finanzad universitarias para alumnos de universidad

8/18/2019 Finanzad Universitarias Para Alumnos de Universidad

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PRESENTACIÓN

El objetivo principal de este Cuaderno de Trabajo y Problemario de Tareas esproporcionar al estudiante de la asignatura de Cálculos Financieros algunasherramientas adicionales al libro de texto base, con el fin de que desarrolle habilidades

y tome en cuenta algunos “tips” para resolver problemas y afianzar su dominio de losconceptos y procesos propios de la asignatura.

Es un hecho que esta materia llega a ser en algunas ocasiones demasiadaabstracta, sin embargo se retoma la idea de que el aprendizaje es más significativo parael estudiante si lo construye a partir de su propia actividad intelectual.

Es por ello, que la explicación inicial y resolución de los problemas deberá atenderlael maestro, después el alumno bajo la supervisión de dicho instructor, tendrá laresponsabilidad de resolver algunos de los ejercicios (los cuales se le indicaran) y quese encuentran al final de cada capítulo en el libro de texto base.

Expertos en Pedagogía sugieren: “que la resolución de problemas es la fuente deconocimiento más valiosa y también es la que le permite encontrar el sentido, al saberque está construyendo”.

Es importante considerar que los problemas que aquí se proponen no son tomadosde la realidad en su totalidad. Sin embargo, se buscó que fueran muy similares a losque se presentan en la vida cotidiana de los profesionales dedicados a las finanzas o decualquier persona que busca optimizar sus recursos económicos, así como los que semanejan en los libros de texto.

El “ estudiante” puede tomar como ejemplo los problemas ya resueltos, pero eso nosignifica que se deba trasladar acríticamente la estrategia de solución a los problemassin resolver, esto por dos razones: i) no estaría generando su propio conocimiento y, ii)existen varias formas de resolución en los problemas lo cuál es muy importante paraencontrar la diversidad de visiones y métodos.

Para lograr el aprendizaje de una manera más efectiva y eficiente se sugiere alestudiante que:

1. Resuelva cada uno de los problemas propuestos, o intente su solución demanera personal, utilizando las estrategias que se consideren convenientes;

2. Escribir paso a paso el proceso de solución, tratando de comprender cada unode estos pasos;

3. Comparar sus resultados, con las soluciones encontradas por otros estudiantes.En caso de diferencias, tratar de convencer con argumentos acerca de laveracidad de su respuesta;

4. Consultar la bibliografía del curso y al maestro de la asignatura cuando seconsidere necesario.

Finalmente, se desea al estudiante éxito en la etapa de resolver los problemas queaquí se le presentan para lograr el conocimiento adecuado. Ojalá que los enfrente como

un reto a su capacidad y dedicación al estudio, ya que las matemáticas financieras sóloson una herramienta más del conocimiento que debe de adquirir la persona que seforman profesionalmente.

M.C. Ramsés J iménez Castañeda


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ÍNDICE

Introducc ión…………………………………………………………………………… 4Unidad I………………………….…………………………………………………… 5

Interés Simple………………………………………………………………………… 6Conceptos Básicos……….………………………..................... 6Fórmulas Básicas…………………………………………………. 6Ejercicios…………………………………………………………… 7Problemario de Tareas…………………………………………… 9

Descuento Simple…………………………………………………………………. 10Conceptos Básicos………………………………..…………….. 10Fórmulas Básicas………………………………………………… 10Ejercicios………………………………………………………….. 11Problemario de Tareas………………………………………….. 14

Interés Compuesto y Tasas Equivalentes…………………..………............. 15

Conceptos Básicos………………………………..…………… 15Fórmulas Básicas de Interés compuesto…………………… 15Ejercicios…………………………………………………………. 17Fórmulas Básicas de Tasas equivalentes………………….. 21Ejercicios…………………………………………………………. 21Problemario de Tareas…………………………………………. 23

Unidad II………………………………………………………………………… 24 Anual idades Ord inarias y Anticipadas………………………………………. 24

Conceptos Básicos………………………………..…………… 24Progresiones Geométricas……………………………………. 25Ejercicios…………………………………………………………. 25

Cri terios del Capítulo…………………………………………… 28Ejercicios…………………………………………………………. 29

Anual idades Diferida y Perpetuidades………………………………………… 34Conceptos Básicos………………………………..………….. 34Cri terios del Capítulo………………………………………….. 34Ejercicios………………………………………………………… 35Problemario de Tareas de la unidad……………………… 37

Unidad III…………………………………………………………………………. 39 Anual idades Crecientes en Forma Geométrica………………................. 39

Conceptos Básicos………………………………..……….. 39Criterios del Capítulo………………………………………. 39

Ejercicios……………………………………………………… 40 Anual idades con Múlt ip les Condiciones…………………………………… 44

Conceptos Básicos………………………………..………. 44Criterios del Capítulo………………………………………. 44Ejercicios…………………………………………………….. 44

Inflación y Tasas de Interés Real….………………………………………… 48Conceptos Básicos………………………………..……… 48Criterios del Capítulo……………………………………… 48


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3

Ejercicios……………………………………………………. 48Problemario de Tareas de la unidad…………………… 53

Unidad IV………………………………………………………………………… 54Valor Presente Neto y Tasa Interna de Retorno………………………….. 54

Conceptos Básicos………………………………........... 54

Fórmulas Básicas…………………………………………. 54Problemario de Tareas de la unidad…………………… 55Carta Descript iva……………………………………………………………….. 56


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Introducción

Como se había mencionado antes, para la solución de problemas existendiferentes métodos y/o ecuaciones que facilitan encontrar los resultados, lo anteriordependerá del maestro y el libro que se tenga contemplado. En este caso, la bibliografía

sugerida se encuentra en el programa de la asignatura, sin embargo; también se podránconsultar otros libros de texto que coadyuven al entendimiento de los temas que seestén tratando en ese momento.

De esta manera, la amplia bibliografía Nacional e Internacional sobre lasmatemáticas financieras pudiera sugerir un mejor desempeño hacia el conocimiento quelos alumnos “deben” desarrollar cuando deciden tomar esta materia. Considerando deigual forma cierto nivel de exigencia acerca del uso y aplicación de procedimientos(álgebra) sobre ecuaciones matemáticas, así como teóricas.

Por lo anterior, es de suma importancia que el alumno no deje pasar cualesquierduda (por menor que piense que sea ésta), ya que los temas son consecuentes, es

decir; en la mayoría de los casos; tema que se ve en clase, servirá para comprender elsiguiente.1

Respecto a la consulta de cualquier autor de Matemáticas Financieras, esposible que se manejen diferentes algoritmos (ecuaciones) y nomenclaturas para definirsus variables ó el modo de solución. Se sugiere al alumno que investigue, analice ycompare las diferencias entre las fórmulas de los distintos autores respecto a la quellevará cotidianamente, lo anterior con el fin de que compruebe que no existe una solaforma para encontrar los resultados o incógnitas, y a decir verdad; la mayoría de lasecuaciones son complementarias unas de otras.2

En este sentido, y para robustecer la enseñanza aprendizaje; el alumno haráalgunos laboratorios en el centro de cómputo3 o bien en el mismo salón de clase, con lafinalidad de que amplíe su visión acerca de las matemáticas financieras y su aplicacióncomo herramienta en la vida. Esto quiere decir, que se resolverán algunos temas delprograma, en “Microsoft-Excel” mostrando al alumno la bondad de este paquete, y a suvez la facilidad que puede representar en términos de tiempo la solución de problemas.No obstante, esto no es la prioridad del curso.

Al inicio de cada capítulo, se encontrarán por lo regular las definicionesgeneradas por el autor del libro de texto, así como complementos conceptuales de otrosautores. También, se ejemplificarán por medio de algunas gráficas intuitivas (línea deltiempo) y ejercicios resueltos como iniciación del tema.

Así pues, se invita al alumno que aproveche este documento y sirva comoherramienta de trabajo cotidiana con el único propósito de aumentar su conocimiento ya la postre una mejor evaluación académica.

¡Ánimo!

1 Si tiene alguna duda al respecto, consulte su programa comparándolo con el libro de texto, o bien; pregunte al maestro.2 Esto, sólo como una tarea extra del curso en beneficio intelectual del alumno, sin embargo se muestran otros algoritmosque no vienen en el libro de texto.3 El número de laboratorios o trabajos extra clase dependerá estrictamente del maestro que imparta la asignatura.


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Unidad I

INTERÉS SIMPLE

Conceptos Básicos

INTERES ( I ): Es el cambio en el valor de dinero en el tiempo, o bien; es el importe

de dinero adicional a futuro a l que una persona tiene derecho por prestar un Capital a

otra persona.4

También conoc ido como “imp o rte d e inte rés ” , se dice que éste es el dinero o

resultado monetario cuando es invertido un capital o al otorgar un préstamo (inversión).

En este caso, el interés simple según Vidaurry y Villalobos5 es cuando sólo el capital gana

intereses, además se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido, sinque el capital original varíe.

CAPITAL (C): Es una “cantidad inicial de dinero”, se le conoce también con el

nombre de Valor Actual. A su vez, llamado Valor Presente. Por ejemplo: una cantidad

de dinero (inversión) que se deposite en el banco el día de “hoy” se le denomina

capital, ó si “hoy mismo” me prestan cierta cantidad para liquidarla en el futuro

(después) esto también se considera capital.

MONTO (M): Es un importe futuro de dinero (para efectos del libro de texto de

Enrique García González) y en el lenguaje coloquial se utiliza la palabra monto como un

símbolo de “cantidad de dinero”. También se le conoce como valor futuro; en otras

palabras, es el dinero final que se recibe de una inversión o préstamo. Ejemplo: si ud.

prestó dinero, y estuvo de acuerdo en el tiempo que le iban a pagar, al final de este

plazo recibirá el dinero que prestó “mas” una cantidad adicional (importe de interés)

por prestar dicho dinero.

TASA DE INTERES ( i ): Es la razón entre el interés y el capital por una unidad de

tiempo, además la tasa de interés se aplica “exc lus ivamente ” al capital. Es decir, es el

“prec io” que se paga o se cobra por prestar o requerir alguna cantidad de dinero

4 El dinero como cualquier bien, tiene un precio que genera una ganancia y es el interés, este es el pago por el uso deldinero ajeno y se expresa comúnmente como “I”. 5 La ficha bibliográfica se encuentra en el programa de la asignatura.


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6

PERIODO ( p): Número de periodos de tiempo que hay en un año cuando

comparamos una “tasa periódica” con la “tasa anual”. Por ejemplo, decimos que

existen 12 meses, 6 bimestres, 4 trimestres, 2 semestres etc. en un año.

TIEMPO: (t ): Es la unidad de medida que representa el cambio de unacontecimiento a otro, visto de otra manera, es el lapso determinado en el que se da

una transacción monetaria. Un ejemplo sería el “tiempo” que una persona tiene

invertido su dinero en el banco, ya que en algún momento inició dicha inversión

cuando depositó pro primera vez, por lo tanto; en otro memento puede tomar la

decisión de retirarlo.

LÍNEA DEL TIEMPO: Es un dibujo o gráfico diseñado para comprender la

transacción monetaria realizada de manera intuitiva. En ésta se asignan tanto las

variables como las cantidades.

…………………………………..

NOTA IMPORTANTE: Los conceptos básicos antes mencionados pueden ser

aplicados para cualquier tema subsecuente, no obstante; es importante apreciar que

en el desarrollo de las diferentes temáticas y unidades, se irán incorporando nuevo

conceptos y criterios que deberán ser estudiados con la debida particularidad que

revisten estos temas.

Fórmulas Básicas

I C M +=−.1

anualsimpleit C I −=−.2 Otros autores la manejan así Cin I a =.2 donde n esel número de periodos (se puede decir que en años, pero no es exclusivo).

)1(

)1(.3

sa

sasa

it C M

it C it C C M

+=

+=+=−

o también… )(. inC M a

13

)(.4 pii periodicasimpleanualsimple −− =−

Una vez vistos, y comprendidos los conceptos, además de familiarizarse con lasecuaciones o fórmulas de este capítulo, no resta más que poner en práctica losconocimientos adquiridos, por lo tanto; seguirá ahora una “batería” de ejercicios ya

C Mi

t


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7

resueltos y otros por resolver, éstos últimos se irán construyendo junto con el maestrodurante la sesión.

EJERCICIOS

1.- Calcular el interés que generará un capital de 77,600 a una tasa de interés simple

anual de 35%, si el dinero se tendría invertido durante 8 meses.Nota 1: En primer lugar se deberá razonar el problema, observar los datos con que contamos y después se recomienda

colocar dichos datos en el lado izquierdo, el desarrollo del problema al lado derecho.

66.106,18

)233333333(.600,77

)]35)(.66666666[(.600,77

)]35)(.12/8[(600,77

=

==

==

==

=

I

I

I

I

it C I anualsimple

2.-Calcular el interés que generará un capital de 77,600 a una tasa de interés simplemensual del 5%, si el dinero se tendría invertido 8 meses.

6.0

)12(05.

)(

=

==

=

sa

sa

spsa

i

i

pii

040,31

)4(.600,77

)]6)(.12/8[(600,77

=

=

==

=

I

I

I

tiC I sa

3.- Calcule el Monto o valor futuro de un préstamo por 20,000 de 36% de interés simpleanual y 6 meses de plazo.

4.- Calcular ¿cual sería el Monto (valor futuro) de un capital? de 7,777 invertido durante10 meses a una tasa simple trimestral de 6%.

Nota 4: Al igual que el ejercicio anterior, se tendrá que convertir la tasa simple periódica a una simple anual, y además; elrazonamiento del problema cambió, ya que la incógnita es diferente en este problema, por lo cual se utilizará otra de las ecuaciones deeste capitulo.

Datos:C =77,600

isa =.35

t = 8 meses

I =?

Datos:

C =77,600

isp =.05 mensualt = 8 meses

i sa = .6

Datos:C =7,777t = 10 mesesisp =.06 trimestralisa = .24

Nota 2: El tiempo por lo regular serepresentará en un año.

Nota 3: Recordemosque la tasa, de este

problema es simplemensual, por lo tanto se tendrá que hacer laconversión a una tasa

simple anual.

C= 20,000isimple= 36% mensual t= 6 meses

M=?


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8

5.- Si me prestan 9,000 y a los 4 meses pago 11,500 ¿A qué tasa simple mensual meprestaron?

Nota 5: Advierta que se necesitará encontrar una tasa simple periódica, la cual es el punto medular y más importante en elrazonamiento del problema.

Nota 6: Recordando la ecuación del ejercicio anterior (ya que cumple con los datos obtenidos), se tendrá que despejardicha ecuación para encontrar la incógnita que es la tasa simple mensual.

6.- Calcular cual fue el capital invertido por una persona si se retiró al final de 5 mesesun importe de 45,000 y la tasa de interés simple mensual que le otorgaron fue de 1.8%

Nota 8: Se debe tomar en cuenta que se retira un importe (valor futuro o Monto) a cierto periodo (t), lo que nos indica que

al principio de la transacción debió haber existido un capital (C) que aplicando cierta tasa de interés (i), obtendríamos dicho importe alfinal de la transacción. Por lo cual lo que queremos encontrar es el Capital invertido.

40.284,41

09.1

00,45

09.1

000,45

))5)(018(.1(

000,45

)1(

)1(

=

=+

=

+=

+=

+=

C

C

C

it

M C

Capital para Despejando

it C M

7.- Calcular durante cuantos meses deberá tener invertido su dinero una persona si,originalmente tiene 34,000 y espera tener finalmente por lo menos 40,000; la tasa es del4% simple anual.

Nota10: Advierta que lo que se esta cuestionando es el tiempo de inversión, lo cual hace que el razonamiento del ejerciciosea el despeje de nuestra función básica.

8.- En cuantos días se cuadruplica un capital si la tasa de interés simple anual es de227%.

Nota 11: Ya que se tenía una tasa simple anual, se tiene que hacer la conversión a tasa periódica, ya que se piden los meseso el plazo, es decir el tiempo; por lo tanto se despeja la fórmula de interés simple anual, dándonos interés periódico (una tasa de interéssimple anual entre el número de meses con que cuenta un año).

Nota 12: Considere además que “cuadruplicar” sería (Valor futuro), un “capital” (valor presente) dada una tasa de interés.Nota 13: Al igual que el ejercicio anterior, se toma al tiempo; que se despeja de la ecuación básica, sin embargo en esta

ocasión; la tasa simple anual deberá convertirse en una periódica diaria ya que nos piden ¿Qué en cuantos días se hace dichatransacción?

Datos:C = 9,000M = 11,500t = 4 meses

isp =?

Datos:M = 45,000t = 5 mesesisp=.018 mensual

Datos:

C = 34,000

M = 40,000

isa = .04

t = ?

Datos:C =1M = 4isa = 2.27

Nota 9: al igual que el ejercicioanterior, no es necesario hacer laconversión de la tasa periódica atasa anual, ya que el manejo del

problema es en términosmensuales.


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9

)(476

360

27.2

1)1/4(1)/[(oredondeand diast t

C M t

Psai

=−

=−

=

* En los ejercicios propuestos de tarea, no se asignan los resultados; estocon el fin de que el alumno tenga la certeza del desarrollo ydesenvolvimiento de cada ejercicio. Es decir, si el alumno hacomprendido de manera sustancial el tema, no debe de tenerproblemas para resolverlos satisfactoriamente. Además, muy bien puedecomparar los resultados respecto a los de sus compañeros y así, aprendertodos juntos de sus errores y aciertos.

Tarea 1. Interés simple

1. ¿Cuál es el valor actual de una letra de cambio por $ 13,000.00 que vence dentro de 90 días, si la tasa de interés esde 37% anual?

2. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si al final se tienen 2,300 y el préstamo fue de 2,000 en un plazo de 6meses?

3. Una persona pidió prestado 6,300 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es de 33% simple anual, ¿qué cantidaddeberá pagar por concepto de interés?

4. ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces y chocolates, al comprarmercancía por 3,183.00 a 20 días de plazo, si le cargan una tasa de interés de 2.5% mensual simple?

5. ¿En cuántos años se triplica una inversión con una tasa de interés del 23% simple anual?

* Se recomienda que resuelvan los 5 ejercicios de esta tarea.


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DESCUENTO SIMPLE

Conceptos Básicos

Básicamente, el descuento es un importe de dinero que recibe elposeedor de un documento que tiene fecha de vencimiento, la cual no serespeta y por consiguiente, el valor recibido es inferior al monto señalado en elinstrumento financiero. Esto puede ser por convenir a un tercero, el pagaré uotro documento financiero.

(Diferencias conceptuales)

Interés Simple: la tasa de interés “ i ” se aplica sobre el capital, I = Cisat

Descuento Simple: la tasa de descuento se aplica a l monto. t saMd=D

Dependiendo la situación en que se establezca una transacción, el importe dedescuento puede entenderse de la siguiente manera:

“Una p ersona t iene un d oc um ento co brab le hasta c ie r to t iem po , supong a a hora ; que

po r a lguna razón no e s posib le espe rar e l p lazo d e ve nc im ien to , en tonce s se ap l ic a una

“tasa de d esc uento” o p ena l i zac ión a la c ant ida d d e d inero co nven ida p or dec id i r

retirar el dinero ante s”.

Esto implica que del dinero “total” que debió haber rec ibido (monto), obtendrá

una cantidad menor en función del tiempo de retiro anticipado, obteniendo asíun capital cuya diferencia entre el monto es el Importe de Descuento.

Fórmulas Básicas

D Mtdsa= , con otros autores sería… Mnd D =

Por lo tanto: DC M

Donde:C M D M Mtdsa= − = −( ) , C M tdsa= −( )1

Una observación interesante, es que el importe de descuento (D) es igual alimporte de interés (I), no obstante; la tasa de interés como de la de descuentono lo son. A continuación se muestra este efecto en el ejercicio 3 en la siguientede sección de ejercicios.


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EJERCICIOS

1.- Si el importe del pagaré (valor futuro) a descontar es de 56,700 y la tasa dedescuento es de 93% simple anual, ¿Cual sería el importe del descuento si faltan 2meses para el vencimiento del pagaré?

Nota 14: Una vez razonado el problema, se tienen que concentrar los datos y encontrar la ecuación que explique dichodescuento (además observe que no es lo mismo un importe de descuento y la tasa de descuento).

5.788,8)155(.700,56

)12/2)(93(.700,56

==

=

=

D

D

Mdt D

2.- Del ejercicio anterior ¿cuanto dinero recibe el poseedor original del pagaré?

Nota 16: Aquí ya no importa el Importe Descontado, sino cuanto “capital” se obtiene de dicha transacción.Nota 17: Tomando en cuanta los datos necesarios, y utilizando la ecuación despejada para capital podemos obtener:

50.911,4750.788,8700,56 =−=−= D M C

3. Un pagaré con un valor nominal de 5,785 es descontado con un banco a 40 días desu vencimiento a una tasa de descuento simple anual de 45%. Calcular cuánto lepagaron al acreedor.

289.255,495.75-5,785 D

tantolo por

C M D

donde

C

td M C anualsimple

==

−=

=−=

−=

75.495,5)45)(.360/40(1(785,5

)1(

Ahora, si utilizamos la ecuación de Importe de interés simple nos resulta:

368421.47

360

4075.495,5

25.289ó =

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ===

Ct

I iCti I

Como vemos, la tasa de interés es distinta a la de descuento simple.

Datos:M= 56,700d= .93t= 2 meses

D=?

Nota 15: Tome en cuenta que eltiempo se tiene que convertir en

periodo anual ya que la tasa dedescuento es simple anual. Observeque la ecuación utilizada es la Básica

de descuento simple.

Datos:M= 5,785

d= .45 simple anualt= 40 días

D=?

Compruebe con la tasa deinterés que el importe es el

mismo…


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4- Si un pagaré tiene un valor nominal de 32,000 y la tasa de descuento es de 16%simple mensual, además faltan 18 días para su vencimiento, ¿cuanto dinero se recibe aldescontarlo?

Nota 18: Recuerde que los valores nominales son iguales a los valores futuros para este caso, y tomando en cuenta que loque se esta pidiendo es: ¿Cuánto se descuenta en unidades monetarias? Tendremos que utilizar la ecuación de capital que contengalos componentes del problema.

5.- Si un pagaré tiene un valor nominal de 308,500 y se paga descontando faltando 20días para su vencimiento en 280,600, ¿cual fue la tasa de descuento simple anual?

Nota 20: El razonamiento del problema es muy simple, ya que nos da el Monto, tiempo, y el capital; nos preguntan por unatasa de descuento. Por lo anterior podemos deducir que la ecuación a utilizar será la de capital despejando para la tasa de descuento.

C M td

despejando

C M td

C M td

C M

td

= −

= −

− = −

−

− =

( )

( / ) ( )

( / )

( / )

1

1

1

1

sustituyendo los datos

d

d

d X

d

= −

−

= −

−=

=

( , / , )

( / )

.

..

.

280600 308500 1

20 360

0 090437601

0555555555

1627876834 100

162 7876834

6.- Un pagaré por 400,000 se descuenta a 380,088.88 a una tasa de descuento de 56%anual, ¿cuantos días faltan para su vencimiento?

Nota 22: Tomando un razonamiento similar al ejercicio anterior, podemos deducir la ecuación, dado que contamos consuficientes datos para resolver el problema. Por lo anterior, ahora despejaremos el tiempo representado en días.

7.- Si en CETES a 28 días la tasa de vencimiento anual es de 42%, ¿cual sería la tasa dedescuento anual simple?

Nota 24: Para resolver este problema, consiste en encontrar una fórmula que calcule la tasa de interés simple anual y quesea equivalente a la tasa de descuento simple anual, lo que implica que sea un poco elaborado dado los despejes matemáticos que setienen que hacer. El desarrollo se hace en tres pasos, tomando en cuenta desde un principio las ecuaciones básicas de Monto quecontiene la tasa de interés, y la de Capital que contiene la tasa de descuento.

Utilizando las ecuac iones básicas de Monto y Capital, se agrupan dándonos losiguiente:

Datos:M= 32,000d= .16

t= 18 dias

Datos:M=308,500C=280,600t=20 díasd=?

Datos:M=400,000C=380,088.88d=.56

t=?

Nota 21: observe que el tiempose debe convertir a periodo

anual, ya que el descuento quese pide es en términos de un

año.


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13

M C ti y C M td= + = −( ) ( )1 1 agrupando ambas ecuaciones:

M M td ti= − +( )( )1 1 siguiendo con el despeje

M M td ti/ ( )( )= − +1 1

titd

titd

+=−

+−=

11

1

)1)(1(1

%.

.))(. / (

.

:tan)(

)(

)(

671400940

40671400942360281

42

1

1

izquierdoladoeldofactorizan

1

1

1

111

1

111

r denominadocomúnmínimoSacando

1

1

1

1

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

d

ti

id

tolo por

itid

itdid

d tdii

d td i

td

d i

titd

td

titd

td

titd

td

titd

8.- Una empresa “B” vende cierta mercancía otorgando un crédito a un clientemediante la firma de un pagaré a 60 días con una tasa de interés simple anual de 65%.A los 20 días de hecha la venta, dicha empresa decide descontar dicho pagaré en un

banco y recibe 76,500. Si el banco tuvo como tasa de descuento aplicable la de 76% ,¿cual era el precio de contado de la mercancía?

Nota 25: Una vez que la empresa acepta la deuda, decide entregársela al banco, y este le hace un descuento a cierta tasa;dándole un capital a la empresa. Sin embargo esa mercancía tiene un monto que no sabemos dadas las transacciones que se realizan.

Datos:C=76,500d= .76isa=.65t1=60t2=20

Nota 26: obsérvese que en el tiempo dos faltan 40 días para completar la transacción original, por locual el cálculo del monto estará dado por dicha cantidad faltante de días convertidas a años.

PRIMERA PARTE

SEGUNDA

PARTE

TERCERA PARTE


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14

Tomando en cuenta la ecuación básica de descuento paracapital tenemos:

C M dt lo que implica que MC

dt= − =

−( )

( )1

1

Continuando con la ecuación de Monto tenemos:

=−

=

765001 76 40 360

8355583

,. ( / )

, .

Los 83,555.83 es el monto que el banco pagó a la empresa, menos la tasa dedescuento otorgada; sin embargo, la incógnita es cual es el capital (costo) de estamercancía al tiempo de la deuda que se contrajo.

Para ello tenemos que encontrar el capital :

Tarea 2. Descuento simple

1. ¿Qué tasa de descuento se aplicó a un documento con valor nominal de $ 1,000 si se descontó 60 días antes de suvencimiento y se recibieron $ 666.67?

2. ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron $ 1,439.79, si se descontó comercialmente a untipo de 17% anual, 85 días antes de su vencimiento.

3. Un pagaré con valor nominal de $4,000.00 se descontó al 12%. Si el descuento fue $160.00, ¿cuál fue el plazo endías del préstamo?

4. El producto de un pagaré a 5 meses fue $3,330.00. Si la tasa de descuento era del 18% anual, ¿cuál era el valornominal del pagaré?

5. Si en Cetes a 28 días la tasa de rendimiento anual simple es de 18%, ¿cuál es la tasa de descuento anual simple?


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INTERES COMPUESTO Y TASAS EQUIVALENTES

Conceptos Básicos

El interés compuesto indica que el interés se acumula al capital, es decir secapitaliza. Los intereses que se van ganando, se adicionan al capital de ese periodo; loque implica el crecimiento del dinero (geométricamente) a través del tiempo.

Se dice que dos tasas son equivalentes si producen el mismo interésconsiderando el mismo capital y cualquier periodo idéntico para ambas tasas.

TASA PERIÓDICA: Es la tasa de interés directamente referida en un periodo “x” que

reflejan los intereses correspondientes. Ejemplo.- a un capital de 10,000, y generan 900

de interés en un mes, si la tasa mensual es de 9%.

TASA EFECTIVA: Es la tasa que refleja los intereses verdaderamente ganados en un año,por lo general la tasas siempre será referida a periodos anuales.

TASA NOMINAL: Es la tasa esperada en forma anualizada, pero no corresponden al

interés que verdaderamente se ganaría al año. Ejemplo.- la tasa nominal capitalizable

mensualmente, es la tasa multiplicada por 12 (notándose que no es la tasa anual).

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN: El interés puede ser convertido en capital anual,

semestral, trimestral y mensual, etc. Dicho periodo es denominado “periodo de

capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le

denomina frecuencia de conversión. A mayor frecuencia de conversión, mayor será el

interés obtenido; es decir, un instrumento capitalizable por mes, será mayor que uno

anual.

CONSIDERAC IONES SOBRE LAS TASA DE INTERES:

A) La conversión directa de una tasa nominal a una periódica se podrán realizar

con la fórmula convencional de )( per nom i pi = , si el periodo contemplado es el

mismo.

B) Para realizar conversiones de una tasa nominal a una periódica o viceversa,

tomando en consideración un lapso distinto, tendremos que recurrir a la fórmula

de la tasa efectiva.

Fórmulas Básicas

Para encontrar la ecuación ó ecuaciones básicas (s) de este capítulo, se tendrá que

hacer una manipulación algebraica a las ecuaciones básicas de interés simple, ya que


16/59

16

en esta ocasión el interés genera distintos capitales (es decir, capitalización) y a su vez

montos (valores futuros); y para lo anterior, tenemos:

per per Ci I

I C M

=

+=

)1(11 per iC M +=

Nota 27: Despejando la ecuación de arriba, encontraríamos el capital del periodo posterior; sin embargo tendríamos queencontrar M2 , por lo tanto diremos que:

tp

per m

m

per m

per

per

per per

per per

iC M

tpm

iC M

iC M

iC M

iiC M

i M iC M

M C

)1(

)1(

)1(

)1(

)1)](1([

)1()1(

1

1

3

13

2

12

12

122

12

+=

=

+=

+=

+=

++=

+=+=

=

np pi

n

C M

iPF

)(

)(

1

1

Si sabemos que el monto en un periodo es M m y M es un monto cualquiera, y de

igual forma C es un capital cualquiera, donde C m es en algún periodo; análogamente

podemos deducir que:

m

per

mm

iC M

C C y M M

)(

=

1

y dado que fuese el periodo igual a 1 año (para la tasa efectiva) tendremos:

t

ef iC M )1( +=

Además, si sabemos que la tasa nominal es igual al periodo por su tasa periódica

tenemos:

tpnom

per nom

p

iC M

i pi

]1[

)(

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

=

Ecuaciones deotros autores con

diferentesnomenclaturas…


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17

EJERCICIOS

1.- Si se tiene una “inversión” al iniciar el año de 200,000 encontrar cuanto se tieneninvertido a fin de año a una tasa trimestral de 50%.

Nota 28: como se ha mencionado anteriormente, se deben razonar lo problemas tomando en cuenta los datos disponibles ylas ecuaciones posibles a utilizar.

220571

85612000200

301000200

1

4

,

).(,

).(,

)(

=

=

M

M

M

iC M tp

per

Tabla 6.1Periodo (Trimestres) Saldo inicial Interés Saldo Final

1 200,000 60,000 260,0002 260,000 78,000 338,000

3 338,000 101,400 439,4004 439,400 131,820 571,220

¿Cómo se realizó la tabla anterior?

Veamos ahora…

Tabla 6.1.1Periodo (Trimestres) Saldo inicial Interés Saldo Final

1 Capital inicial Capital inicial x iper Saldo inicial de este

periodo + Interés

2 Saldo final del periodoanterior Capital de este periodo x iper Saldo inicial de esteperiodo + Interés 3

Saldo final del periodoanterior

Capital de este periodo x iper Saldo inicial de este

periodo + Interés

4Saldo final del periodo

anteriorCapital de este periodo x iper

Saldo inicial de esteperiodo + Interés

2.- Encontrar el monto de una inversión por 50,000 si tengo una tasa de mercado de 24%capitalizable bimestralmente y han transcurrido 127días.

Nota 29: debe tomarse en cuenta que la tasa de mercado es de un periodo diferente al tiempo, además nos están arrojandouna tasa “nominal”, por lo cual tendremos que hacer conversiones.

1166666672

6360127

.

)( /

=

=

=

m

m

tpm

04.

6

24.

=

=

=

per

per

nom

per

i

i

p

i

i

02.328,54

)04.1(000,50

)1(

116666667.2

=

+=

+=

M

M

iC M m per

Datos:C= 200,000i per =0.30 trimestralm=tp=(1año)(4per)=4M=?

Datos:C=50,000isa = .24 bimestralm=tpt=127

p=6


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18

3.- Se otorga un préstamo por 10,000 a pagar en abonos iguales a 30,60 y 90 días a unatasa nominal capitalizable mensualmente de 30%. Calcular a dichos pagos.

Nota 30: Este ejemplo es diferente a los demás (pero se recomiendo revisarlo, pues es la entrada a la siguiente unidad)ya que nos están pidiendo pagos (R) que se hacen o se harán al contraer una deuda. De lo anterior se tomará en cuanta la ecuación

básica de Monto para poder encontrar los pagos.

Despejando para capital

Cuando existen varios periodos o pagos (R) se tiene entonces que:

Dado que tenemos:

Nota 31: una vez que se tiene la ecuación para pasar dichos pagos ha valor presente, se localizan los datos y se sustituyenen la ecuación.

Factorizando los pagos tendríamos:

Nota 32: para el método, de progresión (siempre y cuando los periodos a capitalizar sean de la misma temporalidad) eneste caso los pagos a 1, 2, y 3 “meses”. La ecuación y resolución es la siguiente:

Datos:C = 10,000inom = .30 mensuali per = inom /pi per =.025 mensualt1=30 dias

t2=60 diast3=90 dias


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19

Ahora podemos ver el efecto de las tasas equivalentes con los siguientesejercicios:

4)Determinar la tasa efectivaFórmula

( ) 11 −+= p

per ef ii ( ) 6320941.01125.01 12 =−+

%2094133.63=

5)Determinar la tasa mensualFórmula

ualmesi per %1666667.40416.0125.0 ===

6)Determinar la tasa semestral

Fórmula

7) Determinar la tasa sexenal

Fórmula

8) Determinar la tasa nominal capitalizable cada 2 añosFórmula

%2094133.63=ef i

( ) ( ) 11632094133.0 211 −+= per i

( )( ) 8318656.0216637312.1 == años2cada porc/%18656.83=

Datosinom= 50% c/mes

ief = ?

Datosinom=50% c/mes

i per =? mes

Datosinom= 50%c/mes

i per =? semestral

DatosInom=50% c/mes

I per =? sexenal

Datosinom=50% c/mes

inom=? c/por 2 años


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20

9) Determinar la tasa nominal capitalizable bimestralmente.Fórmula

( ) 11632094133.0 61 −+= per i 0850694.0=

( )6 per per per nom iii ==

bimestrec /041664.515104166.0 ==

10)Determinar la tasa nominal capitalizable cada 28 días

Fórmula( ) 11 −+= pnomeef pii

( ) ( ) pii pef nom 111 −+=

( ) ( ) pi pef 111 −+=

( ) ( ) ( )3602811632094133.0 360281 −+=

4220.3772%100x203772.42 ==

( ) ( ) ( )2836011632094133.0 283601 −+=∴ nomi

%9315628.49499315628.0 ==

8)Determinar la tasa nominal capitalizable diariamente.Fórmula

9) Determinar la tasa nominal capitalizable cada horaFórmula

10) Determinar la tasa nominal capitalizable en forma continua

Fórmula1−= −cont inomef ei

( )1ln ln

1ln+=

+=− ef

ef

cont nom ie

ii

1ln =e ( ) %986393.481632094133.0ln =+=−cont nomi

Datosinom=50% c/mesinom=? c/bimestre

Datosinom=50% c/mes

inom=? c/28 días

Datosinom=50% c/mesinom=? c/diariamente

Datosinom=50 c/mesinom=? c/ diariamente

Datosinom=50% c/mesinom=?

ief =0.632094133

Nota 33: no confundir “t” con“p”; t puede valer 28/360, pero

“p” no puede tener ese valor.


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21

TASA PROMEDIO Y TASA PROMEDIADA ARITMÉTICAMENTE

Definiciones

1) Tasa promedio: es la tasa que produce los mismos intereses que varias tasas

aplicadas. Es distinta a la tasa promediada aritméticamente (es decir, una tasa de 20%y una tasa de 60% darán como tasa promedio una tasa de 38.5640646% y no de 40%).

2) Tasa promediada aritméticamente: es la tasa resultante de promediar tasas en lamisma forma en que promediamos otros objetos comunes (es decir, una tasa de 20% yuna tasa de 60% darán como promedio aritmético una tasa de 40%)

Problemas

a) Tasa Promedio

( ) ( ) ( ) ...111 21321 2t

ef

t

ef i

t t t

ef prom iii ++=+ −++

−

11) De una tasa del 20% para el primer año, y de 60% para el segundo año

( ) ( ) ( )6.012.011 111 ++=+ +−ef promi

%5640646.381385640646.1 =−=−ef promi

Comprobación

( ) ( ) 20.12.0111;año1erdelfinalAl 111 =+=+=⇒ t

ef iC M

( ) ( ) 92.16.0120.11;añodo2delfinalAl 1

2

=+=+=⇒ t

ef

i M

( ) ( ) 38560646.1385640646.0111año;er1delfinalal 611 =+=+=⇒ ef iC M ( ) ( ) 9199.1385640646.01385640646.11Mañodo2delfinalal 22 =+=+=⇒

t

ef iC

• En lugar de años en los exponentes de la fórmula se puede usar otros periodos;por ejemplo, meses o días. Pero todos los exponentes deben estar en el mismotipo de periodo.

• La fórmula que vimos no es aplicable con tasas nominales, sólo debe utilizarsecon tasas efectivas o periódicas.

Analogía:

( ) pii periodosimpleanualsimple −− = ( ) pii per nom =

p

ii

anualsimple

pariodosimple

−

− = ( )

p

ii nom per =


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22

12) Determinar la tasa promedio efectiva de la tasas efectivas de 100% y 200%Fórmula

( ) ( ) ( )tbef ta

ef

ta

ef prom iii ++=+ − 1112

( ) ( ) ( )112 21111 ++=+ −ef promi

%9489.1444494897.11621

==−=−ef promi

13) Determinar la tas promedio nominal capitalizable mensualmente si para un periodo“B” igual al periodo “A” de la tasa del 50% capitalizable mensualmente, hay otra tasanominal capitalizable mensualmente del 40%.

Fórmula

11 −⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += −−

p

bnom

bef p

ii

4821264.0=

14) Determinar la tasa efectiva promedio si para un periodo “B” igual al periodo “A” dela tasa del 50% capitalizable mensualmente, hay otra tasa nominal capitalizablediariamente del 40%

Fórmula

4914934.01360

4.01

360

=−⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +=−bef i

( ) ( ) ( )4914934.01632094133.011 12 ++=+∴ −ef promi %0210797.56560210797.0 ==−ef promi

b) Tasa promediada aritméticamente

Para tasas promediadas en forma aritmética donde cada una sea aplicablepara diferentes periodos, requieren ponderarse y para ello, estableceremos la siguientefórmula:

...

..

321

331211

t t t

it it it i ef ponderada

++

+++=−

DatosIef-a=100%Ief — b=200%ta=1 añot b=1 año

ta=t b

11240.01

12

−⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +=

Datos

i prom-ef =?t b=ta= 1añoinom-a=50% c mesinom-b=40%ief-a=0.632094133


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23

15) Determinar la tasa efectiva promedio ponderada aritméticamente si la tasa del 50%nominal capitalizable mensualmente dura 3 meses y una tasa del 15% semestralefectiva dura 2 meses.

Fórmula

( ) ( ) 3225.0115.0111 2 =−+=−+=− p per bef ii

21

2211

t t

t it ii ef ponderada

+

+=−

( )( ) ( )( )122123

1223225.0123632094133.0

+

+%825648.50=

Tarea 3. Interés compuesto y Tasas equivalentes

1. ¿Cuál es el importe de interés mensual, si al final de 3 años obtengo $2,963.25. La tasa que se estimó fue del8.5% efectiva.

2. Si de un capital de $1,700.00 logro reunir $6,623.55 en una inversión, determinar el número de trimestres queestuvo invertido el dinero a una tasa de 34% capitalizable trimestralmente.

3. ¿Cuánto dinero debe depositarse en un banco si se desea acumular un monto de $ 250,000.00 en un plazo dedos años, y la tasa de interés es de 13% capitalizable mensualmente?

4. Los precios de la canasta básica de alimentación se han incrementado a una tasa anual de 25% durante tresaños. Si el precio actual es de $ 765.00, ¿cuál era su valor hace tres años?

5. Los salarios mínimos se han incrementado a una tasa de 13% anual promedio durante los últimos cuatro años.Si continuara dicha tendencia, ¿en qué tiempo se triplicaría su valor nominal?

6. Alejandra obtuvo un préstamo de $ 4,300.00 y acuerda liquidarlo en tres pagos a 1, 2 y 3 meses, con uninterés del 2% mensual.¿Cuál es el importe de los pagos?

7. Determinar la tasa mensual promedio entre una tasa mensual de 40% y otra tasa mensual de 30%.

8. Determinar la tasa efectiva promedio si para un periodo “B” igual al periodo “A” donde la tasa “A” es igualal 87% nominal capitalizable mensualmente, y hay otra tasa nominal capitalizable diariamente del 87%.

9. Determinar la tasa efectiva promedio ponderada aritméticamente si la tasa “A” dura 7 meses y es del 5.6%efectiva; y una tasa “B” dura dos años y es del 18% trimestral.

10. Determinar la tasa nominal capitalizable trimestralmente que resulte equivalente a una tasa de 25%capitalizable semestralmente.

DatosI ponderada-ef =?Inom-a=50% c/mest=3 meses

Ief-b=15% semt b=2 mesesIef-a=0.632094133ief-b=?


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25

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es una línea de números en donde cada númeroequivale al número anterior multiplicado por una constante denominado razón.[García González]

Una progresión e s geométrica si cada término es igual al anterior por unaconstante r llamada razón común, es decir:

a a r m m= −1( ) y note que para hallar la razón se divide un término entre el que le precede, esto es:

r a

a

m

m

=−1

[J osé Luís Villalobos].

Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, tales

que dos números consecutivos cualesquiera, de la misma, guardan un cociente o razóncomún. Esto quiere decir, que cualquier término posterior puede ser obtenido delanterior multiplicado por un número constante llamado cociente o razón.[Díaz Mata, Aguilera G.]

Se recomienda que el alumno revise el capítulo 2 de su libro de texto para ver esteapartado.

EJERCICIOS

1.- Calcular la Suma de los números múl tiplos de 2 que van de 32 hasta 4,096 inclusive.

Nota 35: Consiste en escribir los números (incluyendo puntos suspensivos) en dos ecuaciones una original (ecuación A) yla otra obtenida multiplicando la primera ecuación por la razón (ecuación B). Estas dos ecuaciones se restan y forman una tercera

ecuación (ecuación C), la cual nos conduce al resultado; es decir, 2S S S − = .

192,8000.......00032C..

096,4048,2024,1....2561286432-A..

192,8096,4048,2024,1....25612864 2B..

:ecuacionesambasosreacomodemsolución,lafacilitarPara

192,8096,4048,2...........256128642 B..

096,4048,2024,1.............1286432 .A.

++++++++−=

−−−−−−−−=

+++++++=

++++++=

++++++=

S Ec

S Ec

S Ec

S Ec

S Ec

Por lo tanto se obtiene:

S = − =8192 32 8160, ,


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26

2.- Calcular el último término de una progresión geométrica que inicia con 73 y avanzacon una razón de 5 si sabemos que son 9 términos.

1 73 5

2 73 5

3 73 5

4 73 5

9 73 5

0

1

2

3

9 1

er

do

er

to

vo u

. ( )

. ( )

. ( )

. ( )

. ( )

termino

termino

termino

termino

termino

M

− =

Por lo tanto el último término es:

u = = =−73 5 73 5 28 515 6259 1 8( ) ( ) , ,

3.- Deducir la fórmula para el último término de un progresión geométrica, definiendocomo a el primer término, como r la razón, y como m la cantidad de términos.

Nota 37: la secuencia es:

1

2

3

4

0

1

2

3

1

er ar

do ar

er ar

to ar

m ar m

.

.

.

.

termino

termino

termino

termino

termino

M

−

Por lo tanto, el último término en una serie geométrica es:

u ar m= −1

Se rescribe ahora la lista:

a ar ar ar ar ar ar m m m, , , ,........, , ,2 3 3 2 1− − −

• Representación general de una progresión geométrica.

Nota 36: Representaremos con

u a el último término,observando comoavanza la secuencia


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27

4.- Calcular la suma de una progresión geométrica que inicia con 73 y avanza con unarazón de 5 si sabemos que son 9 términos.

Nota 38: es una continuación del ejercicio 2, donde el último término tiene el valor de 28, 515,625.

.513,644,35

)5(73734C..

)5(73)5(73..............)5(73)5(73)5(735 B..

)5(73)5(73.............)5(73)5(7373 .A.

9

9832

872

=

+−=

+++++=

+++++=

S

S Ec

S Ec

S Ec

:Restando

5.- Deducir la fórmula para la suma de una progresión geométrica, definiendo comoa el primer término, como r la razón y como m la cantidad de los términos.

Nota 39: la representación es la siguiente:

a ar ar ar ar ar ar m m m, , , ,........, , ,2 3 3 2 1− − −

Empleando el mismo algoritmo del ejercicio 1, pero ahora con variables:

Ec A S a ar ar ar ar ar ar

Ec B rS ar ar ar ar ar ar ar

Ec C rS S a ar

S(r- ) a r

m m m

m m m

m

m

. ...

. ...

.

( )

= + + + + + + +

= + + + + + + +

− = − += −

− − −

− −

2 3 3 2 1

2 3 4 2 1

1 1

Finalmente:

S a r

r

m

= −

−

( )1

1

Cuando r es menor que 1 se acostumbra utilizar la siguiente fórmula equivalente:

S a r

r

m

= −

−

( )1

1


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28

CRITERIOS DEL CAPITULO

Como tenemos dos tipos de anualidades, que se diferencian dadoel primer pago, por lo tanto necesitamos encontrar las ecuacionesbásicas para cada anualidad.

Nota 40: encontrar la fórmula de anualidad ordinaria cuyo periodo de pago coincida con el periodo de capitalización de latasa de interés.

m

per

m

per per per iC i Ri Ri R R M )1()1(.......)1()1(12 +=++++++++ −

Dado que una progresión geométrica cuenta con ciertos componentes (comoes a = el primer término, r = la razón y S = periodos de capitalización), por lo tanto:

per ir ya +== 11 Donde per

m

per

per

m

per m

i

i

i

i

r

r aS

1)1(

11

1)1(

1

)1( −+=

−+

−+=

−

−=

m

per

per

m

per iC

i

i R M )1(

]1)1[(+=

−++

Ahora debemos encontrar una ecuación que contenga el periodode pago a que coincida con el periodo de capitalización de la tasa deinterés. Para ello se debe de tomar en cuenta que la ecuación seráparecida, sin embargo aquí; el periodo “cero” empieza a generarintereses capitalizables, por lo tanto:

m

per

m

per per per iC i Ri Ri R M )1()1(.......)1()1( 2 +=+++++++

De igual forma, la progresión geométrica cuenta c on ciertos componentes(como es a = el primer término, r = la razón y S = periodos de capitalizac ión), pero ahorase toma el primer término c apitalizable por lo que:

per per ir yia +=+= 11 y

m

per

per

m

per per iC

i

ii R M )1(

]1)1)[(1(+=

−+++

NOTA ESPECIAL: Agrupando ambas ecuaciones podemos encontrar la fórmula que

considere tanto anualidades ordinarias como anticipadas, con el periodo de capitalización de la tasa

de interés; donde incluiremos un componente adicional “k” que será el que diferencie de que tipo de

anualidad se esté resolviendo.


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29

Diremos entonces que para una anualidad ordinaria “k”=0, y para unaanualidad anticipada “k”=1, por lo tanto podemos deducir que la ecuación básica deanualidades será:

m

per per

m

per per

iC i

iki R

M )1(

]1)1)[(1(+=

−+++

Para facilitar un poco más el proceso y conoc imiento de este tema, se incluyenotras ecuaciones para anualidades ordinarias y anticipadas de algunos autores7 propuestos en la carta descriptiva, por ejemplo:

Anualidades Ordinarias Anualidades Anticipadas

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

per

m

per

per

m

per

i

i RC

i

i R M

)(

)(

11

11

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

per

m

per

per

per

m

per

per

i

ii RC

i

ii R M

)()(

)()(

111

111

¿Para que conocer las ecuaciones anteriores? ¡Ah! para que el alumno sepa queexisten otras formas que pueden utilizar, abriéndose el abanico de posibilidades en elproceso de aprendizaje. De lo anterior, es recomendable para el “alumno”, que tome elmétodo o técnica más conveniente, es decir; donde él se sienta cómodo para laresolución de problemas.

Ahora bien, siguiendo los criterios de la progresión geométrica, sepuede hacer el cálculo desde el Monto a Capital, lo que le llamaremosProgresión del Modelo de Fecha Focal Inicial (MFFI), donde a = r, C = SR ;o bien, comenzando del Capital al Monto, a lo que llamaremosProgresión del Modelo de Fecha Final (MFFF), donde a = 1. Lo anterior esexclusivo para las anualidades ordinarias, sin embargo; para lasanualidades anticipadas lo único que cambia sería el valor de loscomponentes, invirtiéndose de la siguiente manera: MFFI a = 1 y para elMFFF a = r.

Dependiendo el método que se utilice, tendremos que evaluar a “r”, por lotanto, si r 1 utilizaremos

1

)1(

−

−=

r

r aS

m

; así mismo, el

exponente “m” de la razón “r” en la progresión equivale al número total de periodos de

capitalización, es decir 1.

7 Se ha hecho leves modificaciones a estas ecuaciones para darle la nomenclatura del libro de texto, pero no por ello sesugieren más complicadas.


30/59

30

Al igual que la unidad anterior, es necesario que se “apropien” intelectualmentede las herramientas y conocimientos básicos del tema, y se empiece con la resoluciónde ejercicios por medio de otra “batería” que a continuación se muestra. C abe señalar,que no se resuelven con todos los métodos, sin embargo; sería interesante que elalumno tratase de resolverlos por cada uno de ellos (ecuaciones o métodos) y queverifique la significancia de los diferentes procedimientos.

EJERCICIOS

1.- Si obtengo un préstamo por 520,000 a pagar en 180 mensualidades a una tasa deinterés nominal de 24% capitalizable mensualmente, ¿de cuanto será cada pago?

a) Si se toma como anualidad ordinaria: Nota 41: Se debe recordar cuales son los criterios para una anualidad ordinaria en los diferentes métodos a desarrollar.

m

per

per

m

per per iC

i

iki R M )1(

]1)1)[(1(+=

−+++

Siguiendo con la Ecuac ión Básica y sustituyendo los datos tenemos:

02.703,10

31.832,366,18)041568.1716(

))12/24.(1(000,52012/24.

]1)12/24.1))[(12/24.0(01(0 180

180

=

=

+=−++

+

R

R

R paraoresolviend y Despejando

R

Ahora resuelve este ejercicio por la ecuación alternativa de otros autores…

Continuando y resolviendo por el método de FFI donde a = r y C = SR,tenemos:

Nota 43: Debemos recordar la ecuación básica para Monto de interés compuesto, y despejar para C; ya que se consideraránlos pagos para encontrar “r”.

Dado que , despejando para C:

y dado que a = r, donde r sería un periodo a capitalizar; entonces:

Datos:C= 520,000m=180 meses

i-nom= .24k=0

R=?

Nota 42: Recuerde que la tasa dada no corresponde a la ecuación original, por locual tendremos que hacer la conversión a tasa periódica.


31/59

31

Una vez más, resolviendo por el método de FFF donde a = 1 y M = SR,tenemos:

02.1

""""

)12)(12/1())12/24(.1(1

)1(1

)1(1

=

+=

+=

+==

r

geometrica progresionlaenr amultiplicaaquedado

r

ir

y

ir ya

m

per

m

per

Y como r>1; entonces:

02.703,10

0415568.1716))12/24(.1(000,520

)1(

0415568.1716

102.1

)102.1(1

1

)1(

180

180

=

=+

+=

=

=−

−=

−

−=

R

R

iC M

SR M quedado y

S

r

r aS

m

per

m

NOTA ESPECIAL: Entonces si se tomara como anualidad anticipada, se resolvería por losmismos métodos, pero; se cambiaría el valor de “k” y las igualdades de “a” y “r”; quedando: k=1,a=1 para el MFFI, y a = r para MFFF.

Con el propósito de darle una diversidad de presentaciones (comose pudo apreciar) en la resolución por varios métodos el ejercicio

Nota 44: la razón “r” tiene como exponente 1 en el denominador, ya quees la constante al inicio de la progresión.

Nota 45: y dado que r es menor que 1, los periodos de capitalizaciónnos queda:


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32

anterior, es interesante ver que también es posible visualizarla en una“tabla de pagos” o amortización.

Tabla 2.1Periodo Interés Pago Capital

0 0 0 520,0001 10,400 10,703 519,6972 10,394 10,703 519,3883 10,388 10,703 519,0734 10,381 10,703 518,7515 10,375 10,703 518,4236 10,368 10,703 518,0887 10,362 10,703 517,7478 10,355 10,703 517,3999 10,348 10,703 517,044

10 10,341 10,703 516,68211 10,334 10,703 516,313* * * *

* * * ** * * *168 2,429 10,703 113,188169 2,264 10,703 104,749170 2,095 10,703 96,141171 1,923 10,703 87,361172 1,747 10,703 78,405173 1,568 10,703 69,270174 1,385 10,703 59,952175 1,199 10,703 50,448176 1,009 10,703 40,754177 815 10,703 30,866178 617 10,703 20,781

179 416 10,703 10,493180 210 10,703 0.00

La tabla anterior se resuelve de la siguiente manera…

Tabla 2.1.1Periodo Interés Pago Capital

0 Anualidad ordinaria 520,000

1 Capital inicial x iper Cálculo del pago igual Capital inicial + (pago-interés)

2 Capital del periodo anteriorx iper

Cálculo del pago igual Capital inicial + (pago -interés)


Cálculo del pago igual Capital inicial + (pago -interés)

* * * ** * * *


Cálculo del pago igual Capital inicial + (pago -interés


Cálculo del pago igual Capital inicial + (pago -interés


Cálculo del pago igual Capital inicial + (pago –interés =0


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33

11. Calcular el número de meses que requeriré para pagar un préstamo de $80,000 auna tasa nominal capitalizable mensualmente de 68% si cada uno de los pagos es de$4,800 y se ajusta el primer pago para que sea ligeramente menor. Indicar el importe deeste primer pago.

Por progresión geométrica

m

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

++

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

+

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=

12

68.1

800,4.....

12

68.1

800,4

12

68.1

800,4000,8021

( ) ( ) ( )m0566666667.1800,4

.....056666667.1

800,4

056666667.1

800,4000,80

21 +++=

94637224.)0566666667.1(

1=== r a

94637224.1

)094637224.1(94637224.

1

)1(

−

−=

−

−=

mm

r

r aS

C=SR

)800,4(94637224.01

)94637224.01(94637224.0000,80

−

−=

m

53438470982.5294637224.0ln

055555556.0ln

055555556.094637224.

94637224.1944444444.0

===

=

−=

m

m

m

¿Podrías realizar este mismo ejercicio, pero ahora con otra ecuación? ¡Inténtalo!

Datos:C= $80,000m=?i-nom = .68k=0

R= $4,800


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34

ANUALIDADES DIFERIDAS Y PERPETUIDADES

Conceptos Básicos

ANUALIDAD DIFERIDA: Es similar a las anualidades ordinarias o anticipadas, sin embargo,

el primer pago (abono, ahorro, etc.) está desfasado por lo menos uno o más periodos

del “primero”, es decir m1 ; hacia el monto, llamados periodos de gracia.

PERPETUIDAD: Es aquella anualidad con un número infinito de pagos (abonos, ahorros,

etc.), pero esto pareciera imposible; y se maneja como una abstracción matemática.

Un ejemplo clásico es cuando se pagan jubilaciones o pensiones.

CRITERIOS DEL CAPITULO

La fórmula para resolver anualidades diferidas es:])1(1[

)1( 1

m

per

j

per per

i

iCi R

−

−

+−

+= donde

“j” son los pagos diferidos.

En este capitulo se pueden utilizar varios métodos alternativos:

I. Si contamos con CAPITAL en nuestros datos, y se utiliza el MFFI (donde C=SR, a=r;

etc.), ahora en el cálculo de “a”, el valor del exponente se referirá a los periodos de

C

0

1 2 3 m-1 m

R

M

R R R R

C

0

1 2 3 m = ∞

RR R R


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35

gracia, y en el cálculo de “r” el valor del exponente se referirá al primer término de

capitalización, es decir 1.

II. Si contamos con CAPITAL en nuestros datos, y se utiliza el MFFF (donde M=SR, a=1;

etc.), primero se tendrá que encontrar el valor del MONTO, recordando que los

periodos de capitalización cubren los pagos “R” y los periodos “j”. De esta manera,

en el cálculo de “r” el valor del exponente se referirá al primer periodo de

capitalización.

III. Si contamos con MONTO en nuestros datos y utilizamos el MFFF (donde M=SR, a ≠r;

etc. El cálculo de “a” y “r” se hará siguiendo los pasos del párrafo I).

Nota 46: para el número de periodos de capitalización debemos de tomar en cuenta si la anualidad es Anticipada uOrdinaria. Además el cálculo de “S” se hará siguiendo los criterios del capitulo anterior, sin tomar en consideración los meses degracia.

IV. La Perpetuidad Sólo podrá realizarse o resolverse por el MFFI en progresiones. ¿Por

qué? Pero si utilizas la ecuación, sería:11 j per per iCi R )(

Comencemos de nueva cuenta con los ejercicios…

EJERCICIOS

1.-Se otorga un crédito por $178,000 a pagar en 150 mensualidades iguales y a una tasade interés del 30% nominal capitalizable mensualmente. Sin embargo, se otorgan mesesde gracia. El primer pago se pacta para realizarse hasta el inicio del octavo mes.Calcular el importe de cada mensualidad.

Fórmula:

( )21.423,5

])025.1(1[

)025.1()025(.000,178

])1(1[

)1(150

181

=+−

+=

+−

+=

−

−

−

−

m

per

j

per per

i

iCi R

a) Método de Progresión FFI, C =SR con a ≠ r

82074657.0)025.1(

1

)1(

18

==+

= j

per ia

975609756.0)025.1(

1

)1(

11 ==

+=

m

per ir

Datos:C = 178,000m = 150inom = 30% = iper = .025

j = 8 ; R = ?“Anualidad Anticipada”

Donde j = son los periodos de gracia

Donde m = al primertérmino de la progresión


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36

si r


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37

4.- Un préstamo por $112,000 fue otorgado con meses de gracia. Se paga mediante 30mensualidades de aproximadamente $8,500. La tasa de interés es de 53% nominalcapitalizable mensualmente. Determinar cuantos meses transcurren antes del primerpago y calcular el importe de cada pago ajustado a cuna cantidad ligeramente menora $8,500.

])1(1[

)1( 1

m

per

j

per per

i

iCi R

−

−

+−

+=

6.....1338519.61)6041.01ln(

)6041.0(000,112

])6041.01(1[500,8

ln1

)1ln(

])1(1[

ln

30

==++

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ +−

=++

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧ +−

=

−−

per

per

m

per

i

Ci

i R

j

97.450,8])6041.1(1[

])6041.1)][(6041.0(000,112[

])1(1[

)1(30

161

=−

=+−

+=

−

−

−

−

m

per

j

per per

i

iCi R

Análisis:

A diferencia del capitulo anterior (caso del problema 8E15) en donde una “m”

mayor el valor de “R” disminuye (relación inversa), aquí una “ j ” menor, el valor de “R”

también disminuye (relación directa).

Lo anterior es aplicable cuando se quieren cambiar todas y cada una de lasrentas, pero el análisis sigue siendo el mismo para pagos o “R” individuales.

Tarea 4. Anualidades Ordinarias y Anticipadas

1. Si Pedro Rodríguez obtiene un préstamo por la cantidad de $ 654,000 a pagar en 193 mensualidades con una tasade interés nominal capitalizable mensualmente de 19%, ¿de cuanto será cada pago que realice?

2. Si Ud. quiere ahorrar $226,000 en 180 meses para comprar una casa en el fraccionamiento Horizontes del Sur,tomando en cuenta una tasa de interés capitalizable mensualmente del 5%, además el último ahorro se efectúa eldía de la compra. ¿De cuanto será cada ahorro?

3. Susana Hernández tiene inicialmente $ 70,000 en el banco y hoy, 36 meses después tiene $ 147,500 y este dinerolo reunió con 24 ahorros mensuales iguales posteriores, la tasa es del 14% semestral capitalizable. El últimoahorro lo acumuló en el mes 24. Calcular cuanto ahorró cada mes.

4. El sueldo de un ejecutivo que trabaja en una empresa Maquiladora le permite pagar un crédito (para la compra deun automóvil del año), cuyo importe máximo es de $ 13,300 mensuales y la tasa de interés capitalizable

Datos:C = 112,000m = 30 mesesR =8,500 aprox. mens.inom = 53% c/mes

j =? ; R=?


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38

mensualmente se encuentra al 22.5%, además dicho crédito debe de pagarse en 60 mensualidades congeladas.¿Cuál es la cantidad de dinero que puede pedir prestado?

5. Una casa tiene un precio de contado de $ 584,936.75 y su estructura de pago es con mensualidades iguales de $18,400 a una tasa efectiva del 36%. El número de mensualidades son 42. ¿Cuál es el importe del enganche?

6. Una familia quiere ahorrar $ 20,000 en 12 meses para poder viajar a Mazatlán (en un paquete turístico), tomando

en cuenta que existe una tasa de interés del 7.4% mensual en el banco donde ellos van a depositar su dinero. Elúltimo ahorro de esta familia lo hacen un mes antes de que adquieren dicho paquete. ¿De cuanto será cada ahorro para que la familia pueda ahorrar los $ 20,000?

7. Smart quiere reunir $ 56´000,000 en 48 meses para la apertura de otra tienda en la localidad. Suponga que eldinero se reúne un mes después del último ahorro, y se considera una tasa de interés efectiva del 8.7%. Estaempresa ¿cuanto debiera ahorrar mensualmente, si los 48 ahorros son iguales?

8. Del ejercicio anterior, analice cuál sería la mejor opción si en vez de tomar una tasa de 8.7% anual se tomase unatasa del 19.3% semestral.

9. ¿En cuanto tiempo se acumulan $10,000 en una cuenta bancaria que paga intereses del 27.04% nominalcapitalizable semanalmente, si se depositan $300 al inicio de cada semana?

10. ¿Cuántos pagos mensuales de $2,000 se necesitan para acumular $25,000 a una tasa de interés nominal mensual

del 30.6%? si se empieza hoy mismo

Tarea 5. Anualidades Diferidas y Perpetuidades

11. Raúl Ramírez accesa a un crédito bancario por la cantidad de $ 35,000 para la compra de muebles, y debe pagar ladeuda en 24 meses con una tasa de interés nominal capitalizable mensualmente del 23%. Como esta persona tiene

buen crédito, la institución bancaria le otorga algunos meses de gracia, lo cuál implica que el primer pago arealizar; lo haga al inicio del noveno mes. ¿Cuál sería el importe de cada mensualidad que tendría que pagar el

joven?

12. Un préstamo por $ 305,000 se otorga para la compra de una maquina industrial, dicho préstamo se hace con mesesde gracia y la deuda se debe pagar por medio de 36 mensualidades de aproximadamente $ 16,700; donde la tasa deinterés nominal capitalizable mensualmente es de 42%. Determine cuantos meses transcurren antes del primer

pago.

13. Del ejercicio anterior, encuentre el importe de cada pago ajustado a una cantidad ligeramente menor.

14. Al Ing. Morales le entregan cierta cantidad de dinero para que realice una ampliación (cuarto con baño y balcón)en la casa de la Sra. Pérez , sin embargo no se le da todo el dinero en una emisión, si no en 6 mensualidades de$9,000 cada una. El Ingeniero cobra sus honorarios en 18 mensualidades. La tasa de interés nominal capitalizablemensualmente es de 7.5% para todos los flujos de dinero. Calcular el importe de cada pago a efectuar.

15. La Srta. Hinojos tiene una deuda que debe de pagar en 48 mensualidades iguales a partir del octavo mes, con unatasa del 43% nominal capitalizable mensualmente. Sin embargo, la Srta. Hinojos prefiere reestructurar la deuda ycambiarla para que pueda empezar a pagar en el doceavo mes. Encuentre en que porcentaje se incrementa sumensualidad, dado que pidió una reestructuración en para sus pagos.

16. La fundación amigos de los desamparados, ofrece pagar $7,500 mensuales a una casa de asistencia paraindigentes, por lo que dure dicha organización. ¿Cuál es el capital que ofrece dicha fundación?, si el primer pago

lo realiza dentro de 12 meses y la tasa efectiva es del 17%.

17. El joven Martínez desea efectuar 250 ahorros mensuales iguales de $ 800, para el día que se retire poder acceder aun gasto mensual constante. Si la tasa nominal capitalizable mensualmente es de 17%. ¿Cuanto podría recibirmensualmente, si el primer gasto que efectúe lo hace 3 meses después de su último ahorro?


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39

UNIDAD III

ANUALIDADES CRECIENTES EN FORMA GEOMÉTRICA.

Es importante señalar que cuando se llega a esta parte del curso, el alumnodeberá haber dominado los temas de Anualidades previos, ya que ésta unidad es sólouna continuación con cuestiones especiales y/o particulares.

Conceptos Básicos

Para abordar las anualidades Crecientes en Forma Geométrica, se deben

considerar los criterios o reglas del capítulo 8. Sin embargo, para este tipo de

anualidades sólo se abordará el Método de Fecha Focal Inicial (MFFI)

adicionando el elemento inherente a una Anua l ida d c rec ien te . Una anualidad

creciente en forma geométrica (también se le conoce como gradiente

geométrico), es cuando cada pago a partir del segundo se va incrementando

por medio de un factor de crecimiento “v ”.

CRITERIOS DEL CAPÍTULO

• Para Anualidades Crecientes En Forma Geométrica Anticipada (MFFI): El

valor de “a” será igual a uno (a=1).

• El cálculo de “r”, en el numerador se le agrega o adiciona a una unidad el

valor de los incrementos de la anualidad creciente; en el denominador a

una unidad se le agrega o adiciona la tasa periódica. Dicho denominador,

se eleva a una potencia “x” en función del número de periodos contenidos

dentro de un plazo más largo, en la cual la anualidad creciente no aumenta

su valor (ver ejercicio 12).

• Para Anualidades Crecientes En Forma Geométrica Ordinaria (MFFI): El valor

de “a”, en el numerador se coloca un 1 (si estamos en el periodo cero), y en

ocasiones especiales o raras, al 1 se le agrega o adiciona el valor de los

incrementos de la anualidad creciente, elevando todo al periodo “x” en

cuestión. En el denominador será 1+ per i (ejercicio 3).

• Para calcular “r” se siguen los pasos iguales al párrafo de arriba.


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40

• La Fórmula de Una Perpetuidad Creciente es: vi

RC

−= , donde .vi >

EJERCICIOS1.- Me otorgan un crédito de $100,000 a pagar en 150 mensualidades pero donde cadapago se incrementa 3.5% con respecto al mes anterior. La tasa de interés es de 30%nominal capitalizable mensualmente. ¿De cuanto será el primer pago?

a) Método de Fecha Focal Inicial:

150

149

3

2

2 )025.01(

)035.1(.....................

)025.01(

)035.1(

)025.01(

)035.1(

)025.01(000,100

+++

++

++

+=

R R R R

Por lo tanto;

00975609.1)025.01(

035.01975609756.0

)025.01(

111

=+

+==

+= r a

015166006.3291009756098.1

)1009756098.1(975609756.0

1

)1( 150=

−

−=

−

−=

r

r aS

m

Si C = SR

94.303

015166006.329000,100

=

=

R

R

Datos: C= 100,000

m=150

P.G.=3.5%

Inom= 30%

R=?

100,000

.......................................................0

1 2

R

R(1.035)

R(1.035)149

En “r” esdonde seasigna “v”


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41

2. Si suponemos que una empresa va a obtener un primer dividendo de $15,000exactamente dentro de un año y que cada año obtendrá al menos un dividendo que es19% superior al del año anterior. ¿Cuál será el valor presente de todos los dividendosdel futuro con una tasa de interés efectiva del 20%?

MFFI

Fórmula de Perpetuidad C rec iente

3. Respecto al ejercicio anterior, ¿Cuál será el valor presente de dividendos dentro de 2años, es decir, exactamente después de pagarse el segundo dividendo?.

4.- Si una acción corresponde al valor presente de todos los dividendos futuros previstos

y se espera que el primer dividendo a ocurrir dentro de un año sea $1,400 por cadaacción y crezca al menos 62% anualmente y la tasa en el mercado está al 63% y seespera que permanezca así por muchos años, ¿ cual es el precio de la acción al día dehoy?.

5. En el ejercicio anterior, ¿cuál será el precio de la acción dentro de 7 años, si lascondiciones del mercado y la expectativa de dividendos de la empresa siguen siendolas mismas?

Monto de interés compuesto

21.521,099'4)62.01(000,140)1( 7 =+=+= m per iC M

Datos:R = 15,000

P.G.=19%

Inom= 20%

C=?

Datos:C = 1’500,000

P. G.= =ef i 19%*

*Rendimiento del capitalM en 2 años =?

Datos:R = 1,400

P.G.=62%

ief = 63%

C=?


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42

Por Perpetuidad C rec iente

6. Un crédito de $100,000 se otorga a pagar en 120 meses a una tasa nominalcapitalizable mensualmente de 38% y con un crecimiento en cada pago del 2.5%.Encontrar el importe del primer pago a través de la calculadora financiera.

Método de Fecha Foca l Inicial

993537964.06031.01

025.1969305331.0

6031.01

1=

+==

+= r a

098723191.81991666667.01

)993537964.1(969305331.0

1

)1( 120=

−

−=

−

−=

r

r aS

m

07.233,1.....0987.81/000,100 ==∴= RSRC

7. Repetir el ejercicio anterior pero con una tasas de crecimiento en cada pago de 4%.

8. Quiero ahorrar $120,000 en 50 meses a una tasa mensual de 2.5% y con un

crecimiento en cada ahorro del 1.5% donde mi último ahorro sea un mes antes delograr mi objetivo. Encontrar el importe del primer ahorro a través de calculadorafinanciera.

MFFI

06.913,34)025.1(

000,12050

==C

Por ser anualidad anticipada (consultar criterios y teoría)

9. Una deuda de $444,000 con una tasa de 58.5% nominal capitalizable mensualmentese amortiza en 60 pagos mensuales que se incrementan un 22% cada semestre.Calcular el importe del primer pago.

Datos:M = 120,000

P.G.=1.5%

i per = 2.5%

m=50

R=?


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43

Primera parte: Solución del primer grupo de todos losgrupos. (Anualidad Ordinaria-Cap. 8 MFFI)

953516091.0)04875.1(

1

=== ar a

09645413.51

)1( 6=

−

−=

r

r aS

RSRC 096045413.561 ==∴ −

Segunda parte: Solución de todos los grupos.

(Anualidad creciente en forma geométricaanticipada.

916912699.0)04875.1(

22.1;1

6 === r a

980253454.61

)1( 10=

−

−=

r

r aS

84.481,12

)0960454137.5(980253454.6000,444

==⇒=

∴ R RSRC Si

Datos:C = 444,000

P.G.=22%

i per = 58.5%

mgrupo =6meses

mglobal – grupo=10 sem

R=?


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44

ANUALIDADES CON MULTIPLES CONDICIONES

Conceptos Básicos

A M C: Serie de flujos periódicos de dinero dentro de una transacción, la

cuál sufre al menos una modificación en el tiempo, debido a un cambio en la

tasa de interés, el importe de los pagos o cualesquier otro factor que afecte a la

anualidad.

CRITERIOS DEL CAPÍTULO

Este tipo de anualidades se soluciona por medio de las herramientas de loscapítulos anteriores.

Ecuación Básica [ ] m per m per per

i M ii

RC −− +++−= )1()1(1 y para encontrar los

pagos, uno de los procedimientos es por regla de tres; la otra es por progresión.

Ejercicios

1.- Hacer una tabla de amortización con pagos iguales correspondiente a un préstamode $390,000 a 24 meses, considerando que desde el inicio se pacto una tasa de interésnominal capitalizable mensualmente de 6.5% para las primeras 12 meses y de 8.75%

para los últimos 12 meses.

600541.0)12

65.0( == per i

6007291.0)12

0875.0( == per i

[ ] m

per

per

m

per per iC

i

iki R M )1(

1)1()1(Si +=

−+++ y

como la anualidad es ordinaria.......... entonces:

[ ] m

per

per

m

per iC

i

i R M )1(

1)1(+=

−++ , por lo tanto........

Datos:C = 390,000m = 24 mesesinom1 = 6.5%m1 = 12 mesesinom 2 = 8.75%m2 = 12 meses


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45

C ii

i R

i

M m

per per

m

per

m

per

=+

−++

+ )1(

1)1(

)1(

[ ]C

i

i Ri M

C i

i R

i

Ri M

C ii

R

i

R

i

M

C ii

R

ii

i R

i

M

per

m

per m

per

per

m

per

per

m

per

m

per per per per

m

per per

m

per per

m per

per

=+−

++

=+

−++

=+

−++

=+

−+

+++

−

−

−

−

)1(1)1(

)1()1(

)1()1(

)1()1(

)1(

)1(

Entonces: [ ] m per m per per

i M ii

RC −− +++−= )1()1(1

• Cálculo del Valor Presente de las últimas 12 flechas al mes 12.

[ ] 45008618.110)1(11 1222

=++−= − per per

ii

C

• Cálculo a Valor presente de las 12 flechas al mes cero (0) en forma conjunta con11.45008648:

[ ] 319351305.22)1(45008618.11)1(11 1211211

=+++−= −− per per per

iii

C

• Por regla de tres:

24 flechas de $1.00 = Valor Presente de 22.319351305

24 flechas de $ x = Valor Presente de $390,000.00

Entonces: x = 17,473.63

2.- Se invierte en un banco la cantidad de 2,567.38 durante 8 meses a una tasa del 4%mensual, después la tasa sufre una disminución de 3 puntos porcentualesmanteniéndose así por algún tiempo. Finalmente la tasa sube 4 puntos porcentuales y sesitúa en 5% mensual durante un año y tres meses. Es así como después de estasvariaciones se obtiene un monto final de 7,500. ¿Cuánto tiempo duró toda la inversión?


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46

Total: 3+15+8= 26 meses

3.- Pedro podría pagar cada mes 2,500 por un préstamo, se estima que la tasa de interésserá del 5% mensual por trimestre y luego baje al 4% mensual por los siguientes 6 meses.Cual es la suma máxima a la que puede acceder bajo estas condiciones.

4.-Un ganadero compra un terreno en 1’000,000 y lo pretende pagar en un lustro conpagos mensuales iguales y con un enganche igual a 15 mensualidades. Adicionalmentese estipulan pagos iguales semestrales equivalentes a dos pagos mensuales. Determinarel importe para cada pago mensual si la tasa de interés es de 1.8% mensual.

Capital de rentas mensuales:

Capital de rentas semestrales

Equivalencia de capital de rentas semestrales a capital de rentas mensuales:

M C i

C M

i

per

m

per

m

= + = + =

=+

=+

=

( ) , . ( . ) , .

( )

,

( .

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