Diseno, Implementacion y Control de un

Sistema de Levitacion Magnetica.

Omar Rojas

Tesis de Licenciatura en Matematicas,

Departamento de Matematicas,

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras,

Universidad de Guadalajara

Junio 2004

Indice general

1. Introduccion 2

2. Conceptos Basicos 9

2.1. Definicion de sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Clasificacion de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Sistema de control de lazo abierto y cerrado . . . . . . 10

2.2.2. Sistemas de control analogicos y digitales . . . . . . . . 12

2.2.3. Sistemas de control lineal y no lineal . . . . . . . . . . 12

2.3. Caractersticas de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2. Exactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3. Velocidad de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.4. Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Analisis y diseno del sistema 16

4. Equilibrio del sistema 22

5. Ecuacion de estado 24

1

6. Linealizacion 29

7. Analisis en variables de estado 35

7.1. Ecuacion caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.2. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.4. Funcion de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8. Control 42

8.1. Estabilidad y ubicacion de los valores propios . . . . . . . . . 42

8.2. Tecnica del lugar de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.2.1. Construccion grafica del lugar de las races. . . . . . . . 44

8.2.2. Efectos de adicion de polos y ceros a G0 (s) . . . . . . . 45

8.3. Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

9. Conclusiones 52

A. Conceptos de electricidad 54

B. Diagramas 57

B.1. Diagrama esquematico del levitador magnetico . . . . . . . . . 57

B.2. Diagrama del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

B.3. Diagrama por bloques del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2

Captulo 1

Introduccion

El proposito de este trabajo es hacer una investigacion completa sobre un

sistema de levitacion magnetica; es decir, disenar, implementar y controlar

un dispositivo capaz de mantener suspendido un objeto ferromagnetico sin

contacto con el electroiman.

El interes en el estudio de este sistema nace de sus caractersticas: no

linealidad y alta inestabilidad; es decir, estamos hablando de un sistema

dinamico descrito mediante ecuaciones diferenciales no lineales, mismo que

puede ser estudiado desde la perspectiva de la teora de control.

Este trabajo consiste de diversas etapas: modelacion matematica, simu-

lacion, analisis y linealizacion de la dinamica del sistema, diseno e imple-

mentacion de controladores, ademas de otras herramientas de la teora de

control.

Como su nombre lo sugiere, un sistema de control es un sistema en el

cual alguna cantidad fsica es controlada regulando la energa de entrada [1].

Un sistema es un grupo de componentes fsicos ensamblados para realizar

3

una funcion especfica. El sistema puede ser electrico, mecanico, hidraulico,

neumatico, termico, biomedico o una combinacion de cualesquiera de estos

sistemas. En nuestro caso analizaremos un sistema electromagnetico1. La

cantidad fsica pude ser cualquier variable fsica, tal como la temperatura,

presion, nivel de lquido, voltaje electrico o posicion mecanica. Nosotros uti-

lizaremos variables de entrada y de estado: voltaje, gravedad, corriente y

distancia.

En los primeros tiempos de los sistemas de control, la mayora eran siste-

mas analogicos, relativamente complejos y difciles de disenar y mantener. De

alguna manera, con el desarrollo de la tecnologa digital y los circuitos inte-

grados, el diseno de sistemas de control se hizo mucho mas facil y economico.

En nuestro estudio, utilizaremos herramientas computacionales para la si-

mulacion, como Simulink de Matlab, ademas de Mathematica para algunos

calculos.

Los sistemas de control son parte integrante de la sociedad moderna y sus

numerosas aplicaciones estan alrededor de nosotros: en el servicio de correo

de EUA, para quien se ha disenado un robot que manipula los sacos de la co-

rrespondencia [15]; en modelos probabilsticos de tiempo discreto para evitar

colisiones en el control del trafico aereo [16]; en el control de suspension activa

y pasiva para vehculos [17]; en controladores para manipuladores roboticos

[18]; en los cohetes que se disparan y en los transbordadores espaciales que se

lanzan para ponerlos en orbita terrestre [19]; en los trenes de alta velocidad

1Una cantidad fsica que ha de ser controlada en un sistema dado es usada para etiquetar

al sistema, de ah que llamemos a nuestro sistema, sistema de levitacion electromagnetica,

porque las cantidades a controlar son de tal naturaleza.

4

suspendidos electromagneticamente y electrodinamicamente (EMS y EDS),

acerca de lo cual profundizaremos mas adelante.

No somos los unicos creadores de sistemas controlados automaticamente:

estos sistemas tambien existen en la naturaleza. Dentro de nuestros propios

cuerpos hay numerosos sistemas de control, como el pancreas, que regula la

cantidad de azucar en la sangre; en situaciones de vida o muerte, nuestra

adrenalina aumenta junto con nuestro ritmo cardaco, llevando mas oxgeno

a nuestras celulas; nuestros ojos siguen un objeto en movimiento para man-

tenerlo a la vista; nuestras manos toman un objeto y lo colocan de manera

precisa en un lugar determinado [5].

La teora de control abarca los distintos marcos teoricos utilizados para el

analisis y diseno de sistemas de control. Un sistema de control (controlador)

es un sistema dinamico disenado para interactuar con el sistema a controlar

(planta), de forma tal que podamos lograr un sistema controlado (el resul-

tante de la union de la planta y el controlador) con caractersticas dinamicas

especificas (especificaciones de diseno).

El tema central en esta disciplina es el estudio de la dinamica de sistemas,

entendiendo el termino dinamica como sinonimo de comportamiento. En

ingeniera este concepto de comportamiento se traduce en evolucion en el

tiempo de las variables que describen el estado de un sistema.

En un sistema de control, las caractersticas dinamicas son, la forma como

evoluciona el estado del sistema en el tiempo, y es aqu donde aparece el

concepto de equilibrio. Un sistema puede estar en un estado de equilibrio o

en un estado de transicion. El sistema abandona un estado de equilibrio solo

ante la presencia de acciones externas (perturbaciones) actuantes sobre el; en

5

su ausencia, el sistema permanece estacionario (no cambia). Lo que se busca

en el diseno de un sistema de control, es obtener un sistema controlado, cuyos

estados de equilibrio puedan ser establecidos a voluntad y/o cuyos estados

transitorios evolucionen dentro de ciertos lmites, en cuanto a transiciones en

los valores de las variables y tiempos en los cuales se producen (respuesta

transitoria).

Para dar una descripcion del comportamiento del sistema, se requiere

un modelo matematico, es decir, relaciones matematicas entre las distin-

tas variables y sus variaciones en el tiempo. Dado que el comportamiento

implica evolucion temporal de ciertas variables, todo modelo dinamico invo-

lucrara ecuaciones diferenciales en el tiempo (en otras palabras, ecuaciones

que involucren las magnitudes de las variaciones, que sufren las variables en

el tiempo).

Al hablar de modelo matematico, estamos asumiendo que tratamos con

un conjunto de ecuaciones, que ofrecen una descripcion adecuada, donde in-

tervienen no solamente variables de estado, sino tambien aquellas variables

que cuantifican los factores externos o perturbaciones que provocan cambios

en el estado del sistema. Estos modelos matematicos surgen de la aplicacion

de los principios naturales (fsicos, qumicos, logicos, etc.), que definen el

comportamiento del sistema, o de la observacion experimental. Lo primero

que buscamos al trabajar con un modelo matematico es entender las carac-

tersticas dinamicas de un sistema. El estudio de la dinamica de un sistema

requiere un entendimiento profundo del concepto de derivada temporal y del

estudio de ecuaciones diferenciales.

Desde sus primeros estudios, la levitacion magnetica ha sido aplicada en

6

numerosos sistemas, como por ejemplo, rodamiento sin roce, sistemas mecani-

cos de almacenamiento de energa y sistemas de transporte de alta velocidad.

Existen dos principios de levitacion que sustentan todas estas aplicaciones:

repulsion y atraccion. En la levitacion por repulsion (electrodynamics sus-

pension, EDS), las corrientes inducidas en un cuerpo conductor generan las

fuerzas de levitacion. Este sistema es estable en su eje vertical, y tiene un

punto de equilibrio natural. En el principio de levitacion por atraccion (elec-

tromagnetic suspension, EMS), un cuerpo es atrado por un flujo magnetico

en contra de la gravedad; el equilibrio que se produce entre la fuerza de atrac-

cion y de la gravedad es inestable, por lo que la levitacion por atraccion es

impracticable sin la ayuda de un sistema de control. Los sistemas electro-

magneticos (EMS) dependen de las fuerzas atractivas entre el electroiman

y un material ferromagnetico (objeto levitante). Debido a que la fuerza de

atraccion se incrementa a menor distancia, tales sistemas son inestables y las

corrientes del electroiman deben controlarse cuidadosamente para mantener

la altura de la suspension deseada. Ademas el espaciado entre el electroiman

y el objeto necesita ser pequeno (en los sistemas de transporte que utilizan

este fenomeno solo es de unos centmetros a lo sumo). Por otro lado, uti-

lizando EMS, es posible mantener la suspension magnetica incluso cuando

el vehculo esta inmovil, lo cual no es cierto para sistemas electrodinamicos

(fuerza repulsiva).

Los estudios de levitacion magnetica son importantsimos en la actuali-

dad, sobre todo en lo que se refiere a transportacion y trenes de alta velocidad.

En nuestro pas, recientemente se ha anunciado la construccion del tren de

alta velocidad Exider, que ira a 250 km/h y hara un recorrido de duracion

7

aproximada 2 horas 25 minutos, entre la Ciudad de Mexico y Guadalajara

[22].

Los trenes de levitacion magnetica (Maglev), hasta la fecha han funciona-

do mediante el sistema EMS en Europa, Estados Unidos y Japon, pas donde

se esta trabajando en proyectos de trenes que correran a velocidades hasta de

552 km/h [23]. Para llegar a estas velocidades, es necesario utilizar la tecnica

de EDS, o sistemas de suspension magnetica electrodinamica. Mientras que

los EMS parecen ser una opcion preferida en la actualidad para el diseno

a velocidades mas bajas, tiene una desventaja fundamental porque requiere

una pequena separacion entre el vehculo y la gua por la que ira, tpicamen-

te de menos de un centmetro, y requiere control activo para mantener esa

distancia. La promesa del EDS es que esa separacion pueda ser reducida a

un factor de 5 o mas, y por lo tanto las tolerancias de las guas son menores

y los costos podran ser reducidos. Otra de las supuestas ventajas del EDS

es que puede ser inherentemente estable y no dependiente de un sistema de

control retroalimentado para mantener la distancia entre las guas. Desafor-

tunadamente, esta ventaja no es tan real como aparenta, porque los EDS son

demasiado inestables [14].

Como nuestro interes esta en los estudios de control de un sistema re-

troalimentado, encontramos una razon mas para estudiar los EMS, ademas

de que es una tecnologa actual, cuya comprension nos permitira movernos

hacia un futuro no tan distante. Ademas el estudio de los sistemas de control

es importante, como dira Norbert Wiener:

Estamos viviendo en una epoca que difiere de todas las anteriores

en el hecho de que la invencion de nuevas maquinas y, en general,

8

de nuevos medios de control sobre nuestro entorno ya no es un

fenomeno esporadico, sino que se ha convertido en un proceso pla-

nificado al cual recurrimos no solo para mejorar nuestro nivel de

vida y nuestras comodidades, sino por una necesidad desesperada

de asegurar la continuidad de la vida humana, y la de cualquier

modo de vida civilizada, en el futuro [24].

9

Captulo 2

Conceptos Basicos

2.1. Definicion de sistema de control

Antes que nada, sera necesario dar algunas definiciones y conceptos sobre

los sistemas de control. Aunque un sistema de control pude ser definido de

diversas maneras, daremos una de las mas basicas.

Definicion 2.1.1 Un sistema de control es un grupo de componentes en-

samblados de tal manera que regulen una entrada de energa para lograr una

salida deseada. Hablando de sistemas dinamicos, podemos definir un sistema

como algo hecho a partir de componentes de modo que es posible predecir

el comportamiento de la combinacion global si (a) se puede predecir el com-

portamiento de cada uno de los componentes, y (b) se conoce la interaccion

entre ellos.

10

2.2. Clasificacion de los sistemas de control

2.2.1. Sistema de control de lazo abierto y cerrado

Los sistemas de control se clasifican de diversas maneras, basados en las

siguientes caractersticas:

1. El uso de la retroalimentacion.

2. El tipo de tecnica(s) utilizadas para llevar la salida a un valor deseado.

3. La naturaleza de los componentes usados por el sistema estudiado.

4. La aplicacion intencionada del sistema.

De cualquier manera, el criterio mas simple y comun utilizado para cla-

sificar los sistemas de control es la retroalimentacion. De aqu en adelante se

hara referencia a los sistemas de control, meramente como sistemas.

Definicion 2.2.2 En un sistema dado, si la salida, o parte de ella, es ali-

mentada de vuelta de manera que pueda ser comparada con una entrada, se

dice que el sistema utiliza retroalimentacion. Este arreglo forma un circuito

cerrado que se mueve de la entrada a la salida, y de regreso a la entrada, de

aqu el nombre de sistema de lazo cerrado. (Fig. 2.1).

Definicion 2.2.3 Un sistema que no utiliza retroalimentacion es llamado

sistema de lazo abierto. (Fig. 2.2).

Definicion 2.2.4 En un sistema de lazo cerrado, la diferencia entre la senal

de retroalimentacion y la entrada es llamada senal de error.

11

Figura 2.1: Sistema cerrado

Figura 2.2: Sistema abierto

La senal de error es usada para llevar la salida hacia el valor deseado. Un

sistema de lazo cerrado puede usar uno de los dos tipos de retroalimentacion

siguientes:

1. Retroalimentacion positiva o regenerativa.

2. Retroalimentacion negativa o degenerativa.

Si la senal de retroalimentacion se suma a la senal de entrada, se llama

retroalimentacion positiva. Cuando la retroalimentacion positiva es utilizada,

en algun momento la entrada pierde control sobre la salida. De aqu que la

retroalimentacion positiva o regenerativa sea utilizada rara vez en la practica,

excepto en casos excepcionales. Por otro lado, si en un sistema dado, la senal

de retroalimentacion se opone a la senal de entrada, se dice que el sistema

12

tiene una retroalimentacion negativa o degenerativa, la cual, generalmente,

resulta tener muchas ventajas, por lo que es mas utilizada.

2.2.2. Sistemas de control analogicos y digitales

Los sistemas de control pueden ser clasificados segun sus tecnicas opera-

tivas. En un sistema de control analogico, tecnicas analogicas son utilizadas

para procesar la senal de entrada y controlar la senal de salida, mientras que

en un sistema de control digital, son utilizadas tecnicas digitales para contro-

lar la salida. Para un sistema dado, la eleccion de tecnicas utilizadas depende

de un numero de factores: confiabilidad, estabilidad, exactitud, simplicidad

y economa son algunos de los mas importantes. Una vez que se ha disenado

el sistema, su desempeno puede ser evaluado utilizando ciertas tecnicas como

la grafica polar o de Nyquist y la grafica del lugar de las races.

2.2.3. Sistemas de control lineal y no lineal

La naturaleza de los componentes utilizados en la fabricacion de un sis-

tema dado, generalmente determina si un sistema es lineal o no.

Definicion 2.2.5 Se dice que un sistema es lineal si satisface la propiedad

de proporcionalidad de la amplitud y el principio de superposicion1.

1Una aplicacion f : Rm Rn es lineal si

f (x+ y) = f (x) + f (y) , x, y Rm, , R.

13

Un sistema no lineal no cumple con estas propiedades. Aun mas, un

sistema lineal es de primer grado y de cualquier orden, mientras que un

sistema no lineal puede ser de cualquier orden y grado. Las tecnicas utilizadas

para analizar sistemas no lineales pueden ser demasiado complejas, por lo que

este tipo de sistemas usualmente es compensado de manera que se comporte

como un sistema lineal. A menudo, la operacion de componentes no lineales

se restringe a un rango especfico de manera que su comportamiento pueda

ser sujeto a una linealizacion.

2.3. Caractersticas de los sistemas de control

2.3.1. Estabilidad

Se dice que un sistema es estable si su salida alcanza un cierto valor en un

tiempo finito despues de que una entrada ha sido aplicada. Un sistema estable

alcanza un valor de estado-estable en un tiempo t =, despues de que unaentrada haya sido aplicada inicialmente en un tiempo t = 0. Cuando la salida

de un sistema permanece constante y no cambia como funcion del tiempo,

se dice que la salida alcanza un valor de estado estable. Por el contrario, un

sistema inestable nunca alcanza este valor. La salida de un sistema inestable

incrementa segun incrementa el tiempo hasta que el sistema se colapsa. En

pocas palabras, un sistema debe ser estable. Un sistema inestable puede

estabilizarse utilizando ciertas tecnicas, de las cuales, la mas comun, es el

uso de redes de compensacion. As, la estabilidad es un criterio de buen

control y debe ser logrado por todos los sistemas de control practicos. Una

variedad de tecnicas graficas y analticas son utilizadas para determinar la

14

estabilidad de los sistemas de control. El criterio de Routh-Hurwitz es una

tecnica analtica, y las graficas de Bode, Nyquist, y del lugar de las races

son tecnicas graficas usadas comunmente para este fin. A menudo, un sistema

inestable puede ser estabilizado utilizando retroalimentacion negativa.

2.3.2. Exactitud

Otro parametro importante que es utilizado para evaluar un sistema de

control dado es la exactitud. La exactitud indica la desviacion de la salida

verdadera de su valor deseado y es una medida relativa del desempeno del

sistema. En la mayora de los sistemas practicos, la estabilidad y la exacti-

tud interactuan entre s. En otras palabras, si no somos cuidadosos, podemos

perder la estabilidad del sistema al tratar de mejorar la exactitud; o, tratan-

do de mejorar la estabilidad del sistema podemos reducir su exactitud. En la

practica, rara vez esperamos que los sistemas sean totalmente exactos. Usual-

mente, los sistemas que utilizan retroalimentacion (negativa, en particular),

son mas exactos que aquellos que no lo usan (los sistemas de lazo abierto).

As, la exactitud es un termino relativo y es definida por el usuario basado

en la naturaleza y aplicacion del sistema en construccion.

2.3.3. Velocidad de respuesta

Ademas de la estabilidad y la exactitud, la velocidad de respuesta es un

factor importante a considerar al disenar sistemas de control. La velocidad

de respuesta es la medida de que tan rapido una salida alcanza un valor de

estado estable despues de que una entrada ha sido aplicada. En el dominio

del tiempo, la respuesta (salida) de un sistema dado esta compuesta de una

15

porcion transitoria y una porcion de estabilidad estable. En la practica, es

muy complicado analizar sistemas de orden mayor a dos. De aqu que, en fa-

vor de la simplicidad, los sistemas de orden mayor que dos, sean aproximados

a uno de segundo orden y analizados con una entrada escalon. La entrada

escalon es utilizada porque hace mas facil el analisis del desempeno del sis-

tema. Ademas, si un sistema es estable en una entrada escalon, sera estable

para cualquier otra entrada. Un sistema practico debe tener una respuesta

en el tiempo finita.

2.3.4. Sensibilidad

La sensibilidad de un sistema es una medida de que tanto cambia la salida

con respecto a los cambios en los valores de las componentes fsicas, as como

a las condiciones ambientales. En un sistema bien disenado, la salida depende

primoridalmente de la entrada y no de senales no deseadas o perturbaciones.

La dependencia de la salida a las perturbaciones puede ser minimizada me-

diante el uso de ciertas redes de compensacion. Obviamente, hay ecuaciones

matematicas que pueden ser usadas para determinar la sensibilidad de un

sistema dado como una funcion de variacion en un componente de sistema

especfico. Esta informacion es despues utilizada para mejorar la eficiencia

del sistema en consideracion.

16

Captulo 3

Analisis y diseno del sistema

Figura 3.1: electroiman

El sistema de levitacion magnetica de este trabajo ilustrado en la Fig.

3.1, se compone de un electroiman fijo que mantiene a una bola suspendida

en el aire, oponiendo una fuerza electromagnetica al peso de la bola. x (t) es

la distancia, considerada positiva al medirse hacia abajo, entre la bola y la

bobina. xeq, la posicion de equilibrio, es la distancia a la cual queremos que

17

levite el objeto.

Figura 3.2: Bobina-electromagnetica

Del modelo del electroiman, (Fig. 3.2) y la Ley de los Voltajes de Kirchoff1,

tenemos

VF = VR + VL, (3.1)

donde

VF : voltaje de la fuente

VR : voltaje en la resistencia

VL : voltaje en el inductor

ademas, de la Ley de Ohm

VR = Ri, (3.2)

donde

i : corriente

R : resistencia

1Para detalles y conceptos basicos de electricidad, vea el apendice A.

18

y por el modelo matematico de la inductancia L

VL =d

dt(L i) . (3.3)

Entonces podemos reformular el voltaje de nuestro electroiman como

V (t) = Ri (t) +d

dt(L i) . (3.4)

Calculando la derivada del producto

V (t) = Ri (t) + Ldi

dt+dL

dti (t) . (3.5)

Asumimos que L vara inversamente a la distancia [3]

L =L0x (t)

, (3.6)

donde

L0 : incremento de inductancia al acercar el objeto a la bobina (levitar).

dL

dt=

d

dt

(L0x (t)

)= L0

( 1x (t)2

dx

dt

). (3.7)

Sustituyendo (3.7) en (3.5) tenemos

V (t) = Ri (t) +L0x (t)

di

dt+ L0

( 1x (t)2

dx

dt

)i (t) ,

V (t) = Ri (t) +L0x (t)

di

dt L0x (t)2

dx

dti (t) . (3.8)

La fuerza electromagnetica, Fm (x, t) que actua sobre la bola, puede ser

expresada mediante la siguiente formula dinamica, en direccion hacia arriba,

de acuerdo a las leyes de Newton, lo cual podemos observar en la Fig. 3.3F = Fa + Fm Fg = 0, (3.9)F = Fa + Fm = Fg, (3.10)

19

Figura 3.3: Fuerzas interactuantes sobre el objeto

con

Fa = md2x

dt2. (3.11)

donde

Fa : fuerza de atraccion de la bobina sobre el objeto

m : peso del objeto

y

Fg = mg, (3.12)

donde

Fg : fuerza de gravedad debida al peso de la bola

g : constante de gravitacion.

Finalmente, calcularemos Fm, la fuerza electromagnetica.

La fuerza electromagnetica producida por la corriente i (t) es2

Fm = i2 (t)

2

dL (x)

dx, (3.13)

2Para mayor detalle en cuanto a la fuerza como derivada de la co-energa en un sistema

electromagnetico ver [10]

20

donde

L (x) : inductancia del electromagneto con la bola.

Si L es la inductancia sin la bola y L0 es el incremento de inductancia

con la bola, entonces la inductancia de la bobina electomagnetica es

L (x) = L+L0xeqx

. (3.14)

Combinando estas dos ecuaciones obtenemos la fuerza electromagnetica

Fm (x, t) = i2 (t)

2

d

dx

(L+

L0xeqx

),

= i2 (t)

2

(L0xeq

x2

),

=i2 (t)

2

L0xeqx2

,

=i2 (t)

x2L0xeq

2,

= Ki2 (t)

x2, (3.15)

donde

K :=L0xeq

2. (3.16)

Debido a que no tenemos un aparato para medir experimentalmente L0,

tambien podemos calcular a K de manera experimental en el modelo como

sigue

K = mgx2eqi2eq. (3.17)

Esta formula viene del estado de equilibrio (levitacion) del objeto, cuyo desa-

rrollo veremos mas delante.

De estas ecuaciones finalmente obtenemos la ecuacion de nuestro modelo

21

md2x

dt2+K

i2 (t)

x2= mg. (3.18)

La posicion de la bola influira en la inductancia de la bobina electro-

magnetica; los cambios son no lineales. Ademas, el punto de balance entre la

la fuerza de la bobina y la de la gravedad es inherentemente inestable.

22

Captulo 4

Equilibrio del sistema

Analicemos las condiciones de equilibrio de nuestro sistema electromagneti-

co. Queremos mantener levitada la bola a una distancia determinada xeq.

Definicion 4.0.1 Un punto x0 Rn se llama punto de equilibrio o puntocrtico del sistema no lineal x = f (x) , si f (x) = 0.

Aplicando las condiciones de equilibrio a (3.4) tenemos

V (t) = Ri (t) +d

dt(L i) ,

V (t)Ri (t) = ddt

(L i) = 0,Veq Rieq = 0,

Veq = Rieq. (4.1)

por lo tanto, la corriente de equilibrio es

ieq =VeqR, (4.2)

23

donde la resistencia R permanece constante debido a que es inherente a las

especificaciones del cable de la bobina.

Ahora, las condiciones de equilibrio aplicadas a la ecuacion (3.18) tenemos

K

m

i2 (t)

x2 g = d

2x

dt2= 0,

K

m

i2eqx2eq g = 0,

K

m

i2eqx2eq

= g. (4.3)

de donde la posicion de equilibrio es

x2eq =K

mgi2eq,

xeq = ieq

K

mg. (4.4)

As podemos calcular la constante K a partir de la posicion de equilibrio

K =x2eqi2eqmg. (4.5)

Ahora, sustituyendo (4.2) en (4.4)

xeq =VeqR

K

mg, (4.6)

la cual es nuestra distancia de equilibrio.

24

Captulo 5

Ecuacion de estado

Definicion 5.0.1 El estado de un sistema dinamico en cualquier momento

t0 es el conjunto mas pequeno de parametros suficiente para determinar el

comportamiento o disposicion del sistema para todo tiempo t t0 dados estosparametros y las entradas en el momento t0, as como todas las entradas para

todo tiempo t t0.

Es evidente que el estado es un concepto matematico pero, como bus-

camos modelar nuestro sistema fsico mediante ecuaciones matematicas, el

estado de un sistema es asimismo un concepto fsico. Entonces, el estado

de un sistema dinamico representa la cantidad mnima de informacion sobre

el sistema en el momento t0 necesaria para determinar el comportamiento

futuro con base en las entradas en t0 y las entradas futuras. En consecuen-

cia, una manera de construir nuestro modelo sera escribiendo ecuaciones que

describan el estado del modelo fsico con respecto al tiempo. Nuestro interes

primordial es analizar el comportamiento de nuestro sistema en el tiempo

para lograr los principios de los sistema de control: estabilidad, exactitud,

25

velocidad de respuesta y sensibilidad.

As, tendremos que definir variables de estado y de entrada para nues-

tro modelo, con el fin de plantear un sistema de ecuaciones diferenciales

ordinarias no lineales que dependan unicamente del tiempo.

Podemos inferir que el estado de un sistema fsico se puede definir por

medio de un conjunto de variables cuyos valores, en cualquier instante, re-

presentan el conjunto mnimo de parametros a los que se hace referencia en

la definicion.

Definicion 5.0.2 Llamamos variables de estado al conjunto linealmente in-

dependiente1 de variables que se utilizan para especificar el estado de un sis-

tema.

Definicion 5.0.3 El numero de variables de estado determina el orden del

sistema. Un sistema cuyo estado se describe mediante un numero finito de

variables de estado se conoce como sistema de orden finito.

Las variables de estado deben formularse de tal modo que si uno cono-

ce sus valores en un instante dado, junto con los valores de las variables de

entrada para ese momento y para todo momento futuro, entonces la dispo-

sicion del sistema y de estas variables se determina completamente para ese

momento y para cualquier momento futuro.

1Recordemos que un conjunto de n variables x1, ..., xn es linealmente independiente si

no existe un conjunto n de escalares 1, ..., n no todos cero, tal que

1x1 + 2x2 + ...+ nxn = 0

26

Variables de estado Variables de entrada

x1 = i (t) u1 = v

x2 = x (t) u2 = g

x3 = x (t)

Cuadro 5.1: Tabla 1

De esta manera, definiremos nuestras variables de estado y de entrada,

de acuerdo a lo que conocemos y podemos calcular. De la siguiente tabla

podemos ver que nuestro sistema sera de orden 3.

Definicion 5.0.4 Sean n variables de estado x1, ..., xn, y supongamos que

el sistema esta sujeto a r entradas (externas) u1, ..., ur y se caracteriza por

un numero de parametros y constantes, que generalmente se conoceran como

parametros (ps). Entonces, el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden n,

d

dtx1 = f1 (x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., ur, ps, t) ; x1 (t0) = x10

d

dtx2 = f2 (x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., ur, ps, t) ; x2 (t0) = x20

...

d

dtxn = f1 (x1, x2, ..., xn, u1, u2, ..., ur, ps, t) ; xn (t0) = xn0

donde t se refiere al tiempo y t0 es cierto tiempo inicial, son llamadas ecua-

ciones de estado.

Entonces, despreciando los parametros, podemos representar el sistema

como tres ecuaciones diferenciales no lineales de la forma.

d

dtxn = fn (x1, x2, x3, u1, u2, t) . (5.1)

27

Primero reescribimos la ecuacion (3.8)

V (t) = Ri (t) +L0x (t)

di

dt L0x (t)2

dx

dti (t) ,

L0x (t)

di

dt= V (t)Ri (t) + L0

x (t)2dx

dti (t) ,

d

dti =

x (t)

L0

(V (t)Ri (t) + L0

x (t)2dx

dti (t)

). (5.2)

Cambiamos variables segun Tabla 1

d

dtx1 = f1 (x1, x2, x3, u1, u2, t) ,

=x2L0u1 Rx1 + L0

x22

dx2dtx1,

=u1x2L0 Rx1x2

L0+x1x3x2

, (5.3)

la cual es nuestra primer ecuacion diferencial ordinaria no lineal.

Para la segunda

d

dtx2 = f1 (x1, x2, x3, u1, u2, t) ,

=d

dtx,

= x3. (5.4)

Para la tercera, vemos la ecuacion (3.18)

md2x

dt2+K

i2 (t)

x2= mg,

d2x

dt2= g K

m

i2 (t)

x2,

d

dtx3 = f1 (x1, x2, x3, u1, u2, t) ,

=d2x

dt2,

= u2 Km

x21x22. (5.5)

28

As, tenemos un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias

d

dtx1 =

u1x2L0 Rx1x2

L0+x1x3x2

,

d

dtx2 = x3,

d

dtx3 = u2 K

m

x21x22. (5.6)

29

Captulo 6

Linealizacion

Ya que los sistemas no lineales son normalmente difciles de analizar y di-

senar, es deseable realizar una linealiazacion. Ademas de simplificar el anali-

sis, la linealidad nos permite encontrar el efecto que tendran las diversas

entradas (causas) actuando en conjunto, sumando (superponiendo) todos los

efectos separados de las entradas individuales. El primer paso es reconocer

el componente no lineal y re-escribir la ecuacion diferencial no lineal como

la tenemos en (5.6). Cuando linealizamos una ecuacion diferencial no lineal,

lo hacemos para entradas a pequena senal alrededor de la solucion en estado

estable cuando la entrada a pequena senal es igual a cero. Esta solucion en

estado estable se llama equilibrio.

Definicion 6.0.1 Un sistema no lineal se representa mediante las ecuacio-

nes de estado en la forma matricial siguiente:

d

dtX (t) = f (X (t) , U (t) , t) , X (t0) = X0 (6.1)

en donde X (t) representa el vector de estado de n 1, U (t) es el vector de

30

entrada de p 1, y f [X (t) , U (t)] denota un vector funcion de n 1. Engeneral, f es una funcion del vector de estado y del vector de salida.

Al expandir la ecuacion de estado no lineal (6.1) en serie de Taylor, consi-

derando varias variables, alrededor de x (t0) = x0 y descartando los terminos

de orden superior, nos brinda el sistema

d

dtx (t) = Ax (t) +Bu (t) , x (t0) = xt=t0 (6.2)

A = [aij] =

[fixj

],

B = [bij] =

[fiuj

], (6.3)

que es lineal en las variables de desviacion

x = x x0, u = u u0. (6.4)

Ahora, linealizaremos nuestro sistema (5.6) alrededor del punto de equi-

librio xeq

d

dt

x1

x2

x3

=

u1x2L0 Rx1x2

L0+ x1x3

x2

x3

u2 Km x21

x22

. (6.5)Al expandir en serie de Taylor la ecuacion de estado no lineal alrededor

de x (t0) = xeq (t) y descartando los terminos de orden superior, obtenemos

la matriz de desviacion de equilibrio

d

dtx = Ax+Bu, (6.6)

que es lineal en las variables de desviacion

x = x xeq, u = u ueq. (6.7)

31

Variables de estado Variables de entrada

x1 = x1eq + x1 x1eq = i u1 = u1eq + u1 u1eq = eeq

x2 = x2eq + x2 x2eq = y u2 = u2eq + u2 u2eq = geq

x3 = x3eq + x3 x1eq = y - -

Cuadro 6.1: Tabla 2

Queremos evaluar en el estado de equilibrio, de donde conocemos

x1eq =eeqR

= ieq, (6.8)

x2eq =eeqR

K

mg

= yeq, (6.9)

x3eq = yeq

= 0. (6.10)

Cambiamos variables para obtener las variables de desviacion para el

sistema lineal

Redefiniendo las variables de estado y de entrada en forma vectorial, segun

la Tabla 2, tenemos el vector de estado

x =

x1

x2

x3

=

y

ddty

, (6.11)y el vector de variables de entrada

u =

u1u2

= eg

. (6.12)32

Como sabemos que la gravedad g = u2 no altera el sistema, ya que es

la misma en estado de equilibrio y en cualquier otro estado, podemos no

tomarla en cuenta en nuestro sistema fsico, con lo cual tenemos

u =[u1

]=[e].

donde e es el voltaje de entrada con el cual alimentamos nuestro sistema.

Ahora, a partir de (6.5) obtenemos la matriz A para las variables de

desviacion alrededor de xeq.

a11 =f1x1

,

= Rx2eqL0

+x3eqx2eq

,

= RL0yeq. (6.13)

a12 =f1x2

,

=u1eqL0 Rx1eq

L0 x1eqx2eq

x22eq,

=eeqL0 eeqL0,

= 0. (6.14)

a13 =f1x3

,

=x1eqx2eq

,

=ieqyeq

. (6.15)

33

a21 =f2x1

,

= 0. (6.16)

a22 =f2x2

,

= 0. (6.17)

a23 =f2x3

,

= 1. (6.18)

a31 =f3x1

,

= 2Km

x1eqx22eq

,

= 2Km

eeqR

R2

e2eq

mg

K,

= 2gReeq

,

= 2gieq. (6.19)

a32 =f3x2

,

= 2K

m

x21eqx32eq

,

= 2K

m

e2eqR2

R3

e3eq

mg

K

mg

K,

= 2gR

eeq

mg

K,

=2g

yeq. (6.20)

De esta manera tenemos la matriz A

34

A =

Ryeq

L00 ieq

yeq

0 0 1

2 gieq

2 gyeq

0

. (6.21)De manera analoga calculamos B para la ecuacion 6.5

b11 =f1u1

,

=x2eqL0

.

b12 =f1u2

= 0. (6.22)

De donde

B =

yeqL0

0

0

. (6.23)As tenemos el sistema lineal en las variables de desviacion

d

dtx =

Ryeq

L00 ieq

yeq

0 0 1

2 gieq

2 gyeq

0

x+

yeqL0

0

0

u. (6.24)Asumiendo que L = L0

yes una constante, L0 = Ly, tenemos

d

dtx =

RL

0 ieqyeq

0 0 1

2 gieq

2 gyeq

0

x+

1L

0

0

u. (6.25)

35

Captulo 7

Analisis en variables de estado

7.1. Ecuacion caracterstica

Resolviendo el sistema para encontrar la ecuacion caracterstica, tenemos

|sI A| =

s 0 0

0 s 0

0 0 s

1 0 0

0 1 0

0 0 1

RL

0 ieqyeq

0 0 1

2 gieq

2 gyeq

0

,

=

s+ R

L0 ieq

yeq

0 s 12 gieq

2 gyeq

s

=s3Lyeq +Rs

2yeq 2RgLyeq

. (7.1)

Ahora, para obtener los valores caractersticos, resolvemos el sistema con

los datos del sistema real, medidos experimentalmente

36

Descripcion Valor

Distancia electroiman-esfera (metro) yeq = 0,012

Corriente de equilibrio (ampere) ieq = 0,25

Masa de la esfera (kg) m = 0,01

Resistencia de la bobina (ohm) R = 18,4

Constante ((Neutron m2) /ampere2) K = 0,00013795Inductancia de la bobina (Henrie) L = 0,2

Constante sensores (volt/m) = 776

Cuadro 7.1: Tabla 3

Calculamos la matriz A y B segun valores mostrados en la Tabla 3

A =

RL

0 ieqyeq

0 0 1

2 gieq

2 gyeq

0

,

=

18,4

0,20 0,25

0,012

0 0 1

29,810,25

2 9,810,012

0

,

=

92,0 0 20,833

0 0 1

78,48 1635 0

. (7.2)

B =

1L

0

0

=

10,2

0

0

=

5

0

0

. (7.3)

37

Entonces, la ecuacion caracterstica evaluada en estos valores nos da

|sI A| =

s 0 0

0 s 0

0 0 s

1 0 0

0 1 0

0 0 1

92 0 20,833

0 0 1

78,48 1635 0

,

= s3 0,02616s+ 92s2 150420. (7.4)

de donde podemos obtener los valores caractersticos de A, o las races de la

ecuacion caracterstica

|sI A| = s3 0,0 261 6s+ 92,0s2 150420 = 0,= (s 34,485) (s2 + 126,49s+ 4361,9) = 0. (7.5)

s = 34,485, s = 63,245 19,026i. (7.6)

Los valores caractersticos son los argumentos de las modalidades expo-

nenciales que caracterizan por completo la respuesta del sistema. Analizando

los valores caractersticos de nuestro sistema vemos que el valor 34,743 > 0,

dara como resultado un modo de crecimiento exponencial. Tal modo do-

minara la respuesta del sistema, por lo que el comportamiento del sistema

sera inestable, de aqu la necesidad de crear un controlador.

7.2. Controlabilidad

Definicion 7.2.1 Se dice que un sistema es controlable si puede ser movido

de cualquier estado X (t0) en t = t0 a cualquier otro estado deseado X (t1) en

un intervalo de tiempo finito ( = t1 t0), aplicando una entrada continuapor partes U (t), donde t esta contenida en [t0, t1].

38

Por un conveniente cambio de variables en el sistema, se puede hablar

tambien de controlabilidad en terminos de la capacidad de mover el sistema

desde cualquier estado inicial. De manera mas clara, en el espacio de estados,

la controlabilidad implica la posibilidad de acceso a todo el espacio de estado.

Un sistema es no controlable si hay una seccion de espacio de estado a la cual

no puede ser llevado (o de la cual no puede escapar). Esto sera lo que suceda

cuando algunas variables de estado no sean afectadas por las entradas de

control. En otras palabras, un sistema es no controlable si las entradas de

control no afectan a cada variable de estado. Este concepto de controlabilidad

se refiere a los estados y algunas veces se denomina controlabilidad de estado.

Consideremos el sistema lineal invariante con el tiempo descrito por las

siguientes ecuaciones dinamicas:

dx (t)

dt= Ax (t) + Bu (t) ,

y (t) = Cx (t) + Du (t) , (7.7)

donde x (t) es el vector de estado de n 1, u (t) es el vector de entrada der 1, y y (t) es el vector de salida de p 1.

Definicion 7.2.2 Se dice que el estado x (t) es controlable en t = t0, si

existe una entrada continua por bloques u (t) que lleve el estado x (t) a un

estado final x (tf ) para un tiempo finito (tf t0) 0. Si todo estado x (t0)del sistema es controlable en un intervalo de tiempo finito, se dice que el

sistema es completamente controlable en estado o simplemente controlable.

El siguiente teorema muestra que la condicion de controlabilidad depende

de los coeficientes de las matrices A y B del sistema. El teorema tambien nos

39

da un metodo para probar la controlabilidad de estado. La demostracion de

los siguientes dos teoremas puede encontrarse en [25].

Teorema 7.2.3 Para que el sistema descrito por las ecuaciones de estado

en (7.7) sea controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de

controlabilidad sea:

S =[

B AB A2B An1B]nnr

. (7.8)

Utilizando este teorema, calculamos la matriz de controlabilidad de nues-

tro sistema, donde n = 3 y r = 1.

S =[B AB A2B

]=

5 460 341450 0 392,40 392,4 36101

. (7.9)Como el rango de S es tres, el sistema es completamente controlable

7.3. Observabilidad

La observabilidad del sistema depende de cuales variables son definidas

como salida. Para el control de retroalimentacion de estado, el controlador

total requiere retroalimentar todas las variables de estado x1, x2, x3. Sin

embargo, en nuestro caso queremos retroalimentar la distancia a la cual se

suspende la bola, i.e., x2. De esta manera veremos si nuestro sistema es

observable en esta variable.

Definicion 7.3.4 Dado un sistema lineal invariante en el tiempo descrito

por las ecuaciones (7.7), se dice que el estado x (t) es observable si dada

40

una entrada u (t), existe un tiempo finito tf t0 tal que el conocimiento deu (t) para t0 t < tf ; las matrices A, B, C y D; y la salida y (t) para t0 t < tf son suficientes para determinar x (t0) . Si todo estado del sistema es

observable para un tiempo finito tf , se dice que el sistema es completamente

observable o simplemente observable.

El siguiente teorema muestra que la condicion de observabilidad depende

de las matrices A y C del sistema. El teorema tambien da un metodo para

probar observabilidad.

Teorema 7.3.5 Para que el sistema descrito por las ecuaciones (7.7) sea

totalmente observable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de

observabilidad sea:

V =

C

CA

CA2

...

CAn1

nnp

. (7.10)

En particular, si el sistema tiene solamente una salida, C es una matriz

renglon de 1 n; V es una matriz cuadrada de n n. Entonces el sistemaes completamente observable si V es no singular.

Para nuestro sistema, queremos analizar la distancia del levitador a la

bola:

y (t) = Cx (t) = x2 (t) , (7.11)

con

C =[

0 1 0]. (7.12)

41

La matriz de observabilidad es

V =

C

CA

CA2

=

0 1 0

0 0 1

78,48 1635 0

, (7.13)la cual tiene rango tres. Por lo tanto, el sistema es completamente observable.

7.4. Funcion de transferencia.

Hemos definido la posicion de la esfera como x (t), la salida como y (t) y

la entrada como v (t). Entonces, considerando el criterio de Routh-Hurwitz,

la funcion de tranferencia1 entrada-salida del sistema es:

Y (s)

V (s)= C (sI A)1B,

= 392,4s3 0,02616s+ 92s2 150420 . (7.14)

Para esta funcion de transferencia en nuestro modelo fsico es necesario

incorporar la sensibilidad de los sensores, 776 volt/m, medida experimental-

mente, misma que multiplica a la funcion de transferencia,

776 Y (s)V (s)

=304502,4

s3 0,02616s+ 92s2 150420 . (7.15)

1La relacion general entre una entrada y una salida de un sistema lineal, invariante en

el tiempo es llamada funcion de transferencia.

42

Captulo 8

Control

8.1. Estabilidad y ubicacion de los valores pro-

pios

Los valores propios de un sistema determinan su estabilidad y otro com-

portamiento. Se concluye que el medio mas directo para investigar la esta-

bilidad de un sistema lineal consiste en examinar los posibles valores de sus

races caractersticas. Una forma de llevarlo a cabo es observar la ubicacion

de los valores propios en el plano complejo. En general, los valores propios en

la mitad derecha del plano complejo causan inestabilidad, mientras que las

races de la mitad izquierda del plano complejo son estables. La colocacion

de la raz directamente sobre el eje imaginario causa estabilidad marginal

o neutral; pero si la multiplicidad es mayor de uno resulta inestabilidad.

Ademas, cuanto mayor es el componente imaginario del valor propio, mayor

es la frecuencia de oscilacion, y mas negativo (por ende mas pequeno) es el

43

componente real de la raz y mas corto el tiempo de decaimiento. Desde lue-

go, este cuadro de plano complejo retrata no solo la estabilidad relativa del

sistema, sino tambien otros aspectos de su conducta dinamica. Otra forma de

explorar la naturaleza de los valores propios de un sistema lineal es deducir

esta informacion del propio polinomio caracterstico. Este metodo no requiere

la determinacion de los valores reales de las races caractersticas. El metodo

de lugar de las races y el criterio de estabilidad de Routh nos ayudaran en

el analisis de estabilidad basado en los valores propios de nuestro sistema.

Figura 8.1: Regiones de estabilidad en el plano-s

8.2. Tecnica del lugar de las races

Los valores propios de un sistema son funciones de los parametros del

mismo. En general, uno se interesa as por la ubicacion de las races en el

plano complejo, conforme vara algun parametro del sistema. El resultado

es una secuencia de posiciones de raz a lo largo de las cuales los valores

44

propios se moveran conforme cambie este parametro. Esta secuencia de

puntos se conoce como el lugar de las races. Una vez que se dispone del

lugar de las races, se pueden elegir los valores del parametro (en nuestro

caso la ganancia del sistema) que den la cualidad y estabilidad deseadas

(levitacion electromagnetica en equilibrio) para la conducta del sistema. La

tecnica del lugar de las races es uno de los planteamientos fundamentales del

diseno clasico del controlador por retroalimentacion, por lo cual aplicaremos

esta tecnica en nuestro estudio.

8.2.1. Construccion grafica del lugar de las races.

Se construyen los lugares de las races de acuerdo con el siguiente proce-

dimiento:

Ponemos la ecuacion caracterstica del sistema en la forma

1 + G0 (s) = 0, (8.1)

G0 (s) 1

= 0, > 0

donde es el parametro (o ganancia -de diseno-) de interes y

G0 (s) =(s z1) (s z2) (s zm)(s p1) (s p2) (s pn) , n m (8.2)

donde z1, z2, , zm y p1, p2, , pn se conocen como los ceros de lazoabierto y polos de lazo abierto, respectivamente. Estos terminos reflejan

lo que pasa con G0 (s) cuando s toma los valores correspondientes:

G0 (s) tiende a cero para los ceros y a infinito para los polos.

45

Los puntos en el lugar de las races tienen que satisfacer la condicion de

angulo

G0 (s) = pi2 2pin; n N. (8.3)

Se escala el lugar de las races empleando la condicion de magnitud

|G0 (s)| = 1. (8.4)

Nosotros utilizaremos la herramienta rlocus de Matlab para encontrar los

polos y races de nuestra funcion de transferencia inestable, para luego, a

partir de ahi, disenar el controlador ideal que nos brinde estabilidad. Una

de las ventajas de la construccion por computadora es su velocidad, eficacia,

visualizacion grafica y que los polos y ceros de la funcion de transferencia no

tienen que ser conocidos a priori.

8.2.2. Efectos de adicion de polos y ceros a G0 (s)

El problema general del diseno del controlador en los sistema de control

puede ser tratado como una investigacion de los efectos del lugar de las races

cuando se suman polos o ceros a la funcion de transferencia G0 (s) .

1. Suma de polos a G0 (s) : Sumar un polo a G0 (s) tiene el efecto de

empujar el lugar de las races hacia la mitad derecha del plano.

2. Suma de ceros a G0 (s) : Sumar ceros en la mitad izquierda del plano

a la funcion G0 (s) generalmente tiene el efecto de mover y doblar el

lugar de las races hacia la mitad izquierda del plano-s.

46

En la Fig. 8.3, vemos el lugar geometrico de las races de nuestro sistema.

Podemos observar como tenemos un polo (o raz de la ecuacion caracterstica)

en s = 34,485 > 0 que, como ya habamos visto, causa inestabilidad en el

sistema (Ver Fig. 8.2). Entonces, ese es el polo que queremos compensar, al

momento de disenar nuestro controlador.

Figura 8.2: Inestabilidad del sistema

8.3. Controlador

En general, la accion derivativa se combina normalmente en un control

proporcional para dar un control proporcional y derivativo (control PD). Esta

47

Figura 8.3: Lugar de las races

combinacion es eficaz, particularmente en sistemas no amortiguados, pues la

retroalimentacion negativa de la derivativa de esta variable controlada es un

tanto afn a la adicion de amortiguamiento (viscoso) del sistema. La accion

D tiene, pues, una influencia estabilizadora en algunos sistemas. Asimismo,

el control derivativo se usa en general para acelerar la accion de control. En

nuestro caso queremos levitar la bola en un tiempo mnimo, para eliminar la

inestabilidad y, por ende, la cada o atraccion del objeto al iman. El control

PD puede ser expresado por la siguiente funcion de transferencia [25]

c (1 + Td (s)) . (8.5)

En general, la eleccion del controlador es un compromiso entre el patron

48

de la respuesta deseada y la sencillez del algoritmo de control, que puede

determinar el costo del controlador, as como la complejidad de la sintoniza-

cion. En nuestro caso, elegimos el control PD, debido a su sencillez en cuanto

a construccion fsica y la adecuacion a la respuesta deseada. El control PD

anade un cero al lugar de las races, el cual empuja las ramas de lugar

de las races afuera del lmite de estabilidad y mas adentro del semiplano

izquierdo, con lo que acelera la respuesta, lo cual nos servira para compensar

nuestra raz positiva.

La forma mas sencilla de estabilizar nuestro sistema, es utilizando el con-

trolador PD (o de adelanto de fase compensado), para cancelar el polo ines-

table [11]. Para jalar el lugar de las races hacia el lazo izquierdo del plano,

es necesario sumar un cero al controlador PD en el lado izquierdo del plano,

entre el primer polo del lado izquierdo y el origen. El polo necesario requerido

para el controlador PD es colocado mas alla en el lado izquierdo del plano.

Esto minimizara el impacto del polo del controlador compensado en el lugar

de las races. La funcion de transferencia del controlador se ve como:

Gc (s) = cs+ a

s+ b. (8.6)

donde c es la ganancia y a es seleccionada para cancelar el polo inestable

de la funcion de transferencia. Como una regla generalizada, b es igual a 10

veces a. Utilizando nuestros parametros, segun (7.6), los valores de diseno

de a y b son 34,485 y 344,85 respectivamente. Para calcular el valor de c,

analizamos la Fig. 8.4, para obtener la mayor ganancia posible, lo cual nos

permitira tener un menor tiempo de respuesta para acotar la inestabilidad

del sistema.

49

De esta manera, podemos ver a nuestro sistema compensado, tomando

c = 1 como

cs+ a

s+ b Y (s)

V (s)=

s+ 34,485

s+ 344,85 776

392,4

s3 0,02616s+ 92s2 150420 , (8.7)

=304500s+ 10501000

(s+ 344,85) (s 34,485) (s2 + 126,49s+ 4361,9) .

ecuacion a partir de la cual obtenemos el lugar de las races compensado.

A partir de la grafica del lugar de las races compensado (Fig 8.4), obser-

vamos que la ganancia maxima para nuestro sistema es c = 26, por lo cual

realizamos nuestro controlador con tal ganancia, para as obtener el modelo

estable de nuestro sistema de levitacion. (Fig. B.3) con el cual obtenemos la

estabilidad deseada (Fig. 8.5 )

50

Figura 8.4: Sistema compensado

51

Figura 8.5: Estabilidad del sistema

52

Captulo 9

Conclusiones

En este trabajo partimos de una pregunta bastante simple: es posible

levitar un objeto -en nuestro caso una bola metalica con la imagen del glo-

bo terraqueo- a una distancia deseada? Para dar una respuesta afirmativa,

hubimos de recorrer un camino bastante interesante. Decidimos abordar el

problema desde el punto de vista de la rama de las matematicas llamada

teora de control. En el captulo uno y dos, dimos algunos conceptos basicos

sobre esta area, como el de sistema, sus clasificaciones, y estabilidad -o levi-

tacion del objeto, en nuestro caso- para, a partir de ah, comenzar a elaborar

un modelo matematico que nos permitiese responder a nuestro interrogante.

Luego, en el captulo tres, analizamos las distintas fuerzas que interactuan

con el objeto: fuerzas gravitarorias y electromagneticas. Una vez reconocidas

estas interacciones, creamos un modelo del sistema a analizar, llegando a

una ecuacion diferencial de segundo orden, no lineal. En el captulo cuatro,

aplicamos las condiciones de equilibrio para llegar a la distancia de equilibrio

o levitacion. En el siguiente captulo, llevamos nuestra ecuacion diferencial a

53

un sistema de ecuaciones ordinarias no lineales en el tiempo, llamadas ecua-

ciones de estado. Debido a la complejidad de los sistemas no lineales, en el

captulo seis linealizamos nuestro sistema alrededor del punto de equilibrio -o

distancia de levitacion- para tener el sistema descrito de forma matricial, a

partir de las variables de entrada y de estado. En el captulo siete, hicimos el

analisis en variables de estado, donde econtramos la ecuacion caracterstica,

a partir de los valores reales del sistema, medidos experimentalmente. Dimos

los criterios de observabilidad y controlabilidad, los cuales nos permitieron

saber que variable era posible observar -la distancia de levitacion- y si era

posible crear un control -mecanismo para mantener el objeto levitando. Fi-

nalmente, dimos la funcion de tranferencia, la cual relaciona la entrada con

la salida, para de ah, disenar el controlador con los parametros adecuados.

En el captulo ocho, utilzamos la tecnica del lugar geometrico de las races

para compensar nuestro sistema, lo cual nos permitio levitar el objeto a la

distancia deseada. Entonces, hemos demostrado que el sistema puede ser con-

trolado con una ganancia c = 26. Existen algunos otros factores que podran

tomarse en cuenta, como la temperatura del objeto, entre otras perturbacio-

nes, temas que espero poder abordar en mis estudios de posgrado.

54

Apendice A

Conceptos de electricidad

Definicion A.0.1 Se define la corriente en un punto especfico y que fluye

en una direccion especfica como la rapidez instantanea a la cual la carga

neta positiva se mueve a traves de ese punto en la direccion especfica. La

corriente se representa por I o i, y, por lo tanto,

i =dq

dt. (A.1)

La unidad de corriente es el ampere (A), que corresponde a una carga que

se mueve con una rapidez de 1 C/s.

La carga transferida entre el tiempo t0 y t puede expresarse como una

integral definida,

q |tt0= tt0

i dt. (A.2)

La carga total transferida durante todo el tiempo se obtiene sumando q (to),

la carga transferida hasta el tiempo t0, a la expresion anterior,

q =

tt0

i dt+ q (to) . (A.3)

55

Definicion A.0.2 Se define el voltaje entre los extremos del elemento1 como

el trabajo requerido para mover una carga positiva a traves del elemento. Se

dice que entre las dos terminales existe un voltaje electrico o una diferencia

de potencial. La unidad del voltaje es el volt (V ), y se representa por V o

v.

Definicion A.0.3 La potencia es la rapidez con la cual se gasta energa

en un circuito, y se representa por P o p. La potencia absorbida debe ser

proporcional tanto al numero de coulombs transferidos por segundo, o co-

rriente, como a la energa requerida para transportar un coulomb a traves del

elemento, o voltaje. Por tanto,

p = vi. (A.4)

La potencia se mide en watts.

Definicion A.0.4 (Ley de Ohm). El voltaje entre los extremos de muchos

tipos de materiales conductores es directamente proporcional a la corriente

que fluye a traves del material,

v = Ri (A.5)

donde la constante de proporcionalidad R recibe el nombre de resistencia. La

unidad de resistencia es el ohm () .

Definicion A.0.5 (Ley de corrientes de Kirchhoff). La suma algebraica de

las corrientes que entran a cualquier nodo es cero, i.e.,

Nn=1

in = 0. (A.6)

1Se define a un elemento de circuitos muy general como un objeto de cualquier forma

con dos terminales, a las cuales se pueden conectar otros elementos.

56

Definicion A.0.6 (Ley de voltajes de Kirchhoff). La suma algebraica de los

voltajes que entran a cualquier nodo es cero, i.e.,

Nn=1

vn = 0. (A.7)

Definicion A.0.7 Un campo magnetico variable puede inducir un voltaje

en un circuito cerrado. Este voltaje es proporcional a la rapidez de cambio,

con respecto al tiempo, de la corriente que produce el campo magnetico. A la

constante de proporcionalidad se le llama inductancia, simbolizada por L, y,

por lo tanto,

v = Ldi

dt. (A.8)

La unidad de la inductancia es el henry.

El inductor cuya inductancia esta definida por (A.8) es un modelo ma-

tematico. Un inductor fsico se puede hacer enrollando alambre a un campo

magnetico.

57

Apendice B

Diagramas

B.1. Diagrama esquematico del levitador magneti-

co

En la figura B.1 podemos observar el diagrama esquematico del levitador

B.2. Diagrama del controlador

Fsicamente, nuestro controlador es muy sencillo de disenar, ya que con-

siste unicamente de un capacitor en serie y una resistencia en paralelo. Segun

Fig B.2, observamos los valores de los componentes electricos, siguiendo el

calculo de constantes segun[1].

Gc =s+ 1

s+ 1c

.

58

c =R2

R1 +R2=

22k

150k + 22k=

22k

172k= 0,1,

= R1C = (150k) (0,2F ) = 0,03.

Con lo cual tenemos

Gc =s+ 33

s+ 333

lo cual nos da una buena aproximacion a nuestro calculo de a y b, segun

encontramos teoricamente.

B.3. Diagrama por bloques del modelo

En la figura B.3 observamos el diagrama por bloques de nuestro modelo

compensado.

59

Figura B.1: Diagrama del levitador

60

Figura B.2: Esquema del Controlador

61

Figura B.3: Diagrama por bloques del modelo

62

Bibliografa

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[25] Kuo, B. Sistemas de Control Automatico. 7a ed. Prentice-Hall, Mexico,

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65

IntroduccinConceptos BsicosDefinicin de sistema de controlClasificacin de los sistemas de controlSistema de control de lazo abierto y cerradoSistemas de control analgicos y digitalesSistemas de control lineal y no lineal

Caractersticas de los sistemas de controlEstabilidadExactitudVelocidad de respuestaSensibilidad

Anlisis y diseo del sistemaEquilibrio del sistemaEcuacin de estadoLinealizacinAnlisis en variables de estadoEcuacin caractersticaControlabilidadObservabilidadFuncin de transferencia.

ControlEstabilidad y ubicacin de los valores propiosTcnica del lugar de las racesConstruccin grfica del lugar de las races.Efectos de adicin de polos y ceros a G0( s)

Controlador

ConclusionesConceptos de electricidadDiagramasDiagrama esquemtico del levitador magnticoDiagrama del controladorDiagrama por bloques del modelo