que surgen de una aplicacion f(Sn) ,pero trabajadosen terminos generales , como por ejemplo sucesiones de funciones, estos son ele-mentos interesantes para ser estudiado para la topologa.

Referencias

[1] Garcia ,A.,Topografia Basica para Ingenieros, Uniersidad de Murcia., 1994

[2] Standler,M., Que es la Topologia http ://www.ehu.eus/ mtwmastm/sigma20.pdf , .

[3] Los Axiomas de separacion .,http : //www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000944/lecciones/cap07/070101.pdf ,

[4] Botella de Klein .,http : //www.mat.ucm.es/ rrdelrio/publica/kleinboletincdlsept2009.pdf ,

[5] Standler,M.,http : //www.ehu.eus/mtwmastm/MoebiusDurango14marzo2011.pdf ,. .

[6] Willard,S.,General Topology, Addison-Wesley Series in Mathematics ., 1968.

[7] Hernandez, G. (2014). Cinta de Moebius. [Imagen]. Recuperado de http ://adnmandala.blogspot.com/search/label/August20%Ferdinand20%Moebius

[8] Botella de klein. [Imagen].Recuperado de https ://ztfnews.wordpress.com/2011/01/08/la botella de klein/

[9] Munoz, V. (2011). El Toro. [Imagen].Recuperado de http ://gaussianos.com/vicente munoz nos habla de geometria y topologia con planito y la forma del universo/

12

[10] Chiste Topologa . [Imagen].Recuperado de http ://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa

13