fisica 02 - equilíbrio e elasticidade
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Física 2Equilíbrio e Elasticidade
Prof. Dr. Walmor Cardoso GodoiDepartamento de Física - DAFIS
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPRURL: http://dafis.ct.utfpr.edu.br/~godoi
E-mail: [email protected]
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Agenda
• Equilíbrio de corpos rígidos• Elasticidade dos objetos não rígidos
Dubai - 829,84 m Ed. Liberdade, Rio de JaneiroDesabou no Centro da cidade, deixando 22 mortos em 25 de janeiro de 2012
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Introdução
“Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo.” Arquimedes (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.)
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N
θ
mgc
osθ
famgsenθ
Qual é o ângulo máximo para o bloco não se deslocar?a) Para µ=0,57 (aço sobre aço sem lubrificação)b) Para µ=1,73 (silicone sobre plástico)
Condição
fa=mgsenθµmgcosθ=mgsenθ
µ=tanθ (máximo)
Portanto
θ=29,7 , µ=0,57θ=60,0 , µ=1,73
Correto?
Bloco em um plano inclinado
P
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Bloco em um plano inclinado
N
θ = 60o
CM
𝜏
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Equilíbrio
instável estável indiferente
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Equilíbrio
Centro de massa
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Requisitos para o Equilíbrio
• Um corpo rígido está em equilíbrio se
�⃗�=𝑐𝑡𝑒 �⃗�=𝑐𝑡𝑒
�⃗�=0 �⃗�=0
Equilíbrio estático
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Condições de Equilíbrio
𝑑𝑃𝑑𝑡
=∑ �⃗�𝑖 ,𝑒𝑥𝑡= �⃗�𝑟𝑒𝑠Translaçãodo CM
�⃗� 𝑟𝑒𝑠=0∑ �⃗�𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=0Equilíbrio das forças
Rotaçãodo CM
𝑑 �⃗�𝑑𝑡
=∑ �⃗�𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=�⃗�𝑟𝑒𝑠
𝜏𝑟𝑒𝑠=0Equilíbrio dos torques ∑𝜏 𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=0
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Condições de Equilíbrio
Rotaçãodo CM
𝑑 �⃗�𝑑𝑡
=∑ �⃗�𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=�⃗�𝑟𝑒𝑠
𝜏𝑟𝑒𝑠=0Equilíbrio dos torques ∑𝜏 𝑖 ,𝑒𝑥𝑡=0
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Condições de Equilíbrio
Forças coplanares
𝐹 𝑟𝑒𝑠 , 𝑥=0 𝐹 𝑟𝑒𝑠 , 𝑦=0 𝜏𝑟𝑒𝑠 , 𝑧=0
* Outro requisito é necessário para o equilíbrio estático: O momento linear do corpo deve ser nulo.
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Teste 1
• Em que condições a barra está em equilíbrio?
x2
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O Centro de GravidadeA age efetivamente sobre um único ponto de um corpo, denominado centro de gravidade CG.
diminui com a altitude-> desprezível -> CM=CG
Precisamos calcular o torque causado por
Petronas Towers, Malásia, g é 0,014% maior na base que no topo (452 m)CG está 2 cm abaixo do CM
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O Centro de Gravidade
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Lembrando...
• Coordenadas do CM
𝑥𝑐𝑚=𝑚1 𝑥1+𝑚2𝑥2+𝑚3𝑥3+…
𝑚1+𝑚2+𝑚3+…=∑𝑚𝑖𝑥 𝑖∑𝑚𝑖
𝑦 𝑐𝑚=𝑚1𝑦 1+𝑚2 𝑦2+𝑚3 𝑦3+…
𝑚1+𝑚2+𝑚3+…=∑𝑚𝑖 𝑦 𝑖∑𝑚𝑖
𝑧 𝑐𝑚=𝑚1 𝑧1+𝑚2𝑧 2+𝑚3𝑧 3+…
𝑚1+𝑚2+𝑚3+…=∑𝑚𝑖 𝑧𝑖∑𝑚𝑖
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𝑟𝑐𝑚=𝑚1 �⃗�1+𝑚2 �⃗�2+𝑚3𝑟3+…
𝑚1+𝑚2+𝑚3+…=∑𝑚𝑖𝑟 𝑖∑𝑚𝑖
Coordenadas do vetor posição
𝜏= �⃗�𝐶𝑀×𝑀�⃗�=𝑟 𝐶𝑀× �⃗�𝑔
é igual para todos os elementos de um corpo
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• Torre de Pisah=55 m, d = 7 m, x = 4,5 m, θ=4,68o
Quais seriam os valores de x e θ para a torre ficar prestes a cair?
𝑥 ´=𝑟𝑎𝑖𝑜𝑑𝑎𝑏𝑎𝑠𝑒Para ficar prestes a cair
deve aumentar 3,5m - 2,25m=1,25 m
deve aumentar 2,5 m
x
hCG
x’
𝑥 ´=𝑥2=2,25𝑚
𝜃=atan(𝑥h )=atan( 755 )≅ 7,3𝑜
θ
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uso de contrapesos de chumbo
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Teste 2
a) Nãob) No ponto de aplicação de F1c) 45 N
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Exemplo 1
• Na fig. abaixo uma viga homogênea, de comprimento L e massa m=1,8 kg, está apoiada sobre duas balanças. Um bloco homogêneo, de massa M= 2,7 kg, está apoiado na viga, com o centro a uma distância L/4 da extremidade esquerda da viga. Quais são as leituras das balanças?
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�⃗� 𝑟𝑒𝑠=0
𝜏𝑟𝑒𝑠=0
eixo de rotação
-
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Generalizando o problema da barra e balança ...
xx
�⃗�𝐷�⃗�𝐸
𝑚1 �⃗�𝑚2 �⃗�
d x
L
pivô
𝑁𝐸=(𝑚1+𝑚2 )𝑔−𝑁𝐷
𝑁𝐷=
𝑔[𝑚1( 𝐿2 −𝑑)+𝑚2𝑥 ]𝐿−𝑑
Equilíbrio (limite normal D =0)
=0
Se d=0
𝑁𝐷=𝑔𝐿 (𝑚1
𝐿2
+𝑚2𝑥)=
𝑑=𝐿4→ 𝑥=−
𝑚1
𝑚2
𝐿4
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Exemplo 2
Resposta: 30 kg
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Exemplo 3Escada de comprimento LQual o ângulo máximo permitido?
piso com atrito
paredesem atrito
p=mg
n1fa=µ.n1
n2
pivô
x
y
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P = 50 N, Ps = 20 N, Fbíceps = ?
a = 5 cm, b = 15 cm, c = 30 cm
Exemplo 4
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#experimente
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Estruturas indeterminadas
• 3 equações• Supomos
corpos rígidos
• Solução: Considerar deformações- Elasticidade
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Propriedades Elásticas
• Propriedades mecânicas
Imperfeições nos sólidos
R
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Átomo de uma barra de ouro
Trabalho necessário para arrancar 1 átomo de ouroW= 3,75 eV -> (1eV = 1,6 x 10-19J)
Nanotecnologia -> Para arrancar um único átomo é necessário uma distância d= 4x10-10 m = 0,4 nm
1. Qual é a força necessária para arrancar um único átomo? Resposta: 1,5 nN
2. Se uma seção transversal da barra de ouro possui 1,6 x 1015 átomos/cm2, qual é a força necessária para arrancar átomos de uma seção de 2 cm2?
Resposta 4,8 x 106 N
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Tração e compressão
• Tensão trativa (tração)
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Tensão (stress) e Deformação (strain)
• Máquina de Ensaio
Extensômetro de 9,8 mm x 4,6 mm
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http://dolbow.cee.duke.edu/TENSILE/applet.html
𝑡𝑒𝑛𝑠 ã𝑜=𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑑𝑒𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒×𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 çã𝑜
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Tração e Compressão
𝐹𝐴
=𝐸∆ 𝐿𝐿
onde E é o módulo de Young
tensão
𝐸=𝐹 /𝐴∆ 𝐿 /𝐿
stress
strain
deformação
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Tração e Compressão
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Tensão (stress)
• Tensão de cisalhamento
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Cisalhamento
𝐹𝐴
=𝐺∆𝑥𝐿
onde G é o módulo de cisalhamento
A
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Exemplo 5
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Tensão Hidrostática
𝑝=𝐵∆𝑉𝑉
onde B é o módulo de elasticidade volumétrico
𝐵=∆𝑝∆𝑉 /𝑉
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Produção de teias de aranha - Desafio para a nanotecnologia!
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Exemplo 6
• Uma mesa tem 3 pernas com 1,0000 m de comprimento e uma quarta perna com 1,0005 m (um adicional de d= 0,50 mm). Todas feitas de madeira com área de seção reta de A=1,0 cm2 (E=1,3 x1010N/m)
• Cilindro de aço M=290 kg (massa da mesa muito menor)
• Quais são os módulos das forças que o chão exerce sobre as pernas da mesa?
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Referências
• Halliday & Resnick - Fundamentos de Física, vol. 2, Cap. 12, 9ª edição, editora LTC.
• Sears & Zemanski – Física I, Mecânica, 12ª edição, Pearson, Cap 11, 2008.