Finanzmathematik

Bewertung von Optionen

Bernhard Kiniger, Christoph Otto, Andreas Reiter,

Daniela Saxenhuber, Christina Stadlmayr, Nora Wiesauer

Optionen

Option: Recht, eine Aktie zu einem vorher ausgemachten Preis zu kaufen bzw. zu verkaufen

Eine Option ist ein Recht, keine Pflicht: Optionskäufer muss nicht ausüben

Optionen bringen Vorteile man muss dafür bezahlen

25 50 75 100 125 150 175 200

50

100

150

200

250

300

Call-Option

• S0 Kurswert

• K Ausübungspreis

• T Laufzeit

Ausübungspreis K

Payoff = 0

Payoff = ST - K

25 50 75 100 125 150 175 200

50

100

150

200

250

300

Ausübungspreis K

Payoff = 0

Barriere B

Up-And-Out-Barrier-Option

Payoff = 0

Payoff = ST - K

Optionstypen

Call: Recht, eine Aktie zu kaufen Put: Recht, eine Aktie zu verkaufen Up-and-out Barriere: Aktienkurs darf die

Barriere nicht überschreiten Digitale Option …

Glücksspiel

Würfel: Auszahlung = Augenzahl

Preis? Erwartete Auszahlung:

11 2 3 4 5 6 3.5

6

Ein lehrreiches Beispiel

S0 =1p=2/3

1-p=1/3

Su=2

Sd=1/2

Preisfestlegung wie beim Würfelbeispiel

Preis der Option: 0,67

Payoff: 1

Payoff: 0

Call-Option mit K=1

Strategie:

1. Verkaufen Option um 0,6

2. Kaufen Aktien um 0,6

Fall up: Call kostet 1, Aktien bringen 1,2

Fall down: Call kostet 0, Aktien bringen 0,3

Ein lehrreiches Beispiel

S0 =1p=2/3

1-p=1/3

Su=2

Sd=1/2

Payoff: 1

Payoff: 0

Gewinn 0,2

Gewinn 0,3

Risikoloser, sicherer Gewinn ist nicht möglich

Der faire Preis einer Option lässt sich durch dieses Prinzip bestimmen

No - Arbitrage - Prinzip

No - Arbitrage - Prinzip

Fairer Preis einer Option: abgezinster, zu erwartender Gewinn bzgl. der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit Q

Put- und Call-Preis lassen sich durch einander ausdrücken

]payoff[0 QTr Eep

Friktionsloser Markt

Keine Spesen Fixer Zinssatz Können Aktien jederzeit

kaufen/verkaufen Einzelhändler beeinflussen Kurs nicht Short-Selling unbegrenzt möglich

(=Kredit in Aktien)

Aktienkurs-Parameter

Rendite: prozentuelle Entwicklung des Aktienkurses

Trend oder Drift: Durchschnittliche Entwicklung einer Aktie

Volatilität: Maß für Kursschwankung

Binomialbaum

up

down

1

3

3

1

q

1-q

S0

00

(1 )N k k

NN r T N k k u d

k

Nc e q q f

k

payoff

fuuu

fuud

fudd

fddd

#WegeKurs

S0 u3

S0 u2 d

S0 u d2

S0 d3

Geometrisch normalverteilte Irrfahrt

Anhand des historischen Kurses wird ein möglicher neuer Kurse simuliert

Im Gegensatz zum Modell des Binomischen Baumes sind alle Endkurse möglich

ttm

ttt eSS

Geometrisch normalverteilte Irrfahrt

80 100 120 140 160 180 200

180

200

220

240

260

280

300

N

i

iTr SN

ec1

)(0 )(payoff

1