flexion simple - cours mécanique€¦ · flexion simple i. définition : une poutre est...
TRANSCRIPT
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 1
Chapitre 5 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel
Flexion simple
I. Définition :
Une poutre est sollicitée à la flexion si le torseur associé aux efforts de cohésion de la
partie 2 de la poutre sur la partie 1, peut se réduire en G, barycentre de la section droite
(s) à une résultante contenue dans le plan de symétrie et un moment perpendiculaire à ce
dernier, telle que :
Gcoh =
Gfz
y
Gf
y
G
M
TM
T
0
0
00
1/2
Remarques :
Si Ty=0, on sera en flexion pure et si Ty 0, on sera en flexion simple.
L’effort tranchant donne naissance à des contraintes tangentielles.
Le moment fléchissant donne naissance à des contraintes normales.
II. Moment quadratique d’une section :
II.1. Définition :
Le moment quadratique d’une section par
rapport à un axe contenu dans son plan est par
définition :
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 2
dSySyISS
Oz 22 )( et dSzSzISS
Oy 22 )(
Soit 222 zy
dSSIS
O 22 )( Donc OyOzO III .
Avec OzI : moment quadratique de (S) par rapport à (O, z ) en mm4.
OyI : Moment quadratique de (S) par rapport à (O, y ) en mm4.
OI : Moment quadratique polaire par rapport à (O, x ) en mm4.
y : distance du point M à l’axe (O, z ) en mm
z : distance du point M à l’axe (O, y ) en mm
: Distance OM en (mm).
S ou dS : Élément de surface entourant le point M en mm2.
Moments quadratiques de quelques formes particulières :
II.2. Théorème de Huygens :
. 2dSII Gyoy
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 3
II.3. Décomposition en élément simple :
Soit un système (E) de centre de gravité G composé de n solides (Si) de centre de gravité
Gi alors on peut écrire dans le plan ZYO ,, :
nGYGYGYGYGY IIIII ......321
Et
nGZGZGZGZGZ IIIII ......321
Avec GYI : moment quadratique de (E) par rapport à YG,
iGYI : Moment quadratique de (Si) par rapport à YG,
GZI : Moment quadratique de (E) par rapport à ZG,
iGZI : Moment quadratique de (Si) par rapport à ZG,
Exemple :
On donne :
15
35AG BC=EF=10 mm, AF=100 mm et CD=50 mm
Calculer les moments quadratiques GYI et GZI .
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 4
III. Etude des contraintes normales :
En un point quelconque M, de la section droite (S), la contrainte normale est définie
par :
yI
M
Gz
fz
M
Avec :M : contrainte normale en M due à la flexion.
GzI : Moment quadratique de la section (S) par rapport à l’axe (G, z ).
fzM : Moment fléchissant selon l’axe (G, z ).
y : ordonnée du point M.
En un point M le plus éloigné de l’axe (G, z ), on peut écrire :
max
max
max
max
max
y
I
My
I
M
GZ
f
Gz
f
On pose Vy max
: ordonnée du point le plus éloigné de l’axe (G, z ).
V
I
y
I GzGZ
max
: Module de flexion de la section droite (S).
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 5
Répartition des contraintes dans une section droite :
Remarque :
On remplace une poutre pleine par un
empilage de plaques et on charge l’ensemble ainsi
formé. On constate qu’il se produit un décalage
entre les diverses couches. Il est bien évident que
ce décalage ne peut pas se produire sur la poutre
pleine. Cet empêchement donne naissance à des
contraintes tangentielles.
IV. Condition de résistance :
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale due à la flexion doit rester inférieure
à la résistance pratique à l’extension. On définit la résistance pratique à l’extension Rpe
par le rapport suivant :s
RR e
pe .
Avec Re: résistance élastique à l’extension (MPa).
Rpe : résistance pratique à l’extension (MPa).
s : cœfficient de sécurité.
D'où, la condition de résistance est :
max
max
max pe
Gz
fz
pe R
y
I
MR
V. Concentration de contraintes :
Tout changement brusque de section (rainure, gorge, épaulement) entraîne une
concentration de contrainte (la répartition des contraintes n’est plus linéaire). Dans ce cas
la condition de résistance devient : pethteff RK maxmax
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 6
Avec eff : contrainte effective (MPa).
th : Contrainte théorique sans concentration de contrainte (MPa)
Kt : coefficient de concentration de contrainte relative à la flexion. Kt est donné
par des abaques ou des tableaux (Voir annexes C).
VI. Condition de rigidité :
VI.1. Déformée :
On appelle déformée, la courbe de la ligne moyenne après déformation. A tout point C
d’abscisse Xc, correspond une ordonnée yc représentant la distance du point C avant
déformation au point C’ après déformation. Cette ordonnée yc s’appelle la flèche en C.
On remarque que l’équation de la déformée y est en fonction de l’abscisse x : y = f(x).
On note par y’ et y’’ respectivement les dérivées première et secondaire de la déformée
y(x).
On peut calculer la flèche à partir de l’équation de la déformée par double intégration
de l’équation du moment fléchissant.
L’équation de la déformée est : 𝐸. 𝐼𝐺𝑧. 𝑦"(𝑥) = 𝑀𝑓𝑧(𝑥).
Avec : 𝐸 : module d’élasticité longitudinal (MPa).
𝐼𝐺𝑧 : Moment quadratique de la section (S) par rapport à l’axe (G, z ). (mm4).
𝑀𝑓𝑧: Moment de flexion dans la section (S) selon l’axe (G, z ). (N.mm).
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 7
VI.2. Condition de la flèche maximale :
On calcule la flèche maximale et on vérifie ensuite que cette flèche reste inférieure à
une valeur limite 𝑓𝑙𝑖𝑚 imposée par le type de construction ou les contraintes
technologiques. Soit alors : |𝑦𝑚𝑎𝑥| ≤ 𝑓𝑙𝑖𝑚.
Exemple de la flèche limite 𝑓𝑙𝑖𝑚 : ( l : longueur de la poutre).
500lim
lf
Poutres de bâtiments
1000lim
lf
Poutres de ponts roulants
Remarque :
Ne pas confondre 𝒚 la flèche en un point dans l’équation de la déformée avec 𝒚 la
distance d’un point M à l’axe (G, z ) dans l’expression de la contrainte en un point.
Les efforts tranchants donnent naissance à des contraintes tangentielles qui sont
généralement négligeables devant les contraintes normales.
VII. Méthodes de calculs en flexion :
Il existe deux méthodes de calculs en flexion :
Le calcul de vérification.
Le calcul de détermination.
Organigramme du calcul de vérification :
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 8
Organigramme du calcul de détermination :
Calcul de résistance : max peM R Calcul de détermination : limmax fy
on connaît :
Le moment
fzM
le matériau
(Re et Rpe)
on connaît :
Le moment
fzM
les dimensions
transversales
on connaît :
le matériau
donc Re et Rpe
les dimensions
transversales
on connaît :
l’effort F
le matériau
(module E)
la longueur l
et flim
on connaît :
l’effort T
les dimensions
transversales
la longueur l
et flim
on connaît :
le matériau
(module E)
les dimensions
transversales
la longueur l et
flim
on calcule :
les dimensions
transversales
pe
fzGz
pe
Gz
fz
R
M
y
I
RyI
M
max
max
D’où d ou b et h
on calcule :
Rpe puis Re
maxy
I
MR
Gz
fz
pe
On choisit le
matériau
on calcule :
Le moment de
flexion max qui
peut supporter
l’organe
maxy
IRM Gz
pefz
On détermine Mfz
max
on calcule :
les
dimensions
transversales
on calcule :
le module (E)
On choisit le
matériau
on calcule :
L’effort max
qui peut supporter
l’organe
F ?
On détermine
Fmax
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 9
Exercices d’application
Exercice 1 : (Extrait examen 2015)
On considère une poutre (1) de section constante reposant sur deux appuis situés
respectivement en O et A (Voir figure). Le plan yxO ,, est un plan de symétrie pour la
poutre (1) et pour les forces qui lui sont appliquées. La poutre (1) a une section
rectangulaire de largeur b et de hauteur h. On adopte un coefficient de sécurité s = 3.5.
L’action mécanique exercée sur la poutre (1) est modélisée en B par :
0
)(12001/
yNFB
On donne :
b=30 mm, h=60 mm
L=2000 mm
1. Déterminer les réactions aux points O et A ?
2. Déterminer les équations de l’effort tranchant Ty et du moment de flexion Mfz le
long de la poutre (1) ? Construire les diagrammes correspondants ?
3. Déterminer la valeur et la position de maxyT et de
maxfzM ?
4. Déterminer la flèche yB au point B ?
5. Si Cette poutre est en acier E36 de résistance élastique d’extension Re = 240
MPa et de module de Young E = 2.105 MPa. Vérifier dans ce cas la condition de
résistance et conclure ?
Exercice 2 :
Une poutre (1) de longueur L=500 mm, est encastrée à son extrémité O avec un solide
rigide (2). A l’autre extrémité A de (1), on applique une force F=1000 N et incliné d’un
angle α = 30° avec l’horizontal. (Voir figure).
1. Le torseur des actions mécaniques de (2) sur (1) est de la forme :
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 10
Ro
M
B
1/2 Tel que dans un repère zyxOR ,,, on a :
0
y
x
B
B
B Et
M
M 0
0
Calculer les actions Bx , By et M ?
2. Tracer les diagrammes des efforts de cohésion N, Ty et Mfz de la poutre (1) ?
3. Déterminer les valeurs maximales des efforts de cohésion N et Mfz ?
4. On néglige lors du dimensionnement l’effet de l’effort tranchant Ty, et on
considère que la poutre (1) est de section circulaire de diamètre d. On donne
Rpe=100 MPa : résistance pratique admissible du matériau de (1).
a. Calculer le diamètre minimal d1 si la poutre est sollicitée seulement à la
traction ?
b. Calculer le diamètre minimal d2 si la poutre est sollicitée seulement à la
flexion ?
5. Déduire le diamètre adéquat d de la poutre (1) ?
Exercice 3 : (Extrait examen 2012)
On considère une poutre (1) de section constante en liaison d’encastrement en O avec
le bâti (0) et libre de l’autre extrémité A (Voir figure). Le plan yxO ,, est un plan de
symétrie pour la poutre (1) et pour les forces qui lui sont appliquées. La poutre (1) a une
section rectangulaire de largeur b=25 mm et de hauteur h=100mm.
Cette poutre est soumise aux actions mécaniques extérieures suivantes :
y (N) 800Fet y (N) 1000 21 F
1. Déterminer les inconnus de la liaison encastrement au point O.
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 11
2. Déterminer les équations de l’effort tranchant Ty et du moment de flexion Mfz le
long de la poutre (1). Construire les diagrammes correspondants.
3. Déterminer la valeur et la position de maxyT et de
maxfzM .
4. Déterminer les contraintes normales et tangentielles maxx et de
maxxy .
5. Déterminer l’équation de la flèche y en fonction de l’abscisse x .
6. Déduire la valeur et la position de la flèche maximale.
ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1
A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel Page 12