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Cinemática departículas:Análisis escalar

La dinámica es el análisis de los cuerpos en movimiento. Los primeros eninvestigar y establecer los conceptos fundamentales de esta área fueronGalileo Galilei Qse-rca) e Isa*c Newton (164Lr727). Desde

"nton"o,la dinámica ha sido aplicada en muchas áreas de ta ingánieria, p"., ,.r"1-ta ser indispensabre en el análisis de todos los vehícdá, .n -oi-iento yen maquinaria de alta velocidad. Aun en el diseño de superestructurasaparentemente estáticas como puentes y rascacielor, ," raaorr. frecuente_mente a la dinámica. Existen también apricaciones de la dinámi;

""-ár;;como la investigación médica y deportiva asi como en la biomecánica delos üajes espaciales.La dinámica se compone de dos áreas principales. primer o,la cine_

mática,,que estudia la geometría del movimiento incruyendo los aspectosde su dependencia del tiempo, pero sin considerar rur iuo"""q"" .u*-dicho movimiento. AI estud"iar la cinemática del movimi.oto ,ro

", n...-

sario asociar las fuerzas que lo producen, pues los p*¿..ir", á. int.rc*en estos casos son la posición, er desplazamiento, lavelocidad, la acerera-ción y el tiempo. segunda,racinética, en la cuar adieitrnalmente a rros pa-rámetros de la cinemática se incluyen los efectos-que las fo.rr* 1i.r,.nsobre las masas de los cuerpos.

, Existen divisiones adicionales en la dinámica de acuerdo con el ta-maño y rigidez de las masas cuyos movimientos son analizados. Es decir,en dinánica de partícuras se estudian aquelras masas cuyas dimensionespueden ser ignoradas aI anarizar rr, -oui*i"rrto, y en muchos casos loscuerpos sin rotación pueden ser considerados como partículas, siendo el

criterio para esta suposiciÓn el que sólo sea importante el movimiento del

centro de masa del cuerpo. Segi¡n esto, la dinámica de las particulas pue-

de abarcar desde cuerpos submicroscópicos hasta cuerpos de tamaño as-

tronómico. Por otra parte, frecuentemente existen casos donde una masa

no puede ser considerada como partícula, sino que deberá ser analizada

ya sea como un cuerpo rígido, o como w sólido deformable, e inclusive

como un fluido. En este texto se destacará la dinámica de partículas y

cuerpos rígidos.

un método escalar de análisis es fácilmente comprens¡ble para la mayorfa de los

estudiantes y es adecuado para obtener soluciones a problemas relativamente

sencillos. Muchos métodos escalares son casos especiales de métodos vectoria-

les, los cuales son más efectivos para resolver problemas con un alto grado de di-

ficultad. Pedagógicamente, iniciar el estudio de la dinámica con un método de

análisis escalar tiene sus ventajas y desventajas. Aquéllos que prefieran un fuerte

énfasis en métodos vectoriales, deberán progresar rápidamente en el estudio de

este capítulo para dedicar el tiempo ganado al estudio del capítulo 12. Los temas

de este capítulo de una manera general son:

sEccloN 11-1 Se presentan definiciones y relaciones matemáticas para la posi-

ción, velocidad y aceleración de una partícula en movimiento linel en un

sistema de coordenadas rectangulares. El contenido de esta sección es

parte del vocabulario básico de la dinámica.

sEccloN 11-2 Se incluyen ejemplos sencillos donde la posición, la velocidad o

la aceleración son dadas como funciones del tiempo, determinándose las

otras dos cantidades por diferenciación o integración'

SECCION 11-3 Se presentan diferentes expresiones ritiles para problemas co-

munes donde la aceleración es dada como función de otra variable' Algu-

nas de las ecuaciones obtenidas en esta secCión son frecuentemente usa-

das al resolver problemas donde se dan condiciones iniciales de posición y

velocidad.SECCION 11-4 Se introduce el concepto de movimiento relativo entre dos par-

tículas que pueden estar separadas o pertenecer a un mismo cuerpo. El mé-

todo escalar de análisis se limita aquí al caso en el cual ambas partículas se

mueven en la misma trayectoria, o cuandO es razonable la representación

con un modelo de trayectoria única.

POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION EN EL

MOVIMIENTO RECTILINEO

El movimiento de una partícula puede ser analizado considerando su po-

sición y las variaciones de ésta, lo que puede ser convenientemente descri-

to en términos de coordenadas rectangulares. El movimiento más simple

de una partícula es a lo largo de una línea recta, el cual es también conve-

nientemente €specificado por coordenadas rectangulares. Tal movimien-to es llamado movimiento rectilíneo. Considerar el movimiento en la di-rección de un eje coordenado será suficiente para comprender todos los

aspectos de este movimiento simple. -

Considérese el movimiento mostrldo-qn la figura I l-1. SupÓngase

que una partícula se encuentra en el punto.á en el tiempo f : 0. La partlcu-

la se encuentra en la posición .B en el tianpo t y en la posiciÓn C en el üern-po t + Af. Se selecciona una dirección positiva para la coordenada de

posición x para poder describir la dirección del desplazamiento desde

el punto original de referencia, siendo en este caso el origen.

CINEMATICA DE PARTICULAS: ANALISIS ESCALAB

tode

ne

d(

Ec(cl

d(rupt2

Vr

c:

dfrgE

cccn

d

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460

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1S-

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;y

losrte'ia-di-dertedelas

rsi-

unes

lolas

;o-lu-sa-ny

,flI'ne';Se

ión

B 'C

FIGURA 11.1

Movimiento rectilíneode una partícula sobreel eje x

La siguiente característica de interés en lo que se refiere al movimien-to de la partícula es la variación con respecto al tiempo de su posición. Sedefine velocidad promedio up,*, como el cociente entre el desplazamientoneto y el intervalo de tiempo transcurrido. Así, para la partícula moüén-dose desde ,B hacia C en la figura l1-1,

velocidad promedio : up,om"c

El límite del cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo se

conoce como la velocidad instantónea u. Para cuando la partícula se en-cuentra en el punto .B de la figura 1l-1,

velocidad instantánea : u: límAr+O

dx:.. :jdt

AxAr

Las unidades de la velocidad están siempre en términos de distanciadividida por tiempo. Normalmente las unidades son metros por segundo(m,/s) en la terminologia del SI, y en pies por segundo (ft/s) en el sistemausualmente utiüzado en Estados Unidos. La velocidad puede tener signopositivo o negativo, lo que indica la dirección del moümiento una vez es-tablecido el sistema de coordenadas. Por ejemplo, si la particula se mue-ve alejándose del origen en la dirección positiva, ax es positiva y la velo-cidad es positiva. Lo mismo es cierto si el moümiento es hacia el origendesde una posición negativa. Si la posición de la partícula es positiva pe-ro.en grado decreciente, o si su posición es negativa y va aumentando ne-gativamente, la velocidad será negativa. La magnitud de la velocidad esconocida como la rapidez de la particula. La velocidad es realmente unacantidad vectorial, como se muestra en el capítulo 12, pero un análisis es-calar de la magnitud y sentido de dirección (signo) es adecuado para elmovimiento ¡ss¡it_íneo.

En general, la'velocidad instantánea no es constante durante undesplazamiento, de tal manera que a la variación de la velocidad con res-pecto al tiempo se le conoce eomo aceleración. La aceleración promediose define como el cociente entre el cambio neto en velocidad Au, y el co-rrespondiente intervalo de tiempo transcurrido Al,

aceleración promedio : aprom

ffi1

AxLt

po-cri-.ple

ve-en-di-los

,ase

icu-3m-

.desde La

Lt

1 1.1 POSICION, VELOCIDAO YACELERACION EN EL MOV¡MIENTO RECTILINEO

trli

I

I

El cambio de velocidad instantánea dividido por el correspondiente inter-valo de tiempo infinitesimal se define como la

aceleración instantánea : o: Iim I¡r-o Af

du

dt

También de la ecuación l1-l

d(dxldt) d2x

dt2

Las unidades de la aceleración están siempre en términos de distan-cia dividida por el tiempo al cuadrado. Típicamente son m,/s2 en unida_des SI y ft/s2 en el sistema utilizado en Estados unidos. La aceleraciónpuede ser negativa o positiva dependiendo de su dirección con respecto alsenüdo positivo seleccionado para el eje de coordenadas. Si los signos dela velocidad y la aceleración son iguales, la magnitud de la velocidáa ¿. upartícula está aumentando, es decir, la partícula se acelera. si los signosde la velocidad y la aceleración son diferentes, la magnitud de la veloci-dad de la partícula esta disminuyendo, y algunas veces esta situación esllamada desaceleración. Los diferentes casos posibles se ilustran en la fi-gura l1-2. La aceleración es una cantidad vectorial, como se muestra enel capítulo 12, de tal manera que un análisis escalar de la aceleración debeser limitado a casos de movimiento rectilíneo.

dt

duQ:

-:dt

l

I

I

--t¡- +y --_- +y

++a é_4

--y

-<l-_y

++A +---sx=0

FIGURA 11-2

se obtiene

--+

*/ .+ *y

-++A --A

--y --y->

*4 +__ _¿

En muchos probremas es conveniente eliminar er tiempo dt de rasecuaciones. Para esto, usando la regla de la cadena

du du dx dua:- :_r,dt dxdt dx"

lrr€l

q

d

d

vtivpbphrLas ecuaciones il-I, rr-2y ll-3 son las ecuaciones diferenciales del

movimiento de una partícula. Cuando el movimiento es rectilíneo, pue_den expresarse ecuaciones similares utilizando las coordenadas y o-1.

62 cTNEMATTcA DE pARTrcuLAs: ANAusrs EscALAR

m-la-ónralde:lalosrci-

.esfi-en

:be

MEDIDAS DE LA POSICION, VELOCIDAD YAc E LE RAcr o N Y cA N rr Di3i,t"

illTJXt?i-'?flHBEn la práctica es posible medir ya sea la posición, la velocidad o la acele-ración como funciones del tiempo. una vez obtenida una de estas tres,las otras dos cantidades pueden ser calculadas. Las tres posibilidades bá-sicas que se pueden presentar en movimiento rectilíneo son como sigue:

Posición conocida, x : f(t). Cuando la posición de una partícula enmovimiento rectilíneo se conoce continuamente como una función deltiempo, la posición de dicha partícula con respecto al origen puede expre-sarse como una función matemática. Por ejemplo, considérese la posi-ción x dada por

x:t3-,4t2+5 (a)

De la ecuación l1-1 puede observarse que la velocidad de la partícu-la puede obtenerse derivando la ecuación (a) con respecto al tiempo l,

':#:3P - 8t (b)

De esta manera la velocidad puede ser calculada directamente para tiem-pos / seleccionados o para diferentes posiciones x, utilizando la ecuación(a).

De la ecuación l1-2 se observa que la aceleración de la particula sedetermina derivando la ecuación (b) con respecto al tiempo t,

-v-a

-x-v-a

(c)

La posición, velocidad y aceleración de la partículapueden repre-sentarse en diferentes gráficas utilizando en todas la misma base del tiem-po como coordenada, según se muestra en la figura ll-3. Estas gráficasson valiosas pues muestran los diferentes aspectos del movimiento de lapartícula.

Las tres gráficas de la figura I l-3 tienen caracteristicas notablesque son típicas de todas las representaciones de este tipo. Es decir, la pen-diente de la curva posición vs tiempo en cualquier tiempo /, es la veloci-dad u de la partícula en ese tiempo particular. La pendiente de la curvavelocidad vs tiempo en cualquier tiempo f es la aceleración a de la par-ticula en ese tiempo t. El elemento infinitesimal de área bajo la curva develocidad vs tiempo (Fig. l1-3b) está dado por dA : udt y esigual al des-plazamiento infinitesimal dx. Integrar la velocidad .ntr. do, ii"rnpo, *-bitrarios /¡ y f2 será equivalente a integrar dr entre las posiciones corres-pondientes x¡ y xr. El área A bajo la curva de velocidad desde el tiempo /¡hasta el tiempo /2 se expresa como

111.4 1

,l'l., ".O'OO'

O' LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELEBACION

du d2xo: dr: dt,:6¿-8

las

;-1_:-J

delrUe-

o: 1,i,,'

,, dr: [',' dx: _xz -.xr

¿E--

É€'ógoli

-.3

ytpodelbrrciódu

der

ba

(a)

p(de

ts

Acir(

A

cs

FT

f

a=6t-8

(c)

Estelte

Vrm

)\tl

FIGURA 11.3

Gráficas de la posición,velocidad y aceleración deuna partícula

Esto significa que el área bajo la curva velocidad-tiempo en un intervalo

de tiempo especificado es igual al desplazamiento neto de la partícula du-

rante este intervalo de tiemPo.Es necesario distinguir entre posiciÓn, desplazamiento neto y dis-

tancia total recorrida. Esto es, al evaluar la función x = f(t) se obtiene la

posición de la partícula con respecto al origen en un tiempo especifico f,y esta posición puede ser negativa o positiva segirn la partíc-ula se encuentre

a la derecha o a la izquierda del origen (suponiendo posiciones positivas a

la derecha de éste). El desplazamiento neto durante un intervalo de tiempo

At = tz - f¡ €s igual a la diferencia Ax : xz - .r¡, la cual depende {rnica-

mente de la posición de la partícula en los puntos inicial y final de su mo-

vimiento. El desplazamiento neto puede ser positivo o negativo segtln sea

x, más positiva o menos negativa que.rr. La distancia total recorrida du-

rante un intervalo de tiempo At : tz - tr es la suma total de los valores

absolutos de los desplazamientos netos entre puntos donde la partícula

cambia de dirección. Estos puntos de "cambio de dirección" son realmen-

te puntos extremos de la curva de posiciÓn, es decir, son puntos donde lapendiente de esta curva, y por lo tanto el valor de la velocidad' son cero.

M crNEMAncA DE pARTTcuLAS: ANAusts EScALAR

v = 3tz - 8t

I

I

i

.:,[: , d,:l:,, -3r*fi,,:+ -+

alolu-

üs-:la) t,.tre$alpoca-10-

sea

lu-res

ulaen-:laro.

Por ejemplo, en la figura ll-3 la posición de la particula para f : 0y t : 4 es igual a 5. El desplazamiento neto durante el intervalo de tiem-po de t : 0 at : 4 esAx : 5 - 5 - 0, loque indicaque el áreanegativadebajo del eje f de la curva de velocidad debe ser igual al área positiva so-bre este eje. Puesto que el movimiento de la particula cambia de direc-ción cuando la velocidad es cero para t : 8, la distancia total recorridaduranteelintervalodef : 0at: +es lx, =t- xt=azrl + lx,=¡ii'- x,=ol= 15 - (-4.48)l + l-4.48 - 5l : 18.96.

Con un procedimiento similar, las velocidades y aceleraciones pue-den ser relacionadas. De la figura ll-3c, dA' = a dt = du, y el lrea A'bajo la curva de aceleración puede expresarse como

o, : [,i,,'

a ilt : !",' du : t)z - t)t

Esto significa que el área bajo la curva aceleración-tiempo durante un in-tervalo de tiempo especifico, es igual al cambio neto de velocidad duran-te ese intervalo.

Yelqcidad conocida, u : f(t). Algunas veces, la velocidad puede deter-minarse directamente como una función del tiempo. por ejemplo, su-póngase que la velocidad de una particula en movimiento rectilíneo pue-de obtenerse a partir de datos graficados en un intervalo de tiempo de/o = 0 a t como una función dada por

u:sen2t+3 (d)

A partir de esta función la posición x de la partícula, asl como su acelera-ción a en un tiempo f, pueden determinarse por integración y derivaciónrespectivamente. De las ecuaciones ll-l y ll-2 se tiene que:

':,[: ,d,:l+cos2r+r']: : -"++3t+l n,

du. a : dt:2 "o"2t (f)

Aceleración conocida, a = f(t). En el análisis experimental moderno, su-cede frecuentemente que medir la aceleración de un movimiento y expre-sarla como una función del tiempo es lo más conveniente. Por ejemplo, su-póngase que la aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo semide-desde un tiempo fo : 0 hasta f, y que puede expresarse como unafunción dada por

a:2t - 3 (C)

y que de esta medición también se conoce que para t : 0, x : o : 0. Lavelocidad y la posición en cualquier tiempo f pueden determinarse a par-tir de esta función por integraciones sucesivas, es decir, de las ecuacionesll-2 y ll-l se tiene que

, : J: a itt : ltz - 3t)'o: t2 - 3t (h)

(D

las cuales satisfacen las condiciones iniciales dadas.

l r-2 MEDTDAS DE LA posrcroN, vELocrDAD y AcELERAcToN ¡155

_- -:i : _i:=3-':--, -=:asl-:]:+-i-1-.€

EXPRESIONES UTILES BASADASEN LA ACELERACION

Frecuentemente la aceleración es la variable básica en el análisis del mo-

vimiento debido a que es fácilmente medible o sencillamente porque está

especificada en el problema en cuestión. Por lo tanto, es útil aprender a

trabajar con expresiones basadas en funciones de la aceleraciÓn. Estas

expresiones basadas en funciones de la aceleraciÓn. Estas expresiones in-

cluyen el tiempo, la velocidad, la posición o una combinaciÓn de estas

variables como se muestra a continuaciÓn. Debe hacerse notar que exis-

ten algunas expresiones básicas (que son las más importantes de recor-

dar) las cuales pueden ser aplicadas en distintos casos especiales.

Expresiones básicas

Cuando el tiempo sea la variable independiente en un problema, y puesto

eu€ a = du/dt (Ec. l1-2), ésta puede rearreglarse e integrarse como:

[",0,: Ii'0, [se-lCuando en un problema la posición x es la variable independiente' la ex-

presión o dv : a dx (Ec.l1-3) puede intefrarse:

f'udu: f* od*J ro Jxo

En estas ecuaciones, las condiciones iniciales t : 0, x : xoy u = ür0 son

utilizadas como límites inferiores de integración, mientras que los limites

superiores son un tiempo, velocidad y posición específicos que sean de

interés al problema dado. Nótese la relación entre las ecuaciones 1l-6 y

ll-7,Lacual se debe a que la ecuación I l-3 fue obtenida por la regla de la

cadena de la ecuación ll-2.

Casos especiales

4-qel-e,¡^gci0+"gqsg[ag[& El caso más común y también el más sencillo es

áquél Cuando la aceleración es constante. De la ecuación l1-6,

f' dr: o I' d,Joo J0

Así, para un tiempo arbitrario / se obtiene:

@.,fLa velocidad también puede obtenerse en funcióncir, de la ecuación 11-7,

|

Erql

Aa

tetelitac

ET

t

Aa

Erqr

Aqr

iUintir

tlr.gl. de la posición x, es de-

f 1rr1

partirde que a: dx/dt

f" udu:of'd*,Júo ¿ xo

De aquí, para una posición x se obtiene que:

u2 :2a(x - xl + uf;

Una expresión útil para la posición x se obtiene a(Ec. 1l-l) y de la ecuación l1-8, esto es:

Esta ecuación se expresa en términos de una aceleración constante a, de

la velocidad inicial uo y de un tiempo arbitrario l. Integrando se obtiene:

I)"0* :

!'o@t + uo) dt

E-

)-Áa

IS

1-

tss-

r-

to

f,)x-

)n.es

deiyla

*:)otrrueü*xo

Nótese que las ecuaciones ll-8, 11-9 y ll-10 son válidas únicamen-te para el caso de aceleración constante, lo que incluye la posibilidad detener a : 0. una de las aplicacio¡es más comunes es en el caso de caídalibre de un cuerpo, donde o : g, es decir, la aceleración del cuerpo es laaceleración de la gravedad.

ERROR COMUN

Frecuenternente se comete el error de memorizar las ecuaciones ll-E,11-9 y 11-10 y de utilizarlas en casos donde la aceleración no esconstante. Pueden evitarse muchas equivocaciones si se uülizan lasecuaciones 11-6 y 11-7 o asegurándose con anücipación de que las ecua-ciones del caso especial de aceler¿ción constante o aceleración cero(Ecs. 11-E, 11-9 y 11-10) son aplicables.

aceleracién variable dada como función del tiempo. Supóngase queo : f(t). De las ecuaciones ll-6 y ll-1, se obtiene que:

I'"0,: fitota, ,: I:rQ)dt + uo

[i,o*:[i,ot ,:fudt+xoEstas expresiones pueden ser evaluadas únicamente cuando se especifi-que la funciónl/).

Aceleración variable dada como función de ra posición. supóngase quea = J\x).De la ecuación l1-7, se obtiene que:

['"u du : [)"f {*)'o* u2 : 2Jl" ftrl itx + u2o

Esta ecuación puede ser resuelta para x como función del üempo una vezque se conoce/(x) y se sustituye a o por dx/dt.

Aceleración variable dada como función de la velocidad. supóngaseevea : f(u).Utiluando que a = du/dt, se obtiene que:

¿t:Lf (u)

t: f' ¿t: f du

Jo J", f(a)una vez integrada esta expresión se pbtiene u como función del tiempo f, eintegrando una vez más se obtiene la relación entre la posición x y eltiempo r ramb i én' ":':

;:l'l: " ;"::":ü-

3' obteni énd ose :

dx f(u)

f*dt:t=f"d'Jo J," f(u)

n-/dt

dene:

EXpRESToNEs urLEs BAsADAs EN LAAcELERAcToN M7

I

UnapartlculaPsemueveenlínearectaysuposiciónestádadaporx=2t'_iiTi át"¿" x está dada "i

*"oot y r en segundos' calcule: (a) los tiempos pa-

ra los cuales la velocidad v f" t*i*tAOl *t oio; O) el desplazamiento neto de f =

0 a t = 2s, y (c) la distancia totJ recorrida en el inciso O)' Grafique ¡ vs t' r,¡ vs f y

" rt I v compruebe los resultados numéricos utilizando las gráficas'

SOLUCION

(a) Utilizando la ecuaciÓn I l-l se puede determinar una relaciÓn para la ve-

locidaá como función del tiempo, es decir:

,:4:6tz - 8t: t(6¿ - 8)-dt

Igualando esta ecuación a cero y resolviendo se obtiene que la velocidad es cero

p-"otottiemPost = 0Yf = á s'

Utilizando la ecuación 1t-2, se obtiene la aceleración:rn¡n = 0.63 rn Para

¡ = 1.333 s

!-- r(s)3

-I.-+a+¡ = 1.333s

lzt-8

-v-

--a

¡: 0.667s

dua=::

dt

¡(s)

lgualando estaecuaciÓn acero y resolviendo se obtiene que 4 = 0 para I = t s'

(b) El desplazamiento neto depende {tnicamente de la posición inicial¡r = o Y

de la posición final x, - 2,, es decir:

xr=o:2(0)'-(0)t+3:3mxt--zs : 2(2)t - 4\2)' + 3 : 3 m

Ax: 3m - 3m:0(c) La distancia total recorridaD depende del sentido de los movimientos de

la particula desde t = 0;;;; = zs' nstó es' la partfcula cambia el sentido de su

movimiento cuando ra velocidad es cero, y oto t" obtuvo cuando ¡ = { s' Para

f = 3 s, se obtiene que:

'='(1)' -'(1)' * 3: 063 m

Entonces la distancia total recorrida es:

¿r = 10.63 - 3l + ll - 0'631 = 4'74m

El movimiento de la partícr¡la puede comprenderse con la ayuda de la figwa I l-4e'

Aunquelapartícula'.**"""'ünearecta,lagráficaposiciÓn.tiempodebesercomo se muestra .n r" igrr" ii-¿u. r." curva de ra velocidad es la gráfica de la

pendiente de Ia curva x(r) en cada punto' y por lo tanto la velocidad debe de ser

cero cuando la curva ¿.'í"tial" tie t" un *a"imo o en un minimo dentro de es'

te intervalo (cuando ta pendiente de la tangente,a la curva es cero)' Similarmente'

la cuwa de la aceleracií. i"i. ,"rr" gráfica de la pendiente de la curva de veloci-

dad, y por lo tanto ¿.U" J. t.t cero-cuando la velocidad tenga un máximo o un

mínimo local. Utilizanáá otot p¡*ipios y calculando para diferentes valores de

l, ," pu"¿"n graficar las tres cr¡ryas como se muestra en la figura ll-4'

v^rn= -?'61 Para r = 0 667 s

FIGURA 11-4

Gráficas de la PosiciÓn,velocidad Y aceleración de

una partícula

r(s)

t = l.8l4m++

-r = 0.63r¡--++r,++a

468 qNEMATTcA DE PARTIcUIAS: ANAusls EScALAR

¡=0

(c)

7

ta-

ty

La velocidad de un pistón de gran desplazamiento (FiC. ll-Sa) se conoce desdeI = 0yestádadapor u: sen (t/2) + l/¡,dondeuestáenpiesporsegundoyfensegundos. El pistón inicia su movimiento en la posición xo = 0 en f = 0. Calculela aceleración máxima y grafique x vs t, ¿, vs t, y a vs f para un ciclo completo des-pués del cual el movimiento se repite.

soLUCloNSe obtiene primero la posición x como función del tiempo. Esto es, de la ecuaciónl1-1, se tiene que:

x:-2.orf+t+2¿nLa aceleración puede determinarse utilizando la ecuación l1-2, es decir:

dulto: E: t"ottLa aceleración máxima ocurrirá cuando cos(t/2) = l, esto es, cuando t = 0,4r,8n. . ., y así sucesivamente. Para estos tiempos la aceleración resulta ser a = áft/sz.

Para graficar las curvas ¡ vs t, D vs t , y a vs f se calculan otros valores extre-mos, €s decir, la aceleración será mlnfuna para cos(t/2) - - l, esto es pÍua cuan-do t = 2r,6r, y valores sucesivos. El minimo valor de la aceleración es entoncesigual a lft/s2. ta aceleración es cero para cos (t/2) = 0, esto es para cuandot = r,3r y valores sucesivos.

Los valores máximos y minimos de la velocidad ocurren cua¡rdo ¿ : 0, es

decir, f = r¡ y 3t. Valuando se obtiene:

umex: senl + L : ( t* f) : L32rt/szn\ft,/

3n I / l\t'nin : seni * ; : [.-t * ;) : -0.68ft/s

Cuando t = 0, 2zr, 4r, u = I / r. El valor mfuiimo y mínimo local de x y los tiem-pos en los que ocruren se encuentran calculando primero los tiempos para los cua-les la velocidad es cero, sustituyéndolos en la expresión para r, esto es:

J-=o dr : .1;'=r,

o, : I:(,*;*. :)a'

Js.

=oY

rs de

le suPara

l4e.e ser

le lae serle es-

3nte,:loci-ounss de

tlu:sent*;:0 cuando ,"o 1: - I

2ztPor lo tanto, u = 0 para / = 2 sen-l (- l/r),esto es para cuando:

t:4-0.324): -0.648st :2(n + 0.324): 6.93 s

t :2(-0.324 + 2tt): 11.92t

donde debido a las condiciones iniciales del problema el resultado negativo es des-preciado. Valuando se obtiene:

x*¿' = 6'10ft

x-in : 3'90ft

Otros valores de x se muestran en.la tabla de la figura I l-5e, y las gáfi€s de x vs f ,u vs / y a vs f se muestran en las figuras I l-5b, c, y d. Nótese que la parte oscilato-ria de la posición x es pequeña comparada con el desplazamiento total para tiem-pos g¡andes en la ecuación de x.

.i l-

7

,i.lü.

.r (ft)¡max = ó.1 parav = 0

6

5

4

3

2

I

0

r (ft/s) v-¿r= l.Jfp¿¡¡a=Q

1.2

0.8

0-4

0

-0.4

-0.8

Gráficas de la posición, veloc¡dad y aceleración de unp¡stón

470 crNEMArcA DE pARTrcuLAs: ANALrsrs EscALAR

v-¡r=-Q,f,$p¿¡'¿¿=Q

f lsl x {frl

00T'

.2r 6:3t j'4¡ | 4

(e)

¿ (ft/s2 )

(a)

a€

I

I

I

ra

El trabajador Alaruaverticalmente una pequeña herramienta hacia el trabajadort (Flg. ll-6a). La velocidad inicial de la herramients es u6 = 50 ftls hacia arriba,partiendo de una altura ini'ciAyo : 6 ft. La aceleración de la herramienta es cons-tante, es decir, c = 32.2 ftls2 hacia abajo. Calcule: (a) la máxima altura y.a* quela herramienta puede alcanzar, y (b) la velocidad de la herramienta al llegar al sue-lo si ésta vuelve a caer sin ninguna interferencia. Integre las ecuaciones básicas ygrafique las curvas de y vs I y u vs /.

ro = 50 ft/s prra

.vo=6ft

A

-_Y

r (tt/s )

30

l0

r (s)

ó0

40

¡G)

¿(ft/s2)

0

-32.2

FIGURA 11.6

Gráficas de la posición, velocidad yaceleración de un objeto lanzadoverticalmente

EJEMPLo r-3 471

¡ (11)

/

i

t

soLuctoN

Utilizando el sisteria de referericia dado, con a = -32.2 ft/sz y que para t ='0, lo :6 ft Y u¡ = 50 ftls.

(a) Primero es necesario obtener expresiones para la velocidad y la altura en

cualquier tiempo t. Esto es, de la ecuaciÓn I l-6.

f' u: - f'32.2dtJoo= 50 Jo

[r]io: -l32.2tliu = 50 - 32.2t (a)

De la ecuación 1l-l y utilizando que/o : 6 ft para f = 0, se obtiene:

u:d':50-32.2t-dt

Il"="or: Jjtso - 32.2t\ dt

[y]t:[50¿-16.lú'z]'o

r:6+5}t-l6.tf 0)Cuando la herramienta aJcanza su máxima altura, se cumple Que u = 0. Sustitu-

yendo esto en la ecuación (a), se obtiene el tiempo fr transcurrido durante el movi-

miento de subida de la herramienta:50 - 32.2t':0

tr : 1'553s

Sustituyendo este valor en la ecuaciÓn (b) se obtiene:

!^a^: 6 + (50X1'553) - (16'1Xl'553)'z

:44.8ft(b) Cuando la herramienta llega al suelo, T = 0' Sustituyendo esto en la

ecuación (b) se obtendrá el tiempo f2 transcurrido en los movimientos de subida ybajada de la herramienta, esto es:

6 + 5012 - l6.lt2r: g

tz: l'553 + 1'668

Utilizando la raíz positiva para obtener el tiempo total del movimiento medido a

partir de f = 0' resulta que: tz:3.22rs (a)

I^a velocidad de la herramienta al llegar al suelo se obtiene de las ecuaciona (a) y (d):

u:50 - (32.2\(3.22r): -53.7ftls

Las gráficas dey vs I y u vs t se obtienen a parti¡ de las ecuaciones (b) y (a) respec-

tivamente, y se muestran en las figuras ll-6b y c.

CONSIDERACION DE RESULTADOS

Considerando la velocidad inicial, la magnitud de la aceleración y la altura inicial y

final (el suelo), la velocidad final resulta ser razonable. Puesto que la aceleraciÓn

tiene un valor constante negativo, la curva de velocidad debe ser liireal (inea recta)

con pendiente negativa constante. La curva de posición debe ser parabÓlica, con

pendiente positiva cuando la velocidad sea positiva y negativa cuando la velocidad

sea negativa. Los resultados obtenidos concuerdan eon est¿ls condiciones.

4:n cTNEMATTcA DE pARTtcuLAs: ANALtsls EScALAF

(c)

7

un automóvil se mueve en una autopista (Fig. ll-za) con una velocidad inicialoo = 25 m/s hacia la derecha y se encuentra en it p*to o cuando t : 0. En ese ins-tante el conductor nota que adelante se encuentra una gran roca y después de untiempo de'reacción de l Japüca los frenos, p.oá""i.n¿o una desaceleración cons-tante de a : - 5 m,/s2 calcule: (a) El üempo total transcurrido desde que el auto-móvil se encuentra en el punto o hasta que el vehículo se detiene rornpi"t"*.nt"en el punto P, y (b) La distancia ¿ meái¿a desde el punto o hasta el punto p.Grafique las curvas x-t, u-¡ y a-t para el movimiento del autémóvil ycompruebe las respuestas utilizando estas curvas del moümiento.

soLUctoN(a) Desde f = Ohastaf = I s, u = 25mls (constante). Enf : t s,x = (25m/9(ls) = 25m(aladerechadeO). Desdef = I shastal = tp,a ='_5^¡r,(constante) hasta que u = 0, ro que ocr¡rre para f = fp (desconocido). puesto que

a = dv/dt - -5 m/s2, se tiene que:

Ii,o,: -s f" at

Integrando, resulta:

0-25:-5(tp-1)f¡:6s

vnr)rn

d FIGURA 11.7

Gráficas de la aceleración,velocidad y posición de unautomóvil

EJEMpLo ri-4 473

METoDoALTERNO:Enlraintegraldefinidaanterior'loslímitesdeintegraciÓná.i ti"*po se hicieron

"orr"rpond.. con los límites de integración propios de la

velocidad. Especificamente,i = 25 m/sparaf : I sY u = 0paraf = fp' Es

igualmente aceptable integrar utilizando una integral indefinida más una constan-

ti de integraciÓn, como se muestra en lo siguiente:

duo: d, -)m/s'

Iau : -s Iat + c,

u: -5t + Ct (a)

La constante de integraciÓn debe determinarse considerando las condiciones ini-

ciales u = 25 n/s pfua t = I s. Sustituyendo en Ia ecuación (a)'

25 : - 5(1) + Cr Por lo tanto Cr = 30

La ecuación t"' tt "",ltj"ll-i"iu (várido para 1 < r < rr) o)

Resolüendo para el tiempo f = fppara €l cual u = 0, se obtiene de la ecuación (b):

0: -5¿r+30rp : 6 s (como en el método anterior)

(b) Los frenos son aplicados después de que el automóvil ha recorrido 25 m a

la derecha del punto O y ilevando una velocidad de 25 m'ls' Es decir' con los fre-

nos aplicados se cumPle que:

- ,a du dua -- -5mfs2 :

": , E

(c)

Frecuentemente se refiere utiüzar la expresiÓn para la aceleración como la rela-

ción del cambio de posiciÓn (dx) al.t^Uio de velocidad (du)' aunque también se

pue¿e utitizar la exiresión a' ='du/dt.Integrando la ecuación (c) con los limites

áe integración apropiados, se obtiene la distancia D:

du-5: D-

dx

-t r,^d': Il,^,"u d,

1

_5(D _ 2r: _;(2s\,

D:87.5m

La curva más fácil de graficar en este ejemplo es la de 4-f puesto Que a : 0

(constante)para0 < I s I s, ya -- -5m'ls2(constante)paraf > I s'comose

muestra en la figura ll-7b. De la curva 4- t se obtiene que:

lreaAr: Au: (-5xfp - 1)

De la curva o - t se obtiene que:Lu: -25: At

-25:-5(t"-l)f¡:6s

Adicionalmente, puesto que el área bajo la curva Ü- t es igual al cambio de posi-

ción A¡:Ax:Axr 1-Lxr--Ar+At:D

donde /2 = 25(l) = 25m Y At = +(ro -l) (25) : 62'5 m' Por lo que'

D :25m + 62.5m: 87.5 m

-5.---

y al integrar, resulta:

il- Para u: 50 ftls:

Un avión se aproxima con una velocidad de 300 ft,/s, a un barco porta-aüonesque se encuentra en reposb (Fig. I l-8). Una vez que las ruedas del avión están encontacto con la superficie de aterrizaje y se aplican las fuerzas necesa¡ias para elfrenado, se observa que la desaceleración del avión es proporcional a su veloci-dad, lo que matemáticamente se expresa como a = - 0.5u. Calcule: (¡) la mfnimalongitud l, de pista requerida para el aterrizaje; (b) en qué posición de la pista lavelocidad del avión será de 50 ftls (posición donde se coloca el mecanismo "suje-tador" del aüón), y (c) el tiempo que transcurre desde que las ruedas tocan la pis-ta hasta que la velocidad sea de 50 ftls.

SOLUCION(a) Para movimiento rectilíneo:

Puesto que en los incisos (a) y O) del enunciado del problema está comprendidoun "cambio de velocidad relacionado a un cambio de posición", la aceleracióndada como a = u (du/dx) es la más adecuada para la integración.

Dado que a = -0.5a = u(du/dx), separando variables e integrando se ob-tiene;

dx: -2dux: -2u I Ct

Para r = 0, a = 300, asi que C1 = 600. Por lo tanto:

x: -2u * 600 (a)

La velocidad o debe ser igual a cero par a x = L; por lo tanto, de la ecuación (a) seobtiene que:

I = 600 ft (longitud mínima de pista)

(b) Sustituyendo ¿r = 50 ftls en la ecuación (a) se obtiene:

x: -l00ft+600ft:500ft

(c) El enunciado de la parte (c) requiere una relación entre "un cambio develocidad y un cambio de tiempo", asl que la forma a = du/dt es ahora la másadecuada para esta integración.

Puesto gü€ a = -0.5u = du/dt, pteden sepfirarse variables obteniendo:

¿t: -z!-!

t: -2lnu * C2

Para f = 0, u : 300, de aquí que C2 : 2 ln 300. Por lo tanto:

¿: ZtttS

¿:2It 3050

= 3.58 s

FIGURA 11.8

Avión aterrizando sobre la pista deun barco porta-aviones

EJEMPLo rl-s 475

du du

dt dx

Un trineo impulsado por motores-cohete (Fig. I l-9) inicia su movimiento desde el

reposo acelerándose a una razÓn de a : 9x ft/s2, debiendo obtener una velocidad

¿e sg ttzs en el punto B de la plataforma de lanzamiento de longitud D. Después de

haber dejado la plataforma de lanzamiento en el punto 8, el trineo empieza a des-

acelerarse arazón de a : -0.2 t ft/s2, hasta detener su movimiento en el punto

c(1" es el tiempo transcurrido desde que el trineo pasó por el punto B). calcule:

(ai La loneitud D necesaria de la plataforma de lanzamiento; (b) el tiempo reque-

rido por el trineo para recorer la distancia de B a c donde termina su movimien-

to, y (c) la longitud requerida Z entre los puntos B y C'

SOLUCION

(a) EI enunciado del problema implica "un cambio de velocidad relaciona-

do con un cambio de posición"; por lo tanto' utilizando:

dua: u -- :9xtlx

Integrando esta ecuaciÓn (a) se obtiene:

rl){\*':)u2+cr

Puesto Qü€ u = 0parax = 0, ct = 0 y por lo tanto:

u:3xft 0)

Igualando la ecuación (b) a u: 88 ftls, se obtiene:

x : D :29.3ft

O) La aceleración de B a C es o = -0'2 f", la cual debe ser integrada

utiüzando la forma a : da/dt,lo que resulta en:

u: -o.I(t)2 + Cz

Para t" : 0, t) = 88 ft/s, asl que Cz = 88. Sustituyendo:

1

,: -*(r")2+88ft/s

Pa¡a determinar x" se integra la ecuaciÓn (c), obteniendo:

r": -fi{,")' + 88r" + c3(ft) (d)

donde C¡ :- 0 debido a que xe = 0 para t" = O. Utilizando la ecuación (c)' el tri-

neo detiene su movimiento en:

1^0: _10(r,)2+gg

r -

tO?.t" - ot., s

(c) De la ecuación (d), la posiciÓn que alcanza el trineo 29'7 s después de ha-

ber pasado por el punto B seráx" = 7:

o 9x ilx: u du (¡)

(c)

FIGURA 11-9

Trineo impulsadó por rotores-cohete

,: -* (2s.7)3 + 88(2e.7)

. : l740ft

476 crñEMAttcA oE PAFTIcuLAS: ANALlsls EScALAR

D

l1-3

üEUGtUNtsü 1t-1, ll-2, ll-3

f1-1 La posición x de una partícula está definida porla expresión x : 3t + 4, donde x está en metrosy f en segundos. Calcule la velocidad y acelera-cióncuandof:4s.

11-2 La posición 4 de una partícula está definida porla expresión z : f - Zt,dondee estáen metrosy f en segundos. Calcule la posición y acelera-ción cuando la velocidad es ceio.

11-10 La velocidad de unapartículaobtenidade datosexperimentales puede expresarse como u = t2 *3t - 2, donde u está en pulgadas por segr¡n-do y I en segundos. La partícula se encuentra en

xo : - 2 in para f = 0. Calcule la posición y laaceleraciónparaf:5s.

11-11 Lavelocidad de unapartículaestádefinidaporlarelación o : 3x donde uestá en metros por se-

gundo y x en metros. Calcule la posición, velo-cidad y aceleración para f = 0.5s si inicialmente

"o:0pÍuaxs=0.1 m.

11-12 La velocidad de una partícula está definida por laexpresión u : ky2,donde u está en pies por se-gundo, y en pies y k es una constante. Calcule Iaaceleración para y = l(E ft si inicialmente uo :2 ft/s para ys = 5 ft.

11-13 La aceleración de una particula está dada comoa : 6m/s2. Para el tiempo t : 0 la posición es

xo : 0 y la velocidad €s trs = 0. Calcule la posi-ción y la velocidad para el tiempo f : 5 s.

11-14 Una partícula se mueve sobre el eje r con unaaceleración constante de 6 m/sz hacia la dere-cha. En el tiempo t = 0 la partícula se encuen-tra a 4 m a la derecha del origen, moviéndosehacia la izquierda con una velocidad de l8m,/s.Determine las ecuaciones para la posición y lavelocidad como funciones del tiempo.

ll-l5 La aceleración de una partícula está dada como' o - 4t ft/s2, donde / está en segundos. En eltiempo t = 0 laposición esx0 = 0ylavelocidad es

oo = 5 f/s. Calcule la posición y velocidad parat = 2s.

li-16 La aceleración de una particula esta definidapor la relación a = kx in,/s2, donde ft es unaconstante y x está en pulgadas. Para xs = g,

üo : 0, yparax, = 2in, ur = l0in/s. Calculela velocidad u2para x2 = 5 in.

11-17 La aceleración de una partícula está deñnidapor la expresión a : t0 - *, donde a está enm/s2 y x en metros. Para xs = 0, u0 = 0. Calcu-le la posición ¡ donde la velocidad es máxima.

PRoBLEMAS 4Tl

La posición y de una partícula está definida porla relacióny = 2t2 - 5, dondey está en pies y fen segundos. Calcule la velocidad y aceleraciónparal=3s.

La posición x de una partícula está definida porla relación r : 5 sen 2t + 4, donde x está enpulgadas y I en segundos. Calcule la velocidad yaceleraciÓn para tr = I s y t2 = 2 s.

La posición y de una partícula está definida porlaexpresióny - f - 4P + t + z,dondeyestáen metros y / en segundos. Calcule la máximavelocidad alc¿nzada por la partícula.

La posición x de una partícula está definida porla expresión x = t3 - 4P + 5, donde¡estáenmetros y f en segundos. Calcule: (a) la velocidady aceleración cuando t :2s, y @) la máxima ve-locidad de la partícula.

11-5

1 1-6

11-7 Calcule la distancia total recorrida durante losprimeros 4 s de movimiento de la particula delproblema ll-6.

11-8 La velocidad de una partícula está definida porla er<presión u : 3 cos / + l, donde u está en me-

r tros por segundo y f en segundos. La partícula seencuentra €r /¡ = 2m cuando t : 0. Calcule laposición y aceleración para I = l0 s.

La velocidad de una partícula está definida porla expresión a : 2t, donde o está en pies por se-gundo y f en segundos. La particula se encuen-tra en )ro = 2 ft cuando t = 0. Calcule la posi-ción y aceleración para I : 3 s.

11-9

-=

11-18 Para Ia partícula del problema ll-17, calcule:

(a) la velocidad para x = 4 El, y (b) la posiciÓn

donde la velocidad vuelve a ser cero.

t1-19 La aceleraciÓn de una partícula está definidapor la expresibn a = - kx-2 ftls2, dondex está

en pies y k es una constante' Para xe = 0'1 ft'oo = 0, ] para x¡ = I ft, ur = l0 ft,/s. Calcule

la velocidad u2 PZrd x2 : 5 ft.

11-20 La aceleración de una particula está definidapor la relaciÓn o = - t)t donde ¿ está en m'ls2 y

uestáenm./s. Paraf : 0,uo = 500m,/slxs = Q'

Calcule la distancia reconida por la particula

desde esta velocidad inicial hasta que detenga su

movimiento.

11-Z. Para la partícula del problema ll-20, determine

las ecuaciones para la velocidad como: (a) fun-

ción de la posiciÓn x, y (b) como funciÓn del

tiempo /.

11-zL La aceleración de una partícula está definidapor la expresi Ón a = 400 - 5u, donde ¿ está en

ftjsz y u en ftls' Para t = 0, uo = 200 ftls' Cal-

cule el tiempo requerido para reducir la veloci-

dad: (a) hasta la mitad de su valor inicial' y (b)

hasta cero.

11-í8 La aceleración de una particula está dada como

a = - t)2, donde ¿ está en m/s2 y u en m,/s. De-

termine la distancia d recorrida por la particula

desde que lleva una velocidad inicial ue hasta

que prácticamente haya detenido su moümien-to. Grafique u/usvs d y calcule d para cuando

tt : 5Úlo, l9o Y 0.190 de us.

11-24 La aceleración de una partícula que cae a través

de la atmÓsfera o de un líquido está definida

porlaexpresión¿: g(l - k2uz), dondeg =32 .2 ft/ s2 , k es una constante y v es la velocidad

de la particula en ft/s. Inicialmente su posición

esfo : 0 y la velocidad €s u¡ = 0' Determine la

teiocidad ü como funciÓn de la posiciÓn y'

11-25 Se dispara un proyectil en direcciÓn vertical pa-

ra investigaciones de la atmÓsfera' Calcule la

máxima altura que alcanzarl el proyectil si su

velocidad inicial es uo = 500 m./s y su acelera-

ciÓn es constante y hacia abaio, a = 9'81 rnls2'

11-26 En el problemall-25' calcule el tiempo de vue-

lo transcurrido para cuando el proyectil toque

de nuevo el suelo, y Ia velocidad de éste justo' antes del imPacto.

fl-n En pruebas de laboratorio donde se simulan im-

pactos sobre cascos protectores, se deja caerunmartillo desde una altura de 3 m. Calcule la ve-

locidad del martillo justo antes del impacto si

durante la caída libre de éste está sujeto a una

aceleración constante de 9.81 m./s2 hacia abajo'

¿Cuál es la velocidad inicial requerida del mar-

tillo, estando a una altura de 3 m'' para simular

una caída libre desde una altura de 20 m?

11-?8

4-n cTNEMATTcA DE PARfcuLAS: ANALlsls EscALAR

Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba

saliendo de la mano del niño en el punto O con

una velocidad oo : 30 m,/s en el tiempo r : 0'

La aceleración de la piedra debida a la gravedad

es constante e igual a 9.81 m./s2 hacia abajo'

Determine: (a) las ecuaciones p¿ua la posiciÓny

y velocidad u de la piedra; calcule (b) su altura

máxima y.¡,; (c) su velocidad cuando regresa al

punto O, y (d) la velocidad cón la que golpea el

agua l0 m abajo de O.

irttIr

..li

4r

iill

Fls.P\1-n

Fis. Pl1-28

MOVIMIENTO COLINEAL RELATIVODE DOS PARTICULAS

:'El movimiento de un cuerpo puede ser evaluado con respecto a otro cuerpo

en movimiento. Existen muchas r¿vones prácticas para analizar dicho mo-

vimiento relativo. Los casos más comunes son los de vehículos cuyo movi-

miento se observa con respecto a otros vehículos (por ejemplo, mediante

equipos de radar utilizados por la poücía). Algunas colisiones entre vehícu-

loi en movimiento requieren el análisis de su movimiento relativo. Otra área

importante del movimiento relativo es la mecánica estructural. El movi-

miento relativo de diferentes partes de una estructura dada (la cual, en con-junto puede o no tener una posiciÓn fija) es indicativo de las deformaciones

y posibles daños en los elementos estructurales. En casos simples los moü-mientos relativos pueden sustituine por un modelo de dos partículas mo-viéndose sobre la misma línea, donde las partículas pueden representar dos

cuerpos independientes o dos puntos distintos de un cuerpo deformable.Supóngase que dos partículas A y B se mueven a lo largo de la mis-

ma linea recta x en la figura ll-10a, pero que son independientes una de

otra. Las posiciones, velocidades y aceleraciones de A y B están dadas

con respecto a un punto fijo O coÍlo x¡, r)A, oA, Y xB, !a, a" respectiva-mente.

Escalarmente, la posición, velocidad y oceleración relativas de laparticula I con respecto a la partícula z4 se definen utilizando la figurall-lOa como sigue:

,s'a+r

ár;n*''l :-;

d t*'

o. 'i.,Y ¡-ra=al É-:.el Xl

'Ei

€j:

$:

=.-

.ti.--l:i

7't:.1:

i¡

i:

I

-;:

i,

Posición relativa: xstt: xs - x,t

velocidadrelativa: (+), uqA: uB - t)A

Aceleración relativa: eff),"r,^: aa - aA

In-ri I

I r1-1rl

I il-€ I

Nótese que de acuerdo con la figura ll-10 es necesario considerar los sig-nos, por ejemplo, xA/B : -XBt¿, uA/B : - lBtA, y así sucesivamente.

AutomóüI.4 AutomóüI8

'--w4w4C)AR

.r

P*aYB > vA'. +-vA/B vB,/A

parav¡ ) vn: -->

+-aA/B vB/A

(b)

FIGURA 11-10

Movimiento relativo de dosautomóüles

1 1.4 MOVIMIENÍO COLINEAL RELATIVO DE DOS PABTICULAS

SUGERENCIA

Al analizar el movimiento relativo de los dos automóviles de la fi-

gura 11-10, es úrtil recordsr que la not¡ción "B/A" significa que se

ñb."r"" la posición, velocidad o aceleración del automóvil B como

si uno fuera un pasajero en el automÓvil "{'

La trascendencia de las ecuaciones 11-11, ll-l2y 1l-13 varía, de-

pendiendo del problema en particular. Por ejemplo, en colisiones de ve--hi.ulor

la velocidad relativa es lo que viene a ser lo más importante,

mientras que en deformaciones estructurales, los cambios permanentes

en las posiciones relativas de puntos seleccionados indican la magnitud

del daño. En el capítulo 12 se presentan análisis vectoriales más generales del

movimiento relativo.

FIGURA 11-11

Cinta colocada alrededor de un pernofüo O

Movimientos relativos dependientes. Grados de libertad' En algunos

sistemas mecánicos, la posiciÓn de una partícula depende de la posición

de otra partícula o de varias otras partículas. Por ejemplo, una cinta fle-

xible pero inextensible se sitúa alrededor de un perno o como se muestra

en la figura 11-11. En este caso, únicamente una de las dos coordenadas

", o "u

(d.las particulas A y B) puede ser establecida arbitrariamente'

pues la-otra dependerá del valor de la primera. Entonces por inspección

de la figura 11-ll se obtiene que:

xo* xs: constante

Cualquier sistema en el cual rlnicamente pueda establecerse arbitraria-

menté el valor de una coordenada se dice que tiene un grodo de libertod.

Considérese la cinta del ejemplo anterior pero colocada como se

muestra en la figura l1-12. Aquí, la cinta ha sido colocada alrededor de

tres pernos, dos de los cuales son fijos (O y O') y uno que es movible (P)

en la dirección x. En este caso, la coordenada x¡ del punto,4 sobre la cin-

ta depende de la coordenada x¡ del punto B y también de la coordenada

xp del perno P, pudiendo ambas ser establecidas arbitrariamente. Por ser

dos variables las que pueden seleccionarse libremente y siendo indepen-

dientes entre ellas, se dicé que el sistema tiene dos grados de libertad. Pa'ra determinar la relación que existe entre las coordenadas, considérense

¿m crNEMArcA oE PARTIcuLAs: ANALlsls EScALAR

los siguientes hechos: la cinta AB ttene una longitud constante y las lon-gitudes de cinta en contacto con los pernos son también constantes. se-girn esto, se obtiene que:

x¿ * x" * 2xr: constante

La relación para las velocidades y aceleraciones de las partículas se obtie-ne derivando con respecto al tiempo la expresión de sus posiciones. Así,parala cinta de la figura ll-12:

uA+uB*2ur:gaalae*2ar:g

FIGURA 11.12

Cinta colocada alrededor de lospernosfiiosOy0yunpemomoviHe P

i

I

I

a-

;d.se

,de

iP)Éin-

Ldatser

ten-ePa-

i:nse

¡-4 MovrMrENTo coLTNEAL RELArlvo DE Dos pARncu¡-As ¡l8l

71

I

Suponga que un automóvil de policía P (Fig. 1l-13) está equipado con un comple-jo sistema de radar que le permite detectar simultáneamente a dos vehicrilos. En

uninstantedadour = 40mph, op: l}ft/sz,uttp:25mph, Qttp= - 8ft,/s2,

uatp = 20 mplt, aslp = - 13 ftls2. Calcule las velocidades absolutas, v.q! ua,!las aceleraciones absolutas, o,q! da, de los vehiculos A y B.

ap

YP> vA vB

FIGURA 11-13

Movimiento relativo de tres vehfculos en la rnismatrayector¡a

soLUcroN

De la ecuación ll-12:

uqp: UA - UP

Dt: up * uttp:40mPh + 25mPh : 65mph

Üe:0r * Dstp:40mPh + 20mPh : 60mPh

De la ecuación l1-13:

aAlP:aA-aP

aA: dp * a¡tp -- 10 ft/s2 - 8 ft/s2

: Zttls, (velocidad aumentando)

aa: dp* as|:10ft/s'z - 13it/s2: _3ft1s2 (velocidad disminuyendo)

En una carrera de automóviles por cametera, los vehiculos inician el recorrido con

intervalos de I minuto. Supóngase que el automóvil / precedió al automÓvil B, yque sus aceleraciones están definidas por la expresiÓn 6e-t/t m/ts2, donde f es el

tiempo en segundos y r es una constante. La máxima velocidad algnuada por el au-

tomóvil ,4 es de 165 km/h y la del automóvil B es de 170 km/h. Calcule la posi-

ción y velocidad relativa del automóvil ,B con respecto al automóvil A pata t :3600 s, midiendo el tiempo desde que el automóvil ,4 inició su movimiento.

CINEMAICA DE PARlICULAS: ANALISIS ESCALAR

ti

c(EIaümel atunaal au

dv/dtBrin ¡

i_!-a

&

soLUcroN

Primero, exprese las velocidades máximas en unidades de metros y segundos. Lavelocidad del automóvil-,4 es de 45.g3 m,¿s y la del I es de ql .n rn/i7 ;aveloc¡_dad y aceleración (absorutas) se determinan utilizando integrales ináeñii¿as ¿eacuerdo con las ecuaciones ll-l y ll-2. Esto es:

Ia,: Ioat:

Iee-,n at

y u:-6re-'l'*Ct

Ia": J,att: !earr-,r+Cr)ilt: gx2r-t¡t + Crt + C,

donde c¡ y c2 son constantes de integración que se determinan utilizando las con_dicionesiniciales: u= x:Qparaf = 0. Dé€stamanera:

Ct: 6t

Cz: -612Deut^n = 45.83 m/s = 6r¿yae,r¿*: 47.22Ns = 6ra,*

r¡ :7.638s y z":7.979,Las ecuaciones para velocidad y posición son:

u ¿ : 45.83(1 - r- ttl.638) mls

us : 47.22(l _ ,-tt.at) mf s

x¿: 45.83t * 350.q¿-'r't.e.t - 1) -xa: 47.22t + 371.61¿-ut.at - l) -

utilizando las ecuaciones t-ll y rr-l2,raposición y verocidad relativas puedencalcularse p?rd t = 3600 s:

t; : 3600s

ur(3600) : 45.83 m/s

xr(3600) :1.64.64km

f¡ : 3540s

usQ5a0) = 47.22m1s

xl35a0): 166.79km

3 COn

I B,yteselel au-

. posi-'at --o.

üate:4j.22 _ 45.93: 1.39mls

xs¡¿ : 166.79 km _ 164.64 km : 2l 5 km

CONSIDERACION DE RESULTADOSEl automóvil .4 recorrió cerca de 2.5 km antes que el automóvil g iniciara su mo_ümiento. con una diferencia de 5 km,zh entreios automóviles, es razonable queel automóv'g esté a un poco más de 2 km adelante del automóül ,4 después deuna hora de carrera. Nótese que el efecto del exponencial disminuye rápidamenteal aumentar el tiempo.

- i Nótese que éstas son aproximaciones. Normalment€, vp¡ se determina utirizandoctu/dt = 0, pero aquí dv/dt _=-'y

= ;;-;7;;l; q;;rüio*gr"au¿*.nte se aproxima a cero s€-gün I se vuelve grande. De esta manera ,^* ! _Ori:i,, * G = G,

EJEMpLo lr-s 4&l

ElcamiÓnáyelautomóvilBseaproximanunoalotrocomoSemuestraenlafi-gura l1-14, habiendo entre ellos r¡na distancia de 2 km cuando f : 0' El camión '4

está acelerando hacia la derecha a una razón a¡ = o'2rn/sz y €n f = 0 su veloci-

á"á .t ,, = 15 rnls. El automÓvil I está acelerando hacia la izquierda a una ra-

zónconstante aa = O.SJrty."f = 0suvelocidades ut = 20m/s'Calcule: (a)

ia posiciOn x, ób.. la autopista donde los vehículos se encuentran uno al otro, y

ój ia vetoci¿ái ael camion -4 relativa al automÓül B en ese instante'

soLUcloN

(a) Seleccione el origen del sisterna de coordenadas en la posiciÓn del ca-

mión,4 cuando I = 0. Ei lntido positivo será hacia la derecha y el negativo hacia

la izquierda.

Para el camiÓn '4:

at:0'2mls2

u^: lo.zdt + c,

:0.2t + Ct

u.c: 15 m,/s para / = 0, así que Cl : 15 Y

oo:(0.2t + l5)m/s

Adicionalmente, se obtiene que:

*^: t{o.zt + 15)dt + C2

:0.1t2+l5t+C2

xt = 0p8ft1 f = 0, asf que Cz = 0Y

x, : (0.1t2 + 15t) m

Para el automóül B:

a¡: -0.5m/s2

Por lo tanto:

0n: -20 m/s Para f :

,": J1-o.s¡ dt + C,

: -0.5r + C3

0, asl que C3 = -?.0 Y

o" : (-0,5t - 20) m/s

(a)

(b)

(c)

(d)

Pr

M cTNEMATtcA D€ PAFTIcUIAS: ANAUSIS EScALAR

(e)

I

t-

D

v

:a-:ia

xrt

-t

u, = 15 m/s¡

Posición donde se cncuent¡m

va = 20m/g

20)dt + C4

20t + C4

(a)

(b)

-Jto.s' *

-0.25t2 -

(e)

(c)

(d)

(e)

F__: rm

FIGURA 11-14

Movimiento relativo de dos vehfculosaproxirnándose

También, se obtiene que:

IA:

x! = * 2ü)0 m para f : 0, asl que Cq = 2Af0 y

x":(-0.25r2 -20t+ 2000)m (f)Puesto que en el instante en que (t-) en que los vehiculos se encuentran

xt = xa : x-, las ecuaciones (c) y (0 pueden igualarse obteniendo otra ecuaciónpara calcular f., lo que resulta en:

0.35r] + 35r. - 2000: 0

Resolviendo la ecuación (g), se obtiene:

r. : 40.7 s

)c^: 772m

(b) En I = tm - 40.7 s.

y también:

ue: 0.2(40.7) + l5 : 23.1mls

ua : -0.5(40.7) - 20: -40.4mls

Por lo tanto:

uttn: 0t - ua: 23.1mls - ( -40.4 m/s)

utts = 63'5mls

:E

EJEMPLo r-e /l85

7

El camión mostrado en la figura I l-15 se utiliza para levantar el contenedor .B de

un barco, por medio de un sistema de poleas. El cable de longitud.L es inextensi-

ble y todas las poleas tienen un radio r. El camión inicia su movimiento desde el

reposo en x : 0 y acelera hacia la derecha a una razón constante de 6 ftls2, hasta

recorrer una distancia de 75 ft hacia Ia derecha. Para el instante en que el camión

llega a x : 75 ft calcule: (a) La velocidad del camión, y (b) la velocidad del conte-

nedor .8.

soLUctoN

(a) Para el camión:

a -- 6ltls2 (a)

Puesto eu€ u = [ a dt + C1¡ erltonc€s

u:6t * Ct

Para f = 0, u = 0, así que Cr = 0. Esto es:

u : ór lt/s 0)Integrando de nuevo, se obtiene:

*: f , rlr + C,: lot dr + C,J"J:3t2 * Cz

Para f = 0, x = 0, así que Cz: 0. En general,

x : 3t2 tt (c)

Sea / = /¡ el tiempo para el cual x = 75 ft, de la ecuación (c) se obtiene:

15:3t2, o f/:5sDe acuerdo con la ecuación (b), la velocidad del camión es:

u : 6(5) ftls

: 30 [t/s

(b) La longitud del cable (empezando en el camión y a través del sistema de

poleas hasta llegar al punto P) está dada por:

IL: x * 1nr

+ h + nr + (.x, - l) + nr + (.x" - 1) + Ír + xB

o simplemente

3.xr*x:constante

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, se obtiene:

I3us*u:0 o ua:-;uf

(d)

Puesto que xB se tomó positiva hacia abajo, debe notarse que la velocidad us es

también positiva hacia abajo debido 4 eue ?¡ = + dxn/dt. Por lo tanto, cuando

el camión llega a x = 75 ft:.. 30ft/s

11

I 1-:

11-3(

11-35

FIGURA 11.15

Camión elevando contenedorcon un sistema de poleas

Un:

¡186 cTNEMATTcA DE pARTTcULAS: ANALrsrs EScALAR

3

- 10 ttls

tu

:t

leii-elta¡n.e-

11-29

sEccroN 11-4

Las posiciones de dls partículas á y.B están de-

finidas por r,a = 3t2 + 4 y xt = 3l - 2, donde

x está en metros y / en segundos. Calcule la ve-

locidad relativa u urn y aceletaciín relativa a s¡aparal = 3s.

tt-30 Las posiciones de dos partículas,4 y -B están de-finidas Por xe : t3 - 2t Y xa = 2t3 + t2 - 5,donde x está en pies y I en segundos. Calcule lavelocidad relativa a.orty la aceleración relativaa¿¡sPAtdt = 2s.

tf-31 Los movimientos de dos partículas,4 y ^B están

definidos por xa = 4t + 2y u a : 3t2 * l, don-dexestá en pies, v en ftls, y / en segundos. Cal-cule xs1¡, uat,a Y oat¿ para t : 10 s. CuandOt = 0,xB = I ft.

f-n Las velocidades de dos partículas,4 y.B estándefinidas por uA:4t2 + tlua:3t - 4,don-de Zestá en m/s y f en segundos. Calcule la po-sición relativa x 3 7 ¿ ! la aceleración r elativ a a s ¡

^para t = 5 s. Cuando t : 0, x¿ = xs.

1l-Ct El movimiento de dos particulas I y B está defi-nido por a,q = 20 ! aa : t + 2, donde ¿ está enm/sz y t en segundos. Calcule xtta y a,ua Data,f = 5 s. Paraf : 0,x¿ = Xa: U¿: uB = 0,

11-34 El movirniento de dos partículas ,4 y B está defi-nido Por ae = 3t ! us : 2P donde 4 está enft/s2, uenft/s, y t en segundos. Calculexs¡nyaB/Aparaf = 3 s. Paraf = 0,xa = I ft,x, : 3

ft,uo = 2uB = 2ft/s.

11-35 Los automóviles á y I están viajando el unohacia el otro con velocidades constantes, comose muestra en la figura Pll-35. Inicialmente,x.a : 0 y x¡ : 1000 ft. Calcule cuándo y dóndese encontrarán los automóviles con respecto a laconfiguración inicial mostrada.

,l

11-36 Los automóviles.4 y B están viajando en la mis-ma dirección con velocidades constantes comose muestra. Calcule la distancia entre los auto-móviles l0 s después del instante en que estuvie-ron separados 500 m.

F¡9. Plf €7

11-38' El automóül de policía P (inicialmente sin mo-vimiento en el carril de acotamiento de la auto-pista) inicia su movimiento cuando un automó-vil z4 lo pasa con una velocidad constante de 60mph (Fig. Pll-37). El automóvil de policía ace-lera a una razón constante de 8 ftls2. Calcule (a)la yelocidad del automóvil P y la distancia que- habrá recorrido al alcanzar al automóvil ,4, y(b) la posición, velocidad y aceleración del auto-móvil P relativas al automóvil A para / = l0 s.

PRoBLEMAS 8l

a)

(b)

(c)

11-97 El automóvil de policía P inicia su movimientocuando un automóvil á lo pasa a una velocidadconltante de 40 m,zs. El automóvil P acelera auna razón constante de I m,/s2. Calcule la velo-cidad del automóvil P y la distancia que habrárecorrido cuando alcance el automóvil á.

Autopista ffi-

trHa;i@

ade

(d)

]g €S

mdo

Flg. P11{5

r'l

i

11-31 El conductor del automóvil á pasa a un auto-móvil de policía sin identificación P en x = 0.

En ese instante el automóvil P acelera a una ra-zón constante de 3 ftls2 yá desaceleraa una razÓn

constante de 4 ft/sz. Calcule el tiempo requeri-do para que el automóvil P alcance aI automÓ-vil A.

0

+vAo= 100 ft/s

4vpo = 60 ft/s

Fig. P11-39

11-40 Dos aeroplanos .4 y .8 están separados el uno

del otro en la direcciÓn del moümiento por una

distancia de 2 km, y están viajando en la misma

dirección con las velocidades dadas, cuando el

aeroplano B acelera a una razÓn constante de

15 m,/s2. Calcule el tiempo requerido para que Balcance a A,

-ñ

'r=,ñffits

B

=------11.-\ ---"-u"o = óoo km/h

-

Flg' P11'40

11-41 En una simulación de colisiones entre vehícu-

los, dos automóviles,4 y B inician su movimien'to desde el reposo aproximándose el uno alotro, siendo la distancia que los separa de 400

m. Los automóviles tienen aceleraciones cons-

tantes de 6 m/s2 para A y 5 m/s2 para B. Calcu-le la velocidad relativa y la posición de los auto-móviles con respecto al origen señalado justo

antes del impacto.

n

i--"@)E¡DE)

11-42 Dos automóviles de carreras A y -8 inician su

moümiento estando uno al lado del otro para

una carrera de cuarto de milla (1320 ft)' Suponga

que cada automóül puede acelerar constante-

mente en toda esta distancia. Sus aceleracioneo

son 4¡ = 5O.c0ft/s2y aa : 50.aftls2. cdculela velocidad relativa y la distancia entre los au-

tomÓviles cuando el automÓvil B cruce la línea

de meta. Desprecie la separación lateral que

existe entre los dos automóviles.

lt-¡fi| Los bloques A y B están inicialmente en reposo

cuando l¿ = 3 m e la : 2 m.El bloque B es

acelerado hacia abajo a una razÓn constante de

0.5 m/s2. Calcule la posiciÓn relativa vertical y

la velocidad relativa de los bloques 3 s después

de iniciado el movimiento.

11-44 Los tres bloques de la figura están inicialmente

en reposo cuando /,q = 5 ft, y "

=.6 ft, ey. : $ f¡.Ambos bloques, B y C, son acelerados hacia

arriba a una razón constante de3 ft/s2. Calcule

la posición relativa vertical y la velocidad relati-va de los bloques A y B para un tiempo de 2 s

después de iniciado el movimiento.

s

Mco

CA

Fig. Pll-/r¡

Fig. P1144

¿188 cTNEMATTcA DE pARTTcuLAS: ANALrsrs ESc.ALAR

F:

an suI parapongatante-:ione¡alculeos au-r línea,l ou.

reposoreBesurte de:tical yespués

Sección 11-1

posición, velocidad y'aceleraciÓn en moümiento rectilineo.

VELOCIDAD PROMEDIO:

AxUnron :

lf

donde Ax : desplazamiento neto

Af = intervalo total de tiemPo

VELOCI DAD INSTANTANEA:

u: tím 4I:4: ,¿¡,-o Af dt

donde x : coordenada de Posiciónt = tiempo

ACELERACION PROMEDIO:

Ausprom - n

donde Au = cambio neto de velocidadAl : intervalo total de tiempo

ACELERACION INSTANTANEA:

,. A¿, du4: llm

-::: U: X

¡¡-6 Af dt

Sección 11-2

Medidas de la posición, velocidad y aceleración, y cantidades derivadascomo funciones del tiempo

Ver ejemplo representativo en la figura de la página 490.

CARACTERISTICAS TIPICAS

l. u - 0 se encuentra en un máximo o mínimo local de la curva posición-üempo.2. a = 0 se encuentra en un máximo o mínimo local de la curva velocidad-

tiempo.

3. El área bajo la curva velocidad-tiempo en un intervalo de tiempo especifi-cado es igual al desplazamiento neto en ese intervalo.

4. El área bajo la curva aceleración-tiempo en un intervalo de tiempo especifi-cado es igual al cambio neto de velocidad en ese intervalo.

ialmente

'c = 8ft'os hacia. Calculead relatirode2s

E

:

RESUMEN

|,'-

I

I

I

I

i

;

r,i

.ir'

EJEMPLO:

f1li:1:

:"

dt

(a)

u=6t -8

(cl

(

IIrL

Sección 11-3

Expredones útiles basadas en la aceleración

PARA PROBLEMAS OUE ENTRAÑAN VELOCIDAD,

ACELERACION Y TIEMPIO:

du roo:fr + I,i"ou = [i" at

PARA PROBTEMAS OUE ENTRAÑAN VELOCIDAD,

ACETERACION Y POSICION:

u ilu : a dx ::> ['ru ,tv : [',n d*

490 cTNEMATIcA DE pARTrcuLAs: ANALlsls EscALAR

€

is

!;--

b*-,

, : f'rtttl itt + uo

r:Í, dt+xo

ut:z ['"f(r)dx+u2s

Casos especiales

l. Para aceleración g constante:

[,""ar: o [iat :> u: at + ao

f,ur:o Ji"a* + o2 :2a(x-xs)+ufr

Posición *: lat2 + ¿'o¿ + -xo.

2. Para aceleración variable a = f(t)l

l,:"ou :

Ii¡t,t ¿, :+

j-a*:Jluar +3. Para aceleración variable s = flx):

[,"o, ur: f".ft.rt ,r., +4. Pa¡a aceleración variable a - .f(u\:

":+ + ¿,:! + t:f,dt:1,d,¿lt f(u¡ Jo *' - J,' f(u\

a:.t'(u): 'Í: + .: fi o.: t:#

Sección 11-4

Movimiento relativo de partículas A y BLas posiciones, velocidades y aceleraciones de.r4 y.B están dadas con res-pecto a un punto fijo sobre la línea de las partículas comoxr, v.t, oey xa,u s, o s resfi,ctivamente.

POSICION RELATIVA:

xsl¡:xa-XA,

VETOCIDAD RELATIVA:

l1g¡1:06-OA

ACELERACION REIATIVA:

oB¡¿: an - aeNof¿; Las siguientes ecuaciones se refieren a la posición, velocidad y ace-

leraciones..\AtB - - ^BlA

L'rtB: -uBi.letc.

Los grados de libertad de un sistema mecánico equivalen al númerode coordenadas independientes requeridas para definir la posición delsrstema.

REsuMEN ¡f91

Pin

t;

rl

il

pr

SE

11-¡t5 La posición de una particula P moviéndose enlinea recta está dada por x = 3t2 - l8t + 4,donde x está en metros y t en segundqs. Calcu-le: (a) la posición, velocidad y aceleración de Ppara I = 0y t :4 s; (b) el desplazamiento des-de/ = 0hasta/ = 4s,y(c)ladistanciatotalre-corrida en el inciso (b).

El movimiento rectilíneo de una partÍcula estádefinido pory = v2/25, donde yestá en pies y uestá en ftls. Para el tiempo t = o,t¡o = 4 ft/s.Calcule la posición, velocidad y aceleración dela partículacuando f = 4 s.

11-47 La aceleración de una partícula está definidapor la expresifui a : 4 sen I donde a está en

m/sz y t está en segundos. Para el tiempo / = 0

la posición €s.rs : 0 y la velocidad uo = 6 ttt7t.Calcule la primera posición x¡ después del ori-gen, donde la velocidad es máxima.

11-/a Una caja se suelta desde un helicóptero suspen-

dido a cierta altura sin movimiento. La acelera-ción hacia abajo de la caja es estimada como(32.2 - 0.02 u2) ftls2 donde o está en ftls. Cal-cule la velocidad de la caja después de habercaído (a) 200 ft, y (b) 400 ft.

11-¿tg Una particula cayendo hacia un planeta es acele-

rada por la gravedad de ese planeta de acuerdocon a : - LJolR2/f) donde go es la aceleraciÓn

de la gravedad del planeta medida en su superfi-cie, R es el radio del planeta y r es la distanciadesde el centro del planeta esférico hasta la par-tícula. Obtenga una ecuación pard la velocidad u

con la cual la partícula en caída libre desde unaaltura /¡ sobre la superficie, golpeará la superficieal llegar a ésta.

11-50 Considere el simulador de impacto de automGviles mostrado en la figura Pll-50. La vía estáhorizontal y el carro es acelerado uniformemen-te (a = constante) en una distancia de 4 m des-de ue = 0 hasta u = 100 km,zh. Logrado esto, elcarro sufre una desaceleración uniforme de talmanera que se detiene totalmente en una distan-cia de I m. Calcule el tiempo total transcurridodurante el movimiento completo del carro.

F¡9. P11-50

Carro de prueba d€ un simulador d€ impactos. Por conesfa de MTS SysteffiCoDoration. Minn€Dolis, Minnesota

Dos acelerómetros (medidores de aceleración) .4

y B son montados en el fuselaje de un aviÓn para

realizar mediciones en una prueba estructural

(dos de estos transductores se muestran en la fi-gura Pl l-51). ,4 es colocado ErL x¿ = l0 ft y B en

xs = 15 ft. De aqui que, inicialmente, xat¿,: 5 ft.Iniciando sus mediciones al mismo tiempo, los

acelerómetros indican eve on = (?r2l5000) sen

Qrt/10) ft/sz y as = - (n2/60ClJ) sen (rt/12)ftls2. Calcule el valor de x6¡n para t = l0 s. Su-ponga que todos los movimientos son a lo largodelejexyqtteoA- Ds:0Parat = 0'

Fig. P11-51

Dos acelerómetrc colo€dos en el fu*laie de un nión. Cortesfa de Th€ BoeingCompany S€attle, Washingbn

cc

so

Es

bl'Dt

SEt

sE(

sEC

492 cTNEMATTcA DE pARTTcuLAS: ANALrsrs EscALAR

.

:

:

nt¡*

I

Cinemática departículas:Análisis vectorial

Puesto que la velocidad y la aceleración tienen magnitud y dirección, estoimplica que son cantidades vectoriales y por lo tanto deben ser tratadascomo tales. Los métodos vectoriales que se desarrollan en este capítuloson útiles en el análisis de una gran cantidad de problemas en dinámica.Estos métodos son muy convenientes cuando es necesario resolver pro-blemas de movimiento complejos en dos e inclusive en tres dimensiones.Decididamente se recomienda a los estudiantes el estudio profundo de losprincipios básicos y métodos del análisis vectorial.

SECCION 12-1 se introduce el método matemático para determinar los vecto-res de velocidad y aceleración a partir del vector de posición de una partícu-la que se mueve en una trayectoria curva. Este análisís es la base para es-tudiar todos los movimientos que son más complejos que el movimientorectilíneo. Los conceptos de las secciones 11-1 y 12-1son fácilmente corre-lacionados.

SECCION 12-2 se presenta un análisis de los aspectos físicos del movimientode una partícula erl una trayectoria curva. Diversos conceptos y definicio-nes dados aquí son esenciales para trabajar la mayoría de los problemas di-námicos.

SECCION 12-3 se presentan los conceptos y el análisis de las componentesnormal y tangencial de la velocidad y la aceleración de una partícula, mo-viéndose en una trayectoria curva. EstaS componentes son frecuentemen-te utilizadas en dinámica, y por lo tanto requieren un estudio completo. Lasexpresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración en el movimientocurvillneo (Ecs. 12-8 y 12-'l1l y sus implicaciones serán especialmente dig-nas de recordar por su gran utilización.

SECCION 12-4 se amplían los conceptos de las componentes normal y tangen-cial de la velocidad y la aceleración para definir las componentes radial ytransversal en coordenadas polares. Estas coordenadas frecuentemente

4'a

ili-:n

t.)s

xl

¿)

J.io

g+rgfl;{t-? 1

1i3:6

l'i

t$,W

Trayectoria

-

son convenientes para resolver problemas de movimiento plano. El análisis

en esta secciÓn también proporciona una práctica útil para el trabajo con

derivadas con respecto al tiempo de vectores unitarios.SECCION 12-5 se presentan las coordenadas cilíndricas, las cuales son utiliza-

das en el análisis del movimiento tridimensional. El concepto y la aplicación

de estas coordenadas están basados en las coordenadas polares. La com-

plejidad matemática adicional es mlnima.

SECCION 12-6 se presenta la deducción de la velocidad y aceleración de una

partícula utilizando coordenadas esféricas. Esta deducción proporciona

una experiencia útil en mecánica vectorial tridimensional, pero por ser bas-

tante difícil se omite de muchos cursos.

SECCION 12-7 se describe el análisis vectorial de los movimientos absoluto y re-

lativo de dos partículas utilizando un sistema de coordenadas rectangulares

en translación. Las componentes radial y transversal de la velocidad y la

aceleración, estudiadas en la sección 12-4 utílizando coordenadas pOlares,

son aplicadas para resolver algunos problemas de movimiento relativo.

MOVIMIEI\ITO CURVILINEO.COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES

El movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva se cla-

sifica como movimiento curvilíneo plano (bidimensional) o como movi-

mienta curvilíneo espacial (tridimensional). Los conceptos básicos para

analizar todos estos movimientos pueden establecerse considerando el

movimiento de una partícula en el espacio. El método matemático desa-

rrollado aquí es sencillo y permite inmediatamente la solución de algunos

problemas de movimiento curvilineo. Un análisis más detallado se pre-

senta en la sección l2-2, donde se muestran los conceptos físicos del mo-

vimiento curvilíneo que deben ser comprendidos para resolver una ma-

yor variedad de problemas.

Goordenadas cartes¡anas rectangulares

Un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares fijo es útil para

analizar el movimiento curvilineo. Considérese que el vector de posiciÓn

r de una partícula P está dado en términos de componentes rectangulares

x, !, Y z como se muestra en la figura l2-1a. Con los vectores unitarios i,j y k, se tiene que:

r: -Yi + _li + zk

Supóngase que x, / y z son funciones del tiempo I derivables. Enso, la velocidad y la aceleración pueden expresarse como:

l

'il:

I rr-1 Iese ca-

@

rl,-.t

tlrdt

tlv

tlt

rl.t . dt' . tl: .: ii+ ;j + ; k : i'¡ -¡ 1tj + :k

:'ft, **¡ **u: ti + ]ri +:k

(

It¡

cr,

FIGURA 12.1

Vector de posición r en

coordenadas rectangulares

puesto que la derivada con respecto al tiempo de un vector unitario en un

marco de referencia xyz fijo es cero; ¿,.. : i, c.. : i, y así sucesivamente,

son las componentes escalares de los vectores correspondientes. Los signos

de estas cantidades indican la dirección de las componentes en la direcciónpositiva o negativa de los ejes coordenados. Por lo tanto, el movimiento

¡t94 cTNEMATTcA DE pARTTcuLAS: ANALrsts vEcroRtAL

rálisiso con

ftiliza-;acióncom-

e una'ciona

rr bas-

)yre-ularesdylallares,ivo.

ie cla-movi-; parardo eldesa-

gunose pre-:l mo-a ma-

I pararsición

;ularesrrios i,

Tr-il:se ca-

El

en unnente,signosecciónniento

curvilíneo en general es la suma vectorial de movimientos ortogonales que

á.urr.n simultáneamente en las direcciones x, y Y z. Por ejemplo, la veloci-

áá¿ aUsotota v de la ¡iartícula P en la figura l2-1b es la suma vectorial de

las velocidades vj, vi Y u'k'

Con un procedimiento a la inversa, las componentes de la acelera-

ción o la velocidad pueden ser individualmente integrados con respecto al

tiempo para obtener las componentes de la velocidad o posiciÓn respecti-

vamente.

ASPECTOS FISICOS DE LA VELOCIDADY I-A ACELERACION EN

EL MOVIMIENTO CURVILINEO

para comprender los aspectos físicos del movimiento curvilíneo, es nece-

sario analizar con detalle los cambios de los vectores de posición y veloci-dad. Los efectos de estos cambios sobre la aceleración de una partículason complejos, pero es esencial estudiarlos para poder resolver muchosproblemas en dinámica.

Considérese una partícula que se encuentra en la posición P en el

tiempo I y en la posición P' en el tiempo t + At como se muestra en la fi-gura l2-2a. Estas dos posiciones están definidas, con respecto al origende un sistema de referencia fijo, por los vectores r y r' . El vector Ar defi-ne el cambio del vector de posición r a r' , mientras que As representa eldesplazamiento real de la partícula a lo largo de la trayectoria de su mo-vimiento.

La velocidad promedio de la partícula en el intervalo de tiempo Af,está definida como el cociente Ar/A,t y es un vector en la misma direcciónde Ar puesto que A/ es un escalar. La velocidad instantánea v de la par-tícula en un tiempo / está definida en el límite, como:

Arv: lím -¡r-o Afd¡dt

Según Al se aproxima a cero, el punto P' se aproxima al punto p, y elvector Ar se convierte en un vector tangente a la trayectoria de la partícula.Por lo tanto, el vector velocidad v en cualquier tiempo t es tangente q latrayectoria de la partícula, lo que se indica en la figura 12-2b. Este hechoserá muy útil en el análisis del movimiento curvilíneo.

La magnitud u del vector v se denomina rapidez de la partícula, lacual puede también ser definida por el cociente de las cantidades escala-res As y At en el límite como:

,. As ¿/sU: llm

-: -¡,-6 Af dt

donde s es la longitud a lo largo de la trayectoria de la partícula.FIGURA 12.2

Definición de la velocídad deuna partícula¿tflsI2.2 ASPECTOS FISICOS DE LA VELOCIDAO Y LA ACELERACION EN EL MOVIM¡ENTO CURVILINEO

f'€:

l

IcFIGURA 12-3

Definición de la aceleración de unapartícula

La aceleración de la partícula es analizada considerando vectoresde velocidad en dos posiciones cercanas a lo largo de la trayectoria, comose muestra en la figura l2-3a. Por conveniencia, los vectores v y v' se

presentan con un origen comrln O' enla figura l2-3b. El vector Av defi-ne el cambio del vector v a v'.

La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempoAt está definida como el cociente Av/At,la cual es un vector en la mismadirección de Av puesto que Af es un escalar. La aceleración instantánea tde la partícula en el tiempo f se define como:

Pgl

d(,. Av dva: llm

-:-i*o Ar dt

El vector de aceleración es tangente a la curva descrita por la punta del vec-tor de velocidad v, la cual es llamada cuwa hodógrafo del movimiento y seilustra en la figura 12-3c. Por lo tanto, la aceleración no es tangente a latrayectoria de la partfcala, y en el movimiento cumilíneo no es colineal conel vector de velocidad. Un caso general se muestra esquemáticamente en lafigura 12-3d.

COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL

Ya que el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria de la par-tícula, frecuentemente conviene definir la velocidad y aceleración de lapartícula utilizando componentes en las direcciones tangente y normal ala trayectoria curva en ef plano de ésta. Los conceptos de esta táctica se

establecen, por ventdjas de claridad, utilizando el movimiento plano, pe-ro son válidos también para movimientos en el espacio.

CINEMAICA OE PARTICULAS: ANALISIS VECTORTAL

Dt

-

'una

ctorescomov' se

r defi-

iemponismaánea s

1rillel vec-

lto y se

úeala:al conle en la

la par-ndelarrmal a

:tica se

no, pe-

Movimiento curv¡líneo Plano

Las direcciones tangepcial y normal a la trayectoria se denotan por los

vectores unitarios trr Y trn respectivamente, como se muestra en la figura

l¡Aa.Elvector n, se selecciona en la dirección del movimiento, mientras

que el vector n, es normal a nr y es seleccionado en la direcciÓn del centro

á..u*utut" de la trayectoria. Estos vectores unitarios giran en el sentido

contrario a las manecillas del reloj a medida que la partícula se mueve a

lo largo de la trayectoria mostrada en la figura l2-4a.Los vectores tangentes nr y ni se representan en la figura.l2-4b con

un origen comtln O' .El vector dn, define el cambio de este vector unita-

rio de n, a ni debido a la rotaciÓn infinitesimal d0. Utilizando la aproxi-mación de que la longitud del arco generado en esta rotación es igual a la

magnitud del vector dn,, se tiene que: dn, = n, d0 : d0, puesto que nr : l.por otra parte, puede observarse en la figura que para una rotación infi-nitesimal, el vector dn, se ubica en la misma dirección del vector nn, es de-

cir, puede expresarse que dn, : dían, o:

r.taEste resultado es útil para determinar la aceleración en términos de sus

componentes normal y tangencial, como se muestra a continuación.La velocidad v de la partícula es siempre tangente a la trayectoria

(Sec. l2-2), de tal manera que puede expresarse como

y: unr flrnLa aceleración se obtiene derivando la ecuación l2-8 con respecto altiempo f,*

Para eliminar la derivada del vector unitario n, puedenguientes sustituciones:

aonde:fr: nn (de la ecuación l2-7)

d0 I : curvatura de la trayectoria (Fig. 12-5)ds p @ : radio de curvatura de la trayectoria)

ds

ñ: , de la ecuación l2-5

De esta manera:

\ttntfr

"f,'{b)

dn,n^: de

r2-3 coMpoNENTEsNoRMALyTANGENcTAL 497

FIGURA 12-4

Vectores unitarios para movimientocurvilíneo plano

dv du dn.N:-::ll,*u-=:

dt d.t dt

dn, _dn,d0 ds

dt d0 ds dt

dn,

dt

= ti^(^je * ,lB): {/ - '(tB

r,-rr\At Lt/ ,lB*A,t,

tTilefectuarse las si-

L)

--n¡pCantidades utilizadas para definir lacurvatura de una trayectoria

lTr-10 I FIGUHA 12-5

-_-, +.La.reglaparaladerivacióndeproductosdefuncionesescalaresseaplicaparaladel

producto de una función escalar,4(r) y una función vectorial B(¡) de la nrisma va¡iable l:

{!!) : li*{/ 'lix9-* 1B¿--1Itlt i;-; A¿

FIGURA 12-6

Aceleraciones normal y tangencial

Trayectoria dela partícula ''

sobre el cilindro

y la aceleración de la ecuaciÓn l2-9 puede expresarse como:

'/ nlpunoosculador/ contiene un corto

'/ segmento de trayectoriaenPylosvectoresunitarios n, y nnen ese punto

FIGURA 12.7

Definición del plano osculador

du Lr2A:-7nr+-n¡rtt p

f1r-fi]

donde las componentes normal y tangencial de la aceleraciÓn son:

tlu L)z

Qt:-; Qn:-arp

Nótese que c, es igual a la variaciÓn con respecto al tiempo de la magni-

tud de la velocidad de la partícula, y que puede ser positiva o negativa de-

pendiendo de que la magnitud de la velocidad a lo largo de la trayectoria

isté aumentando O disminuyendo, a diferencia de an que es siempre posi-

tiva, estando el vector a" dirigido hacia el centro de curvatura de la tra-

yectoria, como se muestra en la figura 12-6.

Movimiento curv¡líneo en el espacio

El análisis del movimiento curvilíneo en el espacio se efectúa como una

extensión de iós conceptos utilizados para el movimiento curvilíneo en un

plano. La relación enire el movimiento en un plano (situación bidimen-

sionat¡ y el movimiento en el espacio (situaciÓn tridimensional) se basa en

el hecho de que en cada punto de interés sobre la trayectoria de la partícu-

la, puede trazarse un plano sobre el cual se encuentre al menos una pe-

queña parte de la trayectoria, es decir, el movimiento de la particula en la

vecindad de este punto de interés podrá ser analizado utilizando los mé-

todos establecidos para el movimiento en un plano'

Para este caso, es necesario definir las direcciones de los vectores

unitarios trr Y trn. Igual que en el movimiento plano, n' será tangente a la

trayectoria de la partícula y en la direcciÓn del movimiento, mientras que

n¿ será normal a nr y en la dirección del centro de curvatura de un peque-

ñó segmento de trayectoria en la vecindad de la partícula. El plano que

contiene los vectores unitarios or Y trn en una posiciÓn dada de la partícula

se conoce como plano osculador, y existe un número infinito de planos

osculadores a medida que la partícula se mueve a lo largo de una trayecto-

ria tridimensional. Este plano se ilustra en la figura l2-7 parauna paltícula

que se mueve hacia arriba en una trayectoria hetcoidal. En esta figura se

muestra el plano osculador que contiene un segmento de la trayectoria en

la.vecindad del punto P y los vectores unitarios sobre este plano.

d(ti(

Pa

Tar

Par

Del

ne l¡

Para

I

Iini-de-lria¡si-:ra-

En el graficador automático de ra figura 12-ga se utiliza un bolígrafo p para tra_zar la curva QP en el planox-y. La velocidad del carro portad,or ABestá dada co_mo: i = Qt + 4)ft/s y la velocidad del bolígrafo relativa al carro portaáor- AB es-tá dada como y = (2/y) ft,/s. En el tiempo / = 0 el bolígrafb se encuentra en laposición (x, y) = (l ft, 0). (a) Determine la ecuación de la curva ep graficaáa; (b)calcule la velocidad y aceleración der punto p para t = z s, y (ó cácule la pen-diente de la curva QP para t = 2 s.

soLUctoN(a) Puesto que j: 2t + 4, integrando resulta:

x:t2+4t+ClPara f : 0, x : l, así que Cr : l. Entonces sustituyendo:

x:t2+4t+I (a)De j, = 21t : dy/dt,lo cual puede expresarse como dt = Ly dy,2. E integrando seobtiene:

1..t: - v" + C.4'donde C, : 0 puesto que ), = 0 para I = 0. Por lo tanto, eliminando la variabletiempo de las ecuaciones (a) v (b) se obtiene la ecuación de la curva ep dada por:

(b) Puesto que *: 2t + 4. denvando resulta:

Parat:2s i:2(2)+4:8ftis.x,:zftls2

También, de la ecuación (b) se tiene queJ, : 2tt/2, y entonces:

(b)

unalunlen-lenícu-pe-

nlamé-

cresalaque

lue-queculalnos:cto-.culara se

ia en

": (*t vo + v2+ r)rr

, : +r: o7o7 Írts

v-t't'.,rV: -- t-rt''2

Paraf=2s:

t: -+ : -o.tiltttsz2J8

De todo esto, los vectores de velocidad y aceleración son:

':::.:111'.,^, (para, = 2s)^ : (zi _ 0.t7:it ftls2

(c) Puesto que el vector velocidad v es tangente a la curva, su dirección defi-ne la pendiente de ésta (Fig. l2-8b). Utilizando la regla de la cadena:

Parat=2s:

dy _dyldt _j,tlx dxldt *

dy 0.707

dx8: 0.0884

(b)

FIGURA 12.8

Graficador automático. Plano x-y

EJEMPLo 12-r ¿tftg

-

Desde un aeroplano se deja caer una caja con suministros para que llegue a tierra

en el punto .4 de la figura l2-9. La velocidad de la caja en el momento de liberarla

del aeroplano es igual a la velocidad de éste, vo = 200i ft'ls' La aceleraciÓn de la ca-

ja debida a la gravedad es a = - 32.2i fysz. (a) Calcule la distancia x requerida

para la liberación de la caja despreciando cualquier efecto del aire sobre la caja.(b) Calcule la distancia x para cuando ve : (200i + l0j) ftls.

soLUctoN(a) La velocidad en la direcciÓn x es constante durante toda la caída puesto

que no hay ninguna aceleración en esa direcciÓn. Encontrando el tiempo requeri-

do para la caída vertical y multiplicándolo por la velocidad en la dirección x, se

detirminará el desplazamiento de la caja en esta dirección. Utilizando la ecuación

ll-10 para aceleraciÓn constante en la direcciÓn /, esto es:

I,l-lo:u¡"t*1art'

0 - 300:0¿ + let ..r)r'2

(#)"':'

Entonces, para ladirección x:

4.32s : tIx-xo:u¡,t+)a*tz

x-0:uo*r+0x : (200ftisx4'32s) = 864 ft*

l0 frls:I

| - lo: t'o,.t + )a¡2I

0 - 300: l0r + ^(-lz.z)t'I

16.1t2-10¡-300:0

,_rotJroo+rg,3oo12.2

U¡cirrpis

del

s(ACI

ciórrial(b) Para uo, =

10 + 139

32.2

: 4.63 s y -4.01 s

Utilizando la raiz positiva, x = (4.63 sX200 ftls) = 926 ft-La raiz negativa no está en el dominio de la definición del problema.

x FTGURA 12-9

Movimiento de una caja en caída

libre

ACtden

ACE

Los ;

ERRr

Ldf¡tl¿

€Idrla

* Esto indica que, para que la caja llegue a tierra en el punto A, deberá liberarse del

aeroplano 864 ft antes de pasar por ese punto.

tierra,erarla

: la ca-

ueridar caja.

puesto

:queri-nx, se

uación

SUGERENCIA

Esta caja lleva un movimiento de proyectil, para el cual l¡s coordensdasrectangulares son las más útiles. Despreciando la rcsislencia del aire, puedesuponerse que el proyectil üene una velocidad constante en la dirección ho-rizontal (x) y una aceleración constante en la direccién vertical (y). Utilizsn-do los ejes mostrados en la figura 12-9, los ecuaciones del movimiento deproyectil pueden obtenerse de las ecuaciones 11-E, 11-9 y 11-10 como sigue:

uv: uor) - gt

ú:r3,-2s0-vo)l:lo*uort-Lrgt2x : üoxt

Nótese que la aceleración debida a la gravedad es hacia abajo, y por lo tan-to es negativa en las ecuaciones.

Un automóvil de carreras está'moviéndose a una velocidad de 50 m/s en una pistacircular (Fig. 12-10). El conductor, sabiendo que se acerca a un tramo recto de lapista, está acelerando el automóvil arazón de2 m/s2. Calcule la aceleración totaldel automóvil en este instante en el sistema de coordenadas mostrado.

soLUcroNACELERACION TANGENCIAL: La magnitud de esta componente de la acelera-ciÓn está dada como: at : 2 n/s2. Por inspección de la figura, la expresión vecto-rial de esta componente es:

"' : I'j',;,] fi:"í # sen20" j)

ACELERACION NORMAL: De Ia ecuación l2-l2y por inspección de la direcciónde nn, se obtiene que:

u2 502 lm/s)2

^,: V n, : - ZOifl (- cos 70' i - sen70" j)

: (-4.28i - 11.75i) m/s'?

ACETERACION TOTAL: La aceleración total es:

a : a, * a" : (_6.16i _ ll.07j) m/s2

Los resultados se muestran en la figura l2-10b.

ERHOR COMUN

Un error común al resolver problemas de moümiento curvilíneo consiste endespreciar la componenle normal de la aceleración. Este error ocurre mllsfrecuentemente cuando la partícula se está moviendo con rapidez (magni-tud de la velocidad) constante a lo largo de una trayectoria curva. Nóteseen esle ejemplo que aun si el automóvil no esluviera ¡celerando a lo largode la trayectoria, la componente normal de la aceleración existiría debido ala curvatura de la trayectoria.

(a)

ln caída

erarse del

dtat= 77 nl

Auto¡nóvil

(b)

FIGURA 12-10

Movimiento de un automóvil en unapista circular

501

v=50m/s

EJEMPLO 12.3

7

Se mide electrónicamente la posiciÓn de una partícula con carga eléctrica que se

mueve en un plano horizontal. Esta informaciÓn se suministra a una computado-

ra que emplea técnicas de ajuste de curvas para generÍ¡r la expresión analitica de la

posición de la partlcula, la cual resulta estar dada por r : fi + /i, donde r está

en metros y f en segundos. Para f : I s, calcule: (¡) la aceleración de la partícula

expresada en sus componentes rectangulares; (b) las cOmponentes normal y tan-

gencial de la aceleración, y (c) el radio de curvatura de la trayectoria de la par-

tícula.

soLUcroN(a) Para un tiemPo genérico t,

, : (r.i + raj) m

i:y=(3r2i+4¿3j)m/si:a: (6ti+l2t2j)mls2

para/= ls:r:(i+¡)mY : (3i + aj) m/s

a: (ói + l2j) m/s'z

Los vectores de posición, velocidad y aceleraciÓn para f = I s se muestran en la fi'gura l2-11.

(b) Puesto que el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria de la

partícula, su dirección define la direcciÓn tangencial. Seg{rn esto, el vector unita-

rio en la dirección tangencial está dado por:

nr: I

y la componente tangencial de la acelera"'on "r,

Nr: at\

dondea, = t. tlr. Paraf = I s,

',1 "it'

v 3i+4i 3..4.n,:i ñ:r'r,J

y por lo tanto:

a,:(6i*obteniendo:

ar:13.2¡rmls2

Utilizandoquec2: ú+4,a? : a2 - a? : (6 m/s2)2 + (12 m/s2)'z1 - (l3.2mls2)z

Se obtiene:

to= 2.4nnmls2

(c) Para f = I s, an : 2.4 m/s2 : ts2/p dondeu : 5 m./s, de aquí que:

ú2 (5 m/s)2P: o,: L4..,7s'

: 10.4m

CINEMATICA DE PARTICUI-AS: ANALISIS VECTORIAL

',0.(i' . i')

Tlm

_t

FIGURA 12-1I

Análisis del movimiento de unapartfcula con carga eléctrica Ma

w

ue se

tado-de lar está

:ícu1aI tart-i par-

En una operación de manufactura se transportan pequeños contenedores que en

una etapa del proceso son conducidos por un riel parabólico paralelp.al.suelo

tfi,e. 12-12). ¿cuál es la máxima magnitud de la velocidad o de los c6üilü'¿tÜiéÁ si

su aceleración total, causada por el riel parabólico, no debe exceder de 200 in/s2?

Suponga que el riel no cambia la magnitud de la velocidad de los contenedores.

soLucloNDe la ecuación l2-11, la magnitud del vector de la aceleración total es:

puesto que todo el movimiento en el riel ocurre en un plano horizontal (paralelo

al suelo), la magnitud de la velocidad de cada contenedor es constante en toda su

trayectoria, es decir, doldt = 0. Por lo tanto:

',2ome, : l- = 200 in./s2

p

Puesto que u es constante, a tendrá su máxima magnitud cuando el radio de cur-vatvra p sea mínimo. El mínimo radio de curvatura de una parábola se encuentraen su vértice (punto O de la hgura 12-12). La relación para el radio de curvatura en

un punto dado se conoce del cálculo diferencial,* y está dado por:

^ _Ll + (tl)'l,lxl2)r.1

' d'y1d*'

Valuando las derivadas requeridas en el punto O, el mínimo radio de curvatura es:

f1 + 013i2^-L

i -{;^Y - rt5

y por lo tanto Ia máxima velocidad podrá ser:

u2 :a^e^(p): (200 in./s']X5 in.) : 1000 in2ls2

p: 31.6 in.ls:2.64ftls

) (in.) horizontal

.r lin.) horizontal

FIGURA 12.12

Movimiento de partículas sobre un riel parabólico

+ GeorgeB. Thomas, lr.,CalculusandAnolyticGeomerry. Ediciónalterna(Reading,Mass.: Addison - Wesley Publishing Co., 1972), pág.601.

EJEMPLo 12-s 503

": [(#)' . (f)']"'

n la fi-

adelaunita-

que:

\Oo

ql'Ga

12-1

12-2

12-3

12-4

12-7

El vector de posición de una partícula en moü-miento curvilineo plano es r [(f2 + 3t)i + (3f -2)j] m, donde t está en segundos. Calcule la velo-cidad y la aceleración para f : 3 s.

La posición de una partícula está definida porx : 2f ! y = 4t2 + 3, dondexyy están en pies y/ en segundos. Calcule la velocidad y la acelera-ciónparaf=5s.

El vector velocidad de una partícu1" s5 y : [20li- (8/ + 3)jl ftls, donde /está en segundos. Cal-cule los vectores de posición y aceleración parat : l0 s si inicialmente xe = l0 ft yy6 = 15 ft.

La velocidad de una partícula está definida porox = 2t y or = 3t2 + 2, dondeo*y tsrestán en m/sy f en segundos. Calcule la posición y aceleraciónparat = 2ssiinicialmentex0 =zmyh= 5

m.

La aceleración de una partícula está definida pora, = 5m/s2y at = -9rn/s?,Éaracuando ro = 0.

Adicionalment€¡ prira fs = 0,.t0 = 0,-/o : 1ü)m,a', = 0 ! I)to = 0. Calcule la posiciÓn de la par-

tículaparat:2s.

El vector aceleración de una partícula es r :(lOti - 30¡¡ ftls2, donde f está en segundos.Calcule el vector velocidad para f = 3 s si ini-cialmentexs = lo= 0,yparaf : I s, ¡g¡, :4OftYh:25ft'

La velocidad de una partícula en movimientotridimensional está definida por v = 12ti + t\- fk) m./s, donde f está en segundos. Calcule elvector de posición parÍr f = l0 s si inicialmentexo = 0, lo = 2N m, yzo = 0.

La magnitud de la velocidad inicial de un proyec-

til en el punto O es derro = 100 ftzs con d = 30o.

Calcule la máxima elevación lr y la distancia hori-zontal d que alcanzará el proyectil despreciandola resistencia del aire.

sEcctoNEs 12-1, 12-2, 12-3

tl-

Fig. pl2-8

12-g Para la misma magnitud de la velocidad inicialus del problema l2-8, grafique h vs 0 y d vs d pa-

ra valores de d = 30o, 45o y 600.

12-10 Un proyectil se dispara con un ángulo 0 = 35o

hacia un blanco en el punto.r4 de la figura Pl2-8.Calcule la magnitud de la velocidad inicial u¡ re-querida para que d sea igual a 10ü) m. Desprecie

la resistencia del aire.

Vr=J¡7'iir"rl12-11 Unhelicópteroseencuentraen.r = 0e/ -- 300ft

' y se mueve a una velocidad ún = ffi ft,/s cuan-do, desde é1, se lanza un objeto hacia abajo conuna velocidad de 5 ftls. Calcule la distancia ho-rizontal O/ recorrida por el objeto. Despreciela resistencia del aire.

--->t,*0

12-5

12-6

12-8

Fig. P12-f

504 cTNEMATTCA DE pARTlculAS: ANALrsrs vEcronrAL

{l{%*,

€:,.1

4

tsek

12-12 Una persona lanza una roca horizontalmentedesde un punto elevado dirigida hacia un blancoen el punto,4. ¿Cuál deberá ser la magnitud dela velocidad inicial o6 de la roca para que dé enel blanco si ft = 40 my d = 30 m? Desprecie la

12-13 Una persona en la figura Pl2-12, lanza horizon-talmente una roca con una velocidad inicialt o : 30 ftls desde una altura ft = lü) ft. Calculela distancia horizontal d recorrida por la roca yel vector velocidad de ésta un instante antes dellegar al suelo eri el punto,4. Desprecie la resis-tencia del aire.

"12'14 En una c¿urera de esquí sobre nieve, il competi-dor salta en el punto O con una velocidad hori-zontal r:0. Calculeug si el cómpetidor toca sueloa una distancia s = 150 ft. Desprecie la resisten-cia del ai¡e.

ñg.P'12-14

l--.

12-15 Suponga que en el momento del salto la veloci-dad del competidor del problema 12-14 es v6 =(- 20i - 2i| m/ s. Calcute la distancia s recorri-da hasta el punto á donde toca suelo. Despreciela resistencia del aire.

12-16 Una persona lanza una pelota a 2 m del suelo ya una distancia de 7 m de una pared. La pelotatiene una velocidad inicial de oo = 20 m,/s a unángulo 0 = 70o. Calcule la altura i donde la pe-

lota golpeará la pared. Desprecie la resistenciadel aire.

L_.

12-17 En el problema 12-16, calcule la mínima veloci-dad os con la cual la pelota podría alcanzar laazotea que se encuentra a l8 m sobre el suelo.

12-18 Un proyectil es disparado hacia un blanco en elpunto,4 con una velocidad inicial üq : 3000ftls. Calcule los dos ángulos de disparo dt y dzcon los cuales el proyectil dará en el blanco, ylos tiempos requeridos de vuelo en cadá caso.Desprecie la resistencia del aire.

Fig. P12-18

PRoBLEMAs 5(F

inicials0pa-

= 35o

ll2-8.l)g f€-precie

300 ftcuan-

io con;ia ho-rprecie

Ftg.P12-12

Flg. P12-16

-t- ----.-

i..:

,iiI'i rl

12-19 Una tobera en el punto,4 descarga agua que

golpea el plano inclinado en el punto B. Calcule lavelocidad iniciál u,a requerida del agua si se des-

precia la resistencia del aire.

' Fig. P12-19

12-m Se lanza un proyectil desde el punto,4 con unavelocidadinicialuq = ai + U. Sesabequelaele-vación l¡náx es el doble de la elevaciÓn de la plani-cie superior medida con respecto.a ,4 . (a) Calcule

la velocidad final del proyectil vyjusto antes del

impacto en el punto B de la planicie superior.La aceleración de lagravedad es g. (b) Supongaque el mismo proyectil es lanzado desde el punto

.B con una velocidad inicial igual a -v¡. Calcule

la velocidad final del proyectil v/justo antes del

impacto en la planicie inferior. ¿Es este puntode impacto el punto.A?

12-21 Una partícula P se mueve a una velocidad cons-

tante r, : l0 m/s en un riel circular del radio

r -- 0.2 m. Calcule la aceleración de lapartículapara0 = 0y90o.

v

Una partícula P se mueve en un riel circular de

radio r = I ft; en el sentido de las manecillas del

reloj (Fig. Pl2-21).Para0 : 30o la velocidad es

ü = 1,0 ftls y está aumentando a razón de 2 ft/ s2'

Calcule el vector aceleración de la partícula en

el sistema de coordenadas xy mostrado.

Una partículaP inicia su moümiento desde el re-

poso en 0 = 0 y se mueve en el sentido contrario

a las manecillas del reloj en un riel circular de ra-

dio r : 0.5 m (Fig. Pl2-21')- Con la velocidad

aumentando a una razón constante, la partícula

se encuentra en 0 = 90o en un tiempo f = 0'l s

después de que inició su movimiento. Calcule los

vectoresdeaceleraciÓnpara0 = 0y0 = 90oen

el sistema de coordenadas xy mostrado'

Un automÓvil de carreras viaja a una velocidad

constadte o en un tramo circular de pista que

tiene un radio de 100 m. Calcule la velocidad

máxima permisible suponiendo que la compo-

nente noffnal de la aceleraciÓn no debe exceder

de 7 m./s2.

12-22

12-A

12-24

12-É El automÓvil del problema 12'24 se está mo-

viendo a una velocidad o = 20 m/s cuando el

conductor desea acelerar hacia adelante' Calcu-

le la máxima rahón ala cual o puede ser aumen-

tada si la aceleración máxima total no debe ex-

ceder de 1 m/s2.

12-26 En un parque de diversiones, se tiene un disposi-

tivo mecánico con asientos dispuestos en un pa-

trón circular de 20 ft de diámetro que gira en un

plano horizontal. Lavelocidad de cada persona

is de 18 fVs en el momento en que el operador

desea reducir la velocidad. Calcule la razón má-

xima permisible de reducciÓn de velocidad si la

aceleraciÓn total de cada persona no debe exce-

der de 40 fVs2.

;:

P-n En un parque de diversiones los carros de la

"montaña rusa" se mueven a una velocidad

a¡ = 60 ftls en el punto,4 donde el radio de cur-

vatura es rt : 30 ft' En este punto o¿ está dis-

minuyendo a una razÓn de 3 ft/sz' Calcule la

aceleraciÓn total de una persona en el punto '4 'Fis. P12-21

506 cTNEMATTcA DE pARTtcuLAS: ANALtsts vEcroRtAL

Fig. P12-2O

'cular de

:illas delrcidad es

e2 ft"/s2.

lcula en

).

sde el re-:ontrario.ar de ra-'elocidad

partícula'=0.1 s

úcule los

= 90o en

'elocidadrista que

'elocidad! COmPo-

: exceder

está mo-uando ele. Calcu-r aumen-debe ex-

r disposi-:n un pa-

ira en unr persona

operadoraz6nmá-idad si laebe exce-

¡os de lavelocidadlio de cur-

4 está dis-lalcule lapunto á.

A

Ftg.P12-n

12-n En un parque de diversiones, los camos de la

"móntaña rusa" se mueven a una velocidad o¡ :5 m./s en el punto I de lafignaPl2-21, donde el

radio de curvatura €s r¡ = 8 m. En estg punto üs

está disminuyendo a una razón de I n!s2. Cal-cule la aceleración total de una persona en elpunto .8, notando que los carros y sus pasajeros

mantienen la trayectoria dada por los rieles.

fl-n* Un automóvil prototipo se somete a una pruebaque evahla su movimiento en una pista dificil.Registros del movimiento muestran que para el

tiempo t, la velocidad del automóvil era t) = 40

ftls, y estaba aumentando a una razón de 3 ftls2,y su aceleración total era de 25 ft/sz. Calcule elradio de curyatura de la trayectoria ¿l,rl automGvil en ese instante.

12-$ Un aeroplano en una prueba de welo en pica-da tiene una velocidad oe = 200 m./s, disminu-yendo a una r.azón de 15 m,/sz en la parte mfubaja de su trayectoria. Calcule el radio de cur-vatura de la trayectoria en el punto I si la acele-

ración total dei aeroplano es de 80 m./s2 en este

punto.

'l

12-31X) Una partícula P se mueve con una velocidadconstante u = l0 ft,/s sobre una trayectoria de-finida por y = 4i ft. Calcule el radio de curva-tura ¡r y la aceleración a de la partícula para

x=0yx=Zft.

,//

F¡9. P12-31

12-9, Una partícula P inicia su movimiento desde elreposo en el punto O de la figura Pl2-31. Latrayectoria del movimiento se define por y :3l m dondexyy están en metros. La velocidadde la'partícula aumenta a razón constante y llegaax : I m en un tiempo t = 0.2s después de ini-ciado su movimiento. Calcule los vectores de

aceleraciónpora.r = 0yx = I m.

fZ-g3,-vlnl vector de posición de una partícula en movi-mientocurvilíneoplanoesr = [(4/3 + ti - ÉDm,con f dado en segundos. Calcule el radio de curva-tura p y la aceleración a de la partícula para lt = I s

'Ytz=2s'

12-?4 El vector de posición de una partícula está definidopor r = tl3i + (5C - fxl. ft, donde f está en se-

gundos. Calcule el radio de curvatura g y la ace-

leración a de la partícula para fo = 0 y fr = 5 s.

12-35S Se dispara un proyectil con una velocidad ini-cial xro = 1000 m,/s. Calcule el radio de curvatu-

. ra de la trayectoria del moümiento: (a) inme-diatamente después de que el proyectil sale delcañón, y (b) en el punto de máxima eleVación.Desprecie la resistencia del aire.

Fig. Pl2-35

PRoBLEMAs 507

lL-

I

MOV¡MIENTO DE UNA PARTICULAEN COORDENADAS POLARES

Algunas veces es conveniente analizar el movimiento plano de una par-tícula utilizando coordenadas polares. Esto se hace con la ayuda de los mé-todos desarrollados en la sección 12-3. De acuerdo con la notación co-mún en coordenadas polares, la posición, velocidad y aceleración de lapartícula son dadas en términos de una coordenada radial r y de unacoordenada angular 0. Desde luego, éstas pueden ser fácilmente converti-das a un sistema rectangular como se muestra en la figura l2-13a, dondex = r cosdy.y = rsend.

El desplazamiento infinitesimal dr se expresa en sus componentesradial y transversal dr,y dr6 respectivamente, como en la figura l2-13b.La magnitud de dr. es dr, el cual es un cambio infinitesimal en la longitudde r. Se hace la aproximación de que la magnitud drp es igual a la longi-tud del arco r de. Con esto, las componentes escalares radial y transversalde la velocidad son:

dr,r: ,lt:, Fz¡3 I

f1z1fl,,: ,#: ro : ro¡

Y'= tse¡.'

FIGURA 12.13

Análisis del movimiento utilizando coordenadas polares

Itr

a

---4,--io,n!

lo,

5(E cTNEMATTCA oE pARTrcuLAs: ANALrsrs vEcroRrAL

\

-\l'=Á'+

i)ts

:

I par-)s mé-rn co-de la

e unaLverti-londe

rcntesr-13b.rgitudlongi-versal

1r-131

donde los símbolos $ y c,r denotanla velocidad angular de una línea ra-dial.* Esta cantidad escalar es la variación con respecto al tiempo del án-gulo d. La magnitud de la velocidad angular d puede ser positiva o negati-va según el ángulo 0 esté aumentando o disminuyendo (Fig. 12_14). Lasecuaciones 12-13 y 12-14 pueden combinarse vectorialmente utilizandolos vectores unitarios tr. y tra @ig. l2-l3b), esto es:

v: ln, * r?n, frr-rs ILa ecuación l2-15 es la expresión para la velocidad en coordenadas pola-res. Las unidades de la velocidad angular son radianes por segundo. Lasunidades comúnmente usadas de revoluciones por minuto (rpm) debenser convertidas a rad,/sBg al utilizar las ecuaciones l2-14 o lZ_15.

El mismo resultado puede obtenerse trabajando directamente conla derivada del vector r : ¡rl,. Esta táctica es más larga que el ventajosométodo gráfico anterior, pero es tan útil en algunos análisis que los deta-lles de esta táctica se presentan aquí.

Primero, expresando los vectores unitarios ortogonales n, y n, de lafigura 12-13 como:

D,: cos0i +sen0j ne: -senpi f cosgj

Es importante darse cuenta de que los vectores unitarios ¡r.y no son cons-tantes únicamente en magnitud, pero que cambian su dirección cuando lapartícula se mueve hacia posiciones sucesivas. Estos cambios de direc-ción pueden representarse como una rotación desde n, hasta n;y desde n6hasta ni, como se muestra en la figura l2-r3c. Los cambios infinitesima-les de los vectores unitarios pueden determinarse de esta figura utilizandola aproximación de la longitud de arco, es decir, dft, = n, ¿6 = dA y dne= no d0 : d0 . Las derivadas con respecto al tiempo de los vectores unita-rios pueden expresarse utilizando estas ecuaciones o directamente de lasexpresiones para n¡ y n6. por ejemplo:

. dn, dn, d0ñ" : ---1 : -:l --- : I -sengi + cos 0i¡g : gn,' dt d1dt \

La obtención de la expresión para ñ, se deja como ejercicio para el lec-tor. En resumen, los cambios infinitesimales y las derivadas cón respectoal tiempo de los vectores unitarios ,on tub.rl"dus como sigue:

Magnitudes: dn, : ¡1, ¿g iln, : n, ¿6:d0 :d0

o

FIGURA 12-14

Velocidad angular positiva de unalínea radial

4an,-)nr

. dnoi":; l-1rLrl

- -gn,con estos vectores, puede obtenerse la verocidad de la partícula de-

rivando r = m., como sigue:

dr dn,: *n, * , É: in, + rqnu

Derivadas vectoriales: dn'nr: E: 0ne

lo que es idéntico a la ecuación l2-15.

+ El vector de aceleroción angular a se define en el apéndice A.

drV:-

dt

12-'14

r2-4 rvlovrMrENTo DE UNA pARTrcuLA EN cooRDENADAS poLARES S09

La aceleración de la partícula se obtiene derivando la ecuación 12-15

con respecto al tiempo:

a : i : in, f ln, * fln, + tln, + iÉ/il

Después de sustituir las expresiones para ñ, y ñe y agrupando términos,la aceleración en coordenadas polares es:

a: (i - r02)n, + Vg + Z¡l\n, t-1r.zol

De aquí, las componentes radial y transversal de la aceleración son:

Debe notarse que ar + ú, y a, * úu debido a que la derivada de la veloci-dad radial v, tiene componentes tanto en la dirección radial corño en latransversal, y similarmente para la derivada de la velocidad v6. La canti-dad á = (i = fl se conoce como la oceleración angular de una línea ra-dial, y tiene unidades de rad./s2.* Esta cantidad escalar es la variaciÓn con

respecto al tiempo de la magnitud de la velocidad angular 0. El signo de

la aceleración angular á depende de su dirección en el sistema de coorde-

nadas seleccionado (Fig. 12-15). Si la velocidad angular y la aceleraciónangular tienen el mismo signo, implica que la velocidad angular está au-

mentando.Un caso especial importante de movimiento curvilineo es el movi-

miento circular, para el cual r : constante y f = i: 0. En este caso las

ecuaciones 12-15 y 12-20 para la velocidad y la aceleración se convierten en:

v : ,0n, a: -r?tn, I rgn,

Estas ecuaciones concuerdan, como debe ser, con las ecuaciones 12-8 y12-11, una vez que se interpreta la diferencia en el sentido de los vectores

trn y tr.. Por lo tanto, para movimiento circular:

u:r0:ra

-.2

Qn:L: r0' : r0)'r

ar: i - r02

ae: r0 + 2f0

d0dT

t1r¿il@

dua,:E:ro:rd.

FIGURA 12.15

Velocidad angular y aceleraciÓn

angular positivas de una línea radial(la velocidad angular está

aumentando)

d

e

e.

N2.t

co

Laes

priradq

Parlascon

t2-lt El vector de aceleración angular ¿ se define en la sección l7-2.

510 crNEMArcA DE pARTrcuLAs: ANALrsrs vEcronrAL

W-r41

@

I- 1r¿61

t2-15

alnos,

12-n1

,n:

@@/eloci-,enlacanti-rea ra-!n con

¡no derorde-ración;tá au-

1

'adial

movbmo las

len en:

@12-8 y

ectores

12-a1

Fr¿s l

I 1r-16 I

COORDENADAS CI LI NDRICAS

H análisis del movimiento tridimensional de una partíc;la puede efec-

tuarse con cualquiera de estos tres métodos principales: utilizando coor-

denadas rectangulares, como se realizÓ en Ia sección l2-l; utilizando

coordenadas polares adaptadas para movimiento en el espacio, como se

describe en esta sección, o con la aplicación de coordenadas esféricas co-

mo se presenta en la secciÓn 12-6.

Las componentes de la velocidad y la aceleración obtenidas en la

sección l2-4 son también válidas para tres dimensiones. Unicamente es

necesario considerar el movimiento adicional que es perpendicular al plano

formado por las coordenadas r y 0. Cuando r y d son definidas en términos

de coordenadas rectangularesx yy como en la figura 12-16,Iatercera di-

mensión es la coordenada s. El vector de posición R de la partícula P en

coordenadas cilíndricas está definido de acuerdo con la figura 12-16 como:

R: rn,,* zk F-nl

Las expresiones para la velocidad y la aceleración en coordenadascilíndricas se obtienen como sigue. De las ecuaciones 12-27 y 12-15, elvector velocidad es:

v:ln, +rlnu+ik

donde I es la componente escalar de la velocidad en la dirección z, y k es

el vector unitario correspondiente. Los otros términos fueron descritosen la sección l2-4.

Similarmente, el vector acele¡ación se obtiene de las ecuaciones 12-28y 12-20 como:

a : (i' - r02)n, + (r0 + 2f0)nu + ik W.al

Nótese que las derivadas con respecto al tiempo de ek son ik y 2k debidoa que k es desplazado únicamente a posiciones paralelas en el sistema decoordenadas cilíndricas, de tal manera que i. es siempre cero.

FIGURA 12-16

Vectores unitarios en coordenadascilíndricas. Nótese que: n¡ esparalelo a /; no es paralelo al plano

xy; k es paralelo a z.

COORDENADAS ESFER¡CAS

La deducción de las ecuaciones del moümiento en coordenadas esféricases muy difícil para muchas personas. Los conceptos y característicasprincipales de esta deducción se presentan aquí para aquéllos que deseenadquirir una experiencia adicional en mecánica vectorial tridimensional.Para este análisis, será útil repasar las derivadas de vectores unitarios dela sección l2-2 asi como el apéndice A. Serán también pertinentes losconceptos de coordenadas polares presentados en la sección l2-5.

La posición de una partícula P sobre una superficie esférica (Fig.l2-l7a) está definida por las coordenadas r, ó y 0. Nótese que d no es el

12-6 cooRDENAoAS EsFEBrcAs 511

t-

--

visrec(r.¡oynut f

ángulo de la línea OP, sino de su proyeccibnOQen el planoxy (en conse-

cuencia, este ángulo 0 no es el mismo que se definiÓ para coordenadas

polares¡. El significado de esta diferencia puede ser apreciado conside-

iando una gran rotaciÓn arbitraria a través de un ángulo a0. Esta rota-

ción causa un desplazamiento grande de un punto P si éste se encuentra

en el planory, pero la misma rotaciÓn no c¿usará desplazamiento alguno

del punto P si éste se encuentra sobre el eje z.La obtención de la velocidad y aceleraciÓn de la partícula se basa

en una tríada de vectores unitarios ortogonales trr, tl6 Y nr, los cuales satis-

facen la regla de la mano derecha de acuerdo con el producto vectorial n,

X no y n¿. Estos vectores unitarios pueden cambiar su direcciÓn, de tal

-"r,áo que sus derivadas con respecto al tiempo deben ser incluidas en el

análisis. Estos vectores unitarios cambiantes se muestran g¡áficamente

en la figura l2-l7c,la cual es una vista típica de las tres vistas ortogonales

A, B y c que se presentan en la figura l2-17b. cada una de estas vistas

muestra únic¿mente dos vectores y sus respectivos cambios'

Esta tríada de vectores unitarios tiene la posibilidad de sufrir com-

plejas rotaciones, por lo cual se requiere la utilizaciÓn de la notación vec-

iorial para las velocidades angUláres. Para ilusüar esto convenientemen-

te, supóngase que la rotaciÓn de los ejesy y e es en el sentido contrario a

hs mánecillas del reloj (antihorario) alrededor del eje x, con una veloci-

dad angular comrln <o,. Esta velocidad angular puede ser expresada como

un vector (l)¡ en la dirección x, siendo determinado su sentido por la regla

de la mano derecha, es decir, para este caso @¡ = c¿i' Similarmente' esta

táctica puede aplicarse a las velocidades angulares alrededor de los ejes yy z.IJnavelocidad de rotaciÓn general o¡ de una linea como oP en la fi-gura 12-11 puede ser expresada como la surna vectorial de tres velocida-

des angulares concurrentes en el punto O, esto es:

0):a,i+(ori+ttt,kBuscando relaciones para vectores unitarios y velocidades angula-

res, una propiedad rltil.se obtiene del apéndice A. Para cualquier vectorunitario n:

t.

é

(

Lc(

drdn, = ¿6n,(cambio únicamente- .:-

por rotsción)

Á'-

-l ^,

/ dc

dn6= -¿6n,

planor/

(c) Vista/ segirn (b) (L a n¡ y nó)

FIGURA 12-17

Vectores unitarios en coordenadasesféricas

Susió

tier

la cr

obte

dond,ción I

ñ:(0¡XIt

512 crNEMAncA DE pARTrcur.AS: ANAusrs vEcroRrAL

nó.s-J

donde.arn es la velocidad angular de ese vector unita¡io. por ejempro,i, : ónode la figura l2^]Zc.,Exn¡esa1d9 el nroducto vectorial de acuerdocon la ecuación 12_31, con gi : /n, (utilizaido la regla de la mano dere_cha para /), se obtiene:

0.".:lt T ?l:rn,:0,lr o olPara el análisis completo de la velocidad y aceleración de la par_ticula en er sistema esférico dado, rúórg;;;que et vector de posición deésta es r y que los ángulos O y a .rt¿ná"?o, como funciones del tiempo.con notación de vectores unitarios, lu po.i.iá ¿e h partÍcura está dada por:

La velocidad angular total a¡ der vector r puede expresarse en términos decomponentes:

a: ón, * 0n,: $n, + lcos@n, _ gsendno flEldonde se utilizó la figura l2_l3cpara convertir de n. a n¡ y nó.La velocidad de la partículá puede oui.o"rr" derivando con respec-to al tiempo la ecuación 12_32:

fJr€4-l

rTEtla expre-

lrñ-l

r: rn¡

y=i:rnr+rñ,donde ú, puede expresarse como:

ñ, : a X n, : /n, + g(sen{)n,

Sustituyendo ra ecuación 12-35 en la ecuación 12-34, seobtienesión general para la velocidad:

La acereración de la partícula se obtiene derivando con respecto artiempo la ecuación 12-36:

x = ú : in, I iit, + i$n, + r$n,+ r$nr + lO(sen@)n, + rg(sen@)n,

+ rd(cos ólónu + r0(sen$)ri,la cual puede ser simplificada con las siguientes sustituciones:

ñr:, Xnr: _ón,+ g(cos@)n,

ño: to X n, : _O(sen/)n, _ O(cosS)n,obteniendo la expresión general para Ia aceleración:

donde cada expresión entre paréntesis es una componente de la acelera-ción total en la dirección dei"r.ú;-;;;li,o .or..roondiente.

lrE-lfEr

rEl

se-

iasde-ta,-

.trarno

¿rsa

tis-ln.tal

nelntedes;tas

)m-rcc-

r€fl-

ioacci-)mo

:gla3sta

es/r fi-ida-

gula-ctor

E12-6 cooRDENAoAsEsFEBrcAs S13

Experimentalmente se ha demostrado que el paquete P deslizará fuera del disco

giratorio de la figura cuando la magnitud de su aceleración sea igual a 30 m,/s2. Eldisco inicia su movimiento desde el reposo e.n d : 0 y acelera en sentido antihora-

rio con una aceleración angular constante 0 : 2 rad/s2 (Fig. l2-l8a). Calcule el

ángulo d en el cual el paquete desliza. Los ejes xy definen el plano horizontal.

SOLUGION

El paquete P se encuentra en movimiento circulaf (hasta que ocurra el desliza-

mientó¡ acelerado a una razón angular constante 0 = 2 rad/s2 Puesto que:

d0y -:0-dt

¿O: O ¿t Y d0:0 dt

Sustituyendo el valor de 0 e integrando se obtiene:

0:2r+C, y 0:tz*Cz

dondecl - cz= 0puestoqued:0 = 0paraf = 0.Paramovimientocircularaz = al + al + a7 + ú, entonces:

oz :1102)2 + (r0¡2

Con c = 30 m,/s2, se obtiene:

(30m/s'z)'z : [(3 m)(2rradls)'?]2 + [(3m)(2radls'z)]'z

Resolviendo para f, resulta f = 1.565 s. Sustituyendo este valor de f en la ecuación

para 0 se obtiene:

0 : (1.565)'z rad = 2.45rad

(a)

FIGURA 12-18

Movimiento circular de un paquete sobre un disco giratorio

dá

-:0dt

iiij

il

r'i.

.l

.,i

,,1

',1

i: (b)

ar= r0 = a,

514 CTNEMATTcA DE pARTrcUr.AS: ANAusrs vEcroRrAt

*e

:l

disco's2. EI.hora-ule elntal.

:sliza-

ircular

uación

,ó2 = o.

Una estación de radar está realizando el seguimiento de un cohete-después de su

hnzamieoto (Fig. 12-19).'Los datos obtenidos pa:'u l = 40" son d = 0.1 rad,/s,

0 = 0.05 rzd/s2, r = 500 ft, i : 40 ft/sy i = 0. (s) Calcule la magnitud de lavelecidad y aceleración del cohete. (b) Obtenga una expresión para r en términos de d,

suponiendo que i = co¡rstante y0 = constante para 0 < 0 < 40o.

soLUCloN

(a) La mag¡itud de la velocidad se obtiene utilizando la ecuación 12-15:

=ffi{:v?o:;(5001(0-iTLa magnitud de la aceleración se obtiene utilizando la ecuación 12-20:

a: J¡¡ -;P¡;@ *2ifi:: 33.0 ftls2

Nótese que las cantidades con unidades de rad,/s y rad/s2 no requieren con-versión en esta soluciÓn.

(b) En cualquier tiempo f del movimiento en el rango de ángulos dado (pues-

to que I : constante) puede expresarse:

r:d + ft

y ya que 0: constante:

0:0t

Entonces:

r:d+

Platatbrma

f0-0

\,//

,,\, \ , at-rtnt"tni"oto

Its-dFIGURA 12-19

Seguimiento de un cohete por un radar

EJEMPLo r2-7 515

f-

tr

Un automóvil sube por un camino montañoso con una velocidad de 20 m,/s, lacual está aumentando a razón de 5 m/s2. La pendiente del caminq es de 10" conr€specto a la horizontal y su radio de curvatura con respecto a un eje vertical es

constante e igual a 50 m.. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule la acelera-

ción del automóvil en el instante en que se presentan estas condiciones.

soLUcroN

El movimiento del automóvil se muestra esquemáticamente en la figura 12-20'

con el automóvil en el punto P que corresponde a d = 0. Puesto que r = 50 m(constante), f = 7 = 0. Utilizando la ecuación 12-28:

t : rln, + ¿k: a cos 10o n, * u sen10" k(50m)tin, + ¿k: (20mls) cos 10o n¿ + (20mls)senl0'k

Obteniendo de aqui, 2 = 3.47 m/sy0 = 0.394 radls. Similarmente, expresando

el vector i = tr = 5n,m,/s2 (como se muestra) en sus componentes vertical y hori-zontal, resulta:

sol

resul

Las

Tenconsec

Purlocinof

2 : (5m/s2)sen10' : 0.868m/s2

6 - (5 m/s-'?]3s 10" : 0.0985 radls2

Uülizando la ecuación 12-29:

a: -r?tn, + rfins + 2k

: - (50 m)(0.3 94ndls)2n, + (50 mX0.0985 rad/s2)n, + 0.868k m/s2

: (-7 .7 6n, * 4.93n, + 0.868k) m/s2

FIGURA 12-20

Movimiento de un automóvil sobreuna trayectoria cilíndrica

En una estación receptora de señales de satélites se tiene un cuerpo semiesférico quegira alrededor de su eje vertical a 50 rpm, como se ilustra en la vista seccionada de la

frgural22la. (a) Calcule la aceleración del punto P para un ángulo constante ó =50o utilizando coordenadas esféricas. Convierta este resultado a coordenadas rec-

tangulares. (b) Calcule la aceleración del punto P parael instante mostrado si el

ángulo ó cambia arazón constante de S: -2rad/s.

516 cTNEMATTcA DE pABTrcuLAs: ANALrsls vEcroRrAL

Util

:i:l

cc

lo<

É

r/s, la)o conical es

:elera-

t2-20,50m

:sandoy hori-

sobre

:co que

da de larte{ =das rec-

rdo si el

SoLUCION

(a) Aplicandolaecuación 12-40coni=i= ó:ó= d=0, ycon:

i:("#)(#)(#)= 5.24radls

resulta:

a : -r02(sef @)n, - rd2lsen@)(cos {)n, + 0n,: - (a m)(5.2a rad/s)2(sen2 50.)n,

: _,:il,:,?J;:1i;Hl;,(c.s 50",n,

Las componentes esféricas y rectangulares se muestran en la figura 12-21, donde:

a,: aocos{ + a, senf

= 1- 54 m/s2) cos 50. - (64.4 m/s2) sen50.

a., = -84m/s2 i

ey= -eosen@+a,cos@: (54 m/s2) sen5Oo - (64.4 mls2)cos 50o

ar:0j

(b) Con ó = -Z radls, de la ecuación 12-40 se obtiene:

^ : F rót - rti2 sen24¡n, - r02(sendXcos {)n, + 2r$0@os g\n,

Utilizando los resultados ya obtenidos, resulta:

¡ : [-(4m)(- 2radlsl2 - 64.4mls2fn, - 54.0m/s2 n"+ 2(4 m)( - 2 radls)(S.24 radls)(cos 50.)n,

: - 80.4 m/s2 n, - 54.0 m/s2 n, - 53.g m/sz n,

Teniendo en cuenta las relaciones entre ax, g,yy trrr r, planteadas anteriormente,Corllt6 = -k(puestoQU€np = n, X nr)yiz = -!dparalaposiciónmostrada,se obtiene que:

a, - (.aó cos { + a, sen{)i + (- aosen{ + a, cos r})j + a6k: (- 54.0 cos 50' - 80.4 sen50.) m/s2 i + (54.0 sen50.

- 80.4 cos 50") m/s2 j + 53.9 m/s2 k: (-96.3i - t0.3j + 53.8k) m/s2

CONSIDERACION DE RESULTADOS, pARTE (al

Puesto que la trayectoria del punto p es un círculo en el plano horizontal y su ve-locidad es constante, la rlnica componente de la aceleración es la comionentenormal, la cual es paralela al plano xz y está dirigida hacia el eje y. Estó es:

a: an: ¡)a2nn: (4mXsen50"X5.24radls\z nn: g4m/s2 n,

lo cual concúerda con el resultado obtenido utilizando coordenadas esféricas.

a6 = -54 m/s2 np

r, = -64.4 nls2 n,

(b)

FTGURA 12-21

Aceleraciones de una partfculautilizando coordenadas esféricas

a = -84 m/s2 iaó

n¡

€JEMPLo 12-e 517

12'36 Una partícula P se mueve en una trayectoria cir-

cularderadior = 2mconunavelocidado = 5

m,/s en 0 : 30o. La velocidad está aumentando

en la posición dada a razÓn de 3 m/s?. Calcule

la aceleración total de la partícula utilizandocoordenadas polares.

sEcctoNES 12-4, 12-5, 12-6

12-4f0 Un radar efectrla el seguimiento de un aviÓn yproporciona los siguientes datos: 0 = 80o, Ú =0.01 radls (0 aumentando), 0 = 0, r = 3 km, I= - 100m,/s, y i = -5 m./s2. Calculelascom-ponentes horizontales de la velocidad y acelera-

ción del avión.

Fiq. p12_36 :-.

'12-tI Una partícula P se mueve ,oir" un" pista circu-lar de radio r : 2 ft con una velocidad constanteo como se muestrá en la figura Pl2-36. Calculela máxima velocidad v si la aceleración total de lapartícula no debe exceder de 300 ftls2. Utilicecoordenadas polares.

12-38 Los siguientes datos del cohete son obtenidos porun radar: 0 : ffi", 0 = 0.03 raüs (0 aumentando),0 = -0.001 raüs2;(0 disminuyendo), r = 70(X)

ft, i : 800 ftlsiy i = 50 ft/s2. Calcule la magnitudde la velocidad y aceleración del cohete.

Fig. P12-38

12-11 Los siguientes datos del cohete de la figura Pl2-38son obtenidos por un radar: 0 = 30o,0 = 0.02

rad,/s (d aumentando), i) = 0, r = 2 km, I : 30

m/s, y i = 15 m./s2. Calcule las componentes ver-ticales de la velocidad y aceleración del cohete.

12-41 Los siguientes datos del avióñ de la figura P1240

fueron proporcionados por el radar: d : 60o,

O = O.O¡ nd/s(0 aumentando), d-7 0rQl radls2(0 aumentando), r : 10,000 ft, i - -40ft/s,y i : - 30 fVs2. Calcule las componentes hori-zontales de la velocidad y aceleración del aviÓn'

Los siguientes datos fueron obtenidos desde un ,1avión por medio del radio: v = (200i + 40i)'/ \

m,/s ya = 0 parax - 800 m,.y = 3 km. Calcule

f, i, 0 y 0 medidos en ese instante por una esta-

ción de radar ubicada en el Punto O'

Fig. P12'4{¡

Fig. P12-1í¿.

518 cTNEMATTcA DE pARTTGuLAS: ANALrsrs vEcroRrAL

)ny

^_0, Iom-.era-

@

12-43

12-4/-

Los siguientes datos son comunicados por radiodesde un avión: v = 400i ftls y a = l00i ftls2parax = .y : 6000 ft. Calcule f, i, dy 0medidospor un radar en el punto O de la figuraPl2-42.

Los datos obtenidos por un radar que efectúa elseguimiento de un meteorito son: d : 60o, {) =-3 radls (0 disminuyendo), ii = 0.3 radlsr 10disminuyendo), r : 28 km, r' : - 40 m,/s, yi: = 130 m./s2. Calcule los vectores de velocidady aceleración del meteorito.

Flg. P12-44

El perno P se mueve "n

un" barra ranurada conuna velocidad constante o, mientras que la ba_rra gira con una velocidad angular cónstante úr.Obtenga una expresión para la aceleración totaldel perno en una posición ¡ utilizando coor_denadas polares. Pruebe que el perno p y unapartícula Q de la bana ó¿ üenerf difeientesaceleraciones en el instante en que p y e estánmomentáneamente en contacto.

12'46, El bloque B desliza a lo largo de la barra Olcon una velocidad constante o = 6 ftls, mien-tras que la barra está girando en sentido horariocon una velocidad constante de 120 rpm. Calcu_le la velocidad y aceleración del bloque B parar=2fty0:40o.

12-47 La barra OA dela figura Pl2-46 inicia su movi-miento desde el reposo en d = 0; su posición es-tá dada por 0 : 3¡2 donde d está en radianes y festá en segundos. La posición del bloque B estádada por r : t2/2 + 0.1 m. Calcule la veloci-dad total v¡ y aceleración total a¿ del bloqueparat=2s.

12-4fi Una partícula P se mueve con una velocidad, constante ü : 3 m/s en una trayectoria definida

por / : r3. Calcule la velocidad angular y laaceleración angular de la línea OP parax : 2mcon el ángulo d medido desde el eje x.

12-49 Una partícula P se mueve con una velocidadconstante u : l0 ftls como se muestra en la fi-gura Pl2-48. Calcule la aceleración total de lapartícula para x = 5 ft utilizando coordenadaspolares. El ángulo 0 de la linea OP se mide des-de el eje x.

\;

PRoBLEMAs' 519'

0),

i

,12./0 '¡l

60o, il'ad/sz ::.

) fVs, ihori- ;wión. i

lde un ..¡. 1

- 4q¡)/ \,alcule .

r esta- :

't2-4É'

@ = coDst.

I{

?¡

Fig. P12-6

F¡9. P12-46

Flg. P'12-18

E

I

I

;l!It'.,¡

l

l

I

L

12-5(¡

12-51

12-52

El perno P en un mecanismo será empujado ha-

cia la derechacon una velocidad constante ü = 8m./s. Calcule la velocidad anguliar y aceleraciÓn

angular requeridas del brazo OA pan| = 60o si

/=0.5m.

La aceleraciÓn de la particula P en la ranura ho-

rizontal de la figura Pl2-50 no debe exceder de

100 ftls2. ¿Cuáles son las ümitaciones del movi-

miento de rotación del brazo OA quLe empuja la

partlcula, si I = I fty0 = 70o? Elbrazoiniciaiu movimiento desde el reposo en 0 = 9()o'

Un automÓvil se mueve con velocidad constan-

te o : 80 ftls en un tramo circular de una pista

de pruebas. Un radar ubicado en el punto O

efectrla el seguimiento del movimiento del auto-

móvil. Calcule la aceleración total del automG

vil para 0 : 7Oo si R = 300 ft. Utilice coorde-

nadas Polares¡ i

Calcule la velocidad y aceleraciÓn de una perso-

i".oto.u¿u en el ciündro giratorio del proble-

ma 12-53 si r = 15 ft, c'r = 10 raüs' a : 2

rad/sz, a = 5 ft/s Y a = l0 ft/s2'

El elevador giratorio de la figura tiene una velo'

áaaa angutát <¿ = 0.5 rad'ls la cual aumenta a

"i"i-oit a = 0.1 raüs2' En este instante' el

"ilt"¿"t tt está moviendo hacia abajo con o = 2

irltv e : I ft/sz. Calcule la aceleraciÓn de una

p"*á* que se encuentre a 12 ft del eje de rota-

ción del elevador.

Ftiti _---+-(-l

I

t;lt, Fig. P12-É¡

12-il

12-55

12-53 E¡ un parque de diversiones se tiene un dispositi-

vo mecánico que consiste en un cilindro giratorio

donde las personas se colocan recargadas en Ia

pared. Calcule la velocidad y aceleración de una

perron" si r : 4 lrr, o = 0, a = 3m'ls2 y el ciün-

dro gira a una velocidad constante de 8 rpm'

12-56 Unos pequeños contenedores colocados sobre

un plato circular sufren un movimiento descen-

dente mientras el tornillo que los soporta gira'

El paso del tornillo (avance por revoluciÓn) es

de 0.3 in, y r = l0 in. Calcule la aceleración de

un contenedor si c,r = l0 radls disminuyendo a

razón de I rad/s2.

Fis. P12-54

t2-58 En un proceso de manufactura automático, pe-.queños contenedores se mueven en una trayec-toria helicoidal. Calcule la aceleración de unapartícula én el punto P si tiene una velocidadconstante u= 2m/s yD = 0.6m.

,:t ,

i.1

ra perso-

I proble-

,a=2

rna velo-

tmenta a

;tante, el

OíO:2'n de unar de rota-

dos sobre

lo descen-

rorta gira.

lución) es

:raciÓn de

luyendo a

12-57 Un automóvil está descendiendo en una partecurva de un camino con una velocidad u = 15

m,/s, la cual está disminuyendo a razón de 4 m,/s2.

Calcule la aceleración del automóvil si r = 200 my el camino tiene un ángulo de l0o con respectoa la horizontal.

_ ---- Trayrctoria del automóvil

Fis.P12-fl

12-89 Calcule la máxima velocidad permisible ü de uncontenedor en la trayectoria helicoidal mostra-da en la figura Pl2-58. Esta velocidad es cons-tante, D = 2 ft, y la aceleración no debe exce-

der de 20 ft,/s2.

12-60 Un tren .n r'rn p"rqu. de diversiones tiene unavÍa helicoidal como se muestra en la figura. Lospasajeros viajan en un hélice de 28 ft de diáme-tro la cual da una welta completa en una dis-tancia horizontal de 50 ft. Calcule la acelera-ción de los pasajeros cuando su velocidad a lolargo de la trayectoria es de 40 ft,/s, aumentan-do a una razón de 5 ft/s2.

{::--c = l0o (ángulo de la trayectoria

con la horizontalen el punto P)

Fis. P12-58L__,

Fis. P12-60

Fig. P12-61

i12-61 El bucle de un parque de diversiones es aproxi-

madamente circular con un diámetro de 74 ft.Las partes inferiores.4 y.B de la vía helicoidal es-

tán separadas horizontalmente por una distancia

de 6 ft. Calcule la aceleración del tren en el punto

C, donde su veiocidad en la dirección de la vía es

de 50 ftls aumentando a tazÓn de 4 ft/s2.

12-62 . Un aeroplano está descendiendo con un patrónhelicoidal de movimiento. Tiene una veiocidadhorizontal de 80 m/s; una velocidad hacia abajode 5 m,/s y una aceleración de 2 m,/s2 hacia aba-jo. Calcule la aceleración del aeroplano. Supon-ga que la hélice.tiene un paso constante (8 : 0).

t2-63 Se propone para un parque de diversiones el dis-positivo mecánico de la figura. En este dispositi-vo la gente viaja sentada en un compartimiento a

una distancia r del pivote O. Dos actuadores hi-dráulicos ,41 y .42 controlan la longitud del brazo

r y el ángulo ó. Calcule la aceleraciÓn de un pasa-

jero si el dispositivo gira alrededor del eje y a una

velocidad anguiar de 5 rpm, r : 1.5 ft, i : .. 2

ft,/s (r disminuyendo), ó = 30", 4' = 0, V ,h:0.1 rad,/s2.

Fiq. P12-Ét

'12-v Las partículas de fluido adentro de una tobera' se mueven a una velocidad constante o = 5 m,/s

relativa a la tobera. Calcule la aceleración del

fluido para r = 0.2 m cuando la tobera gira a

una velocidad constante de 20 rpm. La tobera

forma un ángulo de 20o con respecto al plano

horizontal.

,'\:/^I

)-._I

)

--;:::lF¡9. P12-62

52. cTNEMATTcA DE pARTTcuLAS: ANALTs¡s vEcroRrAL

el dis-rpositi-iento arres hi-i brazor pasa-

r'aunaa

Y ,h:

12-65

12-66

Fig. P12-64

Una partícula de fluido en el punto P de ia to-bera giratoria se mu€ve con una velocidad ra-dial constante r' = 3 m,/s en r : 0.15 m. Calculela aceleración de la partícula si 6 : 60', ó =0.2 rad/s y Ó : 0.2 rad/s2.

Considere el modelo mostrado de una excavadorapara túneles de minas. El brazo mayor gira alrede-dor del ej e vertical con c,r 1 : 0.0 I rad./s y alrededorde un eje horizontal con c,r2 = 0.005 rad,/s. Calculela aceleración total de una partícula P en el extre-mo del brazo.

Fig. P12-66

La estructura hemisférica en una estación de radargira alrededor del ejey con c,.r, = 2nd/s,lacualaumenta a razón de 0.1 rad,/s2, Calcule la acelera-cióndeunapartículaenP, siR = 5m,ór = 30o,ytbt:3rad/s.

F¡9. P12-67

La estructura hemisférica del problema 12-67

gira con (,/ : 5 rad/ s, la cual disminuye a razónde0.2 rad/s2. Calcule la aceleración de.una par-ticula en P2 si R = 15 ft, r7)r - 66o, rhz = 0, Ióz : -0.3 rad/s2 (P, inicia su movimiento,moviéndose hacia el eje y).

PRoBLEMAS 523

12-67

I tobera= 5 m,/s

ción del'a Eira ar toberaal plano

Fis. P12-65

F-

MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS'TRANSLACION DE COORDENADAS

Los análisis de movimiento curvilíneo anteriores se realizaron con res-

pecto a sistemas de coordenadas fijos. En algunos problemas prácticos es

iecomendable trabajar con un sistema de coordenadas en movimiento, lo

cual puede hacerse extendiendo los conceptos de movimiento relativo

que fueron introducidos para movimiento rectilíneo. El procedimiento

consiste en definir el movimiento de una partícula con respecto a un siste-

ma de referencia móvil conveniente, y definir el movimiento de este sistema

con respecto a un marco de referencia fijo' Por ejemplo' el movimiento

de un componente del motor de un aviÓn puede ser analizado con respec-

to a un sistema de coordenadas fijo en el aviÓn, y a su vez' el movimiento

de este sistema puede ser descrito con respecto a un sistema de coordena-

das fijo en Tieria. Por otra parte, ningún sistema de referencia es absolu-

tamente fijo, es decir, los sistemas de coordenadas fijos en la Tierra se

mueven con respecto al Sol, y así sucesivamente' En la mayoría de los

problemasdelaingeniería,unsistemadecoordenadasestacionarioconiespecto a la Tierra puede ser tomado como sistema de referencia fijo. El

*ur.o de referencia en movimiento puede o no estar girando con respec-

to al marco de referencia fijo. El siguiente análisis es para aquellos casos

donde el sistema de referencia en movimiento no está girando.

Sistemas de coordenadas en renglgEÉg

considérese la figura 12-22 y supóngase que el marco de referencia xYZ es

fijo y que el sistema de referencia xyz está en movimiento. Este movimien-

I(

C

c

r,

toE

t)

n

Ie(

P

t(pr

CI

úlej

FIGURA 12.22

Translación del marco de referencia xyz con respecto al marco derelerencia XYZ

(con movimiento relativo axlz)

Movimiento del sistema (relativo a XfA

524 cTNEMATTcA DE pARTTcuLAS: ANALIsts vEcroRtaL

)n res-

icos es

nto, lo:lativonienton siste-¡istema

inientorespec-

miento

'rdena-rbsolu-erra se

de los

rio conlijo. Elrespec-rS CaSOS

XYZes,vimien-

vo a XYZI

+^ p. translación cuando los ejes de coordenadas respectivos permanecen

.[ror. O*"lelos uno al otro. La posiciÓn, velocidad y aceleración del sis-

il;i; ioordenadas en movimiento con respecto al sistema de coordena-

i", ¡;" XYZ estándadas por tt, Yt : ie, Y ^e

= i¡ respectivamente.-*-

tupOngase ahora que la partícula B se mueve con respecto a las

"^.,r.t"nadas xyz. El vector de posiciÓn de esta partícula con respecto al

"""iá ¡ ES rs¡¿. Por medio de la suma de vectores, el vector de posición

á. i" putti.ul a B con respecto a los ej es de coordenadas X, Í y Z se espe-

cifica comPleBmente Por:

T1?41

donde el mismo conjunto de vectores unitarios i, j, k es utilizado en am-

bos sistemas de referencia. La velocidad y aceleración de la partícula ,B

con respecto a la referencia XYZ se obtiene derivando el vector de posi-

ción con respecto al tiemPo:

Y¡:i¡:i¡*iu,n:vo*v,naa: ln: i¡ * lst¡: a.q I ?st¿

Debe hacerse notar que en la obtención de estas ecuaciones las derivadascon respecto al tiempo de i, j y k son cero, pues sus magnitudes y direc-ciones son constantes cuaqdo el movimiento es de translación.

El movimiento de la partícula.B con respecto al sistema de referen-cia en movimiento, cuyo origen están en el punto.4, se conoce como elmovimiento relqtivo de B y se denota por el subíndice B/A. El movimien-to de la partícula -B con respecto al sistema de coordenadas fijo cuyo ori-gen está en el punto o se conoce como el movimiento absoluto de B, elcual se denota por el subíndice B, esto es, el símbolo de la partícula. Alplantear un problema la selección de los subíndices es arbitraria, pero esnecesaria la consistencia al utiiizar los subíndices en las ecuaciones l2-41,1242 y 12-43. P or ejemplo, si se intercambian A y .B en la figura 12_22, laecuación 1241 se transforma en r/ - re * r47s¡ de la cual rB = f e _ r¡ts.Por lo tanto tatt : -rua. Nótese que el vector de posición rrr, ás el vec_tor del punto A al punto B, mientras eu,' ra'B es el vector de pvnto B alpunto,4 y lo mismo se aplica a las velocidades y aceleraciones. Téngaseen cuenta que las componentes radial y transversal son frecuentementeútiles al analízar el movimiento relativo como se ilustra en el siguienteejemplo.

f 1r-4A

f1r4I

12-7 l\ilovlMlENTo RELAT¡vo oE Dos pAHTrcuLAS. TRANSLAcToN DE cooRDENADAS 525

l.

-==

El barco,4 tiene un radar que efectúa el seguimiento de la posición y velocidad delbarco 8. La información recibida en el barco I está en función de la distancia en-

tre los barcos r31a, elángulo 0 que la señal de información forma con la direcciónnorte, y las razones a las cuales estos parámetros cambian (Fig. 12-23). Para el

instante mostrado, la velocidad absoluta del barco ,4 €s v,4 = ( - 10i + a0j) km/h,0 = 30o, 0 = -0.001 rad/s, re¡a : 3 kmy iu,^ : Zm,/s. Calculelavelocidad ab-

soluta del ba¡co -B en unidades de m./s.

soLUc¡oN

De la ecuación 1242, aa = Yt * Ynt¡.La velocidad vB/A se calcula con respecto

al sistema de referencia en translación con su origen en el barco.4 utiüzando com-

ponentes radiales y transversales. De la ecuación 12-15:

" ^:';:i:; ?d'#._,,_o ooi radls) n,

:2m/sn,-3rn/snu

Con la ayuda de la figura 12-23b pueden transformarse estas componentes radialy transversal a coordenadas rectangulares:

(r,ut,,)_. : - u, sen0 4- t, cos l.)

: -(2 m/s)sen30' + (3 m/s) cos 30'

(r'sil)r : ¿;, coS 0 f u, sen(,)

: (2 m/s) cos 30" * (3 m/s)sen30"

v u,.u : (1.6i + 3.2j) mis

Convirtiendo v¡ a unidades de m./s:

/tooom'r/ lh \v,r : (- lOi + a0j) kmrh{ ,

- 1"\ Km 7\rooos/

: (-2.8i+ 11.1j)m/s

Obteniendo finalmente:ys: ys.* ys¡t: [( -2.8 + 1.6)i + (11.1 + 3.2)j] m/s

: (- 1.2i + 14.3j) m/s

Y

vr = 2m/snrvd = 3 m/s (- nd)

')-- x

1ir )

FIGURA 12-23

Movimiento relativo de dos barcos

CINEMATICA OE PARfICULAS: ANALISIS VECTORIAL526

rd delia en-

cciónara el

m/h,rd ab-

;pecto

com-

radial

Mientras el equipo de radar de un aviÓn de la policía se está calibrando, está efec-

tuando el seguimiento de'un automóvil como se muestra en la figura l2-2Aa. Tanto

el avión como el automÓvil se mueven horizontalmente, con el aviÓn en la direc-

ción transversal a la autopista. Calcule r y i para las condiciones dadas.

soLUCloN

para este análisis se recomienda un sistema de coordenadas en translación con su

origen en P y sus ejes xyz paralelos a los eies fijos XYZ, como se muestra en la figu-

ra l2-24b. La información solicitada puede interpretarse más exactamente como

t67py Dc¡r. Estos escalares pueden ser obtenidos de cantidades vectoriales, esto es:

r¿.,¡ : t¡. - rr : (300i m - 150k m) - 200j m

:i111_iY_15okmrr,r: J3Q0t + 2002 + 1502 : 391 m

Para calcular Yctp : tctp, uc! up deben expresarse en m,/s:

100km /rooom\ / rtr \Dc:- I ll-l:27.8m/srr \ km / \-rooo s7

l50km /1000m/km\Dp:-t t-¡1.7mlsh \ 36oos/h I

Entonces:

Yctr:ictp - Yc vp: -2'7'8km/s - 4l'7imls: {-41.7i - 27.8k)m/s

,r,r: ,f-4ff + n.8' : 5om/s

vc = 100 km/h

FIGURA 12-24

Movimiento relativo de un

automóvil y un avión

ETEMPLo r2-11 527

€ir

12-69 Un sistema de coordenadas x/ está en movi-miento de translación a una velocidad constan-te con respecto a los ejes fijos XY. Pruebe que

la aceleración de una partícula con respecto a los

sistemas de coordenadas xy y XY es la misma.

12-79 Considere tres partículas A, B y C en movi-miento plano. Obtenga una ecuación para la ve-

locidad relativa y a¡s €fl términos deyA/By \c/8.

12-71 Considere tres partículas A, B y C en movimien-to plano. Obtenga una ecuación para la acelera-

' ción relativa a 6¡1 Qt términos de L¿1¿! as¡6.

12'72 Las posiciones de las partículas I y .B están de-

finidas en un sistema XY ftlo por tA : 4t4 +3tj y rs : 4t\ + 5t2¡, donde 14! ra están en

metros y I en segundos. Calcule la velocidad re-

lativa vp¡¿ y la aceleración relativa tya pdra

t = 2s.

12-73 Las posiciones de las partícuias.4 y B están de-

finidas en un sistema XY fijo por t t : - 3t3i -2t3jy r, = -4t\ + 3/3j, donde r4y rpestánenpies y / en segundos. Calcule la velocidad relativa

v ar6 y la aceieración relativa aals para / : 4 s.

12-74 Un automóvil de policía P se mueve con una ve-

locidad v¡ = l00j km./h. Los datos del radardel automóvii de policía indican que: r = 200 m,

r':30km,/h, i'= 0. d = 0.1 rad,d = -10-arad/s (0 disminuyendo¡, y i) :, 0. Calcule vr.

l_,

12-75

Fig. p12-74

En el problema12-'14, vp = 50j mph, r = 400 ft,r' = 30 ft/s, j: = 6 ft/s¿, 0 = 0.12 rad, ü =- l0-5 rad,/s (0 disminuyendo), y i) = 0. Calculela magnitud de la velocidad y de la aceleracióndel automóvil ,4.

sEcctoN 12-7

12-76 Un automóvil de policía P se mueve con una ve-

locidad vp : 20j km./h, en el momento en que

su radar da los siguientes datos del automóvilA: r : lAO rn, i = - 60 km/h (r disminuyendo),i = 0,0 = 0-.5 rad, d = - l0-r radls (d dismi-nuyendo), y l) = 0. Calcule la velocidad v¡.

---l'i4',la t_,

Frg. P'12-76

'12-Tt Un automóvil de policía P se mueve a una velo-

cidad vp = (30i + l0j) mph cuando su radar

muestra 9ue: r : 400 ft, t = - l0O.ftls (r dis-

minuyendo), i = 0, 0 : 0..11 rad, 0 : -10-:rad,/s (0 disminuyendo), y ll : 0. Calcule la ve-

locidad del automÓvil ,4.

L__

12-78 La veiocidad de un automóvil de policía es vp -40j km/h en el momento en que su radar da la si-guiente información sobre el automóvill: r : 80m, I : - 35 m/s (rdisminuyendo), 'i : -3m/s2,0 = 0.9 rad,0 = -0.2rad/s(ddisminuyendo)y1l = 0. Calcule la velocidad y la aceleración delautomóvil .4.

/-----./ ."'

/.""'/ .4ar.",AJI(y

Fig. P12-Tl

528 cTNEMATTCA oE pARTrcuLAs: ANALrsrs vEcroRrAL

-

@\ r"r'\ r', .r:g

F¡9. pt2-78

I

iI

I

I

12-79 Un avión de la policía se encuentra directamente

sobre el punto O a una altitud de 400 ft, volan-do con una velocidad v" = (200i + 30k) ftls.El automóvil ,4 se encuentra en X = 500 ft mo-viéndose a una velocidad v, = 95i ftls. Calculela velocidad relativa rs rl o.

12-80 En el problema12-79, en el instante dado la acele-

ración del avión es ap (l 5i - I 0j) ftls2 y la acelera-ción del automóvil es a1 : - 8i ftlsz. Calcule laaceleración relativa a p p.

12-81 El deslizador A de la figura es remolcado por lalancha B. La cuerda tiene una longitud constante/ = 30 m. En un instante dado las velocidadesestán definidas por v,4 : e lzi + 4j + 9k) m/sy v¿ : (- 10i + l2k) m,/s. Calcule la velocidadangular c¿ de la cuerda en este instante.

Fis. P12-81

12-u. La aceleración del deslizador del problema 12-81

está definida p or t4 - (2i + j) m/s2 mientras que

Ia aceleración de la lancha €s ls = (1.5i + 2k)

m,/s2. Calcule la aceleraciÓn angular de la cuer-

da en ese instante.

12-a3 Unmecanismo constadedosbanasngdasABy BClas cuales están articuladas en los puntos.4 y B. AB: BC = 1 m, <,r, = 0.3 rad,/s, o1 = O(enlareferencia

X\, az = 0.2 rad/ s,Y az = 0 (en la referenciary)'Calcule y grañque la velocidad v6' y aceleraciÓn a6

del punto C en las referencias Xf yry.

Fig. P12-83

12-u Resuelva el problema 12-83 cambiando las ace-

leraciones angulares a dl : 0.3 rad/s2 y cx2 :-0.1 r¿d,/s2 (co2 disminuyendo).

PFoBLEMAS 529

)-¡rs--5

e-

r si-,80/ s',o)vdel

Fig. P12-79

=F

Sección 12-1

Movimiento curvilineo en coordenadas cartesianas rectangulares

VECTOR DE POSICION:

r:.xi +Í+zk

VECTOR DE VELOCIDAD

, :"i,: *' *2: *'fiu :ri + vj + zk

../,""""on^;' i,,

Ir

{r)

VECTOR DE ACELERACION:

dv tlu,. - tb,. . du- .a : -T: + i + -=¿ i + -- k :.ti + j'j + :kdt dt dr " tlt

Las derivadas con respecto al tiempo de los vectores unitarios son cero

cuando la referencia xyz es fija. Las componentes escalares i, x y así su-

cesivamente, pueden ser analizadas utilizando las ecuaciones apropiadasde las secciones I 1-1, 1l -2 u 11-3. Cada ecuación debe incluir únicamente

aquellas cantidades que son pertinentes para la dirección coordenada en

consideración.

Sección 12-2

Aspectos físicos de los vectores de velocidad y aceleración

{l) I

CINEMATICA DE PARTICULAS: ANALISIS VECTORIAL

vy

I

ÉÉ

T,a velocidad instantánea v es siempre tangente a la trayectoria de la par-

ttcula. ta rapidez : magnitud o del vector v. La aceleración instantánea

a está en la dirección del cambio infinitesimal del vector velocidad.

El vector a no es tangente a la trayectoria de la partícula y en el mo-

vimiento curvilíneo no es colineal con el vector velocidad.

Sección 12-3

Componentes tangencial Y normal

2v,n=Tnn

Trayectoria

VECTORES UNITARIOS:

nr en la dirección del movimienton,, en la dirección del centro de curvatura cie la trayectoria

VELOCIDAD:

v : r)nr siempre tangente a la trayectoria

\"'=+"'

ceroí su-adas

rente

la en

ACELERAGION:

Para una trayectoria

etnt + enn,,

tlu u2

dtp

A-

(.Ir:drdt

circular,

11 + (tlyltlx)'1)3t2

d2 ¡,1 dr2

g: r:radiodelcirculo.

RESUMEN 531

l

I

Sección 12-4

Coordenadas polares

VECTORES UNITARIOS:

. r, en la dirección radial (del vector de posición r)n0 en la dirección transversal a r, en el plano de la trayectoria

VELOCIDAD:

I v : ln" + rln, I siempre tangente a la trayectoria

VELOCIDAD ANGULAR DE UNA LINEA RADIAL: ( r:'rr.- i:t::t'1 'Jt:t'"'t)r" i

v

I

I

I

I

,y = rsend r

ff: e: cr¡' radls

ACELERACION:

ACELERACION ANGULAB DE UNA LINEA RADIAL:

MOVIMIENTO CIRCULAR:

tl0"'":0:d::t.radls2tlt

t : ,'0n,

[-r0-r(odr

il,:;: r() : rlLlt

J¿:- _ ,.A7 : rc,tztltt---lur

532 cTNEMATTcA DE pAFlcuLAs: ANALtsls vEcrontAL

=F:4É..:

:

,

.

Sección 12-5

Coordenadas cilíndricas

VECTORES UNITARIOS:

n¡ en el plano xy enla dirección radialn0 en el piano xy enla dirección transversal a la línea radialk en la dirección z al marco de referencia x/z

VELOGIDAD:

Y: /r. + r|nu + ik

ACELERACION:

a : (i - r02)n, + r0 + Ztl\nu + ;k

Estas ecuaciones están basadas en las expresiones para coordena-das polares. Las coordenadas r y d están definidas en el plano xy o encualquier otro plano paralelo al xy.

Sección 12-6

Coordenadas esféricas

VECTORES UNITARIOS:

VELOCIDAD:

v : ln, * rQnr * r0 sen$nu

RESUMEN 5ÍlÍ¡

-_-----

t:llr

ACELERACION:

(i - ró'- r0'sent 4¡n,

+ (ró + Ztq - rO2 sen@ cos @)nt

+ (r ó sen @ + 2i0 sen$ + 2rS0 cos @)n,

Sección 12-7

Movimiento relativo con coordenadas en translación

El movimiento del sistema xyz es de translación cuando los respectivos

ejes coordenados de los sistemas xyzy XYZ son siempre paralelos uno al

otro. Los mismos vectores unitarios i, j, k son utilizados en ambos siste-

mas de referencia. Los movimientos absolutos de la particula B son defi-

nidos con respecto al punto o del sistema XYZ y los movimientos relati-

vos se definen con respecto al punto ,4 del sistema xyz'

POSIGION:

tn:f¡1'fnlt

Ya:Ye*Yslo

LB: LA * Aple

fat¡: -fels YBt¡: -Ylln lsl,t: -etla

VELOCIDAD:

ACELERACION:

Las componentes radial y transversal (coordenadas polares) son útiles para

calcular la velocidad relativa yB/Ay laaceleraciÓn relativa a¡rr. Los subín-

dices son arbitarios pero deben ser usados consistentemente puesto que:

(con movimiento relativo a xYz)

534 cTNEMATTcA DE pARTlcuLAs: ANALIsls vEcroRlAL

:YA

rvosro aliste-lefi-lati-

1z-ffi En una carrera de esquí sobre nieve, el competi-

dor inicia su movimiento en el tiempo f = 0 desde

la cima de una colina, la cual es aproximada-mente de forma parabólica dada Pot y = f 759'

Después de numerosos experimentos se ha de-

terminado que la velocidad del competidor.i está

dada aproximadamente por.i = l0l, donde / es-

tá en segundos y i en ftls. (a) Si toma 3 s llegar

al punto á mostrado, calcule la velocidad ins-

tantánea del competidor en el punto r4 expresa-

da en términos de sus componentes x y y. (b) Si

toma 5 s llegar al punto O en la base de la coli-

na, calcule la aceleraciÓn del competidor en el

punto O expresada en términos de sus compo-

nentes x y /.

12-85

Fig. P12-6

En la preparación para los juegos olímpicos de

invierno, se pide a un ingeniero que diseñe unarampa para la competencia de salto de longitudlo suficientemente alta para que un competidorpueda alcanzar la velocidad apropiada uo en elpunto á, la cual ocasionará un aterrizaje suaveen el punto I (es decir, una trayectoria de vueloque sea tangente a la colina en el punto B). Lapendiente de la colina en el punto B es de 45o,lo cual se muestra en la figura junto con la loca-lización del punto I respecto al origen O. Larampa de salto está diseñada para que el centrode masa del competidor abandone la rampa en elpunto,4 con una velocidad u¡, a un ángulo de 10o

con respecto a la horizontal como se indica. Des-preciando la resistencia del aire, calcule: (a) Lavelocidad us requerida para que la trayectoriade vuelo sea tangente a la colina en el punto,B,y (b) La altura á requerida al final de la rampapara las condiciones de la parte (a).

12-tt En una competencia de esqui sobre agua, uncompetidor sube por la rampa mostrada a una

velocidad de 25 ft/s. Una lancha de rescate sinmovimiento se encuentra a una distancia d del

final de la rampa. Despreciando la resistencia

del aire y considerando al competidor comouna partícula en vuelo libre hasta que toque el

agua, calcule: (a) la mínima distancia permisi-ble d teniendo €n cuenta que la altura de Ia lan-

cha de rescate con su pasajero es de 4 ft como se

indica, y (b) la máxima altura que alcanzará el

competidor sobre el nivel del agrra.

Yo = 25 ftls

Fis. P't2-s1

12-8€ En el problema 12-81 calcule el radio de curva-tura de la trayectoria del competidor: (a) para el

tiempo t : 0.466 s, que es cuando se alcanza la

máxima altura, y (b) en el instante inmediata-mente después de abandonar Ia rampa.

PRoBLEMAS DE REPAso 535

pararbín-lue:

F.?

12-89 Se asigna a un ingeniero civil el trabajo de deter-minar aproximadamente el radio de curvatura de

una vía de fer¡oca¡ril construida anteriormente.Puesto que no bs recomendable efectuar medi-

ciones de campo en la zona pantanosa mostraday los mapas originales ya no existen, se decideque será suficiente conocer p como una funciÓnde s, donde s es la distancia a 1o largo de la víadesde la estación del tren en el punto O hasta elpunto,4 ubicado as = 800 ft. El ingeniero civilrecuerda que si uno viaja en un tren que se mue-ve a una velocidad constante 1,, la aceleraciónnormal a la trayectoria an depende de p, de talmanera que con un acelerómetro, o sea un dispo-

sitivo electromecánico para medir una compo-nente de la aceleración, podrá conocerse a, si el

acelerómetro se coloca perpcndicular a la trayec-toria del tren. Al reahzar el experimento el tren

mantiene una velocidad constante u = 40 ft/s.Una aproximación de los datos, que se mues-tran graficados, puede ser obtenida por una lí-nea recta descrita pGf, an = 4/, donde , está en

segundos y f : 0 para ,i : 0. Calcule de estos

datos experimentales el radio de curvatura ¡r en

función de s.

Fis. P12-90

12-91 La posición de una partícula P está dada en'coordenadas polares por r = 20 y 0 : 2t2, don-de r está en metros, I en segundos y d en radia-nes. (a) Obtenga las ecuaciones para.la veloci-

dad y la aceleración como funciones generales

del tiempo en coordenadas polares, y (b) calcule

las componentes tangencial y normal a la tra-yectoria de la aceleración para / = I s.

12-92 Las particulas de un fluido en movimiento salenpor una tobera giratoria que tiene una veloci-dad angular constante r¡ : 10 rad,/s. Un instan-te antes de abandonar la tobera la velocidad de

las partículas de fluido €S u. = 8 m/s, aumen-tando a razón de a, = 2 m/s2, siendo estas dos

cantidades relativas a la tobera. Utilizandocoordenadas cilíndricas, calcule la velocidad y

aceleración (absolutas) de las partículas de flui-do justo antes de abandonar la tobera.

F¡9. P12-9

Via de fenocarrii

Zona pantanosainfestada de

. serplentes

12-90

v=rD

Datos experimentales

Fig. P12-89

El cohete de la figura se lanza verticalmente enel punto P y un radar en O efectúa su segui-miento. Suponga que se conocen con exactitudlos valores de 0, ('t y iial ser medidos desde O. (a)Obtenga expresiones generales para la veloci-dad u y aceleración a del cohete en términos de

0 , ity ii únicamente. (b) ¿Cuál es la velocidad u yla aceleración apan? = 30o si 0 = | rad/syll : O.S rad/s22

L

)n

n-a-

ii-ES

rle

a-

12-93 En el problema 12-92 suponga que adicional-mente al movimiento descrito, el ángulo É = 30"en este instante está aumentando a una razónconstante de 0. I rad,/s alrededor dc un pivote ho-rizontal en el punto O. Utilizando coordenadasesféricas, calcule la velocidad y aceleración de laspartículas de fluido justo antes de abandonar latobera.

12-94 En un parque de diversiones se tiene un dispositi-vo mecánico donde las personas viajan sentadasen compartimientos montados sobre brazos delongitud constante r = 6.5 m. Los brazos giran auna velocidad angular constante uy : 2 rad/s.Un actuador hidráulico -4 controla el ángulo g.Calcule la aceleración de un pasajero aR = 8 mdelpivoteOsi{ = 30",ó = Q.2rad/s.

Fis. P12-94

12-95 Considere la situación de tránsito aéreo de la fi-gura. El avión de controll vuela con velocidadconstante oá en un patrón circular a una altura¿ = 15,000 ft, mientras que otro avión B vuelaa una altura / = 8000 ft. Suponga que B y Ces-tán en el plano XYcomo se indica. Calcule r y IpafaaA = -300ift/s,vs = -600kft/s,R:5000ft,yd:9000ft.

l-_. (

YA <-- A

12-96 En el problema 12-95 calcule la aceleración rela-tivaaeTa suponiendo que el piloto del avión,4 es-

tá aumentando la velocidad a razón de l5 ft,/s2,permaneciendo en el mismo patrón circular devuelo.

Fig. P12-S

:L

PRoBLET\¡As oE REPAso 537