fizyka dr danuta piwowarska budownictwo inŻynier...

1 dr Danuta Piwowarska FIZYKA

Prowadząca wykłady: dr Danuta Piwowarska

Kierunki : BUDOWNICTWO , INŻYNIER EUROPEJSKI

Forma zaliczenia: Kolokwium zaliczeniowe z wykładów

Kierunek : INŻYNIERIA ŚRODOWISKA , TRANSPORT

Forma zaliczenia: Egzamin

Liczba godzin wykładów: 30

Konsultacje:

wtorek, godz. 15:00-15:45

środa, godz. 12:00-12:45 pok. 612 I.F.

WARUNKI ZALICZENIA PRZEDMIOTU:

• zaliczenie na ocenę pozytywną laboratorium (warunki podaje prowadzący na zajęciach);

• zaliczenie na ocenę pozytywną egzaminu/ kolokwium zaliczeniowego z wykładów z Fizyki.

FIZYKA


Literatura podstawowa:

1. D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, T. 1- 4, Wydawnictwo Naukowe PWN,

Warszawa 2006.

2. J. Masalski, M. Masalska, Fizyka dla inżynierów, cz. I i II, Wydawnictwa Naukowo-

Techniczne, Warszawa 1980.

3. Cz. Bobrowski, Fizyka - krótki kurs, WNT, Warszawa 2003.

4. I.W. Sawieliew, Wykłady z Fizyki T. 1 i 2 , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2003.

5. K.Jezierski, B.Kołodka, K.Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Oficyna Wydawnicza Scripta,

Wrocław 2000.

FIZYKA - GŁÓWNE CZĘŚCI

Część I – MECHANIKA

Część II – ELEMENTY FIZYKI CIAŁA STAŁEGO

Część III – ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ

TEORII WZGLĘDNOŚCI

Część IV – ELEKTRYCZNOŚĆ

Materiały z wykładów: dana.zut.edu.pl


CZYM JEST FIZYKA ?

Fizyka to nauka eksperymentalna

Galileusz zrzucający kule

z krzywej wieży w Pizie

Przykład:

Arystoteles (384-322 pne.), filozof grecki, twierdził, że ciało spada na ziemię tym szybciej im jest cięższe. Było to bardzo popularne aż do późnych lat XVI w.

Dopiero Galileusz -włoski astronom, astrolog, fizyk i filozof, twórca podstaw

nowożytnej mechaniki i astrofizyki. Przeciwstawił się temu twierdzeniu w dość

spektakularny sposób: W tym samym czasie upuścił z wieży 2 kule:

- ciężką kulę armatnią o wadze 80 kg

- i lżejszą kulkę muszkietową o wadze 200 g.

Oba ciała (które miały podobną formę) dosięgły ziemi w tym samym

momencie. Udowodnił, więc, że czas ich opadania jest dokładnie taki sam

(przy zaniedbaniu nieznacznego w tym przypadku efektu wynikłego z tarcia

powietrza).

Dowód ten stanowi jedną z podwalin mechaniki klasycznej.

WN.: W nauce wyniki eksperymentu są zawsze ważniejsze niż autorytet

nawet najbardziej uznawanego i poważanego człowieka.

Galileo Galilei (1564-1642)

Źródłem informacji w fizyce są obserwacje i pomiary.

Fizycy (i inni obserwatorzy) formułują prawa i zasady opisujące przebieg

zjawisk i związki zachodzące pomiędzy mierzonymi wielkościami.


RELACJE W PRZYRODZIE

Prawom ruchu drogowego podlegają wszyscy kierowcy.

Bywa jednak, że któryś z kierowców praw tych nie przestrzega.

Prawu karnemu podlegają wszyscy przestępcy.

Niekiedy jednak przestępcy udaje się uniknąć wymiaru sprawiedliwości.

Prawom fizyki podlegamy wszyscy - zarówno my sami, jak i cała przyroda.

Praw tych nie da się nie przestrzegać, ani uniknąć. Zmiany systemów ekonomicznych

i społecznych nie mają na nie żadnego wpływu.

Wiemy, że prawa i zasady formułują też organizacje międzynarodowe i rządowe, prawnicy,

politycy, ekonomiści...


NIEPRZESTRZEGANIE LUB IGNOROWANIE PRAW FIZYKI- PRZYKŁADY

Wypadek drogowy - nie uwzględnienie:

siły odśrodkowej na zakręcie,

zmiany współczynnika tarcia na mokrej nawierzchni,

zależności energii kinetycznej od kwadratu prędkości,

związku przebytej drogi z prędkością i czasem reakcji,

dodawania się prędkości przy zbliżaniu się pojazdów,

itd..

Mikser - ignorowanie:

Konstruktor zapomniał, że moment siły, to iloczyn siły razy

ramię i kiedy ramię jest małe, to siła może być - ogromna.

Plastykowa rączka nie miała szans obracać cienkiej osi

z mocną sprężyną i po kilkakrotnym użyciu przestała działać.

Wiele innych

Za najważniejsze można uznać te prawa:

których zasięg w świecie jest największy,

które muszą być najściślej przestrzegane.


FIZYKA A ZJAWISKA W PRZYRODZIE – WYJAŚNIJ DLACZEGO…

Dlaczego rower nie przewraca się kiedy

jedzie, a przewraca się - kiedy stoi?

Dlaczego niebo jest niebieskie? Dlaczego woda wrze?

Co sprawia, że samolot wznosi się? Co jest powodem „tęczy"

na płycie kompaktowej?

Czy reaktor jądrowy może wybuchnąć

na podobieństwo „bomby atomowej"?


Według Nowej encyklopedii powszechnej PWN fizyka to nauka przyrodnicza zajmująca się

badaniem ogólnych własności materii i zachodzących zjawisk, a także wykrywaniem ogólnych

praw, którym te zjawiska podlegają.

Fizyka jest podstawową nauką przyrodniczą, której zadaniem jest badanie obiektywnych

własności otaczającego nas świata materialnego i zachodzących w nim zjawisk, gromadzenie

faktów, a przede wszystkim odnajdywanie ich wzajemnej zależności.

Czym zatem jest nauka ?

Czy starożytni Egipcjanie, twórcy piramid byli naukowcami?

Egipskie piramidy Chefrena, Cheopsa i Mykerionosa (patrząc od lewej)

.

CZYM JEST FIZYKA ?


Czym zatem jest nauka …?

Kiedy można mówić o nauce?

Według Henriego Poincarego (1854-1912), naukę tworzy się z faktów, tak jak dom buduje się z

kamieni, ale zbiór faktów nie jest nauką, tak jak stos kamieni nie jest domem. To znaczy, że należy

jeszcze znaleźć powiązania (związki) między faktami.

Dzisiaj mianem nauki określa się gromadzoną przez pokolenia wiedzę o rzeczywistości, spełniającą

warunki prawdziwości, czyli na przykład w naukach przyrodniczych, potwierdzoną doświadczalnie

lub obserwacyjnie. Nauka jest więc efektem zbiorowego wysiłku ludzkości.

Tym między innymi różni się ona od sztuki.

• Gdyby Ludwig van Beethoven nie skomponował swojej

V symfonii, to nie powstałaby ona nigdy.

•Gdyby Albert Einstein nie sformułował teorii

względności, z pewnością uczyniłby to jakiś inny

naukowiec (wzory transformacyjne opracował

Lorentz; H. Poincare był bliski sformułowania STW).


FIZYKA – wokół nas

Już w XVI wieku Galileusz i Francis Bacon stworzyli model//schemat postępowania dający

podstawę metodzie naukowej (rys.). Te schematy nazywamy teoriami fizycznymi.


FIZYKA A ROZWÓJ NAUKI I TECHNIKI

Badania fizyczne

Metoda indukcyjna polega na tym, że wyniki badań poszczególnych zjawisk uogólnia się

stopniowo, przechodząc do sformułowania praw fizycznych. Metodę tę stosuje się głównie w fizyce

doświadczalnej.

Metoda dedukcyjna stosowana jest głównie w fizyce teoretycznej. Punktem wyjścia są pewne

ogólne prawa i zasady. Analiza tych zasad umożliwia przewidywanie nowych zdarzeń i faktów,

pozwala stworzyć nową teorię.

Żadna teoria fizyczna nie może być uznana za ostateczną, dlatego że każda z nich została

potwierdzona tylko w skończonej liczbie doświadczeń. ,

Isaak Newton przewidywał, na podstawie znanych sobie

praw fizyki, że możliwy jest ruch satelitów wokół Ziemi.

Hipotezę tę potwierdzono w XX wieku, gdy w roku 1957

wystrzelono pierwszego sztucznego satelitę Ziemi (rys.).

Teoretycy przewidują możliwość istnienia nowych,

nieznanych dotychczas zjawisk, wskazując

eksperymentatorom kierunki badań. Eksperymentatorzy

zaś dostarczają teoretykom materiału doświadczalnego

do opracowania. Pierwszy sztuczny satelita Ziemi: Sputnik 1


FIZYKA A ROZWÓJ NAUKI I TECHNIKI

Teoria względności

Teorię względności tworzą: szczególna teoria względności,

ogłoszona w 1905 roku, oraz ogólna teoria względności,

ogłoszona w 1916 roku.

Szczególna teoria względności wiąże wyniki pomiarów

położenia i czasu przeprowadzonych w różnych

(inercjalnych) układach odniesienia.

Ogólna teoria względności to relatywistyczna teoria oddziaływań

grawitacyjnych, według której grawitacyjne przyspieszenie ciał jest

spowodowane zakrzywieniem czasoprzestrzeni.

Zgodnie z ogólną teorią względności masa powoduje odkształcenie

czasoprzestrzeni, a odkształcona czasoprzestrzeń wyznacza ruch

poruszających się w niej mas. W konsekwencji w pobliżu masywnych

obiektów przestrzeń się zakrzywia a czas płynie wolniej.

Ugięcie promieni świetlnych

w pobliżu ciała o dużej masie

zakrzywiającego czasoprzestrzeń


Czy teoria względności ma jakieś praktyczne zastosowanie?

• System GPS pozwala na określenie z dokładnością do kilku metrów położenia odbiornika

na powierzchni Ziemi uwzględnia poprawkę relatywistyczną związaną z tym, że czas odmierzany

przez zegary na satelitach tego systemu jest inny niż czas odmierzany przez zegary na Ziemi.

• Aplikacja mobilna pozwala na wyznaczenie trasy podroży pomiędzy dwoma punktami w oparciu o

położenie początkowe i końcowe (z systemu GPS) oraz zapisaną w aplikacji mapę terenu.

Przykładowy iPhone , rodzaj smartfona z funkcją GPS.


Fizyka kwantowa

Laser - nazywany światłem XX wieku – został również odkryty dzięki

pracom w dziedzinie fizyki kwantowej. Podstawą działania każdego lasera

jest zjawisko wymuszonej emisji promieniowania. Teoretyczne podstawy

zjawiska emisji wymuszonej promieniowania

sformułował w latach dwudziestych Einstein. Dopiero w 1960 r.

przewidywania zastosowano w praktyce i uruchomiono pierwszy laser -

rubinowy . Niedługo potem uruchomiono lasery gazowe (np.helowo-

neonowe), a potem półprzewodnikowe (bardzo ważne w telekomunikacji). W mechanice kwantowej

Cząstkę lokalizujemy z określo-

nym prawdopodobieństwem

Laser ekscimerowy (UV) umożliwia usunięcie

tkanki z dokładnością do 0,25 mikrometra

(dla porównania - włos ludzki ma grubość

około 50 mikrometrów).

Fizyka a rozwój nauki i techniki


Fizyka a rozwój nauki i techniki

Odkrycie jądra atomowego i jego własności

Ernest Rutherford, odkrywa w 1911 roku jądro

atomowe.

Podczas reakcji rozszczepienia jąder masa

produktów rozpadu jest mniejsza niż masa

składników przed rozpadem. Różnica mas Δm

może być wyzwolona w postaci energii o wartości:

E = Δmc2

1939 roku Enrico Fermi rozpoczął konstrukcję

pierwszego reaktora jądrowego.

Pierwszą kontrolowaną reakcję rozszczepienia jąder

atomowych przeprowadzono w tym reaktorze

2 grudnia 1942 roku.

W bombie atomowej, zachodzi niekontrolowana

łańcuchowa reakcja rozszczepiania jąder uranu 235U

(lub plutonu).

Korzystając z energii zamkniętej w jądrze atomowym

budujemy elektrownie jądrowe, w których reaktorach

występują kontrolowane reakcje łańcuchowe.

Technika jądrowa to również zastosowanie izotopów

promieniotwórczych w technice (np. wykrywacze dymu) i

medycynie (do diagnostyki i terapii; rezonans

magnetyczny, tomograf komputerowy). Próbny wybuch jądrowy


Laboratoria i narzędzia fizyki współczesnej - CERN

CERN - Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, czyli Europejski Ośrodek Badań Jądrowych


FIZYKA a rozwój nauki i techniki

World Wide Web (WWW), z którego korzysta cały świat - „narodził się" w CERN

Rozwój fizyki:

ustawiczne poszukiwania niekonwencjonalnych rozwiązań,

pokonywanie wciąż nowych barier technologicznych: w elektronice, informatyce, mechanice,

technice wysokiej próżni, niskich temperatur, wysokich ciśnień itd...


1. JEDNOSTKI PODSTAWOWE I UZUPEŁNIAJĄCE UKŁĄDU SI

(ᶩ )

(m )

(t)

( I)

(termodynamiczna)

(T)


DEFINICJE WYBRANYCH JEDNOSTEK FIZYCZNYCH

JEDNOSTKA DŁUGOŚCI – METR

Tab. źródło: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, Podstawy fizyki (PWN)

Zdj. Porównanie rozmiarów Ziemi i Jowisza,

Żr. https://pl.wikipedia.org

Jest to długość drogi, którą światło

przebywa w próżni w czasie równym

1/299792458 sekundy.

W 1791 była to 1/10 000 000 poniższej długości

https://pl.wikipedia.org/wiki/Jowisz


DEFINICJE WYBRANYCH JEDNOSTEK FIZYCZNYCH

JEDNOSTKA MASY – KILOGRAM [kg]

Jest to masa wzorca wykonanego ze stopu platyny i irydu.

*1 kg w przybliżeniu jest to masa jednego litra czystej wody w temperaturze 4°C

Rys. Repliki wzorca znajdują się w rożnych miejscach na świecie, np. (rys) w Narodowym Instytucie

Standaryzacji i Technologii (NIST).

* Na stronie NIST: (https://openstaxcollege.org/l/21redefkilo) zobaczyć propozycje nowych definicji.

https://openstaxcollege.org/l/21redefkilo


JEDNOSTKA CZASU – SEKUNDA (od 1967r.)

Wiele lat (1889 – 1967) sekunda - 1/86400 średniej doby słonecznej.

Od 1967 roku 1 sekunda - czas trwania 9 192 631 770 drgań

atomu cezu 133Cs – tzw. zegar atomowy

Rysunek . Tzw. fontanna atomowa widoczna na zdjęciu ma długość prawie 9 m.

Dzięki zliczaniu drgań atomu cezu zegar atomowy odmierza czas z

dokładnością wyższą niż jedna mikrosekunda na rok

(Źrodło: Steve Jurvetson)


2. MATEMATYCZNY ELEMENTARZ FIZYKA

2.1 Wektory

2.2. Funkcje

2.3. Rachunek różniczkowy

2.4. Całki


Wielkości fizyczne ze względu na ich własności matematyczne:

Rys.Masa młotka jest skalarem, ale jego

prędkość jest wektorem

Rys. źr. Fizyka dla szkół wyższych S. Ling, J.Sanny, W. Moebs

1) Skalarne- mają jedynie wartość, nie zależą od wyboru

układu współrzędnych. Przykłady: masa, objętość, czas,

ładunek, temperatura, praca.

2) Wielkości wektorowe posiadają wartość, kierunek,

zwrot i punkt przyłożenia. Przykłady: prędkość,

przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola, .

Cechy wektora:

1) punkt przyłożenia,

2) wyróżnia pewien kierunek w przestrzeni, (kierunek

prostej, do której wektor jest równoległy),

3) zwrot,

4) wartość bezwzględną (długość wektora, jego wartość

liczbowa, moduł).

Spośród kilku używanych sposobów sygnalizowania, że dany symbol jest wektorem, wybierzemy

jeden - rysowanie strzałki nad symbolem, na przykład p, v, F. Wartość bezwzględną (moduł)

wektora F oznaczamy symbolem |F| albo F .


RACHUNEK WEKTOROWY

3) Tensor , to wielkość do opisania której podajemy macierz współczynników. W

przestrzennym układzie współrzędnych (3–wym.) tensor to 9 liczb nazywanych

współczynnikami.

Rys. źródło: www.slideshare.net/panisson/exploring-temporal-graph-data-with-python-a-study-on-

tensor-decomposition-of-wearable-sensor-data


Rys. Wektor r i jego składowe rx, ry, rz w

trójwymiarowym prostokątnym układzie

współrzędnych

2.1.1. Składowe i współrzędne wektora

W przestrzeni fizycznej, położenie punktu w zadanym układzie odniesienia wyznaczają trzy

współrzędne. Te trzy liczby, oznaczane zazwyczaj x, y i z nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi.

=(x, y, z)

i

j k

W podobny sposób możemy określić dowolny wektor r.

zyx rrrr

Wektory składowe możemy przedstawić w postaci liczb

rx, ry, rz i wektorów jednostkowych ( ). 1 kjizyx

rrr

,,

kji

,,

krrjrrirr zzyyxx

,,

(1.1)

(1.2)

Podstawiając te związki do wzoru (1.1) otrzymujemy:

krjrirr zyx

(1.3)

Znając współrzędne wektora r ,w układzie prostokątnym, jego długość (moduł) obliczymy

ze wzoru: zyx rrr ,,

222

zyx rrrr

(1.4)

RACHUNEK WEKTOROWY


2.1.2. Mnożenie wektora przez skalar

Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych

i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych:

W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych, np.:

Zwróćmy w tym miejscu uwagę na przyjętą konwencję. Wszystkie wektory wyróżnione są w

tekście czcionką wytłuszczoną. Iloczynem wektora a przez liczbę k R nazywamy

wektor c o długości |c|·= |a|·|k| o kierunku zgodnym z

kierunkiem wektora dla k > 0 lub zgodnym z wektorem

a lecz o zwrocie przeciwnym do zwrotu a dla k < 0

(rys).

Rys. Mnożenie wektora przez skalar

Przykład: a = [3; 6; 8], k =2 a⋅k = [3⋅2; 6⋅2; 8⋅2]= [6; 12; 16].

Zwróćmy uwagę, że gdy k = 0, to c = a⋅k = 0 (wektor zerowy)

a nie c = a⋅k = 0 (liczba zero).

RACHUNEK WEKTOROWY


Sumą dwóch wektorów a+b jest nowy wektor c

o współrzędnych:

a+b = c; c = [cx ,cy, cz] = [ax+bx, ay+by, az+bz].

Przykład: a = [3, 6, 8]; b = [1, 4, 5] c = [4, 10, 13].

Rys. Geometryczna suma i różnica wektorów

Różnicą dwóch wektorów a-b jest nowy wektor c

o współrzędnych:

a-b = c; c = [cx, cy, cz] = [ax-bx, ay-by, az-bz].

Przykład: a = [3, 6, 8]; b = [1, 4, 5] c = [2, 2, 3].

Dodawanie i odejmowanie wektorów

Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.

Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna (rys. prawy).

Reguła równoległoboku


Niech dane są dwa wektory niezerowe: i ,

iloczyn skalarny wektorów ( ), to liczba. Można ją otrzymać : ba

Cbabababa

baba

zzyyxx

cos (1.6)

WŁASNOŚCI ILOCZYNU SKALARNEGO:

a) (jest przemienny),

b) =0 , wtedy a b ,

c) .

abba

ba

2aaa

Przykład 1 ( tablica)

Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych.

Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch wielkości

wektorowych jest praca :

2.1.4. ILOCZYN SKALARNY DWÓCH WEKTORÓW

]1[]1[ mNJ

rFW


2.1.5. Jeżeli i , to iloczyn wektorowy ( ) tych wektorów jest

wektorem takim, że:

(1.7)

Długość wektora :

(1.8)

Rys. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem

Wektor jest prostopadły do płaszczyzny

wyznaczonej przez wektory i .

Kierunek jest określony regułą śruby

prawoskrętnej lub regułą prawej ręki (rys).

Przykład (tablica).

Własności iloczynu wektorowego:

a) (nie jest przemienny),

b) jeżeli i różne od zera, a

)( abba

bIIaba

0

ILOCZYN WEKTOROWY


Rys. Wykres funkcji jednej zmiennej y = f(x)

Niech X i Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Jeżeli każdemu elementowi zbioru X

zostanie przyporządkowany jeden i tylko jeden element zbioru Y, to takie odwzorowanie

(przekształcenie) nazywamy funkcją f odwzorowującą (przekształcającą) zbiór X w zbiór Y.

Będziemy to zapisywać w postaci: f: X Y lub y = f(x)

• Każdy element x (zbioru X )nazywamy zmienną niezależną albo argumentem funkcji,

• zaś y (element zbioru Y)- zmienną zależną albo wartością funkcji.

Funkcje mogą być wyrażone:

1) analitycznie, np. y = ax; y=lnx,

2) graficznie, w postaci wykresu,

3) numerycznie, w postaci tablic.

(1.9)

FUNKCJE

Taka krzywa (rys.), może przedstawiać dane

obserwacyjne lub zależność algebraiczną (równanie).

Przykładem pierwszej sytuacji (dane obserwacyjne)

byłby wykres temperatury w pewnym miejscu i czasie

jako funkcja wysokości. Wtedy x oznacza wysokość

ponad powierzchnią Ziemi, powiedzmy w metrach,

a y temperaturę, na przykład w stopniach Celsjusza.

Jeśli dwie zmienne niezależne oznaczymy x i y,

a zmienną zależną - z, zależność funkcyjną zapiszemy

jako z = f(x,y).

Np. temperatura powietrza w danym miejscu zależy nie tylko od

wysokości, ale także od czasu; w czerwcu temperatura będzie

inna niż w styczniu, a w południe inna niż o północy.


RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Podstawowy cel rachunku różniczkowego to opis zmian wartości funkcji pod wpływem ciągłej zmiany

jej argumentu.

POCHODNA FUNKCJI

Niech dwóm argumentom odpowiadają dwie wartości funkcji .

Oznaczmy i .

Niech będzie przedziałem otwartym i funkcja ; .

Jeśli dla pewnego istnieje skończona granica ilorazu różnicowego ( )

dx

dy

xx

xfxfxf

xx

0

00

0

lim'

0xix 0yiy

xxx 0 yyy 0

x

y

)lim'(lub0 x

yy

x

(1.10)

xfy

to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie . . Wartość powyższej granicy

nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie i oznaczamy symbolem .

xfy 0x

Wyrażenie , nazywa się różniczką funkcji , zaś dx różniczką argumentu x.

Obliczanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem.

dxxfdy 0'

0x

xfy


Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji :

(1.11)

Pochodna – granica ilorazu różnicowego. Tangens konta pomiędzy styczną do wykresu funkcji

w punkcie , f(x0) z osią OX. 0x

POCHODNA FUNKCJI

xfy

tgdx

dy

x

y

x

0lim

dy

y

dx

styczna

dy

dx = tg

f(x0)

x0+dx x0 x

y

f(x0+dx)

A

B

Sieczna

AB


POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Funkcja Pochodna Uwagi

C 0

xn nxn-1

sinx cosx

cosx -sinx

tgx

ctgx

lnx x > 0

ex ex

ax axlna a > 0

2

1

cos x

2

1

sin x

1

x


PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO


Przykłady zastosowań w fizyce.

Jeśli funkcja wyraża położenie w zależności od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową.

Druga pochodna położenia (pierwsza pochodna prędkości) jest przyspieszeniem, trzecia

natomiast to zryw.

Przypuśćmy teraz, że mamy daną funkcję f(x) i jej pochodną f'(x). Możemy powtórzyć opisaną

procedurę i obliczyć pochodną funkcji f'(x). Tę nową funkcję nazywamy drugą pochodną i

oznaczamy f"(x). Podobnie określa się trzecią pochodną oraz kolejne. Ze względu na czytelność

zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej).

Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:

DRUGA I DALSZE POCHODNE FUNKCJI


Całkę nieoznaczoną zapisujemy symbolicznie:

Całką nieoznaczoną lub funkcją pierwotną funkcji nazywamy taką

funkcję F(x), której pochodna jest równa danej funkcji , czyli:

xfy xf

)()(')(

xfxFdx

xdF (1.12)

(1.13)

PODSTAWOWE WZORY:

Całka (ang. integral) to termin wieloznaczny i wymagający bliższego określenia, takiego jak całka

nieoznaczona, całka oznaczona, całka niewłaściwa czy całka równania różniczkowego.

Jeśli mówimy po prostu "całka", to zazwyczaj mamy na myśli całkę nieoznaczoną.

2.4.1. Funkcja pierwotna

2.4. RACHUNEK CAŁKOWY ( dodatkowo dla chętnych:)


2.4.2. PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAŁKOWEGO

2.4.3. CAŁKA OZNACZONA


POMIARY I WIELKOŚCI FIZYCZNE

Rozwiązywanie problemów fizycznych – metodologia.

1.Zidentyfikowanie problemu – znalezienie zasad fizycznych

2.Opisanie problemu – szkice, równania

3.Rozwiązanie – matematyczne

4.Sprawdzenie wyniku pod kątem fizycznym


Eksperyment fizyczny wymaga pomiarów, których wynik opisujemy zwykle

liczbami – wielkości fizyczne (np. waga, wzrost).

Niektóre wielkości fizyczne są tak podstawowe, że możemy tylko opisać jak je

mierzyć, np. pomiar : długości, czasu

Inne wielkości zależą od wielkości podstawowych, np. prędkość.

Aby pomiar był wiarygodny, niezbędne jest aby był powtarzalny niezależnie od

miejsca pomiaru.

Pomiary i wielkości fizyczne


Obecnie przy opracowywaniu wyników pomiarów należy stosować się

do zaleceń Międzynarodowej Normy Oceny Niepewności Pomiaru

uzgodnionej w 1995 r. i przyjętej ustawowo w Polsce w 1999 r.

Użyteczne informacje

Niepewności Pomiarowe: http://labor.zut.edu.pl/

"Analiza niepewności pomiarowych",

NIEPEWNOŚCI POMIAROWE

http://labor.zut.edu.pl/fileadmin/niepewnosci_new.pdf


Pomiar – przyporządkowanie danej wielkości fizycznej określonej

wartości liczbowej. Porównanie wielkości fizycznej ze

ściśle określoną wielkością porównawczą tego samego

rodzaju, przyjętą umownie za jednostkę.

POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

Wynik pomiaru:

9,5 0,1 cm

wartość liczbowa niepewności jednostka


Pomiar bezpośredni – porównanie danej wielkości fizycznej z

odpowiednią miarą wzorcową.

Pomiar pośredni – wartość badanej wielkości wyznaczana jest

na podstawie pomiarów bezpośrednich innych wielkości

fizycznych, które są z nią związane znanym prawem fizycznym.

POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH


Błąd pomiaru – różnica pomiędzy wynikiem pomiaru, a rzeczywistą wartością mierzonej

wielkości.

Posługiwanie się w praktyce pojęciem błędu pomiaru nie jest wygodne, ponieważ nigdy

nie znamy rzeczywistej wartości mierzonej wielkości.

l =45,88(0,02) mm;


Przykład 1

Zmierzono suwmiarką (d = 0.1 mm) średnicę pręta. Pomiar

powtórzono 3 razy uzyskując wyniki: d1 = 10.1 mm, d2 = 10.2 mm,

d3 = 9.9 mm. Wyznacz wynik pomiaru i jego niepewność.

d1 10.1

d2 10.2

d3 9.9

średnia 10.0667

uA(d) 0.08819

uB(d) 0.05774

u(d) 0.10541

U(d) 0.21

Wynik pomiaru (bezpośredniego): d = 10.07 (0.11) mm

)1()( 1

2

nn

XX

Xu

n

i

i

A

3)(

XXuB

Niepewność całkowita u(d) powinna uwzględniać

zarówno niepewność typu A jak i niepewność typu B:

2 2

A Bu( d ) u ( d ) u ( d )

• Niepewność standardowa: ocena typu B (pomiary bezpośrednie)

• Niepewność standardowa: ocena typu A (pomiary bezpośrednie)

(odchylenie standardowe dla wartości średniej)


Wybór najważniejszych elementów Międzynarodowej Normy

Oceny Niepewności Pomiarowej

(źródło: http://labor.zut.edu.pl/fileadmin/niepewnosci_new.pdf)

Wielkość Symbol i sposób obliczania

Niepewność

standardowa:

ocena typu A

(pomiary bezpośrednie)

Podstawa: statystyczna analiza serii pomiarów.

Dla serii n równoważnych pomiarów:

, gdzie

Niepewność

standardowa:

ocena typu B

(pomiary bezpośrednie)

Podstawa: naukowy osąd eksperymentatora

(gdy znana jest niepewność maksymalna X)

Niepewność złożona

(pomiary pośrednie)

Dla wielkości

(gdy wszystkie wielkości Xi są nieskorelowane)

Niepewność

rozszerzona

lub

gdzie współczynnik rozszerzenia

)1()( 1

2

nn

XX

Xu

n

i

i

A

n

i

iXn

XX1

1

3)(

XXuB

),...,,( 21 kXXXfY

k

j

jk

j

c XuXXXX

fYu

1

2

2

21 ,...,,)(

)()( XkuXU )()( XkuXU cc

2k


Zlecany zapis wyników pomiaru

Niepewność standardowa:

• g = 9.781 m/s2, uc(g) = 0.076 m/s2

• g = 9.781 (0.076) m/s2

Niepewność rozszerzona:

• g = 9.78 m/s2, Uc(g) = 0.15 m/s2

• g = (9.78 ± 0.15) m/s2

Obowiązuje zasada podawania dwu cyfr

znaczących w niepewności.


Cyfry znaczące i zaokrąglanie

I. Odczytywanie i zapisywanie wyników pomiarów

Cyframi znaczącymi (pewnymi) nazywamy wszystkie cyfry przybliżonej liczby,

z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej różnej od zera cyfry.

Wynik pomiaru zapisujemy z dokładnością do określonej liczby cyfr znaczących

(stosujemy przybliżenie liczby). Do cyfr znaczących należą: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i w

niektórych przypadkach 0.

Zero nie jest cyfrą znaczącą w sytuacji, gdy stosujemy je dla określenia rzędu

wielkości danej liczby (czyli 0 nie jest cyfrą znaczącą w liczbie 0,194 natomiast jest nią

w liczbach 1,03 i 1,30).



Przykład 1. Określanie liczby cyfr znaczących

Aby określić liczbę cyfr znaczących należy zacząć odczytywać liczbę od lewej strony

do momentu, aż natrafimy na pierwszą cyfrę różną od zera. Ta cyfra i każda następna

są cyframi znaczącymi.



Przykład 2.


• m =100,0214 g nieprawidłowo

• m = 100,021(0,0035) g nieprawidłowo

• m = 100,021 kg 3 g nieprawidłowo

• m = 100,02147(0,00352) g prawidłowo

Liczbowa wartość wielkości i jej odchyłki powinny być

wyrażone w jednakowych jednostkach


Przykład 2

Wyznaczono masę i średnicę metalowej tarczy otrzymując następujące

wyniki: m = 80.55 g (m = 0.1 g) i d = 90.1 mm (d = 0.1 mm).

Oblicz moment bezwładności tarczy i jego niepewność.

Wynik pomiaru (pośredniego):

I = 9.143(11)∙10-5 kg∙m2

g kg

m 80.55 0.08055

uB(m) 0.057735 5.7735E-05

mm m

d 90.1 0.0901

uB(d) 0.057735 5.7735E-05

R 45.05 0.04505

uB(R) 0.028868 2.8868E-05

uB(m)/m 0.00071676

uB(R)/R 0.00064079

kg m2

I 9.1429E-05

uc(I) 1.0564E-07

Moment bezwładności tarcz ze wzoru

teoretycznego:


• Wykres wykonuje się ręcznie na papierze milimetrowym, lub przy

pomocy odpowiedniego programu graficznego.

• Na każdej z osi wybieramy taki zakres wartości mierzonej

wielkości, w którym zostały wykonane pomiary. Nie musimy

umieszczać na osiach punktów zerowych.

• Skalę na każdej z osi wybiera się niezależnie a więc nie muszą

być jednakowe. Dążymy do tego, aby wszystkie uzyskane

przez nas punkty pomiarowe zostały umieszczone na

rysunku i były rozmieszczone na całej powierzchni rysunku.

Skalę na osiach układu nanosimy w postaci równo

oddalonych liczb.

• Osie wykresu muszą być opisane (wielkość fizyczna i

jednostka). Rysunek powinien być podpisany.

Zasady sporządzania wykresów (I)


• Punkty na wykresie muszą być wyraźnie widoczne (nie kropki !)

Gdy na jednym wykresie musi być kilka krzywych, punkty na każdej

z nich zaznacza się innym symbolem lub kolorem. Punkty

pomiarowe lub krzywe powinny być podpisane (legenda).

• Na wykres należy nanieść niepewności pomiarowe w postaci

prostokątów lub odcinków.

• Jeśli punkty układają się na linii prostej należy obliczyć jej

parametry metodą regresji liniowej, a następnie ją narysować. Jeśli

punkty nie układają się na linii prostej wykreślamy ciągłą krzywą,

bez nagłych załamań (nie musi ona przebiegać dokładnie przez

wszystkie punkty pomiarowe, bo są one obarczone

niepewnościami). Nie należy łączyć punktów pomiarowych linią

łamaną!

Zasady sporządzania wykresów (II)


Przykłady wykresów

Dobrze Źle

op

ór

ele

ktr

yczn

y


Dziękuję za uwagę !

fizyka dr danuta piwowarska budownictwo inŻynier...

Documents