finora hai usato i numeri naturali (n) per indicare le quantità ed hai operato con essi risolvendo...
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Finora hai usato i numeri naturali (N) per indicare le quantità ed hai operato con essi risolvendo le operazioni aritmetiche. Ci sono situazioni però in cui i numeri naturali non sono adatti per esprimere una certa quantità. In questi casi ci vogliono strumenti più potenti, cioè numeri con un aspetto nuovo: sono le frazioni.
Vediamo di cosa si tratta.
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Sei andato in pizzeria con gli amici ma non hai molta fame e delle 4 fette in cui hai suddiviso la tua pizza ne mangi solo 3. Puoi esprimere tutto questo dicendo che hai mangiato i
tre quarti della pizza.
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Due numeri così scritti formano una frazione e si leggono " tre quarti " oppure " tre fratto quattro ".
In una frazione si distinguono:
3 — 4
NUMERATORE: indica quante parti dell’intero si considerano
LINEA DI FRAZIONE: corrisponde all’operazione di divisione
DENOMINATORE: indica quante parti uguali è stato diviso l’intero
3 —
4
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UNITA’ FRAZIONARIAConsidera una torta e immagina di dividerla in 4 parti uguali; ciascuna parte è un quarto della torta e per indicarlo si scrive così
1—4
Considera un rettangolo e immagina di dividerlo in 5 parti uguali; ciascuna parte è un quinto del rettangolo e per indicarlo si scrive così
1—5
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Considera un quadrato e immagina di dividerlo in 9 parti uguali; ciascuna parte è un nono del rettangolo e per indicarlo si scrive così
1—9
Chiamiamo
unità frazionarie e diamo la definizione
1—4
1—5
1—9
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L‘ "OPERATORE" FRAZIONE Pensa alla torta di prima e immagina di volerne mangiare 3 fette
Pensa al rettangolo di prima e immagina di volerne considerare 2 parti
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Pensa al quadrato di prima e immagina di volerne considerare 7 parti
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Una frazione agisce (opera) anche sui numeri:
Calcoliamo di 12
Applicare a 12 vuol dire dividere 12 in tre parti uguali e considerare una
sola di queste parti, quindi
di 12 significa calcolare 12:3x1
ESEMPIO
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1
3X 12 = 4
Divido i 12 cioccolatini in tre gruppi uguali , ogni gruppo contiene 4 cioccolatini
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IN QUESTA UNITA' DIDATTICA IMPARI:
FRAZIONI PROPRIE
FRAZIONI IMPROPRIE E APPARENTI
FRAZIONI COMPLEMENTARI
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Proviamo a considerare i 3/5 di una cioccolata Per fare ciò dobbiamo dividere la cioccolata in 5 PARTI uguali e considerarne 3.
Il risultato che si ottiene è una grandezza minore dell'intera cioccolata.Tutte le frazioni di questo tipo, che rappresentano una parte più piccola dell'intero, si chiamano "frazioni proprie".Esse hanno il numeratore minore del denominatore.
FRAZIONI PROPRIE
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FRAZIONI IMPROPRIE
Proviamo a considerare i 5/2 di una cioccolata.
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Il risultato che si ottiene è una grandezza maggiore di un'intera cioccolata: in questo caso sono state considerate due cioccolate e mezza.Tutte le frazioni di questo tipo, che rappresentano una parte più grande, si chiamano "frazioni improprie".Esse hanno il numeratore maggiore ma non multiplo del denominatore
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FRAZIONI APPARENTI
Proviamo a considerare i 6/2 di una cioccolata.
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Una frazione si dice apparente se, operando con essa su una grandezza, si ottiene una grandezza omogenea congruente o multipla di quella data. Una frazione apparente presenta il numeratore uguale o multiplo del denominatore.
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DATA LA FRAZIONE
N D
N<D ? FRAZIONE PROPRIA
si
no
N=nxD? FRAZIONE APPARENTE
si
no
FRAZIONE IMPROPRIA
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FRAZIONI COMPLEMETARE
Due frazioni sono complementari quando insieme formano l'intero, cioè una completa l'altra.
1
4
3
4
5
8
3
8
8
8
4
4= ++ =
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CONFRONTO DI FRAZIONI
Se due frazioni hanno lo stesso denominatore è maggiore quella con numeratore maggiore
4
5
3
5>
Se due frazioni hanno lo stesso numeratore è maggiore quella con denominatore minore
5
6
5
8>
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Fra una frazione propria ed una frazione impropria è maggiore la frazione impropria
4
5
6
5<
4
5
6
5
Se le due frazioni non hanno lo stesso denominatore o lo stesso numeratore o non sono una propria e l’altra impropria si procede trovando frazioni equivalenti a quelle date attraverso il m.c.m. dei denominatori e l’applicazione della proprietà invariantiva (numero razionale e classi di equivalenza)
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Definizione (confronto in Qa)Dati due numeri razionali a = [m/n] e b = [p/q], si dice che a<b se e solo se mq<np.Si può dimostrare che la definizione è corretta, cioè che l'esito del confronto non dipende dalle particolari due frazioni che si sono scelte per rappresentare a, b.
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FRAZIONI EQUIVALENTI E LORO APPLICAZIONI
Frazioni riducibili e irriducibili
Semplificazione di una frazione: metodi
Riduzione di una frazione ai minimi termini
Trasformazione di una frazione in altra equivalente di denominatore assegnato
Riduzione di più frazioni al minimo comune denominatore
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FRAZIONI RIDUCIBILI E FRAZIONI IRRIDUCIBILI
Consideriamo la frazione 6
8
proviamo ad applicare ad essi la proprietà invariantiva dividendo i loro termini per uno stesso numero:
6
8=
6:2
8:2=
3
4
possiamo applicarla perchè 8 e 10 ammettono come divisore comune 2.
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3
8Consideriamo ora la frazione
non possiamo applicare la proprietà invariantiva perchè 3 ed 8 non ammettono divisori comuni, essendo numeri primi tra loro.
Diremo che è una frazione RIDUCIBILE.
Diremo che è una frazione IRRIDUCIBILE.3
8
6
8
Una frazione si dice riducibile se numeratore e denominatore hanno divisori comuni. Una frazione si dice irriducibile se numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, cioè non hanno divisori comuni.