fixpunkte und stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · alexander rachow, gregor efstradiadis...
TRANSCRIPT
![Page 1: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/1.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fixpunkte und Stabilitätsanalyse
1
![Page 2: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/2.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Themenüberblick
Motivation 1D-Probleme Bifurkationen 2D-Probleme Fixpunkttypen Lotka-Volterra-Modelle
2
![Page 3: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/3.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Motivation
Bisher: Lineare Dynamik Jetzt: Nichtlineare Systeme Ohne explizite Lösung Fixpunkte !!!
3
![Page 4: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/4.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel:
Explizite Lösung der DGL mit Separation
4
![Page 5: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/5.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme Stattdessen: Graphische Analyse als Vektorfeld auf x-Achse
Graphische Darstellung:
i. Pfeil nach rechts
ii. Pfeil nach links Fixpunkt bei
5
![Page 6: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/6.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
6
![Page 7: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/7.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
Graphisches Stabilitätskriterium: i. Stabil Pfeile zeigen nach innen
ii. Instabil Pfeile zeigen nach außen
Quantitative Analyse auch möglich?
Lineare Stabilitätsanalyse
7
![Page 8: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/8.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
Ansatz: Taylor d
Lösung:
8
![Page 9: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/9.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme Lineares Stabilitätskriterium:
i. Stabil
ii. Instabil
9
![Page 10: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/10.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn
10
![Page 11: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/11.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
Zurück zum Beispiel Fixpunkt, wenn
11
instabil
stabil
![Page 12: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/12.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
Erinnerung:
12
![Page 13: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/13.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
Bemerkung: Was passiert bei ?
13
stabil instabil
![Page 14: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/14.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
1D-Probleme
Hier ist halbstabiler Fixpunkt
14
![Page 15: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/15.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationen Übersicht: Sattel-Knoten-Bifurkationen Transkritische Bifurkationen Pitchfork-Bifurkationen
• Superkritische Bifurkationen • Subkritische Bifurkationen
Nicht perfekte Bifurkationen Beispiele
15
![Page 16: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/16.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Was sind Bifurkationen
Bis jetzt: „simple“ 1D-Probleme • Dynamik der Vektorfelder sehr eingeschränkt
Nun: Abhängigkeit von Parametern • Struktur des Verlaufs ändert sich • Fixpunkte werden „zerstört“ oder „erschaffen“
Änderungen in der Dynamik heißen „Bifurkationen“ Parameterwerte an denen sie auftreten
„Bifurkationspunkt“ Bifurkationen liefern Modelle für Verstärkung und
Instabilität
16
![Page 17: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/17.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Sattel-Knoten-Bifurkation
Fixpunkte für bei Bei Variation des Parameters bewegen sich
Fixpunkte aufeinander zu und annihilieren sich Normalform
unterschiedliche Fälle
17
![Page 18: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/18.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 1:
18
![Page 19: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/19.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 2:
19
![Page 20: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/20.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 3:
20
![Page 21: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/21.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationsdiagramm
21
![Page 22: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/22.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Transkritische Bifurkationen
Es gibt Modelle in denen ein Fixpunkt für alle Parameterwerte existieren „muss“ Dieser Fixpunkt kann jedoch seine Stabilität
ändern Für solche Modelle werden transkritische
Bifurkationen verwendet Normalform
22
![Page 23: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/23.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 1:
23
![Page 24: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/24.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 2:
24
![Page 25: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/25.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 3:
25
![Page 26: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/26.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationsdiagramm
26
![Page 27: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/27.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Pitchfork Bifurkation
Modell für Systeme mit Symmetrie Es gibt 2 Arten dieser Bifurkation
• Superkritische Pitchfork Bifurkation • Subkritische Pitchfork Bifurkation
27
![Page 28: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/28.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Superkritische Pitchfork Bifurkation
Normalform invariant unter Kubischer Term wirkt „stabilisierend“
28
![Page 29: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/29.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 1:
29
![Page 30: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/30.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 2:
30
![Page 31: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/31.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Fall 3:
31
![Page 32: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/32.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationsdiagramm
32
![Page 33: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/33.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Subkritische Pitchfork Bifurkation
Normalform Kubischer Term ist hier nicht mehr
stabilisierend „treibt“ Funktion andere Normalform für „stabile Funktionen“
System invariant für erster stabilisierender Term ist neue Normalform
33
![Page 34: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/34.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationsdiagramm für „instabile Bifurkation“
34
![Page 35: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/35.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationsdiagramm für „stabile Bifurkation
35
![Page 36: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/36.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Wichtiges zur „stabilen Bifurkation“
Für koexistieren zwei stabile Zustände • Welcher Fixpunkt für angenommen wird,
ergibt sich aus der Anfangsbed. • Daher ist der Fixpunkt im Ursprung gegen kleine
Störungen stabil, nicht jedoch gegen große der Ursprungsfixpunkt ist nur lokal stabil
36
![Page 37: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/37.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Wichtiges zur „stabilen Bifurkation“
37
Die Existenz von versch. stabilen Zuständen ermöglicht Sprünge und Hysteresen
![Page 38: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/38.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Nichtperfekte Bifurkationen
Normalerweise Systeme nicht perfekt symmetrisch, sondern nur näherungsweise Diese Syteme haben Unvollkommenheiten Betrachte hierzu :
• Für liegt normale Symmetrie vor • Für liegt Symmetriebrechung vor
Analyse hier deutlich schwieriger aufgrund zweier unabhängiger Parameter
38
![Page 39: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/39.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Analyse der Fixpunkte
graphischer Ansatz: Plotte in ein Koordinatensyst.
Suche nach Schnittpunkten Schnittpunkte sind Fixpunkte
39
![Page 40: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/40.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Analyse der Fixpunkte
Kritischer Fall: Gerade ist Tangente an Extrempunkt • Dann: Sattel-Knoten-Bifurkation
Suche Werte für h an denen Bifurkation auftritt: Für den Wert am lokalen Maximum gilt:
Sattel-Knoten-Bifurkation tritt auf , wenn
40
![Page 41: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/41.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Analyse der Fixpunkte
41
![Page 42: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/42.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Analyse der Fixpunkte
Bifurkationsdiagramme von für festes
42
![Page 43: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/43.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Analyse der Fixpunkte
Bifurkationsdiagramme von für festes
43
![Page 44: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/44.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Kurze Anmerkung zu Katastrophen
Spitzenkatastrophe
44
![Page 45: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/45.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Beispiel : Populationsentwicklung
Hier: Falterart aus Kanada Modell bedient sich der „Trennung von
Zeiträumen“ • Population wächst schnell (char. Zeitraum:
Monate) • Bäume wachsen langsam (char. Zeitraum Jahre)
Bei Betrachtung der Populationsentwicklung können also die „Waldvariablen“ konstant angenommen werden
45
![Page 46: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/46.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Populationsentwicklung
Für die Population gilt: wächst logistisch mit Wachstumsrate und
Tragfähigkeit (hierbei fest) (Todesrate aufgr. von Raubtieren) wächst
logistisch
46
![Page 47: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/47.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Populationsentwicklung
Hier Untersuche Modell nun auf einen sog.Ausbruch
47
![Page 48: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/48.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Dimensionlose Formulierung
48
![Page 49: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/49.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Analyse der Fixpunkte
Erster Fixpunkt bei (immer instabil) Weitere Fixpunkte durch Lösung von
49
![Page 50: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/50.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Analyse der Fixpunkte
50
![Page 51: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/51.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationskurven errechnen
Wir untersuchen Kurven im für die eine Sattel-Knoten-B. vorliegt Wir können jedoch die Parameter nicht als
Funktion voneinander ausdrücken Wähle Parametrisierung
51
![Page 52: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/52.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationskurven errechnen
Für S-K-B müssen erfüllt sein: Einsetzen von (3) in (1) liefert:
Einsetzen von (4) in (3) liefert:
Bifurkationskurven sind (5) und (4)
52
![Page 53: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/53.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Bifurkationskurven
53
![Page 54: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/54.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
2D-Probleme
Betrachte nun nichtlineare Probleme vom Typ Fixpunkte dann gegeben durch
54
![Page 55: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/55.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
2D-Probleme
baut Phasenebene auf ist dann Vektorfeld auf der Phasenebene
55
![Page 56: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/56.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
2D-Probleme
Erst lineare Systeme untersuchen! Allgemeine Lösung:
Schreibe
Mit und
56
![Page 57: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/57.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Sattelpunkt
57
![Page 58: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/58.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Knoten
: Stabil : Instabil
58
![Page 59: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/59.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Periodische Lösung
59
![Page 60: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/60.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Spirale
: stabil : instabil
60
![Page 61: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/61.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Sonderfall: Stern-Knoten
61
![Page 62: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/62.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Sonderfall: Entarteter-Knoten
62
![Page 63: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/63.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Zusammenfassung
Was haben wir bisher gelernt? Fixpunkte zur Betrachtung der Dynamik Stabilität graphisch oder analytisch
bestimmen Graphisch: Vektorflusses visualisieren Analytisch: Lineare Stabilitätsanalyse In 2D viel mehr Möglichkeiten als in 1D
63
![Page 64: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/64.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Lotka-Volterra-Modelle
Beschreiben Wechselwirkung von mehreren Populationen Beispiel: Räuber-Beute-Problem Populationszahlen: (Beute), (Räuber) Ungestörte Wachstumsrate:
Begegnung Räuber-Beute:
64
![Page 65: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/65.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Lotka-Volterra-Modelle
Insgesamt also: Betrachte die Dynamik mit „Mathematica“!
65
![Page 66: Fixpunkte und Stabilitätsanalyse - itp.uni-hannover.de · Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis Seite 1D-Probleme Betrachte Systeme der Form Einfaches Beispiel: Explizite Lösung](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040500/5e1cff5ff0066b25f8066128/html5/thumbnails/66.jpg)
Seite Alexander Rachow, Gregor Efstradiadis
Quellenverzeichnis
Strogatz, Steven H. (1994): Nonlinear Dynamics and Chaos. Massachusetts
Suter, Dieter (2010): Skript zur Vorlesung „Analytische Mechanik“. [cited 02.06.2015]. https://e3.physik.uni-dortmund.de/~suter/Vorlesung/Physik_III_WS10/2.8_Chaos.pdf
[cited 29.05.2015] http://de.wikipedia.org/wiki/Kritischer_Punkt_(Dynamik)
66