física moderna
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1 - Introducción a la mecánica cuántica. Física moderna. Andrés Aragoneses. Radiación del cuerpo negro (Planck, 1900). En general, un cuerpo que recibe radiación puede absorberla, reflejarla y emitir. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Física moderna
1 - Introducción a la mecánica cuántica
Andrés AragonesesAndrés Aragoneses
Radiación del cuerpo negro (Planck, 1900)
En general, un cuerpo que recibe radiación puede absorberla, reflejarla y emitir.
Por definición de cuerpo negro entendemos que es aquella superficie que absorbe toda la radiación que recibe, tanto desde el interior como desde el exterior.
Para describir este fenómeno desde el punto de vista de la física clásica Wien observó que:
Tβν
C·eν=Tν,u
3
Válida para frecuenciasfrecuencias altas.
Donde el máximo cumple la relación:Donde el máximo cumple la relación:
mK·'=Tλ 30 108982
Rayleigh y Jeans, a su vez, propusieron:Rayleigh y Jeans, a su vez, propusieron:
kTc
πν=Tν,u
2
3
8
El espectro de radiación del cuerpo negro:El espectro de radiación del cuerpo negro:
Válida para frecuencias bajas.Válida para frecuencias bajas.
Max PlanckMax Planck, interpolando ambas expresiones encontró la , interpolando ambas expresiones encontró la ley que describe la radiación de cuerpo negro:ley que describe la radiación de cuerpo negro:
1
83
kthν
e
h
c
πν=T)u(ν(
3
Que, comparada con la mecánica estadística clásica, implica Que, comparada con la mecánica estadística clásica, implica que la radiación se emite en forma de paquetes de energía y que la radiación se emite en forma de paquetes de energía y no de forma contínua como se creía clásicamente.no de forma contínua como se creía clásicamente.
La energía de estos paquetes es hLa energía de estos paquetes es h..
h 6 ' 626 ·1034
J · s Constante de PlanckConstante de Planck
El efecto fotoeléctrico (Einstein, 1905)
Otro fenómeno inexplicable desde la física clásica es que al incidir luz UV sobre un metal se observa que se arrancan electrones de la superficie de este. Esto sólo se explica si suponemos los cuantos de energía de Planck:
La energía cinética de los electrones arrancados viene dada por:La energía cinética de los electrones arrancados viene dada por:
Ec
W
Bremsstrahlung y emisión de rayos X.
Para producir rayos X en el laboratorio, se acelera un haz de electrones Para producir rayos X en el laboratorio, se acelera un haz de electrones bajo varios miles de voltios. Se envía contra un blanco y, al desacelerarse, bajo varios miles de voltios. Se envía contra un blanco y, al desacelerarse, emiten un espectro contínuo de radiación electromagnética.emiten un espectro contínuo de radiación electromagnética.
Pero existe una Pero existe una mínima en la radiación mínima en la radiación emitida, que sólo se entiende si se considera emitida, que sólo se entiende si se considera la radiación electromagnética como la radiación electromagnética como partículas:partículas:
eV
hc=λmin
0KK=λ
hc=hν
El efecto Compton (Compton, 1923)
Al incidir rayos X (10Al incidir rayos X (101717 – 10 – 102020Hz) sobre una superficie (grafito) Hz) sobre una superficie (grafito) esta luz es dispersada observándose dos longitudes de onda (una esta luz es dispersada observándose dos longitudes de onda (una igual a la incidente y otra próxima a esta), frente al resultado igual a la incidente y otra próxima a esta), frente al resultado clásico de una sola clásico de una sola , igual a la incidente., igual a la incidente.
Considerando la radiación X como Considerando la radiación X como partículas de energía hpartículas de energía h::
Tenemos una colisión elástica:Tenemos una colisión elástica:
hν=pc=E
pc+cm=E
γ
2220
2 θλ=λλ C' cos10
cm
h=λ
eC
Dualidad onda-partícula (de Broglie, 1923)
La luz puede comportarse como una onda y puede comportarse La luz puede comportarse como una onda y puede comportarse como partículascomo partículas
De Broglie sugirió que la materia también debería poseer esta dualidad.De Broglie sugirió que la materia también debería poseer esta dualidad.
p
h=λ
Longitud de onda Longitud de onda de la partículade la partícula
Propiedad medida experimentalmente a través de difracción de electrones.Propiedad medida experimentalmente a través de difracción de electrones.
La radiación se comporta como ondas y como partículas. La radiación se comporta como ondas y como partículas. La materia se comporta como partículas y como ondas.La materia se comporta como partículas y como ondas.
El experimento de la doble rendija, o como los electrones se comportan exactamente igual que la luz
·Un experimento con ondas: (·Un experimento con ondas: (Young 1773-1829Young 1773-1829):):
Experimento clásico que demuestra la naturaleza ondulatoria de la luz.Experimento clásico que demuestra la naturaleza ondulatoria de la luz.
La luz en este experimento experimenta una La luz en este experimento experimenta una interferenciainterferencia consigo misma consigo misma
δII+I+I=I cos2 212112
I1
h1
2, I
2h
2
2
I12
h1
h2
2
·Un experimento con partículas:·Un experimento con partículas:
¿Cuál es la probabilidad de que un proyectil que atraviese los agujeros en la ¿Cuál es la probabilidad de que un proyectil que atraviese los agujeros en la pared llegue a una distancia pared llegue a una distancia xx del centro? del centro?
En este montaje el detector: o recibe un proyectil o no recibe ninguno.En este montaje el detector: o recibe un proyectil o no recibe ninguno.
podemos graduar la velocidad de disparopodemos graduar la velocidad de disparo
P12
P1
P2 No interferenciaNo interferencia
·Un experimento con electrones:·Un experimento con electrones:Un cañón de electrones que se les hace pasar Un cañón de electrones que se les hace pasar por una doble rendija. Al final detectamos por una doble rendija. Al final detectamos estos electrones con un contador geiger estos electrones con un contador geiger móvil: móvil: clic, clic-clic, clic, …clic, clic-clic, clic, …
¿Cuál es la probabilidad relativa de que un clic se detecte a determinada ¿Cuál es la probabilidad relativa de que un clic se detecte a determinada distancia del centro?distancia del centro?
Pero: cada electrón pasa, ya sea a través del agujero 1 ó a través del agujero2.Pero: cada electrón pasa, ya sea a través del agujero 1 ó a través del agujero2.
Esto nos da las probabilidades P1 y Esto nos da las probabilidades P1 y P2.P2.
P12
P1
P2 ¡¡Interferencia!!¡¡Interferencia!!
¿Se propagan los electrones por trayectorias tortuosas?¿Se propagan los electrones por trayectorias tortuosas?
22112
222
211
+=P
=P,=P Los electrones llegan como partículas y la probabilidad Los electrones llegan como partículas y la probabilidad dellegada está distribuida como la intensidad de una dellegada está distribuida como la intensidad de una ondaonda
Espiemos por qué agujero pasa cada electrón.Espiemos por qué agujero pasa cada electrón.
P '12
P1
P2
¡Cuando observamos los electrones su distribución sobre la pantalla es ¡Cuando observamos los electrones su distribución sobre la pantalla es diferente a cuando no los observamos!diferente a cuando no los observamos!
Si los electrones no se ven tenemos interferencia.Si los electrones no se ven tenemos interferencia.
Single-electron events build up over a 20 minute exposure to form an interference pattern in this double-slit experiment by Akira Tonomura and co-workers. (a) 8 electrons; (b) 270 electrons; (c) 2000 electrons; (d) 60,000.
Rayos X contra una hoja de aluminioRayos X contra una hoja de aluminio
electrones contra una hoja de electrones contra una hoja de aluminioaluminio
Principio de indeterminación de Heienberg
No se pueden conocer con infinita precisión dos variables No se pueden conocer con infinita precisión dos variables canónicas de una partícula de forma simultánea. Posición y canónicas de una partícula de forma simultánea. Posición y el momento de una partícula. Energía y tiempo.el momento de una partícula. Energía y tiempo.
Al hacer una medida experimental se interactúa con el Al hacer una medida experimental se interactúa con el experimento.experimento.
La naturaleza pone un límite a la precisión con que se La naturaleza pone un límite a la precisión con que se pueden realizar medidaspueden realizar medidas
2
xp
2
tE
Creación de partículas virtuales
La energía del vacío. Efecto Cassimir
El átomo (Thomson, 1910;Rutherford, 1911; Bohr, 1913; de Broglie, 1924; …)
J.J.Thomson (1910), pastel de pasas
s se
Sugiere
¡¡ El espectro observado es discreto !!
El estado excitado del átomo tendría lugar con algún electrón vibrando (carga eléctrica acelerada emite radiación)
Sugiere que los electrones están localizados en una distribución contínua de carga positiva
Al hacer incidir partículas (núcleos de He) sobre láminas finas de metal se observa la dispersión de estas ¡en todos los ángulos!
E.Rutherford (1911), modelo planetario
El átomo de Thomson no es capaza de proporcionar una repulsión de Coulomb suficientemente intensa.
Rutherford sugiere un modelo planetario`para el átomo
Este modelo
E.Rutherford (1911), modelo planetario
Explica bien la dispersión de partículas .
Este modelo permite incluso determinar las dimensines del núcleo atómico (10-14m)
R.P.Feynman: “there is plenty of room at the bottom”
Pero, a pesar de explicar bien la dispersión de partículas , este modelo presenta problemas de estabilidad.
E.Rutherford (1911), modelo planetario
Los electrones, ¿están fijos u orbitan?
Un electrón a 10-10m del núcleo colapsaría en 10-12segundos emitiendo radiación de forma contínua.
N.Bohr(1913), modelo cuántico
Postulado 1: un electrón en un átomo se mueve en órbitas circulares en torno al núcleo bajo atracción de Coulomb
Postulado 2: en lugar de infinidad de órbitas posibles clásicamente, el electrón sólo puede moverse en órbitas para las cuales el momento angular (L=mvr):
22
mvr
e
nL Postulado 3: a pesar de la aceleración del electrón, este no radía energía electromagnética: estados estacionarios.
Postulado 4: se emite radiación si un electrón cambia su movimiento de manera discontínua y se mueve de una órbita Ei a una órbita Ef
hEE if
cuantificación
,...3,2,1n
N.Bohr(1913), modelo cuántico
Teniendo en cuenta los postulados 1 y 2, y suponiendo que la masa del núcleo es infinita (centro de masas está en el núcleo)
mr
nv
mvr
e
22
22
mr
nm
r
e mr
ne2
22
2
22
menrn
02 ·anrn Radios posibles
2
2
0 mea
Radio de Bohr
Volviendo al postulado 1
21 e
nvn ,...3,2,1n
¿Cuál es la energía del electrón en la órbita n?
Formulación ondulatoria de la mecánica cuántica: la ecuación de Schrödinger (1925)
Los resultados experimentales y el postulado de de Broglie muestran que las partículas se mueven según leyes del movimiento ondulatorias. Estas partículas tienen ondas asociadas o funciones de onda
Teniendo en cuenta a de Broglie =h/p y a Einstein E=h:
Sería interesante encontrar las leyes del movimiento ondulatorio que obedecen las partículas de cualquier sistema microscópico. Una ecuación que determine la forma de la función de onda para cada caso.
Para una onda viajera podemos considerar:
t
xsentx
2),(
Etpx
senth
E
h
xpsentx
·2),(
),( tx
El tipo más común de ecuación que tiene por solución una función es una ecuación diferencial.
Calcular las derivadas parciales (x, xx, t, tt) de la función de onda
La ecuación de Schrödinger (1925)
Esta ecuación diferencial habrá de cumplir:
1) Contener los postulados de de Broglie-Einsteinp
h hE
2) Coincidir con la ecuación: Vm
pE
2
2
3) Debe ser lineal en ),( tx
Si y son dos soluciones diferentes, entonces también será solución:
),(1 tx ),(2 tx),(),(),( 1 txbtxatx
4) Para una partícula libre:
0),( VtxV
0),(
x
txVF
La ecuación de Schrödinger (1925)
Teniendo en cuenta 1) y 2):
htxVm
hV
m
pE ),(
22 2
22
Si introducimos:
2
2
k
),(2
22
txVm
k
Para satisfacer la condición de linealidad la ecuación ha de ser lineal respecto a la función de onda en cada térmico.
Consideremos el caso particular de una partícula libre.
Puesto que:
)(),(
)cos(),(
)(),(
)cos(),(
22
2
22
2
tkxsenx
tx
tkxt
tx
tkxsenkx
tx
tkxkx
tx
)(),( tkxsentx
La ecuación de Schrödinger (1925)
t
txtxtxV
x
tx
),(
),(),(),(
2
2
Para extrapolar esta expresión a un caso más general consideraremos un potencial constante, V(x,t)=Vo, y una combinación para la función de onda:
Con y constanstes a determinar.
)()cos(),( tkxsentkxtx (ej.): Substituyendo esta función de onda en la ecuación diferencial anterior.
Vok
Vok
2
2
que, junto con: ),(
2
22
txVm
k
se obtiene que: m2
i i
La ecuación de Schrödinger (1925)
t
txitxtxV
x
tx
m
),(
),(),(),(
2 2
22
Ecuación diferencial que describe el comportamiento de una partícula en un potencial V(x,t). Satisface las cuatro suposiciones hechas para la ecuación de onda de la mecácnica cuántica.
Orbitales cuánticos: probabilidad de encontrar un electrón en un átomo.
