Cursul nr.1

Marimi scalare si vectoriale. Notiuni de analiza vectoriala.

1.1. Marimi scalare si vectoriale

Exista o serie de marimi fizice, cum ar fi lungimea, masa, temperaturaetc., carepot fi rcprezentate numai cu ajutorul unui numar si a unei unitati demasura. De exemplu, spunem ca lungimea unui obiect este de zece metri,L:10 m. Aceste marimi poarta denumirea de marimi scalare. Exista insamarimi frzice, numite marimi vectoriale, care pe langa marime au si directiesi sens. Forta :lste un exemplu de marime frzica vectoriala. Astfel, pentru adetermina in mod unic efectul actiunii unei fortei asupra miscarii unui corpeste necesar sa se precizeze marimea fortei in Newtoni (N), directia pe careactioneaza si sensul sensul fortei pe aceasta directie. Exista doua moduri denotare a unei marimi vectoriale. Astfel, in scrierea de mana o marimevectoriala se noteaza printr-o sageata deasupra literei A care simbolizeazamarimea fizica A. In scrierea de tipar o marime vectoriala este notata culitere aldine (ingrosate), A. Marimea sau modulul vectorului este notata culitere latine, lAl : bl = l. Geometric un vector se reprezinta printr-o sageata(Fig.1) a carei lungime este egala cu modulul vectorului. Sensul si directiasagetii corespund cu sensul si directia vectorului. Yiteza, acceleratia, forta,momenul fortei, impulsul, etc. sunt exemple de marimi frzice care sereprezinta matematic printr-un vector.

s#*#l

::::::::;:i:,..:!!':!!rrr rr . .

=0,fignn

id.ir$*ti$

Fig. l. Reprezentarea geometrica a unui vector

Vectorul invers: pentru orice vector A se poate defini un vector invers -A.Vectorul -A are acelasi modul si directie cu vectorulA, dar are sens invers(Fig.2a).

Egalitatea vectorilor: doi vectori A si B ce descriu marimi fizice similare(de exemptuforte) sunt considerati egali daca ei au aceiasi mnrim4 aceiasidirectie si acelasi sens; acest lucru se A:8. Este imortant de temarcat caegalitatea vectorilor A si B nu impune conditia ca cei doi vectori sa aibaacelasi punct de aplicatie. Ca unnare, prin translatareaparalela a unui vectorse obtine un vector egal cu vectorul initial, Fig.2b-

(a)

Fig. 2. Vectorul invers (a); (b) prinun vector egal cu vectorul initial.

1.2. Operatii cu vectori

1.2.1 Adunarea vectorilor

(b)

operatia de translatie paralela se obtine

Suma a doi vectori A si B este definita prin constructia geometricaindicata in Fig. 3a. Aceasta constructie este numita regula paralelogramuluipentru adunarea vectorilor. Vectorul C rcprezentand suma A+B are directiadiagonalei mari a paralelogramului definit cu ajutorul vectorilor A si Bo iardirectia este de la originea vectorilor spre varful paralelogramului. Dacavectorii nu acelasi punct de aplicatie, atunci se translateaza unul dintrevectori paralele cu el insusi, de exemplu vectorul B, pana in origineavectorului A dupa care se aplica regula paralelogramului (Fig.3b).

""f,,' .,,,,"&

,&/*,#;;i',e4?l'-'11 ,''1,t, #t'" $

(a) (b)

Fig.3. (a) Regula paralelogramului si (b) adunarea a doi vectori atunci candei nu au aceiasi origine.

Marimea vectorului C poate fi usor determinata cu ajutorul teoremei luiPitagora generalizata.Daca consideram ca unghiul dintre cei doi vectori estea , atunci este usor de demonstrat ca:

C2 = A2 + 82 + 2ABcosq . (1)

Din punct de vedere practic este mai usor sa se aplice regulaparalelogramului intr-o varianta modificata. In acest caz vectorul B setranslateaza paralel cu el insusi pana cand originea lui se suprapune pestevarful vectorului A (Fig.aa). Este usor de observat ca in aceasta reprezentarevectorul C este chiar vectorul care se obtine unind originea vectorului A cuvarful vectorului B. Directia vectorului C este inspre varful vectorului B.Generalizand aceasta procedura de adunare a doi vectori pentru cazttl maimultor vectori se obtine regula poligonului. Regula poligonului este ilustratain figura 4b. In acest caz vectorii de adunat sunt pusi "cap la cap", iarvectorul renrltant se obtine unind originea primului vector cu varfulultimului vector.

Daca tinern cont de regula paralelogramului si a poligonului, atuncieste evident ca operatia de adunare vectoriala este asociativa si comutativa,adica

A*B:B*A,

respectiv

(A+B)+C:A+(B+C).

(2)

(3)

(a)

Fig. . (a) regula paralelogramului modificata si (b) regula poligonului deadunare a vectorilor.

1.2.2. Scaderea vectorilor

Diferenta C:A-B dintre doi vectori A si B se defineste cu ajutorulregulei paralelogramului, asa cum este indicat in figura 5. In acest cazvectorul diferenta C are directia de-a lungul diagonalei mici aparalelogramului construit pe vectorii A si B, iar directia este inspre vectorulA. Aplicand teorema lui Pitagora generalizata renrlta pentru modululvectorului diferenta expresia,

iii.l.. iriitril

lrcliiiii:ix:iii:l:iiii.

'l..iii;;!

C2 = A2 + 82 -2AB cosa ,

unde a este unghiul dintre cei doi vectori.

(4)

Fig.5. Regula paralelogramului in cazul operatiei de scaderea a vectorilor.

1.2.3 Operatii de inmultire cu vectori

a) Inmultfuea cu an scalarUn vector poate fi inmultit cu un numar real. Sa consideram un vector

A si un numar real pozitiv, c. Multiplicarea vectoului A cu c senoteazaprin simbolul cA. Marimea vectorului cA este egala cu cA, iar directia sisensul sunt aceleasi cu directia si sensul vectorului A (Fig.6a). Daca numarulc este negativ, vectorul -cA. are sens invers lui A (Fig.6b).

(a)

Fig. 6a. (a) Multiphcarea cu un numar realpozitiy, c ) 0, si (b) cu un numarrealnegativ, c

In ftzicape langa produsul scalar este de foarte multe ori utilizat si unalt produs a doi vectori si anume produsul vectorial. Produsul vectorialdintre doi vectori se simbolizeaza cu "x". Prin definitie produsul vectorialAxB este un vector C perpendicular pe planul format de vectorii A si Bavand marimea :

C--AB sin cr,

unde cr este unghiul dintre vctorii A si B. Sensul vectorului C se determinacu ajutorul regulei surubului drept. Conform acestei reguli sensul lui C seobtine rotind vectorul A , primul factor al produsului, cu unghiul cel mai micspre vectorul B, iar sensul de inaitare al burghiului este chiar sensulvectorului C, asa cum se poate vedea in figura Fig.7a.

O alta modalitate prin care se poate stabili sensul vectorului C esteregula mainii drepte. In acest caz indoim degetele mainii drepte in juruldirectiei perpendiculare pe planul format de vectorii A si B cu degeteleindreptate in directia in care se roteste vectorul A. Sensul vectorului C:AxBeste dat degetul mare al mainii drepte, asa cum este aratat in figura 7.b. Esteusor de observat ca regula mainii drepte deriva din regula surubului drept.Trebuie notat ca din cavza conventiei de sens vectorul AxB este opusvectorului BxA:

AxB=-Bx A.

Astfel, produsul vectorial nu este comutativ.

C:AxB

(6)

7

(a)

7. Regula burghiului drept (a) si regula mainii drepte (b).

6

Fig.

1.3. Componentele unui vector. Reprezentarea analitica a vectorilor.

1.3.1. Versorul unui vectorPrin versorul unui vector A se intelege un vector a care are modului

egal cu unitatea, l"l = t, si are aceiasi directie si sens cu vectorul A. In figura8 este reprezentat vectorul A si versorul sau a. Este evident ca vectorul Apoate fi scris sub forma:

L= Aa, (7)

unde A este modulul vectorului A.In mod similar se definesc versorii i, j, si k ai axelor de coordonate ale

unui sistemCartezianOxyz. Versorul unei axe este un vector al carui moduleste egal cu unitatea si care are directia de-a lungul directiei axei si sensul insensul pozitiv al axei respective, asa cum este aratat in figura 8b.

(a)

Fig. 8. Versorul a al vectorului A (a) si versorii i, j si k a axelor Ox,Oy si Ozale sistemului Cartezian Oxy z.

1. 3. 2. Reprezentar e a v ectorilor intr-un sistem C artezianOperatiile cu vectori pot fi simplificate foarte mult prin utilizarea

componentelor vectorului pe directiile Ox, Oy si Oz ale sistemului CartezianOxyz. Pentru inceput sa consideram on sistem Carteziartbidimensional xOysi un vector A cu originea in originea sistemului de coordonate, asa cum estearatat in Fig. 9a. Conform regulei paralelogramului de adunare a vectorilor,vectorul A poate fi privit ca suma a doi vectori A* si \,

(b)

A:A"*Ar.

Vectorii A. si \ poarta denumirea de componenteledirectiile Ox si, respectiv, Oy. Componentele vectoruluidirectii pot fi scrise sub forma:

A*:Ari si Ar:r4oj,

(8)

vectorului A peA pe cele doua

unde i si j sunt versorii axelor Ox si Oy. Tinand cont de relatia (9), expresia(8) a vectorului A devine:

kA,i+Ayi.

Prin analogie cu cazvl bidimensional, in cantl unui vector(10) devine,

A:A,i+Ari+A,k (1 1)

Fig. 9. Reprezentarca Carteziana a unui vector in plan (a) si in spatiu (b).

Daca consideram ca originea vectorului A este in originea sistemului decoordonate Oxyz, iar varful sau este intr-un punct P de coordonate (*,y,t),atunci relatia (11) poate fi scrise sub forma,

A:xi*yj*zk,

(10)

in spatiu relatia

(e)

(r2)

unde am tinut cont ca Ar:x, Ar:y si A;-2. Trebuie mentionat ca orice vectordin plan sau din spatiu poate fi translatat parulel cu el insusi in asa fel incatoriginea lui sa coincida cu originea sistemului Cartezian considerat . Prinurmare orice vector poate fi scris sub forma generala (1 1) sau (12) . Scnereaunui vector sub forma (11) sau (12) poarta denumirea de reprezentareaanalitica sau Carteziana a vectorului. Reprezenarea analitica prezintaavantajul ca permite reprezentarea unui vector printr-un set de trei numere@*, Ar,A,) sau (*,y,t), care vaiaza de la un vector la altul, si un sistem fixde versori (i, j ,k), care ramane constant indiferent de vectorul reprezentat.Reprezentarea analiticaprezinta avantajul ca reduce operatiile dintre vectorila operatii algebrice obisnuite.

1.3.3. Operatii cu vectori in reprezenturea analitica

l.Operatia de adunare si scadere

Sa consideram doi vectori A si B care intr-o rcprezentare analitica auexpresiile,

L:A*i+Ari* A,li si B:B,i+Brj + B,k.

Suma vectorilor A si B este data de relatia:

C:A - B :( A,i+Ayi+A,k) - ( B,i+Byj+B"k)=(A* - B,.)i + (Ar- ByI+(A, - B,)k.

C:A+B: ( A.i+ Ayj+ A,k) +( B,i+ B yj+ B,k):(AfrB.)i+ (Ay+B)i+(A,+8,)k. (14)

Astfel, componentele vectorului C pe cele trei directii se obtin prin sumareacomponentelor vectorilor A si B pentru fiecare directie in parte,

C1:A1*B1,

unde r:x)yrz.Utilizand relatia (14) se obtine pentru diferenta A-B urmatoarea

expresie:

(13)

( 1s)

9

2. Operatii de inmultire

a).Inmultirea cu un scalarPrin inmultirea unui vector A cu un scalar a rezrrlta un vector aA a

carui componente sunt egale cu componentele vectorului A inmultite cuscalarul a:

aA:aA,i + aArj l-aA,k (13)b. Produsul scalar

Produsul scalar dintre doi vectori orecare A si B se reduce la produsulscalar dintre versorii axelor Ox, Oy si Oz. Astfel,

A.B : ( A,i+Ayi+A,k)( B,i+Byj+Bzk ):: A,B,i.i+ A$yi.j+ A"B;.k+

+ AyB;.i+ Apyi.j+ AyB;.k+ (14)+ A"B*k.i+ A,Byk.i+ AB"k.k.

Tinad cont de tabelull relatia (14) devine:

A.B:A$,+ Afrr+ 4,8,. (15)c. Produsul vectorialIn functie de componentele vectorilor A si B produsul vectorial AxB

poate fi scris sub forma:

Ax B : ( A*i+Ari+A,k) x ( B,i+Brj +B,k): A,ixB,i+ A,ixBrj* A*ixB,k

* ArjxB,i + ArjxBrj * ArjxB,k (16)* A,kxB,i * A,kxBri + A,kxB,k.

Tinand cont de tabelul2 produsul vectorial (16) devine,

AxB : (4fr,- Atsr)i+ (A"8,-A,B,)i+ (A,By-A,B,)k. (17)Este usor de verificat ca membrul al doilea al relatiei (17) reprezintavaloarea determinantului,

10

(AF"- A"Br)i+ (A,8"- A.B^ + Q4fiy- A.B)U:

ijkA, Ay A,B* By B,

ijkAx Ay A,Bx By Bz

, (18)

(1e)

Prin uflnare produsul vectorial poate fi exprimat cu ajutoruldeterminantului (18) in care prima linie este formata din versorii i, j, si lg iarlinia a doua si a treia este formata din componentele vectorului A sirespectiv B:

AxB:

Este evident ca produsul vectorial definit cu ajutorul relatiei (19) esteanticomutativ, AxB:- BxA , deoarece inversarea lui A cu B se traduce prinschimbarea intre ele a doua linii ale determinantului fapt ce duce laschimbarea semnului acestuia.

1l