física iii - fundamentos do eletromagnetismo

FÍSICA III

Fundamentos doEletromagnetismo

ABÍLIO MATEUS JR.

T E X T O B A S E A D O N A S N O TA S D E A U L A D A S D I S C I P L I N A S

F Í S I C A I I I ( F S C 5 1 1 3 ) , F Í S I C A T E Ó R I C A B ( F S C 5 1 3 3 ) E F Í -

S I C A G E R A L I I I ( F S C 5 1 9 3 ) , L E C I O N A D A S P E L O A U T O R E N -

T R E 2 0 0 9 – 2 0 1 4 N O D E PA R TA M E N T O D E F Í S I C A D A U N I V E R S I -

D A D E F E D E R A L D E S A N TA C ATA R I N A ( U F S C ) .

A B Í L I O M AT E U S J R .

F Í S I C A I I IF U N D A M E N T O S D O E L E T R O M A G N E T I S M O

Copyright © 2015 Abílio Mateus Jr.

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Sumário

1 Carga elétrica e lei de Coulomb 11.1 Um pouco de história da eletricidade 1

1.2 Carga elétrica 4

1.3 Lei de Coulomb 6

1.4 Testes experimentais da lei de Coulomb 14

Problemas propostos 18

2 O campo elétrico 232.1 O conceito de campo 23

2.2 O campo elétrico 24

2.3 Campo elétrico de distribuições contínuas de carga 28

2.4 Carga puntiforme em um campo elétrico 41

2.5 Um dipolo em um campo elétrico 43


3 Lei de Gauss 513.1 Introdução 51

3.2 O que é simetria? 52

3.3 Superfície gaussiana 53

iv

3.4 Fluxo de um campo vetorial 53

3.5 A lei de Gauss para o campo elétrico 56

3.6 Aplicações da lei de Gauss 58

3.7 Cargas em condutores 67

3.8 Teste experimental da lei de Gauss 70


4 Potencial elétrico 77

4.1 Campos conservativos 77

4.2 Potencial elétrico 78

4.3 Diferença de potencial em um campo elétrico uniforme 81

4.4 Potencial elétrico e energia potencial devido a cargas pontuais 82

4.5 Potencial elétrico de um dipolo elétrico 85

4.6 Potencial produzido por uma distribuição contínua de cargas 85

4.7 Cálculo do campo elétrico a partir do potencial 93

4.8 Superfícies equipotenciais 95

4.9 Potencial elétrico de um condutor carregado 95


5 Capacitores e dielétricos 103

5.1 Definição de capacitância 103

5.2 Cálculo da capacitância 104

5.3 Energia armazenada em um campo elétrico 107

5.4 Dielétricos 110


© 2015 Abílio Mateus Jr.

v

6 Corrente elétrica e resistência 1216.1 Corrente elétrica 1216.2 Resistência 1246.3 Cálculo da resistência em condutores 1296.4 Modelo cinético para condutores (modelo de Drude) 131


7 Circuitos de corrente contínua 1357.1 Fontes de fem 1357.2 Potência em circuitos elétricos 1377.3 Associação de capacitores e resistores 1397.4 Regras de Kirchhoff 1437.5 Circuitos RC 147


8 O campo magnético 1578.1 O magnetismo 1578.2 Força magnética sobre uma carga em movimento 1608.3 Movimento circular de uma carga em um campo magnético 1628.4 Força de Lorentz 1638.5 Efeito Hall 1678.6 Força magnética sobre condutores de corrente 1688.7 Torque sobre uma espira em um campo magnético 172


9 Fontes de campo magnético 1799.1 A experiência de Ørsted 1799.2 Lei de Biot-Savart 1809.3 Lei de Ampère 187



vi

10 Lei de Faraday da indução 20310.1 Introdução 203

10.2 Experimentos de Faraday 204

10.3 Condutores em movimento em um campo magnético uniforme 206

10.4 Lei de Faraday da indução eletromagnética 210

10.5 A lei de Lenz 212

10.6 Campos elétricos induzidos 213

10.7 Geradores 217

10.8 Correntes parasitas 219


Apêndices 227

A Constantes físicas 227

B Vetores 229B.1 Definição e propriedades 229

B.2 Produto escalar 230

B.3 Produto vetorial 232

C Tabela de derivadas 235

D Tabela de integrais 237

E Identidades trigonométricas 239E.1 Identidades pitagóricas 239

E.2 Somas e diferenças de ângulos 239

E.3 Somas e diferenças de funções 240


vii

E.4 Fórmulas de arco duplo 240

E.5 Fórmulas de arco metade 240

E.6 Produtos de funções 240

E.7 Identidades exponenciais 241

Respostas dos problemas 243

Referências Bibliográficas 249


1Carga elétrica e lei de Coulomb

1.1 Um pouco de história da eletricidade

Figura 1.1: Uma peça de âmbarcom uma aranha inclusa.

O âmbar. Um dos primeiros fenômenos de origem elétrica foiobservado na Grécia antiga. Por volta de 600 a.C., o filósofogrego Tales de Mileto (624–546 a.C.) relatou que o âmbar,uma resina vegetal fóssil (Figura 1.1), quando atritado com alã, adquiria a propriedade de atrair objetos leves e pequenos.A palavra eletricidade surgiu exatamente a partir do termogrego para o âmbar, elektron, e foi originalmente empregadano tratado De Magnete1, publicado por William Gilbert

1 Gilbert W., De Magnete, Mag-neticisque Corporibus, et deMagno Magnete Tellure. PeterShort, London, 1600

(1544–1603) em 1600. Neste tratado, Gilbert distinguia a ele-tricidade do magnetismo e discutia as propridades elétricasdo âmbar.

Dois tipos de eletricidade. Em 1733, Charles François duFay (1698–1739) realizou algumas observações interessan-tes sobre as interações elétricas.2 Em um dos relatos, ele 2 Fay M. D., A Letter from Mons.

Du Fay, F. R. S. and of the RoyalAcademy of Sciences at Paris,to His Grace Charles Duke of Ri-chmond and Lenox, concerningElectricity , Philosophical Tran-sactions, 1733, v. 38, p. 258–266

afirma que a eletrização por atrito, obtida ao se esfregar umobjeto em um tecido, por exemplo, não é uma característicaexclusiva do âmbar, podendo ser aplicada a outros tipos deobjetos feitos de diferentes materiais, como madeira, vidroou papel. Uma das observações mais importantes foi a des-coberta de que pedaços de âmbar quando atritados com um

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto

http://pt.wikipedia.org/wiki/William_Gilbert

http://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Du_Fay

http://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Du_Fay

2 física iii

tecido se repeliam entre si, enquanto o vidro atritado comum tecido atraía o âmbar. Peças de vidro eletrizado tam-bém se repeliam entre si. Dessa forma, ele distinguiu duas“espécies” de eletricidade: eletricidade resinosa, relacionadaao âmbar, e eletricidade vítrea, do vidro. Du Fay tambémrealizou outros experimentos para desvendar a natureza daeletricidade. Por exemplo, em um deles ele concluiu que apropriedade de um objeto eletrizado de atrair ou repelir nãodependia de sua cor, como se imaginava na época.3 3 Gray S., A Letter to Cromwell

Mortimer, M. D. Secr. R. S.Containing Several Experimentsconcerning Electricity; By Mr.Stephen Gray , PhilosophicalTransactions, 1731, v. 37, p. 18–44

Eletricidade positiva e negativa. Em correspondências data-das de 1747,4 Benjamin Franklin (1706–1790) adotou os

4 Franklin B., Franklin W., DuaneW., Memoirs of Benjamin Fran-klin. vol. 2 of Memoirs of Benja-min Franklin, McCarty & Davis,1840

termos utilizados atualmente, eletricidade positiva (vítrea) enegativa (resinosa), para descrever as suas observações. Noentanto, Franklin acreditava que a eletricidade fluía de umcorpo para outro na eletrização por atrito, como se fosseuma espécie de fluido elétrico. Nesse caso, um corpo ficavacom menos eletricidade, ou negativo, e o outro com maiseletricidade, ou positivo.

O filosófo descalço. Posteriormente, em uma série de re-latos publicados em 1759,5 Robert Symmer (1707–1763) 5 Symmer R., Mitchell J., New

Experiments and Observationsconcerning Electricity; By Ro-bert Symmer, Esq; F. R. S., Phi-losophical Transactions, 1759,v. 51, p. 340–393

descreveu várias observações curiosas que ele realizou ao cal-çar e retirar suas meias, feitas de materiais distintos, comoseda e lã, e de diferentes cores, especialmente as brancas epretas. Assim como Franklin havia sugerido, ele tambémutilizou os termos eletricidade positiva e negativa, mas comuma interpretação diferente, considerando os dois tipos deeletricidade como dois estados distintos e investigando assuas propriedades, de forma similar ao que havia sido feitopor Du Fay. Porém, os experimentos realizados por Symmerforam relegados a um segundo plano, e como ele utilizousuas próprias meias para tal fim, ficou conhecido mais tardecomo o filósofo descalço. Por outro lado, a teoria dos doisestados opostos de eletrização proposta por Symmer, quefigurava como uma teoria dualista em oposição à teoria deum único fluido defendida por Franklin e seus seguidores,difundiu-se entre os pensadores da época. Até por volta de


http://pt.wikipedia.org/wiki/Benjamin_Franklin

http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Symmer

carga elétrica e lei de coulomb 3

1790 ela já era aceita pela maioria daqueles que trabalhavamem desvendar a origem da eletricidade dos corpos.6 6 Para mais detalhes sobre a

história de R. Symmer e o de-senvolvimento das ideias sobrea eletricidade, veja:

Heilbron J. L., Robert Sym-mer and the Two Electricities,Isis, 1976, v. 67, p. pp. 7–20

Condutores e isolantes. Em 1729, Stephen Gray (1666–1736) realizou uma série de experimentos publicados doisanos mais tarde7, que o levou à descoberta da condução de

7 Gray S., A Letter to CromwellMortimer, M. D. Secr. R. S.Containing Several Experimentsconcerning Electricity; By Mr.Stephen Gray , PhilosophicalTransactions, 1731, v. 37, p. 18–44

eletricidade (ou, como ele chamava, virtude elétrica) entrediferentes corpos e a grandes distâncias. Gray tambémdescobriu que certos materiais retinham mais eletricidadedo que os condutores (metais), o que hoje conhecemos comoisolantes. Os termos condutor e isolante foram utilizadospela primeira vez por John Theophilus Desaguliers (1683–1744), em 1742.8 8 Desaguliers J., A Dissertation

Concerning Electricity . W. Innys,and T. Longman., 1742

Atualmente, sabemos que condutores são materiais emque um número significativo de partículas carregadas (elé-trons livres) podem movimentar-se com uma relativa liber-dade, como é o caso dos metais, do grafite e do próprio corpohumano. Quando uma certa quantidade de carga se moveatravés de um material condutor dizemos que existe umacorrente elétrica no material. Nos materiais não-condutoresou isolantes as partículas carregadas não se movem livre-mente. Como exemplo de isolantes, podemos citar o vidro,a maioria dos plásticos, a borracha, a porcelana e o ar. Figura 1.2: O menino voa-

dor, experimento realizado porStephen Gray em abril de 1730.Créditos: Johann Gabriel Doppel-mayr, Neu-entdeckte Phaenomenavon bewunderswürdigen Würkun-gen der Natur (Nuremburg, 1774).

Eletrização por indução. Um dos experimentos curiososrealizados por Stephen Gray consistia de um menino entreoito e nove anos de idade suspenso fios de seda, ficandoacima de lâminas de latão espalhadas sobre um suporte.Quando um tubo de vidro era eletrizado por atrito e emseguida aproximado dos pés do menino, sem encostar nele, ospedaços de latão eram atraídos pela sua cabeça e mãos. Umailustração desse experimento, extraída de uma publicação de1774, é mostrada na Figura 1.2. Este tipo de experimentotambém foi repetido anos depois por Du Fay e é um exemplocurioso de eletrização por indução, ou seja, sem contatodireto.


http://pt.wikipedia.org/wiki/Stephen_Gray

http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Theophilus_Desaguliers

4 física iii

1.2 Carga elétrica

A intensidade da interação gravitacional entre dois ou maiscorpos é caracterizada pela massa atribuída a eles. De formasimilar, podemos caracterizar o estado de eletrização doscorpos através da definição de uma propriedade análoga àmassa, que chamamos carga elétrica, ou simplesmente carga,representada pelo símbolo q ou Q. Assim como a massa, acarga elétrica é uma propriedade física intrínseca da matéria,de forma que podemos distinguir uma partícula de acordocom sua massa e carga.

Princípio da atração e repulsão. Como vimos anteriormente,as primeiras experiências sobre a eletrização dos corpos mos-traram a existência de dois tipos de eletricidade ou cargaelétrica, que historicamente chamamos carga positiva (sím-bolo +) e carga negativa (símbolo ). Em decorrência disso,surge uma importante propriedade das cargas elétricas, queé o chamado princípio da atração e repulsão descoberto porDu Fay:

Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem. Cargaselétricas de sinais opostos se atraem.

Princípio da atração e repulsão

Esta é uma das principais características que distinguema interação elétrica da gravitacional, já que esta última ésempre atrativa.

Corpos neutros. Podemos caracterizar a carga total de umcorpo pela soma algébrica simples de suas cargas positivase negativas. Quando um corpo possui o mesmo número decargas positivas e negativas, sua carga total é nula e dizemosque ele está eletricamente neutro. Se o equilíbrio de cargas édesfeito, dizemos que um corpo está eletrizado, ou seja, umacarga líquida existirá e ele poderá interagir eletricamente.



Princípio da conservação da carga elétrica. Quando umcorpo é eletrizado por atrito, o estado de eletrização final sedeve à transferência de cargas de um objeto para o outro.Não há criação de cargas no processo. Portanto, se um dosobjetos cede uma certa carga negativa ao outro, ele ficarácarregado positivamente, com a mesma quantidade de cargacedida ao outro. Na eletrização por indução de um corponeutro, por exemplo, ocorre um deslocamento de cargasdentro do corpo deixando-o mais negativo de um lado doque de outro. No entanto, a carga líquida ao longo de todoo corpo continua sendo nula, mantendo sua neutralidadee garantindo a conservação de carga durante o processo.Em ambos os casos, e em qualquer processo observado nanatureza, a carga total de um sistema isolado se conserva:

A carga total não varia para qualquer processo que serealiza dentro de um sistema isolado.

Princípio da conservação de carga

Jamais foi observada na natureza uma situação física queviole este princípio.

Unidade de carga elétrica. A unidade no Sistema Interna-cional (SI) para a carga elétrica é o coulomb (símbolo C).Ele é definido em termos da unidade de corrente elétrica,o ampère (símbolo A), como a carga que passa por umadeterminada seção de um condutor em 1 segundo quandouma corrente de 1 ampère está fluindo através do condutor.A corrente elétrica será estudada no Capítulo 6.

Quantização da carga elétrica. No século XVIII, a carga elé-trica era considerada como um fluido contínuo. Entretanto,no início do século XX, em um trabalho publicado em 1913,Robert A. Millikan (1868–1953) descobriu que o fluidoelétrico não era contínuo.9 A carga elétrica é constituída 9 Millikan R. A., On the Ele-

mentary Electrical Charge andthe Avogadro Constant , Physi-cal Review, 1913, v. 2, p. 109–143

por um múltiplo inteiro de uma carga fundamental e, ou


http://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Millikan

6 física iii

Partícula Carga (C) Massa (kg)

elétron 1e 9,10938 10

31

próton +1e 1,67262 10

27

nêutron 0 1,67493 10

27

Tabela 1.1: Principais proprie-dades dos constituintes de umátomo.

seja, a carga q de um certo objeto pode ser escrita como

q = ne, com n = ±1,±2,±3, ...

onde e possui o valor de 1,602 176 565 10

19 C, sendoconsiderada uma das constantes fundamentais da natureza.10 10 http://physics.nist.gov/cgi-

bin/cuu/Value?ePodemos dizer que a carga elétrica existe em paco-tes discretos ou, em termos modernos, é “quantizada”, nãopodendo assumir qualquer valor. Outras experiências daépoca de Millikan mostraram que o elétron tem carga e eo próton +e, o que assegura que um átomo neutro tem omesmo número de prótons e elétrons. Os nêutrons, comoo próprio nome sugere, possuem carga nula. A Tabela 1.1sumariza as cargas e massas das partículas atômicas.

1.3 Lei de Coulomb

Em 1784, Charles Augustin de Coulomb (1736–1806) rea-lizou experimentos com uma balança de torção e mediu asatrações e repulsões elétricas entre duas esferas eletricamentecarregadas. A partir dessas medidas ele deduziu a lei quegoverna a eletrostática:

A força elétrica exercida por um corpo carregado sobreoutro depende diretamente do produto do módulo dascargas e inversamente do quadrado da distância que ossepara.

Lei de Coulomb


http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?e

http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?e

http://pt.wikipedia.org/wiki/Charles_Augustin_de_Coulomb


A interação entre cargas elétricas também é chamadade força eletrostática ou coulombiana. Antecessores de Cou-lomb já haviam sugerido que a força eletrostática seria in-versamente proporcional ao quadrado da distância entre ascargas, portanto semelhante à força gravitacional descritapor Newton (para uma discussão mais detalhada, veja aseção 1.4). No entanto, Coulomb foi o primeiro a de fatomostrar experimentalmente tal relação e enunciar a lei querege as interações eletrostáticas.

Em termos matemáticos, podemos expressar a lei deCoulomb como

F / |q1

| |q2

|r2

,

onde q1

e q2

são as cargas elétricas de dois corpos separa-dos por uma distância r. Introduzindo uma constante deproporcionalidade, k, a expressão matemática para a lei deCoulomb fica:

F = k|q

1

| |q2

|r2

.

Note que a lei de Coulomb assemelha-se à lei da gravitaçãouniversal de Newton,

F = Gm

1

m2

r2,

onde G = 6,673 84 10

11 m3 kg1 s2 é a constante gravi-tacional, e m

1

e m2

são as massas de dois corpos quaisquerseparados pela distância r. Ambas são leis para o inverso doquadrado da distância. A carga q, neste caso, é o análogoda massa.

A constante k é definida como:

k =

1

4"0

= 8,99 10

9 N m2 C2,

onde"0

= 8,854 187 817 10

12 C2 N1 m2,

é a constante de permissividade elétrica do vácuo.11 Por- 11 http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0


http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0

http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0

8 física iii

tanto, podemos escrever o módulo da força eletrostáticadada pela lei de Coulomb como

F =

1

4"0

|q1

| |q2

|r2

.

Exemplo 1.1: Força eletrostática e gravitacional no átomode hidrogênio

O elétron e o próton de um átomo de hidrogênio estão separadospor uma distância média de aproximadamente 5,3 10

11 m.Qual o valor absoluto da força eletrostática e gravitacional entreeles?

Aplicando a lei de Coulomb, a magnitude da força eletrostáticaé

F

e

=

1

4"0

|e| | e|r

2

= (8,99 10

9Nm

2/C

2)

(1,60 10

19C)

2

(5,3 10

11m)

2

F

e

= 8,2 10

8N.

Usando a lei da gravitação de Newton e considerando asmassas de cada partícula, encontramos a magnitude da forçagravitacional:

F

g

= G

m

p

m

e

r

2

= (6,67 10

11Nm

2/kg

2)

(1,67 10

27)(9,11 10

31) kg

2

(5,3 10

11m)

2

F

g

= 3,6 10

47N.

A razão entre as duas é F

e

/F

g

2 10

39. Logo, a forçagravitacional entre partículas atômicas carregadas é desprezívelcomparada com a força eletrostática.

Forma vetorial da lei de Coulomb

Até aqui consideramos apenas o módulo da força entre duascargas, determinada de acordo com a lei de Coulomb. A



força, sendo um vetor, também possui propriedades direcio-nais.

+

–

+

+

Figura 1.3: Sentido da força ele-trostática entre duas cargas elé-tricas (a) de sinal positivo e (b)de sinais opostos. Para umamelhor clareza, os vetores ~r12e r12 foram omitidos em (b).

Considere as duas cargas, q1

e q2

, mostradas na Fi-gura 1.3. A localização da carga q

1

é dada por um vetor r1

a partir de uma origem arbitrária O, e para a carga q2

, ovetor é r

2

. A separação vetorial entre r1

e r2

é dada pelovetor que aponta da carga q

2

para a carga q1

~r12

= ~r1

~r2

,

e seu módulo é r12

= |~r1

~r2

|, a distância entre as duascargas. É conveniente definir um vetor unitário que dá adireção de ~r

12

, ou seja,

r12

=

~r12

r12

=

~r1

~r2

|~r1

~r2

| .

Com estas definições, a força eletrostática sobre a cargaq1

exercida pela carga q2

, ~F12

, pode ser escrita vetorialmentecomo

~F12

=

1

4"0

q1

q2

r212

r12

.

A força entre as cargas atua ao longo da linha que as une;ela é repulsiva se q

1

e q2

tiverem o mesmo sinal, e atrativase tiverem sinais opostos.

Podemos mostrar que a força exercida sobre a partícula2 pela partícula 1, ~F

21

, é oposta a ~F12

:

~F21

=

1

4"0

q2

q1

r221

r21

,

como r21

= r12

e ~r21

= ~r2

~r1

= ~r12

, temos

~F21

= ~F12

.

Princípio da superposição

Quando há mais do que duas cargas presentes, a força re-sultante sobre qualquer carga será dada pela soma vetorial


10 física iii

de todas as forças individuais atuando sobre ela. Este é ochamado princípio da superposição. Por exemplo, a forçaresultante que atua sobre uma carga q

1

devido à presençade N cargas pontuais pode ser escrita como

~F1

=

~F12

+

~F13

+

~F14

+ · · ·+ ~F1N .

Figura 1.4: O vetor ~rij

se es-tende desde a posição da cargaq

j

, dada pelo vetor ~rj

, até acarga q

i

, localizada pelo vetor~r

i

.

Em termos gerais, a força resultante sobre uma cargaqi, cuja posição é dada por um vetor ~ri a partir de umaorigem arbitrária O (veja a Figura 1.4), é igual à somavetorial das forças produzidas por todas as outras cargas qj(com j 6= i):

~Fi =

X

j 6=i

~Fij =qi

4"0

X

j 6=i

qjr2ij

rij ,

Lei de Coulomb; princípio da superposição

onde

rij =~rijrij

=

~ri ~rj|~ri ~rj |

.

Com a lei de Coulomb e com o princípio da superposição,podemos resolver qualquer problema eletrostático, ou seja,descrever completamente as interações entre cargas elétricasem repouso.

Exemplo 1.2: Força resultante em uma carga

Considere o arranjo de cargas mostrado na Figura 1.5 abaixo,onde q1 = 1,0 µC, q2 = +3,0 µC e q3 = 2,0 µC. As cargasq1 e q2 estão separadas por 15 cm no eixo x, e a carga q3 está a10 cm da carga q1, formando um ângulo = 30

com o eixo y.Determine a força que atua sobre q1.



+

––

Figura 1.5: Arranjo de cargas. Qual a força resultante atuando sobre a carga q1?

Usando o princípio da superposição, a força resultante queatua sobre a carga q1, devido às cargas q2 e q3, é dada por

~

F1 =

~

F12 +~

F13 = F12 r12 + F13 r13,

onde

F12 = k

|q1| |q2|r

212

= 8,99 10

9 (1,0 10

6)(3,0 10

6)

(0,15)

2= 1,20 N

F13 = k

|q1| |q3|r

213

= 8,99 10

9 (1,0 10

6)(2,0 10

6)

(0,10)

2= 1,80 N

Os vetores unitários são

r12 = ı e r13 = sen ı cos |.

Assim, a força sobre a carga q1 é

~

F1 = 1,20ı+ 1,80 sen 30

ı 1,80 cos 30

|

~

F1 = 2,10ı 1,56|.

O módulo é dado por:

|~F1| =q

F

21x + F

21y =

p(2,10)

2+ (1,56)

2= 2,62 N.

A força resultante ~

F1 forma um ângulo ↵ com o eixo x, obtidopela relação:

F1x = F1 cos↵ ) cos↵ =

F1x

F1) ↵ = 36,7

.


12 física iii

Exemplo 1.3: Distribuição de cargas com simetria

A Figura 1.6 mostra duas cargas positivas iguais q1 = q2 = 2,0 µClocalizadas em x = 0, y = 0,30 m e x = 0, y = 0,30 m,respectivamente. Qual o módulo e direção da força elétrica totalque as cargas q1 e q2 exercem sobre uma terceira carga q3 = 4,0 µCem x = 0,40 m, y = 0?

+

+

+

Figura 1.6: Cargas positivas e simétricas. Qual a força resultante sobre a cargaq3?

Vamos determinar a soma vetorial das forças que cada cargaexerce sobre q3. A Figura 1.6 mostra os vetores das forças ~

F31 e~

F32, cujos módulos serão iguais, já que as cargas são idênticas e asdistâncias entre elas e a carga q3 também são iguais. Aplicandoa lei de Coulomb, temos

F31 = F32 = 8,99 10

9 (2,0 10

6)(4,0 10

6)

(0,50)

2= 0,29 N.

As componentes x das duas forças também são iguais:

F31x = F32x = F cos = 0,29

0,40

0,50

= 0,23 N.

Por simetria, notamos que as componentes y das duas forças sãoiguais mas opostas. Logo, elas se anulam e a força total ~

F3 que



atua sobre a carga q3 possui apenas a componente x, que é asoma das componentes x das forças ~

F31 e ~

F32:

F3x = F31x + F32x = 0,23 N + 0,23 N = 0,46 N.

Em termos vetoriais, a força resultante sobre a carga q3 é

~

F3 = 0,46ı N.

Exemplo 1.4: Força resultante e condição de equilíbrio

Três cargas pontuais estão distribuídas ao longo do eixo x comomostrado na Figura 1.7. A carga positiva q1 = 15,0 µC estáem x = 2,00 m, a carga positiva q2 = 6,00 µC está na origem euma terceira carga negativa q3 está numa posição tal que a forçaresultante sobre ela é nula. Qual é a coordenada x da carga q3?

+ +–Figura 1.7: Três cargas ao longo do eixo x. Qual deve ser a posição da carga q3

de forma que todo o sistema permaneça em equilíbrio?

Como a carga q3 é negativa, ambas as forças ~

F31 e ~

F32 sãoatrativas, conforme indicado na Figura 1.7. Pela lei de Coulomb,os módulos das forças são

F31 = k

|q1||q3|(2,00 x)

2, F32 = k

|q2||q3|x

2.

Para que a força resultante sobre q3 seja nula, a força ~

F23 deveter o mesmo módulo da força ~

F31 e direção oposta. Igualando osmódulo, temos

k

|q1||q3|(2,00 x)

2= k

|q2||q3|x

2.


14 física iii

Os termos k e q3 se cancelam, e resolvendo para encontrar x,encontramos

(2,00 x)

2|q2| = |q1|x2

(4,00 4,00x+ x

2)(6,00 10

6) = x

2(15,0 10

6)

3,00x

2+ 8,00x 8,00 = 0.

Resolvendo esta equação, encontramos que a raiz positiva é

x = 0,775 m.

A outra raiz é x = 3,44 m. Porém, neste caso, as duas forçastambém possuem o mesmo módulo, mas apontam na mesmadireção, de forma que as forças não se anulam.

1.4 Testes experimentais da lei de Coulomb

A interação entre cargas elétricas foi experimentalmenteinvestigada por inúmeros cientistas a partir de meados doSéc. XVIII. Um dos primeiros a estudar suas propriedadesfoi Benjamin Franklin (1706–1790). Em 1755, ele obser-vou que um pedaço de cortiça suspenso por um fio, ao sercolocado próximo de um condutor metálico oco, era forte-mente atraído pela superfície do condutor. Porém, quandoo objeto era colocado no interior do condutor, ele não eraatraído por sua superfície interna. Na época, Franklin nãoconseguiu entender o fenômeno e comunicou sua descobertapara seu colega, Joseph Priestley (1733–1804), para que elepudesse confirmar o resultado. Em 1766, Priestley repetiu oexperimento e concluiu que uma cavidade em um condutoreletricamente carregado não produz força sobre uma cargano seu interior. Além disso, ele também observou que nãohaviam cargas na superfície interna da cavidade quando ocondutor estava eletricamente carregado. As observaçõesde Priestley foram publicadas em 176712, onde especulou 12 Priestley J., The History and

Present State of Electricity . Prin-ted for J. Dodsley, J. Johnsonand T. Cadell, 1767

que a lei que rege as interações entre cargas elétricas deveriaser similar à lei da gravitação de Newton, isto é, deveria



ser uma lei proporcional ao inverso do quadrado da distân-cia. No entanto, tal resultado permaneceu apenas no nívelespeculativo.

Em 1769, outro experimento demonstrou que as for-ças eletrostáticas deveriam ser dependentes de 1/r2. JohnRobison (1739–1805) determinou que a força de repulsãoentre duas esferas carregadas dependiam da separação entreelas, mas ao invés de adotar o expoente 2 ele utilizou aforma 2 + , ou seja, 1/r2+. Na ocasião, ele obteve umvalor = 0,06. O resultado encontrado por Robison só foipublicado posteriormente13, quando o trabalho de Coulomb 13 Robison J., A System of Me-

chanical Philosophy . No. v. 4 inA System of Mechanical Philo-sophy, John Murray, 1822

já era conhecido.Outro predecessor de Coulomb foi Henry Cavendish

(1731–1810) que, em 1773, utilizou esferas concêntricas paraestudar a interação entre cargas indiretamente. Cavendishsugeriu que, assim como a força gravitacional entre corpos,a força elétrica entre cargas obedeceria uma lei do inverso doquadrado da distância, com a diferença de ser repulsiva paracargas de mesmo sinal e atrativa para cargas opostas. ComoRobison, a maioria dos resultados obtidos por Cavendishforam publicados posteriormente à descoberta de Coulomb.Graças a James Clerk Maxwell, as pesquisas desenvolvidaspor Cavendish na área de eletromagnetismo foram publi-cadas um século depois, em 187914, quando várias de suas 14 Cavendish H., The Electri-

cal Researches of Henry Caven-dish. (Maxwell, J. C. ed.), Cam-bridge University Press, 1879

descobertas já haviam sido creditadas a outros cientistas.Embora vários cientistas tenham investigado a lei que

rege as interações entre cargas elétricas, chegando até mesmoaos resultados que conhecemos atualmente, Charles Coulomb(1736–1806) foi o primeiro a apresentar, em 1785,15 uma 15 Coulomb C., Premier mé-

moire sur l’électricité et lemagnétisme. In: Histoire del’Académie Royale des Scien-ces , De l’imprimerie royale,1785, p. 569

lei consistente com a dependência da força entre cargasproporcional a 1/r2. Os experimentos de Coulomb foramdividios em três partes: (1) usando uma balança de torção,ele demonstrou de forma direta que duas cargas de mesmosinal se repelem com uma força que varia inversamente como quadrado da distância entre elas; (2) a lei para a forçaatrativa entre cargas opostas foi detectada indiretamente


16 física iii

por uma balança de torção, inspirada pela lei do inversoquadrado da gravitação; (3) obteve a relação entre a força e oproduto das duas cargas. Usando estes resultados, Coulombapresentou a famosa lei da eletrostática, que hoje chamamoslei de Coulomb:

F = kq1

q2

r2.

Durante algumas décadas após a sua descoberta, mui-tos físicos contemporâneos a Coulomb criticaram os resul-tados apresentados. Além disso, experimentos semelhantesrealizados por outros cientistas não chegaram às mesmas con-clusões. De fato, alguns acreditavam que Coulomb chegaraà lei que conhecemos atualmente apenas utilizando conside-rações teóricas, já que existiam várias incertezas associadasàs medidas feitas usando a balança de torção. Outras formu-lações alternativas foram propostas, mas a lei de Coulombsobreviveu a todos os testes feitos até hoje.

Uma versão aprimorada do experimento de Caven-dish foi realizada por James Clerk Maxwell (1831–1879) em187316. Um fenômeno idêntico ao obtido por Cavendish foi 16 Maxwell J. C., A treatise on

electricity and magnetism. Cla-rendon Press, 1873

observado por ele, que concluiu que o desvio da lei de Cou-lomb deveria ser menor do que 1/21.600. Posteriormente,outros experimentos atingiram valores cada vez menores, uti-lizando métodos diversos. Por exemplo, Plimpton & Lawton(1936), utilizando um esquema parecido com o proposto porCavendish e Maxwell, chegaram a um valor para o desvio dalei de Coulomb igual a < 2 10

9. Portanto, o expoente2 estaria correto com um erro de uma parte em um bilhão.Na década de 1970-80, Williams et al. (1971), utilizandouma configuração formada por cinco icosaedros concêntricos,atingiram uma precisão correspondente a < 2,7 10

16, emais tarde Crandall (1983) propôs uma metodologia maissimplificada para ser utilizada praticamente em qualquerlaboratório universitário a baixo custo, atingindo uma pre-cisão máxima de < 6 10

17. Por fim, cabe mencionar oexcelente artigo de revisão por Tu et al. (2005), que contéma discussão apresentada acima de forma detalhada, bem



como a consequência do desvio da lei de Coulomb para asmedidas da massa do fóton.


18 física iii

Problemas propostosNíveis de dificuldade:

E – de boa na lagoa;EE – mais fácil que capinar umlote;

– fujam para as colinas!

1.1 E Duas cargas pontuais q1

= +3,0 µC e q2

= 2,0 µCestão separadas por uma distância de 4,0 cm. Calcule omódulo da força eletrostática que atua sobre cada carga.

1.2 E Qual deve ser a distância entre duas cargas puntiformesq1

= 20,0 µC e q2

= 30,0 µC para que o módulo da forçaeletrostática entre elas seja de 5,39 N?

1.3 EE Três partículas carregadas, localizadas sobre umalinha reta, estão separadas entre si pela distância d, comomostra a Figura 1.8. As cargas q

1

e q2

estão fixas. A carga q3

,que está livre para se mover, encontra-se em equilíbrio (ne-nhuma força eletrostática líquida atua sobre ela). Determineq1

em termos de q2

.

Figura 1.8: Problema 1.3.

1.4 EE Uma partícula puntiforme que tem carga de -2,5 µCestá localizada na origem. Uma segunda partícula que temcarga de 6,0 µC está em x = 0,10 m, y = 0,50 m. Uma ter-ceira partícula, um elétron, está no ponto cujas coordenadassão (x,y). Determine os valores de x e y tal que o elétronesteja em equilíbrio.

1.5 EE Quais são as componentes horizontal e verticalda força eletrostática resultante que atua sobre a cargaq3

mostrada na Figura 1.9, onde q1

= 1,0 10

7 C,q2

= 2,010

7 C, q3

= +2,010

7 C, q4

= +1,010

7 Ce a = 5,0 cm.


1.6 EE Três partículas carregadas estão localizadas nosvértices de um triângulo equilátero de 1,20 m de lado. Ascargas têm os seguintes valores: q

1

= +4,0 µC, q2

= 8,0 µCe q

3

= 6,0 µC. Calcule o módulo e a direção da força elétrica



resultante que atua em cada carga devido à presença dasoutras.

1.7 EE A Figura 1.10 mostra três cargas pontuais fixasno plano xy. Uma carga positiva q

1

= +8,00 µC está naorigem do sistema de coordenadas. As outras duas cargaspossuem mesmo módulo, mas sinais opostos: q

2

= 5,00 µCe q

3

= +5,00 µC. Se a distância r = 1,30 m e = 23,0,(a) determine a força resultante que atua sobre a carga naorigem. (b) Se q

1

também possuísse uma massa m = 1,50 ge fosse livre para se mover, qual seria sua aceleração?

–

+

+


1.8 EE Cinco cargas puntiformes idênticas, cada uma comcarga q, estão igualmente espaçadas em um semicírculo deraio R, como mostra a Figura 1.11. Determine a força emuma carga de prova q

0

localizada em um ponto equidistantedas cinco outras cargas.


1.9 EE A Figura 1.12 mostra um retângulo de lados d e 4d.Três cargas positivas, de mesmo módulo q = +3,0 µC, estão


20 física iii

fixas nos vértices A, B e C. Qual carga (módulo e sinal) deveser colocada no vértice D de forma que a força resultantesobre a carga no vértice B possua apenas a componentevertical?

+

+

+


1.10 EE Na Figura 1.13, uma carga q1

= +1,0 µC e umacarga q

2

= +4,0 µC são mantidas fixas a uma distânciaL = 9,00 cm sobre o eixo x. Uma terceira carga q

3

é entãocolocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio.Determine (a) o módulo e sinal da carga q

3

; (b) a coordenadax da carga q

3

; (c) a coordenada y da carga q3

.


1.11 EE Na Figura 1.14, duas pequenas esferas condutorasde mesma massa m e carga q estão penduradas em fios não-condutores de comprimento `. Suponha que o ângulo é tãopequeno que a aproximação tan sen pode ser usada.(a) Encontre a distância de equilíbrio x entre as esferas. (b)Se ` = 120 cm, m = 10 g e x = 5,0 cm, qual é o valor de |q|?(c) Explique o que acontece com as esferas se uma delas édescarregada (ligando, por exemplo, momentaneamente aesfera à terra). (d) Determine a nova distância de equilíbriox usando os mesmos valores dados e obtidos no item (b).




1.12 EE Um pequeno pedaço de borracha de massa m =

8,00 10

2 kg e carga q1

= 0,600 µC está pendurado porum fio de massa desprezível. Uma segunda carga negativaq2

= 0,900 µC é colocada a uma distância horizontalr = 0,150 m da primeira, como mostra a Figura 1.15, deforma que o fio faz um ângulo com a vertical. Encontre(a) este ângulo e (b) a tensão no fio.

–+


1.13 E O módulo da força eletrostática entre dois íons iguaisseparados por uma distância de 5,0 10

10 m é 3,7 10

9 N.(a) Qual é a carga de cada íon? (b) Quantos elétrons estão“faltando” em cada íon?


22 física iii

1.14 E Uma carga Q é transferida de uma esfera de plásticoinicialmente neutra para outra esfera idêntica localizada auma distância de 12 cm. A força de atração entre as esferasé então de 17 mN. Quantos elétrons foram transferidos deuma esfera para a outra?


2O campo elétrico

2.1 O conceito de campo

Na Física, para descrever as interações fundamentais queocorrem na natureza é de vital importância a introduçãodo conceito de campo. Campo pode ser definido como umapropriedade física que se estende em uma região do espaço,descrita através de uma função da posição e do tempo. Porexemplo, a temperatura do ar em uma sala tem um valorespecífico em cada ponto, e neste caso temos um campoescalar de temperaturas, T (x,y,z,t), que também pode variarcom o tempo. Se ao invés de uma grandeza escalar, como atemperatura ou pressão, tivermos grandezas vetoriais, comoa velocidade do fluxo num fluido, teremos um campo vetorialassociado a cada ponto do fluido, em cada instante de tempo,~v(x,y,z,t). Outro exemplo de um campo vetorial é o campogravitacional terrestre.

A principal utilidade do conceito de campo é resolvero problema da ação à distância, isto é, uma interação queocorre entre duas ou mais partículas mesmo que elas estejamseparadas fisicamente no espaço. Por exemplo, vimos nocapítulo anterior que se uma partícula com carga positiva q

1

for colocada a uma distância r de uma segunda carga positivaq2

, de acordo com a lei de Coulomb, ambas sofrerão uma

24 física iii

força eletrostática repulsiva proporcional a q1

q2

/r2. Mas seas partículas não estão em contato, como elas interagem?

No caso da interação entre cargas elétricas, MichaelFaraday (1791–1867) foi o primeiro a mencionar um campode força elétrica. Posteriormente, James Clerk Maxwell(1831–1879) identificou o campo elétrico como o espaço emtorno de um objeto eletrizado, no qual a força elétrica atua.1 1 Maxwell J. C., A treatise on


Dessa forma, dizemos que a carga q1

cria um campo elétricono espaço ao seu redor. Em qualquer ponto P do espaço,o campo tem módulo, direção e sentido. Logo, o campoelétrico também é um exemplo de campo vetorial. Assim,quando colocamos q

2

no ponto P , q1

interage com q2

atravésdo campo elétrico existente em P . A primeira carga geraum campo elétrico, e a segunda interage com ele, e vice-versa. O módulo, a direção e o sentido desse campo elétricodeterminam o módulo, a direção e o sentido da força queatua sobre as cargas.

2.2 O campo elétrico

Definimos o campo elétrico ~E associado a um certo conjuntode cargas em termos da força exercida sobre uma carga deprova positiva q

0

, em um determinado ponto do espaço, ouseja

~E =

~F

q0

.

Campo elétrico

A direção e o sentido do campo elétrico são dados pela forçasofrida pela carga de prova. A unidade SI para o campoelétrico é o newton/coulomb:

[E] newtoncoulomb

=

NC.


http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday


http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell

o campo elétrico 25

Note que a carga de prova q0

deve ser suficientementepequena para não perturbar a distribuição de cargas cujocampo elétrico estamos tentando medir. Isto é, em termosmatemáticos, a definição do campo elétrico poderia ser

~E = lim

q0!0

~F

q0

.

Porém, como a carga elétrica é quantizada, na prática essadefinição é incorreta e serve apenas para ilustrar a necessi-dade da carga de prova ser a menor possível.

Campo elétrico de uma carga puntiforme

Seja uma carga de prova positiva q0

situada a uma distânciar de uma carga puntiforme q. A força eletrostática que atuasobre q

0

é dada pela lei de Coulomb,

~F =

1

4"0

qq0

r2r,

onde r é o vetor unitário na direção da reta que passa pelasduas cargas, com origem na carga q. O campo elétrico noponto em que se encontra a carga de prova é

~E =

~F

q0

=

1

4"0

q

r2r.

A direção de ~E será idêntica à de ~F , ao longo de uma linharadial com origem em q e apontando para fora, se q forpositiva, ou para dentro, se q for negativa.

Para uma distribuição de N cargas pontuais, o campoelétrico ~E num ponto P qualquer será obtido através doprincípio da superposição:

~E =

~E1

+

~E2

+

~E3

+ · · ·+ ~EN ,

ou seja, num dado ponto, os campos elétricos das cargasindividuais simplesmente se somam (vetorialmente) ou se


26 física iii

superpõem independentemente. Essa soma vetorial pode serconvenientemente escrita como:

~E =

1

4"0

NX

i=1

qir2i

ri,

Cargas pontuais

onde ri é a distância da carga qi até o ponto P e ri é ovetor unitário da direção que liga a carga a este ponto, comorigem na carga.

Campo elétrico criado por um dipolo elétrico

A Figura 2.1 mostra uma configuração de cargas chamadadipolo elétrico, composto por duas cargas de mesmo móduloe sinais opostos, separadas por uma distância d. As cargasgeram campos elétricos ~E

+

e ~E, respectivamente. Osmódulos destes dois campos em P são iguais, já que P éequidistante das cargas positiva e negativa.

+

–

Figura 2.1: Cargas positiva enegativa de igual magnitude for-mam um dipolo elétrico. Ocampo elétrico ~

E em qualquerponto é o vetor soma dos cam-pos gerados pelas cargas indi-viduais. No ponto P , ao longodo x, o campo tem apenas acomponente y.

O campo elétrico total em P é dado pela soma vetorialdos campos individuais:

~E =

~E+

+

~E.



As magnitudes dos campos de cada uma das cargas sãodadas por

E+

= E =

1

4"0

q

r2=

1

4"0

q

x2

+ (d/2)2. (2.1)

A componente x do campo será nula, já que:

Ex = E+

sen E sen = 0.

O campo total ~E possui apenas a componente y, com módulodado por

Ey = E+

cos + E cos = 2E+

cos . (2.2)

O ângulo é determinado por

cos =

d/2px2

+ (d/2)2.

Substituindo este resultado e a equação 2.1 na equação 2.2,obtemos

Ey = 2

1

4"0

q

x2

+ (d/2)2d/2p

x2

+ (d/2)2=

1

4"0

qd

[x2

+ (d/2)2]3/2.

Como ~E = Ey(|), temos

~E = 1

4"0

qd

[x2

+ (d/2)2]3/2|. (2.3)

A equação 2.3 fornece o campo elétrico em P devido aodipolo. Note que o sinal negativo indica que o campo apontano sentido negativo do eixo y. O produto qd representa omódulo de um vetor chamado momento de dipolo elétrico2, 2 O momento de dipolo elétrico

é um vetor cuja direção é dadapela reta que une duas cargase o sentido aponta sempre dacarga negativa para a positiva.

~p:| ~p | = qd.

Frequentemente, observamos o campo de um dipolo elétricoem pontos P cuja distância x ao dipolo é muito grandecomparada com a separação d, isto é, x d, logo

~E 1

4"0

p

x3

|. (2.4)


28 física iii

Linhas de força

Michael Faraday , que introduziu a ideia de campo elétricono século XIX, imaginava que o espaço ao redor de umcorpo carregado eletricamente estava preenchido por linhasde força. As linhas de força do campo elétrico constituemum auxílio para visualizar o campo. Uma linha de força oulinha de campo é traçada de tal maneira que sua direção esentido em qualquer ponto são os mesmos que os do campoelétrico nesse ponto. A Figura 2.2 mostra exemplos de linhasde campo para algumas distribuições de cargas elétricas. Asprincipais características das linhas de força são:

+ –

+

–

++

+ –

Figura 2.2: Linhas de campoelétrico: carga positiva; carganegativa; dipolo elétrico; duascargas idênticas positivas; duascargas +2q e q.

1. As linhas de força mostram a direção do campo elétricoem qualquer ponto. Em linhas curvas, a direção do campoé tangente à curva.

2. As linhas de força se originam em cargas positivas eterminam em cargas negativas.

3. As linhas de força são desenhadas de modo que o númerode linhas por unidade de área da seção reta (perpendicu-lar às linhas) seja proporcional à intensidade do campoelétrico.

2.3 Campo elétrico de distribuições contínuas decarga

Considere uma distribuição contínua de cargas, cujo campogerado pode ser calculado dividindo-se a distribuição emelementos infinitesimais de carga dq. Cada elemento decarga produz um campo d ~E num ponto P , conforme mostraa Figura 2.3. O campo elétrico criado por cada elementode carga dq é similar ao campo produzido por uma cargapontual:




d ~E =

1

4"0

dq

r2r,

Elemento infinitesimal de campo

onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P

e r é o vetor unitário na direção de r.O campo resultante (total) é determinado pelo princí-

pio da superposição, somando-se (integrando-se) as contri-buições de campo de cada elemento dq, ou seja,

~E =

ˆd ~E =

1

4"0

ˆdq

r2r.

Figura 2.3: Um elemento decarga dq produz um elementode campo dE na posição doponto P .

Note que esta é uma soma (integral) vetorial, de formaque podemos decompor a integral em cada componente noespaço cartesiano, por exemplo

Ex =

ˆdEx, Ey =

ˆdEy e Ez =

ˆdEz,

e escrevemos o vetor campo elétrico como:

~E = Ex ı+ Ey |+ Ezˆk.

Densidade de cargas

Em geral, uma distribuição contínua de cargas é descritapela sua densidade de carga. Numa distribuição linear como,por exemplo, um fino filamento carregado, um elemento arbi-trário de comprimento d` possui uma carga dq. A densidadelinear de carga, , ou carga por unidade de comprimento(C/m), é definida por

=

dq

d`e dq = d`.

Densidade linear de carga


30 física iii

A carga total contida em uma linha de cargas L pode entãoser calculada através da integral

q =

ˆL

d`.

Se o objeto estiver uniformemente carregado, então seráconstante e igual à carga total do objeto dividida pelo seucomprimento total L. Neste caso,

dq =

q

Ld`, carga linear uniforme.

Se a carga estiver distribuída sobre uma superfície,uma carga dq estará contida em um elemento de área dA.Define-se a densidade superficial de carga, , ou carga porunidade de área (C/m2), como

=

dq

dAe dq = dA.

Densidade superficial de carga

A carga total em uma superfície S pode ser calculada atravésda integral

q =

ˆS

dA.

Numa distribuição uniforme de carga sobre a superfície, será constante e igual à carga total dividida pela área total,ou seja

dq =

q

AdA, carga superficial uniforme.

Analogamente, podemos considerar uma carga distri-buída num volume, ou seja, uma carga dq contida em umelemento de volume dV . A densidade volumétrica de carga,, ou carga por unidade de volume (C/m3), é dada por



=

dq

dVe dq = dV.

Densidade volumétrica de carga

A carga total no volume V é dada pela integral

q =

ˆV

dV.

Se o objeto estiver uniformemente carregado, será cons-tante, de forma que

dq =

q

VdV, carga volumétrica uniforme.

Alguns exemplos do cálculo do campo elétrico de al-gumas distribuições contínuas de carga são discutidos nostópicos a seguir.

Linha infinita de cargas

A Figura 2.4 mostra uma linha contendo cargas positivasuniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento.Vamos determinar o módulo do campo elétrico em um pontoP localizado a uma distância x do ponto médio O da linha.Assumimos que x é muito menor que o comprimento dalinha e que é a densidade linear de cargas.

Definimos um sistema de coordenadas de tal formaque o eixo y está na direção da linha, com origem no pontoO. Um segmento da linha dy possui carga dq = dy. Omódulo do campo elétrico d ~E no ponto P produzido poreste elemento de carga (ou pelo segmento da linha) é dadopor:

dE =

1

4"0

dq

r2=

1

4"0

dy

(x2

+ y2),

onde r = (x2

+ y2)1/2. O vetor d ~E possui componentes dEx

e dEy, como mostrado na figura, onde

dEx = dE cos


32 física iii

Figura 2.4: Linha infinita de car-gas.

dEy = dE sen .

Como o ponto O está na metade da linha, a componente y

do campo ~E será zero, já que haverá contribuições iguaispara Ey =

´dEy acima e abaixo de O:

Ey =

ˆdE sen = 0.

Portanto, temos

Ex =

ˆdE cos =

4"0

ˆcos dy

(x2

+ y2).

A integral é feita em y, logo x é constante. Devemosagora escrever y em função de . Como y = x tan , entãody/d = x sec

2 e portanto dy = x d/ cos2 . Além disso,como cos = x/r = x/

px2

+ y2, temos que 1/(x2

+ y2) =

cos

2 /x2. A integral acima fica:

Ex =

4"0

ˆcos x d

cos

2

cos

2

x2

=

4"0

x

ˆ /2

/2

cos d

Ex =

4"0

xsen

/2

/2

=

2"0

x,



onde assumimos que a linha é extremamente longa em ambosos lados (y ! ±1) que corresponde aos limites = ±/2.Vetorialmente, escrevendo ~E = Ex ı, o resultado fica:

~E =

1

4"0

2

xı.

Linha infinita

Note que o campo aponta apenas na direção do eixo x, ouseja, em qualquer ponto nas proximidades da linha infinitao campo elétrico é perpendicular à linha.

Linha de cargas em forma de arco

Considere agora uma linha de cargas curvada na forma deum arco de raio R. Uma carga negativa está distribuídauniformemente ao longo do arco com uma densidade linear .O arco subentende um ângulo total 2

0

, simétrico em relaçãoao eixo x, como mostra a Figura 2.5. Vamos determinar ocampo elétrico no ponto P , na origem.

Figura 2.5: Arco de raio R carre-gado com uma densidade lineare uniforme de cargas negativas.


34 física iii

Seja um elemento de comprimento d` = Rd, queforma um ângulo com o eixo x. A quantidade de cargascontida neste elemento é dq = d` = Rd.

Podemos escrever a contribuição deste elemento decarga para o campo elétrico no ponto P como:

d ~E =

1

4"0

dq

r2r.

Escrevendo o vetor unitário em coordenadas cartesianas

r = cos ı+ sen |,

temos

d ~E =

1

4"0

dq

R2

(cos ı+sen |) =1

4"0

d

R(cos ı+sen |).

Integrando em , desde 0

até +0

, obtemos

~E =

1

4"0

R

ˆ+0

0

d(cos ı+ sen |)

~E =

1

4"0

R(sen ı cos |)

+0

0

~E =

1

4"0

2 sen 0

Rı,

Arco carregado

onde usamos as identidades trigonométricas sen() =

sen e cos() = +cos . Note que o campo elétrico emP possui apenas a componente na direção x. Se tomarmoso limite

0

! , o arco torna-se um anel circular. Comosen = 0, o campo elétrico no centro do anel será nulo.

Anel de cargas

Seja um anel circular de raio R que possui uma carga totalq, positiva, distribuída uniformemente. O anel está situado



no plano xy, com centro na origem. Vamos calcular o campoelétrico devido a este anel de cargas em um ponto P locali-zado a uma distância z do seu centro ao longo de um eixocentral perpendicular ao plano do anel, conforme mostradona Figura 2.6.

Figura 2.6: Anel de cargas.

O módulo do campo elétrico no ponto P devido a umsegmento de carga dq é

dE =

1

4"0

dq

r2.

Este campo possui uma componente dEz = dE cos ao longodo eixo z e uma componente dE? perpendicular ao eixo z.O campo resultante em P deve estar orientado apenas noeixo z já que as componentes perpendiculares de todos oselementos de carga se cancelarão. Ou seja, a componenteperpendicular do campo criado por um elemento de cargaqualquer é cancelada pela componente perpendicular criadapor um elemento no lado oposto do anel.

Como r =

pz2 +R2 e cos = z/r, temos que:

dEz = dE cos =

1

4"0

dq

r2z

r=

1

4"0

z dq

(z2 +R2

)

3/2.


36 física iii

Todos os segmentos do anel possuem a mesma contribuiçãopara o campo no ponto P pois eles estão à mesma distânciadesse ponto. Assim, podemos integrar a expressão acimapara obter o campo total em P :

Ez =

ˆ1

4"0

z dq

(z2 +R2

)

3/2=

1

4"0

z

(z2 +R2

)

3/2

ˆdq.

Como´dq = q e ~E = Ez

ˆk, temos3 3 Uma forma mais elegante deresolver a integral

´dq é con-

siderar que um elemento decarga dq ao longo do anel podeser escrito como

dq = d` = Rd.

Assim, integrando ao longo detodo o anel desde = 0 até = 2, temosˆ

dq = R

ˆ 2

0d = 2R.

Como = q/2R, temosˆdq = q.

~E =

1

4"0

qz

(z2 +R2

)

3/2ˆk.

Anel de cargas

Este resultado mostra que o campo é zero em z = 0, ouseja, no centro do anel. Além disso, se z R, o campo éigual ao produzido por uma carga pontual q.

Disco uniformemente carregado

Na Figura 2.7, uma quantidade de carga elétrica está distri-buída uniformemente sobre um disco circular de raio R. Acarga por unidade de área (C/m2) é . Vamos calcular ocampo elétrico em um ponto P sobre o eixo do disco, a umadistância z acima do seu centro.

Podemos imaginar o disco como um conjunto de anéisconcêntricos, de forma que é possível aplicar o resultadoobtido anteriormente para o caso de um anel carregado eintegrar ao longo de R, somando as contribuições de infinitoselementos de carga na forma de anéis.

Para um anel de raio r mostrado na Figura 2.7, ocampo elétrico na direção z possui módulo:

dEz =

1

4"0

z dq

(z2 + r2)3/2,

onde escrevemos dEz (ao invés de Ez) para este fino anel decarga total dq. O anel possui uma área dA = (dr)(2r) e,



Figura 2.7: Disco uniforme-mente carregado.

portanto, uma densidade superficial de carga = dq/(2r dr).Logo, temos que dq = 2r dr. Substituindo na expressãoacima para dEz, temos:

dEz =

1

4"0

z 2r dr

(z2 + r2)3/2=

zr dr

2"0

(z2 + r2)3/2.

Integrando sobre todos os anéis, desde r = 0 até r = R,temos

Ez =

z

2"0

ˆ R

0

r dr

(z2 + r2)3/2

Resolvemos esta integral fazendo u = z2 + r2, du = 2r dr,com limites u = z2 (para r = 0) e u = z2 +R2 (para r = R):

Ez =

z

4"0

ˆ z2+R2

z2

du

u3/2=

z

4"0

u1/2

(1/2)

z2+R2

z2

Ez = z

2"0

"1

(z2 +R2

)

1/2 1

(z2)1/2

#=

2"0

"z

|z|zp

z2 +R2

#.

Podemos escrever este resultado assumindo os dois valorespossíveis para z, z > 0 e z < 0, em termos vetoriais


38 física iii

~E =

8>>>>>><

>>>>>>:

2"0

"1 zp

z2 +R2

#ˆk, z > 0

2"0

" 1 zp

z2 +R2

#ˆk, z < 0

(2.5)

Disco carregado

Esta expressão representa o valor de ~E em qualquer ponto z

ao longo do eixo do disco. Se q (e ) são positivos, ~E apontapara fora do disco; se q (e ) são negativos, ~E aponta emdireção ao disco.

Plano infinito não-condutor

Se o raio do disco é muito maior que a distância do pontoP ao disco, isto é, se z R, temos a configuração de um“plano infinito”. Neste caso, o segundo termo da equação 2.5torna-se desprezível, de forma que para um plano infinitotemos:

~E =

8>>><

>>>:

2"0

ˆk, z > 0

2"0

ˆk, z < 0

(2.6)

Plano infinito

Este resultado é válido para qualquer ponto acima (ouabaixo) de um plano infinito de qualquer formato que possuiuma densidade superficial de cargas . Ele também é válidopara pontos próximos de um plano finito, desde que o pontoesteja suficientemente próximo do plano comparado comsua distância para as bordas do plano. Assim, o camponas proximidades de um plano carregado uniformemente



é constante, e dirigido para fora do plano se a carga forpositiva.

Distribuição esférica de cargas

Considere uma esfera não-condutora carregada de raio R

com uma densidade volumétrica de carga uniforme. Deter-minaremos o campo elétrico produzido por esta distribuiçãode cargas no exterior da esfera (r > R) e dentro da esfera(r < R). Para este fim, podemos aplicar o teorema dascascas esféricas.

Teorema das cascas esféricas. Na mecânica clássica, esteteorema simplifica o cálculo do campo gravitacional de corposcom simetria esférica e foi provado pela primeira vez por IsaacNewton. De forma análoga, ele também pode ser aplicadopara o cálculo do campo elétrico. No caso eletrostático, esteteorema afirma que:

• Um corpo carregado com simetria esférica afeta objetosexternos como se toda a sua carga estivesse concentradaem um único ponto no seu centro;

• Uma casca esférica carregada (esfera oca) não exerce forçaelétrica no seu interior.

Assim, vamos determinar a carga elétrica total, qtotal

, contidano interior de um dado raio, e o campo elétrico será dadopela expressão do campo elétrico produzido por uma cargapontual q

total

, como se toda a carga da esfera estivesseconcentrada em um ponto no centro da esfera.

Elemento de volume. Para uma distribuição esférica decargas, é mais sensato adotar o sistema de coordenas esféricasao invés do cartesiano (veja a Figura 2.8). A carga total édada por

qtotal

=

ˆV

dV.


40 física iii

O elemento de volume dV em coordenadas esféricas podeser escrito como

dV = r2 sen dr d d.

Figura 2.8: Sistema de coorde-nadas esféricas.

Campo fora da esfera (r > R). Substituindo a expressãopara o elemento de volume e expandindo a integral sobretodo o volume da esfera, temos

qtotal

=

ˆ R

0

ˆ

0

ˆ2

0

r2 sen d d dr.

Note que o intervalo de integração em r vai de 0 a R. Resol-vendo as integrais para d e d, obtemos

qtotal

= 4

ˆ R

0

r2 dr.

Considerando constante e resolvendo a integral em r, temos

qtotal

= 4

ˆ R

0

r2 dr =

4

3

R3.

O campo elétrico agora pode ser facilmente obtidousando a mesma expressão para o campo produzido poruma carga pontual de módulo q

total

:

~E =

1

4"0

qtotal

r2r =

1

4"0

4

3

R3

r2r

~E =

3"0

R3

r2r, (r > R).

Campo no interior esfera (r < R). Neste caso, a cargatotal no interior da esfera é dada por

qtotal

=

ˆ r

0

ˆ

0

ˆ2

0

r2 sen d d dr.

Note agora que o limite de integração para a coordenadaradial vai até r, já que a carga que contribui para o campo



elétrico, de acordo com o teorema das cascas esféricas, éapenas aquela contida na esfera de raio r. Resolvendo,obtemos

qtotal

= 4

ˆ r

0

r2 dr = 4

ˆ r

0

r2 dr =

4

3

r3.

Novamente, o campo elétrico é equivalente ao produzido poruma carga pontual q

total

localizada no centro da esfera:

~E =

1

4"0

qtotal

r2r =

1

4"0

4

3

r3

r2r

~E =

r

3"0

r, (r < R).

Já que a densidade de carga é uniforme, a carga totalna esfera é Q = V , onde V =

4

3

R3 é o volume totalda esfera. Assim, podemos reescrever as expressões para ocampo elétrico em função de Q, como

~E =

8>>>><

>>>>:

1

4"0

Q

r2r, r > R

1

4"0

Qr

R3

r, r < R

(2.7)

Esfera não-condutora uniformemente carregada

2.4 Carga puntiforme em um campo elétrico

Uma partícula de carga q em um campo elétrico ~E experi-menta uma força ~F dada por

~F = q ~E. (2.8)

Para estudar o movimento da partícula no campo elétrico,tudo o que precisamos fazer é usar a segunda lei de Newton,


42 física iii

P ~F = m~a, onde a força resultante sobre a partícula incluia força elétrica e quaisquer outras forças que possam estaratuando. A aceleração da partícula, quando apenas a forçaelétrica atua sobre ela, é

~a =

q ~E

m.

Se ~E é uniforme (isto é, constante em magnitude e direção),a aceleração é constante. Se a partícula possui carga posi-tiva, sua aceleração está na direção do campo. Se a cargafor negativa, sua aceleração é na direção oposta ao campoelétrico.

Exemplo: uma carga positiva acelerada

Uma partícula com carga positiva q e massa m parte dorepouso em um campo elétrico uniforme ~E dirigido ao longodo eixo x, como mostra a Figura 2.9.

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

++

Figura 2.9: Uma partícula comcarga positiva q move-se namesma direção de um campoelétrico uniforme.

Desprezando a força gravitacional, a aceleração dapartícula é constante e é dada por q ~E/m, portanto eladescreverá um movimento linear simples ao longo do eixo x.Considerando as equações de cinemática em uma dimensão,podemos descrever seu movimento:

xf = xi + vit+1

2

at2

vf = vi + at

v2f = v2i + 2a(xf xi)

Escolhendo xi = 0 e vi = 0, temos:

xf =

1

2

at2 =

qE

2mt2

vf = at =qE

mt

v2f = 2axf =

2qE

m

xf



A energia cinética da partícula após ela ter percorrido umadistância x = xf xi é

K =

1

2

mv2 =

1

2

m

2qE

m

x = qEx

2.5 Um dipolo em um campo elétrico

Considere um dipolo elétrico colocado em um campo elétricouniforme ~E, como mostra a Figura 2.10.

+

–

Figura 2.10: Um dipolo elétriconum campo elétrico uniforme.

As forças ~F+

e ~F sobre as duas cargas possuem mag-nitude qE, mas têm direções opostas. Logo, a força líquidaatuando sobre um dipolo num campo elétrico uniforme énula: ~F =

~F+

+

~F = 0. Porém, as duas forças não atuamao longo da mesma linha, de forma que seus torques não secancelarão. O torque total em relação ao centro do dipolo é

~ = ~r+

~F+

+ ~r ~F

~ = (

d

2

cos ı+d

2

sen |)(F ı)+(d

2

cos ıd

2

sen |)(F ı)

~ =

d

2

F sen(ˆk) +d

2

F sen(ˆk) = dF sen(ˆk),

onde usamos F+

= F = F . A direção do torque é ˆk,entrando na página. O efeito do torque ~ é girar o dipolono sentido horário de forma que ele fique alinhado com ocampo elétrico ~E. Como F = qE, a magnitude do torquepode ser escrita como

= d(qE) sen = (qd)E sen.


44 física iii

Como vimos, o módulo do momento de dipolo elétricoé igual à carga vezes a separação:

p = qd.

Por exemplo, para a molécula de água p = 6,13 10

30 C·m.Mas o momento de dipolo elétrico é um vetor, cuja direção édefinida como sempre apontando da partícula negativa paraa positiva, como mostra a Figura 2.11. Em termos de p, otorque sobre o dipolo fica

= pE sen.

Em termos vetoriais, podemos escrever o torque em termosdo produto vetorial entre ~p e ~E:

~ = ~p ~E.

O torque sempre tende a alinhar o momento de dipolo elétricona mesma direção do campo elétrico externo.

Figura 2.11: A molécula daágua é um exemplo de um di-polo elétrico. O momento dedipolo é a resultante da somados momentos ~p1 e ~p2: ~p =

~p1 + ~p2.

Energia potencial de um dipolo elétrico

O trabalho realizado pelo campo elétrico para girar o dipolopor um ângulo d é

dW = d = pE sen d.

O sinal negativo indica que o torque se opõe a qualquerincremento em . Portanto, o trabalho total feito pelocampo elétrico para girar o dipolo de um ângulo

0

para umângulo é

W =

ˆ

0

(pE sen )d = pE(cos cos 0

).

Este resultado mostra que um trabalho positivo é feito pelocampo quando cos > cos

0

. A variação de energia po-tencial U do dipolo é o negativo do trabalho feito pelocampo:

U = U U0

= W = pE(cos cos 0

),



onde U0

= pE cos 0

é a energia potencial num ponto dereferência, que podemos escolher como sendo o ponto onde0

= /2 de forma que a energia potencial é nula, U0

= 0.Assim, na presença de um campo externo, o dipolo elétricotem uma energia potencial

U = pE cos = ~p · ~E.

Um sistema está em equilíbrio estável quando sua energiapotencial é mínima. Isto ocorre quando o momento dedipolo ~p está alinhado paralelamente ao campo ~E, fazendo aenergia potencial ser mínima com U

min

= pE. Quando ~p e~E são paralelos mas apontam em sentidos opostos, a energiapotencial é máxima, U

max

= +pE, e o sistema fica instável.

? ? ?


46 física iii




2.1 E Duas cargas pontuais. Duas cargas puntiformes demódulos q

1

= 2,0 10

7 C e q2

= 8,5 10

8 C estãoseparadas por uma distância de 12 cm. (a) Qual o módulodo campo elétrico que cada carga produz no local da outra?(b) Que força elétrica atua sobre cada uma delas?

2.2 EE Duas cargas pontuais. Duas cargas puntiformes estãolocalizadas sobre o eixo x. A primeira possui uma carga+Q em x = a. A segunda possui uma carga desconhecidalocalizada em x = +3a. O campo elétrico produzido porestas cargas na origem (x = 0) possui um valor de 2kQ/a2.Quais são os dois possíveis valores da carga desconhecida?

2.3 EE Três cargas pontuais. Na Figura 2.12, as três partí-culas são mantidas fixas no lugar e têm cargas q

1

= q2

= +e

e q3

= +2e. A distância a = 6,00 µm. Determine (a) omódulo e (b) a direção do campo elétrico no ponto P .


2.4 EE Equilíbrio eletrostático. Uma pequena esfera carre-gada de massa m = 1,00 g é suspensa por um fio na presençade um campo elétrico uniforme, como mostra a Figura 2.13.Quando ~E = (3,00 10

5 ı+ 5,00 10

5|) N/C, a esfera ficaem equilíbrio formando um ângulo = 37,0 com a vertical.Encontre (a) a carga q da esfera e (b) a tensão no fio.




2.5 EE Princípio da superposição. Uma linha infinitamentelonga de cargas tem densidade linear uniforme igual a 1,50 µC/me é paralela ao eixo y em x = 2,00 m. Uma carga punti-forme positiva igual a 1,30 µC está localizada em x = 1,00 m,y = 2,00 m. Determine o campo elétrico em x = 2,00 m,y = 1,50 m.

2.6 EE Anel de cargas. Na Figura 2.14, duas barras finas deplástico, uma de carga +q e a outra de carga q, formamum círculo de raio R no plano xy. Um eixo x passa pelospontos que unem as duas barras e a carga em cada umadelas está uniformemente distribuída. Qual o módulo, adireção e o sentido do campo elétrico ~E criado no centro docírculo?



48 física iii

2.7 EE Anel de cargas. Um anel de raio a tem uma distribui-ção de cargas que varia como () =

0

sen , como mostraa Figura 2.15. Determine o campo elétrico no centro doanel.


2.8 EE Linha infinita. Uma linha contínua de carga encontra-se ao longo do eixo x, estendendo-se de x = +x

0

até o infinitopositivo. A linha é carregada com densidade linear uniforme0

. Quais são a magnitude e a direção do campo elétrico naorigem?

2.9 EE Disco carregado. A que distância ao longo do eixocentral de um disco de plástico uniformemente carregado de0,600 m de raio o módulo do campo elétrico é igual à metadedo módulo do campo no centro da superfície do disco?

2.10 Barra finita. Na Figura 2.16, uma carga positiva q =

7,81 pC está distribuída uniformemente em uma barra fina,não-condutora, de comprimento L = 14,5 cm. Determine(a) o módulo e (b) a orientação (em relação ao semi-eixo x

positivo) do campo elétrico produzido no ponto P , situadosobre a mediatriz da barra, a uma distância R = 6,00 cmda barra.

2.11 Casca cilíndrica carregada. Uma casca cilíndricauniformemente carregada de raio R e altura h possui uma




carga total Q. Determine o campo elétrico em um pontoP localizado a uma distância z da base inferior do cilindro,como mostra a Figura 2.17.

Figura 2.17: Problemas 2.11 e2.12.

2.12 Cilindro carregado. Se agora temos um cilindrosólido de raio R e altura h com uma carga Q distribuídauniformemente ao longo de todo seu volume. Determine ocampo elétrico no ponto P mostrado na Figura 2.17.

2.13 E Carga em um campo elétrico. Um próton é colocadoem um campo elétrico de magnitude 2,75 10

3 N/C. Calcule:(a) a magnitude da força elétrica sofrida pelo próton; (b)


50 física iii

a aceleração do próton; (c) a velocidade do próton após1 µs sob a ação do campo elétrico, assumindo que ele estavaoriginalmente em repouso.

2.14 EE Carga em um campo elétrico. Um próton desloca-se a 4,50 10

5 m/s no sentido horizontal. Ele entra emum campo elétrico vertical uniforme com magnitude de9,60 10

3 N/C. Desprezando efeitos gravitacionais, encontre(a) o tempo que leva para o próton se deslocar 5,00 cmhorizontalmente, (b) seu deslocamento vertical depois quepercorreu 5,00 cm horizontalmente e (c) as componenteshorizontal e vertical de sua velocidade após se deslocar5,00 cm horizontalmente.


3Lei de Gauss

3.1 Introdução

A lei de Gauss para o campo elétrico é a primeira das qua-tro equações fundamentais do eletromagnetismo que iremostratar neste curso. Esta lei foi formulada por Carl FriedrichGauss (1777–1855) em 1835 e publicada posteriormenteem 18671. O conceito envolvido é bem simples e diz respeito 1 Gauss C. F., Carl Frie-

drich Gauss Werke, 1867, Kö-niglichen Gesellshaft der Wis-senshaften, Göttingen pp 601–626

a como as cargas elétricas estabelecem um campo elétrico noespaço ao seu redor. Dessa forma, em termos do conteúdofísico, a lei de Gauss é equivalente à lei de Coulomb.

Por outro lado, enquanto a lei de Coulomb pode seraplicada apenas em situações envolvendo cargas estáticas, alei de Gauss é mais geral e fundamental. Podemos mostrar,por exemplo, que a lei de Coulomb é facilmente obtida apartir dela.

Especialmente em situações onde as cargas distribuem-se com alguma simetria, veremos que o cálculo do campoelétrico torna-se uma tarefa matemática bem simples coma aplicação da lei de Gauss. Para isso, primeiramente pre-cisamos caracterizar a simetria nas distribuições de cargaselétricas.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

52 física iii

3.2 O que é simetria?

Em termos geométricos, se um objeto mantém uma oumais propriedades mesmo após ter sofrido algum tipo detransformação, dizemos que ele possui simetria2. Em geral, 2 Weyl H., Symmetry . Prince-

ton paperbacks, Princeton Uni-versity Press, 1952

as propriedades que não mudam (se conservam) são ditasinvariantes sob uma dada transformação. Por exemplo, umcilindro que é girado em torno de um eixo central conservao mesmo aspecto, de forma que ele possui uma simetriarotacional.

Para os propósitos deste capítulo, estamos interessa-dos em certas situações nas quais a distribuição de cargaselétricas apresenta algum tipo de simetria, que acaba serefletindo no campo elétrico gerado pelas cargas. De acordocom a direção do campo elétrico produzido por uma dadadistribuição de cargas, podemos considerar os seguintes tiposde simetria:

+

Figura 3.1: Exemplos de sime-tria esférica, cilíndrica e planarpara o campo elétrico.

Simetria esférica: a direção do campo é radial, como aqueleproduzido por uma carga pontual. Neste caso, a direçãoradial é tridimensional, já que deve ser descrita pelas trêscoordenadas espaciais;

Simetria cilíndrica: a direção do campo também é radial,mas perpendicular em relação a uma dada direção. Por exem-plo, o campo gerado por uma linha infinita de cargas. Noteque, neste caso, uma das coordenadas espaciais será sempreconstante, de forma que a direção radial é bidimensional.

Simetria planar: o campo é uniforme e perpendicular auma dada superfície, como o produzido por um plano infinitode cargas. Neste caso, a direção do campo em um dado pontosobre a superfície é descrita completamente por apenas umacoordenada espacial (unidimensional).


lei de gauss 53

3.3 Superfície gaussiana

A lei de Gauss fornece um outro modo de descrever o campoelétrico criado por uma distribuição de cargas através dadefinição de uma superfície fechada hipotética, que chamare-mos daqui em diante de superfície gaussiana. Essa superfíciefechada pode ter a forma que desejarmos, mas será de maiorutilidade se escolhermos uma superfície adequada para asimetria de um dado problema.

A superfície gaussiana geralmente terá uma forma geo-métrica simples, como uma esfera para simetrias esféricas,um cilindro para simetrias cilíndricas e planares, um cuboou um bloco retangular para simetria planar. Além disso, asuperfície gaussiana sempre deve ser fechada, de modo quepodemos distinguir quaisquer pontos que estejam dentro dasuperfície, sobre a superfície ou fora da superfície.

Veremos que a lei de Gauss relaciona o campo elétricoque atravessa uma superfície gaussiana produzido por umadistribuição de cargas localizadas no interior da superfície.Mas como quantificar, ou medir, o campo elétrico sobre umasuperfície gaussiana? A resposta desta questão surge com adefinição de um novo conceito, o fluxo de um campo vetorial.

3.4 Fluxo de um campo vetorial

Antes de discutirmos a lei de Gauss, devemos entender oconceito de fluxo, que é uma propriedade de qualquer campovetorial.

Seja um campo vetorial qualquer, como a corrente dear de velocidade constante e módulo v fluindo em direção auma janela aberta de área A. Podemos definir um fluxo dear, , isto é, a taxa pela qual o ar escoa pelo plano da janela.Este fluxo vai depender do módulo de ~v, do tamanho da áreaA e também do ângulo entre o vetor ~v e o plano da janela,conforme mostra a Figura 3.2. Quando ~v é perpendicularao plano, o módulo do fluxo é igual a vA; se for paralelo, o


54 física iii

fluxo é nulo. Para ângulos intermediários, o fluxo dependeda componente de ~v que é perpendicular ao plano, ou seja

Figura 3.2: Exemplos de campovetorial, representado por linhasde campo, atravessando dife-rentes superfícies abertas.

= (v cos )A. (3.1)

Em termos vetoriais, esta expressão se simplifica se conside-rarmos um vetor unitário, n, cuja direção é perpendicular(normal) ao plano da área.3[0.5cm] Assim, podemos rees-

3 Em alguns livros-texto, é co-mum encontrar a definição deum vetor área, ~

A = An,que possui módulo A e direçãodada pelo vetor normal n.

crever a equação 3.1 como o produto escalar entre o vetorvelocidade ~v da corrente de ar e o vetor normal n, multipli-cado pela área A:

= vA cos = ~v · n A. (3.2)

Note que o produto escalar implica que consideramos parao cálculo do fluxo apenas a componente do campo vetorialque é perpedicular à área em questão. O fluxo pode serinterpretado como a quantidade de campo que uma áreaintercepta, podendo ser generalizado para qualquer campovetorial. É importante notar que o fluxo é um escalar e podeser positivo (0 < /2), negativo (/2 < ) ou nulo( = /2).

Considere agora uma superfície aberta S com formaarbitrária e área A. Por exemplo, imagine que agora a janelaestá deformada de maneira que em cada ponto sobre a suasuperfície o vetor normal n aponta para uma direção dife-rente. Neste caso, podemos dividir a superfície em pequenoselementos de área A, pequenos o suficiente para desprezarqualquer curvatura. Cada elemento de área pode ser repre-sentado por um respectivo vetor unitário n. Como esteselementos de área são suficientemente pequenos, podemosconsiderar que o campo de velocidades ~v é constante atravésdeles. Os vetores n e ~v, para cada elemento de área, fazementre si um ângulo . O fluxo total do campo vetorial queatravessa a superfície aberta S pode ser escrito como

=

X

i

~v · nAi, (3.3)


lei de gauss 55

onde somamos as contribuições do fluxo sobre todos oselementos de área Ai. Se tomamos o limite para A ! 0,o elemento de área se aproxima de um limite diferencial dAe a soma da equação 3.3 se transforma em uma integral(dupla) que deve ser feita sobre toda a superfície S:

=

¨~v · n dA. (3.4)

Fluxo; Integral de superfície

Figura 3.3: Campo vetorial atra-vessando superfícies gaussia-nas. Nestes casos, o fluxo totalé nulo.

Para uma superfície fechada (gaussiana), realizamoso mesmo procedimento. A diferença é que agora o vetornormal, n, é definido como sempre apontando para fora dasuperfície. O fluxo do campo vetorial ~v através da superfíciefechada S é igual à integral fechada de ~v · n dA, ou seja

=

˛S

~v · n dA. (3.5)

Fluxo sobre uma superfície fechada

Esta relação é válida para qualquer campo vetorial, comoé o caso do campo elétrico ~E. Note que, por comodidade,usamos uma integral simples e o símbolo

¸S

para indicarque a integral deve ser feita sobre toda a superfície fechada.Por exemplo, se S possui a forma de uma esfera, a integraldeve ser feita sobre toda a superfície esférica. Se S for umcubo, como ilustrado na Figura 3.3, a integral fechada podeser escrita como a soma de seis integrais, uma para cadasuperfície do cubo. Dessa forma, é fácil notar que o fluxototal do campo vetorial que atravessa o cubo da Figura 3.3é nulo.


56 física iii

3.5 A lei de Gauss para o campo elétrico

Considere uma carga pontual q. Vamos calcular o fluxo deseu campo elétrico ~E através de uma superfície gaussianaesférica centrada na carga, como mostra a Figura 3.4. Se r

é o raio da esfera, o campo elétrico produzido pela carga emum ponto sobre a superfície é

~E =

q

4"0

r2r.

+

Figura 3.4: Uma superfíciegaussiana esférica de raio r en-volve uma carga pontual q. Ovetor campo elétrico é paraleloao vetor área em todos os pon-tos sobre a superfície.

Um vetor unitário normal à superfície da esfera coincide como vetor unitário r que representa a direção radial, ou seja

n = r.

Logo, o ângulo entre o campo elétrico ~E e o vetor normal àsuperfície é zero, e cos = 1. Note que o módulo do campoelétrico é constante em toda superfície esférica e que a áreada esfera é 4r2.

Podemos escrever o fluxo do campo elétrico produzidopela carga como:

E =

˛S

~E · n dA = E

˛S

dA = EA =

q

4"0

r2(4r2) =

q

"0

.

Portanto, o fluxo elétrico através da esfera é proporcional àcarga e independe do raio da superfície. Se traçarmos váriassuperfícies esféricas concêntricas com centro na carga q, ofluxo através de todas elas é o mesmo e igual a q/"

0

. Caberessaltar que o fluxo do campo elétrico é um escalar e suaunidade SI é o N·m2/C.

+

Figura 3.5: Uma superfície fe-chada de forma arbitrária en-volve uma carga pontual q. Ofluxo elétrico líquido independeda forma da superfície.

Considere agora uma carga q no interior de uma super-fície fechada de forma arbitrária, como mostra a Figura 3.5.O fluxo total do campo elétrico através da superfície é dadopor:

E =

˛S

~E · n dA =

˛S

E cos dA =

˛S

q

4"0

r2cos dA


lei de gauss 57

E =

q

4"0

˛S

dA cos

r2.

A quantidade dA cos /r2 é justamente o elemento de ângulosólido4 d subtendido pela projeção do elemento de área dA

4 A unidade de ângulo sólido éo esterradiano ou esferorradi-ano (símbolo sr). Veja uma boadiscussão sobre ângulo sólidona seção 3.4 de Nussenzveig(1997).

sobre uma esfera de raio r com origem na carga q (Figura 3.6).Como o ângulo sólido total ao redor de um ponto é 4, temosque:

E =

q

4"0

˛S

d =

q

4"0

(4) =q

"0

.

Figura 3.6: O elemento de áreaA subtende um ângulo sólido = (A cos )/r

2 na po-sição da carga q.

Este resultado é o mesmo que encontramos anteri-ormente para uma superfície esférica centrada na carga,portanto, ele é válido para qualquer superfície fechada eindepende da posição da carga no interior da superfície.

Se uma carga elétrica está fora da superfície fechada,o fluxo elétrico é zero, já que o fluxo que entra na superfíciese iguala ao fluxo que sai. Dessa forma, podemos definir alei de Gauss que relaciona o fluxo (total) E de um campoelétrico através de uma superfície fechada e a carga líquidaqin

que está envolvida por essa superfície, isto é, a cargatotal no interior da superfície:


58 física iii

E =

˛S

~E · n dA =

qin

"0

, (3.6)

Lei de Gauss para o campo elétrico

onde a carga líquida qin

é a soma algébrica de todas as cargaspositivas e negativas envolvidas pela superfície gaussiana

qin

=

X

dentrode S

qi.

Quando qin

é positiva, o fluxo líquido está saindo da super-fície (para fora); se q

in

é negativa, o fluxo é para dentro.Cargas fora da superfície não são consideradas.

A lei de Gauss é particularmente útil quando queremoscalcular o campo elétrico produzido por distribuições decarga que apresentam certas simetrias, como veremos napróxima seção.

3.6 Aplicações da lei de Gauss

Distribuição de cargas com simetria esférica

Uma esfera sólida e não-condutora (feita de um materialisolante) de raio R possui uma densidade volumétrica decargas uniforme e está carregada com um carga total Q,como mostra a Figura 3.7. O campo elétrico produzidopela esfera carregada, assim como acontece para uma cargapontual, aponta radialmente na direção de um vetor unitárior. Podemos escrever

~E = E(r)r,

onde E(r) é o módulo do campo elétrico em função dadistância radial r.

Campo elétrico fora da esfera (r > R). Como temos umadistribuição de cargas com simetria esférica, escolhemos


lei de gauss 59

Figura 3.7: Esfera não-condutora de raio R, carregadacom uma carga Q distribuídauniformemente em todo seuvolume.

uma superfície gaussiana de raio r, concêntrica com a esfera,como mostrado na Figura 3.7a. Esta escolha nos leva a duassimplificações para a aplicação da lei de Gauss:

1. ~E é paralelo a n em qualquer ponto da superfície gaussi-ana, logo r · n = 1;

2. o módulo de ~E, E(r), é constante ao longo de toda asuperfície gaussiana esférica, já que depende apenas de r.

Portanto:˛S

~E · n dA =

˛S

E(r) dA = E(r)

˛S

dA =

qin

"0

E(r)

˛S

dA = E(r)(4r2) =Q

"0

,

onde¸SdA = 4r2 é a área da superfície gaussiana esférica.

Como ~E = E(r)r, temos

~E =

1

4"0

Q

r2r, (r > R).

Esfera não-condutora

Note que este é o mesmo resultado que obtivemos para umacarga puntiforme.


60 física iii

Campo elétrico no interior da esfera (r < R). Neste caso,selecionamos uma superfície gaussiana esférica com raio r <

R, concêntrica com a esfera, conforme mostra a Figura 3.7b.Vamos nos referir ao volume desta pequena esfera por V 0.Para aplicar a lei de Gauss nesta situação é importantereconhecer que a carga interna à superfície gaussiana devolume V 0, q

in

, é menor do que a carga total da esfera, Q.Para calcular q

in

, usamos o fato5 que qin

= V 0: 5 Isto é válido pois é constante.Por exemplo, se é uma funçãode r, podemos escrever

dq = (r) dV.

Para uma simetria esférica,dV = 4r

2dr, e a carga in-

terna será a integral sobre o vo-lume V

0:

qin =

ˆdq =

ˆV

0(r) dV

qin =

ˆr

0(r)(4r

2) dr.

qin

= V 0= ( 4

3

r3).

Por simetria, o módulo do campo elétrico é constante emqualquer ponto na superfície gaussiana e é normal à superfícieem cada ponto. Portanto, usando a lei de Gauss, temos:˛S

~E·n dA =

˛S

E(r) dA = E(r)

˛S

dA = E(r)(4r2) =qin

"0

.

Resolvendo para E(r), obtemos

E(r) =qin

4"0

r2=

( 43

r3)

4"0

r2=

3"0

r.

Como, por definição, = Q/V = Q/ 4

3

R3, a expressão para~E = E(r)r pode ser escrita como

~E =

1

4"0

Qr

R3

r, (r < R).


Figura 3.8: Gráfico do campoelétrico E em função da distân-cia radial r para uma esfera não-condutora carregada uniforme-mente.

A Figura 3.8 mostra o gráfico do campo elétrico emfunção da distância radial r para uma esfera não-condutoracarregada. O campo aumenta linearmente no interior daesfera e diminui com 1/r2 fora da esfera.

Campo elétrico devido a uma casca esférica

Uma fina casca esférica de raio R possui uma carga total Qdistribuída uniformemente sobre sua superfície, como mostra


lei de gauss 61

Figura 3.9: (a) O campo elé-trico dentro de uma casca esfé-rica carregada uniformementeé zero. (b) Superfície gaussi-ana para r > R. (c) Superfíciegaussiana para r < R.

a Figura 3.9. Vamos determinar o campo elétrico dentro efora da casca.

Campo elétrico fora da casca (r > R). O cálculo do campofora da casca é idêntico ao que obtivemos no caso da esfera.Se adotamos uma superfície gaussiana esférica de raio r >

R concêntrica com a casca, a carga no seu interior é Q.Portanto, o campo em um ponto fora da casca é equivalenteàquele devido a uma carga pontual Q localizada no seucentro:

~E =

1

4"0

Q

r2r, (r > R).

Casca esférica

Campo elétrico dentro da casca (r < R). O campo elétricono interior da casca é zero. Isto pode ser obtido pela aplica-ção da lei de Gauss para uma superfície esférica com raior < R concêntrica com a esfera. Como a carga líquida nointerior dessa superfície é zero, a lei de Gauss nos diz que


62 física iii

~E =

~0, (r < R).

Casca esférica

Figura 3.10: Gráfico do campoelétrico E em função da dis-tância radial r para uma ca-mada esférica carregada unifor-memente.

Descontinuidade do campo elétrico. A Figura 3.10 mostra ográfico do campo elétrico em função de r para a camada esfé-rica carregada. Note que em r = R há uma descontinuidadeno campo, que pode ser calculada como

~E =

~E(r > R) ~E(r < R) =

1

4"0

Q

r2r 0 =

1

4"0

Q

r2r.

Como a carga está distribuída uniformemente sobre a su-perfície da camada, podemos escrever = Q/A = Q/4r2.Logo

~E =

"0

n,

onde usamos n = r para indicar que a direção da desconti-nuidade do campo é sempre na direção normal à superfície.Portanto, ao atravessar a superfície da camada esférica comdensidade superficial de carga , o campo elétrico sofre umadescontinuidade de módulo igual a /"

0

. Este mesmo com-portamento também será encontrado em outras distribuiçõesde carga.

Distribuição de cargas com simetria cilíndrica

Seja uma linha infinita de cargas positivas e densidade decarga linear constante. Vamos calcular o campo elétrico auma distância r da linha.

A simetria dessa distribuição de cargas requer que ~E

seja perpendicular à linha de cargas e dirigido radialmentepara fora, como mostrado na Figura 3.11. Para refletir estasimetria, vamos usar uma superfície gaussiana cilíndrica deraio r e comprimento `, com eixo central correspondendo


lei de gauss 63

+++

+++

Figura 3.11: Uma linha de car-gas infinita envolta por uma su-perfície gaussiana cilíndrica.

ao eixo da linha. Neste caso, podemos escrever o campoelétrico em função de r como

~E = E(r)r,

onde r é o vetor unitário na direção radial, perpendicular àlinha de cargas.

A superfície gaussiana cilíndrica pode ser decompostaem três partes para o cálculo do fluxo: S

1

, a base superiorde área r2; S

2

, a base inferior, também de área r2; e S3

,a superfície lateral do cilindro, com área 2r`. O fluxo totalatravés da superfície gaussiana cilíndrica é a soma sobrecada superfície:˛

S

~E · n dA =

ˆS1

~E · n dA+

ˆS2

~E · n dA+

ˆS3

~E · n dA.

Os fluxos através das superfícies S1

e S2

, as bases docilindro, são nulos, já que ~E é perpedicular ao vetor normaln para estas superfícies. Portanto, r · n = 0 eˆ

S1

E(r)r · n dA =

ˆS2

E(r)r · n dA = 0.

Para a superfície lateral, S3

, n possui uma direçãoradial, de forma que

n = r e r · n = 1.


64 física iii

Além disso, como o campo elétrico é uma função de r, eleserá constante ao longo de todos os pontos sobre a superfícieS3

. Assim, o fluxo sobre esta superfície não é nulo e podemosescrever o fluxo total sobre a superfície gaussiana cilíndricacomo˛S

~E·n dA =

ˆS3

~E·n dA = E(r)

ˆS3

dA = E(r) (2r`) =qin

"0

,

onde usamos´S3

dA = 2r`, a área da superfície lateraldo cilindro. A carga total dentro da superfície gaussiana éqin

= `, logo

E(r)(2r`) =`

"0

E(r) =

2"0

r.

Em termos vetoriais, o campo elétrico fica

~E =

2"0

rr.

Linha infinita

Figura 3.12: Gráfico do campoelétrico E em função da distân-cia radial r para linha infinitacarregada uniformemente.

Assim, o campo elétrico devido a uma distribuição decargas com simetria cilíndrica varia com 1/r, como mostraa Figura 3.12.


Considere um plano infinito, não-condutor, carregado comcargas positivas distribuídas uniformemente sobre sua super-fície com densidade superficial de cargas , como o mostradona Figura 3.13.

Para calcular o campo elétrico a uma distância qual-quer do plano, por simetria, ~E deve ser perpendicular a ele edeve ser constante em todos os pontos a uma mesma distân-cia do plano. A direção do campo elétrico produzido pelo


lei de gauss 65

Figura 3.13: Uma superfíciegaussiana cilíndrica penetrandoum plano infinito de cargas.

plano é para fora do plano e perpendicular a ele, ~E = E n (ou~E = E ˆk), em ambos os lados, como mostra a Figura 3.13.A superfície gaussiana que reflete essa simetria é um pe-queno cilindro cujo eixo é perpendicular ao plano e cujasbases possuem área A, equidistantes ao plano. Novamente,podemos decompor esta superfície gaussiana cilíndrica emtrês partes: as bases do cilindro (superfícies S

1

e S2

) e asuperfície lateral (S

3

). Como ~E é paralelo à superfície S3

, ofluxo é zero em toda essa superfície. Portanto, o fluxo totalatravés da superfície gaussiana é a soma dos fluxos atravésdas superfícies S

1

e S2

:˛S

~E · n dA =

ˆS1

~E · n dA+

ˆS2

~E · n dA.

O módulo do campo elétrico através da superfície S1

é idên-tico ao da superfície S

2

, já que elas estão à mesma distânciado plano infinito. Além disso, o campo é constante e apontana mesma direção do vetor normal n nestas superfícies:E n · n = E. Portanto˛

S

~E · n dA =

ˆS1

E dA+

ˆS2

E dA = EA+ EA = 2EA.

A carga elétrica total no interior da superfície gaussiana éqin

= A. Aplicando a lei de Gauss, temos˛S

~E · n dA = 2EA =

qin

"0

=

A

"0


66 física iii

E =

2"0

.

Em termos vetoriais, podemos escrever

~E =

8>>><

>>>:

2"0

n, z > 0

2"0

n, z < 0


Figura 3.14: Gráfico do campoelétrico E em função de z paraum plano infinito com densidadesuperficial de cargas .

Como a distância até as bases da superfície gaussianacilíndrica não aparece nessa expressão, concluímos que ocampo possui o módulo E = /2"

0

para qualquer distân-cia até o plano, como mostra a Figura 3.14. Ou seja, ocampo elétrico é uniforme em todo o espaço em torno de umplano infinito carregado com densidade superficial de cargasconstante.

Descontinuidade do campo elétrico. O gráfico da Figura 3.14mostra que o campo elétrico apresenta uma descontinuidadepara z = 0, isto é, na superfície do plano infinito. Estadescontinuidade pode ser calculada através da diferença doscampos elétricos nas duas bases da superfície gaussiana:

~E =

~ES1 ~ES2 =

2"0

n

2"0

n

=

"0

n.

Este resultado indica que a componente perpendicular docampo elétrico apresenta uma descontinuidade igual a /"

0

,como também obtivemos para o caso da camada esférica.


lei de gauss 67

3.7 Cargas em condutores

Equilíbrio eletrostático

Um bom condutor elétrico contém cargas (elétrons) quenão estão ligadas aos seus átomos e, portanto, estão decerta forma livres para se movimentar dentro do material.Quando não há um movimento líquido de cargas dentrode um condutor, diz-se que o condutor está em equilíbrioeletrostático.

Propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático

1. O campo elétrico no interior de um condutor é nulo. Nasituação de equilíbrio eletrostático, não devem existir cargaselétricas e tampouco campo elétrico no interior do condutor.

2. Um condutor possui cargas apenas em sua superfície.O excesso de cargas no condutor distribui-se na sua super-fície. Microscopicamente, essa carga reside numa camadade transição, formada por algumas camadas atômicas nasuperfície.

3. O campo elétrico na direção tangencial à superfície docondutor é nulo. Se houvesse uma componente do campotangente à superfície, as cargas poderiam movimentar-senesta direção e o equilíbrio eletrostático não seria atingido.Dessa forma, o campo deve ter apenas a componente per-pendicular à superfície do condutor.

4. O módulo do campo é E = /"0

. Como veremos aseguir, o campo elétrico nas proximidades da superfície deum condutor é proporcional à densidade superficial de cargassobre o condutor.


68 física iii

Cálculo do campo elétrico na superfície de um condutor

O módulo do campo elétrico pode ser obtido através daescolha de uma superfície gaussiana cilíndrica perpendicularà superfície do condutor, tal como mostra a Figura 3.15.

Figura 3.15: O campo elétricona região externa de um con-dutor é perpendicular à sua su-perfície e possui módulo E =

/"0.

Assim como no caso do plano infinito não-condutor,a superfície gaussiana cilíndrica pode ser dividida em trêspartes. Mas agora, haverá campo elétrico apenas na basesuperior (S

1

) da superfície, já que para a superfície lateral(S

3

) o campo elétrico é perpendicular ao vetor normal n epara a base inferior (S

2

), localizada no interior do condutor,o campo elétrico é nulo. Como o campo elétrico possuiapenas a componente perpendicular à superfície do condutor,podemos escrevê-lo como ~E = E n para a base superior dasuperfície gaussiana.

Aplicando a lei de Gauss, temos˛S

~E · n dA =

ˆS1

E n · n dA = EA =

qin

"0

.

Se o condutor possui uma densidade superficial de carga

=

qin

A,

podemos derivar o campo elétrico produzido na parte externado condutor:

EA =

A

"0

) E =

"0

.

O campo elétrico sempre aponta na direção normal à super-fície do condutor. Logo, em termos vetoriais, temos


lei de gauss 69

~E =

"0

n.

Condutores

Descontinuidade do campo elétrico. Este resultado nova-mente mostra que o campo elétrico apresenta uma desconti-nuidade igual a /"

0

quando atravessa uma superfície comdensidade superficial :

~E =

~ES1 ~ES2

=

"0

n 0 =

"0

n.

Cavidade no interior de um condutor

+–

–––––––

– ––––––

–

Figura 3.16: (a) Condutor iso-lado em equilíbrio eletrostático.(b) Uma cavidade dentro do con-dutor. (c) Uma carga elétricapositiva +q no interior da cavi-dade.

Considere um volume condutor isolado em equilíbrio eletros-tático, como o mostrado na Figura 3.16a. Conforme vimos,a carga líquida do condutor, Q, distribui-se completamenteem sua superfície e o campo no interior do condutor se anula.

O que acontece se o condutor, ao invés de ser com-pletamente maciço, possuir uma cavidade no seu interior?A Figura 3.16b mostra esta situação. Neste caso, o campoelétrico no interior do condutor continua sendo nulo. Setraçarmos uma superfície gaussiana dentro do condutor, quetambém envolve a cavidade, notamos que não devem existircargas na sua superfície interna.

Agora vamos considerar outra situação. Se uma cargapositiva +q for inserida dentro da cavidade, como represen-tado na Figura 3.16c, uma carga negativa de mesmo móduloq será induzida na superfície interna do condutor, de formaque o fluxo elétrico que atravessa a superfície gaussianacontinue sendo igual a zero, já que a carga líquida seránula. Nesta configuração, a carga total do condutor seráredistribuída em duas quantidades: na superfície internateremos uma carga q, enquanto na superfície externa a


70 física iii

carga será Q+ q. A carga líquida do condutor continuarásendo Q = (Q+ q) + (q).

Condutor imerso em um campo elétrico

O campo elétrico externo redistribui os elétrons livres nocondutor, deixando um excesso de carga positiva sobre asuperfície externa em algumas regiões do condutor e cargasnegativas em outras (veja a Figura 3.17). Esta distribuiçãode cargas é feita de tal forma que o campo elétrico total nointerior do condutor seja nulo. A nova distribuição de cargastambém altera a forma das linhas de campo nas proximidadesdo condutor, como mostra a Figura 3.17. Esta configuraçãoé frequentemente chamada de “gaiola de Faraday”.

Figura 3.17: Um condutorimerso em um campo elétricoexterno.

3.8 Teste experimental da lei de Gauss

A Figura 3.18 ilustra um aparato utilizado por Michael Fa-raday, em 18436, para a realização de um experimento sobre 6 Faraday M., On static electri-

cal inductive action, Philosophi-cal Magazine Series 3, 1843,v. 22, p. 200–204

indução eletrostática em condutores, que ficou conhecidocomo experimento do balde de gelo. Em termos gerais, oexperimento é similar ao proposto por Franklin e realizadopor Priestley em 1766, conforme discutido na seção 1.4.

Figura 3.18: Ilustração do expe-rimento do “balde de gelo” deFaraday (Hawkins, 1917).


lei de gauss 71

O aparato utilizado por Faraday é composto por umbalde metálico de gelo (A) colocado sobre um banquinhode madeira (B) para isolá-lo da terra. Uma esfera de latãocarregada eletricamente (C), pendurada por um barbanteisolante, pode ser abaixada para dentro do balde. A parteexterna do balde está conectada por um fio a um eletroscópio(E), utilizado para medir a quantidade de cargas em umcondutor, neste caso, o balde de metal. Faraday utilizou umeletroscópio de folhas de ouro em seu experimento. Quantomaior o número de cargas, mais separadas ficam as duasfolhas do eletroscópio devido à força elétrica repulsiva.

À medida em que a esfera aproxima-se do interior dobalde, o eletroscópio indica que a sua superfície externa ficacarregada com a mesma carga da esfera. O interior do balde,se testado pelo eletroscópio, está carregado com um cargaoposta devido à indução eletrostática. Se a esfera é entãocolocada em contato direto com a parte interna do balde,a esfera e o interior do balde são descarregados, indicandoque suas cargas se cancelam. Isto demonstra que a cargacolocada no interior de um condutor oco induz uma cargacontrária de mesmo módulo na sua parede interna. Naparede externa, a carga remanescente é a mesma da esferainicialmente carregada.

? ? ?


72 física iii




3.1 E Fluxo através de uma superfície. A superfície quadradada Figura 3.19 tem 3,2 mm de lado. Ela está imersa numcampo elétrico uniforme com E = 1800 N/C. As linhas docampo formam um ângulo = 35 com a normal “apontandopara fora”, como é mostrado na figura. Calcule o fluxoatravés da superfície.


3.2 E Fluxo através de um cubo. Uma carga puntiforme de1,8 µC encontra-se no centro de uma superfície gaussianacúbica de 55 cm de aresta. Calcule o valor do fluxo elétricoatravés desta superfície.

3.3 EE Fluxo através de um cubo. Uma carga puntiforme q

está localizada no vértice de um cubo de aresta a. Determinieo fluxo elétrico através do cubo.

3.4 EE Fluxo através de um cilindro. Encontre o fluxo totalatravés de uma superfície fechada em forma de cilindro queenvolve uma linha carregada com densidade linear de cargas(x) =

0

(1 x/h). Considere que o eixo do cilindro e alinha são paralelos ao eixo x, e ambos estendem-se desdex = 0 até x = h.

3.5 EE Fluxo através de uma esfera. Qual é o fluxo através deuma uma superfície fechada que envolve completamente uma


lei de gauss 73

esfera carregada de raio R com uma densidade volumétricade carga (r) =

0

(r/R), onde 0

é a densidade na superfícieda esfera e r é a distância a partir do centro da esfera?

3.6 E Linha infinita. Uma linha infinita de cargas produzum campo de módulo 4,5 10

4 N/C a uma distância de2,0 m. Calcule a densidade linear de cargas.

3.7 EE Cilindro infinito. Uma carga está uniformementedistribuída através do volume de um cilindro infinitamentelongo de raio R. Determine o módulo do campo elétrico E

a uma distância r do eixo do cilindro (a) para r < R e (b)para r > R.

3.8 EE Linha infinita. Uma linha longa infinita e unifor-memente carregada está a uma distância d de um pontoqualquer O, conforme mostrado na Figura 3.20. Determineo fluxo elétrico total que atravessa a superfície de uma es-fera de raio R centrada em O resultante da linha de carga.Considere ambos os casos quando R < d e R > d.


3.9 EE Equilíbrio de forças. Na Figura 3.21, uma pequenaesfera não-condutora de massa m = 1,0 mg e carga q =

2,0 10

8 C (distribuída uniformemente em todo o volume)está pendurada em um fio não-condutor que faz um ângulo = 30

com uma placa vertical, não-condutora, uniforme-mente carregada (vista de perfil na figura). Considerando a


74 física iii

força gravitacional a que a esfera está submetida e supondoque a placa possui uma grande extensão, calcule a densidadesuperficial de cargas da placa.

+++++++++++++


3.10 EE Distribuição esférica de cargas. Uma distribuiçãode cargas não-uniforme, mas com simetria esférica, produzum campo elétrico de módulo E(r) = Kr4, onde K é umaconstante e r é a distância ao centro da esfera. O campoaponta para longe do centro da esfera. Qual é a densidadevolumétrica de cargas (r)?

3.11 E Campo elétrico de uma esfera. Uma esfera não-condutora com 5,0 cm de raio possui uma densidade volu-métrica uniforme de cargas = 3,2 µC/m3. Determine omódulo do campo elétrico (a) a 3,5 cm e (b) a 8,0 cm docentro da esfera.

3.12 EE Campo elétrico de uma esfera. Uma distribuiçãoesférica de cargas possui uma densidade volumétrica dadapor (r) = a/r, onde a é uma constante. Encontre o campoelétrico como função da distância radial r.

3.13 EE Campo elétrico de uma esfera. Uma esfera de raioR tem densidade volumétrica de carga = C/r2 para r < R,onde C é uma constante, e = 0 para r > R. (a) Determinea carga total na esfera. (b) Determine as expressões para ocampo elétrico no interior e no exterior da distribuição decargas. (c) Represente a magnitude do campo elétrico comouma função da distância r ao centro da esfera

3.14 Esfera com uma cavidade. Uma esfera de raio 2R

é feita de um material isolante que possui uma densidadevolumétrica de carga uniforme . Uma cavidade esférica deraio R é então removida da esfera, como ilustra a Figura 3.22.Mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é cons-tante e dado por

~E =

R

3"0

|.


lei de gauss 75


3.15 EE Camada esférica. Uma camada esférica não-condutorade raio interno R

1

e raio externo R2

tem densidade volumé-trica uniforme de carga . (a) Determine a carga total nacasca. (b) Determine expressões para o campo elétrico emtodas as regiões.

3.16 E Esfera condutora. Uma esfera condutora uniforme-mente carregada de 1,2 m de diâmetro possui uma densidadesuperficial de carga de 8,1 µC/m2. (a) Determine a cargada esfera. (b) Qual é o valor do fluxo elétrico total que estádeixando a superfície da esfera?

3.17 E Esfera condutora. Uma esfera condutora de 10 cmde raio possui uma carga de valor desconhecido. Sabendo-seque o campo elétrico a uma distância de 15 cm do centro daesfera tem módulo igual a 310

3 N/C e aponta radialmentepara dentro, qual é a carga líquida sobre a esfera?

3.18 E Ruptura dielétrica do ar . Se o módulo de um campoelétrico no ar atinge 3,0 10

6 N/C, o ar se torna ionizado ecomeça a conduzir eletricidade. Este fenômeno é chamadode ruptura dielétrica. Uma carga de 18 µC deve ser colocadaem uma esfera condutora. Qual é o raio mínimo da esferaque pode manter esta carga sem provocar ruptura?


4Potencial elétrico

4.1 Campos conservativos

Seja uma partícula qualquer sujeita a uma força ~F variá-vel. O trabalho realizado pela força para mover a partículaatravés de uma trajetória qualquer, de um ponto A até umponto B, é dado por

W =

ˆ B

A

~F · d~s. (4.1)

Trabalho; Integral de linha

Esta integral é chamada de integral de linha. Para resolvê-la,precisamos de uma descrição detalhada da trajetória e decomo a força ~F varia ao longo dela.

Por exemplo, podemos calcular o trabalho realizadopela força gravitacional quando um objeto “cai” de umacerta altura h:

Wg =

ˆ B

A

~Fg · d~s =ˆ B

A

mg cos ds = mg

ˆ B

A

ds = mgh.

Note que, neste caso, o trabalho não depende do caminhoescolhido para levar o objeto de A até B, mas apenas da

78 física iii

distância entre os pontos A e B. Assim, usualmente escolhe-mos uma trajetória contendo os pontos A e B que simplificao cálculo do trabalho através da integral de linha da equação4.1. É importante também observar que o trabalho realizadopor um agente externo contra a força (por exemplo, levandoo objeto que caiu de volta para sua posição original, contraa força gravitacional) é simplesmente

Wext

= Wg.

Figura 4.1: Uma força é conser-vativa se o trabalho realizadoentre um ponto A e um pontoB independe do caminho esco-lhido.

Uma força para a qual o trabalho depende apenas dospontos inicial e final, e não do caminho escolhido entre eles,chama-se conservativa (ver Figura 4.1). Este é o caso daforça gravitacional e, como veremos, também se aplica paraa força eletrostática. Uma consequência disso é que se esco-lhermos uma trajetória fechada C (i.e. o ponto de partidaé igual ao ponto de chegada) o trabalho total realizado poruma força conservativa será˛

C

~F · d~s = 0,

onde a integral de linha, que deve ser feita sobre toda atrajetória fechada C, também é chamada de circulação dovetor ~F sobre a trajetória C.

Quando consideramos uma força conservativa, é con-veniente introduzir o conceito de energia potencial, U . Avariação de energia potencial associada com uma força con-servativa ~F que move um objeto de A até B é definidacomo

U = UB UA = ˆ B

A

~F · d~s = W,

onde W é o trabalho realizado pela força para mover oobjeto.

4.2 Potencial elétrico

Vamos considerar uma carga em um campo elétrico ~E, su-jeita a uma força ~F = q ~E. Como veremos, esta força é


potencial elétrico 79

conservativa pois a força entre as cargas elétricas descritapela lei de Coulomb é conservativa, ou seja

˛C

~F · d~s =˛C

q ~E · d~s = 0.

Quando esta carga se move no campo sob a ação de algumagente externo, o trabalho feito pelo campo sobre a cargaé igual ao negativo do trabalho feito pelo agente externoresponsável pelo deslocamento da carga.

O trabalho efetuado pelo agente externo para movera carga de um ponto A a outro ponto B qualquer, sob ainfluência de um campo elétrico, é dado por

W = ˆ B

A

~F · d~s = q

ˆ B

A

~E · d~s,

onde ~F é a força elétrica que atua sobre a carga em cadaponto e d~s é o vetor deslocamento ao longo de um caminhoqualquer que liga A e B, como mostra a Figura 4.2.

Figura 4.2: O trabalho realizadopor um agente externo para le-var uma carga do ponto A aoponto B é igual ao negativo daintegral de ~

F · d~s ao longo docaminho escolhido.

Figura 4.3: O trabalho realizadopor um agente externo para le-var uma carga de A até B porqualquer caminho é igual ao ne-gativo do trabalho realizado en-tre P até A mais o trabalho en-tre P até B.

Para os propósitos deste capítulo, é mais interessanteconsiderar o trabalho que seria realizado para mover umaunidade de carga. O trabalho por unidade de carga, ˆW , é

ˆW = ˆ B

A

~E · d~s.

Como a força eletrostática é conservativa, o trabalho ˆW paralevar a carga de A até B é o mesmo para qualquer caminhoque escolhemos, isto é, ele depende apenas dos pontos A e B.Podemos então considerar um caminho que passe por umponto P qualquer, como mostra a Figura 4.3. Neste caso, otrabalho (por unidade de carga) total realizado para levar acarga de A até B será igual à soma dos trabalhos realizadosentre A e P e entre P e B, ou seja

ˆW = ˆ B

A

~E · d~s ="ˆ P

A

~E · d~s#+

"ˆ B

P

~E · d~s#.


80 física iii

Invertendo o sentido de integração da primeira integral,temos:

ˆW = ˆ B

A

~E · d~s ="ˆ B

P

~E · d~s#"ˆ A

P

~E · d~s#.

Definimos os termos entre colchetes como sendo o potencialelétrico no ponto B, VB, e no ponto A, VA. Em geral,também consideramos que o ponto P esteja no infinito:P ! 1. Portanto, temos

ˆW = ˆ B

A

~E · d~s = VB VA

e, incluindo a definição de diferença de potencial, obtemos

V = VB VA = ˆ B

A

~E · d~s. (4.2)

Diferença de potencial

Dada uma diferença de potencial, V , podemos deter-minar a variação de energia potencial elétrica que a cargasofre:

U = qV ) UB UA = q

ˆ B

A

~E · d~s,

ou em termos do trabalho realizado de A até B, temos que

U = W,

onde

W = q

ˆ B

A

~E · d~s.

A unidade do potencial elétrico é o joule/coulomb, querecebe uma denominação especial, o volt1, representado pelo 1 Em homenagem ao físico ex-

perimental italiano AlessandroVolta (1745–1827), inventor dapilha elétrica.

símbolo V:

[V ] volt =joule

coulomb=

JC

= V.



Uma unidade de energia bastante útil derivada a partir dadefinição do volt é o elétron-volt (eV), que é a energia ganha(ou perdida) por um elétron quando ele se move por umadiferença de potencial de 1 volt:

1eV = (1,6 10

19C)(1V) = 1,6 10

19J.

Segundo a equação 4.2, podemos adotar outra unidadepara o campo elétrico, o volt por unidade de comprimento,ou V/m, que é equivalente ao N/C:

[E] voltmetro

=

Vm

=

NC.

Na prática, o V/m é a unidade de campo elétrico maisutilizada.

4.3 Diferença de potencial em um campo elétricouniforme

Considere um campo elétrico ~E uniforme como o mostradona Figura 4.4. A diferença de potencial entre dois pontos, Ae B, separados por uma distância |~s | = d, onde ~s é paraleloa ~E, é obtida através da equação 4.2:

Figura 4.4: Quando o campoelétrico ~

E aponta para baixo, oponto B está em um potencialelétrico menor que o ponto A.Quando uma carga de prova po-sitiva se move de A até B, o sis-tema carga-campo perde ener-gia potencial elétrica.

VB VA = ˆ B

A

~E · d~s = ˆ B

A

E cos ds = ˆ B

A

Eds.

Como E é constante, podemos removê-lo da integral. Obte-mos

V = E

ˆ B

A

ds = Ed.

O sinal negativo indica que o potencial elétrico no pontoB é menor que no ponto A, isto é, VB < VA. As linhasde força do campo elétrico sempre apontam na direção emque o potencial elétrico está diminuindo, como mostrado naFigura 4.4.


82 física iii

Agora suponha que uma carga elétrica de prova q

move-se de A até B. Podemos calcular a variação da energiapotencial do sistema carga-campo:

U = qV = qEd.

Portanto, se q é positiva, U será negativa. E portantoconcluímos que um sistema consistindo de uma carga positivae um campo elétrico perde energia potencial quando a cargamove-se na direção do campo.

4.4 Potencial elétrico e energia potencial devidoa cargas pontuais

Conforme discutido nos capítulos anteriores, uma cargapontual positiva e isolada q produz um campo elétrico quepossui uma direção radial para fora e centrado na carga. Paracalcular o potencial elétrico em um ponto qualquer localizadoa uma distância r da carga q, partimos da expressão para adiferença de potencial:

VB VA = ˆ B

A

~E · d~s,

onde A e B são dois pontos arbitrários, como mostrado naFigura 4.5. O campo elétrico produzido pela carga q emfunção do raio r é dado por

~E =

1

4"0

q

r2r.

A quantidade ~E · d~s é

~E · d~s = 1

4"0

q

r2r · d~s.

Como a magnitude de r é 1, o produto escalar r·d~s = ds cos ,onde é o ângulo entre r e d~s. Mas ds cos é justamentea projeção de d~s na direção de r, ou seja, ds cos = dr.Portanto, isso mostra que qualquer deslocamento d~s ao



longo da trajetória que liga os pontos A e B corresponde auma variação dr na magnitude do vetor ~r. Fazendo essassubstituições, a expressão para a diferença de potencial fica

VB VA = q

4"0

ˆ rB

rA

dr

r2=

q

4"0

1

r

rB

rA

VB VA =

q

4"0

1

rB 1

rA

Esta última equação dá a diferença de potencial entre ospontos A e B. Se desejamos encontrar o potencial emqualquer ponto (em vez da diferença de potencial entre doispontos), podemos escolher um ponto referencial no infinito,onde V = 0. Por exemplo, assumindo rA ! 1 e rB ! r,obtemos para um ponto qualquer o potencial elétrico criadopor uma carga pontual:

V (r) =1

4"0

q

r. (4.3)

Carga pontual

Se temos um conjunto com N cargas, o potencial elé-trico num dado ponto será obtido calculando-se o potencialVi devido a cada carga e somando-se os valores

V = V1

+ V2

+ V3

+ · · ·+ VN

ou simplesmente

V =

NX

i=1

Vi =1

4"0

X

i

qiri,

onde qi é a carga elétrica da i-ésima carga e ri é a distânciadessa carga ao ponto onde queremos determinar o potencial.Este é o princípio da superposição, que também é válidopara calcular o potencial elétrico.


84 física iii

+

Figura 4.5: A diferença de po-tencial entre os pontos A e B

devido a uma carga pontual qdepende apenas das coordena-das radiais inicial e final, r

A

er

B

. Os dois círculos tracejadosrepresentam seções retas desuperfícies equipotenciais emtorno da carga.

Consideremos agora a energia potencial de um sistemade duas partículas carregadas. Se V

2

é o potencial elétriconum ponto P devido à carga q

2

, então o trabalho de umagente externo para trazer uma segunda carga q

1

do infinitoaté o ponto P é q

1

V2

. Este trabalho representa a transferên-cia de energia para o sistema e a energia aparece no sistemacomo uma energia potencial U quando as partículas estãoseparadas por uma distância r

12

(ver Figura 4.6). Portanto,podemos expressar a energia potencial do sistema como:

U(r) =1

4"0

q1

q2

r12

.

Figura 4.6: (a) Se duas cargaspontuais estão separadas poruma distância r12, a energiapotencial do par de cargas é/ q1q2/r12. (b) Se a cargaq1 é removida, um potencial/ q2/r12 existe no ponto P

devido à carga q2.

Para um sistema de cargas pontuais e fixas, podemoscalcular a energia potencial do sistema de forma semelhante,somando-se a energia potencial de cada par de cargas. Porexemplo, para uma distribuição de três cargas, a energiapotencial do sistema é dada por:

U =

1

4"0

q1

q2

r12

+

1

4"0

q1

q3

r13

+

1

4"0

q2

q3

r23

.

Note que a energia potencial é uma propriedade do sistema,e não de alguma carga individual.



4.5 Potencial elétrico de um dipolo elétrico

Seja um dipolo elétrico formado por duas cargas pontuaisde módulo q e sinais opostos, separadas por uma distânciad, mostrado na Figura 4.7. O momento de dipolo elétrico é~p, cujo módulo é qd.

–

+

+

–

Figura 4.7: (a) Um ponto P nocampo de um dipolo elétrico. (b)Quando r d podemos consi-derar que a diferença de distân-cias r r+ d cos .

O potencial elétrico num ponto P qualquer pode sercalculado usando o princípio de superposição:

VP =

X

i

Vi = V+

+ V,

onde V+

e V são, respectivamente, os potenciais das car-gas positiva e negativa. Substituindo as expressões para opotencial criado por uma carga pontual, temos

VP =

1

4"0

q

r+

+

q

r

=

q

4"0

r r+

r r+

,

onde r+

e r são as distâncias de cada carga até o ponto P .Em geral, podemos considerar o ponto P muito dis-

tante, de forma que r d (onde r é a distância do pontomédio entre as cargas até o ponto P ). Nesta condição,podemos deduzir da Figura 4.7b que

r r+

d cos e r r+

= r2.

O potencial se reduz a

V 1

4"0

qd cos

r2=

1

4"0

p cos

r2=

1

4"0

~p · rr2

,

onde r é o vetor unitário na direção de r e ~p aponta da carganegativa para a positiva.

4.6 Potencial produzido por uma distribuição con-tínua de cargas

Podemos calcular o potencial elétrico devido a uma distri-buição contínua de cargas de duas formas. Se a distribuição


86 física iii

de cargas é conhecida, podemos partir da equação 4.3 parao potencial elétrico de uma carga pontual e considerar opotencial produzido por um elemento infinitesimal de cargadq, tratando este elemento como uma carga pontual, comoilustrado na Figura 4.8. O potencial elétrico dV num pontoP qualquer devido ao elemento de carga dq é

dV =

1

4"0

dq

r.

Para obter o potencial produzido por toda distribuição,integramos esta equação sobre todos os elementos de carga:

V (r) =1

4"0

ˆdq

r.

Figura 4.8: O potencial elétriconum ponto P devido a umadistribuição contínua de cargaspode ser calculado dividindo-sea distribuição de cargas em ele-mentos de carga dq e somando-se as contribuições do potencialdevido a cada elemento.

Se o campo elétrico já é conhecido, por exemplo aplicando-se a lei de Gauss a uma distribuição simétrica de cargas,podemos calcular o potencial usando a relação para a dife-rença de potencial:

V = ˆ

~E · d~s.

Neste caso, temos que considerar o potencial elétrico numponto de referência qualquer como sendo zero.

Esfera não-condutora uniformemente carregada

Seja uma esfera sólida não-condutora de raio R possui umacarga total Q distribuída uniformemente em todo o seuvolume Figura 4.9a. Vamos determinar o potencial elétricono exterior da esfera, sobre sua superfície e dentro da esfera.

Potencial no exterior da esfera (r > R). Inicialmente, con-sideramos o potencial nulo no infinito r = 1. O campoelétrico fora de uma distribuição esfericamente simétrica decargas é dado por

~E =

1

4"0

Q

r2r, (r > R),



onde o campo é dirigido radialmente para fora quando Q épositiva. Para obter o potencial em um dado ponto externoB, como mostrado na Figura 4.9, substituímos esta expressãopara ~E na equação para o potencial. Como ~E · d~s = E dr

neste caso, temos

VB V1 = ˆ r

1E dr = Q

4"0

ˆ r

1

dr

r2=

1

4"0

Q

r.

Note que este resultado é idêntico àquele obtido para opotencial elétrico produzido por uma carga pontual.

Figura 4.9: (a) Uma esfera não-condutora de raio R e com umacarga total Q distribuída unifor-memente em seu volume. (b)Gráfico de V versus r mos-trando o comportamento do po-tencial elétrico em diferentes re-giões.

V (r) =1

4"0

Q

r, (r > R).


Potencial na superfície da esfera (r = R). Como o poten-cial deve ser contínuo em r = R, podemos usar a expressãoobtida acima para determinar o valor do potencial na super-fície da esfera. Assim, o potencial no ponto C mostrado naFigura 4.9 é

V (R) = VC =

1

4"0

Q

R, (r = R).


Potencial no interior da esfera (r < R). No interior daesfera, o campo elétrico é dado por

~E =

1

4"0

Qr

R3

r, (r < R).

Podemos utilizar este resultado e determinar a diferença depotencial entre o ponto C, sobre a superfície da esfera, e um


88 física iii

ponto D no interior da esfera:

VDVC = ˆ r

R

E dr = 1

4"0

Q

R3

ˆ r

R

r dr =

1

4"0

Q

2R3

(R2r2)

Substituindo o valor de VC nesta expressão e resolvendopara VD, obtemos

V (r) =1

4"0

Q

2R

3 r2

R2

, (r < R).


Em r = R, esta expressão dá um resultado que é igual aovalor de VC , o potencial na superfície. Um gráfico de V emfunção de r para esta distribuição de cargas é mostrado naFigura 4.9b.

Esfera condutora

Figura 4.10: (a) Esfera condu-tora de raio R carregada comuma carga Q. (b) Gráfico deV versus r que mostra o po-tencial constante no interior daesfera. (c) Comparação com ográfico para o campo elétrico;no interior da esfera condutora,E = 0.

Seja uma esfera condutora de raio R carregada com umacarga líquida Q, como mostra a Figura 4.10. Fora da esfera,para r > R, o potencial pode ser calculado exatamente comono caso de uma esfera não-condutora, fazendo V = 0 noinfinito. Portanto, temos

V (r) =1

4"0

Q

r, (r > R).

Esfera condutora

O potencial na superfície (r = R) será, então

V (R) =

1

4"0

Q

R, (r = R).

Esfera condutora



Dentro da esfera condutora, o campo elétrico é nulo. Assim,nenhum trabalho é realizado para mover uma carga de umponto a outro no seu interior. Isto significa que o potencialdentro da esfera é constante e igual ao potencial da superfície:

V (r) =1

4"0

Q

R, (r < R).

Esfera condutora

Anel de cargas

Um fino anel circular de raio R possui uma carga elétrica Q

distribuída uniformemente. Vamos determinar o potencialelétrico em um ponto P sobre o eixo do anel a uma distânciaz do seu centro, como mostra a Figura 4.11.

Figura 4.11: Anel circular deraio R possui uma carga elé-trica Q distribuída uniforme-mente.

Cada ponto sobre o anel é equidistante de P e suadistância é r =

pz2 +R2. O potencial é obtido integrando-

se sobre todos os elementos de carga dq:

V =

1

4"0

ˆdq

r=

1

4"0

1pz2 +R2

ˆdq.

Como´dq = Q, temos


90 física iii

V (z) =Q

4"0

1pz2 +R2

.

Anel de cargas

Para pontos muito distantes do anel, z R, esteresultado se reduz ao esperado para o potencial de umacarga pontual:

V 1

4"0

Q

|z| , (z R).

Disco carregado

Um disco carregado uniformemente possui um raio R e umadensidade superficial de carga . Vamos determinar o poten-cial elétrico em um ponto P qualquer ao longo do eixo centralperpendicular do disco, conforme mostra a Figura 4.12.

Figura 4.12: Disco carregado.

Podemos considerar que o disco é formado por anéisconcêntricos (com uma fatia de cebola) e utilizar a soluçãoobtida anteriormente para um anel de cargas. Neste caso,vamos considerar anéis infinitesimais com raio r e espessuradr. A quantidade de carga em cada anel será

dq = dA = (2r dr) = 2r dr.



O potencial elétrico produzido por cada anel infinitesimal,dV , a uma distância z do centro, pode ser obtido através doresultado da seção anterior:

dV =

1

4"0

dqpz2 + r2

=

1

4"0

2r drpz2 + r2

.

Para obter o potencial elétrico no ponto P , integramosa equação acima desde r = 0 até r = R, onde z é constante:

V =

4"0

ˆ R

0

2r drpz2 + r2

.

Fazendo u = z2 + r2, du = 2r dr, e os limites ficam u = z2 eu = z2 +R2:

V =

4"0

ˆ z2+R2

z2

du

u1/2=

4"0

2

pu

z2

+R2

z2

V (z) =

2"0

pz2 +R2 |z|

.

Disco uniformemente carregado

Se tomarmos o limite |z| R, temos2 2 Usando o teorema binomial

(1 + x)

n

= 1 +

nx

1!

+

+

n(n 1)x

2

2!

+ · · ·

pz2 +R2

= |z|1 +

R2

z2

1/2

= |z|1 +

1

2

R2

z2+ · · ·

.

Simplificando a expressão para o potencial, temos

V

2"0

|z|+|z|

1

2

R2

z 2

|z|

=

4"0

R2

|z| .

Multiplicando e dividindo por e considerando que Q =

(R2

), obtemos

V =

1

4"0

R2

|z| =

1

4"0

Q

|z| , (z R).


92 física iii

Portanto, para longas distâncias, |z| R, o potencial elé-trico do disco é o mesmo daquele produzido por uma cargapontual.

No centro do disco, z = 0, o potencial possui um valorfinito e igual a

V (0) =

R

2"0

=

Q

R2

R

2"0

=

1

4"0

2Q

R.


Considere uma linha muito longa carregada com um densi-dade linear de cargas . O potencial elétrico a uma distânciar da linha pode ser calculado a partir da componente radialdo campo elétrico

E(r) =

2"0

r.

A diferença de potencial entre dois pontos A e B, ao longoda direção radial é (lembrando que ~E · d~s = E dr):

VB VA = ˆ B

A

E dr =

2"0

ˆ rB

rA

dr

r=

2"0

ln

rArB

.

Se considerarmos o ponto A no infinito de forma que VA = 0,encontramos que VB terá um valor infinito para quaisquervalores finitos de rB :

VB =

2"0

ln

1rB

.

Portanto, esta não é uma forma sensata de definir o potencialpara este tipo de problema. Ao invés disso, vamos considerarque o potencial VA = 0 para uma distância finita e arbitráriar0

. Assim, o potencial em um ponto qualquer V = VB será:

V (r) =

2"0

ln

r0

r.




4.7 Cálculo do campo elétrico a partir do poten-cial

Podemos expressar a diferença de potencial dV entre doispontos separados por ds como

dV = ~E · d~s.

Se o campo elétrico possui apenas a componente na direçãoradial r, então ~E · d~s = Erdr. Portanto, podemos escrever ocampo elétrico em função da diferença de potencial como

~E = Er r = dV

drr.

Por exemplo, podemos encontrar o campo elétrico produzidopor uma carga pontual a partir do seu potencial, dado por

V (r) =1

4"0

q

r.

A componente radial do campo elétrico será

Er = dV

dr= 1

4"0

d

dr

qr

=

1

4"0

q

r2.

De uma forma geral, o potencial V pode ser escritoem termos das coordenadas cartesianas e as componentes docampo elétrico, em cada coordenada, podem ser facilmenteobtidas a partir de V (x,y,z) através de derivadas parciais:

Ex = @V

@x, Ey = @V

@ye Ez = @V

@z.

Como ~E = Ex ı+ Ey |+ Ezˆk, podemos escrever

~E = @V

@xı @V

@y| @V

@zˆk =

@

@xı+

@

@y|+

@

@zˆk

V.

Aqui é conveniente definir um operador vetorial chamado gra-diente de uma função, representado pelo símbolo ~r (nabla).Em coordenadas cartesianas ele é dado por

~r =

@

@xı+

@

@y|+

@

@zˆk.


94 física iii

Assim, o campo elétrico também pode ser definido em termosdo gradiente de V :

~E = ~rV.

Note que o operador ~r aplicado a uma quantidade escalar,como o potencial elétrico, resulta em um vetor (campoelétrico). Em termos matemáticos, podemos considerar ocampo elétrico ~E como o negativo do gradiente do potencialelétrico V . Fisicamente, o sinal negativo implica que se opotencial V aumenta quando uma carga se move na direçãox, por exemplo, com @V/@x > 0, então há uma componentenão-nula do campo na direção oposta (Ex 6= 0). Porexemplo, no caso da gravidade, se o potencial gravitacionalaumenta quando uma massa é levantada por uma altura h,a força gravitacional apontará para baixo.

Campo elétrico produzido por um anel de cargas

O potencial elétrico produzido por um anel de cargas em umponto qualquer ao longo do seu eixo central, que coincidecom a direção z, é dado por

V (z) =1

4"0

Qpz2 +R2

.

Neste caso, como o potencial depende apenas de z, podemosdeterminar a componente do campo elétrico nesta direção apartir da derivada de V em relação a z:

Ez = @V

@z=

1

4"0

Qz

(z2 +R2

)

3/2.

Campo elétrico produzido por um disco carregado

De forma similar, o potencial elétrico produzido por um discocarregado, ao longo do seu eixo central e perpendicular, édado por

V (z) =

2"0

pz2 +R2 |z|

.



O campo elétrico, calculado a partir do potencial, é obtidosimplesmente pela derivada de V em relação a z:

Ez = @V

@z=

2"0

z

|z| zp

z2 +R2

.

4.8 Superfícies equipotenciais+

–+

Figura 4.13: Superfícies equi-potenciais (linhas tracejadas) elinhas de campo (linhas sólidas)para (a) um campo elétrico uni-forme produzido por uma placainfinita, (b) uma carga pontual e(c) um dipolo elétrico.

Superfícies equipotenciais são superfícies nas quais qualquerdeslocamento de carga produz uma diferença de potencialnula. Em outras palavras, o valor do potencial em qualquerponto de uma dada superfície equipotencial será sempre omesmo. Portanto, quando uma carga de prova move-se aolongo de uma superfície equipotencial de um ponto A paraum ponto B, V = 0, e portanto

V = ˆ B

A

~E · d~s = 0.

Para que isto ocorra, o campo elétrico ~E deve ser perpen-dicular ao vetor deslocamento em cada ponto ao longo dasuperfície equipotencial. Isto mostra que as superfícies equi-potenciais são sempre perpendiculares às linhas de forçado campo elétrico que as interceptam, como mostrado naFigura 4.13.

4.9 Potencial elétrico de um condutor carregado

Em um condutor em equilíbrio eletrostático, a carga elétricatotal distribui-se em sua superfície, resultando que o campoelétrico em seu interior é nulo. Podemos demonstrar quetodo ponto na superfície de um condutor carregado emequilíbrio eletrostático está no mesmo potencial elétrico.

Considere dois pontos A e B na superfície de um condu-tor carregado, como mostra a Figura 4.14. Ao longo de umatrajetória de superfície conectando esses pontos, ~E sempreé perpendicular ao deslocamento d~s. Consequentemente, o


96 física iii

produto escalar ~E · d~s = 0. Usando esse resultado, temosque a diferença de potencial entre A e B é

VB VA = ˆ B

A

~E · d~s = 0.

Esse resultado é válido para quaisquer dois pontos na super-fície. Como V é constante em toda a superfície do condutor,ela pode ser considerada como uma superfície equipotencial.

BA

Figura 4.14: Um condutor de for-mato arbitrário com um excessode cargas positivas. Em equi-líbrio eletrostático, o campo nointerior do condutor é nulo. Opotencial é constante dentro docondutor e igual ao da superfí-cie.

O campo elétrico dentro do condutor é nulo. Issoimplica que o potencial em qualquer ponto no interior docondutor é o mesmo (constante), sendo igual ao valor nasuperfície. Conclui-se que nenhum trabalho é necessáriopara mover uma carga de prova do interior de um condutorcarregado para sua superfície.

Considere agora um sistema consistindo de duas esferascondutoras carregadas de raios r

1

e r2

conectadas por um fiocondutor, como mostra a Figura 4.15. Supondo que as esferasestão muito distantes entre si, o campo elétrico produzidopor uma não afeta a outra. Assim, o campo elétrico decada esfera pode ser descrito pelo campo produzido por umadistribuição esférica de cargas, que é o mesmo de uma cargapontual.

Figura 4.15: Duas esferas con-dutoras carregadas com cargasq1 e q2 estão conectadas porum fio condutor. O potencial elé-trico na superfície das esferas éo mesmo.

Como as esferas estão conectadas por um fio condutor,todo o sistema é um único condutor e todos os pontos emsua superfície possuem o mesmo potencial elétrico. Emparticular, os potenciais nas superfícies das duas esferasdevem ser iguais, de forma que temos a seguinte relação:

1

4"0

q1

r1

=

1

4"0

q2

r2

) q1

r1

=

q2

r2

.

Portanto, a esfera maior possui uma maior quantidade decarga: q

1

> q2

, já que r1

> r2

.



Agora vamos comparar as densidades de carga sobreas duas esferas:

2

1

=

q2

(4r22

)

q1

(4r21

)

=

q2

q1

r21

r22

=

r2

r1

r21

r22

=

r1

r2

.

Logo, embora a esfera maior tenha uma carga total maior,a esfera de raio menor possui uma densidade superficial decargas maior. Como o campo elétrico próximo à superfíciede um condutor é proporcional à densidade superficial decargas, E = /"

0

, isso mostra que o campo elétrico próximoda esfera menor é maior que o campo nas proximidades daesfera maior.

Figura 4.16: Ilustração do efeitodas pontas. As linhas de campoelétrico são mais intensas emregiões onde o raio de curvaturaé menor, isto é, nas pontas docondutor.

Podemos generalizar este resultado dizendo que o campoelétrico devido a um condutor carregado é maior em superfí-cies pontiagudas (que possuem raios de curvatura menor).Este é um fenômeno chamado poder das pontas (ver Fi-gura 4.16).

Cavidade dentro de um condutor

Suponha agora um condutor de forma arbitrária que contémuma cavidade, ou seja, um condutor oco, como mostra aFigura 4.17. Assumindo que não há cargas no interior dacavidade e que o condutor está em equilíbrio eletrostático,concluímos pela lei de Gauss que o campo elétrico no interiordo condutor é nulo, já que toda carga do condutor está nasua superfície externa.

B

A

Figura 4.17: Um condutor emequilíbrio eletrostático contendouma cavidade.

Para provar este ponto, podemos utilizar a propriedadebásica de um condutor: todos os pontos num condutorpossuem o mesmo potencial elétrico. Dessa forma, doispontos A e B num condutor oco mostrado na Figura 4.17devem possuir o mesmo potencial, de forma que

VB VA = ˆ B

A

~E · d~s = 0.


98 física iii

A única maneira para tornar essa integral igual a zero paratodos os caminhos entre A e B, é considerar o campo ~E nuloem todos os pontos no interior do condutor, incluindo nacavidade. Além disso, como não há cargas dentro da cavi-dade, também não pode haver cargas na superfície internado condutor.

? ? ?






4.1 E Um campo elétrico uniforme de magnitude 250 V/mestá na direção positiva do eixo x. Uma carga de 12,0 µCmove-se da origem para o ponto (x,y) (20,0 cm, 50,0 cm).(a) Qual é a mudança de energia potencial do sistema carga-campo? (b) Através de qual diferença de potencial a cargase move?

4.2 E Uma placa não-condutora infinita possui uma densi-dade superficial de cargas = +5,80 pC/m2. (a) Qual é otrabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placase um próton é deslocado da superfície da placa para umponto P situado a uma distância d = 3,56 cm da superfícieda placa? (b) Se o potencial elétrico V é definido comosendo zero na superfície da placa, qual é o valor de V noponto P?

4.3 E Duas cargas puntiformes, q1

= +5,00 nC e q2

=

3,00 nC, estão separadas por 35,0 cm. (a) Qual é a energiapotencial do par? (b) Qual é o potencial elétrico de umponto localizado entre as cargas?

4.4 EE Duas cargas de mesmo módulo mas sinais contráriosestão separadas por uma distância d, como mostrado naFigura 4.18. Determine a expressão para a diferença depotencial entre os pontos A e B, VB VA, localizados nalinha entre as cargas.

–+Figura 4.18: Problema 4.4.

4.5 EE Uma gota d’água esférica com um carga de 30 pCtem um potencial de 500 V na superfície (com V = 0 noinfinito). (a) Qual é o raio da gota? (b) Se duas gotas demesma carga e raio se combinam para formar uma gotaesférica, qual é o potencial na superfície da nova gota?


100 física iii

4.6 E Uma esfera não-condutora tem raio R = 2,31 cm euma carga Q = +3,50 fC uniformemente distribuída em seuvolume. Considere o potencial elétrico no centro da esferacomo sendo V

0

= 0. Determine o valor de V (a) para umadistância radial r = 1,45 cm e (b) para r = R.

4.7 EE O módulo do campo elétrico na superfície de umaesfera de cobre de 20 cm de raio é de 3800 N/C, dirigidopara o centro da esfera. Qual é o potencial no centro daesfera se assumirmos que o potencial no infinito seja igual azero?

4.8 E Uma barra de plástico tem a forma de uma circun-ferência de raio R = 8,20 cm. A barra possui uma cargaQ

1

= +4,20 pC uniformemente distribuída ao longo de 1/4

de circunferência e uma carga Q2

= 6Q1

distribuída unifor-memente ao longo do resto da circunferência, como mostraa Figura 4.19. Com V = 0 no infinito, determine o potencialelétrico (a) no centro C da circunferência; (b) no pontoP , que está sobre o eixo central da circunferência a umadistância D = 6,71 cm do centro.


4.9 EE Uma barra de comprimento L = 1,00 m está sobre oeixo x conforme mostra a Figura 4.20. Ela possui uma densi-dade de carga não-uniforme = ↵x, onde ↵ = +1,00 nC/m2.A distância d = 10,0 cm. Calcule o potencial elétrico noponto P .




4.10 EE Uma barra não-condutora é curvada formandoum semi-círculo de raio a. Uma carga Q está distribuídauniformemente ao longo de toda barra. Calcule o potencialelétrico no centro de curvatura do semi-círculo. Considere opotencial no infinito igual a zero.

4.11 EE Uma esfera de metal com raio a é envolvida poruma camada esférica metálica com raio b. A esfera estácarregada com uma carga +q e a camada com uma cargaq. Calcule o potencial elétrico V (r) para (a) r < a, (b)a < r < b e (c) r > b. Considere o potencial nulo parar ! 1.

4.12 EE Duas cascas cilíndricas coaxiais condutoras têmcargas iguais com sinais opostos. A casca interna tem carga+q e um raio externo a, e a casca externa tem carga q e umraio interno b, como mostra a Figura 4.21. O comprimentode cada casca é L, muito longo comparado com os raios dascascas. Determine a diferença de potencial Va Vb entre ascascas.


4.13 E Em uma certa região do espaço, o potencial elétricoé V = 5x 3x2y + 2yz2. (a) Encontre as expressões paraas componentes x, y e z do campo elétrico nesta região.(b) Qual é o módulo do campo em um ponto P que temcoordenadas (1, 0, 2) m?

4.14 E Duas placas metálicas paralelas, de grande extensão,são mantidas a uma distância de 1,5 cm e possuem cargasde mesmo valor absoluto e sinais opostos nas superfíciesinternas. Tome o potencial da placa negativa como sendo


102 física iii

zero. Se o potencial a meio caminho entre as placas é +5,0 V,qual é o campo elétrico na região entre as placas?


5Capacitores e dielétricos

Neste capítulo, vamos introduzir um dos elementos de cir-cuito mais fundamentais, os capacitores, que são responsáveispor armazenar energia elétrica num circuito.

Os capacitores são utilizados em uma variedade decircuitos elétricos, por exemplo para sintonizar frequências derádio e para armazenar energia em dispositivos eletrônicos.

Um capacitor consiste de um sistema de dois conduto-res, cada um carregado com a mesma quantidade de cargaselétricas, mas de sinais opostos, separados por um materialisolante. A capacitância de um dado capacitor depende desua geometria e do material, chamado dielétrico, que separaos condutores.

Figura 5.1: Dois condutores iso-lados um do outro e de seuambiente formam um capacitor.Quando o capacitor está carre-gado, os condutores têm cargasde mesmo módulo mas sinaisopostos.

5.1 Definição de capacitância

Mostramos no capítulo anterior que o potencial elétrico nasuperfície de uma esfera de raio R e carga Q é

V =

Q

4"0

R.

A relação Q/V para a esfera é constante e independe dacarga Q, já que o potencial é proporcional à carga que oproduz. Isto é válido para todo condutor carregado e isolado,

104 física iii

independente de sua forma geométrica. Em consequênciadisso, podemos definir a capacitância de um condutor isoladocomo a sendo a razão entre sua carga e seu potencial:

C =

Q

V.

A capacitância de uma esfera condutora isolada é, então

C =

Q

V= 4"

0

R.

A unidade de capacitância é o farad (F), definida por

1F 1C

1V

.

Na prática, as unidades mais convenientes são submúltiplosdo farad, como por exemplo, o microfarad (1 µF = 10

6 F)e o picofarad (1 pF = 10

12 F).Questão: Qual deve ser a áreadas placas de um capacitorplano de 1 farad supondo umadistância entre placas de 1 cm?5.2 Cálculo da capacitância

Capacitor plano

Consideremos um par de placas metálicas planas e paralelas,carregadas com cargas +Q e Q (Figura 5.2) após estaremligadas aos terminais de uma bateria, por exemplo. Se adistância d entre as placas é muito menor que as dimensõesdas placas, podemos tratá-las, com boa aproximação, comose fossem planos infinitos, desprezando os “efeitos de borda”nas extremidades dos planos.

O campo elétrico entre as placas pode ser consideradouniforme e é dado por

E =

"0

,

onde = Q/A é a densidade superficial de cargas e A é aárea das placas.


capacitores e dielétricos 105

Figura 5.2: Seção transversalde um capacitor de placas para-lelas carregado. Em geral, parao cálculo da capacitância des-prezamos os efeitos de borda ecampos externos.

A diferença de potencial V entre as placas é

V V+

V =

ˆ

+

~E · d~s = Ed,

pois ~E aponta no sentido da placa positiva para a negativa.Logo,

V =

d

"0

=

Qd

"oA.

Portanto, para um capacitor de placas paralelas, ou plano,a capacitância é dada por

C =

Q

V=

"0

A

d,

ou seja, ela depende apenas da geometria do capacitor.

Capacitor cilíndrico

Considere um condutor cilíndrico sólido de raio a e carga Q,coaxial com uma casca cilíndrica de espessura desprezívele raio b > a, carregado com uma carga Q, cada um comcomprimento ` (ver Figura 5.3). Vamos assumir que ocomprimento dos cilindros é muito maior que a separaçãoentre eles, ` (b a), de forma que podemos desprezar osefeitos de borda.


106 física iii

(a) (b)

Figura 5.3: Um capacitor cilín-drico consiste de um cilindro só-lido de raio a e comprimento `

envolto por uma camada cilín-drica coaxial de raio b.

Para calcular a capacitância desse conjunto, inicial-mente determinamos a diferença de potencial entre os doiscondutores:

V = Vb Va = ˆ b

a

~E · d~s.

Como o campo elétrico ~E = E(r)r é paralelo ao elementod~s e considerando o módulo do campo elétrico produzidopor uma distribuição de cargas com simetria cilíndrica

E = E(r) =

2"0

r

temos

V = VbVa = ˆ b

a

E(r) dr =

2"0

ˆ b

a

dr

r=

2"0

ln

b

a

.

Substituindo o valor absoluto de V na expressão para acapacitância e usando = Q/`, temos

C =

Q

V=

QQ/`2"0

ln(b/a)= 2"

0

`

ln(b/a).

Novamente, este resultado mostra que a capacitância de-pende apenas de fatores geométricos envolvidos na constru-ção de um capacitor.



Capacitor esférico

Um capacitor esférico consiste de uma camada condutoraesférica de raio b e carga Q concêntrica com uma pequenaesfera condutora de raio a e carga +Q, como mostra aFigura 5.4. Na região entre as esferas (a < r < b), omódulo do campo elétrico é simplesmente E(r) = kQ/r2 esua direção é radial: ~E = E(r)r.

Figura 5.4: Exemplo de um ca-pacitor esférico de raio internoa e raio externo b.

A diferença de potencial entre os dois condutores é

V = Vb Va = ˆ b

a

~E · d~s.

Substituindo o campo elétrico, temos

V = ˆ b

a

E(r) dr = Q

4"0

ˆ b

a

dr

r2=

Q

4"0

1

r

b

a

V =

Q

4"0

1

b 1

a

=

Q

4"0

a b

ab.

Substituindo o valor absoluto de V na expressão para acapacitância, temos

C =

Q

V= 4"

0

ab

a b.

5.3 Energia armazenada em um campo elétrico

Uma das principais funções de um capacitor em um circuitoelétrico é armazenar energia no campo elétrico que podeser utilizada posteriormente para, por exemplo, acenderlâmpadas de flash em câmeras fotográficas. Neste caso, osdispositivos dependem da carga e descarga dos capacitores.

Um capacitor carregado possui acumulada uma certaenergia potencial elétrica U , que é igual ao trabalho W

despendido para carregá-lo. Esta energia também pode serrecuperada, permitindo-se a descarga do capacitor.


108 física iii

Suponha que q é a carga de um capacitor num dadoinstante de tempo t. Nesse instante, a diferença de potencialentre as placas do capacitor é V = q/C. Do capítulo ante-rior, sabemos que o trabalho necessário para transferir umapequena quantidade de carga dq de uma placa para outra é

dW = V dq =

q

Cdq.

Figura 5.5: Gráfico do trabalhonecessário para carregar um ca-pacitor.

O gráfico mostrado na Figura 5.5 representa o trabalho totalnecessário para carregar o capacitor de q = 0 até uma cargafinal q = Q, que é dado pela integral de dW :

W =

ˆdW =

ˆ Q

0

q

Cdq =

Q2

2C.

O trabalho realizado para carregar o capacitor aparece comouma energia potencial elétrica armazenada no capacitor.Portanto, a energia potencial armazenada em um capacitorcarregado é dada por

U =

Q2

2C.

Usando a relação Q = CV , podemos reescrever este resul-tado como

U =

1

2

CV 2

=

1

2

QV.

Para um capacitor plano, isto leva a

U =

1

2

"0

A

dV 2

=

1

2

"0

Ad

V

d

2

=

1

2

"0

E2Ad.

Nesta expressão, Ad é o volume do espaço entre as placasdo capacitor, no qual o campo elétrico E fica confinado(desprezando efeitos de borda). Logo, podemos pensar naenergia como estando armazenada no campo, no espaço entreas placas, com uma densidade de energia (volumétrica) dadapor

u =

U

V =

1

2

"0

E2,



onde V = Ad é o volume entre as placas do capacitor. Apesardesta equação ter sido obtida para o caso de um capacitorplano ela é válida para qualquer caso onde temos uma fontede campo elétrico, isto é, a densidade de energia em qualquercampo elétrico é proporcional ao quadrado da magnitude docampo em um dado ponto.

Energia armazenada em uma esfera condutora

Seja uma esfera condutora de raio R carregada com umacarga Q. Vamos determinar a energia armazenada em seucampo elétrico.

Para uma esfera condutora, o campo elétrico é

~E =

8>>><

>>>:

1

4"0

Q

r2r, r > R

~0, r < R

(5.1)

A densidade de energia associada a esse campo é

u =

1

2

"0

E2

=

Q2

32"0

r4

para r > R. No interior da esfera não há campo, portanto adensidade de energia é zero. Para encontrar a energia asso-ciada ao campo elétrico fora da esfera, precisamos resolvera integral U =

´u dV , sobre todo o volume onde há campo,

ou seja, desde r = R até r = 1. Em coordenadas esféricas,podemos escrever o elemento de volume como dV = 4r2 dr,e a integral fica

U =

ˆ 1

R

Q2

32"0

r44r2 dr =

Q2

8"0

ˆ 1

R

dr

r2=

Q2

8"0

R=

1

2

QV,

onde V = Q/4"0

R é o potencial elétrico na superfície daesfera condutora, com V = 0 no infinito.

Podemos verificar que essa energia potencial elétricaassociada à esfera carregada é exatamente igual ao trabalho


110 física iii

feito para carregá-la. Suponha que em um dado momento aesfera tenha uma carga q e um potencial V = q/4"

0

R. Otrabalho necessário para adicionar uma carga dq ao sistemaé dW = V dq. Assim, obtemos o trabalho total para carregara esfera,

W =

ˆdW =

ˆV dq =

ˆ Q

0

Q

4"0

Rdq =

Q2

8"0

R,

que é exatamente o mesmo resultado que obtivemos para ocálculo da energia potencial elétrica do sistema.

5.4 Dielétricos

Em muitos capacitores existe um material isolante, comopapel ou plástico, entre as placas condutoras. Este material,chamado dielétrico, além de ser usado para manter uma sepa-ração física entre as placas, também possui uma importantepropriedade descoberta inicialmente por Cavendish, em ex-perimentos realizados entre 1771 e 17731, e posteriormente 1 Cavendish H., The Electrical

Researches of Henry Caven-dish. (Maxwell, J. C. ed.), Cam-bridge University Press, 1879

por Faraday, em 1837.Ambos descobriram que a capacitância de um capa-

citor aumenta quando um dielétrico é colocado entre suasplacas. Por exemplo, se preenchemos o espaço vazio entreas placas de um capacitor plano com um material dielé-trico, notamos que sua capacitância aumenta por um fator, que depende apenas da natureza do material. Esse fatorchama-se constante dielétrica do isolante (ou dielétrico), talque:

C = C0

,

onde C0

se refere à capacitância de um capacitor quando nãohá nada entre as placas (portanto, para o vácuo, = 1). NaTabela 5.1, são mostrados alguns materiais dielétricos e suasrespectivas constantes dielétricas. Experimentos indicamque todos os dielétricos possuem > 1. Note que para cadadielétrico também há um valor para a rigidez dielétrica, queé o valor máximo do campo elétrico aplicado no material



antes que as cargas elétricas comecem a fluir através dele,ou seja, passam a conduzir eletricidade.

Material Constante Rigidez dielétricadielétrica (106 V/m)

vácuo 1 –ar (seco) 1,00059 3quartzo fundido 3,78 8papel 3,75 16nylon 3,4 14poliestireno 2,56 24porcelana 6 12pyrex 5,6 14titanato de estrôncio 233 8teflon 2,1 60água 80 –

Tabela 5.1: Valores da cons-tante dielétrica e da rigidez die-létrica para diferentes materiais.

A constante pode ser tratada como uma medida daresposta do dielétrico ao campo elétrico externo aplicadosobre ele, por exemplo, o campo entre as placas de umcapacitor. Assim, para uma dada carga Q nas placas de umcapacitor, a diferença de potencial V deve diminuir por umfator para fazer com que capacitância (Q/V ) aumente pelomesmo fator. O campo elétrico na presença de um dielétricotambém deve diminuir, portanto:

~E =

~E0

,

onde ~E0

é o campo elétrico no vácuo entre as placas de umcapacitor.

Visão molecular dos dielétricos

A razão para o aumento da capacitância na presença de umdielétrico pode ser explicada de um ponto de vista molecular.Moléculas são polarizadas quando há uma separação entrea posição média das cargas negativas e a posição média


112 física iii

das cargas positivas. Em algumas moléculas, como a água,esta condição está sempre presente e elas são chamadasde moléculas polares. Moléculas que não possuem umapolarização permanente são chamadas de moléculas apolares.Neste sentido, encontramos dois tipos de dielétricos de acordocom o grau de polarização das moléculas.

Dielétricos polares. São compostos de materiais cujas mo-léculas polares possuem um momento de dipolo elétricopermanente. Um exemplo típico é o da água, conforme dis-cutimos na seção 2.5. A orientação das moléculas polares éaleatória na ausença de um campo elétrico externo. Quandoum campo externo ~E

0

é aplicado, um torque faz com queas moléculas se alinhem parcialmente na mesma direção docampo. O material dielétrico está então polarizado. O graude alinhamento das moléculas com o campo elétrico dependeda temperatura e da magnitude do campo. Em geral, oalinhamento aumenta com a diminuição da temperatura ecom o aumento do campo elétrico. A Figura 5.6 ilustra oalinhamento dos dipolos quando um campo elétrico externoé aplicado em um dielétrico polar.

– +

– +

–+

–+

– +– +

–+

–+

–+

–+

–+

–+

Figura 5.6: Moléculas polaresestão orientadas de forma alea-tória na ausência de um campoelétrico externo. Quando umcampo elétrico externo ~

E0 éaplicado, as moléculas alinham-se parcialmente com o campo.

Dielétricos apolares. Nestes dielétricos (veja a Figura 5.7),as moléculas apolares que os constituem não possuem ummomento de dipolo elétrico permanente. No entanto, seaplicamos um campo elétrico externo, as moléculas adquiremuma polarização induzida que resulta em um momento dedipolo elétrico que terá a mesma direção do campo externo.



– + – +–+

–+

– +

– +

Figura 5.7: Moléculas apola-res não possuem uma polariza-ção permanente. Quando umcampo elétrico externo ~

E0 éaplicado, as moléculas ficam po-larizadas e alinham-se na dire-ção do campo.

Em ambos os casos, o campo elétrico externo devidoàs placas do capacitor polariza o dielétrico, o que produz aformação de uma densidade superficial de cargas, P , emcada face do dielétrico, com sinais correspondentes à polari-zação produzida pelo campo externo. As cargas superficiaisinduzidas no dielétrico podem ser representadas por duasplacas paralelas, de forma que um campo elétrico é induzidono interior do dielétrico, com módulo EP e possuindo sentidooposto ao do campo elétrico externo ~E

0

. Portanto, o campoelétrico resultante no interior do capacitor é dado por

E = E0

EP . (5.2)

No caso de um capacitor plano, o campo elétrico externo E0

pode ser relacionado com a densidade superficial de cargasdas placas como E

0

= /"0

. De forma similar, o campoelétrico induzido pela polarização no interior do dielétricoé dado por EP = P /"0. Como E = E

0

/ = /"0

, substi-tuindo na equação 5.2, obtemos

"0

=

"0

P

"0

o que resulta em

P =

1 1

.

Como > 1, esta expressão mostra que a densidade decargas induzida no dielétrico é menor do que a densidade decargas nas placas do capacitor.


114 física iii

Polarização

Lei de Gauss para dielétricos

Considere o capacitor plano mostrado na Figura 5.8. Quandonão há um dielétrico entre suas placas, o campo elétrico ~E

0

na região entre elas pode ser encontrado usando-se a lei deGauss e adotando uma superfície gaussiana como a mostradana figura:

˛S

~E · n dA = E0

A =

Q

"0

) E0

=

Q

"0

A.

+ + + + + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – – – –

Figura 5.8: Superfície gaussi-ana na ausência de um dielé-trico.

Quando um material dielétrico é colocado entre asplacas, uma carga QP , induzida pela polarização, aparecenas superfícies do dielétrico com sinais opostos aos que temosnas placas do capacitor, como mostra a Figura 5.9. A cargalíquida envolvida agora pela superfície gaussiana é QQP .

A lei de Gauss para este capacitor fica:˛S

~E · n dA = EA =

QQP

"0

E =

Q

"0

A QP

"0

A.



+ + + + + + + + + + + + + ++++++++

– – – – – – – – – – – – – –

–––––––

Figura 5.9: Superfície gaussinapara um capacitor com um die-létrico.

Vimos anteriormente que o campo elétrico na presença deum dielétrico deve diminuir por um fator , logo

E =

E0

=

Q

"0

A=

Q

"0

A QP

"0

A.

Desta expressão, obtemos o valor de QP :

QP = Q

1 1

.

Portanto, a carga líquida no interior da superfície gaussianamostrada na Figura 5.9 é

QQP = QQ

1 1

=

Q

.

Assim, podemos escrever a lei de Gauss na presença de umdielétrico como ˛

S

~E · n dA =

Q

"0

=

Q

",

onde" = "

0

,

é chamada de permissividade dielétrica do material.Note que na carga Q não estão incluídas as cargas

devidas à polarização do dielétrico (QP ), apenas as cargas“livres” no sistema (as cargas nas placas do capacitor). Naprática, o efeito da presença de um dielétrico no campo elé-trico é simplesmente substituir "

0

! ", e considerar apenas


116 física iii

as cargas livres imersas no dielétrico. Por exemplo, o campoelétrico e o potencial elétrico de uma carga pontual imersaem um meio dielétrico são, respectivamente,

~E =

1

4"

q

r2r e V =

1

4"

q

r.

Se duas cargas pontuais estão imersas em um meio dielétrico,o módulo da força coulombiana entre elas é

F =

1

4"

|q1

| |q2

|r2

.

Como " é geralmente maior do que "0

, a presença de ummeio dielétrico produz uma redução efetiva da interaçãoentre as cargas, já que a polarização das moléculas no meiocomporta-se como uma blindagem.

Uma forma alternativa para a lei de Gauss em dielé-tricos é definir um novo vetor, chamado vetor deslocamentoelétrico, dado por

~D = "0

~E.

Consequentemente,˛S

~D · n dA = Q.

Energia armazenada na presença de um dielétrico

A energia armazenada em um capacitor de placas paralelasque contém um dielétrico é

U =

1

2

QV =

1

2

CV 2.

Podemos expressar a capacitância C em termos da área eda separação entre as placas, e a diferença de potencial Vem termos do campo elétrico e da separação entre as placas,para obter

U =

1

2

CV 2

=

1

2

"A

d

(Ed)2 =

1

2

"E2

(Ad).



A quantidade Ad é o volume da região onde há um campoelétrico (entre as placas do capacitor). A energia por unidadede volume, ou densidade de energia, é portanto

uE =

1

2

"E2

=

1

2

"0

E2.

Parte desta energia é a energia associada ao campo elétricoe o restante é a energia associada com o estresse mecânicodevido à polarização do dielétrico.

? ? ?


118 física iii




5.1 E (a) Qual a carga em cada placa de um capacitor de4,00 µF quando ele está conectado a uma bateria de 12,0 V?(b) Se o mesmo capacitor é conectado a uma bateria de1,50 V, qual será a carga armazenada?

5.2 E Uma esfera condutora carregada e isolada de raio12,0 cm cria um campo elétrico de 4,90 10

4 N/C a umadistância de 21,0 cm do seu centro. (a) Qual é sua densidadesuperficial de carga? (b) Qual é sua capacitância?

5.3 E Um capacitor consiste de duas placas paralelas preen-chidas com ar no seu interior. Cada placa possui uma áreade 7,60 cm2, separadas por uma distância de 1,80 mm. Umadiferença de potencial de 20,0 V é aplicada a estas placas.Calcule (a) o campo elétrico entre as placas, (b) a densidadesuperficial de carga, (c) a capacitância e (d) a carga em cadaplaca.

5.4 E Quando uma diferença de potencial de 150 V é aplicadanas placas de um capacitor plano, as placas carregam-se comum densidade superficial de carga de 30,0 nC/cm2. Qual éo espaçamento entre as placas?

5.5 E A carga em um capacitor aumenta por 18 µC quandoa diferença de potencial aumenta de 97 V para 121 V. Qualé a capacitância deste capacitor?

5.6 E (a) Um capacitor de 3,00 µF está conectado a umabateria de 12,0 V. Quanta energia pode ser armazenadano capacitor? (b) Se agora o capacitor é conectado a umabateria de 6,00 V, quanta energia seria armazenada?

5.7 E Um capacitor de placas paralelas está carregado comuma carga Q e a área de cada placa é A. Se a separaçãoentre as placas for dobrada, (a) por qual fator a energiaarmazenada no campo elétrico mudará? (b) Quanto trabalhodeve ser feito para dobrar a separação entre as placas de d

para 2d?



5.8 EE Um capacitor plano preenchido com ar tem umaseparação de placas de 1,50 cm e área das placas de 25,0 cm2.As placas foram carregadas com uma diferença de potencialde 250 V e desconectadas da fonte. O capacitor é entãoimerso em água destilada. Determine (a) a carga nas placasantes e depois da imersão, (b) a capacitância e a diferençade potencial após a imersão e (c) a variação de energia docapacitor. Assuma que o líquido é um isolante e possuiconstante dielétrica = 80,0.

5.9 EE O campo elétrico entre as placas de um capacitorplano cujas placas paralelas estão separadas por um pedaçode papel ( = 3,75) é 8,24 10

4 V/m. A espessura dopapel é de 1,95 mm e a carga em cada placa é de 0,775 µC.Determine (a) a capacitância deste capacitor e (b) área decada placa.

5.10 EE Um capacitor plano possui placas com área de0,0225 m2 separadas por 1,00 mm de Teflon ( = 2,1).(a) Calcule a carga em cada placa quando o capacitor écarregado por uma diferença de potencial de 12,0 V. (b)Use a lei de Gauss para calcular o campo elétrico dentro doTeflon. (c) Use a lei de Gauss para calcular o campo elétricose o Teflon for removido e a fonte de diferença de potencialdesligada.


6Corrente elétrica e resistência

Em situações onde há um equilíbrio eletrostático, vimosnos capítulos anteriores que o campo elétrico no interiorde qualquer condutor deve ser nulo. A presença de umcampo elétrico é necessária para movimentar as cargas epara manter o seu movimento no interior de um condutor.Na prática, o campo elétrico pode ser estabelecido atravésda aplicação de uma diferença de potencial no condutor.É exatamente isso que uma pilha ou bateria faz quandoutilizada em um circuito condutor.

A pilha elétrica foi inventada em 1800 por Alessan-dro Volta (1745–1827), que a utilizou para produzir oprimeiro fluxo contínuo de cargas elétricas, isto é, uma cor-rente elétrica contínua. Antes de 1800, os experimentosem eletricidade consistiam apenas na produção de cargasestáticas por atrito e na geração de correntes elétricas peladescarga de cargas eletrostáticas. Com o invento de Volta,iniciou-se o estudo das correntes elétricas em condutores,suas propriedades e aplicações, que discutiremos aqui.

6.1 Corrente elétrica

Podemos definir corrente elétrica como sendo um fluxo or-denado de cargas elétricas. Em um condutor, a corrente

http://pt.wikipedia.org/wiki/Alessandro_Volta

http://pt.wikipedia.org/wiki/Alessandro_Volta

122 física iii

elétrica aparece sempre que há uma diferença de potencialentre suas extremidades, produzindo um deslocamento decargas no seu interior.

+

+

+

+

++

Figura 6.1: Cargas em movi-mento através de uma área A.A taxa com a qual a carga fluiatravés da área é definida comoa corrente I . A direção da cor-rente é a direção do movimentodas cargas positivas.

Suponha que um conjunto de cargas está se movendoperpendicularmente a uma área de superfície A, como mostraa Figura 6.1. A corrente elétrica é definida como a taxa naqual as cargas fluem através de uma seção de área qualquer.Se uma quantidade de carga q passa através da superfícieem um intervalo de tempo t, então a corrente elétrica,representada pelo símbolo I, é dada por

I =

q

t.

No limite t ! 0, a corrente instantânea pode ser definidacomo

I =

dq

dt.

Corrente elétrica instantânea

Para uma corrente em um fio, dq é a carga que passa atravésde uma seção transversal em um tempo dt. A unidade SI decorrente é o ampère (A), definido como

[I] 1 ampère =

1 coulomb1 segundo

=

1 C1 s

= 1 A.

Em um relâmpago a corrente elétrica é da ordem de 5-100mil ampères, enquanto nas sinapses nervosas ela está nafaixa dos nano ou mesmo pico-ampères.


corrente elétrica e resistência 123

++

+

––

+++

+

++

–

–––

Figura 6.2: Cargas movem-seatravés de quatro regiões: (a)A carga líquida é positiva, por-tanto a corrente I tem o mesmosentido das cargas positivas; (b)A carga líquida é positiva e osentido da corrente é o mesmodo movimento das cargas; (c)A carga líquida é nula, portantonão há corrente fluindo na re-gião; (d) A carga total é nega-tiva e a corrente possui sentidooposto ao do movimento dascargas.

Note que é necessário que exista o escoamento de umacarga resultante dq para que se estabeleça uma corrente.Além disso, a carga resultante que atravessa uma dada su-perfície pode ser positiva ou negativa. Por razões históricas,convencionou-se dizer que a corrente possui a mesma direçãodo fluxo das cargas positivas, como mostra a Figura 6.1. Noscondutores elétricos, como cobre ou alumínio, a corrente édevida ao movimento de elétrons com carga negativa. Por-tanto, a corrente num condutor possui direção oposta aomovimento dos elétrons. No entanto, se estamos conside-rando um feixe de prótons carregados positivamente numacelerador, a corrente possui a mesma direção do movimentodos prótons. Portanto, é a carga líquida em movimentoque define o sentido da corrente elétrica. Por exemplo, aFigura 6.2 mostra quatro seções de área pelas quais fluemdiferentes quantidades de cargas positivas e negativas, o queresulta em diferentes intensidades e sentidos para a correnteelétrica em relação ao movimento das cargas.

Densidade de corrente

Considere um condutor com uma seção transversal de áreaA transportando uma corrente I. A densidade de correnteJ no condutor é definida como a corrente por unidade deárea:

J I

A,

onde J possui unidades de A/m2. Esta expressão é válidaapenas se a densidade de corrente é uniforme e somente sea superfície da seção de área A é perpendicular à direção


124 física iii

da corrente. De uma forma geral, a densidade de corrente éuma quantidade vetorial e está relacionada com a correnteI pela expressão

I =

¨~J · n dA,

onde n é um vetor unitário perpendicular ao elemento desuperfície dA e a integral é calculada sobre toda a superfícieem questão.

6.2 Resistência

Vimos no Capítulo 3 que o campo elétrico no interior deum condutor é zero. Entretanto, isto é válido apenas se ocondutor estiver em equilíbrio eletrostático. Nesta seçãovamos descrever o que acontece quando as cargas em umcondutor não estão em equilíbrio, ou seja, quando há umcampo elétrico no seu interior.

Quando ligamos uma bateria às duas extremidades deum fio condutor, uma diferença de potencial V é criada e, se ocomprimento do fio for `, então um campo elétrico de móduloE = V/` aparecerá no seu interior (veja a Figura 6.3). Estecampo elétrico ~E atuará sobre os elétrons livres do materialde que é feito o condutor, imprimindo-lhes um movimentoresultante no sentido oposto a ~E.

Figura 6.3: Uma diferença depotencial V = V

B

V

A

é apli-cada a um condutor cilíndricode comprimento ` e área da se-ção reta A, originando uma cor-rente I .

O campo elétrico exerce uma força ~F = q ~E sobre osportadores de carga (elétrons) em um condutor, mas estaforça não produz uma aceleração resultante porque os elé-trons colidem continuamente com os átomos ou íons quefazem parte do condutor. O efeito das diversas colisões



resulta numa pequena velocidade média adquirida pelos elé-trons, chamada velocidade de deriva ou arrasto, ~vd. Como oselétrons possuem carga negativa, o sentido da velocidade dederiva é oposto ao do campo elétrico (Figura 6.4). O númerode elétrons livres ou de condução em um comprimento ` deum fio condutor é nA`, onde n é o número de elétrons porunidade de volume e A` é o volume do comprimento ` dofio. A carga que atravessa o fio num intervalo de tempot = `/vd é q = (nA`)e. Logo, a corrente I é dada por:

I =

q

t=

nA`e

`/vd= nAevd.

–

Figura 6.4: Ilustração do movi-mento dos elétrons em um con-dutor. Mudanças na direção dosmovimentos são o resultado decolisões entre elétrons e áto-mos no condutor. Note que omovimento líquido do elétron éoposto à direção do campo elé-trico.

Como J = I/A, temos que

vd =

I

nAe=

J

ne.

Ou, em termos vetoriais, temos que:

~J = ne~vd

onde o sinal negativo indica que para os elétrons ~J e ~vdpossuem sentidos opostos.

Lei de Ohm

A densidade de corrente ~J e um campo elétrico ~E são es-tabelecidos em um condutor qualquer que seja a diferençade potencial mantida ao longo do condutor. Em algunsmateriais, a densidade de corrente é proporcional ao campoelétrico:

~J = ~E,

Lei de Ohm; forma microscópica

onde a constante de proporcionalidade é chamada decondutividade do condutor. Esta relação é conhecida como


126 física iii

a forma microscópica da lei de Ohm, derivada por GustavKirchhoff , em 1850.1 1 Kirchhoff G., LXIV. On a de-

duction of Ohm’s laws, in conne-xion with the theory of electro-statics, Philosophical MagazineSeries 3, 1850, v. 37, p. 463–468

Podemos obter uma versão macroscópica da lei de Ohmda seguinte forma. Considere um fio condutor de seção deárea A e comprimento `, como o mostrado na Figura 6.3.Uma diferença de potencial V é mantida através do fio,criando um campo elétrico e uma corrente ao longo do fio.Supondo que o campo seja uniforme, o módulo da diferençade potencial pode ser obtida pela expressão

V =

ˆ

fio

~E · d~s = E`.

Portanto, podemos expressar a magnitude da densidade decorrente no fio como

J = E = V

`.

Como J = I/A, podemos escrever a diferença de potencialcomo

V =

`

J =

`

A

I.

Obtemos uma relação linear entre a diferença de potencial ea corrente. A constante de proporcionalidade é chamada deresistência, R, do condutor

R =

`

A.

Note que a resistência depende apenas da forma (compri-mento e área) e do material (condutividade) do qual é feito ocondutor. Portanto, escrevemos a relação entre V e I como

V = RI.

Lei de Ohm; forma macroscópica

Esta relação também é conhecida como a lei de Ohm, masno nível macroscópico. Georg Simon Ohm (1787–1854) a


http://pt.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff


http://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Simon_Ohm


obteve originalmente em 1826.2 Materiais que obedecem a 2 Ohm G. S., Bestimmung desGesetzes, nach welchem Me-talle die Contaktelektricitä leiten,nebst einem Entwurfe zu einerTheorie des Voltaischen Appa-rates und des SchweiggerschenMultiplicators, Journal für Che-mie und Physik, 1826, v. 46, p.137–166

lei de Ohm são chamados ôhmicos.A lei de Ohm na forma macroscópica será muito em-

pregada na análise de circuitos elétricos. A resistência possuiunidades SI de volts por ampère, que recebe a denominaçãode ohm (Ω):

1Ω 1V

1A

.

Esta expressão mostra que se uma diferença de potencialde 1 V ao longo de um condutor causa uma corrente de 1A, a resistência do condutor é de 1 Ω. Um condutor cujafunção num circuito é fornecer uma resistência específica échamado de resistor. Para uma dada diferença de potencial,quanto maior for a resistência ao fluxo de carga, menor seráa corrente.

Em termos da resistência, podemos escrever a lei deOhm como:

um condutor obedece à lei de Ohm quando sua resistênciaé independente do valor e da polaridade da diferença depotencial aplicada.

Lei de Ohm; forma macroscópica

O inverso da condutividade é a resistividade :

=

1

,

onde possui unidades de ohm·metro (Ω · m). Como R =

`/A, podemos expressar a resistência de um bloco uniformede material com comprimento ` como

R = `

A.

Note que esta relação só é válida para condutores homogêneose isotrópicos de seção reta uniforme e sujeitos a um campoelétrico também uniforme.


128 física iii

Material Resistividade a 20, Ω·m

Prata 1,59×108

Cobre 1,72×108

Ouro 2,44×108

Alumínio 2,82×108

Tungstênio 5,60×108

Latão 0,8×107

Ferro 1,0×107

Mercúrio 9,8×107

Carbono 3,5×105

Silício 6,40×102

Vidro 10

10 a 10

14

Enxofre 10

15

Tabela 6.1: Valores da resistivi-dade para diferentes materiais.

Variação da resistividade com a temperatura

A resistividade de um material depende da temperatura.A resistência dos metais geralmente aumenta com a tem-peratura. Isto não é surpresa, já que para temperaturasmais altas os átomos movem-se mais rapidamente e estãoorganizados de forma menos ordenada, afetando de formamais significativa o fluxo de elétrons. Se a variação de tempe-ratura não é tão grande, a resistividade dos metais aumentaaproximadamente de forma linear com a temperatura, deacordo com a relação:

= 0

[1 + ↵(T T0

)],

onde 0

é a resistividade numa dada temperatura de refe-rência T

0

(como 0 ou 20), é a resistividade a umatemperatura T e ↵ é chamado de coeficiente de temperaturada resistividade.

Semicondutores

Semicondutores são substâncias cuja resistividade elétrica, aocontrário do que ocorre com os condutores normais, diminui



com a temperatura. Assim, são condutores nas temperaturasusuais e isolantes nas baixas temperaturas.

Exemplos de elementos químicos com propriedadesde semicondutores são o germânio e o silício. Além desteselementos, também são semicondutores uma grande quanti-dade de substâncias entre as quais se destacam os compostosbinários constituídos por átomos de grupos diferentes databela periódica como, por exemplo, GaAs, AlSb e InSb.

6.3 Cálculo da resistência em condutores

Tronco de cone

Figura 6.5: Tronco de cone.

Considere um material de resistividade na forma de umtronco de cone de altura h e raios das bases a e b, conformemostra a Figura 6.5. Assumindo que a corrente elétrica estádistribuída uniformemente através do cone, qual a resistênciaelétrica entre suas bases?

Em primeiro lugar, considere um disco fino de raio r auma distância z da base inferior do cone. Conforme ilustraa Figura 6.6, podemos aplicar o teorema da interseção3 (ou

3 Quando duas retas transver-sais cortam um feixe de retasparalelas, as medidas dos seg-mentos delimitados nas trans-versais são proporcionais.teorema de Tales) para encontrar a relação entre os raios

das bases, o raio do disco, a altura do cone e a distância z.Em outras palavras:

b r

z=

b a

h,

our = (a b)

z

h+ b.

Vimos na seção anterior que podemos escrever a resis-tência como

R = `

A,

Figura 6.6: Diagrama mos-trando a geometria do pro-blema.

onde ` é o comprimento do condutor e A é a área da suaseção transversal. Portanto, podemos escrever a resistência


130 física iii

de um elemento infinitesimal do cone na forma de um discocom espessura dz e área r2, como

dR =

dz

r2=

dz

[b+ (a b)x/h]2.

Integrando, temos

R =

ˆ h

0

dz

[b+ (a b)z/h]2=

h

ab,

onde fizemos u = b+ (a b)z/h e du = (a b)/h dz.

Cilindro oco

Considere um cilindro oco com raio interno a, raio externo b

e com um comprimento `, como ilustrado na Figura 6.7. Ocilindro é feito de um material com resistividade . Vamosanalisar duas situações.

Figura 6.7: Um cilindro oco.

(a) Suponha que uma diferença de potencial seja apli-cada entre as extremidades do cilindro e produz uma correntefluindo paralela ao eixo do cilindro. Qual é a resistênciamedida?

Neste caso, a área da seção transversal é A = (b2a2)

e a resistência é simplesmente dada por

R = `

A=

`

(b2 a2).

(b) Se a diferença de potencial é aplicada entre assuperfícies interna e externa do cilindro de forma que umacorrente elétrica flui radialmente para fora, qual é a resistên-cia medida?

Vamos considerar um elemento infinitesimal na formade um cilindro de raio interno r e raio externo r + dr, comum comprimento `. Sua contribuição para a resistência totaldo cilindro é dada por

dR =

dr

A=

dr

2r`,



onde A = 2r` é a área normal à direção da corrente. Aresistência total do cilindro é

R =

ˆ b

a

d`

2r`=

2`ln

b

a.

6.4 Modelo cinético para condutores (modelo deDrude)

? ? ?


132 física iii




6.1 E Uma corrente de 5 A percorre um resistor de 10 Ωdurante 4 minutos. (a) Quantos coulombs e (b) quantoselétrons passam através da seção transversal do resistor nesteintervalo de tempo?

6.2 E Um feixe contém 2 10

8 íons positivos duplamentecarregados por cm3, todos movendo-se para o norte comvelocidade de 110

5 m/s. (a) Quais são o módulo, a direçãoe o sentido da densidade de corrente ~J? (b) Podemos calculara corrente total I neste feixe de íons? Em caso negativo,que informações adicionais são necessárias?

6.3 E A quantidade de carga q (em coulombs) que passaatravés de uma superfície de área 2,00 cm2 varia com otempo de acordo com a equação q = 4t3 + 5t+ 6, onde t édado em segundos. (a) Qual é a corrente instantânea queatravessa a superfície em t = 1,00 s? (b) Qual é o valor dadensidade de corrente?

6.4 EE Uma corrente elétrica é dada pela expressão I(t) =

100 sen(120t), onde I está em ampères e t em segundos.Qual é a carga total transportada pela corrente de t = 0 at = (1/240) s?

6.5 E Uma lâmpada possui uma resistência de 240 Ω quandouma diferença de potencial de 120 V atravessa-a. Qual é acorrente na lâmpada?

6.6 E Um resistor é composto por uma barra de carbonoque possui uma seção reta de área de 5,00 mm2. Quandouma diferença de potencial de 15,0 V é aplicada atravésde uma das pontas da barra, ela carrega uma corrente de4,0010

3 A. Encontre (a) a resistência da barra de carbonoe (b) o comprimento da barra (considere que a resistividadedo carbono é de 3,5 10

5 Ω·m).



6.7 EE Suponha que você deseja fabricar um fio uniformeusando 1,00 g de cobre. Se o fio tiver uma resistência de0,500 Ω e se todo o cobre for utilizado em sua confecção, qualserá (a) o comprimento e (b) o diâmetro do fio? Considereque a densidade do cobre é 8,9210

3 kg/m3 e a resistividadedo cobre é 1,70 10

8 Ω·m.

6.8 E Um fio de metal de resistência R é cortado em trêspedaços iguais que são então conectados lado a lado paraformar um novo fio de comprimento igual a 1/3 do tamanhooriginal. Qual é a resistência deste novo fio?

6.9 E Um fio de 1,00 m de comprimento tem resistência iguala 0,300 Ω. Um segundo fio, feito de um material idêntico,tem comprimento de 2,00 m e massa igual à do primeiro fio.Qual é a resistência do segundo fio?

6.10 EE Um aquecedor elétrico tem um elemento aquecedorde Nichrome com resistência de 8,00 Ω a 20,0 . Quando sãoaplicados 120 V, a corrente elétrica aquece o fio de Nichromea 1000 . (a) Qual é a corrente inicial no elemento aquecedora 20,0 ? (b) Qual é a resistência do elemento aquecedora 1000 ? Considere o coeficiente de temperatura, ↵, doNichrome a 20,0 igual a 0,3 10

3 K1.


7Circuitos de corrente contínua

Neste capítulo, vamos tratar da física de circuitos elétricosque contêm resistores, fontes e capacitores. Vamos limitar adiscussão a circuitos nos quais as cargas se movem sempreno mesmo sentido, conhecidos como circuitos de correntecontínua ou circuitos DC (do inglês Direct Current).

Na análise de circuitos elétricos, utilizamos uma repre-sentação gráfica chamada diagrama de circuito, onde cadaelemento é representado por um símbolo diferente e são co-nectados por linhas retas que representam os fios condutores.Exemplos de símbolos para alguns elementos de circuito sãomostrados na Figura 7.1.

Figura 7.1: Elementos gráficosutilizados na representação decircuitos elétricos: fonte de fem,resistor, capacitor e chave ouconector.

7.1 Fontes de fem

Para fazer passar cargas elétricas por um resistor precisamosestabelecer uma diferença de potencial entre as extremida-des do dispositivo. O dispositivo que mantém a voltagemconstante em um circuito é chamado de fonte de fem, ousimplesmente fonte. Originalmente, o termo fem era umaabreviação de força eletromotriz, que era usada para designara diferença de potencial produzida por uma fonte de tensão,embora na verdade não se trate de uma força.

136 física iii

As fontes de fem (símbolo E) são todos os dispositivos(por exemplo, baterias e geradores) que aumentam a ener-gia potencial de um circuito mantendo uma diferença depotencial entre pontos no circuito enquanto cargas o atra-vessam. Pode-se pensar em uma fonte de fem como sendouma “bomba de carga” que faz com que os elétrons se deslo-quem em uma direção oposta ao campo elétrico dentro dafonte. A diferença de potencial máxima entre os terminaisde uma fonte, quando nenhuma corrente é fornecida paraum circuito, é chamada de fem da fonte. A fem E de umafonte descreve o trabalho realizado por unidade de carga, ou

E =

dW

dq.

A unidade de fem é o joule/coulomb que, como já vimos,corresponde ao volt (V).

Uma fonte real, como uma bateria, tem sempre algumaresistência interna r para o fluxo de cargas. Consequente-mente, quando ligamos uma bateria a um circuito gerandouma corrente elétrica ao longo dele, a diferença de potencialentre os terminais da bateria será uma quantidade diferenteda sua fem. Por exemplo, considerando o circuito mostradona Figura 7.2, vamos determinar a diferença de potencialentre os pontos a e d, V = Vd Va. Quando passamos pelafonte entre o terminal negativo e o positivo, o potencialaumenta por uma quantidade E . Quando passamos atravésda resistência r, o potencial diminui por uma quantidadeIr, onde I é a corrente no circuito. Assim, a voltagem dabateria é

V = Vd Va = E Ir. (7.1)

Para uma bateria ideal, r = 0 e portanto V = E . Se nenhumacorrente flui na bateria, V = E . Portanto, a diferença depotencial entre os terminais de uma bateria depende dacorrente na bateria e de sua resistência interna.

Considere novamente o circuito da Figura 7.2. A di-ferença de potencial entre os pontos e e f , que atravessa


circuitos de corrente contínua 137

Figura 7.2: (a) Um circuito con-tendo uma fonte de fem E comresistência interna r, e um re-sistor com resistência R. A cor-rente flui no sentido horário. (b)Gráfico que mostra a variaçãoda diferença de potencial atra-vés dos elementos de circuito.

o resistor é Vf Ve = IR. Como a diferença de potencialfornecida pela bateria deve ser igual à diferença de potencialao longo do resistor, podemos reescrever a equação 7.1 como

E Ir = IR ) E = IR+ ir. (7.2)

Isolando a corrente, obtemos

I =

ER+ r

.

Esta equação mostra que num circuito simples a correnteelétrica depende da resistência externa R e da resistênciainterna r da bateria. Se R é muito maior que r, como éo caso de muitos circuitos reais, podemos desprezar r e acorrente será dada por:

I =

ER,

que é a corrente máxima de um circuito operando a umadada fem E e com uma resistência R.

7.2 Potência em circuitos elétricos

Se uma bateria é usada para estabelecer uma corrente elétricaem um condutor, há uma contínua transformação da energiaquímica na bateria para a energia cinética dos elétrons, isto


138 física iii

é, para a energia interna do condutor, o que resulta em umaumento da temperatura do condutor.

Vamos determinar uma expressão que permite calculara taxa pela qual a energia é transferida ao condutor. Emprimeiro lugar, vamos considerar o circuito simples mostradona Figura 7.2 onde a energia produzida pela fonte está sendotransferida diretamente para o resistor R. Por simplicidade,vamos considerar que a resistência dos fios é desprezível. Adifença de potencial entre os terminais da fonte, considerandosua resistência interna, é

V = E Ir.

Novamente para o caso de uma fonte ideal, r = 0, e podemosconsiderar V = E .

Dada essa diferença de potencial, uma quantidade decarga positiva q move-se ao longo de todo o circuito criandouma corrente I. Entre os pontos a e b, a carga move-seatravés da bateria e a energia potencial elétrica do sistemaaumenta por uma quantidade U = qV , enquanto a energiapotencial química na bateria diminui pela mesma quantidade.Quando a carga move-se de c até d através do resistor, osistema perde energia potencial elétrica durante as colisõesdos elétrons com os átomos no resistor. Neste processo, aenergia é transformada em energia interna correspondendoa um aumento do movimento vibracional dos átomos noresistor. Nos segmentos bc e da não ocorre nada, já quedesprezamos a resistência do fio condutor. Portanto, quandoa carga retorna ao ponto a, parte da energia foi transferidapara o resistor na forma de energia interna.

O resistor está normalmente em contato com o ar,logo, como sua temperatura aumenta, a energia internaé transferida para o ar na forma de calor. Além disso, oresistor também emite radiação térmica, uma outra forma detransferência de energia. Após um certo intervalo de tempo,o resistor atinge uma temperatura constante e a energiafornecida pela bateria é balanceada pela energia liberadapelo resistor na forma de calor ou radiação.



A taxa pela qual o sistema perde energia potencialelétrica à medida que a carga q atravessa o resistor é então

dU

dt=

d

dt(qV ) =

dq

dtV = IV,

onde I é a corrente no circuito. O sistema ganha esta energiapotencial quando a carga passa através da bateria, ao custoda diminuição da energia química da bateria. Portanto, apotência P = dU/dt fornecida pela fonte é

P = IV.

Para uma fonte ideal, V = E , e portanto P = IE . Essapotência deve ser igual à taxa com a qual a energia é dissi-pada no resistor. Como para um resistor V = IR, podemosexpressar a potência dissipada como:

P = I2R =

V 2

R.

Se a corrente I é expressa em ampères, V em volts e R emohms, a unidade SI de potência é o volt·ampère ou watt:

1 volt · ampère = 1

joule((((coulomb

·((((coulombsegundo

= 1watt

O processo pelo qual a potência é perdida como ener-gia interna (calor) em um condutor de resistência R foidescoberto por James Prescott Joule em 18411 e é frequen- 1 Joule J. P., XXXVIII. On the

heat evolved by metallic conduc-tors of electricity, and in the cellsof a battery during electrolysis,Philosophical Magazine Series3, 1841, v. 19, p. 260–277

temente chamado aquecimento Joule ou efeito Joule.

7.3 Associação de capacitores e resistores

Quando estamos analisando circuitos elétricos, frequente-mente é útil saber a capacitância/resistência equivalente dedois ou mais capacitores/resistores conectados de uma certamaneira. O termo “equivalente” refere-se à capacitância ouresistência de um elemento de circuito que pode substituir acombinação sem nenhuma mudança na operação do restantedo circuito.


http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Prescott_Joule

140 física iii

Capacitores em paralelo

A Figura 7.3 mostra um exemplo de conexão em paralelo,cujos terminais estão ligados aos pólos de uma bateria, quemantém entre eles a diferença de potencial V V . As pla-cas da esquerda de ambos capacitores estão conectadas porum fio condutor ao terminal positivo da bateria e portantoelas estão no mesmo potencial daquele terminal da bateria;o mesmo para as placas da direita, que estão conectadasao terminal negativo da bateria. Portanto, a diferença depotencial entre as placas dos capacitores é igual à diferençade potencial na bateria.

Figura 7.3: Uma associação emparalelo de dois capacitores e ocircuito reduzido à capacitânciaequivalente.

A carga total Q armazenada pelos dois capacitores éentão

Q = Q1

+Q2

.

Portanto,

Q = C1

V + C2

V = (C1

+ C2

)V = Ceq

V.

Logo, esse conjunto de capacitores é equivalente a um capa-citor único, de capacitância equivalente

Ceq

= C1

+ C2

+ · · · =NX

i

Ci.



Capacitores em série

Vejamos agora a conexão em série, representada na Fi-gura 7.4. Para esta combinação, o valor da carga acumuladaem cada placa do capacitor é a mesma.

Figura 7.4: Uma associação emsérie de dois capacitores e ocircuito reduzido à capacitânciaequivalente.

A diferença de potencial total entre os dois terminaisdo circuito é

V = V1

+ V2

=

Q

C1

+

Q

C2

=

Q

Ceq

.

Logo, a capacitância equivalente é dada por:

1

Ceq

=

1

C1

+

1

C2

+ · · · =NX

i

1

Ci

Resistores em paralelo

Agora considere a combinação de resistores mostrada naFigura 7.5, que representa resistores em paralelo. Quandoa corrente atinge o ponto a, chamado de nó, ela se divideem duas partes I

1

e I2

. Um nó de um circuito é portantocaracterizado como qualquer ponto de um circuito no qual acorrente se divide. Esta divisão implica que menos correntepassará por cada resistor individual do que a corrente totalfornecida pela bateria. Como a carga elétrica (ou a corrente)no circuito é conservada, a corrente I que entra no ponto a

deve ser igual às correntes que o deixam, isto é

I = I1

+ I2

,


142 física iii

Figura 7.5: Combinação de re-sistores em paralelo.

onde I1

é a corrente em R1

e I2

é a corrente em R2

.A diferença de potencial entre os resistores é a mesma,

logo

I = I1

+ I2

=

V

R1

+

V

R2

= V

1

R1

+

1

R2

=

V

Req

,

onde novamente Req

é uma resistência equivalente para umcircuito com resistências em paralelo, dada por

1

Req

=

1

R1

+

1

R2

+ · · · =NX

i

1

Ri.

Para dois resistores, temos:

Req =

R1

R2

R1

+R2

.

Estas expressões mostram que o inverso da resistência equi-valente de dois ou mais resistores conectados em paralelo éigual à soma dos inversos das resistências individuais.

Resistores em série

A Figura 7.6 mostra dois resistores R1

e R2

formando umacombinação em série. As correntes que atravessam ambosos resistores são iguais já que a quantidade de carga quepassa através de R

1

também deve passar através de R2



Figura 7.6: Combinação de re-sistores em série.

no mesmo intervalo de tempo. Portanto, a diferença depotencial aplicada em uma combinação em série de resistoresserá dividida entre os resistores, ou seja

V = V1

+ V2

= IR1

+ IR2

= I(R1

+R2

) = IReq

,

onde Req

é a resistência equivalente do circuito dada por:

Req

= R1

+R2

+ · · · =NX

i

Ri.

Esta relação indica que a resistência equivalente de umacombinação em série de resistores é a soma numérica dasresistências individuais e é sempre maior que qualquer resis-tência individual.

7.4 Regras de Kirchhoff

Conforme vimos anteriormente, circuitos simples podemser analisados usando a expressão V = IR e regras paracombinações de resistores em série e em paralelo. Porém,em muitos casos não é possível reduzir um circuito a umaforma simples. Para a análise de circuitos mais complexos,utilizamos dois princípios chamados regras de Kirchhoff,2 2 Kirchhoff G., Ueber den Dur-

chgang eines elektrischen Stro-mes durch eine Ebene, ins-besondere durch eine kreisför-mige, Annalen der Physik, 1845,v. 140, p. 497–514

em homenagem a Gustav Kirchhoff (1824–1887), que asdescreveu pela primeira vez em 1845.



144 física iii

Regra dos nós: conservação de cargas. Em um nó, a somadas correntes elétricas que entram é igual à soma das cor-rentes que saem, ou seja, um nó não acumula carga. Dessaforma, podemos escrever

XIentra

=

XIsai

.

Figura 7.7: Regra dos nós deKirchhoff.

Por exemplo, para o nó mostrado na Figura 7.7, arelação entre as correntes será I

1

= I2

+ I3

. Esta regra estárelacionada ao princípio da conservação de cargas aplicadoa circuitos elétricos.

Regra das malhas: conservação de energia. A soma algé-brica das diferenças de potencial encontradas em todos ospontos ao longo de um percurso completo do circuito deveser igual a zero. Esta regra está associada ao princípio daconservação da energia em circuitos.

X

ao longodo circuito

V = 0

Figura 7.8: Regras para deter-minação das diferenças de po-tencial através de um resistor,uma fonte de fem e um capaci-tor. Cada elemento é atraves-sado da esquerda para direita(de a para b).

Quando aplicamos a segunda regra de Kirchhoff naprática, consideramos as seguintes convenções de sinal (vejaa Figura 7.8):

• Se atravessamos um resistor na direção da corrente, adiferença de potencial será IR.

• Se atravessamos um resistor na direção oposta da corrente,a diferença de potencial será +IR.

• Se a fonte de fem (assumindo que possui resistência in-terna desprezível) é atravessada na direção da fem (de para +), a diferença de potencial será +E .

• Se a fonte de fem (assumindo que possui resistência in-terna desprezível) é atravessada na direção oposta da fem(de + para ), a diferença de potencial será E .



• Se atravessamos um capacitor da placa negativa para apositiva, a diferença de potencial será +q/C.

• Se atravessamos um capacitor da placa positiva para anegativa, a diferença de potencial será q/C.

Exemplo 7.1: Exemplo de aplicação das regras de Kirchhoff

Determine os valores das correntes I1, I2 e I3 do circuito mostradona Figura 7.9.

Figura 7.9: Um circuito de malhas múltiplas.

Em primeiro lugar, não podemos simplificar o circuito usandoas regras para resistores em série ou paralelo. Devemos utilizar,então, as regras de Kirchhoff. Vamos definir de forma arbitráriaas direções das correntes tal como mostrado na Figura 7.9.

Aplicando a lei dos nós para o ponto c, obtemos

I1 + I2 = I3.

Temos uma equação com três variáveis desconhecidas. Logo, paraencontrar os valores das correntes precisamos de pelo menos maisduas equações que envolvam essas três variáveis. Podemos dividiro circuito em três malhas, ou caminhos: abcda, befcb e aefda.


146 física iii

Portanto, necessitamos determinar as equações para duas malhaspara encontrar as correntes. Aplicando a regra das malhas paraos caminhos abcda e befcb e atravessando o circuito no sentidohorário, obtemos as seguintes expressões:

abcda : 10,0 V (6,0 Ω)I1 (2,0 Ω)I3 = 0

befcb : (4,0 Ω)I2 14,0 V + (6,0 Ω)I1 10,0 V = 0

Portanto, temos três equações para determinar três variáveis.Substituindo I3 = I1 + I2 na equação para abcda, temos:

10,0 V (6,0 Ω)I1 (2,0 Ω)(I1 + I2) = 0

10,0 V = (8,0 Ω)I1 + (2,0 Ω)I2 = 0

Dividindo cada termo da expressão para befcb por 2 temos:

12,0 V = (3,0 Ω)I1 + (2,0 Ω)I2

Substituindo esta equação na anterior, eliminamos I2 e obtemos

22,0 V = (11,0 Ω)I1

I1 = 2,0 AE determinamos I2 fazendo

(2,0 Ω)I2 = (3,0 Ω)I1 12,0 V

(2,0 Ω)I2 = (3,0 Ω)(2,0 A) 12,0 V = 6,0V

I2 = 3,0 AFinalmente,

I3 = I1 + I2

I3 = 1,0 APara finalizar o problema, notamos que as correntes I2 e I3

são ambas negativas, indicando que as correntes possuem sentidooposto do que escolhemos inicialmente.



7.5 Circuitos RC

Até agora analisamos circuitos de corrente contínua nos quaisa corrente é constante. Se incluirmos capacitores nestescircuitos, a corrente terá sempre a mesma direção mas podevariar com o tempo. Um circuito contendo uma combinaçãoem série de um resistor e um capacitor é chamado circuito RC.Um exemplo deste tipo de circuito é mostrado na Figura 7.10.

Carregando o capacitor

Considere o circuito RC simples mostrado na Figura 7.10a.Vamos supor que o capacitor esteja inicialmente descarre-gado. Não há corrente no circuito já que a chave mantémo circuito aberto. Se a chave for ligada em a em t = 0,como mostra a Figura 7.10b, a carga começará a fluir es-tabelecendo uma corrente elétrica ao longo do circuito, oque ocasionará o carregamento do capacitor. À medida queas placas do capacitor vão sendo carregadas, a diferençade potencial no capacitor aumenta. O valor máximo dacarga nas placas depende da voltagem da bateria. Quando acarga máxima é atingida, a corrente no circuito é zero poisa diferença de potencial no capacitor iguala-se à voltagemfornecida pela bateria.

Para analisar este circuito quantitativamente, vamosaplicar a lei das malhas de Kirchhoff após a chave ser ligadaem a. Seguindo o circuito da Figura 7.10b no sentido horário,temos

E q

C IR = 0, (7.3)

onde q/C é a diferença de potencial no capacitor e IR é a di-ferença de potencial no resistor, onde usamos as convençõesde sinal mostradas na Figura 7.8. Para o capacitor, note queestamos atravessando-o na direção da placa positiva para anegativa; isto representa uma diminuição do potencial. As-sim, usamos o sinal negativo para esta diferença de potencial.


148 física iii

Figura 7.10: (a) Um circuitoRC simples contendo uma fonte,um resistor e um capacitor. (b)Quando a chave do circuito é li-gada em a, o capacitor começaa ser carregado. (c) Quando achave é ligada em b, o capacitorse descarrega.

Note que q e I são valores instantâneos que dependem dotempo à medida que o capacitor vai sendo carregado.

Podemos utilizar a equação 7.3 para encontrar a cor-rente inicial no circuito e a carga máxima no capacitor. Noinstante em que a chave é fechada (t = 0), a carga no capa-citor é zero, logo a corrente inicial I

0

no circuito é máximae igual a

I0

=

ER

(corrente em t = 0).

Quando o capacitor está carregado com seu valor máximo decarga Q, não há mais fluxo de carga, a corrente no circuitoé zero e a diferença de potencial na bateria foi transferidacompletamente para o capacitor. Substituindo I = 0 naequação 7.3 obtemos a carga máxima do capacitor

Q = CE carga máxima.

Para determinar as expressões analíticas da dependên-cia temporal da carga e da corrente, devemos resolver aequação 7.3. A corrente deve ter o mesmo valor em todosos pontos do circuito-série. Assim, a corrente que atravessaa resistência R deve ser a mesma entre as placas do capa-citor. Esta corrente é igual a taxa pela qual a carga nasplacas do capacitor varia. Logo, substituímos I = dq/dt naequação 7.3, rearranjando os termos, temos:

dq

dt=

ER

q

RC.



Para encontrar o valor de q, resolvemos esta equação dife-rencial simples. Primeiro, combinamos os termos do ladodireito:

dq

dt=

CERC

q

RC= q CE

RC.

Agora, multiplicando por dt e dividindo por qCE , obtemos

dq

q CE = 1

RCdt.

Integrando esta expressão, usando o fato que q = 0 em t = 0,obtemos ˆ q

0

dq

q CE = 1

RC

ˆ t

0

dt

ln

q CECE

= t

RC.

Figura 7.11: Variação de q emfunção do tempo quando o ca-pacitor está sendo carregado.

E resolvendo o logaritmo, podemos escrever esta expressãocomo

q(t) = CE1 et/RC

= Q

1 et/RC

, (7.4)

onde Q = CE é a carga máxima no capacitor. A Figura 7.11mostra o gráfico da variação de q em função do tempo.

Figura 7.12: Variação de I emfunção do tempo quando o ca-pacitor está sendo carregado.

Podemos determinar uma expressão para a correntediferenciando a equação 7.4 em relação ao tempo. UsandoI = dq/dt, encontramos

I(t) =ERet/RC . (7.5)

A corrente decresce exponencialmente, como mostra a Fi-gura 7.12.

A quantidade RC, que aparecem nos expoentes naequação 7.4 e equação 7.5, é chamada de constante de tempo do circuito:

= RC.


150 física iii

Descarregando o capacitor

Considere novamente o circuito mostrado na Figura 7.10,após o capacitor ser carregado com uma carga Q

0

. Quandoa chave é ligada em b (Figura 7.10c), o capacitor inicia oprocesso de descarga através do resistor. Num instante t

durante a descarga, a corrente no circuito é I e a carga nocapacitor é q. Note que o circuito fechado da Figura 7.10cequivale ao da Figura 7.10b se removermos a bateria. Assim,eliminando a fem E da equação 7.3, obtemos

q

C IR = 0.

Substituindo I = dq/dt nesta expressão, fica

Rdq

dt=

q

C

dq

q= 1

RCdt.

Integrando esta expressão, usando o fato que q = Q0

emt = 0, temos ˆ q

Q0

dq

q= 1

RC

ˆ t

0

dt

ln

q

Q0

= t

RC

q(t) = Q0

et/RC .

A Figura 7.13 mostra a variação da carga no capacitor emfunção do tempo.

Figura 7.13: Variação de q emfunção do tempo quando o ca-pacitor está sendo descarre-gado.

Figura 7.14: Variação de I

em função do tempo quando ocapacitor está sendo descarre-gado.

Diferenciando esta expressão em relação ao tempo nosdá a corrente instantânea em função do tempo:

I(t) =dq

dt=

d

dt

Q

0

et/RC= I

0

et/RC ,

onde I0

= Q0

/RC é a corrente inicial. A Figura 7.14 mostrao comportamento da corrente em função do tempo. O sinalnegativo indica que à medida que o capacitor descarrega, a



direção da corrente é oposta à direção quando o capacitorestava sendo carregado. Notamos que tanto a carga no capa-citor como a corrente no circuito decaem exponencialmentea uma taxa caracterizada pela constante de tempo .


152 física iii




7.1 E Uma bateria tem uma fem de 15,0 V. A voltagem dabateria é de 11,6 V quando ela fornece 20,0 W de potênciapara um resistor R. (a) Qual é o valor de R? (b) Qual é aresistência interna da bateria?

7.2 E Dois capacitores, C1

= 5,00 µF e C2

= 12,0 µF,estão conectados em paralelo e a combinação resultante éconectada a uma bateria de 9,00 V. (a) Qual é a capacitânciaequivalente desta combinação? Quais são (b) a diferença depotencial através de cada capacitor e (c) a carga armazenadaem cada capacitor?

7.3 E Calcule a capacitância equivalente da configuraçãomostrada na Figura 7.15. Todos os capacitores são idênticose cada um possui uma capacitância C.


7.4 EE Quatro capacitores estão conectados como mostra aFigura 7.16. (a) Encontre a capacitância equivalente entreos pontos a e b. (b) Calcule a carga em cada capacitor se adiferença de potencial entre a e b for Vab = 15,0 V.

7.5 E Uma corrente em um circuito com uma resistênciaR

1

tem o valor de 2,00 A. A corrente é reduzida a 1,60 Aquando adicionamos um segundo resistor R

2

= 3,00 Ω emsérie com R

1

. Qual é o valor de R1

?

7.6 E (a) Encontre a resistência equivalente entre os pontos ae b do circuito mostrado na Figura 7.17. (b) Uma diferença




de potencial de 34,0 V é aplicado entre os pontos a e b.Calcule a corrente em cada resistor.


7.7 EE A Figura 7.18 mostra um resistor de resistênciaR = 6,00 Ω ligado a uma fonte ideal E = 12,0 V através dedois fios de cobre (resistividade = 1,69 10

8 Ω·m). Cadafio tem 20,0 cm de comprimento e 1,00 mm de raio. Nestecapítulo desprezamos a resistência dos fios de ligação. Veri-fique se esta aproximação é válida para o circuito da Figura7.18, determinando (a) a diferença de potencial entre asextremidades do resistor; (b) a diferença de potencial entreas extremidades de um dos fios; (c) a potência dissipada noresistor; (d) a potência dissipada em um dos fios.


7.8 E A Figura 7.19 mostra um circuito com mais de umamalha formado por uma fonte ideal e quatro resistênciascom os seguintes valores: R

1

= 20 Ω, R2

= 20 Ω, R3

= 30 Ω,


154 física iii

R4

= 8,0 Ω e E = 12 V. (a) Qual é a corrente na fonte? (b)Qual a corrente em R

2

? (c) Qual a corrente em R3

?


7.9 EE A Figura 7.20 mostra um circuito cujos elementos têmos seguintes valores: E

1

= 3,0 V, E2

= 6,0 V, R1

= 2,0 Ω eR

2

= 4,0 Ω. As fontes são ideais. Determine o valor absolutoe o sentido das correntes nos três ramos.


7.10 E Uma torradeira possui uma potência de 600 Wquando conectado a uma fonte de 120 V. Qual é a correnteque a torradeira transporta e qual sua resistência?

7.11 E Uma bateria de 10,0 V é conectada a um resistor de120 Ω. Ignorando a resistência interna da bateria, calcule apotência transferida para o resistor.

7.12 E Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada aum aquecedor cuja resistência é de 14 Ω, quando quente.(a) A que taxa a energia elétrica é transformada em calor?



(b) A 5 centavos por kW·h, quanto custa para operar estedispositivo durante 5 horas?

7.13 E Considere um circuito RC em série com R = 1,00 MΩ,C = 5,00 µF e E = 30,0 V. Encontre (a) a constante detempo do circuito e (b) a carga máxima no capacitor quandoa chave é fechada. (c) Encontre a corrente no resistor 10,0 sapós a chave ser fechada.

7.14 EE Um capacitor de 2,00 nF com uma carga inicial de5,10 µC é descarregado através de um resistor de 1,30 kΩ.(a) Calcule a corrente no resistor 9,00 µs após o resistorser conectado ao capacitor. (b) Qual a carga que sobra nocapacitor após 8,00 µs? (c) Qual é a corrente máxima noresistor?

7.15 EE Um capacitor com uma diferença de potencial inicialde 100 V começa a ser descarregado através de um resistorquando uma chave é fechada no instante t = 0. No instantet = 10,0 s a diferença de potencial no capacitor é 1,00 V.(a) Qual é a constante de tempo do circuito? (b) Qual é adiferença de potencial no capacitor no instante t = 17,0 s?


8O campo magnético

8.1 O magnetismo

Na Grécia antiga, já eram conhecidas as propriedades mis-teriosas de um minério de ferro encontrado na região daMagnésia, a magnetita (óxido de ferro Fe

3

O4

). Magnésiaquer dizer “lugar das pedras mágicas”, pois estas pedras“magicamente” atraiam-se. Hoje sabemos que um pedaço demagnetita constitui um ímã permanente, que atrai pequenosfragmentos de ferro devido às suas propriedades magnéticas.

Em 1100, os chineses já haviam descoberto que umaagulha de magnetita capaz de se orientar livremente numplano horizontal alinha-se aproximadamente na direção norte-sul, e usavam este aparelho, a bússola, na navegação.

Em 1269, Pierre de Maricourt 1 escreveu o primeiro 1 de Maricourt P., The Letter ofPetrus Peregrinus on the Mag-net, A. D. 1269. McGraw pu-blishing company (1904), 1269

tratado sobre as propriedades dos imãs, contendo uma des-crição detalhada da bússola. Além disso, também descreveuas leis de atração e repulsão magnéticas, além de identificarcomo pólos as extremidades de um imã.

Em 1600, William Gilbert (1544–1603) publicou umimportante tratado sobre o magnetismo, conhecido como“De Magnete”2. Neste trabalho ele observou, pela primeira 2 Gilbert W., De Magnete, Mag-

neticisque Corporibus, et deMagno Magnete Tellure. PeterShort, London, 1600

vez, que a própria Terra se comporta como um grande ímã(Figura 8.1). Gilbert realizou mais de seiscentas experiências

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pedro_de_Maricourt

http://pt.wikipedia.org/wiki/William_Gilbert

158 física iii

sobre magnetismo. Definiu como magnéticos os corpos que,como os ímãs, se atraem, e descobriu as afinidades e diferen-ças entre corpos elétricos e corpos magnéticos, fazendo umaclara distinção entre o magnetismo e a eletricidade.

S

N

Figura 8.1: Representação docampo magnético da Terra.

Dois pólos

Um ímã permanente (em particular, a agulha magnética deuma bússola) tem um pólo norte (N) e um pólo sul (S). Éfácil verificar, por exemplo com dois ímãs, que seus pólosiguais (N e N ou S e S) se repelem, e que seus pólos contrários(N e S) se atraem, como mostra a Figura 8.2.

S N N S

N S S N

S N S N

Figura 8.2: Atração e repulsãode pólos magnéticos.

Poderíamos pensar em descrever o magnetismo produ-zido por ímãs permanentes de forma análoga à eletrostática,introduzindo cargas magnéticas N e S (em analogia com car-gas elétricas + e ). Porém, a experiência mostra que nãoé possível isolar os pólos N e S de um ímã. Se o partirmosem dois, cada um deles continuará tendo pólos N e S (vejaa Figura 8.3).

Recentemente, fez-se um grande esforço experimentalpara verificar se existem partículas com “carga magnética”,


o campo magnético 159

que seriam pólos N ou S isolados (ou monopólos magnéti-cos). Nenhum jamais foi detectado. É portanto um fatoexperimental básico no estudo do magnetismo a inexistênciade cargas magnéticas.

S

N

S

NSN

SN

SN

SNS

N

Figura 8.3: Dividindo um imã.Os dois pedaços continuamtendo pólos N e S.

Dipolo magnético

Podemos pensar numa barra ou agulha imantada comoanáloga a um dipolo magnético em lugar de elétrico. A barramagnética seria análoga a um dielétrico polarizado, e os pólosnorte e sul que aparecem em suas faces seriam análogos àscargas de polarização ligadas sobre as extremidades de umabarra dielétrica polarizada (note que, também neste caso,se partíssemos uma barra em duas, cargas superficiais depolarização apareceriam nas novas faces).

Sabemos que a posição de equilíbrio de um dipolo numcampo elétrico uniforme corresponde ao dipolo alinhadocom o campo. Por analogia, podemos mapear a direção eo sentido de um campo magnético num dado ponto comoa direção de equilíbrio e o sentido S ! N de uma pequenabússola colocada neste ponto.

O campo magnético

Qualquer carga elétrica em repouso produz um campo elé-trico. Quando cargas estão em movimento, além do campoelétrico, elas também produzem um campo magnético, quetambém é um campo vetorial. Um campo magnético tambémcircunda qualquer material com magnetismo permanente.

N S

Figura 8.4: Uma pequena bús-sola pode ser utilizada para tra-çar as linhas do campo magné-tico de uma barra imantada.

A direção do vetor campo magnético, representadopor ~B, em qualquer localização, é a direção apontada pelopólo norte de uma agulha de bússola nessa localização. AFigura 8.4 mostra como o campo magnético de uma barraimantada pode ser traçado com a ajuda de uma bússola,definindo linhas de campo magnético, de forma similar àslinhas do campo elétrico.


160 física iii

Quando salpicamos limalha de ferro sobre um ímã(veja a Figura 8.5 abaixo), cada pequeno fragmento de ferrose magnetiza por indução e funciona como uma minúsculaagulha imantada (bússola), indicando a direção do campo,de modo que materializamos assim as linhas de campo mag-nético.

Figura 8.5: Limalhas de ferrocomportam-se como pequenasbússolas indicando a direção docampo magnético nas proximi-dades de um imã e materiali-zando as linhas de força.

8.2 Força magnética sobre uma carga em movi-mento

Podemos quantificar o campo magnético numa dada regiãodo espaço utilizando uma partícula de teste carregada emmovimento. O campo magnético exercerá uma força ~FB

sobre a partícula, de forma similar ao que foi discutido parao caso do campo elétrico. Uma partícula positiva movendo-se com velocidade ~v (em relação a um observador) em umcampo magnético ~B sofrerá uma força ~FB dada por

~FB = q~v ~B,Figura 8.6: Direção da forçamagnética ~

F

B

atuando so-bre uma partícula carregadamovendo-se com velocidade ~v

na presença de um campo mag-nético ~

B. A força magnética éperpendicular a ambos vetores~v e ~

B.

onde a direção da força magnética é a mesma do produtovetorial ~v ~B, ou seja, a força magnética é perpendiculartanto a ~v quanto a ~B, conforme é mostrado na Figura 8.6. AFigura 8.7 mostra um exemplo de como aplicar a chamadaregra da mão direita para determinar a direção de um vetorresultante de um produto vetorial.



Em muitas situações, é mais conveniente representaro campo magnético como um vetor perpendicular ao planoda página, com os vetores associados à força magnética eà velocidade estando sobre o plano. Neste caso, usamoso símbolo

J(ponto) para representar o vetor saindo da

página eN

(cruz) para um vetor entrando na página.

Figura 8.7: Regra da mão di-reita utilizada para determinar adireção da força magnética.

A unidade SI de campo magnético é o tesla (T), onde

[B] = 1 T = 1

NC·m/s

.

Outra unidade de B utilizada é o gauss (1 G = 10

4 T).Por exemplo, o campo magnético da Terra varia de 0,25 a0,65 G, ou de 25.000 a 65.000 nT (nanotesla = 10

9 T).Podemos escrever a magnitude da força magnética

como

FB = |q|vB sen ,

onde é o ângulo entre ~v e ~B. A partir desta expressão,vemos que FB é zero quando ~v é paralelo ou antiparalelo a~B ( = 0

ou 180

). Além disso, a força tem seu módulomáximo FB = |q|vB quando ~v é perpendicular a ~B ( =

90

).Quando uma carga se desloca com uma velocidade ~v,

um campo magnético aplicado pode alterar a direção dovetor velocidade, mas não pode mudar a velocidade escalarda partícula. Isto ocorre pois a força magnética associadaa um campo magnético permanente não realiza trabalhoquando uma partícula carregada é deslocada, já que

dW =

~FB · d~s = ~FB · ~v dt = 0.

O produto escalar FB · ~v será sempre nulo, pois a forçamagnética é um vetor perpendicular a ~v.


162 física iii

8.3 Movimento circular de uma carga em um campomagnético

Considere o caso de uma partícula positivamente carregadadeslocando-se em um campo magnético uniforme quandoo vetor velocidade inicial da partícula é perpendicular aocampo. Vamos supor que a direção do campo magnéticoé para dentro da página. A Figura 8.8 mostra que a par-tícula se desloca em uma trajetória circular cujo plano éperpendicular ao campo magnético.

+

+

+

Figura 8.8: Quando a velo-cidade de uma partícula car-regada é perpendicular a umcampo magnético uniforme, apartícula desloca-se em umatrajetória circular em um planoperpendicular a ~

B. A força mag-nética atuando sobre a carga ésempre direcionada para o cen-tro do círculo.

A partícula desloca-se dessa forma porque a força mag-nética ~FB é perpendicular a ~v e a ~B, e tem magnitudeconstante qvB. À medida que a força muda a direção de ~v,a direção de ~FB muda continuamente, como na Figura 8.8.Já que ~FB sempre aponta na direção do centro do círculo, apartícula pode ser modelada como estando em movimentocircular uniforme. Utilizando a segunda lei de Newton, po-demos determinar o raio da trajetória circular:

XF = FB = ma ) qvB =

mv2

r) r =

mv

qB,

onde a aceleração centrípeta é v2/r. Isto mostra que oraio da trajetória é proporcional ao momento linear mv

da partícula e inversamente proporcional à magnitude da



carga da partícula e à magnitude do campo magnético. Afrequência angular da partícula é

! =

v

r=

qB

m,

e o período do movimento circular é

T =

2r

v=

2

!=

2m

qB.

Estes resultados mostram que a frequência angular da partí-cula e o seu período não dependem da velocidade da partículaou do raio da órbita para uma determinada partícula emum determinado campo magnético uniforme.

Movimento helicoidal

Qual será a trajetória de uma partícula carregada em umcampo magnético uniforme se sua velocidade não for exata-mente perpendicular ao campo?

O vetor velocidade pode ser dividido em duas com-ponentes, uma paralela e outra perpendicular ao campo,como mostra a Figura 8.9. A componente paralela às li-nhas de campo não sofre nenhuma força ( = 0), de formaque ela permanece constante. A componente perpendicularao campo dá origem a um movimento circular, como vistoanteriormente. Colocando estes dois movimentos juntos,produzimos um movimento helicoidal (na forma de umaespiral) em torno das linhas do campo magnético.

8.4 Força de Lorentz

Uma carga que se desloca com velocidade ~v na presençade um campo elétrico ~E e de um campo magnético ~B ex-perimenta tanto uma força elétrica q ~E quanto uma forçamagnética q~v ~B. Consequentemente, a força total, cha-mada de força de Lorentz, agindo sobre a carga é:

~F = q( ~E + ~v ~B).


164 física iii

+

Figura 8.9: Movimento helicoi-dal de uma partícula que possuiuma componente da velocidadena direção do campo ~

B.

Esta expressão foi derivada originalmente por Hendrik Lo-rentz (1853–1928) em 18923. 3 Lorentz H. A., La théorie élec-

tromagnétique de Maxwell etson application aux corps mou-vants. Extrait des Archives néer-landaises des sciences exacteset naturelles, E. J. Brill, 1892

Razão carga/massa do elétron

Em muitos experimentos que envolvem partículas carrega-das em movimento, é importante que todas as partículastenham a mesma velocidade. Isto pode ser obtido através dacombinação de um campo elétrico e um campo magnético.Este princípio foi utilizado por J. J. Thomson (1956–1940),em 18974, para medir a razão carga–massa dos elétrons com 4 Thomson, J. J. (1897). Philo-

sophical Magazine, 44:293o auxílio de um aparato como o mostrado na Figura 8.10.

–

Figura 8.10: Esquema do apa-rato utilizado por J. J. Thomson.

Os elétrons com carga q = e e massa me são emitidosa partir de um cátodo C e são então acelerados em direçãoao ânodo A que contém uma fenda. Seja a diferença depotencial entre A e C igual a VA VC = V . A mudança


http://pt.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_John_Thomson


na energia potencial é igual ao trabalho externo feito paraacelerar os elétrons: U = W = qV = eV . Pelaconservação da energia, a energia cinética adquirida peloselétrons será K = U =

1

2

mv2. Assim, a velocidadefinal dos elétrons depois de passarem pela fenda em A é

v =

r2eV

me.

Se, em seguida, os elétrons entram em uma regiãoonde existe um campo elétrico uniforme apontando parabaixo, eles serão defletidos para cima com uma força elétricade módulo eE. Mas se aplicarmos um campo magnéticoperpendicular ao plano da página e entrando na página, umaforça magnética e~v ~B, de módulo evB, apontará parabaixo. Quando os módulos dos dois campos são escolhidosde tal forma que eE = evB, a partícula move-se em umtrajetória horizontal retilínea através da região contendo oscampos, com velocidade dada por

v =

E

B.

Apenas aquelas partículas que possuem velocidade v pas-sarão através dos campos elétrico e magnético sem sofrerdesvios.

Combinando as duas equações para a velocidade, obte-mos

e

me=

E2

2V B2

.

Através das medidas de E, B e V , a razão carga–massa doselétrons pode ser determinada. Atualmente5, o valor medido 5 http://physics.nist.gov/cgi-

bin/cuu/Value?esmeexperimentalmente mais preciso é e/me = 1,758 820 08810

11 C/kg.

Espectrômetro de massa

Um espectrômetro de massa separa íons de acordo com suarazão carga/massa. Em uma versão deste dispositivo, conhe-cido como espectrômetro de massa de Bainbridge, um feixe


http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?esme

http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?esme

166 física iii

de íons passa primeiro por um seletor de velocidades e emseguida entra em um segundo campo magnético uniforme deintensidade ~B

0

, que tem a mesma direção do campo mag-nético do seletor. À medida que eles entram neste segundocampo, os íons movem-se numa trajetória semicircular deraio r até atingirem o detector num ponto P . Se os íons têmcarga positiva, são defletidos para a esquerda, como mostraa Figura 8.11. Se eles são negativos, são defletidos para adireita.

+

+Figura 8.11: Esquema de umespectrômetro de massa.

Na presença do campo magnético, os íons sofrem umaforça que pode ser escrita como

XF = FB = ma ) qvB

0

=

mv2

r) q

m=

v

B0

r.

A velocidade dos íons que saem do seletor de velocidadesé dada por v = E/B, onde E e B são, respectivamente, osmódulos do campo elétrico e magnético no seletor. Logo:

m = qB B

0

r

E.

Portanto, podemos determinar a massa de uma partículaatravés da medida do raio de curvatura da trajetória r

e dos módulos dos campos elétrico e magnético aplicadosno espectrômetro. Na prática, são medidas as massas devários isótopos de um dado íon, com os íons contendo amesma carga q. Neste sentido, as razões de massa podemser determinadas mesmo sem que se conheça q.



8.5 Efeito Hall

Quando um condutor que transporta uma certa correnteelétrica é colocado num campo magnético, o campo exerceuma força sobre as cargas que estão movendo-se no interiordo condutor. Por exemplo, se elétrons movem-se para adireita num condutor retangular mostrado na Figura 8.12, ocampo magnético orientado para dentro da página exerceráuma força para baixo sobre os elétrons dada por

~FB = e~vd ~B,

onde ~vd é a velocidade de arrasto dos elétrons.

–Figura 8.12: Efeito Hall. Cargasnegativas movem-se para a di-reita, originando uma correnteelétrica.

Dessa forma, os elétrons tenderão a se mover maispróximos do lado D do que do lado C. Logo, uma diferençade potencial será criada entre os lados C e D do condutore, consequentemente, um campo elétrico ~EH que exerceráuma força e ~EH sobre as cargas em movimento (igual emmódulo e sentido contrário ao da força magnética). Esteefeito é chamado de efeito Hall, em homenagem a Edwin H.Hall (1855–1938), que o descobriu em 1879.6 A diferença 6 Hall E. H., On a New Action of

the Magnet on Electric Currents,American Journal of Mathema-tics, 1879, v. 2, p. 287–292

de potencial produzida é chamada fem Hall.O campo elétrico originado da separação das cargas

é chamado de campo Hall, ~EH , e aponta para baixo naFigura 8.12. Em equilíbrio, a força decorrente do campoelétrico é balanceada pela força magnética evdB:

eEH = evdB.

Assim, EH = vdB. A fem Hall é então

EH = EHd = vdBd,


http://pt.wikipedia.org/wiki/Edwin_Herbert_Hall

http://pt.wikipedia.org/wiki/Edwin_Herbert_Hall

168 física iii

onde d é a largura do condutor.Uma corrente de cargas negativas movendo-se para a

direita é equivalente ao movimento de cargas positivas paraa esquerda. Usando o efeito Hall, podemos distinguir se umcondutor carrega cargas positivas ou negativas, dependendoda diferença de potencial medida entre os lados C e D docondutor. No caso da Figura 8.12, o potencial no lado Dé menor do que no lado C, indicando que cargas negativasmovem-se no condutor.

8.6 Força magnética sobre condutores de corrente

Como uma força magnética é exercida sobre uma única par-tícula carregada quando ela se desloca através de um campomagnético externo, não deve ser surpreendente descobrir queum fio conduzindo corrente também sofre uma força magné-tica quando colocado em um campo magnético externo. Esteefeito é mostrado na Figura 8.13, onde o fio condutor sob aação de um campo magnético desvia-se para a esquerda oupara a direita quando uma corrente I o atravessa.

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◊ ◊

(a) (b) (c)

Figura 8.13: Um fio suspensoverticalmente entre os pólos deum ímã é visto do pólo sul doímã, tal que o campo magnético(cruzes azuis) está para dentroda página. (a) Quando não hácorrente no fio, ele permaneceimóvel. (b) Quando uma cor-rente é conduzida pelo fio paracima, o fio é desviado para a es-querda. (c) Quando a correnteé para baixo, o fio é desviadopara a direita.

Podemos quantificar a força magnética sobre um fiocondutor com corrente considerando um segmento reto de fio



de comprimento ` e área de seção transversal A, conduzindouma corrente I em um campo magnético uniforme externo ~B,como mostrado na Figura 8.14. A força magnética sobre umacarga q movendo-se com velocidade de deriva ~vd é q~vd ~B.Para encontrar a força magnética total sobre o segmentode fio, multiplicamos a força magnética sobre uma cargapelo número de cargas no segmento, ou de forma similar,pela densidade volumétrica de cargas, n, multiplicada pelovolume do segmento A`. Dessa forma, a força magnéticatotal sobre o fio de comprimento ` é

~FB = (q~vd ~B)nA`.

Podemos reescrever esta expressão usando o fato que acorrente no fio é I = nqvdA. Assim, ~FB pode ser expressacomo

~FB = I~ ~B,

onde ~ é um vetor na direção da corrente I com módulo `,igual ao comprimento do segmento.

+

Figura 8.14: Uma seção de umfio contendo cargas em movi-mento em um campo magnético~

B.

Figura 8.15: Um segmento defio de forma arbitrária condu-zindo uma corrente I em umcampo magnético ~

B sofre umaforça magnética.

Se desejamos calcular a força magnética sobre umcondutor de corrente de formato arbitrário, como o mostradona Figura 8.15, definimos um segmento muito pequeno dofio de comprimento d`. A força magnética atuando sobreeste segmento do fio na presença de um campo magnéticoexterno ~B é

d~FB = Id~ ~B,


170 física iii

onde d~ é um vetor representando o comprimento do seg-mento, com direção igual à da corrente. Para as direçõesmostradas na Figura 8.15, d~FB é direcionada para fora dapágina. Para obter a força magnética total ~FB sobre umcomprimento de fio entre dois pontos arbitrários a e b, inte-gramos a última equação sobre o comprimento do fio entreesses pontos:

~FB = I

ˆ b

a

d~ ~B.

Condutor semicircular

Um fio condutor que carrega uma corrente I consiste deum semicírculo de raio R e duas partes retilíneas, conformemostra a Figura 8.16. O fio está sob um plano perpendiculara um campo magnético uniforme ~B. A porções retas do fiopossuem comprimento ` dentro da região do campo. Vamosdeterminar a força resultante que atua sobre o fio devido aocampo magnético ~B.

Figura 8.16: Condutor de cor-rente contendo uma parte semi-circular.



As forças nas duas seções retas são iguais e possuemum módulo I`B. Como estão em direções opostas, elasse cancelam. Assim, a força resultante é aquela na partesemicircular do fio.

Dividimos o semicírculo em pequenos pedaços de ta-manho d` = Rd, como indicado na Figura 8.16, e usando aequação d~F = Id~ ~B, temos

dF = IBRd,

onde dF é a força sobre o comprimento d` = Rd, e o ânguloentre d~ e ~B é 90. A componente x da força d~F sobre osegmento d~ mostrado, e a componente x da força sobre umelemento simetricamente oposto localizado no outro ladodo semicírculo, se cancelam. Logo, para todo o semicírculonão haverá componente da força no eixo x. Assim, devemoscalcular apenas as componentes no eixo y, que possuemmódulo dF sen, e a força total será

F =

ˆ

0

dF sen = IBR

ˆ

0

sen d = 2IBR,

com direção para cima no eixo y mostrado na figura.

Espira fechada

Considere agora um condutor na forma de um semicírculofechado, como o mostrado na Figura 8.17, que está sob umcampo magnético ~B. A força total sofrida por este condutorserá a soma da força sobre a parte curva e da força sobrea parte retilínea. Para a parte curva, podemos calcular aforça usando procedimento similar ao obtido anteriormente.O módulo da força será então

F =

ˆ

0

dF sen = IBR

ˆ

0

sen d = 2IBR,

e a direção apontará para cima.Para a parte retilínea, usamos

FB = I~ ~B = I`B = 2IBR,


172 física iii

Figura 8.17: Condutor de cor-rente semicircular formandouma espira fechada.

apontando para baixo. Portanto, a força resultante atuandosobre este condutor na forma de uma espira fechada é nula!Este resultado é válido para qualquer espira fechada queestá imersa em um campo magnético.

8.7 Torque sobre uma espira em um campo mag-nético

Uma força magnética atua sobre um fio condutor na presençade um campo magnético. Quando uma espira de corrente ésubmetida a um campo magnético externo, a força resultanteque atua sobre ela é nula, porém o torque exercido sobre aespira pode ser não-nulo.

Considere uma espira retangular conduzindo uma cor-rente I na presença de um campo magnético uniforme ex-terno no plano da espira, como mostrado na Figura 8.18a.As forças magnéticas sobre os lados ¿ e ¬, de comprimentob, são nulas pois esses fios são paralelos ao campo e, portanto,d~ ~B = 0. Para os lados ¡ e √, as forças não são nulas ea magnitude dessas forças é

F2

= F4

= IaB.

Se observarmos a espira pelo lado ¬, como na Figura 8.18b,veremos as forças sobre ¡ e √ direcionadas como mostra



Figura 8.18: (a) Vista frontal deuma espira de corrente retan-gular em um campo magnéticouniforme. (b) Vista pelo fundoda espira, mostrando que as for-ças ~

F2 e ~

F4 exercidas sobre oslados ¡ e √ criam um torqueque tende a girar a espira nosentido horário. (c) Vista pelofundo da espira girada por umângulo em relação ao campomagnético.

a figura. Se a espira possui um eixo móvel perpendicularà página e passando pelo ponto O, vemos que essas duasforças magnéticas produzem um torque em relação a esseeixo que gira a espira no sentido horário. A magnitude dotorque, max, é

max = F2

b

2

+ F4

b

2

= (IaB)

b

2

+ (IaB)

b

2

= IabB,

onde o braço do momento em relação a esse eixo é b/2 paracada força. Como a área da espira é A = ab, a magnitudedo torque pode ser expressa como

max = IAB.

Agora suponha que o campo magnético uniforme fazum ângulo com uma linha perpendicular ao plano da espira,como na Figura 8.18c. Neste caso, ~B é perpendicular aoslados ¡ e √ e as forças magnéticas sobre os lados ¿ e ¬ seanulam e não produzem torque.


174 física iii

O torque em relação ao centro da espira produzidopelas forças F

2

= F4

= IaB tem a magnitude

= F2

b

2

sen + F4

b

2

sen

= (IaB)

b

2

sen + (IaB)

b

2

sen = IabB sen

= IAB sen

onde A = ab é a área da espira. Uma expressão vetorialconveniente para o torque é dada por

~ = IA n ~B,

onde n é um vetor unitário perpendicular ao plano da espira.Definindo o momento de dipolo magnético ~µ da espira,

~µ IA n,

podemos reescrever o torque como

~ = ~µ ~B.

Esta expressão é válida para uma espira com qualquer for-mato. No caso de uma bobina contendo N espiras de fio,cada uma conduzindo a mesma corrente e possuindo a mesmaárea, o momento magnético total da bobina será ~µ = NIA n.A unidade SI do momento de dipolo magnético é o ampère-metro2 (A·m2). A Figura 8.19 mostra a regra da mão direitausada para determinação da direção de ~µ.

Figura 8.19: Regra da mão di-reita para determinação da dire-ção do vetor momento de dipolomagnético ~µ.

A equação acima é análoga a ~ = ~p ~E, que representao torque exercido sobre um momento de dipolo elétrico ~p napresença de um campo elétrico ~E. A energia potencial dodipolo elétrico é dada por U = ~p · ~E. O trabalho exercidopor um agente externo para girar o dipolo magnético de umângulo

0

para um ângulo é

Wext

=

ˆ

0

d0 =

ˆ

0

(µB sen 0)d0 = µB(cos 0

cos )

Wext

= U = U U0

.



Novamente, Wext

= W , onde W é o trabalho feito pelocampo magnético. Escolhendo U

0

= 0 em 0

= /2, o dipolomagnético na presença de um campo externo possui umaenergia potencial

U = µB cos = ~µ · ~B.

? ? ?


176 física iii




8.1 E Um elétron num tubo de TV está se movendo a7,2 10

6 m/s num campo magnético de intensidade 83 mT.(a) Sem conhecermos a direção do campo, quais são o maiore o menor módulo da força que o elétron pode sentir devidoa este campo? (b) Num certo ponto, a aceleração do elétroné 4,9 10

14 m/s2. Qual é o ângulo entre a velocidade doelétron e o campo magnético?

8.2 E Um elétron é acelerado a partir do repouso por umadiferença de potencial de 350 V. Em seguida, ele entraem uma região onde existe um campo magnético uniformede módulo 200 mT com uma velocidade perpendicular aocampo. Calcule (a) a velocidade escalar do elétron; (b) oraio da trajetória do elétron na região onde existe campomagnético

8.3 E Uma partícula tem carga q, massa m, momento linearde módulo igual a p e energia cinética K. A partícula move-se em uma órbita circular de raio R perpendicular a umcampo magnético uniforme ~B. Mostre que (a) p = BqR e(b) K =

1

2

B2q2R2/m.


8.4 EE Na Figura 8.20 uma partícula carregada penetra emuma região onde existe um campo magnético uniforme ~B

(para fora da página), descreve uma semicircunferência eem seguida deixa a região. A partícula, que pode ser umpróton ou um elétron, passa 130 ns na região. (a) Qual éessa partícula (próton ou elétron)? (b) Qual é o módulo de~B?

8.5 E A Figura 8.21 ilustra um espectrômetro de massa, quepode ser usado para medir a massa de íons. Um íon de massam e carga q é produzido na fonte S e acelerado pelo campoelétrico associado a uma diferença de potencial V . O íonentra em uma câmara de separação na qual existe um campomagnético uniforme ~B perpendicular à sua trajetória. O



campo faz com que o íon descreva uma trajetória semicircularantes de atingir um detector situado na superfície inferiorda câmara. Suponha que B = 80,000 mT, V = 1000,0 V eíons de carga q = +1,6022 10

19 C atinjam o detector emum ponto situado a uma distância x = 1,6254 m do pontode entrada na câmara. Qual é a massa dos íons em unidadesde massa atômica? (1 u = 1,6605 10

27 kg)

–

+


8.6 EE Uma partícula com velocidade igual a 1,00 10

6 m/sentra em uma região com um campo magnético uniformecom magnitude igual a 0,800 T, que aponta para dentro dapágina como mostrado na Figura 8.22. A partícula entra naregião a um ângulo = 60

. Determine (a) se a partícula éum elétron ou um próton, (b) o ângulo de saída e (c) adistância d.


8.7 E Um fio de 1,80 m de comprimento é percorrido poruma corrente de 13,0 A e faz um ângulo de 35,0 com umcampo magnético uniforme de módulo B = 1,50 T. Calculea força magnética exercida pelo campo sobre o fio.

8.8 E Uma bobina circular de 15,0 cm de raio conduz umacorrente de 2,60 A. A normal ao plano da bobina faz umângulo de 41,0 com um campo magnético uniforme demódulo 12,0 T. (a) Calcule o módulo do momento de dipolo


178 física iii

magnético da bobina. (b) Qual é o módulo do torque queage sobre a bobina?

8.9 E Um fio de comprimento ` está enrolado em umabobina circular com N voltas. Mostre que, quando o fioconduz uma corrente I, o momento magnético da bobinatem magnitude dada por I`2/4N .

8.10 EE Um fio de 25,0 cm de comprimento, percorridopor uma corrente de 4,51 mA, é convertido em uma bobinacircular com N espiras e submetido a um campo magnéticouniforme ~B de módulo 5,71 mT. Se o torque que o campoexerce sobre a bobina é o maior possível, determine (a) oângulo entre ~B e o momento de dipolo magnético da bobinae (b) o número de espiras, N , da bobina. (c) Qual o módulodo torque máximo?


9Fontes de campo magnético

O efeito do campo magnético sobre cargas em movimentoe condutores de corrente elétrica foi estudado em detalhesno capítulo anterior. Mas até agora não consideramos qualé a origem deste campo. Este será o principal assunto dopresente capítulo.

9.1 A experiência de Ørsted

Em 1820, o físico dinamarquês Hans Christian Ørsted(1777–1851), procurando ver se uma corrente elétrica atuariasobre um ímã, colocou uma bússola perpendicular a um fioretilíneo por onde passava uma corrente e não observounenhum efeito. Entretanto, descobriu que, quando a bússolaera colocada paralelamente ao fio, a agulha da bússola sofriauma deflexão, orientando-se perpendicularmente ao fio.1 1 Ørsted H. C., Experimenta

Circa Effectum Conflictus Elec-trici in Acum Magneticam. Haf-niae, Schultz Press, 1820

Este foi o primeiro experimento que demonstrou a relaçãoentre os fenômenos elétricos e magnéticos, dando início aoestudo do eletromagnetismo.

Após a divulgação dos resultados obtidos por Ørsted,outros físicos dedicaram-se à explicação do fenômeno ele-tromagnético. Dentre eles, o físico francês André-MarieAmpère (1775–1836), em um trabalho publicado em 1820,argumentava que existiriam correntes elétricas no interior

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_Oersted

http://bit.ly/180SUne

http://bit.ly/180SUne

180 física iii

dos ímãs e da própria terra, de forma que no experimentode Ørsted o que se via era a interação entre correntes.2 2 Ampère A., Mémoire sur

l’action mutuelle entre deux cou-rants électriques, un courantélectrique et un aimant ou leglobe terrestre, et entre deuxaimants, Annales de Chimie etPhysique, 1820, v. 15, p. 59–75

No mesmo ano, os também franceses Jean-BaptisteBiot (1774–1862) e Félix Savart (1791–1841) apresen-taram um trabalho onde determinavam a intensidade e adireção da força magnética exercida por um longo fio re-tilíneo, conduzindo uma corrente elétrica constante, sobreuma agulha imantada.3 Seus resultados mostraram que a 3 Biot J.-B., Savart F., Note sur

le Magnétisme de la pile deVolta, Annales de Chimie et dePhysique, 1820, v. 15, p. 222–223

força exercida é inversamente proporcional à distância aofio e sua direção é perpendicular tanto em relação a umalinha traçada perpendicularmente ao fio, quanto ao próprioeixo do fio. Segundo Biot e Savart, a corrente no fio o tor-naria magnético, como um ímã, havendo então uma açãodireta dos pólos magnéticos do fio sobre os pólos da agulhaimantada. Para uma tradução do trabalho

de Biot e Savart, veja Assis &Chaib (2006).

Hoje sabemos que um fio retilíneo que transporta cor-rente elétrica produz um campo magnético ao seu redor.Neste caso, as linhas de campo magnético são círculos emplanos perpendiculares ao fio, como está ilustrado na Fi-gura 9.1. Este resultado foi originalmente observado porØrsted em 18234. 4 Ørsted H. C., Expérience

électro-magnétique, Annales deChimie et Physique, 1823, v. 22,p. 201–203

Figura 9.1: O campo magnético~

B circula um fio conduzindo cor-rente elétrica.

9.2 Lei de Biot-Savart

A partir dos experimentos de Ampère, e principalmente deBiot e Savart, podemos expressar o campo magnético em umponto do espaço em termos da corrente elétrica que o produz.A essa expressão, damos o nome de lei de Biot-Savart. Nestesentido, o campo magnético é produzido por um elementoinfinitesimal de corrente que é parte de uma distribuição decorrente maior.

Considere um fio conduzindo uma corrente elétricaconstante I, como mostrado na Figura 9.2. A lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético d ~B no ponto P criado


http://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot

http://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot

http://bit.ly/1zYsnmo

fontes de campo magnético 181

Figura 9.2: O campo magnéticod

~

B em um ponto P devido auma corrente I através de umelemento de comprimento d

~

` édado pela lei de Biot-Savart. Ocampo é para fora da página emP .

por um elemento do fio de comprimento infinitesimal d~ é

d ~B =

µ0

4

Id~ r

r2,

onde r é a distância do elemento de corrente d~ até o pontoP , r é um vetor unitário direcionado do elemento para oponto P e µ

0

é a constante de permeabilidade magnética dovácuo:

µ0

= 4 10

7T·m/A.

Figura 9.3: Regra da mão di-reita para determinação da di-reção do campo magnético aoredor de um fio longo e reto queconduz uma corrente I .

A lei de Biot-Savart fornece o campo magnético pro-duzido por um elemento de corrente I d`. Para determinaro campo magnético total produzido por uma distribuiçãode corrente devemos fazer a integração sobre todo o fiocondutor:

~B =

µ0

I

4

ˆ

fio

d~ r

r2.

Campo magnético; lei de Biot-Savart

A Figura 9.3 mostra uma regra da mão direita útil paradeterminar a direção do campo magnético devido a umacorrente em um condutor.


182 física iii

Campo magnético de um fio conduzindo corrente

Considere um fio retilíneo condutor carregando uma correnteconstante I, orientado na direção do eixo x como mostra aFigura 9.4. Vamos determinar o campo magnético produzidopela corrente na posição do ponto P .

Figura 9.4: Um fio retilíneo comuma corrente I . O campo mag-nético em um ponto P produ-zido pela corrente em cada ele-mento d` do fio aponta para forada página.

Inicialmente tomamos um elemento de comprimentodo fio d~ localizado a uma distância r do ponto P . A direçãodo campo magnético no ponto P devido à corrente nesteelemento é para fora da página, dada pelo produto d~ r.Como todos os elementos de corrente I d~ estão no planoda página, eles produzirão um campo magnético dirigidopara fora da página no ponto P . Assim, a direção do campomagnético naquele ponto produzido pelo fio aponta parafora da página.

Podemos determinar o módulo do campo magnético apartir da lei de Biot-Savart:

d ~B =

µ0

4r2Id~ r,

O produto vetorial é dado por

d~ r = |d~ r|ˆk = (dx sen )ˆk,

onde ˆk é um vetor unitário na direção para fora da página.Portanto, o módulo do campo magnético é

dB =

µ0

I

4

dx sen

r2.



Para integrar esta expressão, devemos relacionar as variáveis, x e r. Uma alternativa é expressar x e r em termos de .Da geometria mostrada na Figura 9.4, temos

r =

a

sen = a cossec .

Como tan = a/(x) (o sinal negativo indica que d~ estáno lado negativo de x), temos

x = a cot ,

dx = a cossec2 d.

Substituindo dx e r na expressão acima, obtemos

dB =

µ0

I

4

a cossec2 sen

a2 cossec2 d =

µ0

I

4asen d.

O campo magnético é obtido integrando-se essa expres-são entre dois ângulos

1

e 2

:

B =

µ0

I

4a

ˆ 2

1

sen d =

µ0

I

4a[cos

1

cos 2

].

Podemos utilizar este resultado para encontrar o campomagnético de qualquer fio conduzindo corrente se conhece-mos a geometria do problema e, portanto, os ângulos

1

e2

. Para um fio infinitamente longo, temos que 1

= 0 e2

= correspondem a elementos de corrente entre x = 1e x = +1. Neste caso, o módulo do campo magnético é

B =

µ0

I

4a[cos 0 cos]

B =

µ0

I

2a. (9.1)

Campo magnético de um fio infinito

Este resultado mostra que a magnitude do campo magnéticoé proporcional ao valor da corrente e diminui com o aumentoda distância ao fio, como esperado.


184 física iii

Campo magnético de uma espira de corrente

Considere um fio circular na forma de uma espira de raio a

localizada no plano yz e com uma corrente constante I, comomostra a Figura 9.5. Vamos calcular o campo magnético emum ponto P sobre o eixo da espira a uma distância x do seucentro. Para ilustrar, a Figura 9.6 mostra algumas linhas decampo magnético produzido por uma espira circular.

A Figura 9.5 mostra que um elemento de corrente notopo da espira produz um campo magnético d ~B que podeser decomposto em dois vetores, um paralelo ao eixo x, dBx,e outro perpendicular ao eixo, dBy. Por simetria, todas ascomponentes perpendiculares se anulam, restando apenas acomponente paralela ao eixo x, dBx = dB cos .

Figura 9.5: Geometria para ocálculo do campo magnético so-bre o eixo de uma espira circu-lar vista de perfil. Por simetria,o campo total ~B está ao longodo eixo x.

Figura 9.6: Linhas de campomagnético para uma espira decorrente.

Aplicando a lei de Biot-Savart, temos que |d~ r| = d`.Além disso, todos os elementos de corrente estão a umamesma distância r do ponto P , onde r2 = a2+x2. Portanto,temos que o módulo do campo magnético d ~B produzido porcada elemento de corrente d~ é dado por

dB =

µ0

I

4

|d~ r|r2

=

µ0

4

d`

(a2 + x2

)

.

A componente paralela ao eixo x é

dBx =

µ0

I

4

d`

(a2 + x2

)

cos .



Integrando sobre toda a espira, temos

Bx =

˛dBx =

µ0

I

4

˛d` cos

a2 + x2

.

Da geometria do problema, temos que

cos =

a

(a2 + x2

)

1/2.

Substituindo esta expressão na integral e notando que ambosx e a são constantes, obtemos

Bx =

µ0

I

4

˛d`

a2 + x2

a

(a2 + x2

)

1/2

Bx =

µ0

I

4

a

(a2 + x2

)

3/2

˛d` =

µ0

I

4

a

(a2 + x2

)

3/2(2a)

Bx =

µ0

Ia2

2(a2 + x2

)

3/2. (9.2)

Campo magnético de uma espira de corrente

No centro da espira, x = 0, e temos

B =

µ0

I

2a.

Para pontos muito distantes da espira, de forma que x a,podemos desprezar o termo a2 no denominador da expressãoobtida anteriormente e obtemos:

B µ0

Ia2

2x3

.

O módulo do momento de dipolo magnético µ da espira édefinido pelo produto da corrente pela sua área: µ = I(a2).Portanto, podemos escrever

B µ0

2

µ

x3

.

Este resultado possui forma similar ao que obtivemos parao caso do campo elétrico produzido por um dipolo elétrico agrandes distâncias, E / p/y3, onde p é o momento de dipoloelétrico.


186 física iii

Força magnética entre dois condutores de corrente

Considere dois fios infinitamente longos, retos e paralelos,separados pela distância a e conduzindo correntes I

1

e I2

na mesma direção, como mostrado na Figura 9.7. Parasimplificar o problema, consideraremos que os diâmetros dosfios são muito menores que a distância que os separa. Vamosdeterminar a força magnética entre os fios.

Figura 9.7: Dois fios paralelos,cada um conduzindo uma cor-rente constante, exercem forçasentre si. A força é atrativa se ascorrentes são paralelas (comomostrado) e repulsiva se as cor-rentes são antiparalelas (pos-suem direções opostas).

O fio 2 gera um campo magnético ~B2

na posição do fio1. A direção de ~B

2

é perpendicular ao fio, como mostradona figura. A força magnética sobre o fio 1 de comprimento` é ~F

1

= I1

~ ~B2

. Como ~ é perpendicular a ~B2

, o módulode ~F

1

é F1

= I`B2

. O campo magnético devido ao fio 2 édado pela equação 9.1. Então, temos:

F1

= I1

`B2

= I1

`µ0

I2

2a=

`µ0

I1

I2

2a.

A força por unidade de comprimento é

F1

`=

µ0

I1

I2

2a.

A direção de ~F1

é para baixo, pois ~ ~B é para baixo. Seconsiderarmos o campo gerado no fio 2 devido ao fio 1, aforça ~F

2

sobre o fio 2 é igual em módulo e oposta em relaçãoa ~F

1

. Portanto, podemos escrever que a força exercida sobrecada fio é

F

`=

µ0

2

I1

I2

a.

Força magnética entre condutores de corrente

Em 18205, Ampère observou que quando as correntes 5 Ampère A., Mémoire surl’action mutuelle entre deux cou-rants électriques, un courantélectrique et un aimant ou leglobe terrestre, et entre deuxaimants, Annales de Chimie etPhysique, 1820, v. 15, p. 59–75

estão em direções opostas, as forças magnéticas entre elassão repulsivas e os fios condutores se repelem. Se as correntesestão na mesma direção, os fios condutores se atraem.



Definição do Ampère e do Coulomb. A força magnéticaentre dois fios paralelos, cada um conduzindo uma corrente,é usada para definir o ampère: se dois fios longos e paralelosa 1 m de distância um do outro conduzem a mesma correntee a força por unidade de comprimento em cada fio é 2 10

7 N/m, então a corrente é definida como sendo de 1 A.A unidade SI de carga, o coulomb, pode agora ser

definida em termos do ampère: se um condutor conduz umacorrente constante de 1 A, a quantidade de carga que fluiatravés de uma seção transversal do condutor em 1 s é 1 C.

9.3 Lei de Ampère

Considere inicialmente uma corrente retilínea infinita I. Ocampo magnético ~B em um ponto P circula a corrente e éperpendicular ao eixo da corrente, com módulo dado por

B =

µ0

I

2r.

Calculemos a circulação de ~B ao redor de um percurso cir-cular C de raio r composto de pequenos segmentos infinite-simais d~s. O campo magnético ~B é tangente ao percurso, deforma que ~B · d~s = B ds e é constante em módulo. Portanto,a circulação magnética, B , é

B =

˛C

~B·d~s =˛C

B ds = B

˛C

ds = B(2r) =µ0

I

2r(2r),

portantoB = µ

0

I.

A circulação magnética é, então, proporcional à correnteelétrica I, e é independente do raio do percurso C. Setraçarmos vários círculos ao redor da corrente I, a circulaçãomagnética em todos eles será a mesma e igual a µ

0

I.Considere agora um percurso fechado arbitrário C que

circunda a corrente I. A circulação magnética em C é

B =

˛C

~B · d~s = µ0

I

2

˛C

u · d~sr

,


188 física iii

onde u é o vetor unitário na direção de ~B. Mas u · d~s é acomponente de d~s na direção do vetor unitário u, e portantoé igual a r d (veja a Figura 9.8). Consequentemente

B =

µ0

I

2

˛C

d =

µ0

I

2(2) = µ

0

I,

porque o ângulo plano total ao redor de um ponto é 2.Este é, novamente, o nosso resultado anterior e é válido paraqualquer percurso fechado ao redor da corrente retilínea,independentemente da posição da corrente com relação aopercurso.

I

Figura 9.8: A direção do campomagnético produzido por umacorrente I é dada por um vetorunitário u. Neste caso, o pro-duto u · d~s é a componente ded~s na direção de u, que é iguala r d.

Uma análise mais cuidadosa indica que este resultadoé correto para qualquer forma da corrente, e não apenaspara uma corrente retilínea. Se tivermos diversas correntesI1

, I2

, I3

, . . . ligadas por uma linha fechada C, cada correntecontribuirá para a circulação do campo magnético ao longode C. Portanto, podemos expressar a lei de Ampère como:

a circulação do campo magnético ao longo de uma linhafechada que liga as correntes I1, I2, I3, · · · é

B

=

˛C

~

B · d~s = µ0 Iin,

onde Iin representa a corrente total envolvida pelo per-curso C, ou seja

Iin = I1 + I2 + I3 + · · · =NX

i

I

i

.

Lei de Ampère

A lei de Ampère, formulada por Maxwell em 1873, éuma das equações fundamentais do eletromagnetismo. Elaé válida somente para correntes constantes. Além disso, em-bora ela seja válida para todas as configurações de corrente,ela apenas torna-se útil para calcular campos magnéticos



de configurações altamente simétricas (de forma similar aocaso da lei de Gauss para o cálculo do campo elétrico dedistribuições simétricas de cargas).

Para a determinação dos circuitos ou trajetórias deintegração (algumas vezes chamadas espiras amperianas)devemos satisfazer uma ou mais das seguintes condições:

1. O valor do campo magnético é constante ao longo datrajetória.

2. O campo magnético é nulo em todos os pontos ao longoda trajetória.

3. ~B e d~s são paralelos e, portanto, ~B · d~s = B ds.

4. ~B e d~s são perpendiculares. Logo, ~B · d~s = 0

Campo magnético dentro e fora de um fio

Considere um fio retilíneo e longo de raio R conduzindo umacorrente elétrica I uniformemente distribuída ao longo desua seção transversal, isto é, com uma densidade de correnteconstante, como mostra a Figura 9.9. Vamos determinar ocampo magnético em todos os pontos dentro e fora do fio.

Figura 9.9: Fio retilíneo de raioR conduzindo uma corrente I

saindo da página.

Fora do fio: r R. Adotamos uma espira amperianacircular de raio r que envolve completamente todo o fio, comuma corrente interna I

in

= I. Aplicando a lei de Ampère,obtemos:

˛C

~B · d~s = B

˛C

ds = B(2r) = µ0

I,

B =

µ0

I

2r

onde¸Cds = 2r, e o módulo do campo magnético é cons-

tante ao longo da espira.


190 física iii

Dentro do fio: r R. Assumindo que a densidade decorrente seja constante sobre toda a seção de área transversaldo fio, a corrente elétrica interior à espira amperiana de raior < R pode ser obtida pela relação

Iin

r2=

I

R2

) Iin

= Ir2

R2

.

Aplicando a lei de Ampère de forma análoga ao que fizemospara o caso do campo externo ao fio, temos

˛C

~B · d~s = B

˛C

ds = B(2r) = µ0

Ir2

R2

,

B =

µ0

Ir

2R2

Portanto, o campo magnético devido a uma correntedistribuída uniformemente em um fio retílineo de raio R édado por

B =

8>>><

>>>:

µ0

Ir

2R2

, r R

µ0

I

2r, r R

Campo magnético de um fio retilíneo

O gráfico de B em função da distância é mostrado naFigura 9.10. Note que na superfície do fio r = R, ambasexpressões são válidas.

Figura 9.10: Gráfico do campomagnético em função da distân-cia para um fio retilíneo de raioR conduzindo uma corrente uni-forme.

Campo magnético de um solenóide

Um solenóide é um fio longo enrolado na forma de umahélice, pelo qual flui uma corrente elétrica I, como mostra aFigura 9.11. Se as espiras estão muito próximas, essa confi-guração pode produzir um campo magnético razoavelmenteuniforme por todo o volume contido pelo solenóide, exceto



próximo às suas extremidades. Cada uma das espiras podeser modelada como uma espira circular e o campo magné-tico resultante é a soma vetorial dos campos produzidos portodas as espiras.

I I

Figura 9.11: Solenóide.

As linhas de campo magnético de um solenóide sãosimilares às de um ímã, como mostra a Figura 9.12. Assim,uma das extremidades do solenóide comporta-se como o pólonorte e a oposta como o pólo sul de um ímã. Figura 9.12: As extremidades

de um solenóide comportam-secomo pólos magnéticos.

A Figura 9.13 mostra, só para fins de ilustração, umsolenóide “expandido” visto em corte. Para pontos muitopróximos de uma das voltas do enrolamento, o observadornão percebe que o fio está encurvado. O fio se comportamagneticamente quase como se fosse retilíneo, e as linhas de~B nesta região são quase círculos concêntricos.

Figura 9.13: Um corte de umsolenóide cujas espiras foramafastadas para efeito de ilustra-ção. São vistas as linhas decampo magnético.

Solenóide ideal. Para um solenóide ideal, mostrado naFigura 9.14, podemos considerar o campo magnético externonulo se o seu comprimento for muito maior que seu diâmetro.Além disso, devemos considerar que não há espaço entre


192 física iii

os fios do enrolamento, de forma que as linhas de campomagnético não “escapem” do interior do solenóide.

Figura 9.14: Um circuito deAmpère retangular definido pe-los pontos abcd é usado paracalcular o campo magnéticodeste solenóide longo ideal.

Vamos aplicar a lei de Ampère para calcular o campomagnético no interior deste solenóide ideal, considerando ocircuito retangular abcd mostrado na Figura 9.14:

˛C

~B · d~s = µ0

Iin

,

A integral fechada¸~B · d~s pode ser escrita como a soma de

quatro integrais, uma para cada segmento do circuito:

˛C

~B · d~s =ˆ b

a

~B · d~s+*

0ˆ c

b

~B · d~s+>

0ˆ d

c

~B · d~s+*

0ˆ a

d

~B · d~s

A primeira integral da direita é igual a Bh, onde B é omódulo do campo magnético e h é o comprimento arbitráriodo segmento ab. A segunda e quarta integrais são nulas poispara cada elemento destes segmentos ~B e d~s são perpen-diculares. A terceira integral também é nula pois estamossupondo que o campo é igual a zero em todos os pontosexternos ao solenóide ideal. Logo, para o circuito retangulartotal temos: ˛

C

~B · d~s = Bh.

A corrente resultante Iin

que passa através do circuitoretangular é diferente da corrente I que percorre o solenóide,pois o enrolamento faz com que os fios atravessem o circuito



mais de uma vez. Supondo que existem n espiras por unidadede comprimento, a corrente total (que está saindo da página)dentro do circuito retangular na Figura 9.14 é:

Iin

= Inh.

A lei de Ampère torna-se então

Bh = µ0

Inh

ou

B = µ0

nI.

Campo magnético de um solenóide ideal

Este é o valor do campo magnético no interior de um sole-nóide ideal que depende apenas da corrente I e da densidadede espiras n. Para um solenóide real (Figura 9.13), finito,o campo “escapa” pelos espaços entre as espiras e, princi-palmente, pelas extremidades do solenóide, mas o campona região central ainda permanece, com boa aproximação,uniforme e dado pela expressão acima; o campo fora é muitomenos intenso do que dentro.

Solenóide finito. Considere um solenóide de comprimento`, composto por N voltas e pelo qual flui uma corrente I,como mostra a Figura 9.15. O eixo do solenóide correspondeao eixo z na figura, com suas extremidades possuindo coor-denadas z = z

1

e z = z2

, de forma que ` = z2

z1

. Vamoscalcular o campo magnético em um ponto P localizado aolongo do eixo do solenóide, a uma distância z da origem.

A Figura 9.15 mostra um elemento infinitesimal dosolenóide com comprimento dz0, localizado a uma distânciaz0 da origem. Se a densidade de espiras é n = N/`, entãondz0 é o número de voltas do fio neste elemento, cada umcarregando uma corrente I. Podemos então considerar este


194 física iii

Figura 9.15: Geometria para ocálculo do campo magnético nointerior de um solenóide finito.

elemento infinitesimal como equivalente a uma espira decorrente com dI = nI dz0, e usar o resultado que obtivemosna equação 9.2 para o campo gerado por uma espira decorrente ao longo do seu eixo. Assim, a contribuição desteelemento infinitesimal do solenóide para o campo magnéticono ponto P é

dBz =

µ0

R2

2[(z z0)2 +R2

]

3/2dI =

µ0

R2

2[(z z0)2 +R2

]

3/2(nI dz0).

Integrando sobre todo o comprimento do solenóide,desde z0 = z

1

até z0 = z2

, obtemos

Bz =

1

2

µ0

nIR2

ˆ z2

z1

dz0

[(z z0)2 +R2

]

3/2

=

1

2

µ0

nIR2

z0 z

R2

p(z z0)2 +R2

z2

z1

=

1

2

µ0

nI

"z z

1p(z z

1

)

2

+R2

z z2p

(z z2

)

2

+R2

#.

No caso de um solenóide ideal com comprimento `

muito maior do que seu raio R, z1

! 1 e z2

! +1.Assim, a expressão entre colchetes na equação acima tendeao valor 2, de forma que o campo magnético ao longo do



eixo de um solenóide infinito é

Bz = B0

= µ0

nI,

exatamente o mesmo valor que obtivemos pela aplicação dalei de Ampère.

A Figura 9.16 mostra o gráfico de Bz/B0

em funçãode z/R para dois solenóides com comprimentos ` = 20R e` = 40R. Note que o campo magnético na região central dosolenóide, |z| < `/2, é praticamente uniforme e igual a B

0

.-25 0 25

0,25

0,5

0,75

1

Figura 9.16: Gráfico do campomagnético ao longo do eixo dosolenóide em função de z. Li-nha contínua: solenóide comcomprimento ` = 40R; linhatracejada: ` = 20R.

Campo magnético de um toróide

A Figura 9.17 mostra um toróide, que pode ser imaginadocomo um solenóide encurvado formando um círculo. Porsimetria, as linhas de campo magnético formam circunfe-rências concêntricas no interior do toróide. Vamos escolheruma espira amperiana circular com raio r, concêntrica como toróide.

Figura 9.17: Toróide.

De acordo com a lei de Ampère, temos:

(B)(2r) = µ0

IN,

onde I é a corrente nas espiras do toróide e N é o númerototal de espiras. Assim, temos:

B =

µ0

NI

2r, a < r < b.


196 física iii

Isso mostra que, ao contrário do que acontece no caso dosolenóide, B não é constante ao longo da seção reta dotoróide.






9.1 E Um topógrafo está usando uma bússola magnética6,1 m abaixo de uma linha de transmissão que conduz umacorrente constante de 100 A. (a) Qual é o campo magnéticoproduzido pela linha de transmissão na posição da bússola?(b) Este campo tem uma influência significativa na leiturada bússola? A componente horizontal do campo magnéticoda Terra no local é 20 µT.

9.2 E Dois fios retilíneos longos são paralelos e estão se-parados por uma distância de 8,0 cm. As correntes nosfios são iguais e o campo magnético em um ponto situadoexatamente entre os dois fios tem um módulo de 300 µT. (a)As correntes têm o mesmo sentido ou sentidos opostos? (b)Qual é o valor das correntes?

9.3 E A Figura 9.18 mostra um próton que se move comvelocidade ~v = (200m/s)| em direção a um fio retilíneolongo que conduz uma corrente I = 350 mA. No instantemostrado, a distância entre o próton e o fio é d = 2,89 cm.Em termos dos vetores unitários, qual é a força magnética aque o próton está submetido?


9.4 EE Na Figura 9.19, parte de um longo fio que carregauma corrente I forma uma seção circular de raio R. Encontreuma expressão para o vetor campo magnético no centro docírculo.

9.5 EE Um circuito fechado consiste em dois semicírculosde raios 40 cm e 20 cm, conectados por segmentos retilíneoscomo mostrado na Figura 9.20. Uma corrente de 3,0 A existe


198 física iii


neste circuito e está no sentido horário. Determine o campomagnético no ponto P .


9.6 EE Duas espiras, uma em forma de circunferência eoutra em forma de quadrado, têm o mesmo comprimento L

e conduzem a mesma corrente I. Mostre que o campo mag-nético produzido no centro da espira quadrada é maior que ocampo magnético produzido no centro da espira circular.

9.7 EE Considere o circuito mostrado na Figura 9.21, com-posto por dois semicírculos de raios R

1

e R2

conectados porsegmentos de reta. O sentido da corrente está indicado nafigura. Determine o campo magnético no ponto C, o centrocomum dos dois semicírculos.


9.8 EE A Figura 9.22 mostra um dispositivo conhecido comobobina de Helmholtz, formado por duas bobinas circularescoaxiais de raio R = 25,0 cm, com 200 espiras, separadas poruma distância d = R. As duas bobinas conduzem correntesiguais I = 12,2 mA no mesmo sentido. Determine o módulodo campo magnético no ponto P , situado sobre o eixo dasbobinas, a meio caminho entre elas.




9.9 EE Um solenóide ideal é feito de um pedaço longo defio de diâmetro d = 4,00 mm, comprimento L = 10,0 me resistividade = 1,70 10

8 Ω·m. Encontre o campomagnético no centro do solenóide se o fio for conectado auma bateria que tem uma fem de 20,0 V.

9.10 E Um solenóide longo tem 100 espiras/cm e conduzuma corrente I. Um elétron se move no interior do solenóideem uma circunferência de 2,30 cm de raio perpendicular aoeixo do solenóide. A velocidade do elétron é 0,0460c (ondec = 310

8 m/s é a velocidade da luz). Determine a correnteI no solenóide.

9.11 EE Os oito fios da Figura 9.23 conduzem correntes de2,0 A para dentro ou para fora da página, conforme indicado.Determine a integral de linha

¸~B · d~s para as curvas 1 e

2.


9.12 EE Quatro condutores longos e paralelos são percorridospor correntes iguais de I = 5,00 A. A Figura 9.24 é uma


200 física iii

vista de cima dos condutores. A direção da corrente é paradentro da página nos pontos A e B e para fora da página emC e D. Calcule a magnitude e a direção do campo magnéticono ponto P , localizado no centro do quadrado com lado de0,200 m.


9.13 EE Um fio longo vertical conduz uma corrente desco-nhecida. Um cilindro oco, longo, de espessura desprezível,coaxial com o fio, conduz uma corrente de 30 mA, dirigidapara cima. A superfície do cilindro tem um raio de 3,0 mm.Se o módulo do campo magnético em um ponto situado a5,0 mm de distância do fio é 1,0 µT, determine (a) o valor e(b) o sentido da corrente no fio.

9.14 A Figura 9.25 mostra uma seção reta de uma fitalonga e fina de largura w = 4,91 cm que está conduzindouma corrente uniformemente distribuída I = 4,61 µA paradentro da página. Em termos dos vetores unitários, qualé o campo magnético ~B em um ponto P no plano da fitasituado a uma distância d = 2,16 cm de uma das bordas?




9.15 EE Na Figura 9.26, a corrente no fio longo e reto é I1

=

5,00 A e o fio se encontra no plano da espira retangular, queconduz 10,0 A. As dimensões são a = 0,150 m, b = 0,450 me c = 0,100 m. Encontre a magnitude e a direção da forçaresultante exercida sobre a espira pelo campo magnéticocriado pelo fio.


9.16 EE A densidade de corrente dentro de um fio sólido,longo e cilíndrico de raio a é paralela ao eixo e seu módulovaria linearmente com a distância radial r ao eixo de acordocom a expressão J = J

0

r/a, onde J0

é uma constante. Cal-cule o campo magnético no interior do fio. Expresse suaresposta em termos da corrente total I transportada pelofio.

9.17 EE Um solenóide longo possui 100 voltas/cm e trans-porta uma corrente I. Um elétron move-se no seu interiordescrevendo um movimento circular com 2,30 cm de raioperpendicular ao eixo do solenóide. A velocidade do elétroné 0,0460c (c é a velocidade da luz no vácuo). Encontre acorrente I do solenóide.


10Lei de Faraday da indução

10.1 Introdução

O experimento realizado por Ørsted em 1820, mostrandoque uma corrente elétrica exerce uma força sobre a agulhade uma bússola, foi a primeira evidência de uma conexãoentre eletricidade e magnetismo. Essa descoberta levou oscientistas contemporâneos a Ørsted a suspeitarem que, porsimetria, campos magnéticos também poderiam produzircorrente elétrica.

Michael Faraday (1791–1867), brilhante físico e quí-mico experimental inglês, foi quem originalmente desvendouesta suspeita através do uso de uma metodologia que con-sistia na realização de experimentos como forma de testara veracidade de suas ideias e como meio de influência paranovas ideias.

Em 1831, depois de uma série de experimentos e inves-tigações iniciados em 1822, Faraday atacou o problema deproduzir eletricidade a partir do magnetismo. Finalmente,em setembro daquele ano, chegou à descoberta de que umcampo magnético variável induz uma corrente elétrica emum circuito.

Este resultado, conhecido como a lei de Faraday daindução eletromagnética, é uma das quatro leis fundamentais


204 física iii

do eletromagnetismo e foi publicado em 18321. Em suas 1 Faraday M., Experimental Re-searches in Electricity , Philo-sophical Transactions of theRoyal Society of London, 1832,v. 122, p. 125–162

publicações, Faraday utilizava uma linguagem própria queevitava o uso de formas matemáticas para descrever suasdescobertas, o que foi feito apenas mais tarde com o tratadosobre eletricidade e magnetismo de Maxwell2. 2 Maxwell J. C., A treatise on


10.2 Experimentos de Faraday

Considere dois circuitos condutores, um primário e outrosecundário, ambos parcialmente enrolados em um suportede ferro (veja Figura 10.1). O circuito primário é conectadocom uma bateria, produzindo uma corrente no circuito quepode ser mantida, parada ou invertida através de uma chave.O circuito secundário inclui apenas um galvanômetro3 para 3 Instrumento utilizado para me-

dir corrente elétrica.indicar quaisquer correntes que passem por ele. O galvanô-metro é isolado, de forma que a corrente primária não oinfluencie.

–+ 0 +10– 10

Figura 10.1: Experimento deFaraday. Quando a chave nocircuito primário é fechada, ogalvanômetro no circuito secun-dário se desvia momentanea-mente. A corrente induzida nocircuito secundário é causadapela variação do campo magné-tico através da bobina secundá-ria.

Faraday observou que, no instante em que a corrente éligada no circuito primário, o galvanômetro indica que umacorrente induzida surge no circuito secundário com sentidooposto ao do primário. Se a corrente do primário é mantidaconstante, a corrente induzida desaparece. Em seguida, seo circuito primário é desligado, a corrente induzida voltaa aparecer, mas agora no mesmo sentido da corrente doprimário. Portanto, qualquer variação de corrente do circuitoprimário provoca uma força eletromotriz e, portanto, umacorrente induzida no circuito secundário.


lei de faraday da indução 205

No experimento anterior, se a corrente do primário forconstante, a corrente no secundário será nula. Agora vamosconsiderar outra situação. Seja um fio retilíneo conectadoa uma bateria por um longo período, de forma que umacorrente constante seja estabelecida ao longo dele (circuitoprimário). Outro fio é ligado apenas a um galvanômetro,estabelecendo um circuito secundário. Se o fio do circuitoprimário se aproxima do secundário, uma corrente é induzidacom sentido oposto ao do primário. Se o fio se afasta, o gal-vanômetro aponta uma corrente induzida no mesmo sentido.Por outro lado, se agora mantivermos o circuito primárioem repouso e aproximarmos dele o secundário, novamenteuma corrente induzida aparecerá no secundário no sentidooposto. Afastando o secundário, a corrente induzida invertede sentido. Logo, mesmo se a corrente do primário for cons-tante, ainda assim há uma corrente induzida no secundáriodevido à movimentação do primário, do secundário, ou deambos.

Em outro experimento similar, substituímos o circuitoprimário por um imã. Quando o polo norte do imã seaproxima do circuito secundário, uma corrente elétrica éinduzida e indicada pelo galvanômetro. Afastando-se o imã,a corrente inverte de sentido. Se o imã permanecer estático,nenhuma corrente induzida é produzida no circuito.

Para entender estes fenômenos, Faraday introduziu oconceito de linhas de força para medir a quantidade de campomagnético produzido pelo circuito primário que atravessao circuito secundário. Posteriormente, em um trabalhopublicado em 18344, Heinrich Lenz enunciou uma lei para 4 Lenz H., Ueber die Bes-

timmung der Richtung durchelektodyanamische Vertheilungerregten galvanischen Ströme,Annalen der Physik, 1834, v. 31,p. 483–494

definir o sentido da corrente induzida no circuito secundário,que será sempre na direção oposta ao movimento/ação quea gerou.

Em todas as situações descritas acima, a lei da induçãode Faraday nos diz que uma corrente elétrica é induzidaem um circuito pela variação do campo magnético que oatravessa. Como veremos adiante, outras situações físicas


http://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenz

206 física iii

também podem induzir uma corrente elétrica e, de formageral, um campo elétrico no espaço.

10.3 Condutores em movimento em um campo mag-nético uniforme

Antes de enunciar a lei de Faraday, vamos tratar de doiscasos simples utilizando os conceitos que já estudamos atéaqui para discutir o movimento de condutores em um campomagnético uniforme.

Barra isolada em movimento em um campo magnético

Considere uma barra condutora de comprimento ` movendo-se em um campo magnético uniforme que aponta para dentroda página, conforme mostra a Figura 10.2.

Partículas carregadas no interior do condutor sofremuma força magnética igual a ~FB = q~v ~B, que tende amovê-las para cima (cargas positivas) ou para baixo (cargasnegativas). Em ambos os casos, o lado de baixo do condutorficará mais negativo. Essa separação de cargas dá origema um campo elétrico ~E dentro da barra, que produz umaforça elétrica ~FE = q ~E. Se a carga for positiva, esta forçaapontará para baixo, como mostra a figura.

No equilíbrio eletrostático, não deve haver mais mo-vimentação de cargas, de forma que a força elétrica age nosentido de se opor à força magnética. Assim, temos

+

Figura 10.2: Uma barra condu-tora movendo-se em um campomagnético uniforme.

~FE = ~FB

q ~E = q~v ~B

ou~E = ~v ~B.

Como ~v e ~B são perpendiculares entre si, a relação entre osmódulos é, simplesmente,

E = vB.



Em termos de potencial elétrico, a diferença de potencialentre as extremidades da barra é dada por

V = E = E` = B`v.

Como esta diferença de potencial surge a partir do movi-mento do condutor, ela é chamada de fem de movimento.Note que se a barra parar, v = 0, a diferença de potencialtambém será igual a zero quando o condutor estiver em equi-líbrio eletrostático (as cargas irão se rearranjar no interiordo condutor de forma que o campo elétrico no seu interiorseja nulo).

Barra móvel em um circuito

Considere agora o arranjo de condutores ilustrado na Fi-gura 10.3, onde a barra condutora de comprimento ` move-sesobre dois trilhos também condutores conectados por umaresistência R. Por simplicidade, vamos assumir que a barrapossui resistência nula. Desprezamos também quaisquerforças de atrito entre os condutores. Um campo magnéticouniforme ~B é aplicado perpendicularmente ao plano do cir-cuito formado. Quando aplicamos uma força externa ~F

ext

sobre a barra ela começa a se mover para a direita comvelocidade ~v = vı.

Figura 10.3: Uma barra condu-tora deslizando sobre dois con-dutores fixos.

À medida que a barra se move, a área formada pelocircuito aumenta e mais linhas de campo magnético passam


208 física iii

por ela. Podemos quantificar “quanto” de campo magnéticoatravessa a área do circuito usando o conceito de fluxo docampo magnético, que é definido de maneira similar ao fluxoelétrico e é proporcional ao número de linhas do campomagnético que atravessam uma área qualquer.

Definimos o fluxo magnético, B , através de uma superfí-cie, como

B =

¨~B · n dA, (10.1)

onde n é um vetor unitário perpendicular à superfície deárea dA (veja a Figura 10.4).Para um campo magnético ~B uniforme através de umaárea A, o fluxo magnético pode ser simplesmente escritocomo

B =

~B · nA = BA cos ,

onde é o ângulo entre ~B e n.

Fluxo do campo magnético

A unidade SI do fluxo magnéticoé o weber :

1 weber = 1 Wb = 1 T · m2.

Figura 10.4: Campo magnéticoatravés de um elemento de áreadA.

Designando a posição da barra por x, a área do circuitonum instante t é `x e o fluxo magnético através dela é

B =

¨~B · n dA = B`x.

Derivando em relação a t e lembrando que B e ` são cons-tantes, obtemos a variação de fluxo por unidade de tempo:

dB

dt=

d

dt(B`x) = B`

dx

dt.

Mas dx/dt = v. Logo,

dB

dt= B`v = E .

Esta expressão mostra que qualquer variação de fluxo mag-nético através de um circuito induz nele uma fem E . Como



veremos, uma variação de fluxo magnético também podeacontecer se o ~B não for constante ou se o ângulo entreo campo e o vetor normal à área também variar com otempo. Esta relação é o que chamamos de lei de Faradaypara circuitos e condutores.

Corrente induzida. Como a resistência do circuito é R, ovalor da corrente induzida é

I =

|E|R

=

B`v

R,

e sua direção é no sentido anti-horário.

Força de freamento. Um condutor linear conduzindo umacorrente I na presença de um campo magnético sofre umaforça dada por

~FB = I~ ~B.

Portanto, a barra móvel sofrerá uma força no sentido con-trário ao seu movimento

~FB = I`B ı = B2`2v

Rı.

Para a barra se mover com uma velocidade constante, aforça resultante sobre ela deve ser nula. Logo, um agenteexterno precisa exercer uma força

~Fext

= ~FB =

B2`2v

Rı.

Neste caso, pela conservação de energia, a potência fornecidapor ~F

ext

deve ser igual à potência dissipada no resistor:

P =

~Fext

· ~v = Fext

v =

B2`2v

Rv =

(B`v)2

R=

E2

R= I2R.

Campo induzido em um circuito fechado.

Para um circuito fechado, a fem de movimento em umatrajetória fechada C ao longo do circuito pode ser escrita


210 física iii

como

E =

˛C

~E · d~s =˛C

(~v ~B) · d~s,

onde d~s é um elemento de comprimento ao longo do condu-tor. Note que neste caso a diferença de potencial ao longode um circuito fechado não é sempre nula . Portanto, ocampo elétrico ~E = ~v ~B, originado do movimento da barracondutora, é não-conservativo.

10.4 Lei de Faraday da indução eletromagnética

Os experimentos realizados por Faraday mostraram que umaforça eletromotriz e, portanto, uma corrente elétrica podemser induzidas em uma espira condutora fazendo variar aquantidade de campo magnético (fluxo) que atravessa a árealimitada pela espira. Usando a definição de fluxo magnéticointroduzida acima, podemos enunciar a lei de indução deFaraday da seguinte forma:

O módulo da força eletromotriz E induzida em uma espiracondutora é igual à taxa de variação temporal do fluxomagnético

B

que atravessa a espira.

Lei de indução de Faraday

Como veremos na próxima seção, a força eletromo-triz induzida se opõe à variação do fluxo, de modo que,matematicamente, a lei de Faraday pode ser escrita como

E = dB

dt= d

dt

¨~B · n dA, (10.2)

Lei de indução de Faraday



onde E é a fem induzida, B é o fluxo magnético atravésda espira condutora e o sinal negativo está associado com osentido da corrente elétrica induzida (ver próxima seção).

Se o fluxo magnético através de uma bobina de N

espiras sofre uma variação, uma fem induzida apareceráem cada espira, e a fem induzida total no circuito será osomatório dos valores individuais. Se a taxa de variaçãodo fluxo for a mesma para cada uma das N espiras, a feminduzida será dada por

E = NdB

dt.

Formas de variação do fluxo magnético

Há três maneiras de variar o fluxo magnético que atravessauma bobina para induzir uma corrente elétrica através dela:

1. Variando o módulo de ~B com o tempo (Figura 10.5).

Figura 10.5: Campo magnéticodiminui.

2. Variando a área total da bobina ou a parte da áreaatravessada pelo campo magnético (Figura 10.6).

3. Variando o ângulo entre a orientação do campo mag-nético ~B e o plano da bobina, por exemplo, girando-a(Figura 10.7).


212 física iii

Figura 10.6: Área da bobina di-minui.

Figura 10.7: Bobina é girada.

10.5 A lei de Lenz

O sinal negativo na lei de Faraday está relacionado com a leide Lenz, que nos permite determinar o sentido da correnteinduzida em uma espira:

A corrente induzida em uma espira tem um sentido talque o campo magnético produzido pela corrente se opõeao campo magnético que induz a corrente.

Lei de Lenz

Esta lei vale apenas para correntes induzidas que aparecemem circuitos fechados. Se o circuito for aberto, podemosusualmente pensar em termos do que poderia acontecer seele fosse fechado e desta forma encontrar a polaridade dafem induzida.

A força eletromotriz induzida tem o mesmo sentidoque a corrente induzida. Considere o campo magnético ~B

de um ímã se aproximando de uma espira, como mostrado



na Figura 10.8. Se o ímã estiver inicialmente distante ofluxo magnético que atravessa a espira é zero. Por exemplo,quando o pólo norte do ímã se aproxima da espira com ocampo magnético ~B apontando para baixo o fluxo atravésda espira aumenta. Para se opor a esse aumento de fluxo acorrente induzida I deve criar um campo ~B

ind

apontandopara cima. De acordo com a regra da mão direita, o sentidoda corrente deve ser o sentido anti-horário.

Note que o fluxo de ~Bind

sempre se opõe à variação dofluxo de ~B, mas isso não significa que ~B e ~B

ind

sempre têmsentidos opostos. Por exemplo, quando afastamos o ímã daespira o fluxo B produzido pelo ímã tem o mesmo sentidoque antes (para baixo), mas agora está diminuindo. Nessecaso, o fluxo de ~B

ind

também deve ser para baixo, de modoa se opor à diminuição do fluxo B . Portanto, ~B e ~B

ind

têmo mesmo sentido.

10.6 Campos elétricos induzidos

De acordo com a lei de Faraday, a variação do fluxo mag-nético produz uma fem induzida num circuito. Esta feminduzida representa o trabalho por unidade de carga neces-sário para manter a corrente induzida. No entanto, como ocampo magnético não realiza trabalho, o trabalho realizadopara mover as cargas deve ser devido ao campo elétrico, queneste caso não pode ser conservativo pois a integral de linhade um campo conservativo deve ser nulo. No caso da lei de

Figura 10.8: O campo ~

Bind

sempre tem o sentido oposto aosentido de ~

B se ~

B está aumen-tando (a), e o mesmo sentidoque ~

B se ~

B está diminuindo (b).A regra da mão direita forneceo sentido da corrente induzidaa partir do sentido do campo in-duzido.


214 física iii

Faraday, temos que a fem numa trajetória fechada C podeser escrita como

E =

˛C

~E · d~s = dB

dt.

Lei de Faraday: campo elétrico induzido

A fem induzida é a soma do produto escalar ~E · d~s aolongo de uma curva fechada, onde ~E é o campo elétricoinduzido pela variação do fluxo magnético e d~s é o elementode comprimento. De acordo com esta equação, um campomagnético variável induz um campo elétrico. Escrita dessaforma, a lei de Faraday pode ser aplicada a qualquer curvafechada que possa ser traçada em uma região onde existeum campo magnético variável.

Figura 10.9: Um campo mag-nético variável induz um campoelétrico.

Como um exemplo do cálculo do campo elétrico in-duzido por uma variação do campo magnético, considerea região circular mostrada na Figura 10.9 que representaa seção reta de um solenóide longo de raio R. Um campomagnético ~B é paralelo ao eixo do solenóide, portanto per-pendicular à área mostrada, e está entrando na página. Seo campo magnético variar em função do tempo, um campoelétrico será induzido. Vamos determinar expressões para o



campo elétrico induzido dentro (r R) e fora (r R) dosolenóide.

Dentro da região: r R. A lei de Faraday nos diz que acirculação do campo elétrico ao longo de um circuito fechadoC é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo magnéticoatravés da área limitada pelo circuito. Podemos escrever

˛C

~E · d~s = dB

dt= d

dt

¨~B · n dA.

Para resolver o lado esquerdo da equação, vamos consideraruma trajetória circular de raio r de forma que um elementode comprimento d~s seja sempre paralelo ao campo elétricoinduzido. Além disso, ao longo desta trajetória, o campoelétrico é constante. Assim,

˛C

~E · d~s =˛C

E ds = E

˛C

ds = E(2r).

Para o lado direito da equação, o campo magnético é paraleloao vetor unitário n e uniforme através de toda área da regiãoconsiderada, de forma que o fluxo magnético é

¨~B · n dA =

¨B dA = B

¨dA = B(r2).

Portanto, ignorando o sinal negativo, temos

E(2r) =dB

dt(r2)

E =

r

2

dB

dt.

O sentido do campo elétrico é dado também pela lei deLenz, de forma similar ao que vimos para o caso de correnteselétricas induzidas num condutor. Isso fica mais claro secolocarmos uma espira circular de raio r concêntrica com osolenóide. Um campo elétrico será estabelecido no interiorda espira, resultando em uma corrente elétrica na mesmadireção do campo.


216 física iii

Fora da região: r R. Neste caso, o lado esquerdo da lei deFaraday nos dá o mesmo resultado. Para o fluxo magnético,temos que considerar apenas a região que contém o campomagnético, de modo que

¨~B · n dA =

¨B dA = B

¨dA = B(R2

).

Igualando os termos, temos

E(2r) =dB

dt(R2

)

E =

R2

2r

dB

dt.

Note que o campo elétrico induzido aparece mesmo fora daregião na qual há um campo magnético variável.

Campo não-conservativo

Os campos elétricos que são produzidos pelo processo deindução não são associados a cargas, mas ao fluxo magnéticovariável. Embora ambos os tipos de campos elétricos exerçamforças sobre as cargas, há uma importante diferença entreeles.

A diferença de potencial entre dois pontos A e B édefinida como

VB VA = ˆ B

A

~E · d~s.

Se quisermos que o conceito de potencial tenha alguma utili-dade, esta integral precisa ter o mesmo valor para qualquercaminho que ligue os pontos A e B. De fato, verificamosque isto era verdadeiro para todos os casos discutidos noscapítulos anteriores, quando tratamos de campos elétricoscriados por cargas elétricas.

Um caso especial interessante ocorre quando A e B

são o mesmo ponto. O caminho que os liga é então uma



N

S

Figura 10.10: (a) Um geradorsimplificado. (b) Detalhe do mo-vimento de rotação da bobinaem um campo magnético uni-form.

curva fechada; como VA deve ser idêntico a VB , temos:˛C

~E · d~s = 0.

Entretanto, quando um fluxo magnético variável está pre-sente,

¸C~E · d~s não é zero, mas igual a dB/dt, de acordo

com a lei de Faraday. Isto implica que campos elétricosassociados a cargas estacionárias são conservativos, mascampos elétricos associados a campos magnéticos variáveissão não-conservativos. Os campos elétricos produzidos porindução não podem ser expressos como gradientes de umpotencial elétrico, e, portanto, o potencial elétrico tem signi-ficado apenas para campos elétricos produzidos por cargasestáticas.

10.7 Geradores

Uma das principais aplicações da lei de Faraday é a existênciados geradores e motores elétricos. Um gerador converteenergia mecânica em energia elétrica, enquanto um motorconverte energia elétrica em mecânica.

A Figura 10.10 ilustra um gerador simplificado queconsiste de uma bobina com N voltas que gira dentro deum campo magnético uniforme. O fluxo magnético atravésda bobina varia com o tempo, induzindo uma fem. Pela


218 física iii

Figura 10.10b, podemos escrever o fluxo magnético como

B =

¨~B · n dA = BA cos = BA cos !t,

e a taxa de variação do fluxo édB

dt= BA sen !t.

Como a bobina possui N voltas, a fem total induzida nela é

E = NdB

dt= NBA! sen !t.

Se a bobina for conectada a uma resistência R, a correntegerada no circuito é dada por

I =

|E|R

=

NBA!

Rsen !t.

Esta corrente varia com o tempo e seu sentido também.Portanto, ela é chamada de corrente alternada. A potênciafornecida para este circuito é

P = IE =

(NBA!)2

Rsen

2 !t.

Por outro lado, o módulo do torque exercido sobre a bobinaé

|~ | = |~mu ~B| = µB sen = µB sen !t,

onde µ é o momento de dipolo magnético da bobina, cujomódulo é dado por

µ = NIA =

N2A2B!

Rsen !t.

A potência mecânica necessária para girar a bobina é

Pm = ! = µB! sen !t.

Substituindo o valor de µ, temos

Pm =

N2A2B!

Rsen !t

B! sen !t =

(NBA!)2

Rsen

2 !t.

Portanto, como esperado pela conservação de energia, apotência fornecida para o circuito pela fem induzida é igualà potência necessária para fazer a bobina girar.



10.8 Correntes parasitas

Quando uma espira move-se em um campo magnético, umacorrente é induzida devido à variação do fluxo magnético.Se, ao invés da espira, considerarmos um condutor planoou sólido, como mostra a Figura 10.11, a corrente elétricatambém pode ser induzida. A corrente induzida aparececirculando regiões no interior do condutor e é frequentementechamada de corrente parasita ou corrente de Foucault.

Figura 10.11: Correntes pa-rasitas aparecem quando umcondutor sólido move-se numcampo magnético.

As correntes parasitas induzidas no condutor tambémgeram uma força magnética que se opõe ao movimento,tornando-se mais difícil mover o condutor através do campomagnético (Figura 10.12).

Figura 10.12: A força magné-tica devido à corrente parasitase opõe ao movimento do con-dutor.

Como o condutor possui uma resistência não-nulaR, o efeito Joule pode ocasionar uma perda de potênciaP = E2/R. Portanto, através do aumento do valor de R, aperda de potência pode ser reduzida. Uma forma de aumen-tar R é laminar o condutor ou construí-lo utilizando placascondutoras separadas entre si por um material isolante (vejaa Figura 10.13a). Outra alternativa é fazer cortes no con-dutor, como um pente, tornando o caminho percorrido pela


220 física iii

corrente mais longo e aumentando assim a sua resistência(Figura 10.13b).

Figura 10.13: Correntes para-sitas podem ser reduzidas (a)laminando a placa condutora ou(b) fazendo-se cortes no condu-tor.

? ? ?






10.1 E Determine o fluxo magnético através de um solenóideideal de 400 voltas que tem comprimento igual a 25,0 cm,raio igual a 1,00 cm e conduz uma corrente de 3,00 A.

10.2 EE Um longo solenóide tem n voltas por unidade decomprimento, raio R

1

e conduz uma corrente I. Uma bobinacircular de raio R

2

e com N voltas é coaxial ao solenóidee está equidistante de suas extremidades. Determine ofluxo magnético através da bobina se (a) R

2

> R1

e (b)R

2

< R1

.

10.3 EE Calcule o fluxo magnético através da espira retan-gular mostrada na Figura 10.14, onde a = 5,0 cm, b = 10 cm,c = 2,0 cm e I = 20 A.


10.4 EE A bobina retangular mostrada na Figura 10.15 tem80 voltas, 25 cm de largura, 30 cm de comprimento e estálocalizada em um campo magnético de 0,14 T que apontapara fora da página. Apenas metade da bobina está naregião do campo magnético. A resistência da bobina é 24 Ω.Determine a intensidade e o sentido da corrente induzida sea bobina está se movendo com uma velocidade de 2,0 m/s (a)para a direita, (b) para cima na página, (c) para a esquedae (d) para baixo na página


222 física iii


10.5 EE Um transformador é usado para transferir potênciade um circuito elétrico de corrente alternada para outro,mudando a corrente e a voltagem ao fazer isso. Um transfor-mador particular mostrado na Figura 10.16 consiste em umabobina de 15 voltas com raio R = 10,0 cm que cercam umsolenóide longo com raio r = 2,00 cm e 1,00 10

3 espiras/m.Se a corrente no solenóide variar como I = 5,00 sen (120t),encontre a fem induzida na bobina de 15 espiras em funçãodo tempo.


10.6 E Um campo magnético uniforme ~B é perpendicularao plano de uma espira circular com 10 cm de diâmetro,formada por um fio com 2,5 mm de diâmetro e resistividadede 1,69 10

8 Ω·m. Qual deve ser a taxa de variação de ~B

para que uma corrente de 10 A seja induzida na espira?

10.7 EE Um gerador elétrico contém uma bobina de 100espiras retangulares de 50,0 cm por 30,0 cm. A bobinaé submetida a um campo magnético uniforme de móduloB = 3,50 T, com ~B inicialmente perpendicular ao planoda bobina. Qual é o valor máximo da força eletromotrizproduzida quando a bobina gira a 1000 revoluções por minutoem torno de um eixo perpendicular a ~B? (Dica: faça B =

BA cos!t.)



10.8 EE Na Figura 10.17 uma espira quadrada com 2,0 cmde lado é submetida a um campo magnético, dirigido parafora do papel, cujo módulo é dado por B = 4,0t2y, onde B

está em teslas, t em segundos e y em metros. No instantet = 2,5 s, determine o valor absoluto e o sentido da feminduzida na espira.


10.9 EE A Figura 10.18 mostra duas regiões circulares, R1

e R2

, de raios r1

= 20,0 cm e r2

= 30,0 cm. Em R1

existeum campo magnético uniforme de módulo B

1

= 50,0 mTdirigido para dentro do papel, e em R

2

existe um campomagnético uniforme de módulo B

2

= 75,0 mT dirigido parafora do papel (ignore os efeitos da borda). Os dois camposestão diminuindo a uma taxa de 8,50 mT/s. Calcule ovalor da integral

¸~E · d~s (a) para a trajetória 1; (b) para a

trajetória 2; (c) para a trajetória 3.


10.10 EE Um solenóide longo tem um diâmetro de 12,0 cm.Quando o solenóide é percorrido por uma corrente I umcampo magnético uniforme de módulo B = 30,0 mT é produ-zido no seu interior. Através de uma diminuição da correnteI o campo magnético é reduzido a uma taxa de 6,50 mT/s.Determine o módulo do campo elétrico induzido (a) a 2,20 cme (b) a 8,20 cm de distância do eixo do solenóide.

10.11 EE Um longo solenóide tem n voltas por unidadede comprimento e conduz uma corrente que varia com o


224 física iii

tempo de acordo com I = I0

sen !t. O solenóide tem seçãotransversal circular de raio R. Determine o campo elétricoinduzido em pontos próximos ao plano equidistante dasextremidades do solenóide como função do tempo t e dadistância perpendicular r do eixo do solenóide para (a) r < R

e (b) r > R.


Apêndices

AConstantes físicas

Nome Símbolo Valor Unidade

Carga fundamental e 1,602176565 · 1019 CConstante gravitational G 6,67384 · 1011 m3·kg1·s2

Constante de estrutura fina ↵ = e2/2hc"0 1/137Velocidade da luz no vácuo c 2,99792458 · 108 m/sPermissividade elétrica do vácuo "0 8,854187817 · 1012 F/mPermeabilidade magnética do vácuo µ0 4 · 107 H/mk = (4"0)

18,9876 · 109 N·m2·C2

Constante de Planck h 6,6260755 · 1034 J·sConstante de Dirac ~ = h/2 1,0545727 · 1034 J·sMagnéton de Bohr µB = e~/2me 9,2741 · 1024 A·m2

Raio de Bohr a0 0,52918 ÅConstante de Rydberg Ry 13,595 eVComprimento de onda Compton do elétron Ce = h/mec 2,2463 · 1012 mComprimento de onda Compton do próton Cp = h/mpc 1,3214 · 1015 mMassa de repouso do átomo de hidrogênio µH 9,1045755 · 1031 kg

Constante de Stefan-Boltzmann 5,67032 · 108 W·m2·K4

Constante de Wien kW 2,8978 · 103 m·K

Constante universal dos gases R 8,31441 J·mol1·K1

Constante de Avogadro NA 6,0221367 · 1023 mol1

Constante de Boltzmann k = R/NA 1,380658 · 1023 J/K

Massa de repouso do eléctron me 9,10938291 · 1031 kgMassa de repouso do próton mp 1,672621777 · 1027 kgMassa de repouso do nêutron mn 1,674927351 · 1027 kgUnidade de massa atômica mu =

112m(

126C) 1,6605656 · 1027 kg

Magnéton nuclear µN 5,0508 · 1027 J/T

Diâmetro do Sol D 1392 · 106 mMassa do Sol M 1,989 · 1030 kgRaio da Terra R 6,378 · 106 mMassa da Terra M 5,976 · 1024 kg

BVetores

B.1 Definição e propriedades

Um vetor pode ser matematicamente descrito por suas com-ponentes no espaço cartesiano:

~r = (x,y,z) ou ~r = xı+ y|+ zˆk.

x

y

z

0x ı

y |

z k

~r = (x, y, z)

Figura B.1: Representação deum vetor no espaço cartesiano.

Para multiplicar um vetor por um escalar, multipliquesuas componentes pelo escalar:

a(x,y,z) = (ax,ay,az),

axı+ y|+ zˆk

=

axı+ ay|+ azˆk

.

Para somar dois vetores, some suas componentes:

(x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2),

x1 ı+ y1|+ z1

ˆ

k

+

x2 ı+ y2|+ z2

ˆ

k

= (x1+x2)ı+(y1+y2)|+(z1+z2)

ˆ

k.

O comprimento de um vetor, ou seu módulo, é dadopor

|~r| = |(x,y,z)| =px2

+ y2 + z2.

Um vetor unitário, n, é um vetor cujo comprimento éigual a uma unidade

|n| = 1

230 física iii

Adição de vetores

~r1

~r1

~r2 ~r2~r2 + ~r1

~r1 + ~r2

Subtração de vetores

~r2

~r2

~r1 ~r2~r1 ~r2

~r1

Figura B.2: Representação geo-métrica da álgebra de vetores.

oun = nx ı+ ny |+ nz

ˆk,

onde qn2

x + n2

y + n2

z = 1.

Um vetor unitário na direção de ~r é dado por

n =

~r

|~r | .

O deslocamento de uma posição dada por um vetor ~r1

para uma posição onde o vetor é ~r2

, é

~d12

= ~r2

~r1

.

B.2 Produto escalar

360 0

< < 180

360

= 180

360

= 0

Figura B.3: Ângulo entre veto-res.

O produto escalar, ou produto interno, entre dois vetores ~r1

e ~r2

é representado por

~r1

· ~r2

.

e é definido como o produto entre a magnitude |~r1

| de ~r1

, amagnitude |~r

2

| de ~r2

e o cosseno do ângulo entre os doisvetores:

~r1

· ~r2

= |~r1

| |~r2

| cos .


vetores 231

Note que o produto escalar entre dois vetores é umescalar:

(vetor) · (vetor) = (escalar)0 < 90

~r1

~r2

~r1 · ~r2 > 0

90 < 180

~r1

~r2

~r1 · ~r2 < 0

= 90

~r1

~r2

~r1 · ~r2 = 0

Figura B.4: Sinal do produto es-calar.

O produto escalar é comutativo. Sejam ~r1

e ~r2

:

~r1

· ~r2

= ~r2

· ~r1

.

O produto escalar é distributivo. Sejam ~r1

, ~r2

e ~r3

:

~r1

· (~r2

+ ~r3

) = ~r1

· ~r2

+ ~r1

· ~r3

.

Multiplicando por um escalar:

~r1

· (a~r2

) = a (~r1

· ~r2

) .

Para vetores perpendiculares entre si, = /2 e cos =

0. O produto escalar entre dois vetores perpendiculares ézero. Por exemplo:

ı · | = 0 , | · ˆk = 0 , ˆk · ı = 0.

Para vetores paralelos, = 0 e cos = 1, o produtoescalar é igual ao produto de seus módulos:

ı · ı = 1 , | · | = 1 , ˆk · ˆk = 1.

O módulo de um vetor é igual à raiz quadrada doproduto escalar do vetor com ele mesmo:

|~r | =p~r · ~r.

Considere o produto escalar entre dois vetores ~r1

=

x1

ı+ y1

|+ z1

ˆk e ~r2

= x2

ı+ y2

|+ z2

ˆk

~r1

· ~r2

=

x1

ı+ y1

|+ z1

ˆk·x2

ı+ y2

|+ z2

ˆk

= x1

x2

ı · ı+ x1

y2

ı · |+ x1

z2

ı · ˆk+y

1

x2

| · ı+ y1

y2

| · |+ y1

z2

| · ˆk+z

1

x2

ˆk · ı+ z1

y2

ˆk · |+ z1

z2

ˆk · ˆk= x

1

x2

+ y1

y2

+ z1

z2

.


232 física iii

Assim, obtemos uma expressão para calcular o produtoescalar se conhecemos as componentes dos vetores:x1

ı+ y1

|+ z1

ˆk·x2

ı+ y2

|+ z2

ˆk= x

1

x2

+ y1

y2

+ z1

z2

.

Se conhecemos as coordenadas cartesianas de dois ve-tores, podemos encontrar o ângulo entre eles, já quex1 ı+ y1|+ z1

ˆ

k

·x2 ı+ y2|+ z2

ˆ

k

=

qx

21 + y

21 + z

21

qx

22 + y

22 + z

22 cos .

Isto nos permite obter uma expressão para cos em termosdas componentes

cos =

x1

x2

+ y1

y2

+ z1

z2p

x2

1

+ y21

+ z21

px2

2

+ y22

+ z22

=

~r1

· ~r2

|~r1

| |~r2

| .

B.3 Produto vetorial

O produto vetorial de dois vetores ~r1

e ~r2

é representadopor

~r1

~r2

.

O resultado é um vetor cujo módulo é dado pelo produtodos módulos dos dois vetores e o seno do ângulo entre eles

|~r1

~r2

| = |~r1

||~r2

| sen .

O vetor resultante é ? a ~r1

e ~r2

e sua direção é determinadapela regra da mão direita.

x

y

z

0

~r1

~r2

~r1 ~r2

~r2 ~r1=~r1 ~r2

P

Figura B.5: Direção de ~r1 ~r2.


vetores 233

O produto vetorial é anti-simétrico:

~r1

~r2

= ~r2

~r1

.

O produto vetorial de dois vetores paralelos é nulo, jáque = 0, então sen = 0. Por exemplo:

ı ı = 0, | | = 0, ˆk ˆk = 0.

O produto vetorial de vetores perpendiculares é igualao produto de seus módulos. = 90

e sen 90

= 1. Por

exemplo:ı | = ˆk, | ˆk = ı, ˆk ı = |.

1

11

x

y

z

0ııı |||

k

k

k = ı |ı |ı |

Figura B.6: Vetores unitários noespaço cartesiano.

Sejam dois vetores ~r1

e ~r2

, definidos no espaço cartesi-ano:

~r1

= x1

ı+ y1

|+ z1

ˆk e ~r2

= x1

ı+ y2

|+ z2

ˆk.

O produto vetorial entre eles é

~r1

~r2

= (y1

z2

y2

z1

)ı+ (z1

x2

z2

x1

)|+ (x1

y2

x2

y1

)

ˆk.

O que é equivalente a calcular o determinante da matrizabaixo

~r1

~r2

=

ı | ˆk

x1

y1

z1

x2

y2

z2


CTabela de derivadas

Seja c uma constante, f(x) e g(x), e f 0= df/dx.

d

dx(fg) =

df

dxg + f

dg

dx(C.1)

d

dx

f

g=

f 0g fg0

g2(C.2)

d

dxf c

= cf c1f 0 (C.3)

d

dxf(g) = f 0

(g)g0 (C.4)

d

dxe

ax= a eax (C.5)

d

dxlnx =

1

|x| (C.6)

d

dxcx = cx ln c (C.7)

d

dxfg

= gfg1

df

dx+ fg

ln fdg

dx(C.8)

236 física iii

d

dxsenx = cosx (C.9)

d

dxcosx = senx (C.10)

d

dxtanx = sec

2 x (C.11)

d

dxcscx = cscx cotx (C.12)

d

dxsecx = secx tanx (C.13)

d

dxcotx = csc

2 x (C.14)

d

dx

ˆ x

c

f() d = f(x) (C.15)

d

dx

ˆ c

x

f() d = f(x) (C.16)


DTabela de integrais

ˆxn dx =

1

n+ 1

xn+1, n 6= 1 (D.1)

ˆ1

xdx = ln |x| (D.2)

û dv = uv

ˆvdu (D.3)

êx dx = ex (D.4)

âx dx =

1

ln aax (D.5)

ˆlnx dx = x lnx x (D.6)

ˆsenx dx = cosx (D.7)

ˆcosx dx = senx (D.8)

ˆtanx dx = ln | secx| (D.9)

238 física iii

ˆsecx dx = ln | secx+ tanx| (D.10)

ˆsec

2 x dx = tanx (D.11)

ˆsecx tanx dx = secx (D.12)

â

a2 + x2

dx = tan

1

x

a(D.13)

â

a2 x2

dx =

1

2

ln

x+ a

x a

(D.14)

ˆ1p

a2 x2

dx = sen

1

x

a(D.15)

â

xpx2 a2

dx = sec

1

x

a(D.16)

ˆ1p

x2 a2dx = ln(x+

px2 a2) (D.17)

ˆ1p

x2

+ a2dx = ln(x+

px2

+ a2) (D.18)

ˆdx

(x2

+ a2)3/2=

1

a2xp

x2

+ a2(D.19)

ˆx dx

(x2

+ a2)3/2= 1p

x2

+ a2(D.20)

ˆx dx

(x2

+ a2)3/2= 1p

x2

+ a2(D.21)


EIdentidades trigonométricas

E.1 Identidades pitagóricas

sen

2 x+ cos

2 x = 1 (E.1)1 + tan

2 x = sec

2 x (E.2)1 + cot

2 x = csc

2 x (E.3)

E.2 Somas e diferenças de ângulos

sen(x+ y) = senx cos y + cosx sen y (E.4)sen(x y) = senx cos y cosx sen y (E.5)cos(x+ y) = cosx cos y senx sen y (E.6)cos(x y) = cosx cos y + senx sen y (E.7)

240 física iii

E.3 Somas e diferenças de funções

senx+ sen y = 2 sen

1

2

(x+ y) cos1

2

(x y) (E.8)

senx sen y = 2 cos

1

2

(x+ y) sen1

2

(x y) (E.9)

cosx+ cos y = 2 cos

1

2

(x+ y) cos1

2

(x y) (E.10)

cosx cos y = 2 sen

1

2

(x+ y) sen1

2

(x y) (E.11)

E.4 Fórmulas de arco duplo

sen 2x = 2 senx cosx (E.12)cos 2x = cos

2 x sen

2 x (E.13)

E.5 Fórmulas de arco metade

sen

2

x

2

=

1 cosx

2

(E.14)

cos

2

x

2

=

1 + cosx

2

(E.15)

E.6 Produtos de funções

senx sen y =

1

2

cos(x y) 1

2

cos(x+ y) (E.16)

cosx cos y =

1

2

cos(x y) +1

2

cos(x+ y) (E.17)

senx cos y =

1

2

sen(x+ y) +1

2

sen(x y) (E.18)

cosx sen y =

1

2

sen(x+ y) 1

2

sen(x y) (E.19)


identidades trigonométricas 241

E.7 Identidades exponenciais

e

ix= cosx+ i senx (E.20)

senx =

e

ix e

ix

2i(E.21)

cosx =

e

ix+

e

ix

2

(E.22)


Respostas dos problemas

1 Carga elétrica e lei de Coulomb

1.1 33,7 N. 1.2 1,00 m. 1.3 q1

= 4q2

. 1.4 (-1,8 m,

-0,91 m). 1.5 Fx = 0,17 N; Fy = 0,046 N. 1.6 F1

=

0,30 N, F2

= 0,26 N e F3

= 0,26 N. 1.7 (a) (0,166 N)|;

(b) (111 m/s2)|. 1.8 ~F = kqq0

R2

(1 +

p2) |. 1.9 3,3 µC.

1.10 (a) q3

= 0,44 µC; (b) 3 cm; (c) 0. 1.11 (a) x =

q2`

2"0

mg

1/3

; (b) 2,4 10

8 C; (c) theta ! 0 e q !

q/2; (d) 3,1 cm. 1.12 (a) 15,4; (b) 0,813 N. 1.13 (a)

3,2 10

19 C; (b) 2. 1.14 1 10

12 elétrons.

2 O campo elétrico

2.1 (a) E1

= 1,25 10

5 N/C e E2

= 0,53 10

5 N/C; (b)

1,0 10

2 N. 2.2 9Q e +27Q. 2.3 (a) 160 N/C; (b)

45 do eixo x. 2.4 (a) 1,09 10

8 C; (b) 5,44 10

3 N.

2.5 (1,62 kN/C)ı-(4,18 kN/C)|. 2.6 ~E = 1

4"0

4q

R2

ˆj.

244 física iii

2.7 ~E = k0

a|. 2.8 k

0

/x0

. 2.9 z = ±R/p3. 2.10 (a)

12,4 N/C; (b) +y. 2.11 . 2.12 . 2.13 (a) 4,40 10

16 N;

(b) 2,63 10

11 m/s2; (c) 2,63 10

5 m/s. 2.14 (a) 111 ns;

(b) 5,68 mm; (c) vx = 4,50 10

5 m/s e vy = 1,02 10

5 m/s

.

3 Lei de Gauss

3.1 0,0151 N·m2/C. 3.2 2,0 10

5 N·m2/C. 3.3 q/24"0

.

3.4 0

h/2"0

. 3.5 0

R3/"0

. 3.6 5,0 µC/m. 3.7 (a)

E =

r

2"0

; (b) E =

R2

2"0

r. 3.8 0 se R < d;

2

"0

pR2 d2

se R > d. 3.9 5,0 10

9 C/m2. 3.10 (r) = 6K"0

r3.

3.11 (a) 4,2 10

3 N/C; (b) 2,4 10

3 N/C. 3.12 E = a/2"0

.

3.13 (a) Q = 4CR; (b) (r > R): E =

CR

"0

r2, (r < R):

E =

C

"0

r. 3.14 . 3.15 (a) Q =

4

3

(R3

2

R3

1

); (b)

(r < R1

): E = 0, (R1

< r < R2

): E =

3"0

r2(r3 R3

1

),

(r > R2

): E =

3"0

r2(R3

2

R3

1

). 3.16 (a) 37 µC; (b)

4,1 10

6 N·m2/C. 3.17 |q| = 7,5 10

9 C. 3.18 23 cm.

4 Potencial elétrico

4.1 (a) 6,00 10

4 J; (b) 50,0 V. 4.2 (a) 1,87

10

21 J; (b) 11,7 mV. 4.3 (a) 3,86 10

7 J; (b) 103 V.

4.42kq(2b d)

b(d b). 4.5 (a) 5,4 10

4 m; (b) 790 V. 4.6 (a)

2,68 10

4 V; (b) 6,81 10

4 V. 4.7 760 V. 4.8 (a)


respostas dos problemas 245

2,30 V; (b) 1,78 V. 4.9 VP = 6,83 V. 4.101

4"0

Q

a.

4.11 (a) kq

1

a 1

b

; (b) kq

1

r 1

b

; (c) 0. 4.12 Va

Vb =2kq

Lln

b

a

. 4.13 (b) 7,07 N/C. 4.14 6,7 10

2 V/m.

5 Capacitores e dielétricos

5.1 (a) 48,0 µC; (b) 6,00 µC. 5.2 (a) 1,33 µC/m2; (b)

13,3 pF. 5.3 (a) 11,1 kV/m; (b) 98,3 nC/m2; (c) 3,74 pF;

(d) 74,7 pC. 5.4 4,42 µm. 5.5 7,5 10

7 F. 5.6 (a) 216 µJ;

(b) 54 µJ. 5.7 (a) 2; (b)Q2d

2"0

A. 5.8 (a) 369 pC; (b) 118 pF

e 3,12 V; (c) 45,5 nJ. 5.9 (a) 4,82 10

9 F; (b) 0,283 m2.

5.10 (a) 5,02 10

9 C; (b) 1,20 10

4 N/C; (c) 2,52 10

4

N/C.

6 Corrente elétrica e resistência

6.1 (a) 1200 C; (b) 7,5 10

21 elétrons. 6.2 (a) 6,4 A/m2.

6.3 (a) 17,0 A; (b) 85,0 kA/m2. 6.4 0,265 C. 6.5 500 mA.

6.6 (a) 3,75 kΩ; (b) 536 m. 6.7 (a) 1,82 m; (b) 280 µm.

6.81

9

R. 6.9 1,20 Ω. 6.10 (a) 15,0 A; (b) 11,1 Ω.

7 Circuitos de corrente contínua

7.1 (a) 6,73 Ω; (b) 1,97 Ω. 7.2 (a) 17,0 µF; (b) 9,00 V;

(c) 45,0 µC e 108 µC. 7.3 1,83 C. 7.4 (a) 5,96 µF; (b)

89,5 µC, 63,2 µC, 26,3 µC, 26,3 µC. 7.5 12,0 Ω. 7.6 (a)


246 física iii

17,1 Ω; (b) 1,99 A; 1,17 A; 0,818 A. 7.7 (a) 12,0 V; (b)

2,15 mV; (c) 24 W; (d) 4,30 mW. 7.8 (a) 0,30 A; (b) 0,18 A;

(c) 0,12 A. 7.9 i1

= 0,50 A, i2

= 0,25 A, i3

= 0,25 A.

7.10 5,00 A e 24,0 Ω. 7.11 0,833 W. 7.12 (a) 1028 W;

(b) 25 centavos. 7.13 (a) 5,00 s; (b) 150 µC; (c) 4,06 µA.

7.14 (a) 61,6 mA; (b) 0,235 µC; (c) 1,96 A. 7.15 (a)

2,17 s; (b) 3,96 10

2 V.

8 O campo magnético

8.1 (a) Fmax = 9,56 10

14 N e Fmin = 0 N; (b) 0,267.

8.2 (a) 1,11 10

7 m/s; (b) 3,16 10

4 m. 8.3 Deduzir.

8.4 (a) próton; (b) 0,252 T. 8.5 203,93 u. 8.6 (a) próton;

(b) 60; (c) 13,1 mm. 8.7 20,1 N. 8.8 (a) 0,184 A·m2;

(b) 1,45 N·m. 8.9 Mostrar. 8.10 (a) 90; (b) 1; (c)

1,28 10

7 N·m.

9 Fontes de campo magnético

9.1 (a) 3,3 µT. 9.2 (a) opostas; (b) 30 A. 9.3 (7,75

10

23 N)ı. 9.4 ~B =

1 +

1

µ0

I

2Rˆk. 9.5 7,1 µT (entrando

na página). 9.6 Demonstrar. 9.7 ~B =

µ0

I

4

1

R1

1

R2

ˆk,

onde ˆk é a direção entrando da página. 9.8 8,78 10

6 T.

9.9 0,464 T. 9.10 0,272 A. 9.11 curva 1: 2,5 10

6 T·m;

curva 2: 0. 9.12 20,0 µT, para baixo. 9.13 (a) 5,0 mA; (b)


respostas dos problemas 247

para baixo. 9.14 (2,23 10

11 T) |. 9.15 2,70 10

5 N,

para esquerda. 9.16 B =

mu0

Ir2

2a3. 9.17 272 mA.

10 Lei de Faraday da indução

10.1 758 µWb. 10.2 (a) µ0

nINR2

1

; (b) µ0

nINR2

2

.

10.3 0,50 µWb. 10.4 (a) 0; (b) 0,23 A (horário); (c)

0; (d) 0,23 A (anti-horário). 10.5 14,2 cos(120t) mV.

10.6 1,4 T/s. 10.7 5,50 kV. 10.8 8,0 10

5 V. 10.9 (a) -

1,07 10

3 V; (b) -2,40 10

3 V; (c) 1,33 10

3 V. 10.10 (a)

7,15 10

5 V/m; (b) 1,43 10

4 V/m. 10.11 (a) E =

1

2

rµ0

nI0

! cos !t; (b) E = µ0

nR2I0

!

2rcos !t.


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física iii - fundamentos do eletromagnetismo

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