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pag. 1

Fisica Tecnica G. Grazzini

UNIVERSITA’ DI FIRENZE

Facoltà di Ingegneria

Energia

scambiata per

ciclo legata alle

differenze di

pressione ed al

valore della

pressione stessa.

I° Principio

macchina

CICLICA

L = Q12-Q34

12

34

12

1Q

Q

Q

L−==ε

Reversibilità

12

341T

TMAX −=ε

Diagramma Indicatore

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Cicli termodinamici ideali di

riferimento.

Cicli per sistemi chiusi mentre le

macchine reali sono per lo più

sistemi aperti.

Es. motori auto, turbine

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Politropica reversibile

Pvn=P1v1n

Per il ciclo si ha:

PAvAa=PBvB

a ; PBvBb=PCvC

b

PCvCc=PDvD

c ; PDvDd=PAvA

d

da cui moltiplicandole e

dividendole membro a membro si

ha:

1)()()()( =⋅⋅⋅ −−−− daD

bcC

abB

daA vvvv

Se si hanno due trasformazioni eguali gli esponenti sono eguali ad esempio a = c

quindi:

1

)()(

=

⋅

−− ba

B

C

da

D

A

v

v

v

v

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Definito il rapporto di compressione B

D

v

v=ρ

e posto B

C

v

v=σ

)()(

)(

daba

da

B

A

v

v −−

−

=⋅

ρσ

se a = c = k = cp/cv adiabatiche, allora

)(

)(11

BCb

ADd

b

d

TTc

TTc

Q

Q

−−

−=−=ε Ma per gas perfetto Pvγ=P1v1

γ e Pv=RT quindi:

)1( −

=

γ

B

AAB

v

vTT

e

)1( −

=

γ

C

DDC

v

vTT

introducendo ρ e σ

d

db

AB TT −−−−

= γ

γγ

σσρ

)1)(()1(

;

)1( −

=

γ

σρ

DC TT e si ottiene:

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−

−−=

−

−−−d

db

ADb

ADd

TTc

TTc

γγγ

σσρ

ε)1)(()1(

)(1

espressione generale per tutti i cicli con

due adiabatiche.

Carnot isoterme b=d=1, cd = cb ⇒ B

AC

T

T−=

−=

−

11

)1(γ

ρσ

ε

Otto- Beau De Rochas isocore b = d = ∞ ; cd = cb = cv ; vc= vb ⇒ σ = 1

)1(

)1(1

11 −

−

−=

−= γ

γ

ρρσ

εO

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Joule - Brayton isobare b = d = 0 ; cd = cb = cp ⇒

)1(

1

−

−=

γ

ρσ

ε J

Definendo

γγ

σρ

ρ

=

==

B

A

A

BP

v

v

P

P

Si ottiene:

γγρε

/)1(

11

−−=

P

J

In generale ε cresce al crescere di ρ.

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CICLI RIGENERATIVI

)(

)(111

3

1

DCp

ABp

r

rc

TTc

TTc

QQ

QQ

Q

Q

−

−−=

++

−=−=ε

considerando le relazioni

precedenti ed un gas perfetto è

possibile mostrare come il

rendimento di un ciclo Joule

rigenerato sia esprimibile come:

γγγ

ρρ

ρε /)1(

/1

11−−=−= P

C

Ap

JrT

T

Stirling ed Ericson rigenerati

ideali hanno lo stesso ε di Carnot

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23

1243 )(

hh

hhhh

Q

LL

ca

PT

−−−−

=−

=εse LP <<LT allora h2≈h1 e

23

43

hh

hh

Q

L

ca

T

−−

==ε

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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pag. 10




________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Esistenza del massimo per il lavoro

Consideriamo un sistema chiuso in condizioni stazionarie che scambi le quantità

di calore Qh e Qc con solo due sorgenti alle temperature Th e Tc. Lo scambio

avvenga attraverso due isoterme alle temperature Tsh e Tsc, con

Th > Tsh > Tsc > Tc.

In base al primo principio della

termodinamica, in un sistema chiuso che

percorre un ciclo, il calore ceduto dalla

sorgente calda Qh dovrà essere maggiore di

quello Qc ceduto alla fredda perché il lavoro

sia positivo. Lm=Qh-Qc

Considerando il lavoro in funzione di Qh, si

Sorgente calda T

h

Sorgente

fredda Tc

Sistema chiuso

Tsh

Tsc

Lm

B c

B h T > T > T > T

Scambi termici isotermi

h sh sc c

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presentano due casi con lavoro nullo:

a) Qh = 0 che implica Qc = 0 ; b) Qh = Q'c

Il lavoro essendo nullo a questi estremi e maggiore di zero nell’intervallo tra loro,

dovrà esistere almeno un massimo per 0 < Qh < Q'c. Si noti come agli estremi si

abbiano particolari valori del rendimento; considerando Q come una funzione

delle differenze di temperatura si ha:

( )csccc

shhhh

TTBQ

TTBQ

−=

−=

La condizione Qh = 0 fornisce Th=Tsh, Tc = Tcs.

Quindi per un motore reversibile si può scrivere il rendimento come

ε = 1 - Qc/Qh = 1 - Tc/Th

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Vale a dire il rendimento è quello classico di Carnot per lavoro sviluppato nullo.

D'altra parte la condizione Qh = Q'c dà per l’efficienza

ε = 1 - Q'c/Qh = 0

Una legge generale di scambio termico Supponiamo che sia utilizzabile una legge generale di scambio termico per la

temperatura più alta ed una di tipo convettivo per cedere calore a bassa

temperatura

Sfruttando la reversibilità interna del motore, il

secondo principio della termodinamica permette di

scrivere che:

( )csccc

sh

m

h

m

hmh

TTBQ

TTBQ

−=

−=

1

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=

sc

c

sh

h

T

Q

T

Q

ed usando le relazioni di scambio termico si ottiene per il

rendimento:

−

−

−==

−m

h

shm

m

h

h

sh

h

c

h

mm

T

TT

T

T

T

T

q

L1/1

1

βε

e per il lavoro l’espressione:

m

m

h

shm

hhmmT

TTBL ε

−= 1

con βm

hm

c

B

B=

1

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Nel caso in cui m=1 è possibile derivare rispetto a

T

T

sh

h

e si ricava l'espressione

del lavoro massimo

( )L B TT

Tc h

c

h

max /1 1 1

2

11 1= −

+β β½

per ( )T

T

T

T

sh

h

c

h

= +

+β β1 11

½

/

ed il rendimento corrispondente al lavoro massimo per m=1 sarà pari a:

½

1 1

−=

h

cL

T

Tε

, [Curzon e Ahlborn, 1975].

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Cicli inversi

Frigorifero

COP= Q2/L >1

Macchina ideale

|||| 12

2

12

2

TT

T

QQ

QCOPC −

=−

=

Pompa di calore

COPHP= Q1/L= (L+Q2)/L =1+COP

5

P

h

4 2

1

V C

24

5 1

s

T

1

2

3

4

5

Q 1

Q 2

L

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Irreversibilità dovute a scambio termico

Thi

Tho

Tci

Tco

Tfci

Tfco

Tfc

Tfh

Tfhi

Tfho

T

S

Tho Thi

Tfho Tfhi

Wh

Qh

Tfco Tfci

Tci Tco

Qc

Wc

Wf

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Macchine tritermiche

COP = Qe/(Qg+ Lp)

cioè

COP = Qe/Qg =

= (Qe/L) (L/Qg) <1

e se la macchina è

reversibile

COPC = [Te/(Tc- Te)]

[(Tg- Tc)/Tg]

Figura A - Schema di ciclo frigorifero ad eiezione

Figura 2- Rappresentazione schematica di eiettore supersonico

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Schema di ciclo ad

assorbimento monostadio

Anche in questo caso si ha la

sostituzione dell'energia

meccanica necessaria al

funzionamento del compressore,

con energia termica a

temperatura non elevata; il

compressore viene sostituito dal

gruppo assorbitore-pompa-

generatore

Il vapore sviluppatosi

nell'evaporatore col calore della

sorgente fredda viene assorbito da una soluzione formata dal refrigerante e da un

adeguato solvente. Dato che il vapore in equilibrio col proprio liquido ha una

pressione molto maggiore di quella che caratterizza l'equilibrio con la soluzione alla

stessa temperatura, diventa possibile anche l'assorbimento di vapore proveniente da

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un evaporatore a temperatura più bassa di quella di funzionamento dell'assorbitore.

L'assorbimento arricchisce di refrigerante la soluzione che viene inviata al

generatore, che si trova a pressione più elevata dell'assorbitore. La pressione più alta

comporta che anche la temperatura di equilibrio tra vapore e liquido sia più elevata;

fornendo energia termica alla soluzione il vapore si separa nuovamente e può

ripetere il ciclo frigorifero andando al condensatore, alla valvola di laminazione 2-3

e di nuovo all'evaporatore ed all'assorbitore. Nello stesso tempo la soluzione che ha

liberato il refrigerante torna all'assorbitore passando per una valvola di laminazione

che permette di mantenere la differenza di pressione tra assorbitore e generatore. La

soluzione, 9, che va alla laminazione riscalda in controcorrente quella che va al

generatore realizzando così un recupero di energia, ma soprattutto contribuendo a

mantenere la differenza di temperatura tra i due apparati.

Il fabbisogno di energia meccanica della pompa è modesto rispetto all'energia

termica richiesta (1-2%).

COP esprimibile come per eiettore.

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Cicli frigoriferi ad aria

Vengono utilizzati negli

impianti di climatizzazione dei

velivoli potendo utilizzare aria

compressa spillata direttamente

dai compressori dei motori; in

questo caso si utilizza un ciclo

Joule inverso, ciclo a gas

composto da due isobare e due

adiabatiche ove l'isobara di

chiusura si realizza

nell'ambiente esterno.

E' interessante notare come,

comportandosi l'aria quasi

come un gas perfetto, in questo

caso sia necessario l'uso di una

turbina di espansione, poiché la semplice laminazione sarebbe praticamente

isoterma.

1

2

3

4

T H

T C

240

260

280

300

320

340

360

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

s [kJ/(kg K)]

T [K]

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T4

T3T2

T1

TH

TC

C TM M TC

TH

T1=Tc

T2 T3

T4

M TC

TC

T1

T2 T3=TH

T4

low pressure

high pressure

I cicli Joule inversi ad aria sono nuovamente studiati anche per applicazioni

frigorifere vere e proprie, data la sicurezza presentata dal fluido e le notevoli

conoscenze ed esperienze oggi maturate nel campo dei compressori assiali e delle

turbine.

E’ possibile ridurre il rapporto di compressione fino ad ottenere un grafico in cui

la temperatura fredda risulterebbe superiore a quella calda, cosa ovviamente

inutile. Se tuttavia si scambia calore all’interno del ciclo tra l’isobara inferiore

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(1-4’) e la superiore (2’-3) si riesce ad ottenere la sottrazione di calore da TH

cedendolo a TC, sia pure

con un ridotto effetto

frigorifero (4-4’); la

riduzione del rapporto di

compressione può

tuttavia permettere di

raggiungere buoni COP

Anche per i frigoriferi il

rendimento di secondo

principio è dato da

CCOP

COP=η

1

2

3

4

TH

TC

260

265

270

275

280

285

290

295

300

305

310

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

s [kJ/(kg K)]

T [K]

2’

4’

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