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Física para Engenharia Elétrica - Conceitos de Relatividade Restrita

CONCEITOS DE RELATIVIDADE RESTRITA

1. Introdução

2. O Experimento de Michelson-Morley

3. Postulados da Relatividade Restrita

4. Transformações de Lorentz

5. A Dilatação Temporal e a Contração Espacial

6. A Massa, a Energia e o Momento Linear Relativísticos



1. INTRODUÇÃO

Do que trata a Teoria da Relatividade?

A Teoria da Relatividade estuda o comportamento de um sistema físico sob o ponto de vista de dois sistemas de referência inerciais:

a) um sistema em repouso;

b) um sistema em movimento retilíneo uniforme (MRU – velocidade constante) em relação ao primeiro.



1. INTRODUÇÃO

Como é este comportamento na Mecânica Clássica?

Na Mecânica Clássica as leis básicas da Mecânica assumem sua forma mais simples nos referenciais inerciais.

Dois referenciais inerciais, um em repouso, outro se movendo com velocidade constante se relacionam através de Transformações de Galileu.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Galileo.arp.300pix.jpg


Vtxx 'yy 'zz 'tt '


1. INTRODUÇÃO

Transformações de Galileu

Se o referencial S’ se move em relação a S com velocidade constante V, e as origens O e O’ dos dois referenciais coincidem no instante t = 0, temos que:


'' 'dx dv x V t v v Vdt dt

' 'dv da v V a adt dt


1. INTRODUÇÃO

Consequências da Transformações de Galileu

1) Composição de velocidades:

2) Composição de acelerações:


' ' 'F m a F m a


1. INTRODUÇÃO

Consequências da Transformações de Galileu

3) Igualdade nas forças: como a Transformação de Galileu não afeta as distâncias entre partículas nem as massas, ela também não afeta uma força que só dependa destas distâncias.

'F F

Logo, a lei básica da Dinâmica não se altera!!!


Principio de Relatividade da Mecânica de Galileu


1. INTRODUÇÃO

É impossível detectar um movimento retilíneo uniforme de um referencial em relação a outro qualquer por qualquer efeito sobre as leis da dinâmica.

Experiências feitas sob convés de um navio, com as escotilhas fechadas, mostram que elas seriam incapazes de serem distinguidas se o navio estivesse ancorado ou em MRU.

Este Princípio deixa de valer para referenciais não-inerciais; neles aparecem efeitos detectáveis sobre as leis da Mecânica através das forças de inércia.


Das leis da Eletrodinâmica temos que a luz se propaga, no vácuo, com velocidade c = 3,0108 m/s.

'c c V 'c c


1. INTRODUÇÃO

Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio de Relatividade de Galileu?

Admitindo que isso vale num dado referencial inercial, e que valem as leis da Mecânica Clássica, temos que num outro referencial inercial em MRU em relação ao primeiro com velocidade V, a velocidade da luz neste referencial pela lei de composição de velocidades de Galileu, seria:


'c c V 'c c


1. INTRODUÇÃO

Como ficam as Equações de Maxwell perante o Principio de Relatividade de Galileu?

Isto significa que a velocidade da luz poderia variar com a direção de propagação, contradizendo o Principio de Relatividade no caso da Eletrodinâmica.

Admitindo como verdadeiro o Princípio da Relatividade de Galileu, a validade das Equações de Maxwell estaria restrita então a um referencial inercial privilegiado, onde a velocidade da luz é c em todas as direções.



1. INTRODUÇÃO

Problema

Existe uma aparente ambiguidade entre as Leis de Newton e as Equações de Maxwell.

Ambas não podem ser validas simultaneamente em qualquer referencial inercial.

Apenas uma destas grandes teorias deve valer para qualquer tipo de referencial inercial.

Qual delas?



1. Introdução







Numa série de experiências realizadas entre 1881 e 1887, Michelson e Morley procuraram detectar esses desvios (muito pequenos) usando o interferômetro de Michelson.

Deveria ser possível usar o movimento da Terra em relação ao éter juntamente com o Princípio de Galileu de composição de velocidades.


2. O EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

SoluçãoSerá possível projetar um experimento no qual esta

ambiguidade pudesse ser levantada?

A velocidade da luz na Terra relativa ao éter deveria ser diferente em direções diferentes.




O Experimento




1 22 2

2 1 1

1 1

l l

v vc c

O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu

Cálculo da variação da fase das franjas de interferência com o interferômetro posicionado em duas direções ortogonais entre si.

l1 e l2 comprimento dos braços do interferômetro.

comprimento de onda da luz utilizada (luz de lâmpada de Na).

v velocidade de translação da Terra em relação ao éter.




21 2l l v

c

0,4PG

O Resultado Esperado pelo Princípio de Galileu

Aproximação devido a v << c:

l1 = l2 = 11 m.

= 560 nm.v/c = 10-4. 0EXP

À época, a precisão experimental para esta medida era 0,01, logo a variação de fase das franjas era possível de ser detectada.


A experiência foi repetida muitas vezes, com diferentes orientações da montagem.



Conclusões do Experimento

Assim as Equações de Maxwell são corretas e nesse caso a mecânica newtoniana e as Transformações de Galileu não podem estar corretas.

Deste experimento concluímos que a velocidade da luz é constante e que a hipótese de um éter estacionário estava incorreta.



1. Introdução








3. POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA

O que fazer então diante deste fato experimental?Primeiro passo: formular princípios que estejam de

acordo com os resultados experimentais.

1. As leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

2. A velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais inerciais e é independente da velocidade da fonte.

Postulados da Relatividade Restrita:


Esses dois princípios, porém, são incompatíveis com a mecânica newtoniana tornando necessário modificá-la.



Consequências dos Postulados da Relatividade Restrita

As modificações necessárias, tomando os dois postulados como pontos de partida, foram propostas por Albert Einstein em 1905.




Simultaneidade


“Se um Evento 1 ocorre em P1 no instante t1, sendo marcado pela emissão de um sinal luminoso que parte de P1 nesse instante, e o mesmo vale para P2 em t2 (Evento 2), dizemos que eles são simultâneos (t1 = t2) quanto o ponto de encontro dos dois sinais luminosos é o ponto médio do segmento P1P2.”



Simultaneidade


Essa definição implica imediatamente que a simultaneidade de eventos distintos não tem caráter absoluto.



Simultaneidade

Dois eventos simultâneos num particular referencial S podem não ser simultâneos noutro referencial inercial S’ que se move em relação a S em MRU.



1. Introdução








4. TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ

Se a Transformação de Galileu não é mais válida, qual deve ser a transformação correta entre dois sistemas de referência inerciais?

A transformação correta deve satisfazer:a) o conceito de simultaneidade de Einstein;

b) um MRU em ralação a S também deve ser MRU em relação a S’;

c) para V = 0 a transformação deve reduzir-se à identidade;


e) Essa é uma transformação necessariamente linear.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 ' ' ' ' 0x y z c t x y z c t



d) Se um sinal luminoso é enviado de O = O’ no tempo t = t’ = 0, a sua frente de onda deve propagar-se com velocidade c em ambos os referenciais, de modo que:


zzyy

xcvtt

Vtxx

''

'

'

2



Relações Matemáticas

2

2

1

1V

Vc


''

''

''

2

zzyy

xcvtt

Vtxx



Relações Matemáticas

A transformação inversa é obtida substituindo V por –V, isto é, S se move em relação a S’ com velocidade –V.

O tempo não é mais absoluto, depende do referencial!!!

't t



1. Introdução







2M

Dtc

2. tc

d

2. tv


5. A DILATAÇÃO TEMPORAL E A CONTRAÇÃO ESPACIAL

Quais são os efeitos cinemáticos das Transformações de Lorentz?

1) Dilatação Temporal: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem intervalos de tempos diferentes!!!

22

2

2

2 1

1J

Dtvcc


J Mt t

2

2

1

1

cv



1) Dilatação Temporal

J Mt t




2) Contração Espacial: dois observadores, um em repouso e outro em um referencial em MRU medem comprimentos diferentes!!!

2

0 21 VL Lc

0L L


'''

dtdxv x '

''dtdyv y '

''dtdzv z

dtdxvx

dtdyv y

dtdzvz



Como fica a composição de velocidades com as Transformações de Lorentz?

A velocidade instantânea v’(t’) do corpo em S’ tem as componentes dadas por:

A velocidade instantânea v(t) do corpo em S tem as componentes dadas por:





As coordenadas x’(t’), y’(t’) e z’(t’) estão relacionadas com as coordenadas x(t), y(t) e z(t) através da Transformação de Lorentz.

'dx dx V dt

2' vdt dt dxc

dydy ' dzdz '





Obtemos então:

'

21

xx

x

v Vvv Vc

'

21

yy

x

vv

v Vc

'

21

zz

x

vvv Vc



1. Introdução







Após substituir a cinemática newtoniana era preciso reformular a dinâmica newtoniana para que fosse compatível com a nova cinemática.


6. A MASSA, A ENERGIA E O MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICOS

Quais são os efeitos dinâmicos das Transformações de Lorentz?

Na mecânica newtoniana, admitem-se forças de interação entre partículas que ficam inteiramente determinadas pelas suas posições instantâneas, tais como a gravitação, dada pela lei de Newton da gravitação universal.





Tais forças são inadmissíveis na mecânica relativística: o conceito de posições simultâneas das partículas de um sistema depende do referencial, e a velocidade limite de propagação das interações é c.

Podemos admitir as forças eletromagnéticas cuja formulação é compatível com a relatividade, pois a velocidade de propagação no vácuo das interações eletromagnéticas é c.





Um outro tipo de interação que podemos admitir são forças de contato que atuam apenas quanto duas partículas entram em contato numa colisão.

Estas forças podem ser idealizadas como atuando apenas no instante e no ponto de contato, sendo portanto compatíveis com a relatividade.




O momento linear relativístico

Na mecânica relativística o momento é da mesma forma proporcional a velocidade do corpo v e da sua massa m.

Mas a massa m apesar de continuar sendo um escalar, não é mais necessariamente invariável, e pode depender da velocidade do corpo.

p v m v v




A massa relativística

É possível mostrar que:

02

2

( )1

mm v

vc

m0 é a massa de repouso do corpo, quando sua velocidade é nula.




A massa relativística

02

2

( )1

mm v

vc




O momento linear relativístico

No limite de baixas velocidades, devemos obter a mecânica não-relativística (newtoniana), em que m representa a massa da partícula. Logo, m0 é a massa de repouso, e a expressão relativística do momento deve ser dada por:

002

2

( )1

m vp m v v m v

vc




A energia relativística

220

02

21

m cE m cvc

A partir do Teorema Trabalho-Energia é possível mostrar que:


20 2

1 1

1

T m cvc



A energia relativísticaPor sua vez, mesmo na Relatividade Restrita, a energia

cinética de um corpo deve se anular quando sua velocidade é nula. Assim, temos que:




Relação entre momento linear e energia

Uma simples manipulação de equações nos leva a:

2 4 2 2E m c p c

E p c

No caso do fóton (luz), quando m = 0, temos que:




Velocidades de alguns feixes em aceleradores

Momento máximo que um próton pode ser acelerado:

v/c

AGS/BNL 11,6 Gev/c 0.9963

SPS / CERN 450 Gev/c 0.99999753

Tevatron / Fermilab 3000Gev/c 0.999999944

RHIC / BNL 100 Gev/c 0.99995

LHC / CERN 1,5 Gev/c 0,832

Pelletron 0,016 Gev/c 0,016



Paradoxo dos gêmeosSejam dois irmãos gêmeos, Sílvio e Sérgio.

Sílvio viaja em uma nave espacial a uma velocidade 0,7c, enquanto Sérgio permanece na Terra.

Quando a nave retornar à Terra, qual dos dois estará mais jovem?


FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA

Como medir temperaturas acima de 1800 C?

Qual o princípio físico para realizar tal medida?

http://www.peaksensors.co.uk/mi-thermocouple-mts.html

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