fisica dell'atmosfera

Note del Corso di Fisica Atmosferica

Laurea Triennale in Fisica. Universita di Cagliari

Piero Olla

30 dicembre 2009

Indice

1 Considerazioni generali 5

1.1 Struttura e composizione dell’atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Bilanci energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Circolazione atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Meteorologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Clima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Richiami di probabilita e statistica 15

2.1 Definizioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Somme di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Radiazione e ottica atmosferica 19

3.1 La diffusione di Raileigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Diffusione e lunghezza di estinzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Il ruolo delle fluttuazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 L’assorbimento della luce e il corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Bilancio radiativo in atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Termodinamica atmosferica 31

4.1 Equilibrio termodinamico ed entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 I potenziali termodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Cambiamenti di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Termodinamica dell’aria umida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5 L’atmosfera adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Elementi di fisica dei fluidi 45

5.1 Le condizioni per una descrizione fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Interpretazione cinetica di pressione e viscosita . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Diffusione molecolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Le equazioni fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.5 Incomprimibilita e approssimazione di Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . 535.6 Il problema delle condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.7 Turbolenza e trasporto turbolento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

4 INDICE

6 Dinamica atmosferica 65

6.1 Scale di lunghezza in atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Il vento geostrofico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3 Lo strato limite planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.4 Il ruolo della convezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.5 Lo stato di Ekman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.6 Dinamica quasi bi-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7 Problematiche modellistiche 83

7.1 Sistemi dinamici ed atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 Caos, dinamica stocastica e predicibilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.3 Risonanza stocastica e altre storie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Capitolo 1

Considerazioni generali

1.1 Struttura e composizione dell’atmosfera

L’atmosfera terrestre e l’involucro gassoso che circonda il nostro pianeta. La densita del-l’aria decresce con l’altezza in maniera approssimativamente esponenziale: al suolo e dicirca 1Kg/m3 e si riduce a circa un quinto a 10Km di altezza. Il grosso della massa d’ariaatmosferica e concentrata in questi primi 10Km; questo strato, detto troposfera, e la partedell’atmosfera dove hanno luogo i fenomeni meteorologici, e che influenza in maniera piudiretta la vita sulla terra.

L’atmosfera terrestre e composta in maniera principale da azoto e ossigeno, con frazio-ni di volume al suolo rispettivamente di circa 0.78 e 0.20; il rimanente e principalmenteacqua; le altre componenti entrano in forma di tracce. Va pero notato che gas serra, qualil’anidride carbonica CO2, l’ozono O3 e il metano CH4, nonostante la loro bassa concentra-zione (frazioni in volume, rispettivamente, 3.42 · 10−4, 10−5 e 1.6 · 10−6), contribuiscono inmaniera rilevante al bilancio energetico dell’atmosfera.

Le diverse componenti dell’atmosfera sono mescolate in maniera omogenea nei primi100Km di atmosfera grazie alla presenza dei fenomeni turbolenti. Fa eccezione il vaporeacqueo: processi quali l’evaporazione al suolo, la formazione delle nubi e le precipitazioni,si verificano infatti in maniera spazialmente disomogenea, e piu velocemente dei processidi rimescolamento necessari a omogeneizzare il tutto.

Al di sopra dei 100Km, i fenomeni di diffusione molecolare diventano rapidamentedominanti rispetto a quelli di trasporto turbolento. La decrescita esponenziale con l’altezzadella densita e difatti associata alla crescita esponenziale del cammino libero medio dellemolecole: si passa da una frazione di micron al suolo a circa 1m a 100Km di altezza,e, come spiegato nel Capitolo 5, cio rende la diffusione molecolare un meccanismo per iltrasporto di materia piu efficiente dei moti collettivi turbolenti. Il risultato e una situazioneanaloga a quella in una cisterna di aria stagnante, in cui i gas pesanti si accumulano sulfondo: salendo di quota in atmosfera, le frazioni piu leggere, in particolar modo l’idrogeno,diventano prevalenti.

Al di sopra dei 500Km, il cammino libero medio delle molecole diventa esso stesso

5

6 CAPITOLO 1. CONSIDERAZIONI GENERALI

absorbedby clouds

20

48

169

21 69 16

Shortwave FluxReflected

by H O, O2 3,aerosol

absorbed

Clouds

Air

gases, aerosolGreenhouse

390

9022 125

Longwave fluxOutgoing

343

Shorwave FluxIncident

16

Clouds

heat fluxSensible Latent

heat fluxSurface

Atmosphere

90327

248120

Figura 1.1: Bilancio energetico medio globale in W/m2 (tratto da M.L. Salby, pag. 45).

dell’ordine delle centinaia di Km e si ha di fatto la transizione da atmosfera terrestre aspazio interplanetario. In questa zona, detta esosfera, diventa infatti sempre piu grandela frazione di molecole con velocita dell’ordine della velocita di fuga, e vi e uno scambiocontinuo di molecole fra gas interplanetario e atmosfera terrestre.

1.2 Bilanci energetici

Il sole costituisce la sorgente energetica principale per l’atmosfera terrestre. Il flusso dienergia della radiazione solare a una distanza dal sole pari a quella della terra e di circa1372W/m2. La superficie terrestre e 4 volte la sezione (un cerchio) intercettata dai raggisolari. Pertanto, il flusso medio sulla superficie terrestre e pari a circa 1/4 1372W/m2 =343W/m2. Allo stato stazionario, evidentemente, un identico flusso di energia deve esserepresente in uscita dalla atmosfera terrestre. Come spiegato nel Capitolo 3, la radiazionesolare e centrata intorno alla banda del visibile, mentre quella proveniente dalla terra hasia una componente nel visibile, dovuta a riflessione e diffusione della radiazione solare,che una componente di radiazione termica, dovuta a emissione di corpo nero dal suolo edall’atmosfera.

Il grosso dei processi di diffusione, riflessione e assorbimento di radiazione solare, edi emissione di radiazione termica, si verificano nella troposfera. Un regime stazionariosuggerirebbe un bilanciamento esatto fra radiazione solare incidente e emissione termicadal suolo. Come illustrato in Fig. 1.1, pero, le cose non sono cosı semplici. In particolare,vi e una forte differenza tra la radiazione solare assorbita dal suolo: 169W/m2 e l’energiaceduta dal suolo sotto forma di radiazione termica 390W/m2, convezione (calore sensibile)16W/m2 e processi di evaporazione (calore latente) 90W/m2. Quello che succede e cheuna grossa frazione del calore che l’atmosfera riceve dal sole (e dal suolo), viene di nuovo

1.3. CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA 7

ceduta al suolo sotto forma di radiazione termica. Per mantenere l’equilibrio, a parita diradiazione solare diretta assorbita, il suolo deve quindi emettere piu radiazione termica, eper far cio, come spiegato nel Capitolo 3, deve avere una temperatura piu alta di quantosuccederebbe in assenza di atmosfera. Quanto piu l’atmosfera e in grado di assorbire erestituire al suolo radiazione termica, tanto maggiore sara la temperatura di quest’ultimo:questo e il cosı detto effetto serra. E da notare come il contributo dominante all’effettoserra venga dalla ridotta frazione di gas serra: 248W/m2, principalmente dal vapore acqueoe dalla CO2. In assenza di questi gas, se l’atmosfera fosse composta solo di azoto e ossigeno,la temperatura media della terra sarebbe di gelidi −6oC, di 21oK inferiore a quella attuale.

A parte i 22W/m2 di radiazione termica emessi dal suolo direttamente nello spazio,corrispondenti alle bande IR a cui l’atmosfera e trasparente, il grosso della emissione ter-mica della terra verso lo spazio avviene a partire da meta della troposfera. La troposferadi fatto si comporta come una coperta il cui spessore determina la temperatura del suolo,mentre la temperatura nella sua parte superiore, dove avviene la gran parte dell’emissionenello spazio, rimane grosso modo uguale. (Questo, si intende, a parita di assorbimento diradiazione solare diretta).

Da quanto detto sin’ora, evidentemente, la temperatura nella troposfera deve diminuirecon l’altezza. Le cose cambiano nello strato successivo dell’atmosfera, la stratosfera, che siestende sino a circa 50Km di quota: in questo strato, la temperatura diventa una funzionecrescente della quota. Cio e dovuto all’assorbimento di raggi UV solari da parte dell’ozono,che ha il suo massimo nella parte superiore della stratosfera. Come si vedra nel Capitolo4, un tale profilo di temperatura e associato a una stratificazione stabile, e, in conseguenzadi cio, fenomeni meterologici in questa regione sono pressoche assenti.

Salendo ulteriormente di quota, l’assorbimento UV diminuisce e la temperatura ritornaa scendere sino a circa 85Km di quota, dove inizia l’assorbimento, attraverso ionizzazionedell’ossigeno, dei raggi UV piu energetici. Questa fascia e detta termosfera, mentre laregione di transizione tra i 50Km e gli 85Km e detta mesosfera. La presenza di un plasmaionizzato nella termosfera agisce da specchio per le onde radio a frequenze SW (onde corte)e inferiori, mentre frequenze maggiori (ad esempio le VHF e UHF televisive) l’attraversanoe richiedono satelliti (o ripetitori) per trasmissioni a grande distanza. Di fatto, l’effettopiu importante della media e alta atmosfera (dalla stratosfera in su) sulla vita del nostropianeta e quello di schermo nei confronti delle radiazioni.

1.3 Circolazione atmosferica

Diverse latitudini, a causa della differente inclinazione dei raggi solari, assorbono radiazionesolare in maniera diversa; il risultante gradiente termico e la sorgente di energia principaleper la circolazione atmosferica. Questa circolazione assume forme diverse alle diverse lati-tudini e spostandosi dall’oceano alla terraferma, ed e associata a un flusso globale mediodi calore dall’equatore ai poli.

Un ruolo centrale nella dinamica, specialmente alle nostre latitudini, e giocato dallarotazione terrestre. Come si vedra nel Capitolo 6, le forze di Coriolis dovute alla rotazione


terrestre, fanno sı che i moti atmosferici tendono a disporsi perpendicolarmente ai gradientidi pressione; in particolare, un gradiente orizontale medio di temperatura non portera ingenerale a una corrente convettiva nella stessa direzione.

In assenza di rotazione, il trasferimento di calore in atmosfera potrebbe essere realizzatotramite due celle convettive, una per emisfero, in cui aria sale calda in quota all’equatore,discende al suolo ai poli, e ritorna fredda all’equatore scorrendo al suolo. Le forze diCoriolis dovute alla rotazione terrestre modificano la situazione, e fanno sı che l’aria inquota, spostandosi verso nord e verso sud, devi allo stesso tempo sempre piu verso est,mentre quella che al suolo torna verso l’equatore, tenda a spostarsi sempre piu verso ovest.Cio, oltre a risultare in venti lungo i paralleli estremamente intensi, bloccherebbe di fattoil flusso di calore nord-sud, risultando in gradienti di temperatura altrettanto intensi, edin instabilita della configurazione.

La rotazione terrestre distrugge una circolazione basata su una cella per emisfero, la-sciando al suo posto lo schema di circolazione illustrato in Fig. 1.2. La singola cellaconvettiva si rompe di fatto alle medie latitudini, lasciando al suo posto due celle, una alpolo e una a latitudini subtropicali, quest’ultima nota con il nome di circolazione di Hadley.Il meccanismo, a grandi linee, e il seguente: a latitudini subtropicali, l’effetto della forza diCoriolis e piccolo e una cella convettiva si sviluppa come in assenza di rotazione terrestre:aria calda e umida sale in quota all’equatore, si sposta a latitudini piu alte, e torna alsuolo a circa 30o di latitudine, dopo aver perso la sua umidita in seguito alle precipitazioni.(Notare che, attraverso le precipitazioni, calore latente e ceduto all’aria in quota, che poicede questa energia tramite irraggiamento). Questo genera una zona di clima arido ed altepressioni, corrispondente sulla terraferma alla regione dei grandi deserti. Parte dell’ariaal suolo ritorna, mista ad aria da latitudini piu alte, verso l’equatore, parte entra a farparte della circolazione alle latitudini intermedie. Le forze di Coriolis causano comunqueuna prevalenza di venti occidentali in quota e orientali al suolo. Questi ultimi sono dettialisei. Nella zona di convergenza all’equatore e di divergenza attorno ai 30o, in mare, sonocaratteristiche situazioni di bonaccia.

La cella polare funziona in maniera analoga. L’aria umida e calda (relativamente aipoli) attorno ai 60o di latitudine, sale in quota ed e trasportata verso il rispettivo polo, dovearriva priva di umidita a causa delle precipitazioni, generando una zona di alta pressionepolare. I venti hanno anche qui una componente da ovest in quota e da est al suolo. Inentrambi i casi della circolazione di Hadley e della cella polare, calore e estratto dalle basselatitudini attraverso evaporazione e trasportato tramite convezione alle alte latitudini. Ilmeccanismo e di fatto quello di una macchina termica.

Nella circolazione alle medie latitudini, detta circolazione di Ferrel, il meccanismo none quello della convezione, ma e bensı di tipo dinamico: l’instabilita dei margini della zonadi alta pressione tropicale, e di quelli della cella polare. In media, si ha una circolazione insenso opposto a quella della cella di Hadley, con venti che, come spiegato nel Capitolo 6,sono prevalentemente occidentali sia al suolo che in quota. Di fatto, pero, la circolazione diFerrel non e qualcosa di stazionario, e il calore non e trasportato verso le alte latitudini dauna singola cella convettiva, ma dall’effetto cooperativo di vortici ciclonici e anticiclonici,in una condizione di fatto di trasporto turbolento. Ruolo importante nel bilancio energe-

1.3. CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA 9

Figura 1.2: Circolazione a scala planetaria (da NASA-JPL).

tico in questa regione e giocato dalla formazione di fronti, cioe zone di forti gradienti ditemperatura, che danno origine a forte attivita meteorologica. Un esempio e il marginedella cella polare (fronte polare), che e la regione di convergenza tra l’aria fredda della cellapolare e quella piu calda e umida proveniente dalle latitudini inferiori.

La complessita del tempo meteorologico a latitudini intermedie e dovuta in parte allapresenza di fenomeni che agiscono in maniera cooperativa a scale diverse. Si va dallascala planetaria, alla scala delle aree di alta e bassa pressione (scala sinottica), a quelladei fronti (mesoscala), a quella delle singole nubi (microscala). A tutti i livelli, gioca unruolo importante la natura della superficie terrestre, la presenza del mare e l’orografia dellaterraferma.

Va sottolineato che anche a latitudini subtropicali, la circolazione di Hadley fornisce solouna descrizione approssimata della dinamica atmosferica. Anche qui, un ruolo importantee giocato dalla presenza di terre emerse e oceano, che innescano schemi di circolazionead andamento stagionale, e celle convettive non necessariamente orientate in direzionenord-sud. Un esempio di circolazione non orientata in direzione nord-sud e la cosı dettacircolazione di Walker, che si sviluppa in direzione est-ovest sull’Oceano Pacifico, con ariacalda umida che sale nella regione della Polinesia e discende secca sulla costa occidentaledell’America. Su questa, si innescano variabilita sulla scala di anni (la ”nina” e il ”nino”).Un esempio di circolazione stagionale, invece, e fornito dai monsoni, che caratterizzano ilclima del sud dell’Asia, dall’India sino al sud del Giappone. Durante la stagione estiva, ilforte riscaldamento della terraferma innesca una cella convettiva dall’oceano al continente,dove la risalita in quota di aria umida in corrispondenza dell’Himalaya genera precipitazioniintense durante il tragitto di ritorno all’oceano. Durante l’inverno, il mare invece e piucaldo e si ha un flusso di aria priva di dalla terraferma all’oceano. L’aria richiamatadall’Himalaya al livello del suolo fa sı che il clima invernale sia prevalentemente secco.


Figura 1.3: Un esempio di carta del tempo con isobare (in millibar: linee sottili) e fronti(linee con triangoli e semicerchi); massimi e minimi di pressione sono indicati con H e L.

1.4 Meteorologia

I fenomeni che determinano la dinamica atmosferica si verificano a scale temporali chevanno dalla frazione di secondo a svariati anni. La scala che va dai minuti a qualchegiorno e quella dei fenomeni meteorologici; mediando sulla scala degli anni, si passa aparlare di clima. La descrizione matematica di questi fenomeni e resa difficoltosa dalgrande numero di variabili in gioco. Questa difficolta e evidente nel bilancio energetico diFig. 1.1. Una stima per ordini di grandezza della temperatura al suolo e certo possibileconsiderando solo l’effetto serra. Eventi climatici importanti (aumento del livello del mareper scioglimento dei ghiacci) dipendono pero in maniera sensibile sulla temperatura: unaprecisione dell’ordine del grado e necessaria. Diventa percio necessario tenere in contoanche gli altri contributi, e, mentre quello dei gas serra puo essere calcolato in manieraesatta, ce ne sono alcuni, come quelli che hanno a che fare con nubi e precipitazioni, checontengono componenti ancora non completamente capite.

Per quanto riguarda la meteorologia, uno dei passi avanti fondamentali e stato la deri-vazione di equazioni semplificate in grado di descrivere la dinamica atmosferica. In pratica,queste comprendono un sistema di equazioni per il moto atmosferico (cioe per il bilanciodelle forze delle varie masse d’aria), un sistema di equazioni di bilancio energetico (cioeequazione di stato, assorbimento di radiazione, cambiamenti di fase per l’umidita dell’aria)e un insieme di condizioni al contorno al suolo.

A partire da queste equazioni, e possibile fare previsioni sull’evoluzione di una situazio-ne meteorologica caratterizzata da profili osservati di temperatura, pressione e coperturanuvolosa. Un esempio e mostrato nella carta del tempo in Fig. 1.3. In alcuni casi, ca-ratteri generali della evoluzione del tempo possono essere ottenuti in maniera qualitativa(ad esempio la circolazione attorno alle aree di alta o bassa pressione, o le caratteristiche

1.5. CLIMA 11

dei fronti). In altri casi, l’evoluzione non e chiara e la risoluzione numerica delle equazionidiventa necessaria; oggi come oggi, le previsioni del tempo sono ottenute di solito in questamaniera. In alcuni casi pero, come esperienza insegna, le previsioni ”non ci prendono”.Quello che succede in questi casi e che evoluzioni diverse a partire da condizioni inizialisimili sono possibili; si parla in questi casi di forte dipendenza dalle condizioni iniziale e sidice che il sistema meteorologico, globalmente, e caotico.

In linea di principio, il problema si potrebbe risolvere rendendo piu precise le condizioniiniziali del problema. La situazione e analoga al lancio di una moneta, in cui, controllandoil lancio e studiando in dettaglio l’urto con il tavolo, si potrebbe determinare in anticipo seviene testa o croce. Ci sono pero diverse limitazioni. In primo luogo, un simile discorso siapplica solo a previsioni a breve scadenza: a tempi lunghi ci sono molti ”lanci di moneta”nella evoluzione del tempo e fare previsioni richiederebbe una precisione esponenzialmentealta; si ha difatti il cosı detto ”effetto farfalla”: un battito di ali di una farfalla, contribuiscea tempi sufficientemente lunghi (diciamo un mese) a determinare se una certa condizionemeteorologica si verifica o meno. La seconda limitazione e nella natura approssimata delleequazioni utilizzate. In particolare, vi e un problema serio di microscala: le equazioni sem-plificate hanno una risoluzione finita, per cui, eventi al di sotto di una certa scala vengonotenuti in conto in maniera statistica attraverso parametri nelle equazioni. Un esempio eil concetto di eddy diffusivity che si introdurra nel Capitolo 5. La situazione e diversada quello che si verifica passando da livello atomico a scala macroscopica, ad esempio inun gas, in cui le proprieta atomiche si perdono quando se ne considera la termodinamica.Nella evoluzione di un fronte, invece, non e chiaro quanto (per dire) i contributi dei singolicumulonembi possano essere mediati a priori attraverso una parametrizzazione. Vi e quindiuna limitazione intrinseca alla precisione di una previsione, che va oltre quella ottenibileaffinando le misure (per esempio dati da satellite) per le condizioni iniziali.

1.5 Clima

Considerando scale di tempo piu lunghe, si ha la transizione da previsioni meteorologiche aprevisioni a scala stagionale e infine a scala climatica. Quello che si verifica al crescere dellascala di tempo e il contributo crescente da parte delle condizioni al contorno del problema,in particolare gli scambi di calore con l’oceano. Per avere un’idea, meno degli ultimi 10mdi oceano contengono la stessa energia termica della atmosfera al di sopra. Nel caso deimonsoni, si e visto un esempio del ruolo di serbatoio di energia giocato dall’oceano neldeterminare i regimi di precipitazione a scala stagionale.

A scala piu lunga, l’oceano inizia a giocare un ruolo piuttosto complesso, che va oltrequello di fornire un volano per il bilancio energetico dell’atmosfera. In assenza di volani,un cambio ad esempio nella percentuale di CO2 dell’atmosfera si riperquoterebbe in uneffetto serra maggiore, probabilmente una modificazione della circolazione, e un rapidoadattamento della temperatura terrestre al nuovo regime. L’effetto di volano fa sı chequesto cambiamento non sia istantaneo. Oltre che attraverso la sua inerzia, pero, l’oceanocontribuisce alla dinamica atmosferica a scala climatica attraverso le correnti oceaniche;


Figura 1.4: Schema di circolazione oceanica; blu acque profonde, rosso superficiali.

un esempio e la Corrente del Golfo. Queste correnti, il cui percorso e indicato in Fig.1.4, portano in superficie le acque profonde dell’oceano e permettono loro di contribuire alforzaggio dell’atmosfera. Questo sistema di correnti costituisce la cosı detta circolazionetermoalina dell’oceano, dove il termine ”termoalino” indica che si ha trasporto sia di caloreche di sale. L’oceano, e scaldato in superficie dalla radiazione solare; e quindi stratificatoin maniera stabile (almeno trascurando l’effetto del sale), con acqua piu calda poco densain superficie e acqua fredda piu densa in profondita. Di fatto, la temperatura non decrescein maniera graduale con la profondita. Lo strato superficiale, sino a un centinaio di metridi profondita, e mescolato dalle correnti turbolente innescate in superficie dal vento e dalleonde. Quindi, la temperatura e abbastanza uniforme. Al di sotto, si ha una fascia di rapidadecrescita di temperatura (circa un altro centinaio di metri), detto termoclino, al di sottodel quale, iniziano le acque profonde, in cui si raggiungono temperature dell’ordine di 0oC.La fascia di mixing e il termoclino sono evidentemente molto meno pronunciati nei maripolari a causa delle basse temperature in superficie.

La presenza del sale varia la densita dell’acqua, in modo che acque meno salate sonoanche meno dense. Le variazioni di salinita nell’acqua sono il motore che innesca le correntioceaniche. Infatti, l’evaporazione prodotta dal vento e la formazione di ghiaccio nei maripolari, sono entrambi processi che aumentano la salinita dell’acqua in superficie (il processodi congelamento porta a rilascio di sale nell’acqua circostante). Il risultato e la destabiliz-zazione della debole stratificazione dell’oceano in area polare e la subsidenza delle acquesuperficiali verso il fondo. Queste acque scorrono poi sul fondo verso l’equatore (tempo dipercorrenza circa 1000 anni!) da dove ritornano ai poli in superficie, contribuendo cosı altrasporto di calore verso le alte latitudini.

Un esempio di interazione non banale tra oceano e clima e l’effetto dello scioglimentodei ghiacci: diminuendo la salinita dell’oceano a latitudini polari e diminuendo la de-stabilizzazione indotta dai processi di evaporazione e formazione di ghiaccio, si potrebbe

1.5. CLIMA 13

infatti bloccare il processo di subsidenza e modificare la circolazione oceanica. Questomodificherebbe in conseguenza la circolazione atmosferica.

Purtroppo, spostandosi dalla scala meteorologica a quella climatica, aumenta il nume-ro dei processi che potrebbero influenzare la dinamica atmosferica. Per esempio, grandiquantita di CO2 sono presenti negli abissi oceanici e potrebbero essere destabilizzati an-ch’essi da un cambio nella circolazione termoalina, ed essere rilasciati in atmosfera. Unaltro esempio e fornito dalla biosfera: e certo che essa contribuisce in maniera importanteal clima, ma le dinamiche che entrano in gioco sono estremamente complesse e non ancoraben comprese.

Un illuminante esempio dei complicati feedback che entrano in gioco considerando ilproblema dei cambiamenti climatici e l’effetto degli aerosol. Un aumento di aerosol puoportare a una diminuzione di irraggiamento solare alla superficie terrestre (global dim-ming). Allo stesso tempo pero, se l’questo aerosol e anche un buon assorbitore di radiazionetermica, potrebbe contribuire all’effetto serra. Se poi le particelle hanno dimensioni suffi-cientemente piccole e sono presenti nella bassa troposfera, siccome agiscono come nuclei diaggregazione per la condensazione dell’acqua, potrebbero influenzare, incrementandola, laformazione di nuvole e quindi di pioggia. Ma se i nuclei sono troppi, si potrebbero formarenuvole con molte goccioline troppo piccole per permettere poi la formazione di pioggia. Ecosı via.

Non si dispone al momento di un sistema di equazioni semplificate per modellare i cam-biamenti climatici, analogo a quello utilizzato a scala meteorologica. In particolare, nonsi sa di preciso cosa potrebbe succedere in conseguenza dell’incremento di CO2 in atmo-sfera, se non l’ovvia osservazione che, date le attuali condizioni di riscaldamento globale,l’umanita potrebbe davvero stare ”giocando col fuoco”.

Riferimenti

• M.L. Salby, ”Fundamentals of atmospheric physics”, Chapter 1.

• J. Houghton, ”Global warming”

Capitolo 2

Richiami di probabilita e statistica

2.1 Definizioni principali

Concetti di probabilita e statistica entrano in varie forme in fisica dell’atmosfera. Laderivazione di parametrizzazioni delle scale non risolte nelle equazioni per la dinamica at-mosferica, richiede una trattazione statistica degli effetti della microscala sulle scale risolte.A causa della presenza di caos in queste equazioni, le stesse previsioni meteorologiche an-drebbero intese in senso probabilistico, e infatti alcune tecniche di previsione (ensembleforecast) sono basate sulla simulazione tipo Monte Carlo di evoluzione della situazione me-teorologica a partire da dati iniziali leggermente diversi. Si richiamano di seguito alcunedefinizioni di base di probabilita e statistica.

Dato un insieme di possibili risultati, per esempio misure di temperatura T1 e T2 in dueistanti diversi, possiamo calcolare la probabilita P (A) di eventi, definiti come insiemi dipossibili risultati. Dal punto di vista probabilistico, le variabili T1 e T2 sono dette variabilirandom o aleatorie. Ecco un esempio semplice di evento A:

A = T1 < 20oC; T2 qualsiasi

ecco un un esempio piu complicato:

A = T1 < 20oC e se T1 < 10oC, allora T2 < 5oC.

Per risultati che variano in modo continuo, definiamo la funzione densita di probabilita oPDF. Nel nostro caso bi-dimensionale, la PDF ρ e definita a partire da un generico eventoA come:

P (A) =

∫

A

dT1dT2ρ(T1, T2);

Per evitare ambiguita, si usa spesso la scrittura ρT1,2(T1, T2), con la quale si intende ”ilvalore della PDF per le variabili aleatorie T1,2 calcolata in T1,2 = T1,2. Possiamo averePDF piu complicate in cui una variabile e integrata e l’altra no; ad esempio:

ρ(T1, B) =

∫

B

dT2ρ(T1, T2)

15

16 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITA E STATISTICA

Una PDF nella forma ρ(T1, T2) e detta PDF congiunta di T1 e T2. Dalla PDF congiuntapossiamo ottenere le cosı dette PDF marginali dei valori di ciascuna delle due variabiliindipendentemente dal valore assunto dall’altra:

ρ(T1) =

∫

dT2ρ(T1, T2) ρ(T2) =

∫

dT1ρ(T1, T2)

Da qui otteniamo le PDF condizionate:

ρ(T1|T2) =ρ(T1, T2)

ρ(T2); ρ(T2|T1) =

ρ(T1, T2)

ρ(T1)

che hanno senso qualora la PDF dell’evento condizionante (la condizione su T2 nel primocaso, su T1 nel secondo) sia non nulla.

Le due variabili T1 e T2 sono dette statisticamente indipendenti se la PDF congiunta eil prodotto delle PDF marginali:

ρ(T1, T2) = ρ(T1)ρ(T2)

Notare che dalla definizione di PDF condizionale abbiamo che, se le variabili T1,2 sonostatisticamente indipendenti, le PDF marginali e condizionate coincidono:

ρ(T1|T2) = ρ(T1); ρ(T2|T1) = ρ(T2).

Ovviamente, se le variabili sono indipendenti, il risultato della misura di una delle duedeve essere indipendente dal fatto che l’altra abbia un certo valore o meno.

Notare che l’evento in cui T1 e T2 hanno valori definiti (per capirsi T1,2) puo esserescritto come l’intersezione di due eventi

T1 = T1 e T2 qualsiasi; T1 qualsiasi e T2 = T2.

La definizione usuale di probabilita congiunta e data infatti di solito in forma insiemistica:dati due eventi A e B la loro probabilita congiunta e:

P (AB) = P (A ∩ B).

Possiamo quindi definire probabilita e PDF condizionate ad eventi diversi da T1 = T2 oT1 = T1:

P (A|B) =P (AB)

P (B), ρ(T1, T2|B) =

ρ(T1,2 = T1,2 ∩ B)

P (B)

Data una funzione f(T1, T2), definiamo la sua media:

〈f〉 =

∫

dT1dT2 f(T1, T2).

In maniera analoga alle PDF e probabilita condizionate, definiamo la media condizionata:

〈f |B〉 =

∫

dT1dT2ρ(T1, T2|B)f(T1, T2).

2.2. SOMME DI VARIABILI ALEATORIE 17

La media gode di ovvie proprieta di linearita, e cioe, se f e g sono variabili aleatorie e c euna costante:

〈(f + g)〉 = 〈f〉 + 〈g〉; 〈cf〉 = c〈f〉.L’esempio piu semplice di funzione che possiamo prendere e la variabile aleatoria stessa;abbiamo quindi la media della distribuzione (nel nostro caso un vettore a due componenti):

µTk= 〈Tk〉, k = 1, 2

Abbiamo poi le due varianze:

σ2Tk

= 〈(Tk − µk)2〉 = 〈T 2

k 〉 − µ2k, k = 1, 2

Un’altra funzione importante e la cosı detta funzione indicatrice, che non e altro che ladelta di Dirac:

δT1,2(T1, T2) = δ(T1 − T1)δ(T2 − T2)

La sua media per definizione non e altro che la PDF stessa:

〈δT1,2〉 =

∫

dT1dT2ρ(T1, T2)δ(T1 − T1)δ(T2 − T2) = ρ(T1, T2)

Date due funzioni f(T1, T2) e g(T1, T2), definiamo correlazione delle due funzioni la mediadel prodotto: 〈fg〉; f e g si diranno scorrelate se la loro correlazione e uguale al prodottodelle medie. Abbiamo il risultato ovvio che variabili statisticamente indipendente sarannoanche scorrelate; per esempio, se T1 e T2 sono statisticamente indipendenti, avremo:

〈T1T2〉 =

∫

dT1dT2 ρ(T1, T2)T1T2 =

∫

dT1 ρ(T1)T1

∫

dT2 ρ(T2)T2 = 〈T1〉〈T2〉

Il viceversa non e vero: possiamo avere variabili aleatorie scorrelate che non sono statisti-camente indipendenti.

2.2 Somme di variabili aleatorie

Dal punto di vista statistico, la media e stimata dalla media campionaria. Se Tk e ilrisultato della k-esima misura della variabile T , la media campionaria sara definita come

〈T 〉N =1

N

N∑

k=1

Tk

Questa e ancora una variabile aleatoria che assumera valori diversi in diversi campioni. Nellimite N → ∞ ci aspettiamo pero che 〈T 〉N → 〈T 〉. Questa affermazione e resa piu precisadalla legge dei grandi numeri: se gli esperimenti sono indipendenti e se media e varianzadi T sono finite, la deviazione 〈T 〉N −〈T 〉 sara una variabile aleatoria la cui varianza tendea zero per N → ∞ come N−1σ2

T .

18 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITA E STATISTICA

Diamo la dimostrazione di questo risultato. La varianza della deviazione 〈T 〉N − 〈T 〉 edata da

σ〈T 〉N =⟨[ 1

N

N∑

k=1

Tk − 〈T 〉]2⟩

=1

N2

⟨[

N∑

k=1

[Tk − 〈T 〉]]2⟩

Espandendo il quadrato e portando la somma fuori dalla media troviamo:

1

N2

N∑

k,j=1

〈[Tk − 〈T 〉][Tj − 〈T 〉]〉 =1

N2

N∑

k

〈[Tk − 〈T 〉]2〉 +1

N2

N∑

k 6=j=1

〈[Tk − 〈T 〉][Tj − 〈T 〉]〉.

Ora essendo Tk diversi variabili aleatorie statisticamente indipendenti, le correlazioni nel-l’ultima somma nella espressione qui sopra saranno uguali ai prodotti delle medie dei singolifattori

〈[Tk − 〈T 〉][Tj − 〈T 〉]〉 = 〈[Tk − 〈T 〉]〉〈[Tj − 〈T 〉]〉 = 0

giacche 〈Tk〉 = 〈T 〉. Abbiamo quindi che solo i termini diagonali nella somma contribui-scono e otteniamo

σ〈T 〉N =1

N2〈[Tk − 〈T 〉]2〉 = N−1σ2

T .

Un ulteriore risultato, detto teorema del limite centrale, ci dice che le deviazioni 〈T 〉N −〈T 〉nel limite di grandi N sono distribuite secondo una Gaussiana:

ρ(〈T 〉N) =1

(2π)1/2σ〈T 〉N

exp( [〈T 〉N − 〈T 〉]2

2σ〈T 〉N

)

.

Esercizi

1. Supponiamo le variabili aleatorie T1,2 distribuite in modo equiprobabile nel triangolocon vertici (0, 0), (0, 1), (1, 1). Calcolare le PDF e probabilita condizionate ρ(x|y >0.5) e P (y > 0.5|x)

Capitolo 3

Radiazione e ottica atmosferica

3.1 La diffusione di Raileigh

La radiazione elettromagnetica interagisce con le molecola d’aria fondamentalmente in duemodi: puo essere assorbita oppure diffusa. Componenti di radiazione con frequenze lontaneda quelle di transizione delle molecole, subiranno principalmente un processo di diffusione,detto diffusione di Raileigh. Non si ha assorbimento di energia da parte delle molecolee i fotoni sono semplicemente diffusi dalle molecole. Questa e l’interazione dominante afrequenze corrispondenti alla finestra del visibile.

Il processo di diffusione puo essere descritto in maniera pressoche classica. Le dimen-sioni delle molecole sono molto minori della lunghezza d’onda della luce (diciamo 10−8cmper una molecola di O2 contro 4 · 10−5cm per la luce violetta), pertanto, le molecole vedo-no il campo della radiazione come se fosse uniforme. Le cariche all’interno delle molecoled’aria sono non relativistiche; inoltre, il campo elettrico E0 e magnetico B0 in un ondaelettromagnetica hanno uguale intensita; pertanto la forza di Lorentz ∼ ev/c B0 con cuiil campo elettromagnetico agisce su una carica e trascurabile rispetto alla forza elettricaeE0. Se la molecola e neutra, essa reagira al campo elettrico polarizzandosi e assumendoun momento di dipolo elettrico d proporzionale a E0

d(t) ≃ γE0(x0, t), (3.1)

dove x0 e la posizione della molecola e γ e detta la polarizzabilita della molecola. La pola-rizzabilita elettrica della molecola puo essere espressa in termini di proprieta macroscopichedel mezzo, tramite la legge di Clausius-Mossotti:

ǫ ∼ 1 + αnγ, (3.2)

dove n e la densita numerica (molecole in unita di volume) del gas, ǫ e la costante dielettricaed α e una costante adimensionale.

Si puo vedere la polarizzazione come il risultato della perturbazione delle traiettorieelettroniche in risposta al campo elettrico. Questa risposta sara dipendente dalla inten-sita del campo E0 e dalla frequenza naturale ω0 degli elettroni (la ”molla” di richiamo).

19

20 CAPITOLO 3. RADIAZIONE E OTTICA ATMOSFERICA

Nota bene che molecole come N2 ed O2 hanno momento di dipolo elettrico nullo allostato fondamentale; nel caso di molecole asimmetriche quali H2O, una analisi piu accu-rata dell’orientazione del dipolo naturale in risposta al campo, tenendo in conto l’effettodell’agitazione termica, sarebbe necessaria.

In risposta alla presenza di cariche accelerate all’interno del dipolo oscillante, si generaun’onda elettromagnetica diffusa, approssimativamente sferica e in fase con la radiazioneincidente. A partire dalle equazioni di Maxwell e possibile mostrare che il campo elettricodell’onda diffusa e:

E(x, t) ∼ |d|c2|x − x′| . (3.3)

Immaginando che il campo elettromagnetico incidente sia quello di un’onda piana mono-cromatica (piu precisamente, focalizzandosi su una delle componenti di Fourier del campoincidente), e possibile determinare la frazione di energia dell’onda incidente, diffusa dallamolecola. La frazione di energia diffusa e definita in maniera precisa a partire dal flusso Φ0

(piu esattamente densita di flusso) di energia dell’onda incidente, cioe l’energia del campoelettromagnetico che attraversa l’unita di superficie (perpendicolare alla direzione di pro-pagazione dell’onda) nell’unita di tempo. Dal punto di vista quantistico, Φ0/(~ω) fornisceil numero di fotoni di energia ~ω, con ~ ≃ 10−34J s la costante di Planck e ω la frequenzadell’onda, che attraversano l’unita di superficie nell’unita di tempo. La probabilita cheun fotone che attraversa l’unita di superficie, venga diffuso dalla molecola, sara quindi ilrapporto tra la potenza diffusa W e il flusso Φ0, e avra le dimensioni di una superficie.

Il rapporto σs = W/Φ0 e detto la sezione di diffusione di Raileigh della molecola e puoessere determinato in funzione della polarizzabilita della molecola a partire dalle Eq. (3.1)e (3.3). Com’e noto, il flusso di energia di un onda elettromagnetica e dato dal vettore diPoynting; prendendone il modulo, si ha, nel caso dell’onda incidente:

Φ0 =c

4π|E0 × B0| ∝ cE2

0 (3.4)

Nel caso dell’onda diffusa, il flusso sara Φ ∼ cE2 e la potenza totale emessa sara il flussointegrale attraverso una superficie chiusa attorno al dipolo. Considerando la superficiesferica di raggio |x − x0| centrata in x0, si avra

W = 4π|x − x0|2Φ ∼ c|x − x0|2E2.

Se ω e la frequenza dell’onda incidente, si avra dalla (3.1) d(t) ∝ e−ωt e la (3.3) diventera

E ∼ ω2γE0

c2x−x0|. Sostituendo in W e utilizzando la (3.4), si ottene per la sezione d’urto di

diffusione di Rayleigh:

σs =W

Φ0

∼ γ2ω4

c4(3.5)

L’equazione (3.5) ci dice che le alte frequenze sono diffuse in maniera piu efficace. Questospiega il colore azzurro del cielo come il risultato della diffusione della componente di piualta frequenza della luce solare dalle molecole in atmosfera. In maniera analoga e spiegatoil colore rosso al tramonto del sole e della porzione di cielo circostante: la luce diretta e gia

3.2. DIFFUSIONE E LUNGHEZZA DI ESTINZIONE 21

stata privata delle componenti di alta frequenza e anche la luce diffusa che ci raggiunge edominata dalla componente di bassa frequenza.

Per frequenze sufficientemente alte, la lunghezza d’onda della luce incidente diventadell’ordine delle dimensione della particella diffondente e le approssimazioni utilizzate perraggiungere la Eq (3.5) cessano di essere valide. La sezione d’urto di diffusione cessa dicrescere con ω. Questa situazione si verifica nel caso di diffusione da particelle di aerosol,le quali possono raggiungere dimensioni di svariati micron, ben al di sopra della lunghezzad’onda della luce visibile. La diffusione di radiazione elettromagnetica da sfere dielettrichedi dimensioni dell’ordine o superiori alla lunghezza d’onda e detta diffusione di Mie. Agrandi linee, ci aspettiamo che la sezione d’urto di diffusione di un corpo di dimensionia ≫ λ, dove λ e la lunghezza d’onda, sia dell’ordine dell’area ∼ a2 con cui intercetta il fascioe che cessi quindi di essere dipendente dalla frequenza. Questo spiega il colore bianco dellenubi, in cui le goccioline d’acqua diffondono tutte le componenti spettrali della luce visibilecon uguale intensita. Il processo di diffusione per particelle con a ∼ λ e accompagnatoinoltre da fenomeni di diffrazione e rifrazione i quali portano alla formazione di aloni e altrieffetti ottici.

3.2 Diffusione e lunghezza di estinzione

Conosciamo a questo punto, tramite Eq. (3.5), la potenza emessa da una singola molecolain atmosfera. Vogliamo determinare il flusso di energia che le molecole in un volume Vcentrato in xV determineranno, tramite diffusione di Raileigh, in un osservatore posto inx che guarda ad un angolo θ rispetto al sole (vedi Fig. 3.1). Considerando che stiamoconsiderando scale spaziali molto superiori a quelle di una molecola, il campo elettrico saracaratterizzato da oscillazioni spaziali molto veloci e bisogna prestare attenzione alle fasirelative dei contributi da diverse molecole quando si calcola il campo elettrico totale in x.

Se il volume non e troppo grande, la componente della luce incidente su ciascuna moleco-la in esso, dovuta a luce diffusa dalle altre molecole nel volume sara piccola. Consideriamopoi l’osservatore sufficientemente lontano rispetto al volume perche i raggi di luce diffusa loraggiungano paralleli. Il campo elettrico generato in x dalla molecola l-esima avra pertantola forma, utilizzando Eq. (3.3) e (3.1)

El(x, t) =γE0(xl, t

′)

c2|x − xl|∣

∣

∣

t′=t−|x−xl|/c,

dove xl = xl(t′) ed E0 e il campo elettrico della luce incidente. Per una componente

monocromatica, avremo quindi:

El(x, t) =γω2E0

c2|x − xl|exp(i(k · xl + q · (x − xl) − ωt))

Vediamo che El(x, t) dipende dalla posizione della molecola n-esima in forma veloce tramitela fase (k − q) · xl, mentre possiamo approssimare |x − xl| ≃ |x − xV |. Il campo dovuto


...

θ

V k

q

Figura 3.1: Diffusione luminosa da un volume V ad angolo θ rispetto alla direzione dellaluce incidente

alla luce diffusa in x da V sara pertanto

E(x, t) =ω2γE0

c2|x − xV |exp(i(k · x − ωt))

∑

l

exp(i(k − q) · xl). (3.6)

Ora, le molecole in un gas sono disposte in maniera casuale, quindi, a meno che |k−q| = 0(oppure che il volume sia piu piccolo della lunghezza d’onda della luce), i termini nellasomma in Eq. (3.6) saranno essi stessi dei numeri random. Pertanto, il flusso d’energiasull’osservatore sara

Φ ∼ cE2 ∼ nV γ2ω4

c4|x − xV |2,

dove n e la densita numerica dell’aria e Φ0 ∼ E20c e il flusso di energia del flusso incidente.

Confrontando con Eq. (3.5) per la diffusione da una singola molecola:

Φ ∼ nV σsΦ0

|x − xV |2. (3.7)

L’aspetto centrale e che i contributi al campo elettrico in x dalle singole molecole sonoscorrelati e parliamo infatti in questo caso di diffusione incoerente. La diffusione in avanti(cioe θ = 0) e prodotta al contrario da onde in fase con la luce incidente e il flusso incidentesara ∝ (nV )2 ≫ nV . (Di fatto, la sovrapposizione con il fascio incidente della partecoerente delle onde diffuse costituisce il fascio rifratto).

E interessante notare che, se le molecole fossero state disposte in modo ordinato, itermini in Eq. (3.6) per θ 6= 0 non sarebbero stati numeri random, ma avrebbero avuto laforma exp(ilα), con α in genere irrazionale. La somma in Eq. (3.6) sarebbe stata limitatainvece di crescere con la radice quadrata del numero di termini.

3.3. IL RUOLO DELLE FLUTTUAZIONI 23

Moltiplicando il flusso Φ a distanza R = |x − xV | (sufficientemente grande rispettoalle dimensioni del volume) per l’area della superficie sferica di raggio R, otteniamo daEq. (3.7) la potenza WV emessa dal volume in funzione di W [la potenza emessa da unasingola molecola; vedi Eq. (3.5)]:

WV = nV W = nV σsΦ0.

Possiamo calcolare a questo punto come un fascio di luce viene attenuato per la diffusio-ne. Se prendiamo come volume uno strato perpendicolare al fascio incidente di spessoreinfinitesimo l e area A, la potenza diffusa per unita di area dello strato, e persa quindi dalfascio incidente, sara

WV

A= nlσSΦ0.

Otteniamo in questo modo l’equazione per l’attenuazione del flusso:

dΦ0

dl= −Φ0

lsls = (nσs)

−1. (3.8)

La quantita ls e detta lunghezza di estinzione del fascio dovuta a diffusione e ci dice a qualeprofondita nel mezzo la luce diffusa diventa piu intensa della luce trasmessa. L’attenuazionedel flusso in uno spessore dl, calcolata per unita di flusso e dl/ls; questa e la frazione diflusso persa nello spessore e coincide pertanto con la probabilita di diffusione di un fotonein dl.

3.3 Il ruolo delle fluttuazioni

Si e accennato al fatto che la diffusione in avanti e fortemente legata alla rifrazione. Si eanche accennato al fatto che in un mezzo ordinato (un cristallo), a causa della interferenzadistruttiva delle onde emesse dalle singole molecole, non vi e diffusione fuori dalla direzionedel raggio incidente.

Una teoria della diffusione alternativa, sviluppata da Einstein e Smoluchowski unificadiffusione e rifrazione in una singola teoria, dove la diffusione di Raileigh e il risultato dellarifrazione dalle fluttuazioni di densita del gas. Le variazioni di densita del gas portanoa fluttuazioni nella costante dielettrica ǫ, e quindi nell’indice di rifrazione n ≃ ǫ1/2, ed arifrazioni casuali dei raggi di luce.

A grandi linee, l’aspetto centrale e che le fluttuazioni di densita sono maggiori in volumipiccoli e questo spiega perche e valida la teoria di Raileigh basata sulla diffusione da singolemolecole. La fluttuazione del numero di particelle in un volume V di gas di densita n e datodalla formula di Poisson ∆N2 ∼ N = nV , cioe ∆n/n ∼ (nV )−1/2, che diventa O(1) quandole dimensioni del volume sono dell’ordine della distanza tipica intermolecolare n−1/3.

Fluttuazioni di densita nell’aria sono prodotte oltre che dalla natura discreta del gasdalla presenza di turbolenza. Queste fluttuazioni hanno dimensioni caratteristiche dell’or-dine di quelle dei vortici, che in atmosfera sono comprese tra svariate centinaia di metri


l

L

θ’θn n’

Figura 3.2: Propagazione di un raggio in un mezzo disomogeneo; deviazione del raggio incorrispondenza di un cambio dell’indice di rifrazione della luce incidente

e decimi di millimetro. In ogni caso, siamo ben al di sopra della lunghezza d’onda dellaluce. Queste fluttuazioni sono responsabili del fenomeno della cosıdetta scintillazione dellestelle (le stelle ”brillano”). Questo fenomeno e legato alla presenza di piccole fluttuazioninella direzione dei raggi luminosi che attraversano l’atmosfera, rispetto la loro direzioneoriginaria, come illustrato in Fig. 3.2. La rifrazione in presenza di un gradiente nell’indicedi rifrazione diretto ad un angolo θ rispetto alla direzione del fascio incidente e governatadalla legge di Snell:

sin θ

sin θ′=

n

n′≃

( ǫ

ǫ′

)1/2

≃( 1 + αγn

1 + αγn′

)1/2

,

dove abbiamo utilizzato la legge di Clausius-Mossotti (3.2) Espandendo per piccole flut-tuazioni di densita, otteniamo

θ′ − θ ≃ 1

2αγ(n′ − n) tan θ.

In turbolenza, siamo in presenza di una sovrapposizione di vortici di diverse dimensioni.Focalizziamoci sulla deviazione prodotta da vortici di dimensione l in un cammino di lun-ghezza L. Risulta in turbolenza che i vortici possono considerarsi in prima approssimazioneindipendenti, cosı che la deviazione ∆Lθ del raggio su un cammino L sara mediamente zero,con varianza:

〈(∆Lθ)2〉 ∼ (L/l)〈(∆lθ)2〉 ∼ (L/l)〈(tan θ)2〉〈(∆ln)2〉. (3.9)

Dalla teoria della turbolenza, risulta che le fluttuazioni di densita associate a vortici discala l hanno varianza 〈(∆ln)2〉 ∝ l2/3 (sono proporzionali alle fluttuazioni di temperaturae queste hanno le stesse proprieta di scala di quelle della velocita, descritte dalla teoria diKolmogorov). Sostituendo in Eq. (3.9), vediamo quindi che

〈∆Lθ)2〉 ∝ l−1/3

e il contributo dominante verra dalle fluttuazioni alla scala piu piccola nella turbolenza.

3.4. L’ASSORBIMENTO DELLA LUCE E IL CORPO NERO 25

3.4 L’assorbimento della luce e il corpo nero

Se la frequenza del campo elettromagnetica coincide con una delle frequenze di transizionedella molecole, si puo avere assorbimento di radiazione. Il processo di assorbimento epuramente quantistico: quanti discreti (fotoni) di energia ~ω sono trasferiti dal campoelettromagnetico alle molecole. Queste passano a uno stato eccitato e cedono poi energiadi nuovo al campo tramite emissione di fotoni (non necessariamente alla stessa frequenza)o alle altre molecole tramite urti. Le frequenze caratteristiche di assorbimento dei gasatmosferici sono quelle a cui l’atmosfera e opaca alla radiazione elettromagnetica. Nel casodella radiazione termica, si hanno di fatto bande di assorbimento, corrispondenti ai livellivibrazionali e rotazionali di molecole come la CO2 e l’acqua, e finestre di trasmissionecorrispondenti alle frequenze a cui l’atmosfera e trasparente. Un esempio di finestra eevidentemente quella della luce visibile.

Possiamo introdurre in modo analogo alla sezione d’urto di diffusione, la sezione d’urtodi assorbimento σa come il rapporto fra la potenza assorbita da una molecola e il flusso dienergia della radiazione incidente:

Wa = σaΦ0. (3.10)

Tenuto conto della natura discreta dell’assorbimento, la potenza assorbita Wa e in sostanzail prodotto della energia ~ω del fotone e la probabilita di assorbimento per unita di tempopa della molecola. [Quindi la probabilita di assorbimento di un fotone in un tempo ∆t diuna molecola sara ∆P = pa∆t = (~ω)−1σaΦ0∆t].

Possiamo ripetere il ragionamento che ci ha portato a defire la lunghezza di estin-zione dovuta alla diffusione, in presenza di assorbimento e otteniamo l’equazione perl’attenuazione del fascio:

dΦ0

dl= −Φ0

lt;

1

lt=

1

ls+

1

la; la = (nσa)

−1, (3.11)

dove n e di nuovo il numero di molecole nell’unita di volume e la e la lunghezza di estinzionedovuta all’assorbimento.

Il modo in cui la radiazione viene assorbita e riemessa dalle molecole e caratterizzatada spettri che dipendono in maniera complessa dalla frequenza. Le cose diventano piusemplici se ammettiamo che ci sia uno stato di equilibrio termodinamico, cioe che diversezone del gas non subiscano raffreddamento o riscaldamento (in media) in seguito ad as-sorbimento o emissione di radiazione. A questo punto, la radiazione elettromagnetica nelmezzo sara caratterizzata da uno spettro di frequenze che sara lo spettro di equilibrio perla temperatura data, indipendente quindi dalle proprieta microscopiche del mezzo.

La condizione perche si abbia equilibrio termodinamico fra le molecole e la radiazione eche si verifichi un numero sufficiente di emissioni e assorbimenti nel volume. La condizioneideale perche questo si verifichi e quella di avere un corpo nero, definito come un mezzoperfettamente assorbente.

A partire da Eq. (3.11), vediamo che uno strato assorbente sufficientemente profondo


k

k’

n

AFigura 3.3: Radiazione incidente da un lato su una superficie A

sara sicuramente un corpo nero; infatti la soluzione di Eq. (3.11) e

Φ0(l) = Φ0(0) exp(

−∫ l

0

dl′

lt(l′)

)

,

che tende a zero per l → ∞ (a patto che n e σa rimangano differenti da zero e che prendiamoil punto l = 0 lontano dai bordi del mezzo).

Richiamo i principali risultati riguardanti la radiazione di corpo nero. La distribuzionedi equilibrio della radiazione in un corpo nero puo essere descritta decomponendo il flussodi energia su un lato di un elemento di superficie A, come illustrato in Fig. 3.3, in terminidei vettori d’onda k. Integrando sopra le direzioni dei vettori d’onda k che attraversanoda un solo lato la superficie, otteniamo la decomposizione in termini della frequenza, chee descritta dalla legge di Planck:

ΦBω (T ) ∝ ~ω3

c2

[

exp(~ω

KT) − 1

]−1

, (3.12)

dove K ≃ 1.4 · 10−23 J oK−1 e la costante di Boltzmann. Il flusso totale d’energia e invecedato dalla legge di Stefan-Boltzmann

ΦB(T ) =

∫

ΦBω (T ) dω = σT 4, (3.13)

dove σ = 5.7 · 10−8 W m−2 oK−4 e detta la costante di Stefan-Boltzmann. Vediamo quindiche la radiazione di corpo nero e concentrata a frequenze ω ∼ KT/~ che crescono linear-mente con la temperatura (il calor ”bianco” corrisponde a piu alte temperature che il calor”rosso”). Chiaramente, all’interno di un corpo nero ideale infinito (e quindi omogeneo eisotropo), i flussi da un lato e l’altro della superficie A si cancellano. Se invece A e unelemento della frontiera del corpo nero, le espressioni in Eqs. (3.12-3.13) rappresenterannoi flussi emessi dalla superficie del corpo nero nell’ambiente circostante.

Nei ragionamenti fatti sin’ora si e trascurato il ruolo di eventuali disomogeneita spazialie di una evoluzione temporale nel mezzo. Il punto cruciale risulta essere la possibilita di

3.5. BILANCIO RADIATIVO IN ATMOSFERA 27

un equilibrio termodinamico locale. Questo significa che le scale di variazione devonoessere maggiori di quelle associate al libero cammino medio delle molecole e dei fotoni (e lerelative frequenze di collisione), responsabili dello scambio di calore e del raggiungimentodell’equilibrio termico. In bassa e media atmosfera (per intenderci, sino a circa 60KM dialtezza), la frequenza di collisione delle molecole e sufficientemente alta da far sı che lemolecole eccitate in seguito ad assorbimento di radiazione termalizzino tramite urti primadi riemettere. Questo permette una condizione di equilibrio termodinamico locale.

In condizioni di equilibrio termodinamico (anche solo locale), i tassi di emissione e diassorbimento delle diverse porzioni del mezzo devono essere uguali. Definiamo l’assorban-za a, come la percentuale di flusso incidente assorbito dallo stesso, e in modo analogo,l’emittanza ǫ, come il contributo ceduto al flusso attraverso emissione:

W in = aA Φ0(T ); W out = ǫA ΦB(T ), (3.14)

dove A e l’area dello strato e W in e W out sono le potenze assorbite ed emesse. L’assorbanzadi uno strato di spessore l ≪ la, in particolare, puo essere espressa tramite la relazione

W in

A≃ lΦ0

la= aΦ0 ⇒ a ≃ l/la. (3.15)

In modo analogo possiamo definire assorbanze e emittanze aω e ǫω alla frequenza ω, e,se lo strato si comportasse come un corpo nero, avremmo chiaramente aω = 1 a tutte lefrequenze; in generale aω < 1. In condizioni di equilibrio termodinamico, la porzione dimezzo assorbe ed emette radiazione con uguale intensita: W in−W out =

∫

[W inω −W out

ω ] dω =0, unita alla condizione che ΦB

ω (T ) sia la distribuzione di equilibrio per la radiazione [equindi Φ0 → ΦB(T ) nella (3.14)], stabilisce l’eguaglianza fra emittanza ed assorbanza:

aω = ǫω, (3.16)

detta legge di Kirchhoff.

3.5 Bilancio radiativo in atmosfera

La gran parte della radiazione che raggiunge la terra viene emessa dalla fotosfera solaread una temperatura ∼ 6000oK. Del flusso associato Φs, una frazione AΦs, dove A ≃ 0.3e l’albedo della terra, viene riflessa o diffusa direttamente nello spazio. La rimanenteradiazione di alta frequenza (SW; luce visibile) Φ0 = (1 − A)Φs viene assorbita dallasuperficie terrestre e riemessa come una radiazione di corpo nero a una temperatura Te ∼300oK, e quindi anche a frequenza molto piu bassa (LW; radiazione termica). Il coefficienteaSW = 1 −A e quindi l’assorbanza SW della terra.a

L’effetto serra introdotto nel Capitolo 1 puo essere riformulato attraverso i concetti diassorbanza e emittanza. Giacche tutta la radiazione LW viene assorbita dall’atmosferao dalla superficie terrestre, la terra vista dallo spazio e un corpo nero per la radiazioneLW. La superficie terrestre si comporta essa stessa come un corpo nero a queste frequenze,


ma la presenza dell’atmosfera ne diminuisce la assorbanza (e quindi l’emittanza) misuratadallo spazio: solo una frazione di fotoni LW provenienti dallo spazio sono assorbiti dallasuperficie; il resto sono assorbiti dalla atmosfera. Per la legge di Kirchhoff, l’emittanza LWe anch’essa ridotta: ǫLW = aLW < 1 e questo non e altro che il fatto che, dei fotoni emessidalla superficie, solo una frazione passa la barriera dell’atmosfera. La ridotta emittanza ǫLW

della superficie terrestre nello spazio richiede quindi una maggiore temperatura superficialeper bilanciare il flusso entrante SW aSW Φ0.

La radiazione LW emessa dalla superficie terrestre viene continuamente assorbita eriemessa dalla atmosfera sovrastante sino a emergere nella alta troposfera, da dove vengonoemessi nello spazio. Come si e detto, la terra (di fatto l’atmosfera), vista dallo spazio, e uncorpo nero per la radiazione termica, e quindi, la temperatura a cui viene emessa questaradiazione e quella che avrebbe la superficie terrestre senza effetto serra. L’atmosfera, sicomporta come una coperta, calda all’interno e fredda all’esterno. Il gradiente termico emantenuto dal flusso di calore verso l’esterno, di cui una componente fondamentale, comeillustrato nella Fig. 4.24, e il trasporto di radiazione.

Per capire il meccanismo di trasporto di radiazione e la conseguente stratificazionein temperatura dell’atmosfera, consideriamo un modello semplificato, in cui l’unico flussodi calore e quello prodotto da assorbimento e emissione LW delle molecole. Per sempli-cita trascuriamo la diffusione della radiazione. Trascuriamo inoltre la curvatura terrestree disomogeneita orizzontali, cosı che possiamo limitarci a considerare il flusso ΦLW (x3)attraverso una generica superficie orizzontale posta a quota x3. Una variazione con x3 diΦLW vorrebbe dire che viene ceduta o tolta energia, riscaldandoli o raffreddandoli, a diversistrati atmosferici. In condizioni stazionarie avremo pertanto:

ΦLW (x3) = Φ0 = costante. (3.17)

Procedendo come in Fig. 3.3, possiamo decomporre il flusso attraverso la superficie, in unacomponente dal basso e una dall’alto:

ΦLW = Φ↑LW − Φ↓

LW = Φ0. (3.18)

Chiaramente, se il mezzo fosse infinito in direzione verticale, avremmo per simmetriaΦ↑

LW = Φ↓LW = ΦB e ΦLW = 0. Ora, Φ↑

LW si attenuera propagandosi verso l’alto daquota x3 a quota x3 + dx3, secondo la Eq. (3.11), con un contributo

−Φ↑LW dx3/la (3.19)

(trascuriamo la diffusione). A quota x3 + dx3, l’atmosfera al di sotto emettera verso l’altoun ammontare di radiazione in piu rispetto a quota x3 pari a

ΦB(T (x3))nσadx3 =1

laΦB(T (x3))dx3, (3.20)

dove T (x3) e la temperatura dell’atmosfera a quota x3 [comparare con Eq. (3.15)]. Inmaniera simile si comportera il flusso di radiazione discendente passando da x3 a x3 −dx3.

3.5. BILANCIO RADIATIVO IN ATMOSFERA 29

Mettendo a sistema Eqs. (3.19-3.20) otteniamo pertanto:

ladΦ↑

LW

dx3

+ Φ↑LW = ΦB; la

dΦ↓LW

dx3

− Φ↓LW = −ΦB; (3.21)

Sommando e sottraendo le due equazioni e definendo

ΦLW = Φ↑LW + Φ↓

LW ,

possiamo riscrivere:

ladΦLW

dx3

+ ΦLW = 2ΦB; ladΦLW

dx3

+ ΦLW = 0. (3.22)

Ora, dalla Eq. (3.17) sappiamo che dΦLW /dx3 = 0 e quindi dalla prima delle (3.22)abbiamo ΦLW = 2ΦB; sostituendo nella seconda insieme ad Eq. (3.17) otteniamo infine:

2ladΦB

dx3

= −Φ0. (3.23)

Da qui otteniamo la soluzione

ΦB(T (x3)) = ΦB(T (∞)) + Φ0

∫ ∞

x3

dx′3

2la(x′3)

, (3.24)

e utilizzando la legge di Planck ΦB(T ) = σT 4, vediamo che la temperatura decresce conl’altezza, come ci aspettavamo.

La costante d’integrazione ΦB(T (∞)) e calcolata richiedendo che per x3 → ∞ Φ↑LW =

ΦLW ≡ Φ0; questo perche, essendo la radiazione incidente interamente SW, Φ↓LW (x3 →

∞) = 0. Utilizzando la Eq. (3.18) e il risultato Φ↑LW + Φ↓

LW = 2ΦB, otteniamo

Φ↑LW (x3) = ΦB(T (x3)) +

Φ0

2(3.25)

e quindi ΦB(T (∞)) = Φ0/2. Sostitutuendo in Eq. (3.24):

ΦB(T (x3)) =Φ0

2

[

1 +

∫ ∞

x3

dx′3

la(x′3)

]

. (3.26)

In maniera analoga determiniamo la temperatura della superficie terrestre Te, imponendoil bilancio radiativo

ΦB(Te) = Φ↓LW (0) + Φ0. (3.27)

Il flusso LW verso il basso e determinato analogamente a quello verso l’alto

Φ↓LW (x3) = ΦB(T (x3)) −

Φ0

2

[piu semplicemente, basta sostituire la (3.18) nella (3.25)]. Sostituendo nella Eq. (3.27)troviamo infine

ΦB(Te) = ΦB(T (0)) +Φ0

2; (3.28)

che ci permette di determinare il salto di temperatura tra suolo e atmosfera al di sopra.


Esercizi

1. Calcolare la temperatura di un piatto che orbita intorno al sole alla stessa distanzadella terra. Supporre il corpo nero, con la superficie orientata al sole nera e quellaopposta totalmente riflettente (cioe aω = 0 a tutte le frequenze). Supporre il piattoorientato perpendicolare alla luce incidente. Cosa cambia se la superficie posterioree nera? Come cambiano le cose se invece la superficie anteriore ha assorbanza aω =const. < 1?

2. Ripetere l’esercizio nel caso la superficie anteriore abbia assorbanze aSW = 1 e aLW =0.5, mentre quella posteriore sia di nuovo perfettamente riflettente.

3. Uno strato di nebbia ha spessore L ∼ la ≫ ls; quindi il sole non si vede, ma c’eluce diffusa. Calcolare di quanto e smorzata la luce diffusa al suolo rispetto al casola → ∞. (Suggerimento: stimare la lunghezza tipica del percorso di un fotone cheviene diffuso di gocciolina in gocciolina dalla cima della nube sino a terra).

Riferimenti

• Diffusione: J.D. Jackson, ”Classical electromagnetism”, sezioni 10.1, 10.2

• Corpo nero e bilancio radiativo: M.L. Salby, ”Fundamentals of atmospheric physics”,sezioni 1.3, 1.4, 8.2.1-3, 8.5.1

Capitolo 4

Termodinamica atmosferica

4.1 Equilibrio termodinamico ed entropia

I processi atmosferici sono caratterizzati in genere da forti fluttuazioni spazio-temporali. Inalcuni casi, la scala temporale di questi processi, per esempio per alcune reazioni chimiche,e molto piu rapida di quella delle altre variabili, come la temperatura o la pressione, e lesostanze coinvolte sono in grado di raggiungere uno stato di equilibrio con l’ambiente cir-costante. In altri casi, come ad esempio cambiamenti di fase in presenza di vapore acqueo,questa separazione di scale vale solo in prima approssimazione, ma e conveniente trascurarefluttuazioni e relativi processi irreversibili in porzioni di atmosfera il cui comportamento epoi modellato come fossero in uno stato di equilibrio termodinamico.

Richiamiamo alcuni concetti fondamentali. Trascurando inizialmente la composizionechimica e l’effetto di cambiamenti di fase, una porzione omogenea di atmosfera (il nostrosistema termodinamico) e caratterizzata dalla pressione P , il volume V e la temperatura T .Microscopicamente, e possibile derivare una relazione tra pressione, volume e temperatura,detta legge di stato, che fa sı che solo due variabili siano indipendenti; prendendo V e T :

P = P (T, V ).

Dal punto di vista termodinamico, la temperatura ci dice che le diverse parti della porzionesono in equilibrio termodinamico fra loro, cioe non scambiano in media energia sotto formadi calore. Microscopicamente, la temperatura e legata all’energia interna U del sistematramite una relazione

U = U(T, V ).

L’atmosfera e in prima approssimazione un gas ideale, che significa che i contributi dalleinterazioni molecolari all’energia interna sono trascurabili; in questo caso U = U(T ) e valela legge, detta di equipartizione:

U = NlKT

2, (4.1)

dove N e il numero di molecole nel sistema, K ≃ 1.4 · 10−23 J oK−1 e la costante diBoltzmann e l e a grandi linee il numero di gradi di liberta di ciascuna molecola (l = 3 per

31

32 CAPITOLO 4. TERMODINAMICA ATMOSFERICA

una molecola monoatomica). Vale inoltre la legge di stato

PV = NKT. (4.2)

Il sistema puo scambiare energia col sistema circostante compiendo lavoro o scambiandocalore. L’idealizzazione detta processo reversibile consiste nel limite in cui la differenze ditemperatura e di pressione fra sistema e ambiente circostante, responsabili per lo scambio dienergia, tendono a zero. In questo caso la trasformazione si svolge in un regime idealmentedi equilibrio meccanico e termodinamico, ed e possibile assegnare ad ogni istante valori diP e T (oltre che di V ) al sistema.

Per differenti trasformazioni reversibili infinitesime, il sistema sara caratterizzato daun trasferimento di calore dU + PdV e un cambio di temperatura dT . La variazione dienergia interna del sistema sara associata a un cambio di temperatura e volume. Ora,mentre la variazione infinitesima di volume e associata univocamente al lavoro reversibile−PdV effettuato sul sistema, non e possibile fare lo stesso con la variazione di T e loscambio di calore. Per esempio, nel caso di un gas ideale, U = U(T ), e la variazione di Te associata a tutta la variazione di energia interna, non solo allo scambio di calore.

Definiamo quindi una variabile di stato del sistema, che si comporti in uno scambiodi calore in maniera analoga al volume nel lavoro reversibile. Chiamiamo questa variabileentropia S e chiediamo che lo scambio di calore possa essere scritto nella forma f(T, V )dS,dove f ha lo stesso ruolo della pressione nel lavoro reversibile: Chiediamo inoltre che, comeil volume, l’entropia totale nella trasformazione reversibile sia conservata; questo implica,poiche il calore reversibile assorbito dal sistema e uguale a quello ceduto dall’esterno, chegli f del sistema e dell’esterno siano uguali. In questo modo, come il volume di due sistemidistinti e la somma dei relativi volumi, l’entropia totale sara la somma delle entropie.Variabili termodinamiche che godono di questa proprieta sono dette estensive. Ora, perchel’entropia totale si conservi indipendentemente dal volume delle parti (stiamo considerandoil caso reversibile, quindi le temperature sono uguali), dobbiamo avere f = f(T ). Il caloreassorbito dal sistema sara quindi

f(T ) dS = dU + PdV.

Considerando V e T come variabili indipendenti ed esplicitando dU = ∂T U(T, V )dT +∂V U(T, V )dV :

fdS =∂U

∂TdT +

(∂U

∂V+ P

)

dV.

Nel caso di un gas ideale, utilizzando le Eqs. (4.1) e (4.2), abbiamo:

dS =NlK

2f(T )dT +

NKT

V f(T )dV. (4.3)

Imponendo che S sia una funzione delle variabili V e T , sostituendo dS = ∂T S(T, V )dT +∂V S(T, V )dV nella Eq. (4.3) e imponendo ∂T ∂V S(T, V ) = ∂V ∂T S(T, V ) (cioe che dSsia un differenziale esatto), otteniamo pertanto, a meno di una costante a moltiplicare:

4.2. I POTENZIALI TERMODINAMICI 33

f(T ) = T . Possiamo quindi scrivere l’energia di un gas ideale come una funzione di S e V :U(T (S, V )) := U(S, V ), il cui differenziale avra la forma:

dU = TdS − PdV (4.4)

(per avere una notazione piu leggera, trascuriamo di indicare il tilde; e chiaro che unadifferente scelta di variabili indipendenti corrispondera a diverse dipendenze funzionalidi U e delle altre variabili termodinamiche dal loro argomento). E possibile dimostrareche Eq. (4.4) continua ad essere valida per sistemi diversi da un gas ideale, a patto chesia soddisfatta la relazione ∂V U(T, V ) = T∂T P (T, V ) − P (T, V ). E da notare che levariabili termodinamiche vengono a coppie: due variabili estensive S e V e due associatealle proprieta di equilibrio P e T , cosı dette intensive.

Il significato dell’entropia, che diventa manifesto in un approccio basato sulla meccanicastatistica, e quello di quantificare in qualche maniera la transizione all’equilibrio termo-dinamico. Questa transizione e un processo irreversibile e la caratteristica fondamentaledell’entropia e che il suo valore totale cresce nel processo, al contrario del caso reversibilein cui, per definizione, si conserva.

Consideriamo prima uno scambio irreversibile di calore a volume costante tra il sistemaa temperatura Ta e l’esterno a temperatura Tb e prendiamo per fissare le idee Ta > Tb. Icambi di entropia saranno quindi

∆Ssys =

∫ T

Ta

dUsys(T′)

T ′= −∆Q

T ′a

∆Sext =

∫ T

Tb

dUext(T′)

T ′=

∆Q

T ′b

dove T con Tb < T < Ta e la temperatura finale di equilibrio, ∆Q > 0 e l’energia passatadal sistema all’esterno e T ′

a e T ′b sono valori di temperatura intermedi in [T, Ta] e [Tb, T ]

rispettivamente. Chiaramente T ′a > T ′

b e quindi

∆Q/T ′a < ∆Q/T ′

b ⇒ ∆S = ∆Ssys + ∆Sext > 0.

Nel caso di lavoro irreversibile in condizioni isoterme, abbiamo una differenza di pressionetra sistema e ambiente esterno che si trasforma in movimento macroscopico e da qui incalore per forze d’attrito (la viscosita). Essendo quest’ultimo positivo, l’entropia generatasara di nuovo positiva. Abbiamo quindi per un sistema termodinamicamente isolato ladiseguaglianza

dU ≤ TdS − PdV (4.5)

con l’eguaglianza verificata nel caso reversibile.

4.2 I potenziali termodinamici

La equazione (4.4) permette di intepretare l’energia interna U come l’abilita di svolgerelavoro e scambiare calore del sistema. In particolare, dU e il calore scambiato reversibil-mente a volume costante e −PdV la variazione di energia interna in una trasformazione


adiabatica. I potenziali termodinamici danno l’attitudine di svolgere lavoro o scambiarecalore in condizioni particolari, precisamente in condizioni isobariche o isoterme.

Il primo potenziale che introduciamo descrive l’attitudine a scambiare calore in condi-zioni isobariche ed e detto entalpia (o funzione termica):

A(S, P ) = U(S, V (S, P )) + PV (S, P ); dA = TdS + V dP, (4.6)

dove la seconda equazione vale per trasformazioni reversibili. Vediamo che la variazione diA a pressione costante coincide con il calore scambiato: dA = dU + d(PV ) = dU + PdV .In conseguenza di cio, possiamo scrivere i calori specifici a volume e a pressione costantein maniera simmetrica:

cV =1

NK

(∂U

∂T

)

V; cP =

1

NK

(∂A

∂T

)

P, (4.7)

dove i suffissi V e P indicano che la derivata parziale rispetto a T e effettuata tenendo fissiV e P rispettivamente (se avessimo lavorato di partenza con T invece di S come variabileindipendente, i suffissi V e P non sarebbero stati necessari). Nel caso di un gas ideale,prendendo la differenza delle due definizioni in Eq. (4.7) e utilizzando la legge di statoV = NKT/P , otteniamo il noto risultato

cP − cV =P

NK

(∂V

∂T

)

P= 1 (4.8)

Il meccanismo con cui si effettua il cambio di variabili (S, V ) → (S, P ) e una trasformazionedi Legendre la cui costruzione geometrica e illustrata in Fig. 4.1. Il volume V (S, P ) edefinito dalla condizione di minimo rispetto a V per U(S, V ) + PV , cioe

P (S, V ) = −∂U(S, V )

∂V

la cui inversa ci fornisce V = V (S, P ). Attraverso questa condizione di minimo, possia-mo vedere l’entalpia come la somma dell’energia interna del sistema e di uno stantuffo apressione P che spinge il volume del sistema ad assumere il valore V (S, P ). Una volta cheabbiamo a disposizione l’espressione esplicita dell’entalpia, possiamo esprimere in manieraalternativa il volume in funzione della pressione a partire dalla seconda nella Eq. (4.6):

V (S, P ) =∂A(S, P )

∂P

E da notare il ruolo centrale della trasformata di Legendre nel cambio di variabili. Unasemplice redifinizione della energia come funzione di S e P : U = U(S, V (S, P )) avrebbefatto sı che la variazione di energia a pressione costante fosse dU = (T −P∂SV )dS che none uguale al calore trasferito nella trasformazione.

Il secondo potenziale che introduciamo descrive l’attitudine a compiere lavoro a tem-peratura costante ed e detto energia libera, o energia libera di Helmholtz:

F (T, V ) = U(S(T, V ), V ) − TS(T, V ); dF = −SdT − PdV (4.9)

4.2. I POTENZIALI TERMODINAMICI 35

A(S,P)=U(S,V(P))+PV(P)

.

−PV

U(S,V)

V

V=V(P)

U

Figura 4.1: Costruzione geometrica della trasformazione di Legendre per il passaggiodall’energia all’entalpia.

e di nuovo la seconda vale solo in trasformazioni reversibili. La variazione di energialibera a temperatura costante dF = dU − d(TS) = −PdV non e altro che il lavorocompiuto sul sistema. In modo analogo all’entalpia, la dipendenza dell’entropia rispettoa (T, V ) e determinata tramite una trasformazione di Legendre di U rispetto a S. Inquesto caso la condizione di minimo e fatta rispetto a S su U(S, T ) − TS, la quale ci daS(T, V ) = ∂SU(S, V ), e poi invertendo S(T, V ). Quando l’espressione esplicita di F (T, V )sia nota, possiamo utilizzare la seconda nella Eq. (4.9) per determinare S(T, V ):

S(T, V ) =∂F (T, V )

∂T

Possiamo definire un terzo potenziale termodinamico detto semplicemente potenziale ter-modinamico o energia libera di Gibbs, funzione delle sole variabili intensive T e P :

G(T, P ) = F (T, V (T, P )) + PV (T, P ) dG = −SdT + V dP (4.10)

dove analogamente a quanto fatto per entalpia ed energia libera, V (T, P ) e ottenuto dainversione di P (T, V ) = ∂V F (T, V ), e la seconda nella (4.10) vale per trasformazionireversibili.

Passando al caso delle trasformazioni irreversibili, la diseguaglianza (4.5) per variazionidi energia interna U si traduce in diseguaglianze analoghe per i vari potenziali termodina-mici. In particolare, per l’energia libera abbiamo che, se la temperatura del sistema rimanecostante (quindi dT = 0):

PdV ≤ −dU + TdS = −dU + d(TS) = −dF ;

cioe, un sistema in contatto con un bagno termico a temperatura T , puo compiere un lavoroPdV pari al massimo, nel caso di una trasformazione reversibile, alla perdita di energialibera −dF . L’energia libera di Helmolz diminuira, dF < 0, nel caso di una trasformazione


irreversibile a temperatura e volume costante. In maniera analoga vediamo che il potenzialetermodinamico di Gibbs diminuisce in trasformazioni irreversibili a temperatura e pressionicostanti:

0 > dU + PdV − TdS = dU + d(PV ) − d(TS) = dF + d(PV ) = dG.

Pertanto, l’energia libera e il potenziale termodinamico di Gibbs saranno minimi in con-dizioni di equilibrio termodinamico. E da notare di nuovo il ruolo essenziale svolto dallatrasformazione di Legendre nel mantenere le proprieta di estremo dell’equilibrio termodina-mico. Per esempio, il mero cambiamento di variabili (S, V ) → (T, V ) in U non porterebbead altro che alla originaria espressione (4.1), la quale non varia per T costante e non assumeun valore estremo all’equilibrio per V e T costanti.

4.3 Cambiamenti di fase

Possiamo descrivere un sistema termodinamico in cui sono presenti differenti fasi dellastessa sostanza, in funzione dei numeri di molecole N1, N2, ... in ciascuna fase. L’energiainterna del sistema, in particolare, sara dipendente dai numeri di molecole nelle diversefasi:

U = U(T, V,N1, N2, ...).

Consideriamo prima il caso di una fase sola. Per la fase gassosa, U(T, V,N) e data dallaEq. (4.1); Per le fasi liquida e solida, U = U(T, V,N), con una forte dipendenza da V(quasi incomprimibilita) dovuta alle forze intermolecolari.

Passando ad una descrizione in termini di sole variabili estensive S, V,N , la variazionedi energia dovuta al cambio del numero di particelle generalizzera la Eq. (4.4) alla forma:

dU = TdS − PdV + µdN (4.11)

dove abbiamo introdotto una nuova variabile intensiva µ = µ(S, V,N), coniugata ad N ,che, in maniera analoga a pressione e temperatura rispetto a volume e calore, descriveral’equilibrio di massa tra le fasi.

E naturale domandarsi quale sara la condizione di equilibrio per date condizioni ditemperatura e pressione, piuttosto che di volume ed entropia. In effetti, nei sistemi acui ci interessiamo, ciascuna molecola interagisce con un piccolo numero di altre molecole(quelle in un volume di dimensioni dell’ordine del cammino libero medio) e non con tuttoil sistema. Pertanto, l’energia di una molecola non dipendera da quantita estensive comeN e V , ma solo da quantita come P e T o al limite il volume e l’entropia specifica V/N eS/N .

Il potenziale termodinamico introdotto nella Eq. (4.10) e cio che ci permette unasimile descrizione. Analizziamo prima il caso di una singola specie. Considerando variabileil numero di molecole, possiamo scrivere

dG = −SdT + V dP + µdN.

4.3. CAMBIAMENTI DI FASE 37

Nelle ipotesi di cui sopra, l’energia µ(T, P,N) portata nel sistema a pressione e temperaturacostanti da una singola molecola, sara indipendente da N , cioe µ = µ(T, P ). Il potenzialechimico coincidera quindi con il potenziale termodinamico specifico per una molecola:

G(T, P,N) = Nµ(T, P ) (4.12)

Questa espressione si generalizza nel caso di piu fasi nella forma

G(T, P,N) = N1µ1(T, P ) + N2µ2(T, P ) + . . . (4.13)

E da notare che se, invece che con cambiamenti di fase avessimo avuto a che fare conreazioni chimiche, i potenziali chimici e quindi i tassi di reazione sarebbero stati dipendentiin genere da rapporti di concentrazione nella forma Nk/Nj, k 6= j. Nel nostro caso, questacomplicazione e assente, visto che una molecola e sempre o in una fase o nell’altra e noninteragisce con una distribuzione di molecole di ”fasi” diverse in rapporto stechiometricoNk/Nj. A partire da Eq. (4.13), la variazione del potenziale termodinamico del sistema,sara, nel caso di due fasi:

dG = −SdT + V dP + (µ1 − µ2)dN1, (4.14)

dove si e utilizzato la conservazione del numero totale di molecole.La differenza µ1 − µ2 e il salto di energia di una molecola nel passare dalla fase 2 alla

fase 1 a pressione e temperatura costante. Perche vi sia equilibrio fra le fasi in condizionidi P e T date, e quindi necessario che i potenziali chimici rispettivi siano uguali:

µ1(T, P ) = µ2(T, P ). (4.15)

In caso contrario, le molecole transiterebbero nella fase con potenziale chimico minore,minimizzando in questo modo il potenziale termodinamico G.

Dalla Eq. (4.15), vediamo che differenti fasi possono coesistere solo su una curva P =P (T ); il fatto che i potenziali chimici sono indipendenti da N1,2 ci dice che le fasi possonocoesistere in rapporti di massa N1/N2 arbitrari. Questo corrisponde al quadro fornito inFig. 4.2. Le porzioni orizzontali ad altezza Pk individuano differenti punti nella curva diequilibrio P = P (T ), e i corrispondenti cambi di volume isobarici sono associati al passaggioda una pura fase gassosa (estremo destro) a una pura fase liquida (estremo sinistro).

Possiamo determinare la curva di equilibrio a partire dalla Eq. (4.15), nel caso 1corrisponda allo stato gassoso e 2 a quello liquido. La pressione P = Pv(T ) corrispondentea tale condizione di equilibrio e detta pressione di vapore alla temperatura T . Sfruttando ilfatto che µ1,2(T, P ) sono i potenziali termodinamici specifici di una molecola nelle diversefasi, possiamo scrivere:

dµ1,2(T, P ) =1

N1,2

dG1,2(T, P ) = −s1,2dT + v1,2dP (4.16)

dove s1,2 = S1,2/N1,2 e v1,2 = V1,2/N1,2 sono l’entropie e i volumi specifici delle molecolenelle due fasi (S1,2 e V1,2 sono l’entropia e il volume totali di ciascuna fase). La condizione


T

P

3

P

T1

T2V

P

Pv2

v1

v3

Figura 4.2: Isoterme in presenza di una transizioni di fase liquido-gas, con indicazione dellerispettive pressioni di vapore

di spostarsi sulla curva di equilibrio sara dµ1(T, P ) = dµ2(T, P ), la quale ci da, utilizzandoEq. (4.16):

dPv

dT=

s1 − s2

v1 − v2

(4.17)

Ora, s1 − s2 e la variazione di entropia di una molecola nel cambio di fase, che possiamoscrivere nella forma s1 − s2 = L/T , dove L e il il calore assorbito dalla molecola durantela transizione, cioe il cosı detto calore latente. Per pressioni di tipo atmosferico, abbiamov1 ≫ v2 e possiamo esprimere v1 in funzione di temperatura e pressione utilizzando la Eq.(4.2):

v1 − v2 ≃KT

P

Sostituendo nella Eq. (4.17), otteniamo l’equazione di Clausius-Clapeyron:

dPv

dT=

LPv

KT 2(4.18)

E da ricordare che il calore latente e stato definito attraverso una trasformazione isobarica.Pertanto non coincide con il cambio di energia della molecola (e infatti il suo cambio dientalpia: l’entalpia di vaporizzazione; se le variazioni di energia ed entalpia nella trasfor-mazione fossero uguali, le macchine a vapore non potrebbero funzionare). Il Cambio dienergia contiene infatti un contributo associato al lavoro:

∆u = L − P (v1 − v2) ≃ (L − K∆T ),

dove si e utilizzata di nuovo la Eq. (4.2).

4.4. TERMODINAMICA DELL’ARIA UMIDA 39

4.4 Termodinamica dell’aria umida

L’atmosfera e una miscela di aria secca ed acqua allo stato liquido e di vapore. Quando lafase liquida e quella di vapore sono in equilibrio, diciamo che siamo in condizioni sature. Percapire il meccanismo della saturazione, dobbiamo approfondire il significato della pressionedi vapore nella equazione di Clausius-Clapeyron (4.18). Nel caso di una sostanza pura,infatti, la pressione della fase gassosa e data semplicemente dalla legge di stato Eq. (4.2):

P (T ) = nKT

dove n = N/V = 1/v. Dal punto di vista microscopico, possiamo immaginare su unainterfaccia liquido vapore un flusso di condensazione Φc e uno di evaporazione Φv chesaranno identici all’equilibrio. Il primo sara proporzionale al flusso nvth di molecole dallafase gassosa verso l’interfaccia, dove vth e la velocita termica delle molecole. Il secondoflusso Φv sara determinato invece (oltre che dalla densita costante della fase liquida) dalrapporto tra l’energia delle molecole ∼ KT e l’energia di legame di van der Waals nelliquido. Vediamo quindi che la pressione di vapore ad una data temperatura, non e altroche la pressione corrispondente a quella densita numerica n della fase gassosa che fa sı chei due flussi Φc e Φv si bilancino esattamente.

Questo argomento continuera a valere in una miscela di aria secca e vapore a pattoche sostituiamo n → nv, dove nv e la densita numerica del vapore in aria. Analogamente,l’equazione di Clausius-Clapeyron (4.18) continuera a valere a patto che sostituiamo lapressione totale con la pressione parziale di vapore Pv, data dalla legge di Dalton

Pv = P − Pd = nvKT ; Pd = ndKT. (4.19)

Nota che Pd sarebbe la pressione atmosferica alla data temperatura in assenza di umidita; lapresenza di umidita nell’aria e quindi associata ad un aumento di pressione. La condizionedi equilibrio delle fasi sara quindi verificata quando la pressione parziale di vapore e lapressione di vapore definita dalla Eq. (4.18) diventano uguali: Pv = Pv(T ).

Piuttosto che in funzione della densita numerica nv, e conveniente esprimere la pressioneparziale Pv in funzione della umidita specifica dell’aria q, definita come il rapporto fra massadi acqua e massa totale nel volume dato:

q =Nvmv

Nm(4.20)

dove mv e la massa di una molecola d’acqua e m e la massa media di una molecola d’aria:m = N−1

∑

k Nkmk (k = ossigeno, azoto, vapore, etc). Sostituendo nelle Eq. (4.20) e(4.19):

nv

n≃ md

mv

q ≃ 1.6q; Pv ≃ md

mv

qP ≃ 1.6qP, (4.21)

dove all’ordine piu basso in q possiamo approssimare P ≃ Pd.Per date condizioni di pressione e temperatura atmosferiche (P, T ), saremo in condizioni

di saturazione quando Pv ≃ 1.6qP = Pv(T ), che definisce l’umidita specifica in condizioni


sature:

qsat(P, T ) ≃ 0.62Pv(T )

P, (4.22)

dove Pv(T ) e la pressione di vapore definita dalla equazione di Clausius-Clapeyron (4.18).Possiamo determinare il profilo di Pv(T ) in maniera esplicita integrando la (4.18); trascu-rando la dipendenza del calore latente dalla temperatura:

Pv(T ) ≃ Pv(T0) exp( L

K

( 1

T0

− 1

T

))

e usando la (4.22):qsat(P, T )

qsat(P, T0)≃ exp

( LK

( 1

T0

− 1

T

))

.

Notare che T0 ∼ 300oK mentre T −T0 e tipicamente dell’ordine di qualche grado. Possiamoquindi espandere in serie di Taylor:

qsat(P, T )

qsat(P, T0)≃ exp

(L(T − T0)

KT 20

)

. (4.23)

Vediamo quindi che l’umidita alla saturazione dipende in maniera esponenziale dalla tem-peratura ed e una funzione rapidamente crescente della stessa. Se, per date condizioni dipressione e temperatura, q < qsat, non vi sara acqua allo stato condensato in sospensionein atmosfera. Il rapporto qrel = q/qsat e detto umidita relativa. Abbassando la tempera-tura a pressione fissata, il rapporto qrel cresce sino a raggiungere la saturazione qrel = 1ad una temperatura detta punto di rugiada. Abbassando ulteriormente la temperatura,il vapore presente in atmosfera condensera, abbassando l’umidita specifica q sino all’equi-librio q = qsat. L’umidita alla saturazione e quindi il massimo contenuto di umidita chel’atmosfera puo sostenere in forma di vapore ad una certa temperatura.

4.5 L’atmosfera adiabatica

Tipicamente lo spostamento verticale di una massa d’aria in atmosfera avviene in manieraadiabatica. Il calore viene trasferito all’ambiente circostante tramite turbolenza ed effettimolecolari in maniera piu lenta di quanto venga scambiata energia tramite lavoro dovutoa compressione o espansione. Questo ha delle conseguenze su come si stratifica l’atmosferarispetto a temperatura e pressione.

In condizioni di equilibrio termodinamico, la stratificazione sarebbe quella determinatadal bilancio idrostatico in un fluido a temperatura uniforme. La radiazione solare cambia lecose producendo un profilo di temperatura decrescente con l’altezza, che si inverte durantela notte, quando la direzione dell’irraggiamento cambia segno (la terra riscalda l’atmosferasovrastante mentre si raffredda tramite irraggiamento). Se il profilo di temperatura diurnodecresce in maniera sufficientemente rapida con l’altezza, ci aspettiamo che fenomeni diconvezione entreranno in gioco per ristabilire l’equilibrio.

4.5. L’ATMOSFERA ADIABATICA 41

Consideriamo prima il caso di un’atmosfera secca. Il bilancio idrostatico lega la pres-sione alla densita dell’aria (massa per unita di volume) ρ = nm tramite la relazione

dP

dx3

= −gρ. (4.24)

Questa relazione e valida mediando su scale orizontali sufficientemente grandi da trascu-rare i moti verticali dell’atmosfera; utilizzando la legge di stato P = ρKT/m, vediamoche in un’atmosfera isoterma la densita dell’aria varierebbe con l’altezza con una leggeesponenziale:

ρ(x3) = ρ0 exp(−x3/h), h =KT

mg. (4.25)

Questa e l’altezza dalla quale dovrebbe cadere una molecola (nel vuoto) per raggiungereuna velocita dell’ordine di quella termica. Ponendo T ∼ 300oK, e utilizzando per l’ariam ≃ Mmol/Nmol, dove Mmol ≃ 0.029Kg e la massa molare dell’aria e Nmol ≃ 6 · 1023 e ilnumero di Avogadro, troviamo h ∼ 10Km, che e di fatto l’altezza della troposfera.

Nel caso di una atmosfera adiabatica, la temperatura variera con l’altezza insieme allapressione secondo la legge

0 = dU + PdV = NKcV dT + Pd(NKT

P

)

= NKcP dT − V dP (4.26)

dove si e utilizzata la relazione (4.8). Questa relazione, unita alla legge di stato PV =NKT , ci da l’andamento per la temperatura:

TP−1/cP = const. (4.27)

Consideriamo lo spostamento dx3 verso l’alto di un volume d’aria in condizioni adiabatiche(e di equilibrio meccanico con l’ambiente circostante). Combinando le (4.24) e (4.26),otteniamo

dT

dx3

∣

∣

∣

ad= − gρV

NKcP

= − mg

KcP

(4.28)

che ci dice che la temperatura decresce con l’altezza con il tasso costante mg/(KcP ),dell’ordine di 10oK al chilometro. Supponiamo ora che l’atmosfera sia stratificata con unprofilo di temperatura generico T (x3). Vediamo che che il profilo sara stabile o instabile aseconda che

dT

dx3

∣

∣

∣

ad<

dT

dx3

oppuredT

dx3

∣

∣

∣

ad>

dT

dx3

Scrivendo infatti la legge di stato nella forma

ρ =mP

KT, (4.29)

vediamo che a parita di pressione, la densita del volume di aria spostato sara maggiore diquella dell’ambiente circostante nel primo caso, minore nel secondo. Pertanto, la forza di


Archimede agira nel primo caso nel senso di ripristinare le condizioni originarie, mentrenel secondo continuera a spingere verso l’alto il volume considerato. Vediamo dalla Eq.(4.28) che una atmosfera isoterma e sicuramente stabile, mentre invece il riscaldamentoradiativo spinge l’atmosfera verso l’instabilita. Il profilo corrispondente alla transizione alregime stabile e detto neutro. In condizioni instabili, si innescheranno correnti convettiveche spingono il profilo verso la neutralita.

La stabilita atmosferica e parametrizzata introducendo la cosı detta temperatura po-tenziale Θ, definita come la temperatura che si avrebbe nel punto se il volume d’ariache lo contiene fosse compresso adiabaticamente fino a una pressione di riferimento Pref .Utilizzando la Eq. (4.27), abbiamo:

Θ = T (Pref/P )1/cP . (4.30)

Tipicamente si prende per Pref la pressione al livello del mare. Per definizione quindila temperatura potenziale rimane costante in una trasformazione adiabatica. Questo hala conseguenza che in un profilo neutro, la temperatura potenziale sara costante rispet-to la quota, mentre crescera o diminuira con l’altezza nei due regimi stabile e instabilerispettivamente.

Nel caso di aria umida, le cosa cambiano a seconda che siamo in condizioni sature omeno. Al di sopra del punto di rugiada, l’umidita relativa q e una costante e il suo unicoeffetto e una correzione della costante di Boltzmann a partire dalla formula

PV ≃ (1 + 1.6q)NKT,

dove N e il numero di molecole di aria secca nel volume. Questo effetto si puo trascurare,giacche q . 0.01. L’effetto importante e il contributo di calore latente in una trasformazioneadiabatica in presenza di cambiamenti di fase, essendo L/(KcP ) ∼ 500oK. Il cambiamentodi fase si verifica in condizioni di vapore saturo e la legge adiabatica e in questo caso

dU + PdV = −1.6NLdqsat (4.31)

dove 1.6NLdqsat e il calore ceduto dall’aria per creare una massa di vapore Nmdqsat.Sostituendo nella Eq. (4.26):

N (KcP dT + 1.6Ldqsat) − V dP = 0

La variazione dqsat e ottenuta differenziando la (4.22):

dqsat =∂qsat

∂TdT +

∂qsat

∂PdP =

∂qsat

∂TdT − 1.6qsat

PdP

Sostituendo nella (4.31), otteniamo per l’adiabatica satura:

N(

KcP + 1.6L∂qsat

∂T

)

dT −(

V +1.6LNqsat

P

)

dP = 0. (4.32)

4.5. L’ATMOSFERA ADIABATICA 43

In questo modo, l’equazione (4.28) per la variazione di temperatura con l’altezza in atmo-sfera adiabatica, diventa, in condizioni sature:

dT

dx3

∣

∣

∣

ad= − mg

KcP (P, T );

cP (P, T )

cP

=(

1 +1.6Lqsat

KT

)−1(

1 +1.6LKcP

∂qsat

∂T

)

, (4.33)

dove, in prima approssimazione, si e usata l’equazione di stato in assenza di umidita PV =NKT . Ora, sfruttando la (4.23) abbiamo al numeratore (L/K)∂qsat/∂T ≃ L2qsat/(KT )2,da confrontare con il termine Lqsat/(KT ) al denominatore. Ricordando che L/(cpK) ≃500oK−1, e ponendo qsat ∼ 0.01, vediamo quindi che cP (P, T ) ≫ cP . La temperaturadecresce con l’altezza in atmosfera adiabatica, in condizioni sature, piu lentamente che inassenza di umidita.

In maniera analoga a quanto fatto in atmosfera secca, possiamo introdurre una tempe-ratura potenziale equivalente che si conserva in trasformazioni adiabatiche umide. Comenel caso della (4.26), possiamo esprimere la (4.31) in funzione di P e T : NKcP dT −V dP =−1.6NLdqsat. Dividendo ambo i lati per NKcP PT e usando PV ≃ NKT :

0 =dT

T− dP

cP P+

1.6LcP KT

dqsat = d ln Θ +1.6L

cP KTdqsat.

In prima approssimazione, possiamo scrivere T−1dqsat = d(qsat/T ); abbiamo infatti, dalla(4.23): −[T−1∂qsat/∂T ]−1qsat∂T−1/∂T ∼ L/K ≫ 1. In una adiabatica satura, varrapertanto:

d ln Θ + d1.6Lqsat

cP KT≃ 0.

Possiamo quindi definire la seguente temperatura potenziale equivalente

Θe = Θ exp(1.6Lqsat

cP KT

)

, (4.34)

che risultera essere conservata in una adiabatica alla saturazione: dΘe|ad,sat = 0.Un’osservazione immediata e che, mentre un volume d’aria sale e la sua temperatura

scende, si ha condensazione e cessione di calore alla fase gassosa. In conseguenza di cio,il volume d’aria si espandera di piu, e la forza di Archimede risultante sara maggiorerispetto al caso secco. In altre parole, dato un certo profilo di temperatura T (x3), unastratificazione sara piu stabile se l’atmosfera e priva di umidita. Un profilo stabile inatmosfera secca puo quindi destabilizzarsi in presenza di umidita. Si parla in questo casodi atmosfera condizionalmente stabile.

In maniera analoga a Θ, la temperatura potenziale equivalente permette di classificarele classi di stabilita atmosferiche in presenza di umidita. Un profilo di Θe decrescente conl’altezza corrispondera a condizioni instabili; un profilo che cresce con l’altezza corrispon-dera a condizioni stabili (in modo assoluto o condizionale, a seconda che anche Θ crescao decresca con l’altezza). Mediamente, l’atmosfera si trova in condizioni condizionalmentestabili. Il ruolo destabilizzante dell’umidita e evidente nella dipendenza di Θe da qsat. Unprofilo di temperatura potenziale Θ neutro o anche stabile, se comunque T (x3) decresce


con l’altezza, corrispondera, in condizioni sature, a un profilo di umidita che decresce rapi-damente con l’altezza secondo la (4.23). La dipendenza esponenziale di Θe da qsat spingequindi Θe a crescere meno o a decrescere con l’altezza e produce quindi instabilita.

Esercizi

1. Calcolare il cambio di entropia in una trasformazione reversibile (T0, V0) → (T, V )per un gas ideale. Suggerimento: utilizzare la proprieta del differenziale esatto chel’integrale su dS e indipendente dal percorso e spaccarlo in due pezzi (T0, V0) →(T0, V ) e (T0, V ) → (T, V ).

2. Scrivere la variazione di energia del gas ideale nella trasformazione reversibile (S0, V0) →(S, V ) e usare il risultato per scrivere l’entalpia.

3. Calcolare il cambio di temperatura di una massa d’aria sospinta a valle (quota 0)dalla cima di un altipiano a (quota 2000m), supponendo che la temperatura in cimafosse 25oC. Come dipendera la temperatura a valle dall’umidita dell’aria in quota?

Riferimenti

• Entropia: E. Fermi, ”Termodinamica”, paragrafi 11-14

• Potenziali termodinamici e cambi di fase: E. Fermi, ”Termodinamica”, paragrafi17-18

• Atmosfera adiabatica: M.L. Salby, ”Fundamentals of atmospheric physics”, sezione2.4

• Termodinamica umida: M.L. Salby, ”Fundamentals of atmospheric physics”, sezioni5.1 e 5.4; G. Marshall & A. Plumb, ”Circulation of the atmosphere and ocean”,sezione 4.5

Capitolo 5

Elementi di fisica dei fluidi

5.1 Le condizioni per una descrizione fluida

La densita dell’aria al livello del mare e di circa n ≃ 2 · 1019 molecole cm−3. Questocorrisponde a una tipica distanza intermolecolare

lmol = n−1/3 ≃ 3.7 · 10−7 cm, (5.1)

da confrontare con un raggio molecolare

amol ≃ 1.5 · 10−8 cm.

Il cammino libero medio di una molecola, cioe la distanza percorsa fra due successivecollisioni, sara

λ ∼ (nπa2mol)

−1 ≃ 10−4 cm; (5.2)

la probabilita di una molecola di incontrarne un’altra mentre attraversa un volume n−1, einfatti il prodotto del numero tipico di molecole nel volume (cioe 1), ed il rapporto tra lasezione d’urto πa2 e la sezione del volume l20. Il numero tipico di volumi di dimensioni n−1

attraversati prima di una collisione sara quindi l2mol/(πa2mol) e il percorso effettuato sara l0

volte questo numero, cioe λ. A partire dalla Eq. (5.2) otteniamo per il tipico tempo dicollisione

τcoll ∼ λ/vth ∼ 3 · 10−9 s, (5.3)

dove si e stimato per la velocita termica delle molecole d’aria dalla velocita del suonovth ∼ c ∼ 340 m/s.

Nel caso generale, la condizione perche un gas possa essere descritto come un fluido,e che in primo luogo lo si possa considerare un continuo. Questo richiede che le quantitamedie, in particolare la densita, varino poco sulla scala della separazione intermolecolarelmol. In principio, potremmo sempre definire la densita in modo probabilistico, a partiredal numero di molecole medio N in un volumetto di dimensioni l arbitrarie (quindi anchel . lmol). Perche questo numero medio fornisca una indicazione concreta del numero tipicodi molecole nel volumetto, e necessario pero che le fluttuazioni ∆N di quest’ultima quantita

45

46 CAPITOLO 5. ELEMENTI DI FISICA DEI FLUIDI

siano piccole in confronto, che richiede per l’appunto che N sia grande e che quindi l ≫ lmol.(Considerando le posizioni delle molecole indipendenti, avremmo infatti ∆N ∼ N1/2). Sequeste condizioni sono soddisfatte, la densita di massa:

ρ(x, t) =1

V

N∑

k=1

mk (5.4)

la velocita media delle molecole nel volume:

u(x, t) =1

N

N∑

k=1

vk(t) (5.5)

e la temperatura cinetica, proporzionale alla energia delle molecole dovuta a moto termico:

3

2KT (x, t) =

1

2N

N∑

k=1

mk|u(x, t) − vk(t)|2, (5.6)

avranno senso come proprieta strutturali del mezzo, inteso come un continuo. Nelle prece-denti equazioni, vk(t) e la velocita della molecola k-esima nel volumetto, mk la sua massae N = n(x, t)V con V il volume in questione; K ≃ 1.4 · 10−23 J oK−1 e la costante diBoltzmann. Avendo all’equilibrio le molecole in media la stessa energia, vth,l ∼ (T/ml)

1/2

sara la velocita termica delle molecole della specie chimica l.

Una descrizione fluida avra senso anche dal punto di vista dinamico, se si possonoscrivere equazioni in forma chiusa per l’evoluzione di n(x, t), u(x, t) e T (x, t). Questo sarapossibile se l’evoluzione del sistema permette condizioni di equilibrio termodinamico locale.Dal punto di vista microscopico, il raggiungimento dell’equilibrio termodinamico e associatoall’effetto che hanno le collisioni di eliminare disomogeneita spaziali nella distribuzione dellemolecole e delle loro velocita. (Questo equilibrio e associato alla distruzione di ogni motoordinato delle molecole, che fa sı che una ipotesi di indipendenza statistica delle molecolesia in prima approssimazione soddisfatta). In condizioni di equilibrio termodinamico locale,pertanto, la dinamica del gas consistera nella evoluzione di volumi di fluido di dimensioniL ≫ λ, la cui interazione reciproca avviene su una scala di tempi τ molto piu lunga diquella interna di raggiungimento di equilibrio τcoll. In altre parole, la condizione per unadescrizione fluida e

L ≫ λ e τ ≫ τcoll. (5.7)

Siccome l’interazione avviene localmente alla scala del cammino libero medio λ ≪ L, ciaspettiamo che le equazioni che descrivono la dinamica saranno esse stesse locali, e cioeche richiedano solo conoscenza delle proprieta del gas nel punto dato. Se questo non fossevero, ed L < λ, il gas in ogni punto (x, t) sarebbe una sovrapposizione di getti di molecoleprovenienti da regioni distanti del sistema e quindi in condizioni differenti; una descrizionein termini di equazioni locali non sarebbe in questo caso possibile.

5.2. INTERPRETAZIONE CINETICA DI PRESSIONE E VISCOSITA 47

5.2 Interpretazione cinetica di pressione e viscosita

Supponiamo di essere in condizioni di equilibrio termodinamico locale; ci domandiamoquale sara l’evoluzione di un elemento di fluido di dimensioni l, con λ ≪ l ≪ L. Perelemento di fluido, intendiamo un volumetto V i cui bordi sono trasportati dal campodi velocita u(x, t). Siccome u(x, t) e solo una velocita media, le molecole al bordo simuoveranno, attraversandolo in un senso o nell’altro, rispetto al bordo stesso. Siccomequesti processi di scambio di molecole si verificano ad una scala λ ≪ l, l’idealizzazione diun volume di fluido con una identita precisa ha un senso, almeno in prima approssimazione.Questi processi sono pero importanti perche attraverso di essi il resto del fluido esercitaforze o scambia calore con il volumetto.

Consideriamo per prima la forza esercitata sul volumetto. Possiamo trattare ciascunacomponente vettoriale dell’impulso dI(t) = F(t′)dt′ comunicato al volumetto, come il ri-sultato di un flusso attraverso la superficie del volumetto stesso. Avremo quindi equazioninella forma

dIk

dt= −

∫

Πk(x, t) · dA(x), k = 1, 2, 3 (5.8)

dove dA e l’elemento di superficie di V orientato verso l’esterno del volume e Πk(x, t) e ladensita di corrente associata alla componente k-esima dell’impulso. L’oggetto Π e indivi-duato da componenti Πkj a due indici (uno per la componente dell’impulso, uno per quelladella corrente) ed e detto tensore di pressione (o tensore degli sforzi) del fluido. Vediamodalla (5.8) che la componente Πkj e il flusso della componente k-esima di momento lineare,attraverso una superficie perpendicolare a j. Pertanto, Πjj sara la pressione esercitata sullasuperficie orientata perpendicolarmente a j, mentre Πkj, per k 6= j, sara la componentek-esima dello sforzo di taglio sullo stesso piano.

Utilizzando il teorema della divergenza, otteniamo l’equazione di continuita ∂tIk +V ∇·Πk = 0, e quindi,

fk = −∇ · Πk (5.9)

non e altro che la componente k-esima della densita di forza esercitata sul volumetto.

La quantita Πk · dAdt e la somma delle componenti k-esime dei momenti lineari ditutte le molecole che hanno attraversato dA uscendo da V nell’intervallo dt, meno ilcontributo dalle molecole che hanno fatto il percorso inverso. Supponiamo allora chef(x,v; t)d3xd3v sia il numero di molecole nell’elemento infinitesimo di spazio delle fasid3xd3v. Consideriamo prima il caso in cui il gas ha solo una componente per cui tut-te le molecole hanno la stessa massa m e mettiamoci nel sistema di riferimento in motocon l’elemento di superficie dA. Come illustrato in Fig. 5.1, vediamo che il contribu-to al flusso della componente k di momento attraverso una superficie orientata lungoj, dovuta a velocita in d3v, sara mf(x,v; t)vjvkd

3v. [Nel sistema di laboratorio sareb-be mf(x,v; t)(vj −uj(x, t))(vk −uk(x, t))d3v]. Per fissare le idee, prendiamo j = 1 e k = 2,come in figura. Dobbiamo quindi prendere la differenza del contributo delle molecole chevanno da sinistra a destra con quelle che vanno da destra a sinistra, cioe Π21 = Π>

21 + Π<21,


dΠ21dA1dt

dA1 1v dt v2d3vx1

x 2

dA

v

v1dt

=mf(...)

Figura 5.1: Contributo da velocita in d3v a Π21; f(x,v; t)dA1v1dtd3v e il numero di molecolein d3v che attraversano dA nell’intervallo dt.

con

Π>21(x, t) = ρ>(x, t)〈v2v1|v1 > 0〉 e Π<

21(x, t) = ρ<(x, t)〈v2v1|v1 < 0〉 (5.10)

dove ρ> e ρ< sono le densita di particelle che vanno verso destra e verso sinistra (e quindi,chiaramente, ρ = ρ> + ρ<).

Nel caso di un gas uniforme, vediamo che per simmetria (piu propriamente, per iso-tropia), le uniche componenti non nulle del tensore di pressione sono quelle diagonali.Otteniamo quindi, utilizzando la definizione di temperatura (5.6):

Πkj = δkjP ; P = ρ〈v2k〉 = nKT, (5.11)

che non e altro che la legge di stato dei gas ideali, con P la pressione del gas.In presenza di piu specie, la pressione sara semplicemente la somma dei contributi delle

molecole delle diverse specie, ciascuna delle quali obbedisce la Eq. (5.11). Avremo quindila legge di Dalton:

P =∑

l

Pl, Pl = nlKT

dove Pl e detta la pressione parziale della specie l e nl e la sua densita numerica.In presenza di disomogeneita nel gas, i due contributi Π>

21 e Π<21 non si bilanceranno

in genere e saranno presenti sforzi di taglio. Questi sono gli sforzi viscosi del fluido epossono essere stimati osservando che le molecole che attraversano da destra e da sinistradA originano da collisioni che si sono verificate a distanza ∼ λ da dA. Fuori da dA,avremo u 6= 0 e avremo quindi

Π≷21(x, t) ∼ ±ρ(x1 ∓ λ, t)vth(x1 ∓ λ)u2(x1 ∓ λ)

e otteniamo per Π12, espandendo in serie di Taylor in λ:

Π21 ∼ − ∂

∂x1

(ρλvthu2).

5.3. DIFFUSIONE MOLECOLARE 49

vth

vth

θ=

ρuxρd dt

dA(t+dt)

21

Figura 5.2: Contributo a Π21 dalla rotazione di dA. Le molecole provenienti dall’altoportano componente 2 del momento −mvth a destra; quelle dal basso ne tolgono mvth.

L’argomento della derivata spaziale in questa formula contiene un fattore puramente dinon equilibrio (la velocita fluida u, che sarebbe nulla infatti all’equilibrio termodinami-co) mentre il resto, per piccole deviazioni dall’equilibrio, puo essere considerato in primaapprossimazione costante. Possiamo quindi scrivere:

Π21 = −µ∂u2

∂x1

; µ = ρν; ν ∼ λ2/τcoll, (5.12)

dove µ e ν sono dette la viscosita dinamica e la viscosita cinematica del fluido. La Eq. (5.12)e un esempio di relazione flusso-gradiente, in cui il flusso di momento si oppone al gradiente,spingendo verso una situazione senza porzioni macroscopiche del gas in movimento.

Ulteriori contributi a Π21 sono prodotti dalla rotazione della superficie dovuti al gra-diente verticale di u1 (vedi Fig. 5.2), e sono quindi proporzionali a ∂u1/∂x2 piuttosto chea ∂u2/∂x1 come nella (5.12). Altri termini ancora produrranno correzioni alla pressionenella forma Πkk = −ρλvth∂uk/∂xk. Sostituendo nella Eq. (5.9), e possibile dimostrare chela densita di forza e nella forma

f = −∇P + ρ[ν∇2u + ν‖∇(∇ · u)] (5.13)

dove il termine ν∇2u viene dalla (5.12) e ν‖∇(∇ · u) contiene l’effetto della rotazionedescritto nella Fig. 5.2 e delle correzioni alla pressione.

5.3 Diffusione molecolare

Lo stesso tipo di ragionamento utilizzato per definire la viscosita si puo seguire considerandol’energia cinetica delle molecole. Avremo in questo caso un flusso di calore proveniente dasinistra di dA

ΦT>1 (x, t) ∼ ρ>(x, t)〈v2v1|v1 > 0〉 ∼ ρ(x1 − λ)KT (x1 − λ)vth(x1 − λ) (5.14)

e analoga espressione per ΦT<1 . Nelle stesse ipotesi della Eq. (5.12) otteniamo quindi per

il flusso di caloreΦT = −cV κT K∇T, κT ∼ λ2/τcoll (5.15)


dove κT e detta diffusivita termica. Per semplificare le formule che seguiranno, abbiamointrodotto il fattore cV , uguale a 3/2 o 5/2 a seconda che le molecole del gas siano monoo bi-atomiche. Di nuovo il flusso di calore e nella forma di una relazione flusso-gradienteche opera nella direzione dell’equilibrio termico.

Ci domandiamo a questo punto se puo esistere un flusso diffusivo di massa accanto aquelli di momento lineare e di calore. Dalle definizioni (5.4) e (5.5), vediamo che la correntedi massa totale e proprio ρu, quindi non ci sono flussi diffusivi per la massa totale. Le cosecambiano se consideriamo una miscela di specie, ad esempio vapore acqueo e aria secca.Ci aspettiamo infatti che in presenza di gradienti nella densita relativa delle diverse specie,si instaurera un flusso diffusivo che tendera ad abbattere i gradienti e omogeneizzare lamiscela. La corrente di massa della specie a in presenza di un gradiente lungo x1, sarainfatti, in analogia alle equazioni (5.10) e (5.14):

ΦT≷1 (x, t) ∼ ρ≷

a (x, t)〈v1|v1 ≷ 0〉a ∼ ±ρa(x1 ∓ λa)va,th(x1 ∓ λa)

e quindi di nuovo una relazione flusso-gradiente:

Φa1 = Φa>

1 + Φa<1 ∼ −λa

∂ρava,th

∂x1

∼ −κa∂ρa

∂x1

(5.16)

dove κa ∼ λ2a/τa,coll e la diffusivita della specie a, e Φa/ρa = −κρ−1

a ∇ρa puo essere inter-pretata come la velocita con cui la specie a fluisce rispetto al resto del fluido, spinta dalsuo gradiente di concentrazione.

La diffusione termica di calore e sostanze chimiche (ma anche di momento lineare) elegata al modo in cui evolve la traiettoria di una molecola in seguito alle collisioni conle altre nel fluido. Infatti, la distanza percorsa da una particella in un tempo τ ≫ τcoll

sara la somma di Ncoll ∼ τ/τcoll spostamenti casuali ∆x. Nel piu semplice caso di ungas spazialmente uniforme, 〈∆x〉 = 0 e 〈|∆x|2〉 ∼ λ2. Abbiamo quindi la somma di Ncoll

variabili aleatorie indipendenti, e la distanza percorsa nel tempo τ sara

〈|x(τ) − x(0)|2〉 ∼ Ncoll〈|∆x|2〉 ∼ λ2τ

τcoll

(5.17)

Questa e la legge del moto di un cammino random, in cui la distanza percorsa cresce pert ≫ τcoll come t1/2, e non linearmente, come nel caso di un moto rettilineo uniforme. Sidice in questo caso che la particella diffonde e la diffusivita κ ∼ λ2/τcoll e il parametro chefornisce la velocita del processo.

5.4 Le equazioni fluide

La dinamica di un fluido potrebbe essere descritta in linea di principio studiando l’evolu-zione dei singoli elementi di fluido nel loro spostamento, mentre si deformano e scambianocalore con l’ambiente. Una descrizione di questo genere e detta Lagrangiana, ma, sebbene

5.4. LE EQUAZIONI FLUIDE 51

naturale dal punto di vista fisico, risulta estremamente complessa dal punto di vista mate-matico a causa della complessita delle traiettorie e delle deformazioni in gioco e del fattoche queste entrerebbero in forma esplicita gia nella scrittura delle equazioni.

La descrizione alternativa, detta Euleriana, si concentra invece sullo studio dell’evolu-zione della densita e delle altre quantita fluide in un punto fissato in seguito al moto delfluido. Le risultanti equazioni sono nella forma di equazioni di continuita il cui contenuto eessenzialmente la conservazione della massa, del momento lineare e dell’energia. L’ultimaequazione risultera essere un’equazione per il trasporto di calore, mentre il comportamentomeccanico del fluido sara descritto essenzialmente dalle prime due.

L’equazione per la conservazione della massa e ottenuta a partire dal fatto che

f(x,v, t)d3vv · dAdt

e il numero di particelle con velocita in d3v che attraversa l’elemento d’area dA nel tempodt. Quindi, sommando su tutte le particelle e utilizzando l’equazione (5.5)

n(x, t)u(x, t) · dAdt =

∫

d3vf(x,v, t)v · dAdt

sara il numero totale di particelle che attraversano dA nel tempo dt, e J(x, t) = n(x, t)u(x, t)sara la densita di corrente associata. Da cui otteniamo immediatamente l’equazione dicontinuita:

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρu) = 0. (5.18)

Questa equazione si puo scrivere in forma alternativa come

Dρ

Dt= −ρ∇ · u,

D

Dt=

∂

∂t+ u · ∇ (5.19)

dove D/Dt e detta derivata materiale (o Lagrangiana) e ci dice come varia la quantitasu cui opera al passare del tempo, lungo una traiettoria del fluido; u · ∇ e detto termineavvettivo. Il termine ∇ · u nella equazione rappresenta il tasso di contrazione del volumeV dell’elemento di fluido. Infatti, V ρ e la massa totale dell’elemento ed si conserva neltempo. Utilizzando la (5.19):

0 =DV ρ

Dt= V

Dρ

Dt+ ρ

DV

Dt= −V ρ∇ · u + ρ

DV

Dt

che ci da quindi1

V

DV

Dt= ∇ · u. (5.20)

In presenza di specie diverse, entrano in gioco processi di diffusione descritti dalla Eq.(5.16) e l’equazione di continuita per la concentrazione della specie a avra la forma

∂ρa

∂t+ ∇ · (ρau) = κa∇2ρa, (5.21)


che puo essere utilizzata ad esempio per descrivere il trasporto di una sostanza chimicaimmessa nel fluido.

Passiamo alla equazione per il momento lineare. Consideriamo quindi un volumetto Vdi fluido e domandiamoci come variera il suo momento lineare p sotto l’effetto delle forzeesterne. L’equazione avra la forma della seconda legge di Newton:

Dp

Dt= Fext + Fin (5.22)

dove Fext e Fin tengono conto rispettivamente delle forze esterne (ad esempio la gravita)e degli sforzi dal resto del fluido. Notare la derivata materiale che ci dice che stiamoguardando al volumetto in moto. Se questo e piccolo, il momento in esso contenuto sarap ≃ ρu(x, t)V e la sua variazione potra essere scritta, utilizzando la Eq. (5.19):

Dp

Dt= ρV

Du

Dt+ u

D(ρV )

Dt= ρV

Du

Dt, (5.23)

Usando la Eq. (5.13), otteniamo l’equazione di conservazione del momento lineare, dettaequazione di Navier-Stokes:

( ∂

∂t+ u · ∇

)

u +1

ρ∇P = ν∇2u + ν‖∇(∇ · u) + f ext/ρ (5.24)

dove f ext = Fext/V e la densita di forza esterna agente sul fluido [nel caso della gravita,f ext(x, t) = −gρ(x, t)e3 con g ≃ 9.8 m s−2 l’accelerazione di gravita]. Il termine avvettivou · ∇u rende l’equazione non-lineare e non risolvibile nel caso generale.

Deriviamo infine l’equazione per la temperatura. La temperatura cinetica e connessa,tramite la Eq. (5.6), alla densita di energia cinetica media delle molecole, che coincidecon la loro energia totale media quando esse sono monoatomiche. Possiamo scrivere ingenerale, per l’energia termica di un volume V di gas:

U = nV cV KT

dove cV e il calore specifico a volume costante, con cV = 3/2 per un molocole monoatomichee cV = 5/2 per molecole biatomiche. In analogia con l’Eq. (5.22), possiamo scrivere:

DU

Dt= W ext + W in

dove W ext e una eventuale fonte di calore (per esempio irraggiamento, oppure reazioni chi-miche) e W in tiene conto sia del calore ricevuto tramite conduzione termica e dissipazioneviscosa, che del lavoro compiuto dal resto del fluido attraverso compressione. Ci limitiamoa considerare il caso (di rilevanza nella troposfera) in cui, a parte possibili impurita, le spe-cie chimiche dell’atmosfera sono ben mescolate e la massa media molecolare m e costante.Questo significa che lungo in un elemento di fluido si conservera nel tempo non solo la

5.5. INCOMPRIMIBILITA E APPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ 53

massa totale ma anche il numero di molecole. In maniera analoga alla equazione (5.23)possiamo quindi scrivere

1

KcV

DU

Dt= nV

DT

Dt+ T

D(nV )

Dt= nV

DT

Dt.

Il contributo dalla compressione a win = W in/V sara semplicemente, usando la Eq. (5.19):

−PDV

Dt=

PV

ρ

Dρ

Dt= −PV ∇ · u

dove P = nKT Combinando con la Eq. (5.15), e scrivendo W ext = V wext, W vis = V wvis,otteniamo infine l’equazione del calore:

( ∂

∂t+ u · ∇

)

T +T

cV

∇ · u = κ∇2T +1

nKcV

(wvis + wext). (5.25)

E da notare la struttura gerarchica delle equazioni fluide. Per ottenere la densita ρ dall’e-quazione di continuita (5.18) dovremmo conoscere la velocita media u. Questa potrebbeessere ottenuta dalla equazione di Navier-Stokes (5.24) che richiede pero conoscenza dellapressione, e quindi di T . Fortunatamente, l’equazione per T (5.25) non coinvolge nuovequantita e il sistema e chiuso. E pero interessante osservare che la ragione per cui questo siverifica, e la possibilita di scrivere il flusso di calore (che ricordiamo e ∝ 〈|v−u|2(v−u)〉)attraverso la relazione flusso-gradiente (5.15). Quest’ultima, come nel caso degli sforziviscosi (5.12-5.13), dipende pero dalla presenza delle collisioni. Vediamo quindi che le col-lisioni e la condizione di equilibrio termodinamico locale entrano di nuovo in gioco, essendovitali alla possibilita di avere un sistema chiuso di equazioni fluide per il gas.

Ora, per l’aria a temperature e pressioni atmosferiche, abbiamo

ν ≃ 1.5 · 10−5m2/s; κ ≃ 2.2 · 10−5m2/s. (5.26)

Se ci interessiamo a scale spaziali L & 1m, vediamo quindi che i termini viscosi e diffusivinelle equazioni di Navier-Stokes e del calore che agiscono su scale di tempi

τ ∼ L2

ν∼ L2

κ& 105 s

che sono estremamente lunghe. Nella equazione del calore, questo implica che il fluidosi muove dal punto di vista termodinamico in maniera adiabatica. Di fatto, le cose sonocomplicate dalla turbolenza, che fa sı che vortici di piccole dimensioni siano comunquegenerati e tempi scala cosı lunghi non vengano raggiunti.

5.5 Incomprimibilita e approssimazione di Boussinesq

I processi che possono portare a variazioni di densita dell’aria in atmosfera sono in linea diprincipio tre: la variazione della pressione atmosferica con l’altezza; le variazioni di pressio-ne che si verificano dinamicamente a causa dei moti atmosferici; i fenomeni di espansionetermica. Consideriamo separatamente i tre effetti.


t+ τt

L

L~U τ

Figura 5.3: Moto di un elemento di fluido di dimensioni ∼ L; se la scala di velocita e U ,τ = L/U dara la scala di tempi per la variazione di ρ, u e T in un punto fissato.

Il primo effetto e associato ai fenomeni di stratificazione descritti nella Sez. 4.5 ecorrispondono al bilancio nella equazione di Navier-Stokes (5.24) tra le componenti verticalidelle forze esterne e di pressione:

∇P = f ext,

che conducono alla equazione di bilancio idrostatico (4.24).Il secondo e il terzo effetto corrispondono a fluttuazioni di densita generate in maniera

dinamica in seguito a moti del fluido e variazioni di temperatura. Immaginiamo una zonadi fluido di dimensioni ∼ L la cui la velocita e la sua variazione sono entrambe ∼ U .Come illustrato in Fig. 5.3, questo significa che la corrispondente scala di tempo sara∼ τ = L/U . In assenza di forze esterne e viscose, i termini nella equazione di Navier-Stokes(5.24) avranno pertanto ordine di grandezza, in sequenza:

Uτ

∼ U2

L∼ ∆P

ρL

dove ∆P e la scala di variazione di pressione corrispondente. Utilizzando l’equazione distato P = ρT/m ∼ ρv2

th:∆P

ρ∼ v2

th

∆ρ

ρ+

∆T

m

e sostituendo nella precedente:

∆ρ

ρ< max

( u2

v2th

,∆T

T

)

. (5.27)

Lo stesso risultato puo essere ottenuto piu semplicemente domandandosi di quanto potreb-be comprimersi un volume V convertendo la propria energia cinetica 1

2MV u2 in energia

termica. La compressione causata dall’arresto del volume, a meno che le velocita sianoestremamente basse, avverra in maniera adiabatica: 1

2MV u2 = ∆U = −P∆V . Utilizzando

P = ρv2th, otteniamo ∆V/V ∼ (u/vth)

2.

5.5. INCOMPRIMIBILITA E APPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ 55

Ricordiamo che, a meno di un fattore O(1), vth e per un gas ideale anche la velocita delsuono cs. Vediamo quindi che se il numero di Mach M = u/cs e le scala di variazione relativadella temperatura ∆T/T sono entrambi piccoli, le variazioni di densita prodotte sarannoesse stesse piccole, cioe il moto del fluido sara in prima approssimazione incomprimibile. Introposfera, la prima condizione e sempre verificata e l’unico effetto che produce variazionidi densita e la stratificazione. Pertanto, moti atmosferici a scala verticale ≪ h saranno inbuona approssimazione incomprimibili.

Utilizzando la Eq. (5.19), vediamo che la condizione di incomprimibilita si traduce inuna condizione di flusso senza divergenze:

∇ · u = 0. (5.28)

Se il forzaggio del fluido e puramente meccanico, ed e portato avanti in un regime di bassinumeri di Mach, le due equazioni le due equazioni (5.28) e (5.24) saranno sufficienti adeterminare la pressione.

In atmosfera, le cose sono piu complicate, giacche variazioni di temperatura sono asso-ciate a variazioni di densita, e anche se i moti si verificano a scala ≪ h e sono in buonaapprossimazione incomprimibili, le piccole variazioni di densita prodotte sono comunqueresponsabili, attraverso la convezione, del moto stesso. Questi effetti possono essere tenutiin conto in maniera perturbativa attraverso la cosı detta approssimazione di Boussinesq.Introduciamo densita e temperatura di riferimento ρ0(x3) e T0(x3), legate dalla condizionedi bilancio idrostatico e dalla legge di stato:

gρ0 = −dP0

dx3

; mP0 = ρ0KT0.

Supponiamo che la forza di Archimede dovuta alla differente densita di parti di fluido atemperatura diversa sia l’unica sorgente di energia per il moto del fluido. Imponiamo che lascala di variazione ∆T della temperatura e l’altezza L del dominio soddisfino le condizioni∆T/T ∼ L/h ≪ 1, in modo che le condizioni di cui alla (5.27) possano essere soddisfatte.Scrivendo:

ρ = ρ0 + ρ, T = T0 + T e P = P0 + P ,

l’equazione di Navier-Stokes diventera:

(ρ0 + ρ)( ∂

∂t+ u · ∇

)

u + ∇P = ρν∇2u − ρge3. (5.29)

Nell’equazione del calore entrano in gioco le variazioni di temperatura e densita e quindigli effetti di comprimibilita finita del flusso. Le variazioni di densita sono contenute neltermine di compressione

T

cV

∇ · u = − T

cV ρ

Dρ

Dt≃ −T0u3

cV ρ0

dρ0

dx3

− T0

cV ρ0

Dρ

Dt

dove si e utilizzata la Eq. (5.19). Notare che i due termini a lato destro dell’equazionesono del medesimo ordine, essendo dρ0/dx3 ∼ ρ0/h ∼ ρ/L ∼ ∂ρ/∂x3. La densita e la


temperatura sono legate attraverso la legge di stato ρ = mP/(KT ), dove P = P0 + Pe fissata ad ogni istante dalla quota e dall’equazione di Navier-Stokes sotto la condizione∇ · u = 0. Abbiamo quindi

− T0

cV ρ0

Dρ

Dt=

1

cV

[DT

Dt− T0

P0

DP

Dt

]

(5.30)

Il primo termine a lato destro e conseguenza diretta del rimescolamento di zone a tempera-tura diversa causato dalla convezione; il secondo e il riscaldamento prodotto dal cambio dipressione indotto dalla condizione ∇·u = 0 nel flusso (5.29). E facile convincersi che il ter-mine DP/Dt all’ordine piu basso non contribuisce; abbiamo infatti dalla (5.29) P ∼ ρ0u

2,che e pari al piu al lavoro per unita di volume esercitato dalle forze di Archimede nellaconvezione. 1

Quest’ultimo e dell’ordine di ∆ρgL ∼ (T /T0)ρ0gL. Abbiamo quindi

T0P

P0T∼ gL

v2th

=L

h≪ 1.

Possiamo quindi trascurare il termine DP/Dt nella (5.30). Procedendo nella stessa manieracon la fluttuazione di densita nella Eq. (5.29), possiamo scrivere

ρ ≃ −ρ0

T0

T (5.31)

Vediamo quindi che la convezione termica in condizioni di flusso quasi incomprimibile sirealizza nel fatto che l’unica sorgente di fluttuazioni di densita e prodotta dalle fluttuazionidi temperatura, mentre le fluttuazioni di pressione indotte dal bilancio di momento sonoininfluenti.

Sostituendo la (5.31) nella (5.29) otteniamo quindi, all’ordine piu basso in ρ/ρ0:

( ∂

∂t+ u · ∇

)

u +1

ρ0

∇P = ν∇2u +gT

T0

e3. (5.32)

In modo analogo, abbiamo per l’equazione del calore,

( ∂

∂t+ u · ∇

)

T =cV

cP

κ∇2T +cV

cP

( T0

cV ρ0

dρ0

dx3

− dT0

dx3

)

u3 +wext

cpKρ0

, (5.33)

1Possiamo utilizzare la (5.30) per calcolare le fluttuazioni di temperatura indotte dal flusso in un fluidoinizialmente in condizioni isoterme e in assenza di fonti di calore. Trascurando il calore generato dalladissipazione viscosa, l’equazione del calore (5.33) diventa, in assenza di disomogeneita nei profili medi di

temperatura e densita, utilizzando la (5.30): DTDt

= T0

(1+cV )P0

DPDt

; trascurando contributi di condizioni al

contorno: T = T0

(1+cV )P0

P . Prendendo la divergenza dell’equazione di Navier-Stokes (5.29), trascurando a

ordine piu basso le fluttuazioni di densita, otteniamo per la pressione: ∇2P = −ρ0∇·[(u·∇)u]; sostituendonella equazione del calore: ∇2T = − ρ0T0

(1+cV )P0

∇ · [(u · ∇)u]. Risolvendo l’equazione di Poisson, troviamo

quindi la fluttuazione di temperatura generata dal flusso.

5.6. IL PROBLEMA DELLE CONDIZIONI AL CONTORNO 57

dove si e trascurato il riscaldamento dovuto agli sforzi viscosi, che puo essere mostratoanch’esso essere al piu dell’ordine del lavoro delle forze di Archimede. Il termine propor-zionale a u3 a lato destro dell’equazione puo essere riscritto in funzione della temperaturapotenziale. Utilizzando la definizione (4.30) e la legge di stato, possiamo scrivere

Θ0 ∝ T1−1/cP

0 ρ−1/cP

0

da cui otteniamodΘ0

dx3

= −cV

cP

( 1

cV ρ0

dρ0

dx3

− 1

T0

dT0

dx3

)

Θ0

Sostituendo nella Eq. (5.33), otteniamo quindi:

( ∂

∂t+ u · ∇

)

u +1

ρ0

∇P = ν∇2u + gΘ

Θ0

e3; (5.34)

( ∂

∂t+ u · ∇

)

Θ = κΘ∇2Θ − dΘ0

dx3

u3 +Θ0w

ext

cpmP0

, (5.35)

dove κΘ = (cP /cV )κ, si e sfruttata la condizione |P /P0| ≪ |T /T0| per scrivere, a partiredalla Eq. (4.30): T = (T0/Θ0)Θ, e si sono trascurate le derivate rispetto a x3 di T0/Θ0

rispetto a quelle di Θ.Gli ultimi due termini nella Eq. (5.35) agiscono di fatto come sorgenti di calore nell’e-

quazione. Notare in particolare come il penultimo termine scompare in atmosfera neutra,cambiando segno nel passaggio da atmosfera stabile a atmosfera instabile. Le due equa-zioni (5.34) e (5.35), insieme alla condizione di divergenza zero per la velocita (5.28),costituiscono l’approssimazione di Boussinesq per il fluido.

5.6 Il problema delle condizioni al contorno

Nell’equazione di Navier-Stokes agiscono simultaneamente termini lineari (la forza visco-sa), non-lineari [il termine avvettivo (u · ∇)u, che rende conto dell’inerzia del fluido] e diforzaggio esterno. Il ruolo della pressione nel caso incomprimibile e compreso prendendo ladivergenza della equazione di Navier-Stokes (5.34), che, utilizzando la condizione ∇·u = 0,diventa

ρ0∇ · (u · ∇)u + ∇2P = ∇ · f ext

e vediamo che la pressione bilancia la parte delle forza d’inerzia e di quelle esterne chetenderebbero a comprimere il fluido.

Supponiamo che U sia l’ordine di grandezza della variazione della velocita in una certaregione del fluido a separazione L. L’equazione di Navier-Stokes ci fa stimare per l’ordinedi grandezza del contributo delle forze inerziali e viscose a scala L:

ν∇2u ∼ νU/L2; (u · ∇)u ∼ U2/L. (5.36)

Giacche ci aspettiamo variazioni di velocita minori a piccole separazioni, le forze viscosesaranno dominanti a piccola scala. Questo effetto diventa importante in prossimita di


?

n+1t

tn

xm−1 xm xm+1

A B

t

x

Figura 5.4: Trasferimento di informazione in una equazione del calore in 1D. Notare co-me l’evoluzione nel punto alla frontiera rimane indeterminata in assenza di condizioni alcontorno.

ostacoli solidi; avvicinandosi all’ostacolo, la dinamica del fluido sara dominata dalle forzeviscose, e la velocita relativa del fluido rispetto all’ostacolo tendera a zero alla superficiedell’ostacolo stesso.

Dal punto di vista pratico, questa osservazione si concretizza nel fatto che, per determi-nare la soluzione della equazione di Navier-Stokes (5.24), e sufficiente imporre condizionial contorno sulla velocita sulla frontiera del dominio a cui siamo interessati (oltre checondizioni iniziali sulla velocita nel dominio).

Il significato di questa affermazione diventa piu chiaro, considerando il problema ana-logo delle condizioni al contorno di una equazione del calore lineare in una dimensione:

∂T

∂t= κ

∂2T

∂x2.

Discretizzando il problema e scrivendo quindi t → tn = n∆t, x → xm = m∆x, l’evoluzionedel campo di temperatura sara descritta da:

T (xm, tn+1) = T (xm, tn) +∆t

∆x2[T (xm+1, tn) + T (xm−1, tn) − 2T (xm, tn)].

Come illustrato in Fig. 5.4, il valore in un punto ad un istante dato e determinato dal valoredi T all’istante precedente nel punto e nei due adiacenti. Per determinare la soluzione equindi necessaria una condizione su tutto il campo ad un istante iniziale, piu una condizionesulla frontiera a tutti i tempi successivi.

Nel caso in cui la frontiera sia una superficie solida, le condizioni al contorno sullavelocita assumono il significato evidente di condizioni impermeabilita della superficie e dinon-scivolamento (no-slip) sulla stessa. Su di una superficie fissa:

u⊥(x, t) = 0 (impermeabilita); u‖(x, t) = 0 (no slip).

Comparando in modo analogo a quanto fatto nella Eq. (5.36), gli ordini di grandezza nellaequazione del calore (5.35), troviamo

κ∇2T ∼ νT /L2; (u · ∇)T ∼ U T /L. (5.37)

5.7. TURBOLENZA E TRASPORTO TURBOLENTO 59

Troviamo anche in questo caso che la diffusivita domina per L → 0 e questo si traducenella possibilita di una condizione al contorno sulla temperatura. Dal punto di vista ma-tematico, questo e vero anche quando la velocita fluida alla frontiera sia non nulla, mal’interpretazione fisica delle condizioni al contorno risulta in questo caso piu complessa.

In generale, la soluzione di equazioni come quella di Navier-Stokes o del calore e notaquando si diano condizioni al contorno sulla frontiera del dominio, o sulla variabile (quindiu e T ), o sul flusso della quantita di cui le due equazioni esprimono la legge di conservazione;nel nostro caso, il momento lineare e il calore. Ricordiamo che il flusso di momento non ealtro che la densita di forza sulla superficie, quindi la soluzione dell’equazione di Navier-Stokes diventa determinata quando siano noti o i valori della velocita o le forze che agisconosulla frontiera del dominio.

Nota bene che la densita di forza ha due componenti: una normale (la pressione) eduna tangenziale (lo sforzo di taglio viscoso); la condizione sulla pressione si sostituiscealla condizione di impermeabilita mentre quella sullo sforzo di taglio si sostituisce a quelladi no-slip. Ecco un esempio pratico: calcolare il profilo della velocita in un canale, notala pressione all’imbocco e all’uscita e trascurando l’effetto di trascinamento dell’aria aldi sopra. La condizione sulle pareti e sul fondo e chiaramente u = 0 (impermeabilitapiu no-slip). La condizione al pelo dell’acqua, in assenza di onde, e u3 = 0; trascurarel’effetto di trascinamento dell’aria, equivale a imporre sforzo tangente nullo, cioe ∂u1/∂x3 =∂u2/∂x3 = 0 [confrontare con la Eq. (5.12)].

Ritorniamo ora alla temperatura e servendoci di nuovo dell’esempio del canale, ci do-mandiamo che significato hanno diverse condizioni al contorno, specie quando la velocitanon e zero alla frontiera. La condizione sul fondo e le pareti non crea problemi visto chela velocita e nulla e quindi il calore e trasportato per pura conduzione. Sulla superficiesuperiore, la condizione al contorno e equivalente a una posta su elementi di superficieche si spostano con il fluido. Nel caso pero si vogliano imporre condizioni di flusso sullesuperfici in entrata o in uscita, bisogna ricordarsi che a causa del fatto che u⊥ 6= 0, il flussoha una componente convettiva e la condizione sulla derivata normale della temperatura dasola non e in grado di determinarlo.

5.7 Turbolenza e trasporto turbolento

L’intensita delle forze viscose e dell’inerzia nella equazione di Navier-Stokes e data dallaEq. (5.36); il loro rapporto e un numero adimensionale

Re =UL

ν, (5.38)

detto numero di Reynolds, che sara tanto piu grande quanto piu e importante l’effettodell’inerzia.

E noto che se Re ≫ 1, il flusso, da laminare diventa turbolento. Questo significa cheil flusso, che nel caso laminare aveva un profilo dolce caratterizzato da una singola scalaspaziale L (e una singola scala di velocita U), si rompe in correnti a scala sempre piu


piccola (vortici), che fluttuano in maniera casuale. Misurando differenze di velocita ∆lua scala l < L, si osserva infatti che, mentre nel caso laminare, questo puo essere stimatoespandendo localmente in serie di Taylor il campo di velocita

∆lu ∼ lu′ ∼ U l

L,

in quello turbolento:

∆lu ∼ U( l

L

)1/3

≫ U l

L; (5.39)

in altre parole, il campo di velocita sembra non essere differenziabile.La differenza di velocita ∆lu puo essere interpretata come la scala di velocita tipica di

vortici di dimensione l, che avranno quindi anche tempo tipico di ”rotazione” (e di duratain vita) l/∆lu. Vediamo che non abbiamo piu una sola scala L caratteristica del flusso,ma tutto un intervallo di scale . L caratteristiche delle fluttuazioni turbolente. Possiamointrodurre un numero di Reynolds caratteristico di fluttuazioni a scala l:

Rel =∆lul

ν∼ Re

( l

L

)4/3

(5.40)

e questo ci fa vedere che le forze viscose diventano importanti per i vortici piu piccoli. Siosserva infatti anche che non vi sono vortici al di sotto della scala l0 (la cosı detta scalainterna o scala di Kolmogorov) a cui Rel0 ∼ 1. Al di sotto di questa scala, il campo divelocita ritorna ad avere un profilo differenziabile. Notare che questo implica che possiamostimare il gradiente del campo di velocita come

∂uk

∂xj

∼ ∆l0u

l0

Avremo analogamente per derivate di ordine piu alto ∂nu/∂xn ∼ ∆l0u/ln0 (notare comel’ordine di grandezza della differenza finita di ordine n continui ad essere ∆l0u).

Per i flussi incomprimibili a cui siamo interessati, risulta che la scala di Kolmogorov etipicamente dell’ordine del millimetro o poco meno, ma sempre al di sopra della scala λsotto la quale una descrizione fluida del gas cesserebbe di essere valida.

Tutto cio ha una interpretazione dinamica ben precisa. Le forze esterne che mettono inmoto il fluido agiscono alla scala ”esterna” L e portano allo stabilirsi di correnti a velocita∼ U . In atmosfera, prendendo L ∼ 1000m e U ∼ 10m/s, ci ritroveremmo Re ∼ 109.Questo significherebbe forze viscose trascurabili, che non potrebbero dissipare in alcunmodo il lavoro delle forze esterne (il fluido dovrebbe quindi continuare ad accelerare). Latransizione ad un regime turbolento fa sı invece che questo lavoro sia trasferito ai vorticipiu piccoli, sino alla scala interna l0 alla quale la dissipazione viscosa e dominante. I piccolivortici innescati dalla turbolenza forniscono percio il meccanismo di dissipazione (scala l0)per l’energia comunicata al flusso dalle forze esterne (scala L). Questo meccanismo ditrasferimento di energia e noto con il nome di cascata turbolenta.

L’aumentata efficienza della dissipazione viscosa e associata ad un incremento delleforze effettive di attrito nel fluido. La maniera in cui si modella di solito questo effetto


Figura 5.5: Raffigurazione schematica della traiettoria di un elemento di fluido inturbolenza omogenea.

e immaginando che vi sia un trasporto di momento lineare mutuato dai vortici, analogoa quello generato dai moti termici, descritto dalla Eq. (5.12). Questo approccio e detto”teoria di lunghezza di mescolamento” (teoria di mixing-length).

Nel caso della viscosita molecolare, quantita come il momento lineare, l’energia termicae sostanze varie disperse nel fluido, sono trasportate dalle collisioni a distanze dell’ordinedel cammino libero medio λ. Questo porta a variazioni delle rispettive medie a scala ≫ λ:u, T e ρa.

Nel caso della turbolenza, si procede in maniera analoga a quanto fatto con lo studiodell’equilibrio termodinamico in cui si e considerato prima il regime di equilibrio globale.Consideriamo quindi una situazione di turbolenza omogenea, illustrata in Fig. 5.5, incui vortici di lunghezza e velocita tipiche L e U indipendenti in media dalla posizione,trasportano un tracciante che si muove con la velocita istantanea del fluido nel punto. Inanalogia con la Eq. (5.17), questo corrisponde a una diffusivita ”turbolenta”.

κturb ∼ LU . (5.41)

Si introducono viscosita e diffusivita termiche turbolente che avranno lo stesso ordinedi grandezza di κturb. Questo implica un rapporto tra viscosita turbolente e molecolariνturb/ν ∼ Re. La situazione corrispondente a condizioni di equilibrio termodinamico localenel caso della diffusione molecolare, sarebbe quindi ottenuta immaginando variazioni deiparametri medi del flusso a scala ≫ L. Quindi si avrebbero velocita u(x, t) e parametridella turbolenza L(x, t) e U(x, t) ottenuti mediando spazialmente a scala intermedia tra Le la scala del campo medio.

La situazione reale in flussi turbolenti (e questa e una delle difficolta principali delproblema) e pero la scala del campo medio coincide con L. Questo fatto ha conseguenzedel tipo illustrato in Fig. 5.6: scale piccole (ed alla fine quindi diffusione molecolare) sonoprodotte nella sostanza mescolata da un processo che non e di tipo diffusivo.


Nonostante le limitazioni descritte, il concetto di viscosita e diffusivita turbolente in-sieme alla procedura di media spaziale a scale confrontabili con L, sono l’ingrediente fon-damentale di qualsiasi modello di turbolenza di utilizzo pratico. In particolare, un codicenumerico per la simulazione di un flusso atmosferico non potrebbe mai risolvere intervallidi scala che vanno dal chilometro al millimetro (con i calcolatori attuali, si potrebbe pen-sare al massimo a un fattore mille tra scala interna e scala esterna). Si utilizzano quindinei modelli versioni filtrate delle equazioni fluide; per esempio, nel caso della equazione diNavier Stokes:

∂u

∂t+ (u · ∇)u +

1

ρ0

∇P = ν∇2u + f ext/ρ0 (5.42)

dove la barra indica media spaziale ad una scala l che potrebbe in generale non coinciderecon L (tipicamente l . L). Vortici a scala < l non sono quindi tenuti in conto (se l < l0,tutti i vortici sarebbero risolti). In una dimensione avremmo ad esempio

A(x, t) =1

2l

∫ l

−l

A(x + x′, t)dx′

e il risultato dell’operazione e illustrato in Fig. 5.7. Sfortunatamente, essendo in genere lamedia di un prodotto differente dal prodotto delle medie:

(u · ∇)u 6= (u · ∇)u.

Una viscosita turbolenta e l’uso di ipotesi di tipo mixing-length permettono di esprimereil termine u · ∇u in funzione di u in forma chiusa:

(u · ∇)u = (u · ∇)u −∇ · (νturb∇)u. (5.43)

dove νturb ≡ νturb(l) indica qui la viscosita turbolenta prodotta dai vortici a scala < l, eteniamo in conto che in generale νturb(l) = νturb(l(x, t);x, t). Utilizzando la Eq. (5.39),possiamo scrivere:

νturb(l) ∼ ∆lu l ∼ U l4/3L−1/3.

Sostituendo nella Eq. (5.42) ci ritroviamo una equazione identica a quella di Navier-Stokes originaria, solo con il termine di viscosita turbolenta νturb che si aggiunge a quellomolecolare. In maniera analoga, le equazioni del calore e di trasporto di un inquinantemantengono la loro forma con l’aggiunta di opportuni termini di diffusivita turbolenta.Notare che il termine viscoso turbolento ∇ · (νturb∇uk) ∼ ∆lu

2/l e il termine di avvezioneresiduo (u ·∇)uk sono ora dello stesso ordine di grandezza ∆lu/l, come a dire che il numerodi Reynolds ”turbolento” ∆lul/νturb e di ordine uno. Strutture del campo u a scala piupiccola di l sono quindi smorzate dalla viscosita turbolenta nella stessa maniera in cuivortici a scala < l0 nel campo originario u erano smorzati dalla viscosita molecolare.

Notare infine come la dissipazione viscosa ”turbolenta” non sia altro che l’energia tra-sferita dal flusso medio alla cascata turbolenta e poi dissipata in calore dalla viscositamolecolare. La potenza ”dissipata” dalla viscosita turbolenta e difatti:

u · (∇ · (νturb∇)u) ∼ U3

L


Figura 5.6: Mescolamento di una ”bolla” di sostanza di dimensioni ∼ L da parte di un flussoanch’esso a scala L. Il modello mixing-length si limiterebbe a descrivere lo spostamento inblocco della bolla da vortice a vortice e non darebbe conto del processo di stiramento.

l

Figura 5.7: Esempio di segnale filtrato a scala l (linea spessa) sovrapposto al segnalerandom originale.

La potenza dissipata dalla turbolenza e invece, indicando u ≡ ∆l0u e utilizzando la Eq.(5.39):

νu · ∇2u ∼ νU2l−4/3L−2/3.

Ma, la relazione Rel0 ∼ 1 implica U l4/3L−1/3ν−1 ∼ 1, che, sostituita nella equazioneprecedente, ci da infatti:

νu · ∇2u ∼ U3

Le la potenza dissipata dalle forze viscose coincide con quella trasferita alla turbolenza dalcampo medio.

Esercizi

1. Lo space-shuttle e lungo una quarantina di metri. Calcolare l’altezza alla quale unadescrizione fluida delle sue proprieta aerodinamiche risulterebbe inefficace. Comedipende il risultato dalla velocita del veicolo?

2. Una superficie piana scorre a velocita costante e ad altezza costante su un’altra super-ficie parallela fissa. Calcolare la forza per unita di superficie che bisogna esercitaresulla superficie superiore per tenerla in moto. Considerare il limite Re → 0, cor-rispondente a trascurare il termine avvettivo nella equazione di Navier-Stokes e la


possibilita di turbolenza. Supporre le superfici idealmente infinite e che non vi sianogradienti di pressione orizontali. Trascurare variazioni di densita e di temperaturadell’aria.

3. Nel problema precedente, considerare la meta inferiore e quella superiore del cuscinod’aria tra le due superfici. Qual’e la forza per unita di superficie esercitata dalla metasuperiore su quella inferiore? Perche la porzione inferiore non accelera?

Riferimenti

• M.L. Salby, ”Fundamentals of atmospheric physics”, capitolo 10.

• Turbolenza: P. Kundu, ”Fluid Mechanics”, capitolo 12 (Sez. 12 e 17; ordinato inbiblioteca).

Capitolo 6

Dinamica atmosferica

6.1 Scale di lunghezza in atmosfera

La presenza di gradienti orizontali di pressione e la destabilizzazione dell’atmosfera pro-dotta dal riscaldamento solare del suolo, fanno sı che l’atmosfera non sia in uno stato diquiete. Come si vedra, la dinamica e complicata dalla rotazione terrestre, che fa sı che lacomponente orizontale dei moti atmosferici non sia diretta lungo i gradienti di pressione.Un aspetto in comune con flussi a scala piu piccola (per esempio il flusso in una condotta)e invece il ruolo del suolo (le pareti della condotta) nell’esercitare una forza di attrito sulfluido. Questo fa sı che il lavoro esercitato sul fluido dalle forze di pressione non porti aun incremento di energia cinetica, ma, in condizioni stazionarie, si converta integralmentein calore. Un secondo effetto e la formazione di un cosı detto strato limite in prossimitadel suolo, dove la dinamica e dominata dall’attrito e la velocita media del fluido variarapidamente con l’altezza.

E facile capire la necessita di uno strato limite da considerazioni di bilancio di momentolineare. Immaginiamo di avere una condotta di raggio h in cui il fluido e in moto graziea un gradiente uniforme di pressione P ′ lungo l’asse del canale. Per semplificarci la vita,trascuriamo effetti di tipo termico e l’effetto della gravita. Il momento lineare comuni-cato a un elemento di fluido di lunghezza L nell’unita di tempo (cioe la forza che agiscesull’elemento di fluido) sara −πh2LP ′. Allo stato stazionario, questa e uguale e oppostaalla forza di attrito della parete del condotto sull’elemento di fluido. Consideriamo orauno strato cilindrico di fluido di spessore δ ≪ h vicino alla parete del condotto. La forzadi pressione che agisce sullo strato di fluido e circa −2πhδLP ′. La forza di attrito dellaparete e invece πh2LP ′; il bilancio di momento e chiuso dalla condizione che il fluido nonacceleri imponendo che la forza del fluido nella parte interna del canale sullo strato esternosia −πh2LP ′ + 2πhδLP ′, cioe la forza totale sia nulla. Vediamo quindi che, se δ ≪ h, laforza di attrito alla parete πh2LP ′ e la forza di trascinamento esercitata sullo strato dallaregione interna −πh2LP ′ + 2πhδLP ′ ≃ −πh2LP ′ saranno molto piu intense della forzadi pressione −2πhδLP ′. In altre parole, per δ ≪ h, la dinamica nello strato di fluido edominata dal trasferimento di momento lineare dal fluido nella parte interna del condotto,

65

66 CAPITOLO 6. DINAMICA ATMOSFERICA

alla parete, mentre il contributo della pressione e trascurabile.In atmosfera, l’altezza dello strato limite (detto strato limite planetario) e dell’ordine

del chilometro. Lo strato al di sopra, dominato dal bilancio tra forze di pressione e rotazioneterrestre e detto atmosfera libera. La dinamica in entrambe le regioni e complicata dallaconvezione. Nello strato limite essa entra in gioco comunque in assenza di vento, quando igradienti di pressione sono deboli. La convezione entra in gioco anche nell’atmosfera libera,in particolare durante formazione di nubi.

Come si e detto precedentemente, i flussi atmosferici sono turbolenti e la loro descrizio-ne quantitativa richiede necessariamente filtrare in modo opportuno le equazioni fluide aseconda dei casi nella loro versione originale (5.24,5.25) o in approssimazione di Boussinesq(5.34,5.35). La scala di filtraggio dipende essenzialmente dal tipo di problema in esame.Per analizzare la formazione di un cumulonembo, la scala orizontale non potra superaredi molto il chilometro; per l’evoluzione di un’area di alta pressione, la scala sara dell’or-dine delle decine-centinaia di chilometri. La scala verticale potra variare dal centinaio dimetri per risolvere lo strato limite, all’altezza della troposfera nel caso dell’atmosfera libe-ra. Notiamo che l’approssimazione di Boussinesq potrebbe non essere applicabile volendorisolvere fenomeni quali la formazione di cumulonembi, che coinvolgono correnti verticaliche si estendono per tutta l’altezza della troposfera.

Focalizziamo l’attenzione sull’intervallo di scale caratteristico della dinamica delle regio-ni di alta e bassa pressione e trascuriamo fenomeni intensi quali formazione di cumulonembi.Cio porta a importanti semplificazioni nella forma delle equazioni del modo. Per fissare leidee, consideriamo l’equazione di Navier-Stokes (5.34) nella seguente forma filtrata:

( ∂

∂t+ u · ∇

)

u +1

ρ∇P = ∇ · (νturb∇u) − ge3, (6.1)

in cui non abbiamo eliminato da P il termine di pressione idrostatica. In primo luogo, imoti verticali, mediando a scale dell’ordine di 10÷100KM diventano trascurabili. Pertantou ≃ (u1, u2, 0). In conseguenza di cio, anche il termine di galleggiamento −ge3 scompare el’equazione del calore cessa di essere necessaria.

Le equazioni si possono ulteriormente semplificare filtrando verticalmente a scala h,mediando cioe su tutta l’altezza della troposfera. Questo e abbastanza naturale, visto che ascale del centinaio di chilometri, la dinamica atmosferica e sostanzialmente bidimensionale.L’operazione di media e immediata, a parte il contributo di viscosita turbolenta

∂

∂x3

(

νturb(x, t)∂u(x, t)

∂x3

)

nella (6.1), che perde di significato, visto che u non dipende piu da x3. Ora, questa non ealtro che una parametrizzazione dello sforzo turbolento −(∂/∂x3)u1u3, evidentemente nonapplicabile al caso in questione [confrontare con la (5.43); ricordo che u3 = 0]. Cerchiamo-ne un’altra piu appropriata. Notiamo che la quantita ρ u1u3, per x3 < δ, non e altro chela forza di attrito per unita di superficie (sforzo di attrito) esercitata dal suolo. Mediando−(∂/∂x3)u1u3 orizontalmente, e poi verticalmente da una quota x3 < δ alla cima della

6.2. IL VENTO GEOSTROFICO 67

troposfera, otteniamo proprio h−1[u1u3(x3)−u1u3(h)] ≃ h−1u1u3(x3), che e lo sforzo di at-trito del suolo diviso ρh [il termine trascurato u1u3(h) e lo sforzo esercitato sulla troposferadalla stratosfera].

E abbastanza naturale supporre la forza di attrito diretta lungo −u e possiamo scriverequindi −(∂/∂x3)u1u3 = −Γu, dove Γ = Γ(u) e detto attrito di Ekman. Il termine diviscosita turbolenta nella Eq. (6.1) diventa quindi

∇ · (νturb∇u) − Γu, u = u(x1, x2, t). (6.2)

L’attrito di Ekman e associato ai moti verticali non risolti, mentre ∇ · (νturb∇u) parame-trizza i moti orizontali non risolti, che hanno invece l’effetto di smorzare gradienti orizontalidi vento. La necessita dell’attrito di Ekman e un esempio delle limitazioni del concettodi viscosita turbolenta: trascurando questo termine nella (6.2), un flusso orizontalmenteuniforme non subirebbe nessun attrito dal suolo.

6.2 Il vento geostrofico

A causa della rotazione della terra, un sistema di riferimento solidale con un punto del-la superficie terrestre sara non inerziale. Saranno quindi presenti forze fittizie: la forzacentrifuga e la forza di Coriolis, che contribuiranno accanto alla gravita al termine di for-za esterna della equazione di Navier-Stokes. In particolare, per la forza di Coriolis, unelemento di atmosfera che si muove in direzione polare (equatoriale) sara spinto verso est(verso ovest), mentre uno che si muove verso est (ovest) sara spinto in direzione equatoriale(polare).

Ricordiamo che se le componenti della posizione x sono espresse in un sistema diriferimento rotante:

x(t) =3

∑

i=1

xi(t)ei(t),

la velocita ricevera un contributo dal cambio di orientazione dei vettori di base:

V =dx

dt=

3∑

i=1

(xiei + xiei) = v + Ω × x

dove Ω e la frequenza di rotazione della terra e v =∑

xiei e la velocita misurata nelsistema di riferimento rotante. In maniera analoga per l’accelerazione:

dV

dt= a + Ω × v +

d

dtΩ × x = a + 2Ω × v + Ω × [Ω × x]

dove a =∑

viei e l’accelerazione misurata nel sistema di riferimento rotante, 2Ω × v el’accelerazione di Coriolis e Ω × [Ω × x] e l’accelerazione centripeta.

L’equazione di Navier-Stokes (5.24) e l’approssimazione di Boussinesq (5.34) sono statederivate in un sistema di riferimento cartesiano, oltre che inerziale. Questo porterebbe


ulteriori termini di correzione associati alla curvatura della superficie terrestre che qui nondiscutiamo. Trascuriamo inoltre l’effetto dell’accelerazione centripeta che produce unacorrezione dipendente dalla latitudine alla forza di gravita. Ci interessiamo a fenomeni cheriguardano l’atmosfera libera a scala dell’ordine del centinaio di chilometri. Con questesemplificazioni, l’equazione di Navier-Stokes opportunamente filtrata diventa:

( ∂

∂t+ u · ∇

)

u + 2[Ω × u] +1

ρ∇P = ∇ · (νturb∇u), (6.3)

e in questa equazione le derivate agiscono sulle componenti e non sui versori ei i = 1, 2, 3.Per fissare le idee, prendiamo la direzione di e1 verso est ed e2 verso nord (e3 continua adessere la normale alla superficie terrestre). A scale dell’ordine del centinaio di chilometri, imoti verticali sono trascurabili. La componente orizontale dell’accelerazione di Coriolis (invalore assoluto) e il cosı detto parametro di Coriolis f = 2Ω sin θ, dove θ e la latitudine.Per il momento consideriamo un filtraggio verticale che ci consenta di risolvere la strutturaverticale del campo di velocita; quindi u = (u1, u2, 0), ma u = u(x, t), x = (x1, x2, x3).

Per scale atmosferiche di velocita e di lunghezza U e L, l’importanza relativa del terminedi Coriolis rispetto al termine avvettivo Du/Dt ∼ U2/L, e data dal numero di Rossby:

Ro =UfL

. (6.4)

A latitudini medie per cui f ∼ 10−4s−1 e per U ∼ 10m/s, vediamo che Ro < 1 e il terminedi Coriolis diventa importante quando L & 100Km. Considerando lo stato stazionario etrascurando per il momento l’effetto degli sforzi turbolenti, la dinamica sara governata daun bilancio fra pressione e forza di Coriolis:

2Ω × u +1

ρ∇P = 0

la cui soluzione, in coordinate, e la seguente:

u1 := ug1 = − 1

fρ

∂P

∂x2

u2 := ug2 =

1

fρ

∂P

∂x1

. (6.5)

Troviamo che gradienti di pressione portano all’instaurarsi di un vento, cosı detto geostro-fico, orientato perpendicolarmente al gradiente stesso. Un’area di alta pressione porterapertanto, nell’emisfero nord ad una circolazione in senso orario, cosı detta anticiclonica(contraria al senso di rotazione terrestre). Un esempio importante sono i venti occidentalinella zona di passaggio dalla alta pressione tropicale alle latitudini temperate.

Il profilo verticale di vento risulta dipendere fortemente dalla stratificazione verticaledi pressione e temperatura. Dal punto di vista del vento geostrofico, abbiamo di fatto dueclassi di stratificazione: atmosfera barotropica e atmosfera baroclina, definite rispettiva-mente come atmosfera in cui pressione e temperatura variano insieme, cioe P = P (T ), eatmosfera in cui P e T variano separatamente. Come raffigurato in Fig. 6.1, questo corri-sponde a condizioni atmosferiche orizontalmente uniformi. Difatti, la condizione P = P (T )

6.2. IL VENTO GEOSTROFICO 69

x x

x

2 2

3x3

freddo caldo

P,T

cre

sce

nti

Figura 6.1: Rappresentazione schematica di stratificazione barotropica (sinistra) ebaroclina (destra). Le isobare sono indicate da linea continua; le isoterme sono tratteggiate.

implica che e possibile scrivere

P = P0(x3)f(x1, x2|x3) e T = T0(x3)f(x1, x2|x3).

Infatti, se P = P (T ), T (x1, x2, x3) = T (x′1, x

′2, x3) per x′

1,2 6= x1,2, implica P (x1, x2, x3) =P (x′

1, x′2, x3), che significa che T e P devono variare insieme rispetto a x1,2 fissato x3.

Ora, dalla legge di stato abbiamo ρ = mP/(KT ) = mP0(x3)/(KT0(x3)), e cioe che ladensita a quota fissata e indipendente dalla posizione. Ma questo, utilizzando l’equazionedi bilancio idrostatico ∂P/∂x3 = −gρ, implica P (x) = P (x1, x2, 0) + ∆P (x3), cioe, l’incre-mento di pressione rispetto al suolo non varia spostandosi orizontalmente. Lo stesso valeper la temperatura. La soluzione in cui P e T sono indipendenti da x1,2 corrispondono ingenere ad una situazione di calma di vento. (Per una discussione del caso dipendente dax1,2, vedere il problema 3 alla fine di questa sezione).

Il profilo verticale del vento geostrofico puo essere derivato in forma esplicita derivandole due equazioni in (6.5) rispetto a x3 e sostituendo in entrambe l’equazione di bilancioidrostatico

∂P

∂x3

= −gρ.

Otteniamo in questa maniera:

∂ug1

∂x3

=g

ρf

∂ρ

∂x2

+1

fρ2

∂ρ

∂x3

∂P

∂x2

;∂ug

2

∂x3

= − g

ρf

∂ρ

∂x1

− 1

fρ2

∂ρ

∂x3

∂P

∂x1

.

Utilizzando la legge di stato ρ = mP/(KT ) in ∂ρ/∂x1,2 e le (6.5) in ∂P /∂x1,2, possiamoscrivere:

∂ug1

∂x3

= −(1

ρ

∂ρ

∂x3

+1

h

)

ug1 −

g

fT

∂T

∂x2

;∂ug

2

∂x3

= −(1

ρ

∂ρ

∂x3

+1

h

)

ug2 +

g

fT

∂T

∂x1

dove h = KT/(mg) e l’altezza della troposfera, definita come il valore di −ρ(∂ρ/∂x3)−1

in una atmosfera isoterma [vedere la (4.25)]. I termini in parentesi tonda rappresentano


+H

HH

H

− −

+

Figura 6.2: Un esempio schematico di fronte fra due zone di alta pressione; le linee curveindicano la direzione del vento; le linee diritte isoterme al suolo, on + e − per identificarecaldo e freddo.

quindi la deviazione nella stratificazione rispetto al caso isotermo, mentre

g

fT

∂T

∂x1,2

∼ug

1,2

h.

Il termine di deviazione puo essere trascurato e otteniamo cosı le equazioni di vento termico:

∂ug1

∂x3

= − g

fT

∂T

∂x2

;∂ug

2

∂x3

=g

fT

∂T

∂x1

; (6.6)

che descrivono la risposta dell’atmosfera alla presenza di gradienti termici orizontali. Co-me discusso, si tratta di un effetto associato alla atmosfera baroclina. Se i gradienti dipressione e temperatura sono allineati, anche il gradiente di densita sara allineato con essie confrontando le Eq. (6.5) e (6.6), ug e ∂ug/∂x3 saranno paralleli. Quindi il vento geo-strofico variera salendo in quota mantenendo la stessa direzione. Nel caso di Fig. 6.1, unacrescita simultanea di pressione e temperatura spostandosi lungo x2 sara associata ad unaintensificazione del vento geostrofico salendo di quota. Questa risulta essere la situazionetipica nel passaggio dalla alta pressione tropicale alle nostre latitudini; le presenza di cor-renti a getto nella tropopausa, che sono la parte superiore dei venti occidentali in superficiecitati in precedenza, sono prodotte da questo meccanismo. Nel caso in cui i gradienti dipressione e temperatura non sono allineati, il vento cambiera di direzione in quota.

Come illustrato in Fig. 6.2, il non allineamento dei gradienti di temperatura e dipressione porta alla formazione di fronti, cioe regioni di forte variazione di temperatura. Ilcampo di vento dei due massimi di pressione stirano le isoterme aumentando i gradienti ditemperatura (la temperatura sulle isoterme rimane uguale, ma le isoterme vengono stirate eavvicinate fra loro). Configurazioni di questo genere sono normalmente instabili e portanoall’instaurarsi di fenomeni meteorologici. Il meccanismo puo essere capito considerando ilfatto che la regione fredda contiene aria piu densa della regione calda adiacente. E quindivantaggioso per l’aria fredda incunearsi sotto la regione calda, facendo salire l’aria calda inquota. Cio porta alla formazione di nubi in corrispondenza del fronte. Il fenomeno e piuforte quando e la regione fredda che si sposta verso quella calda (fronte freddo: la parte disinistra del fronte in figura).

6.3. LO STRATO LIMITE PLANETARIO 71

6.3 Lo strato limite planetario

Scendendo di quota, la forza di attrito esercitata dalla superficie terrestre sul vento geostro-fico inizia a farsi sentire, e modifica la dinamica sostanzialmente inviscida descritta dalleEq. (6.5) e (6.6). Come accennato nel paragrafo 6.1, l’atmosfera e divisa in uno stratolimite con un’altezza dell’ordine del chilometro, dominata dagli sforzi turbolenti, e l’atmo-sfera libera al di sopra. Di fatto, come si vedra nel paragrafo 6.6, anche se la dinamicadell’atmosfera libera, descritta dalle Eq. (6.5) e (6.6) e sostanzialmente inviscida, effettidissipativi, parametrizzati nell’attrito di Ekman, giocano comunque un ruolo importante.

Lo strato limite planetario e ulteriormente suddiviso in uno strato superficiale, del-l’ordine del 15% dell’altezza dello strato limite in cui l’effetto della forza di Coriolis etrascurabile, e il rimanente, detto strato di Ekman, in cui la forza di Corolis e importante,ma gli sforzi turbolenti determinano il profilo verticale del vento.

La gran parte della turbolenza atmosferica e concentrata nello strato superficiale. Inesso, un ruolo importante e giocato dal tipo di stratificazione atmosferica e dalla presenzadi convezione. In condizioni puramente neutrali, la dinamica sarebbe dominata dal trasferi-mento di momento lineare, mediato dalla turbolenza, dall’atmosfera libera al suolo. Comegia accennato, questo trasferimento di momento lineare non e altro che la forza di reazio-ne dell’atmosfera all’attrito del suolo. In condizioni instabili, i moti convettivi generanoulteriore turbolenza, che diventa dominante in assenza di vento geostrofico. In condizionistabili, invece, l’aria densa in basso si comporta come se fosse una specie di mare e l’energiadelle fluttuazioni turbolente e trasferita in parte a delle onde di gravita. Conoscenza deiprofili medi di vento e delle fluttuazioni turbolente e essenziale per la determinazione deltrasporto di sostanze chimiche (in particolare di inquinanti) nello strato limite.

Consideriamo inizialmente il caso neutrale. Supponendo il vento diretto in direzione x1,la componente lungo la direzione del vento dell’equazione di Navier-Stokes, mediata sullefluttuazioni turbolente, sara, allo stato stazionario e trascurando disomogeneita orizontali:

∂u1u3

∂x3

= 0.

Il flusso verticale u1u3 di momento lineare lungo x1, sara costante in x3 (se non fosse cosı, visarebbe accelerazione degli strati d’aria attraversati). La quantita ρ0u1u3 e quindi la forzadi attrito esercitata dall’unita di superficie del suolo. Se siamo a quota sufficientementemaggiore della scala delle asperita del suolo, e allo stesso tempo ben all’interno dello stratosuperficiale, ci aspettiamo che gli sforzi turbolenti dipendano come unici parametri dallaquota x3 e dalla scala di velocita u∗ = (u1u3)

1/2. Questa strategia (seguita da Prandtl e davon Karman) ci permette di determinare in maniera univoca l’espressione per la viscositaturbolenta: νturb(x3) ∼ u∗x3. Utilizzando la (5.41), la condizione di flusso di momentocostante diventa quindi

0 =du1u3

dx3

= − d

dx3

(

νturbdu1

dx3

)

= −u∗d

dx3

(

x3

du1

dx3

)

(6.7)

la quale ci da come soluzioneu1(x3) = ku∗ ln(x3/r0) (6.8)


dove k e una costante adimensionale, detta costante di von Karman (sperimentalmente,k ≃ 0.4), e r0 e una scala di lunghezza che definisce il limite inferiore di validita dellaequazione (per x3 < r0, il vento cambierebbe di verso). In atmosfera, r0 e cio che definiscein pratica la scala di rugosita del suolo, cioe l’altezza al di sotto della quale la superficieterrestre non puo essere trattata come una superficie uniforme. (Tipicamente, r0 e stimataun decimo della scala delle asperita del terreno). La equazione (6.8) e detta legge di parete.

Scendendo ulteriormente di quota, alla scala delle asperita del terreno, si raggiungereb-be prima o poi il livello al quale la velocita fluida e la distanza dagli ostacoli diventanoabbastanza piccole da avere Re < 1, cosı che la viscosita molecolare entrerebbe a questopunto in gioco. Notiamo che, nel caso di una superficie levigata, il parametro r0 nella (6.8)diventerebbe la scala al disotto della quale la viscosita molecolare e dominante.

La dipendenza dall’altezza della viscosita turbolenta: νturb(x3) ∼ u∗x3, ci fornisce unquadro della struttura della turbolenza, in cui a quota x3 i vortici hanno dimensione tipicax3 e velocita caratteristica u∗. Questo ci da una scala di tempi caratteristica dei vorticiT (x3) ∼ x3/u∗. Vediamo quindi che salendo di quota i vortici trasferiscono momentoed energia con un tasso sempre piu lento. Notare che questo tasso di trasferimento cifornisce (dimensionalmente) la forza del contributo di viscosita turbolenta nella equazionedi Navier-Stokes:

∂x3νturb(x3)∂x3 ∼ 1/T (x3).

Notare che in un canale, il flusso turbolento ρu1u3 a distanza x3 dalla parete, deve esserecomunque uguale al momento totale entrato a quote > x3 per effetto della forza di pressione.Il flusso ρu1u3 e quindi in genere una funzione di x3 e lo spessore dello strato limite e definitodalla distanza dalla parete al di sotto della quale la dipendenza da x3 puo essere trascurata.In termini del tasso di trasferimento, 1/T (x3), questa condizione puo essere interpretatacon il fatto che le forze di pressione fuori dallo strato limite trasferiscono momento con untasso non trascurabile rispetto a 1/T (x3).

In atmosfera, come si vedra, il confronto e piu diretto e va eseguito con la frequenza diCoriolis f . L’altezza dello strato superficiale e quindi determinato dalla quota alla qualela rotazione terrestre, tramite l’accelerazione di Coriolis, diventa il meccanismo dominantedi deformazione dei vortici turbolenti e di trasferimento di momento lineare.

6.4 Il ruolo della convezione

Allontanandosi dal caso neutrale, il termine di sorgente nella equazione di calore nellaapprossimazione di Boussinesq (5.35) inizia a produrre fluttuazioni di temperatura, che siriperquotono nella equazione di Navier-Stokes (5.34) attraverso la forza di galleggiamento.Nel caso instabile, questo portera a una sorgente ulteriore di fluttuazioni turbolente. Aseconda dell’intensita della convezione, le colonne ascendenti possono penetrare l’atmosferalibera, come accade ad esempio durante la formazione di cumulonembi.

Abbiamo visto che i diversi contributi agli sforzi turbolenti possono essere determinatia partire dalle rispettive frequenze caratteristiche. Abbiamo visto in particolare che la

6.4. IL RUOLO DELLA CONVEZIONE 73

frequenza della componente meccanica puo essere stimata come

U/x3 ∼du1

dx3

∼ u∗/x3

La frequenza N della componente convettiva puo invece essere stimata a partire dallaapprossimazione di Boussinesq per la terza componente della equazione di Navier-Stokes eper l’equazione del calore:

−iNu3 ∼ gΘ

Θ0

, −iNΘ ∼ −u3

dΘ0

dx3

.

Da qui otteniamo la definizione della cosı detta frequenza di Brunt-Waisalla N :

N2 =g

Θ0

dΘ0

dx3

. (6.9)

Notare che la frequenza e definita immaginaria nel caso instabile, che corrisponde a unacrescita esponenziale piuttosto che ad un comportamento oscillatorio delle fluttuazioni. Nelcaso di stratificazione stabile, questa e la frequenza di oscillazione delle onde di gravita.Nel caso instabile, il rapporto di N2 con la corrispondente frequenza al quadrato dellefluttuazioni meccaniche

Ri = − gdΘ0/dx3

Θ0(du1/dx3)2(6.10)

definisce il numero di Richardson, che segnala il passaggio da un regime di turbolenzameccanica ad uno di turbolenza convettiva.

Comparando le Eq. (6.8) e (6.10), vediamo che la componente meccanica tende adiventare piu forte mano a mano che ci si avvicina al suolo (regime di convezione forzata),mentre la convezione e piu forte al di sopra (regime di convezione libera). Possiamo stimarel’altezza LMO alla quale si ha la transizione da regime meccanico a convettivo, sostituendola (6.8) nella (6.10), e imponendo Ri = 1:

L2MO = − Θ0u

2∗

gdΘ0/dx3

. (6.11)

La quantita LMO e detta lunghezza di Monin-Obukhov. Entrambe le Eq. (6.10) e (6.11)sono state derivate confrontando una frequenza caratteristica turbolenta du1/dx3 per laturbolenza meccanica, con la frequenza di Brunt-Waisalla N , che descrive il tasso di crescitadi instabilita a partire da un dato profilo iniziale di temperatura Θ0.

Questa trattazione e sotto molti aspetti insoddisfacente. In primo luogo, N e associataa un regime lineare di piccole fluttuazioni, mentre du1/dx3 puo essere ricondotto alla leggedi parete (6.8). Piu problematico il fatto che N richiama un profilo Θ0 che e rapidamentemodificato dalla convezione, e che quindi non puo essere osservato sperimentalmente incondizioni instabili. Di fatto, la turbolenza convettiva rimescola la temperatura riportandoΘ0 verso un profilo neutrale.


Θ

x3 x3 x3

ΘΘNotte Mattino Pomeriggio

B

A

C

Figura 6.3: Crescita diurna dello strato limite convettivo; A regione super-adiabatica; Bzona rimescolata; C regione di ”entrainment”.

Una possibile soluzione a questo genere di problemi e definire i tempi scala a partire dai

flussi turbolenti di momento e di calore u1u3 e u3Θ. Entrambe le quantita sono facilmentedeterminabili da misure istantanee (tipicamente per mezzo di anemometri sonici) di tem-peratura e delle componenti orizontali e vericali di velocita del vento. Nello strato inferiorex3 < LMO, la turbolenza e prevalentemente meccanica (convezione forzata) e possiamosfruttare le nostre conoscenze sulla turbolenza di parete, per sostituire nella (6.11):

−dΘ0

dx3

→ u3Θ

κturb

∼ u3Θ

u∗LMO

dove Θ0 e il profilo medio di temperatura potenziale effettivamente presente a x3 < LMO.Sostituendo nella (6.11) otteniamo quindi:

LMO =Θ0u

3∗

kgu3Θ. (6.12)

E da notare come il profilo di temperatura sia caratterizzato da una variazione rapida perx3 < LMO e lenta al di sopra. Quello che succede e che il forte gradiente di u1 per x3 < LMO

distrugge le colonne convettive, che invece sono libere di svilupparsi in tutta la loro altezzanello strato superiore. Questo fa sı che il rimescolamento di temperatura sia piu intensonello strato superiore. Di fatto, uno strato di turbolenza meccanica viene generato a bassaquota, anche in assenza di vento geostrofico, dalle colonne convettive stesse per il risucchioal suolo che esse causano intorno. In conseguenza di cio, anche in condizioni puramenteconvettive, Θ0 e caratterizzato da una variazione rapida in prossimita del suolo e un profilopiatto in quota.

Come illustrato in Fig. 6.3, la struttura dello strato limite convettivo risulta esserefortemente non stazionaria. In condizioni di convezione libera, quello che si verifica e ladestabilizzazione di uno strato d’aria di altezza via via crescente lungo la durata dellagiornata. La destabilizzazione provoca l’innesco di correnti convettive, che rimescolano ilprofilo di temperatura spingendolo di nuovo verso la neutralita. Come discusso in preceden-za, una regione instabile rimane presente vicino al suolo, e in questa zona si producono le

6.5. LO STATO DI EKMAN 75

colonne convettive, che si innalzano poi nello strato rimescolato. Il margine superiore dellazona rimescolata e la regione di entrainment che segnala il passaggio alla regione stabileresidua al di sopra e costituisce di fatto il limite superiore dello strato limite convettivo.L’atmosfera libera al di sopra della zona di entrainment rimane in media in condizionineutrali o di debole stabilita (stabilita condizionale), con regioni di forte convezione e for-mazione di nubi, alternate a regioni di aria secca e fortemente stabile. Durante la notte, laforte emissione termica del suolo provoca inversione del profilo di temperatura e di nuovostratificazione stabile.

Un’altra situazione in cui si osservano profili stabili e al confine tra zone tropicali ezone temperate, in cui si ha la discesa dell’aria secca salita in quota in regioni tropicalie subtropicali. Il riscaldamento adiabatico durante la discesa di quest’aria, porta allaformazione di un’intenso e persistente strato stabile (inversione) a quote tra 400m e 1Km.Cio porta a sua volta all’intrappolamento dell’aria (ed eventuali inquinanti) al disottodello strato di inversione. Il fenomeno, comune nella stagione estiva alle nostre latitudini,e associato a forti picchi di inquinamento nelle citta.

Nel caso di atmosfera neutrale, la lunghezza di Monin-Obukhov tende all’infinito; ra-ramente essa scende al di sotto della decina di metri; come gia discusso, anche in assenzadi vento geostrofico, si ha in corrispondenza del suolo uno strato limite di tipo meccanicogovernato dalla legge di parete (6.8). Nel caso stabile, LMO indica l’altezza al di sotto dellaquale i vortici turbolenti sono abbastanza energetici da non venire bloccati dalla forza digalleggiamento.

6.5 Lo stato di Ekman

La dinamica nello strato limite, al di sopra dello stato superficiale e caratterizzato dallaformazione di quello che si chiama uno strato di Ekman, in cui il vento cambia direzione conla quota come risultato del bilancio tra sforzi turbolenti e forza di Coriolis. In condizionineutrali, abbiamo visto che la transizione si verifica attorno a x3 ∼ δsup = u∗/f , dove lavelocita di frizione u∗ e determinata dalla legge di parete (6.8) ponendo per la velocitamedia al margine dello strato superficiale u(δsup) ∼ ug.

Considerando sempre scale orizontali sufficientemente ampie perche i moti orizontalipossano essere considerati uniformi e quelli verticali medi siano trascurati, l’equazione diNavier-Stokes avra la forma:

2Ω × u +1

ρ0

∇P =∂

∂x3

(

νturb∂u

∂x3

)

(6.13)

dove in u e ∇P teniamo solo le componenti orizontali. Come sempre, νturb parametrizzal’effetto dei moti (in particolare quelli turbolenti) a scala inferiore a quella a cui abbiamomediato l’equazione.

La differenza importante tra lo strato di Ekman ed il sottostante strato superficiale enella struttura della turbolenza. Mentre nello strato superficiale, la dinamica e dominatadagli sforzi turbolenti associati all’attrito del suolo, nello strato di Ekman, il bilancio e fra


gli sforzi turbolenti e la forza di Coriolis. Questo bilancio porta a definire una nuova scaladi lunghezza, a partire dalla velocita del vento geostrofico e il parametro di Coriolis:

δ ∼ u∗/f. (6.14)

Questa lunghezza determina anche l’altezza dello strato di Ekman, che risulta essere inatmosfera dell’ordine del chilometro. Allo stesso tempo determina la dimensione dei vorticipiu grandi nella turbolenza generata dallo scorrimento del vento geostrofico sulla superficieterrestre. Da qui, in analogia alla Eq. (5.41), otteniamo la stima della viscosita turbolenta:νturb ∼ δ2f . Possiamo utilizzare l’arbitrarieta della stima per tenerci come unico parametroδ:

νturb =δ2f

2(6.15)

Questo fa sı che nella Eq. (6.13), la dipendenza della viscosita dalla quota sia trascuratae si possa scrivere, omettendo dipendenze da x1,2 e t:

d

dx3

(

νturbdu

dx3

)

≃ νturbd2u

dx23

Decomponendo u = ug+u, e sostituendo nella Eq. (6.13) vediamo che la parte ageostroficau della velocita obbedisce l’equazione:

2Ω × u = νturbd2u

dx23

;

in componenti:d2u1

dx23

= − f

νturb

u2;d2u2

dx23

=f

νturb

u1. (6.16)

Le condizioni al contorno di questa equazione devono corrispondere a u = ug per x3 → ∞(cioe vento geostrofico in atmosfera libera) e u = 0 per x3 → 0 (cioe condizione di no-slipal suolo). Prendendo per semplicita ug lungo x1, abbiamo quindi per u:

u1(0) = −ug, e u2(0) = u1(∞) = u2(∞) = 0. (6.17)

Per risolvere la (6.16) e convieniente lavorare nel piano complesso; moltiplicando la secondaper i e sommando alla prima:

d2V

dx23

=if

νturb

V, (6.18)

dove V = u1 + iu2. La soluzione della (6.18) e quindi nella forma, utilizzando la (6.15):

V = A exp((1 + i)x3/δ) + B exp(−(1 + i)x3/δ);

imponendo le condizioni al contorno (6.17) e sommando a ug:

u1(x3) = ug[1 − exp(−x3/δ) cos(x3/δ], u2(x3) = ug exp(−x3/δ) sin(x3/δ). (6.19)

6.6. DINAMICA QUASI BI-DIMENSIONALE 77

u

u

u2

1

g

π

2πu2

x3/δ

gu u1

x crescente

3

Figura 6.4: La spirale di Ekman.

La direzione del vento medio salendo in quota forma una spirale attorno a ug, detta spiraledi Ekman, raffigurata in Fig. 6.4. La deviazione rispetto al vento geostrofico del vento aterra, predetta dalla Eq. (6.19) e pari a circa π/4. Sperimentalmente si osserva un valorepiu vicino a π/8 e un profilo a spirale e osservato di rado. Va pero ricordato che, vicino aterra, l’ipotesi di viscosita turbolente indipendenti dall’altezza non e piu soddisfatta e ladinamica e quella propria dello strato superficiale.

6.6 Dinamica quasi bi-dimensionale

Le equazioni per il vento geostrofico descrivono nel limite spazialmente omogeneo una di-namica atmosferica sostanzialmente bi-dimensionale. Possiamo descrivere questa dinamicanel caso non omogeneo, mediando l’equazione di Navier-Stokes verticalmente su tutto h,e, orizontalmente, a scala l ∼ 100Km. A questa scala, l’effetto della curvatura terrestrerimane trascurabile, e otteniamo:

( ∂

∂t+ u · ∇

)

u +1

ρ∇P = −fe3 × u + ∇ · (νturb∇)u − Γu (6.20)

dove u, x e ∇ hanno solo componenti 1 e 2. E da notare che il campo di velocita u(x, t) saraincomprimibile solo se rimane strettamente bidimensionale. Come illustrato in Fig. 6.5,se il flusso originario tridimensionale (quindi non filtrato) e incomprimibile, la presenza diflussi verticali medi non-nulli sara associata automaticamente a una divergenza non nulladelle componenti orizontali: ∂1 · u1 + ∂2 · u2 = −∂u3/∂x3. Vedremo che solo in primaapprossimazione, e possibile trascurare le componenti verticali e la divergenza orizontaledi u. Una compressibilita orizontale non nulla del flusso rende necessario specificare unaequazione per la pressione. Senza andare nel dettaglio, osserviamo che la pressione puoessere determinata a partire dal bilancio idrostatico attraverso una relazione del tipo

P (x1, x2; t) = ghρ(x1, x2; t) =

∫ ∞

0

dx3ρ(x; t),

dove la densita mediata sull’altezza ρ obbedisce l’equazione di continuita sul piano:

∂tρ + ∇ · (ρu) = 0.


x

x

x2

1

3

Figura 6.5: Flusso incomprimibile che diventa comprimibile visto nel piano x1x2 (unaspirale convergente)

Questo e il tipo di approccio che conduce alla cosı detta approssimazione ”shallow water”.L’equazione di Navier-Stokes bi-dimensionale (6.20) puo essere riscritta in forma alter-

nativa in funzione della vorticita

ω = e3 · [∇× u] =∂u2

∂x1

− ∂u1

∂x2

. (6.21)

Prendendo il rotore della (6.20), otteniamo quindi:

( ∂

∂t+ u · ∇

)

ω = −(f + ω)∇ · u + νturb∇2ω − e3 · [∇× Γu] (6.22)

e abbiamo considerato la possibilita di moti comprimibili nel piano, associati alla presenzadi correzioni u3 6= 0 alla velocita filtrata. [Ad essere precisi, si sarebbe quindi dovuto tenerenella Eq. (6.20) un contributo di viscosita turbolenta analogo al termine ν‖ nella (5.24)].

La vorticita e legata alla densita di momento angolare del campo di velocita. Abbiamoinfatti dal teorema di Stokes:

∫

A

ω(x, t)dA =

∮

∂A

u(x, t) · dl

dove ∂A e il bordo di A e dl e il vettore infinitesimo tangente. Prendendo per A un cerchio,possiamo scrivere il secondo integrale in coordinate polari

∮

∂A

u · dl =

∮

[R × u]dθ, (6.23)

che e uguale a 2π volte il valore medio su ∂A della densita di momento angolare del campodi velocita. L’aspetto fisicamente importante e che in assenza di forze esterne e terminidissipativi, l’equazione (6.22) prende la forma di una equazione di continuita

∂ω

∂t+ ∇ · (uω) = 0


P

∆

−

−Γ

u

u

f e3 ux−

Figura 6.6: Bilancio fra forza di Coriolis, gradienti di pressione e attrito.

e il contenuto di vorticita di un elemento di area A trasportato dal flusso 2D e conservato.Notare che, dalla (6.23), il flusso convergente della Fig. 6.5 sarebbe quindi accompagnatoda un incremento di velocita all’avvicinarsi all’asse di simmetria. Una situazione che siverifica sia nel vortice generato nello scarico di un lavandino che negli uragani.

Possiamo verificare dalle Eq. (6.20) e (6.22) che la situazione illustrata in Fig. 6.5 egenerata in modo naturale in una zona di bassa pressione dal bilancio tra forza di Coriolis,gradienti di pressione e attrito del suolo. Come illustrato in Fig. 6.6, l’introduzione di unaforza di attrito perpendicolare a quella di Coriolis, fa sı che il bilancio non sia piu lungola direzione del gradiente di pressione. La componente perpendicolare a ∇P della forza diattrito deve essere cancellata da quella della forza di Coriolis e questo richiede che la velocitaabbia una componente nella direzione −∇P , cioe verso la zona di bassa pressione. Unadescrizione piu quantitativa puo essere ottenuta attraverso analisi perturbativa delle Eq.(6.20) e (6.22), in cui si considera piccolo il termine di attrito. Continuiamo a considerareun regime di piccoli numeri di Rossby. Pertanto, Γ/f,Ro ≪ 1 ed espandiamo:

u = u(0) + u(1) + . . . ; P = P (0) + P (1) + . . .

Per semplicita consideriamo un profilo di pressione decrescente da un massimo in xMAX ,stazionario ed isotropo rispetto a xMAX ; quindi: P (0) = P (0)(|x − xMAX |). Teniamo comeunico meccanismo di dissipazione una forza di attrito lineare: Γ 6= Γ(u); trascuriamo invecela viscosita turbolenta (supponiamo in altre parole che non vi sia turbolenza 2D da filtrarealla scala del gradiente orizontale di pressione).

Possiamo stimare la forza d’attrito a partire dalla velocita di frizione u∗: u2∗ ∼ Γuh,

quindi, utilizzando la (6.8): Γ ∼ u/(h(ln δ/r0)2), dove δ ∼ 1KM e l’altezza dello strato

limite e r0 la rugosita del suolo. Prendendo r0 ∼ 0.1m, e u ∼ 10M/s, otteniamo Γ ∼10−5s−1.

All’ordine piu basso, la (6.20) ci da il vento geostrofico:

1

ρ∇P (0) = −fe3 × u(0) ⇒ u(0) ≡ ug =

1

fρe3 ×∇P (0). (6.24)

Dalla (6.21), questo corrisponde ad una vorticita:

ω(0) =1

fρ∇2P (0). (6.25)


All’ordine successivo, entra in gioco l’attrito e la equazione per la vorticita (6.22) diventa:

ug · ∇ω(0) + f∇ · u(1) = −Γω(0),

dove abbiamo sfruttato la stazionarieta del profilo di P (0), cosı che (Dω/Dt)(1) = ug ·∇ω(0).Ora, sia P (0) che ∇2P (0) hanno simmetria cilindrica, quindi ug e tangente alle linee di livellodi ω(0), cosı che ug ·∇ω(0) = 0. Otteniamo pertanto l’equazione per la divergenza del flusso:

∇ · u(1) = −Γ

fω(0). (6.26)

Vediamo che in corrispondenza a un minimo di pressione, condizioni cicloniche (che significache ω(0) e f hanno lo stesso segno) portano a una divergenza negativa del campo di velocita,cioe convergenza delle linee di campo in 2D. Quindi una corrente ascensionale nel minimodi pressione.

Sostituendo nella Eq. (6.22) otteniamo una equazione per l’evoluzione della vorticitaal secondo ordine in Γ/f e Ro:

(Dω

Dt

)(2)

= −ω(0)∇ · u(1) =Γω(0)2

f

Vediamo che in condizioni cicloniche la vorticita e la sua derivata hanno lo stesso segno(positivo) e si avra una intensificazione del vento. Allo stesso tempo, in presenza di ariaumida, come accennato nel paragrafo 4.5, le correnti ascensionali prodotte, si intensifiche-ranno attraverso rilascio di calore latente (instabilita atmosferica, formazione di nubi eprecipitazioni).

Esercizi

1. Stimare l’attrito di Ekman in funzione dell’altezza dello strato superficiale, della scaladi rugosita e della velocita del vento mediata in altezza (consirerare quest’ultima dellostesso ordine della velocita del vento al bordo superiore dello strato superficiale.

2. Calcolare in atmosfera barotropica il campo di temperatura T (x) in funzione delcampo di pressione P (x) = P (x1, x2, 0)+∆P (x3) e dimostrare che effettivamente P =P (T ). Suggerimento: calcolare T0(x3) e mostrare che f(x1, x2|x3) = P (x)/P0(x3) =T (x)/T0(x3).

3. Discutere la possibilita di condizioni barotropiche con superfici di livello non orizon-tali (ma ovviamente tutte parallele). Cosa succede vicino al suolo? Suggerimento:tenere in conto il vento geostrofico e come varia la direzione avvicinandosi al suo-lo; la soluzione rimarrebbe stazionaria? Come cambierebbero le cose in presenza diorografia?

4. Descrivere qualitativamente il moto di due vortici bidimensionali nei due casi in cuiil loro senso di rotazione e identico od opposto. Supporre che il campo di velocitagenerato dai vortici si estenda all’infinito senza cambiare senso di rotazione.


Riferimenti

• M.L. Salby, ”Fundamentals of atmospheric physics”, Sez 12.2-12.3 e 13.2-13.3

• P. Kundu, ”Fluid mechanics”, Capitolo 12 (Sez. 11 e 14); Capitolo 13 (Sez. 1-7)(ordinato in biblioteca)

Capitolo 7

Problematiche modellistiche

7.1 Sistemi dinamici ed atmosfera

Le equazioni per l’evoluzione dell’atmosfera possono nella maggior parte dei casi essererisolte solo numericamente. Questo richiede discretizzarle opportunamento, o attraver-so delle differenze finite o utilizzando delle funzioni di base. Prendendo come caso diriferimento la temperatura, la sua rappresentazione attraverso differenze finite sarebbe:

T (x, t) → Tn(t) ≡ T (xn, t), xn = (n1∆x1, n2, ∆x2, n3∆x3).

Alternativamente, una approssimazione della dinamica tramite un numero finito di funzionidi base, detto approccio alla Galerkin, condurrebbe a dei Tn(t) che sono le componenti delcampo sulle funzioni di base. Discretizzando il problema fa sı che il sistema fisico nonsia piu descritto da un insieme di campi continui che obbediscono equazioni differenzialialle derivate parziali, ma da un insieme finito di variabili dinamiche che obbediscono unsistema di equazioni differenziali ordinarie (ODE), cioe un sistema dinamico. Scrivendo informa compatta:

Y = F(Y, t), (7.1)

dove Y = Y(t) contiene i campi discretizzati ed e tipicamente un vettore con un numeroN molto alto di componenti (i gradi di liberta del sistema). Il punto Y rappresenta quindilo stato istantaneo della porzione di atmosfera in esame, e una traiettoria nello spazio dellefasi, la sua evoluzione.

Come illustrato con il filtraggio delle equazioni fluide (vedi Sez. 5.7), una difficoltadella discretizzazione e la corretta parametrizzazione delle scale non risolte. Un secondoproblema e pero intrinseco alla dinamica ed e la instabilita delle traiettorie, nel senso chepiccole perturbazioni allo stato iniziale del sistema, portano a modificazioni drammatichenella sua evoluzione a tempi sufficientemente lunghi. Questo fa sı che, piu della formadi una singola traiettoria (cioe l’evoluzione della porzione di atmosfera data una certacondizione iniziale), sia importante capire le proprieta statistiche della evoluzione di uninsieme (un ”ensemble”) di traiettorie. In questo ambito, un ruolo centrale e giocato daconsiderazioni di carattere geometrico.

83

84 CAPITOLO 7. PROBLEMATICHE MODELLISTICHE

L’evoluzione di un ensemble di punti di fase Y e descritto introducendo una funzione didistribuzione nello spazio delle fasi ρ(Y, t) (numero di punti per unita di volume di fase),che gioca l’identico ruolo della densita fluida ρ(x, t) nello spazio fisico con coordinate x

(vedi Sez. 5.4). In modo analogo a u(x, t), il vettore F(Y, t) gioca pertanto il ruolo divelocita generalizzata nello spazio delle fasi, dove varra una equazione di continuita analogaalla (5.18):

∂ρ

∂t+ ∇Y · (ρF) = 0, ∇Y ≡

( ∂

∂Y1

,∂

∂Y2

, . . .)

(7.2)

Questa equazione, detta equazione di Louville, descrive l’evoluzione di un ensemble dicondizioni iniziali a un tempo t0 distribuite come ρ(Y, t0). Ci limitiamo a considerare ilcaso in cui le forze che agiscono nel sistema sono sufficienti a prevenire situazioni in cuiY → ∞. Condizioni al contorno naturali per il problema sono pertanto ρ(∞, t) = 0

Una equazione analoga alla (5.20) descrivera la contrazione o espansione di volumi dellospazio delle fasi:

1

V

DV

Dt= ∇Y · F. (7.3)

Se Y 9 ∞ e il sistema evolve in una regione finita di spazio delle fasi, la variazione mediadi volume di spazio delle fasi non potra essere positiva:

〈∇Y · F〉 ≤ 0.

La contrazione dei volumi e associata alla presenza di forze dissipative. L’esempio piusemplice e un sistema a un grado di liberta (N = 1):

Y = −Y, ∇Y · F = −1.

L’elemento di volume e in questo caso un segmento sull’asse Y e la contrazione del volumee associata al collasso dei punti nel segmento a Y = 0 per t → ∞. Un sottoinsieme dellospazio delle fasi a cui tendono per t → ∞ le traiettorie del sistema e detto attrattore(nell’esempio considerato, un punto).

La presenza di attrattori e una caratteristica di sistemi dinamici autonomi (in cui F eindipendente dal tempo). Anche per sistemi non autonomi (come sicuramente e l’atmosfe-ra), il concetto di attrattore puo fornire indicazioni sulla struttura delle traiettorie; se ladipendenza di F da t e lenta, ci possiamo infatti aspettare che un attrattore continui adesistere, sebbene dipendente dal tempo

Come illustrato in Fig. 7.1, l’attrattore di un sistema dissipativo con N > 1 sara in ge-nerale una superficie di dimensione N < 1. Per definizione, punti al di fuori dell’attrattoretenderanno ad avvicinarsi a quest’ultimo al passare del tempo. Coppie di punti sulla stessatraiettoria nell’attrattore, invece, tenderanno a mantenere la stessa separazione. Infatti,due punti su una traiettoria (nel caso autonomo) sono solo lo stesso punto di fase visto adistanti diversi. Collasso dei punti significherebbe quindi F → 0 (cioe punto fisso) mentredivergenza implicherebbe F → ∞ (che puo essere realizzato per t → ∞ solo se Y → ∞).Coppie di punti sull’attrattore, ma non sulla stessa traiettoria, potrebbero invece tenderea separarsi al passare del tempo.

7.1. SISTEMI DINAMICI ED ATMOSFERA 85

.A B

Figura 7.1: Attrattori per un sistema dissipativo con N = 2: punto fisso (A); ciclo limite(B).

IS

Figura 7.2: Compressione e stiramento di un volume di fase. E indicata la traiettoria di unodei punti contenuto nel volume. A destra, e raffigurata la sezione in un piano perpendicolarealla traiettoria (sezione di Poincare) del volume, con l’intersezione col piano della sezione,della varieta stabile (S) e di quella instabile (I).

La separazione delle traiettorie e una caratteristica dei sistemi non-lineari. Infatti,la soluzione di un sistema di ODE lineari e una combinazione di esponenziali complessiY(t) =

∑

k Yk exp(γkt) (in generale gli Yk non sono ortogonali), e la separazione delletraiettorie, richiedendo Re(γk) > 0 per alcuni k, comporterebbe la presenza di traiettorieche sfuggono ad infinito. La presenza di non-linearita permette che la separazione delletraiettorie si verifichi solo localmente, saturando invece alla scala della porzione di spaziodelle fasi dove si sviluppano le traiettorie. Come illustrato in Fig. 7.2 nel caso N = 3,questo comporta un processo di stiramento e piegamento dei volumi di fase, che si ripeteogni volta che le traiettorie riattraversano le stesse regioni di spazio. Il fatto che il volumesi ripieghi su se stesso mano a mano che viene stirato e precisamente cio che previene ladivergenza all’infinito delle traiettorie. Il volume e simultaneamente stirato (nelle direzioniinstabili) e assottigliato (in quelle stabili). Consideriamo un intorno abbastanza piccolo


I

SI

S

ene

esi

Y

τ

τ’

ττ’

Figura 7.3: Varieta stabile (S) e varieta instabile (I) associate alla traiettoria τ , insiemead un esempio di traiettoria τ ′ che si separa da τ nella direzione instabile. Sono indicatianche i vettori di Lyapunov stabili (es) instabili (ei) e neutri (en) in un punto Y.

di una traiettoria e un tempo non troppo lungo, cosı che il ripiegamento dei volumi siatrascurabile. Il processo di stiramento puo essere descritto introducendo superfici cosı dettestabili e instabili che si intersecano nella traiettoria in esame, come illustrato in Fig. 7.3.(Per N > 3 avremo varieta e non superfici stabili e instabili). La superficie instabile diuna traiettoria τ e definita come l’attrattore per t → ∞ di punti inizialmente vicini a τ(ma non su τ). La superficie stabile e definita invece come l’attrattore per t → −∞ deglistessi punti. Punti inizialmente sulla superficie instabile (stabile) rimarranno su di essaallontanandosi da (avvicinandosi a) τ al crescere di t.

Per studiare in maniera piu quantitativa questo genere di processi, indichiamo con∆Y(t|Y0, ∆Y0; t0) il vettore separazione al tempo t di punti, le cui posizioni al tempo t0sono rispettivamente Y0 e Y0 + ∆Y0 (t0 puo quindi essere nel futuro come nel passatorispetto a t). Indichiamo in maniera analoga con Y(t|Y0; t0) la posizione del punto altempo t sulla traiettoria che passa al tempo t0 per Y0. Chiaramente:

Y(t|Y0 + ∆Y0; t0) = Y(t|Y0; t0) + ∆Y(t|Y0, ∆Y0; t0)

e abbiamo quindi l’equazione per l’evoluzione della separazione:

d∆Y

dt= F(Y + ∆Y, t) − F(Y, t) (7.4)

Nel nostro caso, la velocita generalizzata F e differenziabile negli argomenti, [ricordiamoche la Eq. (7.1) non e altro che la discretizzazione di equazioni fluide i cui termini sonotipicamente funzioni lineari e quadratiche degli argomenti]. Considerando piccole sepa-razioni, possiamo espandere la (7.4) in serie di Taylor e otteniamo la seguente equazionetangente:

d∆Yα

dt=

∑

β

∂

∂Yβ

Fα(Y(t|Y0; t0), t)∆Yβ (7.5)

7.1. SISTEMI DINAMICI ED ATMOSFERA 87

dove ∂Fα/∂Yβ non e altro che la matrice Jacobiana della Eq. (7.1) nel punto Y. Dallalinearita della Eq. (7.5), possiamo scrivere in generale:

∆Y(t|Y0, ∆Y0; t0) =∑

α

∆Y0αΛα(t0|Y, t)eα(t0|Y, t), (7.6)

dove i vettori eα(t0|Y, t) e i coefficienti Λα(t0|Y, t) giocano il ruolo di autovettori e auto-valori della trasformazione ∆Y0 → ∆Y. Nel nostro caso, Y evolve in una regione limitatadi spazio delle fasi ed F e priva di singolarita, cosı che ci aspettiamo un comportamentoesponenziale rispetto al tempo: ln Λα(t0|Y, t) ∝ t − t0. La dipendenza dei termini a latodestro nella (7.6) da Y0 e contenuta in forma implicita nella relazione Y = Y(t|Y0, t0).Sia il vettore eα(t0|Y, t) che la quantita λα(t0|Y, t) = (t− t0)

−1 ln Λα(t0|Y, t), detti vettoree esponente di Lyapunov locali in Y, dipendono da Y e dal tempo t − t0. Sia eα che λα

sono quindi quantita fluttuanti, che, per t0 → t, coincidono con gli autovettori e autovaloridella matrice Jacobiana ∂Fα/∂Yβ in Y. Ci aspettiamo pero che per t0 → −∞, fissati Y et, queste quantita abbiano limite eα(Y) e λα(Y). Ci aspettiamo inoltre che la somma in(7.6) sia dominata dal termine con l’esponente maggiore:

∆Y(t|Y0, ∆Y0; t0) ≃ ei(Y)∆Y0i exp(λ(Y)(t − t0))

dove il versore ei(Y ) giacera sulla superficie instabile ed e detto vettore di Lyapunov nelladirezione instabile in Y, mentre λ(Y) e il cosı detto esponente di Lyapunov dominante delsistema. Ora, mentre il vettore ei(Y ) dipende necessariamente dal punto della traiettoria,l’esponente λ(Y) cumula le separazioni infinitesime lungo tutta la traiettoria. Ci aspettia-mo quindi che per t − t0 → ∞, λ(Y) rimanga una quantita dipendente dalla traiettoria,ma non piu da Y.

Un sistema in cui un esponente di Lyapunov e positivo (e quindi c’e separazione delletraiettorie) e non dipende dalla traiettoria su cui e calcolato, e detto un sistema caotico.Vedremo che l’indipendenza di λ dalla traiettoria richiede in buona sostanza che ci sia unsolo attrattore, e quindi un’unica traiettoria caotica del sistema. In questo caso e possibilecalcolare l’esponente di Lyapunov come il limite:

λ = lim∆Y0→0

limt→∞

1

|t − t0|log

|∆Y(t|Y0, ∆Y0; t0)||∆Y0|

, (7.7)

dove l’errore nel porre ∆Y0i ≃ |∆Y0| e trascurabile nel logaritmo, a meno che ∆Y0 nonsia stato scelto con componente nella varieta instabile in Y0 rigorosamente nulla.

Notare che tutte queste operazioni si possono ripetere per t → −∞ e questo ci dira comesi separano le traiettorie nel passato, cioe quanto e difficile ricostruire la storia passata delnostro sistema a partire da informazioni nell’istante dato. Otterremo quindi un esponentedi Lyapunov negativo e un vettore di Lyapunov es(Y) sulla superficie stabile. Abbiamoinfine un vettore di Lyapunov en(Y) cosı detto neutro, allineato con la traiettoria, associatoad un esponente di Lyapunov nullo.

Per un sistema a N gradi di liberta, avremo N esponenti di Lyapunov, alcuni conparte reale positiva (quelli associati a vettori di Lyapunov nella varieta instabile), alcuni


negativa (quelli associati a vettori di Lyapunov in quella stabile) ed almeno uno nullo (quelloneutro). Gli esponenti di Lyapunov sono chiaramente associati al tasso di contrazione delvolume di fase. I vettori di Lyapunov nel punto Y definiscono infatti un volume che sideformera contraendosi ed espandendosi lungo i diversi assi con il tasso fissato dal rispettivoesponente. La presenza di esponenti di Lyapunov positivi richiede pertanto, per soddisfarela condizione che il volume di fase non cresca, che ci siano esponenti di Lyapunov negativi.Notare che questo ha come conseguenza il fatto, che un sistema (autonomo) potra esserecaotico solo per N > 2 (N = 3 e il minimo per avere una direzione stabile accanto a quellainstabile ed alla necessaria direzione neutrale).

7.2 Caos, dinamica stocastica e predicibilita

A causa delle separazione delle traiettorie, se le condizioni iniziali di un sistema caoticosono note con una precisione finita ∆Y , il suo stato finale dopo un tempo t sara noto conuna incertezza ∼ ∆Y exp(λt), dove λ e l’esponente di Lyapunov piu grande del sistema.La perdita di informazione che si verifica e simile a quella in un un processo stocastico,cioe un sistema la cui dinamica contiene una componente aleatoria in modo esplicito.

Analizziamo in dettaglio quello che si verifica considerando l’esempio piu semplice diprocesso stocastico, cioe un cammino random in cui l’incremento di posizione dx in untempo dt ha media nulla e varianza 〈dx2〉 = κdt [vedere la Eq. (5.17)]. La PDF ρ(x, t|x0, 0)della posizione della particella al tempo t, data una posizione iniziale x0 al tempo 0 coincidecon la densita al tempo t di una nuvola di particelle inizialmente in x0. Il comportamentodi questo sistema in una scatola con pareti riflettenti e ovvio: la particella al tempo t = 0e in x, quindi

ρ(x, 0|x0, 0) = δ(x − x0).

Dopo un tempo piccolo rispetto al tempo di diffusione alle pareti della scatola (che sara∼ L2/κ con L la dimensione della scatola), l’incertezza sulla posizione della particella sara∆x ∼ (κt)1/2, ed e possibile dimostrare

ρ(x, t|x0, 0) ≃ (2πκt)−1/2 exp(−|x − x0|22κt

).

Notiamo subito la differenza con il caso di un sistema dinamico: nel caso di quest’ultimo,lo stato del sistema, in assenza di errore sulle condizioni iniziali, e noto esattamente:

ρ(Y, t) = δ(Y − Y(t|Y0; 0)).

(Notiamo inoltre il fatto che la separazione ∆x cresce come t1/2 invece che esponenzial-mente). Per t → ∞, la posizione nella scatola sara ignota ed avremo infine

ρ(x,∞|x0, 0) = ρ(x) =1

L,

che e detta la PDF di equilibrio del processo stocastico. La proprieta del processo stoca-stico, che qualsiasi condizione iniziale conduce alla stessa PDF limite, e detta proprieta

7.2. CAOS, DINAMICA STOCASTICA E PREDICIBILITA 89

. . .

Figura 7.4: Struttura frattale generata dal processo di stiramento e piegamento.

ergodica. Questo fa sı che medie temporali su traiettorie che originano da condizione inizialidiverse coincideranno comunque con la media effettuata direttamente su ρ.

Notare l’analogia con la condizione, nella definizione di un sistema caotico, che le mediesiano indipendenti dalle traiettorie. Per definizione, le traiettorie tendono a disporsi pert → ∞ sull’attrattore (o sugli attrattori) del sistema. In presenza di esponenti di Lyapunovpositivi, e quindi separazione delle traiettorie, questi attrattori coincidono con le varietainstabili del sistema. La condizione di caos puo essere quindi vista come la condizione checi sia separazione delle traiettorie ed allo stesso tempo un solo attrattore del sistema, equindi un’unica varieta instabile associata ad un’unica traiettoria asintotica estremamenteconvoluta. Come illustrato nelle Figure 7.2 e 7.4 la struttura dell’attrattore di un sistemacaotico e necessariamente frattale. e la PDF di equilibrio ρ(Y) sara un oggetto altamentesingolare. Si parla in questo caso di attrattore strano, ed un esempio e l’attrattore diLorenz mostrato in Fig. 7.5.

Una descrizione consistente della dinamica atmosferica tramite un sistema caotico, ri-chiederebbe di tenere conto non solo della precisione finita con cui sono assegnate le con-dizioni iniziali, ma anche del contributo delle scale non risolte alla perdita di informazionesullo stato del sistema.

Tenendo conto della parte fluttuante del contributo dalle scale non risolte alla dinamica,avremo al posto della Eq. (7.1) una equazione nella forma

Y = F(Y, t) + F, 〈F|Y, t〉 = 0, (7.8)

dove il termine F ha carattere aleatorio. Le scale non risolte sono anche quelle piu velocie il termine F puo essere modellato sfruttando l’analogia con i moti molecolari. Nel casodel trasporto di una sostanza, l’effetto delle collisioni molecolari portava all’aggiunta al-l’equazione di continuita nella forma (5.18) di un termine diffusivo che portava alla forma(5.21). A livello di porzione di sostanza, questo portava a un cambio nella sua equazionedi evoluzione da una equazione deterministica:

x = u(x, t) (7.9)

a una stocastica:dx = u(x, t)dt + dW, 〈|dW|2〉 ∼ κdt (7.10)


Figura 7.5: L’attrattore di Lorenz

dove dW era lo spostamento prodotto dalle collisioni molecolari nel tempo dt, comedescritto dalla Eq. (5.17).

Nel caso presente, il ruolo della (7.9) e giocato dalla Eq. (7.1), mentre quello della (7.10)sara giocato dalla equazione che modella la (7.8). Nella forma piu semplice Fdt ∼ dW, equindi:

dY = F(Y, t)dt + dW 〈|dW|2〉 ∼ Kdt. (7.11)

La equazione di Louville (7.2) assume quindi un termine diffusivo e diventa

∂ρ

∂t+ ∇Y · (ρF) = K∇2

Yρ, (7.12)

conosciuta in questo contesto con il nome di equazione di Fokker-Planck. In manieraanaloga al mescolamento di una sostanza in un fluido, in cui la porzione di sostanza eprima stirata da u e poi diffusa da κ, nello spazio delle fasi, la struttura frattale descrittanella Fig. 7.4 non raggiunge un limite singolare, ma i suoi punti vengono prima diffusi daK nel volume circostante.

Va notato che, a causa del numero ridotto di stazioni di misura, il grado di incertezzasulle condizioni iniziali che vanno assegnate in un modello atmosferico e piuttosto elevato, equesto, unito alla difficolta nel modellare le scale non risolte, fa sı che l’effetto delle scale nonrisolte non sia quasi mai preso in considerazione. Un tipico modello atmosferico e quindinella forma di un sistema dinamico (7.1) e la PDF ρ(Y, t) tiene conto dell’incertezza sullecondizioni iniziali del problema, e della sua amplificazione a causa della natura caoticadelle traiettorie. Tecniche, dette di assimilazione dati, sono state introdotte per aumentarel’affidabilita delle previsioni da un modello nella forma (7.1). Il problema, in soldoni, ecome affinare una previsione (per esempio le previsioni del tempo di domani effettuate ieri),in presenza di nuovi dati osservativi (i dati meteo di oggi).

7.3. RISONANZA STOCASTICA E ALTRE STORIE 91

Il punto di partenza e l’affinamento, in presenza di dati osservativi all’istante correntet0, della conoscenza dello stato corrente del sistema. La conoscenza dello stato correntedel sistema prima dell’arrivo dei nuovi dati, e descritto da una PDF ρ(Y; t0), ottenuta apartire da dati osservativi passati e integrazione del modello (7.1). Siano Zk, k = 1, ...Mi nuovi dati osservativi; tipicamente M ≪ N , quindi, essi non individuano in manieraunivoca lo stato Y del modello. Inoltre, le variabili Zk, che sono tipicamente il risultatodi misure puntuali, dipendono dalle scale non risolte dal modello, oltre che da errori os-servativi. La relazione tra Z e Y e quindi espressa in maniera statistica tramite una PDFdi errore osservativo ρ(Z|Y), che ci fornisce la probabilita dei risultati delle osservazioni,suppenendo l’atmosfera in uno stato compatibile Y. Di solito la PDF ρ(Z|Y) e stimatada una Gaussiana centrata intorno a un valore medio Z(Y) che fornisce la previsione delrisultato della misura, dato lo stato del sistema. Va ricordato che questa e una stima teo-rica, essendo il vettore Y non direttamente osservato; lo stesso vale per la relativa matricedi covarianza.

Una volta disponibile la PDF dell’errore osservativo, l’affinamento della PDF e ottenutaa partire dal teorema di Bayes:

ρ(Y|Z) =ρ(Z|Y)ρ(Y; t0)

ρ(Z)∝ ρ(Z|Y)ρ(Y; t0)

dove la PDF affinata e nota in gergo con il nome di PDF di analisi. La previsione a unistante successivo t1 sara ottenuta propagando la probabilita tramite la relazione

ρ(Y; t1|Z; t0) =

∫

dY0ρ(Y; t1|Y0,Z; t0)ρ(Y0|Z)

dove la PDF di transizione ρ(Y; t1|Y0,Z; t0) puo essere stimata a partire dal model-lo (7.1) (che per definizione dipende solo da Y), in modo tale che ρ(Y; t1|Y0,Z; t0) →ρ(Y; t1|Y0; t0).

7.3 Risonanza stocastica e altre storie

La risoluzione finita di un modello atmosferico fa sı che non si tenga conto dei processi piurapidi, o che essi vengano considerati come un contributo stocastico alla dinamica. Allostesso tempo, l’evoluzione dell’atmosfera a scale di tempi piu lunghe di quelle di interessecomporta che gli attrattori che descrivono la dinamica del modello (se esistono) evolvanoessi stessi, oppure corrispondano a stati metastabili piuttosto che asintotici del sistema.

Di fatto, gia l’attrattore di Lorenz e caratterizzato dalla presenza di due regimi (i duelobi dell’attrattore) e di una zona critica nel mezzo dove si concentra la separazione ditraiettoria, e dove si decide se il punto continua a girare nella stessa ala oppure no. Inquesto caso, il basso numero di gradi di liberta comporta permanenze non lunghissime neidue stati del sistema. Il contrario si verifica in atmosfera, dove l’intervallo di scale temporalie enorme (dalla frazione di secondo sino alla scala climatica, che in linea di principio siestende sino a t → ∞), e lunghe permanenze in stati metastabili del sistema sono possibili.


Y

U

U∆ Y

−Y

Figura 7.6: Doppia buca di potenziale rappresentativo della coppia di attrattori ±Y (cioedentro o fuori da un’era glaciale).

A questo punto, c’e la possibilita che il processo che governa la transizione, se si svolgead una scala di tempi sufficientemente breve, sia piu di natura stocastica che caotica. Unprocesso che potrebbe essere importante nel causare transizioni tra stati metastabili, e chedi fatto e stato introdotto come modello per l’occorrenza delle ere glaciali, e la cosı dettarisonanza stocastica.

Cio che mantiene stabili lo stato con ghiaccio potrebbe essere ad esempio l’alta albedodel ghiaccio e viceverso nel caso senza. Risulta che la variazione di distanza media terrasole non e in grado da solo di generare la transizione da uno stato ad un altro solo a causadella variazione di dell’energia solare media assorbita. Le fluttuazioni, come ci si potrebbeimmaginare, sono importanti. L’interessante e che le fluttuazioni e la forza periodica nonagiscono in maniera indipendente. Le fluttuazioni non si comportano come una perturba-zione a una dinamica dominata dalle scale di tempo lente, ma forniscono un contributonon triviale alla stessa.

La risonanza stocastica e spiegata in maniera piu agevole con un semplice modello uni-dimensionale, in cui una doppia buca di potenziale simmetrica tiene conto della alternanzatra ere glaciali e temperate (vedere figura 7.6). Il sistema quindi descritto dalla equazionedifferenzial stocastica:

dY = [F (Y ) + A cos Ωt]dt + dW, 〈dW 2〉 = Kdt, (7.13)

in cui la variazione periodica della distanza terra-sole e tenuta in conto dal termine oscil-lante A cos Ωt, il rumore dW tiene conto dei fenomeni meteorologici, ed F (Y ) = −U ′(Y ) eil termine di rilassamento ai due stati metastabili Y ∼ ±Y . Il termine di rumore dW tieneconto dei processi meteorologici. Il termine di rumore e il forzante periodico sono suppostipiccoli:

K ≪ |U(±Y )| A ≪ |F (±Y )|. (7.14)

Questo significa che il punto di fase, in assenza di rumore, rimarrebbe sempre nella stessabuca. La piccolezza del rumore, inoltre, fa sı che il tempo di fuga da una delle buche


di potenziale sia lungo rispetto tempo di rilassamento |Y /F (Y )| ∼ 1/U ′′(Y ). Lo stessotempo di rilassamento e supposto piccolo rispetto al periodo di oscillazione della distanzaterra-sole:

Ω ≪ |F (Y )/Y | ∼ U ′′(Y ). (7.15)

In assenza di forzaggio periodico, il punto di fase si sposterebbe in maniera casuale dauna buca all’altra, sulla scala di tempi lenta individuata dall’ampiezza di rumore K e laprofondita della buca U(Y . La risonanza stocastica consiste nella sincronizzazione del saltoda uno stato all’altro con il forzaggio periodico. Questa si verifica a livello della equazionemaster per la probabilita di trovare il sistema in uno stato o in un altro al passare deltempo. Inoltre,

Per scrivere l’equazione master associata alla (7.13), e necessario conoscere la probabi-lita di transizione per unita di tempo (detta frequenza di Kramers) di un punto di fase dauna buca all’altra. L’inverso di questa frequenza e evidentemente il tempo tipico di perma-nenza in una buca. Possiamo stimare la frequenza di Kramers a partire dalla probabilitache il punto in una delle buche (per fissare le idee, diciamo a sinistra) si trovi nella regionedi transizione Y ∼ 0. Come si vedra, grazie alla prima delle (7.14) e la (7.15), la PDF delpunto di fase in una buca ha il tempo di rilassare a uno stato di equilibrio. Questa PDFcorrispondera a una soluzione della equazione di Fokker-Planck associata alla (7.13):

∂ρ

∂t+

∂

∂Y[(F + A cos Ωt)ρ] = K

∂2ρ

∂Y 2,

in cui si puo trascurare la derivata temporale (approssimazione adiabatica). Integrandoquesta equazione per ∂ρ/∂t = 0, otteniamo

(F + A cos Ωt)ρ ≃ K∂ρ

∂Y+ Φ

dove la costante di integrazione Φ e fissata a zero dalla condizione ρ = ∂ρ/∂Y = 0 perY → −∞. Abbiamo quindi:

ρ(Y, t|Y < 0) ≃ C(t) exp[

∫ Y

0

dY ′(F (Y ′) + A cos Ωt)/K],

dove la normalizzazione puo essere stimata C(t) ∼ |U ′′(Y )/K|1/2ρ(−Y , t); pertanto:

ρ(Y, t|Y < 0) ∼ |U ′′(Y )/K|1/2 exp[−U(Y, t) + U(Y , t)]/K, (7.16)

dove U(Y, t) = U(Y )−AY cos Ωt. La probabilita del punto di fase di trovarsi nella regioneY ∼ 0 puo essere stimata come P (Y ∼ 0) ∼ |K/U ′′(0)|1/2ρ(0). In maniera analoga, iltempo τtr di transito da una buca all’altra per un punto che si trovi gia nella regioneY ∼ 0, puo essere stimato come il tempo di diffusione a distanza |K/U ′′(0)|1/2 (nella zonaY ∼ 0: F ≃ 0). Abbiamo quindi τtr ∼ 1/|U ′′(0)|, e per la la frequenza di Kramers:

W±(t) ∼ P (Y ∼ 0, t|Y ≶ 0, t)/τtr ∼ |U ′′(0)U ′′(Y )|1/2 exp[−∆U±(t)/K] (7.17)


dove ± si riferisce rispettivamente a fuga dalla buca di destra e di sinistra e ∆U±(t) =U(0, t) − U(±Y , t) Notare come la Eq. (7.17) coincida sostanzialmente con la formula diArrhenius per la probabilita di fuga da una buca di potenziale di una particella, a contattocon un bagno termico a temperatura fissata.

Otteniamo infine, espandendo in serie di Taylor in A:

W∓ ≃ (1 ± AY

Kcos Ωt)W ; W ∼ |U ′′(0)U ′′(Y )|1/2 exp(−∆U/K), (7.18)

dove W , con ∆U = U(0) − U(Y ), e il valore della frequenza di Kramers in assenza ditermine periodico.

In generale, la probabilita di avere il punto di fase in una delle due buche di potenziale(cioe il numero medio di punti di fase all’istante dato in ciascuna delle buche) non sara= 1. L’evoluzione di questa probabilita sara governata dalla ”master equation”:

dp−dt

= (p+W+ − p−W−);dp+

dt= (p−W− − p+W+). (7.19)

Possiamo parametrizzare la nostra aspettativa di trovare il sistema ad un istante dato inuno stato o in un altro attraverso la quantita

X(t) =〈Y (t)〉

Y= p+(t) − p−(t),

che sara ≃ ±1 nel caso di certezza massima di trovare il sistema in uno stato fissato,mentre X(t) = 0 significa che potrebbe essere con eguale probabilita in uno dei due stati.Sottraendo le due equazioni (7.19) e utilizzando la (7.18) insieme a p− +p+ = 1, otteniamol’equazione per X:

X = −2WX +2AY

KW cos Ωt. (7.20)

Notare la natura non-stazionaria del problema, dovuta al termine oscillatorio ∝ cos Ωt. Larisonanza si verifica precisamente nella (7.20). Prendendo la condizione iniziale a t0 → −∞,cosı da poterne trascurare l’effetto, ed integrando, troviamo:

X(t) =AY

K

1√1 + Ω2

cos(Ωt − tan−1 Ω); Ω =Ω

2W.

Vediamo che, per W ≫ Ω, il termine in radice quadrata tende ad uno, ma il fattore Kcresce logaritmicamente; per W ≪ Ω, invece, il fattore dominante e evidentemente la radicequadrata e di nuovo l’ampiezza decresce. Come ci aspettavamo, l’ampiezza di oscillazionepresenta un massimo per Ω ∼ 1. Vediamo quindi che il forzaggio periodico, sebbene nonsarebbe in grado per suo conto di causare la transizione di stato, e in grado di sincronizzarele transizioni indotte dal rumore, che altrimenti sarebbero caratterizzate a tempi lunghi daun andamento X(t) → 0.


Esercizi

1. Un sistema e descritto dalla equazione differenziale stocastica dY = F (Y )dt +K(Y )dW , dove F (Y ) = (1− Y 2)Y , K(Y ) = (1 + Y 2)−1(K0 − Y 2) e W e il camminorandom: 〈dW 2〉 = dt. Discutere in quali condizioni il sistema gode della proprietaergodica.

2. Scrivere il sistema dinamico che corrisponde all’equazione di vorticita (6.22) in rap-presentazione di Fourier; considerare il caso di un dominio finito in modo di avereuna serie di Fourier. Calcolare il tasso di contrazione di volume di fase.

fisica dell'atmosfera

Documents