Florencia Clerici

Vanessa Díaz

Proyecto PMME

Física General 1 – curso 2008

Instituto de Física – Facultad de Ingeniería

Universidad de la República

Objetivo principal Problema y su representación Propósitos del problema Conceptos básicos Ecuaciones del movimiento Resolución del problema Comportamiento al variar los parámetros Interpretaciones de las gráficas

Índice:

Objetivo principal:

Observar que sucede con el movimiento del sistema al variar los parámetros.

Planteo del problema:

Un golero (Juan) patea la pelota hacia adelante y hacia arriba (desde el pasto) con velocidad inicial v0

y un ángulo α respecto a la cancha. En ese instante, un mediocampista (Pedro) que se encuentra a una distancia D delante del golero comienza a correr con velocidad v1 hacia delante.

Representación del problema:

Juan Pedro

V0

V1

Esquema del problema:

v0

y máxima

Juan

α v1

Pedro

D

Propósitos del problema:

La posición final de la pelota con respecto a Pedro.

Ver cuanto tiempo estuvo la pelota en el aire.

Hallar la altura máxima que alcanza la pelota.

Conceptos básicos:

jgta )(

Movimiento de un proyectil

Ecuación de la aceleración (constante)

velocidad en t=0 (v0)

forma un ángulo con la horizontal

Proyectil comienza su vuelo en t=0

jsenvivtv )()cos()0( 00

jvtgiv

)sin()cos((t)v 00

No hay aceleración

Componente horizontal

Velocidad es constante

Componente vertical

Aceleración constante

Velocidad cambia

jtvtg

itvtr

sin

2)cos()( 0

2

0

Origen del sistema de coordenadas

Donde el proyectil comienza su vuelo

x0=y0=0

Ecuaciones del movimiento:

de la pelota respecto a Juan:

jgta

)()(

jvtgiv

)sin()cos((t)v 00

jtvtg

itvtr

sin

2)cos()( 0

2

0

de Pedro respecto a Juan:

0)( ta

ivtv

)()( 1

iDtvtr

)()( 1

Resolución del problema

0)( ty pelota

00 tg

vt

sin2 01 donde:

La pelota llaga al piso

Posición en el eje y es

cero

Resolvemos:

jig

vtr pelota

0

sincos2)(

20

1

jig

Dgvvtr Pedro

0

sin2)( 10

1

Restando obtenemos la posición de la pelota respecto a Pedro:

Dg

vvvtr

)cos(sin2)(' 100

1

g

vt

sin2 01

La pelota estuvo en el aire hasta t=t1

0)( tvy g

vt

sin02

Altura máxima

La velocidad respecto al eje y es cero

t=t2 la pelota se

encuentra en su altura máxima

Resolvemos:

g

vty

2

sin)(

220

2

Posición de la pelota respecto al

eje y en t2

altura máxima

Variación de parámetros: Estudiamos el comportamiento del sistema para

diferentes relaciones entre las velocidades de los jugadores y diferentes ángulos α.

La pelota cae en los pies de Pedro cuando:

0)(' 1 tr

sin2cos

001 v

Dgvv Entonces:

ver imagen

Graficamos la velocidad de pedro en función de la velocidad de la pelota (cuando D=2,0 m):

0

10

20

30

40

50

60

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

velocidad de la pelota (m/s)

velo

cid

ad d

e P

edro

(m

/s)

α=30º α=45º α=60º

v0 v0

v0

D

v1

Interpretación de la grafica:

Graficamos la velocidad de Pedro en función de la distancia a la que se encuentra Pedro de Juan “D” (cuando V0=10m/s):

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

D (m)

velo

cida

d de

Ped

ro (

m/s)

α=30º α=45º α=60º

v0

D

v1

D

v1

Interpretación de la grafica:

Graficamos la velocidad de Pedro en función del ángulo de la velocidad inicial de la pelota (cuando D=2,0m):

-10

-5

0

5

10

15

10 20 30 40 50 60 70 80 90

alfa (grados)

velo

cida

d de

Ped

ro (

m/s

)

V0=5 m/s V0=10 m/s V0=15m/s

v0

v0

v0

v1

v1

v1

D

Interpretación de la grafica:

Dttvt retrasoPedrox 1)(

Pedro comienza a correr luego de que Juan patea

la pelota

ecuación de la posición de la pelota

sigue siendo la misma

ecuación de Pedro cambia

Estudiamos el problema cuando Pedro comienza a correr después de que Juan patea la pelota.

tvtxpelota cos)( 0

ver imagen

Ahora vamos a estudiar que sucede con la altura máxima de la pelota cuando variamos la velocidad inicial y el ángulo que esta forma con la horizontal.

Variación de parámetros:

g

senvty

2)(

220

2

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

velocidad de la pelota (m/s)

altu

ra m

áxi

ma

(m

)

α=30º α=45º α=60º α=90º

Graficamos la altura máxima de la pelota en función de la velocidad inicial (v0)

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

alfa (grados)

altura

máxim

a (

m)

V0=5,0m/s V0=10m/s V0=15m/s

Graficamos la altura máxima de la pelota en función del ángulo de la velocidad inicial (α)

y máxima

y máxima

y máxima

v0

v0

v0

Interpretación de las graficas:

v0

D

v1

volver

y máxima

v0

volver