Fısica - Bloque 1Fuerzas Gravitatorias

Curso 2010-2011

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Indice

1. Modelos del Universo 31.1. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Ley de Newton - Gravitacion Universal 3

3. Trabajo 43.1. Signo del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Campo 44.1. Concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2.1. Intensidad de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2.2. Representacion del campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.3. Energıa potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4. Potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5. Movimiento de Planetas y Satelites 65.1. Velocidad orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.2. Periodo de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3. Energıa mecanica de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.4. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.5. Campo gravitatorio terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.6. Intensidad de campo terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.7. Deduccion de la 3a Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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1. Modelos del Universo

a.C.: Aritstoteles, Ptolomeo (Modelo geocentrico).

S. XV: Copernico (Modelo heliocentrico), Galileo (Telescopio).

S. XVI: Kepler.

1.1. Leyes de Kepler

1. Todos los planetas describen orbitas elıpticas con el Sol situado en uno de sus focos.

2. La recta que une un planeta con el Sol barre areas iguales en tiempos iguales (Leyde las Areas).

3. El cuadrado del periodo del movimiento de un planeta es directamente proporcionalal cubo de la distancia media del planeta al Sol.

T 2 = KR3

2. Ley de Newton - Gravitacion Universal

Dos partıculas materiales se atraen mutuamente con una fuerza directamente propor-cional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaque las separa.

~F = −Gm1m2

r2~ur

G = Cte. de Gravitacion Universal (6,67 · 10−11).

El signo negativo indica que las fuerzas gravitatorias son de atraccion.

Son fuerzas a distancia.

Son a pares; ~F2−1 = −~F1−2.

La constante G es tan pequena que para que las fuerzas gravitatorias sean aprecia-bles las masas deben ser muy grandes.

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3. Trabajo

Permite mover una masa m entre dos puntos A y B dentro de un campo creado poruna masa M .

TrA→B = −∆Ep = −(VBm− VAm)

TrA→B = m(VA − VB)

3.1. Signo del trabajo

Positivo

• Lo realiza el campo.

• La energıa potencial disminuye.

• Las masas se acercan.

Negativo

• Lo realizan fuerzas externas.

• La energıa potencial aumenta.

• Las masas se alejan.

4. Campo

4.1. Concepto de campo

Para explicar las fuerzas a distancia, introducimos el concepto de campo.Llamamos campo a la perturbacion real o ficticia del espacio determinada por la asig-nacion a cada punto el valor de una magnitud.Existen los campos escalares y los campos vectoriales, segun la magnitud correspondi-ente. Dentro de los vectoriales, encontramos los campos de fuerza, de los cuales a su vezdestacan los uniformes y los centrales.

4.2. Campo gravitatorio

Llamamos campo gravitatorio (~g) a la preturbacion que un cuerpo produce en elespacio que lo rodea por tener masa. Se trata de un campo vectorial central.

4.2.1. Intensidad de campo

La intensidad de ~g en un punto del espacio es la fuerza que actuarıa sobre la unidadde masa situada en ese punto.

~g =~F

m=−Gm1m2

r2~ur

m= −GM

r2~ur

~F = m~g

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4.2.2. Representacion del campo gravitatorio

Lıneas de fuerza: Lıneas cuya direccion en cada punto coincide con el ~g en ese punto.Son siempre tangentes, y nunca secantes.

Superficies equipotenciales: Todos los puntos que distan lo mismo del foco de lasfuerzas son equipotenciales. Son perpendiculares a las lıneas de fuerza en cualquierpunto, y el trabajo para desplazar una masa entre dos puntos equipotenciales esnulo.

Tr = m(VA − VB) = m · 0 = 0

4.3. Energıa potencial gravitatoria

Una masa m , por el hecho de situarse en un punto del campo, posee energıa potencial.La energıa potencial gravitatoria siempre se calcula como diferencias entre dos puntos,asignando al punto de referencia el valor 0.En el campo gravitatorio, se le asigna el valor 0 al punto en el ∞.

TrA→∞ = −(EpB − EpA) = EpA

Ep = −GMm

r

La Epg de una masa en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatoriopara trasladar la masa desde dicho punto hasta ∞.

4.4. Potencial gravitatorio

El potencial gravitatorio (V ) en un punto del espacio es el trabajo que realiza elcampo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta ∞.Dicho de otro modo, V es el equivalente escalar de ~g.

V =Epm

=−GMm

r

m=−GMr

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5. Movimiento de Planetas y Satelites

Aplicable para orbitas Sol-Planeta o Planeta-Satelite.

5.1. Velocidad orbital

Se supone MCU, por lo que siempre hay aN . Al haber a, existe siempre una F .

aN =v2

r

Toda la Fg se invierte en el movimiento circular, por lo que m no cae hacia M .

Fg = FN

−Gm1m2

r2= m

v2

r

v =

√GM

r

5.2. Periodo de revolucion

v = ω · r

v =2π

Tr

T =2πr

v

Nota: Los satelites geoestacionarios poseen el mismo periodo que la Tierra (T = 24h ).

5.3. Energıa mecanica de traslacion

Em = Ec + Ep =1

2mv2 −GMm

r

Em =1

2GMm

r

Cuando un satelite cambia de orbita (sin rozamiento), Em = cte.

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5.4. Velocidad de escape

Velocidad de un cuerpo necesaria para escapar de un campo gravitatorio. Para esto,se reguiere Em al menos nula (siempre negativa).Depende de la masa del planeta y de la distancia al centro de este.

Em = 0

Ec + Ep = 0

Ec = −Ep1

2mv2 = −(−GMm

r)

ve =

√2GM

r

5.5. Campo gravitatorio terrestre

Lo crea la Tierra por el hecho de tener masa. Cualquier partıcula dentro del campose ve sometida a una fuerza gravitatoria.La fuerza gravitatoria se puede manifestar de dos formas: peso (~F = m~g) = ~P ) u orbita(FN = maN = mv2

r).

5.6. Intensidad de campo terrestre

~gp =~F

m=−Gm1m2

r2~ur

m= −G MP

(RP + h)2~ur

~g0 = −G MT

(RT + h)2~ur

~g0 = 6,67 · 10−115,97 · 101024

(6,37 · 106 + 0)2= 9,81

m

s2

5.7. Deduccion de la 3a Ley de Kepler

{v =

√GMr

T = 2πrv{

v2 = GMr

v = 2πrT{

v2 = GMr

v2 = 4π2r2

T 2

GM

r=

4π2r2

T 2

GMT 2 = 4π2r3

T 2 =4π2

GMR3

T 2 = KR3

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