fismat i bilangan komplek

Fisika Matematika IFisika Matematika I

KontrakKontrak PerkuliahanPerkuliahan


(2 SKS)(2 SKS)

DosenDosen PengampuPengampu

SahrulSahrul HidayatHidayat

10:01:02

SahrulSahrul HidayatHidayat

KompetensiKompetensi yang yang diharapkandiharapkan

MetodeMetode PerkuliahanPerkuliahan

MetodeMetode EvaluasiEvaluasi

MateriMateri KuliahKuliah

ReferensiReferensihttp://staff.phys.unpad.ac.id/sahrul/http://staff.phys.unpad.ac.id/sahrul/

KOMPETENSIKOMPETENSI

MahasiswaMahasiswa mampumampu menggunakanmenggunakan BilanganBilangan dandan

PersamaanPersamaan AljabarAljabar Kompleks,Kompleks, Matriks,Matriks, dandan AnalisaAnalisa

VektorVektor untukuntuk melakukanmelakukan analisisanalisis gejalagejala fisikafisika..

10:01:02


MampuMampu merepresentasikanmerepresentasikan vektorvektor dandan matrikmatrik dalamdalam

sistemsistem koordinatkoordinat yangyang berbedaberbeda dandan melakukanmelakukan

operasioperasi vektorvektor dandan matriksmatriks dengandengan benarbenar

METODE PERKULIAHANMETODE PERKULIAHAN

SistemSistem pembelajaranpembelajaran dilakukandilakukan dengandengan caracara

presentasipresentasi dengandengan menggunakanmenggunakan fasilitasfasilitas

multimediamultimedia oleholeh dosendosen

10:01:02


multimediamultimedia oleholeh dosendosen

LatihanLatihan penyelesaianpenyelesaian soalsoal atauatau kasuskasus dengandengan

metodemetode diskusidiskusi dandan tanyatanya jawabjawab

PengayaanPengayaan materimateri dilakukandilakukan

dengandengan memberikanmemberikan tugastugas

peroranganperorangan atauatau kelompokkelompok

METODE EVALUASIMETODE EVALUASI

MetodeMetode evaluasievaluasi dilakukandilakukan dengandengan UjianUjian TengahTengah

SemesterSemester dandan UjianUjian AkhirAkhir SemesterSemester.. SelainSelain ituitu

ditambahditambah dengandengan komponenkomponen penunjangpenunjang daridari kuiskuis

//tugastugas..

10:01:02


//tugastugas..

PenilaianPenilaian

KuisKuis :: 1515 %%

TugasTugas :: 1515 %%

UTSUTS :: 3535 %%

UASUAS :: 3535 %%

MATERI KULIAHMATERI KULIAH

Bilangan dan Persamaan Aljabar KompleksBilangan dan Persamaan Aljabar Kompleks

Defenisi bilangan kompleksDefenisi bilangan kompleks

Aljabar bilangan kompleks Aljabar bilangan kompleks

Contoh Penerapan dalam FisikaContoh Penerapan dalam Fisika

10:01:02


MatriksMatriks

Defenisi serta aljabar matriks, dan Defenisi serta aljabar matriks, dan

determinandeterminan

Sistem persamaan linierSistem persamaan linier

Transformasi koordinatTransformasi koordinat

Analisis VektorAnalisis Vektor

Kalkulus diferensial fungsi vektorKalkulus diferensial fungsi vektor

KalkulusKalkulus Integral fungsi vektorIntegral fungsi vektor

REFERENSIREFERENSI

MaryMary LL.. Boas,Boas, MathematicalMathematical methodsmethods inin thethe

physicalphysical sciencessciences,, 33rdrd eded..,, JohnJohn WileyWiley && Sons,Sons,

NewNew York,York, 20062006

10:01:02


KK.. FF.. Riley,Riley, MM.. PP.. HobsonHobson andand SS.. JJ.. Bence,Bence,

MathematicalMathematical MethodsMethods forfor PhysicsPhysics andand

EngineeringEngineering 33rdrd editionedition ,Cambridge,Cambridge UniversityUniversity

Press,Press, 20062006

FisikaFisika MatematikaMatematika II

BilanganBilangan KomplekKomplek 10:01:02

Apa definisi Bilangan Imajiner/komplek?Apa definisi Bilangan Imajiner/komplek?



Bilangan Asli ( bilangan hitung)Bilangan Asli ( bilangan hitung)

-1 Bilangan RasionalBilangan Rasional

1

Pengelompokkan BilanganPengelompokkan Bilangan

3 + 4i 2i

Bilangan Bilangan

Imajiner/KomplekImajiner/Komplek c

Bilangan RealBilangan Real-3

1

2

BilanganBilangan integersintegers0.41



Bilangan imajiner adalah suatu bentukBilangan imajiner adalah suatu bentuk bilanganbilangan untuk untuk

mendefinisikan solusi persamaan polinomialmendefinisikan solusi persamaan polinomial

Arti bilanganArti bilangan imajiner:imajiner:

Atau:Atau:

Bilangan komplek adalah kombinasi dari bilangan real Bilangan komplek adalah kombinasi dari bilangan real

dan bilangan imajinerdan bilangan imajiner

Bagian real

imajinar

11 + 18i


BilanganBilangan KomplekKomplek

KenapaKenapa munculmuncul istilahistilah bilanganbilangan komplekkomplek??

BilanganBilangan komplekkomplek munculmuncul padapada saatsaat mencarimencari akarakar--akarakar daridari

persamaanpersamaan polinomialpolinomial

ContohContoh padapada solusisolusi akarakar persamaanpersamaan kuadratkuadrat::

10:01:02

AkarAkar--akarakar persamaanpersamaan

kuadratkuadrat adalahadalah::

BagianBagian realreal

BagianBagian imajinerimajiner

BilanganBilangan komplekkomplek

KenapaKenapa solusisolusi akarakar kuadratkuadrat adaada yang yang bersifatbersifat komplekkomplek??

BagaimanaBagaimana bentukbentuk fungsifungsi

persamaanpersamaan



TidakTidak adaada nilainilai z yang real z yang real

padapada kondisikondisi f(z)f(z) = 0= 0



PenulisanPenulisan bilanganbilangan komplekkomplek

iyxz += jyxz +=atauatau

xx adalahadalah bagianbagian real real dandan yy adalahadalah bagianbagian imajinerimajiner

AkarAkar--akarakar pesamaanpesamaan kuadratkuadrat::

10:01:02

AkarAkar--akarakar pesamaanpesamaan kuadratkuadrat::

DapatDapat ditulisditulis sbbsbb::

Bilangan komplek dapat di Bilangan komplek dapat di

representasikan dalam koordinat representasikan dalam koordinat

xx--y, bentuk tersebut dinamakan y, bentuk tersebut dinamakan

diagram komplekdiagram komplek (diagram (diagram

Argand).Argand).

y2

3

2 + 32 + 3ii

Diagram ArgandDiagram Argand

Bilangan komplek dapat Bilangan komplek dapat



x

1 2 3

1


diungkapkan dalam diungkapkan dalam bentuk titik bentuk titik

di dalam diagram Arganddi dalam diagram Argand

y1

2

3

A

Diagram ArgandDiagram Argand



x

1 2 3

1

O

A


diungkapkan dalam bentuk diungkapkan dalam bentuk

vektorvektor di dalam diagram di dalam diagram

ArgandArgand



OperasiOperasi PenjumlahanPenjumlahan dandan PenguranganPengurangan

BagianBagian real real dijumlahkandijumlahkan dengandengan bagianbagian real real dandan bagianbagian

imajinerimajiner dengandengan bagianbagian imajinerimajiner

10:01:02

PenjumlahanPenjumlahan duadua

bilanganbilangan komplekkomplek dalamdalam

representasirepresentasi diagramdiagram



ContohContoh

JumlahkanJumlahkan ketigaketiga bilanganbilangan komplekkomplek berikutberikut::

1 + 2i; 3 4i; 2 + i

10:01:02

BagianBagian realreal BagianBagian imajinerimajiner

HasilnyaHasilnya

2 - i

y1

2

3B

C

Penjumlahan/PenguranganPenjumlahan/Pengurangan

Di dalam Diagram ArgandDi dalam Diagram Argand



x

1 2 3

1

O

A



Modulus Modulus dandan ArgumenArgumen

Modulus Modulus bilanganbilangan komplekkomplek adalahadalah nilainilai absolutnyaabsolutnya, , dituliskandituliskan sbbsbb::

Dalam diagram komplek, Dalam diagram komplek, |||||||| z z |||||||| adalah jarak/panjang dari titik acuan.adalah jarak/panjang dari titik acuan.

ArgumenArgumen adalahadalah sudutsudut yang yang dibentukdibentuk oleholeh |||||||| z z |||||||| dengandengan sumbusumbu x x

10:01:02

ArgumenArgumen adalahadalah sudutsudut yang yang dibentukdibentuk oleholeh |||||||| z z |||||||| dengandengan sumbusumbu x x positippositip didi dalamdalam diagram diagram komplekkomplek. . NilaiNilai argumenargumen dihitungdihitung sbbsbb::

ContohContoh: : HitungHitung modulus modulus dandan argumenargumen daridari bilanganbilangan komplekkomplek z = 2 z = 2 3i3i

Modulus:Modulus:

ArgumenArgumen:: Karena x positif dan y negatif, maka Karena x positif dan y negatif, maka

terletak dikuadran 4, jadi argumen z terletak dikuadran 4, jadi argumen z

adalah adalah 5656 atau 304atau 304



PerkalianPerkalian BilanganBilangan KomplekKomplek

i2= 1Catatan:

Hitung perkalian z1 = 3 + 2i dan z2 = 1 4i

10:01:02

Operasi perkalian bilangan komplek berlaku sifat komutatif dan asosiatif

Modulus dan argumen perkalian bilangan komplek memiliki sifat:



HitungHitung hasilhasil kali kali bilanganbilangan komplekkomplek zz11 = 3 + 2i = 3 + 2i dandan zz22 = = 1 1 4i4iCekCek untukuntuk operasioperasi perkalianperkalian berlakuberlaku ||||||||zz22zz22|||||||| = = ||||||||zz11|||||||| ||||||||zz22||||||||

10:01:02



Sederhanakan Bentuk bilangan berikut:Sederhanakan Bentuk bilangan berikut:

1.1.

2.2.

3.3.

4.4.

5.5.

6.6.



0136

:berikutkuadrat persamaan akar Cari.7

2 =+ xx

2

52366x

=

komplekbentuk dalam Solusi23

2

1166

2

166

2

ix

x

x

=

=

=



=

=

=

3

2

i

i

ii

Pangkat dari bilangan imajinerPangkat dari bilangan imajiner

( )iii

i

ii

==

==

=

3

22

1

11

=

=

=

=

=

7

6

5

4

3

i

i

i

i

i

ii

i

ii

i

iii

=

=

=

==

==

7

6

5

4

3

1

111

1



KonjugatKonjugat KomplekKomplek

KonjugatKonjugat komplekkomplek daridari z z diberidiberi simbolsimbol zz**

KonjugateKonjugate komplekkomplek daridari zarizari z= x + z= x + iyiy adalahadalah zz** = x = x iyiy

10:01:02

KonjugatKonjugat komplekkomplek daridari zz

memilikimemiliki nilainilai xx dandan yy yang yang

samasama, , tetapitetapi jikajika dikalikandikalikan

akanakan menghasilkanmenghasilkan bilanganbilangan

real real tanpatanpa komponenkomponen

imajinerimajiner



TentukanTentukan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari z = a +2i + 3ibz = a +2i + 3ib

KonjugatKonjugat komplekkomplek diperolehdiperoleh dengandengan menggantimengganti ii dengandengan ii

Konjugat kompleknya:

ixwwz ixy 5 dimana )23( +== +

10:01:02

TentukanTentukan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari :: ixwwz ixy 5 dimana )23( +== +

Konjugat kompleknya:

SifatSifat konjugatkonjugat komplekkomplek::



PembagianPembagian bilanganbilangan komplekkomplek

MengubahMengubah bagianbagian pembilangpembilang sehinggasehingga menjadimenjadi real, real, dengandengan caracara

mengalikanmengalikan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari pembilangpembilang

10:01:02

EkspresikanEkspresikan bilanganbilangan komplekkomplek berikutberikut dalamdalam bentukbentuk z = x + z = x + iyiy

i

iz

41

23

+

=



KalikanKalikan dengandengan konjugatkonjugat komplekkomplek daridari pembilangpembilang::

SifatSifat pembagianpembagian bilanganbilangan komplekkomplek: :

10:01:02

SifatSifat pembagianpembagian bilanganbilangan komplekkomplek: :



UngkapanUngkapan bilanganbilangan komplekkomplek dalamdalam bentukbentuk polarpolar

Bentuk polar adalah bentuk fungsi eksponensial, definisi

fungsi eksponensial adalah sbb:

Jika z = i, maka:

10:01:02

Jika z = i, maka:

Cos Sin

dinamakandinamakan persamaanpersamaan EulerEuler



NotasiNotasi polar polar bilanganbilangan komplekkomplek

10:01:02



PerkalianPerkalian dandan pembagianpembagian bilanganbilangan komplekkomplek dalamdalam notasinotasi

polarpolar

dan

10:01:02

PerkalianPerkalian::

dan



PembagianPembagian::

10:01:02



TeoremaTeorema dede--MoivreMoivre

DalamDalam notasinotasi komplekkomplek

berlakuberlaku hubunganhubungan::PersamaanPersamaan Euler Euler

menyatakanmenyatakan::

MakaMaka berlakuberlaku

hubunganhubungan::

10:01:02

hubunganhubungan::

TeoremaTeorema dede--MoivreMoivre

( ) ninrerz ninnn sincos +==

+==n

in

rerz nninn sincos//1/1

SelanjutnyaSelanjutnya dapatdapat diturunkanditurunkan hubunganhubungan::


pangkatpangkat nn


akarakar pangkatpangkat nn



UngkapkanUngkapkan coscos 33 dandan sin 3sin 3 dalamdalam coscos dandan sin sin

MenurutMenurut teoremateorema dede--MoivreMoivre::

RealReal ImajinerImajiner

10:01:02

BagianBagian real real dandan bagianbagian imajinerimajiner dapatdapat dipisahdipisah sbbsbb::

RealReal ImajinerImajiner

BagianBagian RealReal

BagianBagian ImajinerImajiner


( )81 i+HitungHitung nilainilai daridari::

iz +=1

Modulus:Modulus:

ArgumenArgumen::

2=r

=

DalamDalam notasinotasi polar:polar:4/2 iez =

10:01:02

ArgumenArgumen::

4 =

( ) ( ) 161621 284/8 ===+ ii eei

12sin2cos =+ i



DenganDengan menggunakanmenggunakan teoremateorema dede--MoivreMoivre buktikanbuktikan bahwabahwa

berlakuberlaku hubunganhubungan::

10:01:02



UntukUntuk kasuskasus n=1 n=1

berlakuberlaku hubunganhubungan::

NyatakanNyatakan coscos33 dalamdalam bentukbentuk coscos 33 dandan coscos

10:01:02

DenganDengan demikiandemikian::



MencariMencari solusisolusi persamaanpersamaan zznn= 1= 1

MenurutMenurut rumusrumus Euler : Euler : kike ik 2sin2cos2 +=

= 1 ; = 1 ; untukuntuk k = 0,1,2,3k = 0,1,2,3

= 2k

10:01:02

DapatDapat dituliskandituliskan: :

JadiJadi solusisolusi persamaanpersamaan zznn = 1 = 1 adalahadalah

k=nk=n--11

TentukanTentukan solusisolusi ((akarakar--akarakar) ) persamaanpersamaan zz33 = 1= 1

UntukUntuk n =3:n =3:

SolusiSolusi persamaanpersamaan didi atasatas adalahadalah ::


10:01:02

SolusiSolusi persamaanpersamaan didi atasatas adalahadalah ::


LogaritmaLogaritma komplekkomplek dandan pangkatpangkat komplekkomplek

BilanganBilangan komplekkomplek dapatdapat dituliskandituliskan dalamdalam bentukbentuk::

DenganDengan: : argarg z = z = +2n+2nn = 0,1,2,3,.n = 0,1,2,3,.

DenganDengan mengoprasikanmengoprasikan logaritmalogaritma padapada keduakedua ruasruas, , diperolehdiperoleh::

10:01:02

DenganDengan mengoprasikanmengoprasikan logaritmalogaritma padapada keduakedua ruasruas, , diperolehdiperoleh::

TentukanTentukan nilainilai daridari LnLn ((--ii))

Modulus :Modulus : 1)1( 2 === rz ArgumenArgumen ::20

1tan 1

=

=

JadiJadi nilainilaiLnLn 1 = 01 = 0


SederhanakanSederhanakan bilanganbilangan komplekkomplek z = iz = i--2i2i

OperasikanOperasikan logaritmalogaritma padapada fungsifungsi::

LnLn ii dapatdapat ditulisditulis dalamdalam bentukbentuk::

10:01:02

LnLn ii dapatdapat ditulisditulis dalamdalam bentukbentuk::

z z dapatdapat disederhanakandisederhanakan sbbsbb::


FungsiFungsi HiperbolikHiperbolik

TrigonometriTrigonometri sudutsudut komplekkomplek:: DidefinisikanDidefinisikan::

AnalogiAnalogi dengandengan fungsifungsi trigonometritrigonometri, , berlakuberlaku jugajuga untukuntuk fungsifungsi

10:01:02

AnalogiAnalogi dengandengan fungsifungsi trigonometritrigonometri, , berlakuberlaku jugajuga untukuntuk fungsifungsi

hiperbolikhiperbolik::


HubunganHubungan trigonometritrigonometri dengandengan fungsifungsi hiperbolikhiperbolik::

10:01:02

PersamaanPersamaan identitasidentitas dalamdalam trigonometritrigonometri jugajuga

berlakuberlaku untukuntuk fungsifungsi hiperbolikhiperbolik

ContohContoh AplikasiAplikasi

IRVR =

dt

dILVL =

IdVC =

10:01:02


C

I

dt

dVC =

tieII 0=

RIeRIV tiR ==

0

LIieLIiV tiL == 0

ICi

eICi

V tiC 11

0 ==

IC

LiR

VVVV CLR

+=

++=

1

ImpedansiImpedansi (Z)(Z)

fismat i bilangan komplek

Documents