PREDAVANJA IZ MEHANIKEFLUIDA za studente RGNF-a

Interna skripta, dio 5: Vrtloznotecenje kroz cijevi

Zeljko Andreic

2008.Dozvoljeno je preuzimanje sa web-a i ispis za vlastite potrebe

studenata. Sva ostala autorska prava zadrzavaju autor i RGNF.

2

0.1 Vrtlozno (turbulentno) tecenje kroz cijevi

Slika 1: Kod turbulentnog toka brzina se u svakoj tocki toka nepravilno mijenja i po iznosui po smjeru. Turbulentni je tok u svojoj biti nestacionaran.

Tecenje u prirodi obicno se odvija s tako velikim brzinama da je tok uglavnom vrtlozan.Primjerice za vodu koja tece kroz vodovodne cijevi, prijelaz iz laminarnoga u vrtlozni rezimtoka dogada se vec kod brzina od oko 0,1 cms−1 (cijev promjera 25 mm). Veliki problempri analizi vrtloznoga rezima tecenja predstavlja nepostojanje stalnih strujnica, sto zornopokazuje i ranije opisani Reynoldsov pokus. Strujnice kod vrtloznoga toka su nepravilne,vremenski promjenjive, te medusobno izmijesane i zacvorene. To prakticki onemogucavaanaliticko rjesavanje jednadzbi koje opisuju vrtlozni rezim toka. Da bi se ipak moglo docido kakvih-takvih zakljucaka o ponasanju fluida u ovom rezimu, koristi se vremenskiousred-njavanje fizikalnih velicina koje taj tok opisuju. Tako se umjesto trenutne vrijednosti brzineu nekoj tocki toka (slika 1) koristi vremenski usrednjena brzinu:

~v =1

T

∫ T

0~vdt (1)

odnosno, po komponentama:

vx = 1T

∫ T0 vxdt

vy = 1T

∫ T0 vydt

vz = 1T

∫ T0 vzdt

(2)

Usrednjavanje po vremenu uklanja vremensku ovisnost usrednjene velicine, (srednja vri-jednost ne ovisi o vremenu!) pa tako nestacionarni problem prelazi u stacionarni (slika 2).Naravno, kod koristenja srednjih vrijednosti gubi se informacija o trenutnim vremenskim (iliprostornim vrijednostima, ako se usrednjavanje vrsi preko prostornih dimenzija) vrijednos-tima usrednjene velicine, sto uglavnom nije od presudne vaznosti. Kod proracuna nekogacjevoda uglavnom nas zanima protok koji taj cjevovod mora omoguciti, za sto su dovoljnesrednje vrijednosti brzine, a trenutne brzine toka u pojedinim tockama toka nisu bitne.

0.1: VRTLOZNO (TURBULENTNO) TECENJE KROZ CIJEVI 3

Slika 2: Trenutni profil brzine po presjeku toka (radi jednostavnosti prikazana je samox-komponenta brzine) vremenski je promjenjiv. Usrednjavanjem se dolazi do srednje vri-jednosti brzine, a kaze se da je vrtlozni tok stacionaran ako je profil te srednje vrijednostikonstantan.

Problem vrtloznoga tecenja svodi se dakle na potrebu da se pronade raspodjela srednjevrijednosti brzine na povrsini presjeka toka. Pogledajmo stoga jednu cesticu fluida u blizinistijenke cijevi (slika 3).

Slika 3: U vrtloznom toku cestica fluida ima i komponente brzine okomite na smjer toka.Na slici je prikazana jedna cestica u trenutku kad ju vrtlozenje nosi od stijenke cijevi premanjezinoj sredini.

Kao prvo, postavit ce se koordinanti sustav tako da mu x-os pokazuje u smjer toka,paralelno sa stijenkom cijevi, te da y-os pokazuje prema osi cijevi. Ishodiste ce se staviti nasamu stijenku cijevi. Nakon toga odaberi se neka proizvoljna cestica fluida u blizini stijenkecijevi, na udaljenosti y1 od nje. Neka ta cestica ima x-komponentu brzine vx(y1). Vrtlog cenakon nekoga vremena tu cesticu odnijeti na udaljenost y2 od stijenke cijevi. Brzina toka natoj udaljenosti od stijenke cijevi veca je jer se cestica sad nalazi blize osi cijevi. Uz pomocrazvoja u red brzinu na ovom mjestu povezujemo sa brzinom na mjestu sa kojeg je cesticakrenula:

4

vx(y2) = vx(y1) + ∆ydvx

dy(3)

gdje je:

∆y = y2 − y1 (4)

Zbog inercije cestica tezi zadrzavanju svoje pocetne brzine, pa je sporija od okolnogafluida. Naravno da ce se razlika brzine ponistiti zbog djelovanja viskoznih sila, pa ce cesticabiti ubrzana na brzinu okolnog fluida. Pri tome okolni fluid to ubrzanje osjeca kao silu kojase odupire njegovom toku. U iducem ce se koraku pokusati odrediti iznos te sile.

Neka je y-komponenta brzine koja promatranu cesticu nosi prema sredini toka vy. Akona mjestu gdje se cestica nalazi tok se presijece ravninom okomitom na y-os, cestica ce zbogpostojanja y-komponente brzine proci kroz tu ravninu. Ako na taj nacin u nekom kratkomvremenu dt kroz tu ravninu prema osi cijevi prode masa fluida dmy, maseni protok kroz turavninu (dakle protok u y-smjeru) ce biti:

dQM =dmy

dt= dAvyρ (5)

Zbog ubrzavanja na brzinu vx(y2) dolazi do promjene kolicine gibanja:

d(mv)

dt= dF =

dmy

dt[vx(y2)− vx(y1)] (6)

No, iz jednadzbe (3) se vidi da je razlika brzina na desnoj strani upravo jednaka:

vx(y2)− vx(y1) = ∆ydvx

dy(7)

pa je nastala sila jednaka:

dF = dAvyρ∆ydvx

dy(8)

Tangencijalno naprezanje koje zbog ove sile nastaje odreduje se dijeljenjm sile sa povrsinomna kojoj ona djeluje:

τturb =dF

dA= vyρ∆y

dvx

dy(9)

Nadalje, zbog zakona kontinuiteta (sacuvanja mase), mora ukupni tok u y-smjeru isceznuti,sto znaci da se na nekim mjestima u toku fluid u y-smjeru giba i od osi cijevi prema stijenci.Rezultati mnostva pokusa pokazuju da su kod vrtloznih gibanja putanje cestica fluida pri-blizno kruzne, pa tako istovremeno na jednom mjestu vrtloga neka masa fluida ide premastijenci, a na drugoj strani vrtloga ista masa fluida se udaljava od nje. Ako je gibanje kruzno,srednje vrijednosti x i y komponenti brzine su jednake (radimo sa apsolutnim vrijednostmakomponenti), pa se moze pretpostaviti da je to barem priblizno vrijedi i za opcenitiji slucaj.Ova pretpostavka omogucava da se nade srednja vrijednost brzine vy. Da bi se vidjelokruzenje cestice u vrtlozenju, mora se gibati zajedno sa fluidom, dakle brzinom vx(y1). Toznaci da je srednja vrijednost x-komponente brzine kruzenja jednaka vx(y2) − vx(y1), a poprethodnim zakljuccima je ona jednaka srednjoj vrijednosti y-komponente brzine:

0.2: PROFIL BRZINE KOD VRTLOZNOG TOKA 5

vy = vx(y2)− vx(y1) = ∆ydvx

dy(10)

S pomocu ovog izraza moze se eliminirati y-komponentu brzine iz razmatranja, pa izrazza tangencijalno naprezanje postaje:

τturb = ρ(∆y)2

(dvx

dy

)2

(11)

Kako ce se od sada pa do kraja ovog racuna upotrebljavati iskljucivo srednje vrijednostibrzina, ispustit ce se oznaku za usrednjavanje da bi jednadzbe bile preglednije. Drugimrijecima, simbol v ce od sada oznacavati srednju brzinu (vremenski usrednjenu, a ona se idalje moze mijenjati preko presjeka toka).

Razmatranje se nastavlja uzimajuci u obzir gornju napomenu. Kao prvo, primijetimo daumnozak:

∆y

(dvx

dy

)= vtg (12)

ima dimenziju brzine i naziva se prividna brzina tangencijalnoga naprezanja. Priv-idna zato, sto se ne radi o nekoj izravno mjerljivoj brzini, vec o matematickoj konstrukcijikoja ima dimenziju (a donekle i ulogu) brzine kod razmatranja tangencijalnoga naprezanjau slucaju vrtloznoga toka. Izraz za tangencijalno naprezanje postaje:

τturb = ρv2tg (13)

Iako izgleda da se rijesio problem tangencijalnoga naprezanja, to je samo na prvi pogledtako. Jos uvijek se naime ne zna vrijednost ∆y koja odreduje iznos prividne brzine tangen-cijalnoga naprezanja. Teoretski se ovu velicinu nije uspjelo odrediti, pa se mora posegnutiza rezultatima pokusa, koji se obicno izrazavaju u obliku tzv. iskustvenih (iskustvenih)formula. Iskustvene formule su funkcionalne ovisnosti fizikalnih velicina dobivene trazenjemfunkcija i njihovih koeficijenata koje najbolje odgovraju eksperimentalno dobivenim po-dacima. iskustvene formule dobro opisuju opazeno, ali nemaju teorijske podloge pa se ne znasve fizikalne zakonitosti i procese koji do njih dovode. No, za prakticnu upotrebu, posebnou tehnickim znanostima, iskustvene formule su vrlo korisne i cesto puta nezaobilazne. Dase vratimo nasem problemu, jedna od najcesce koristenih iskustvenih relacija za prividnubrzinu tangencijalnoga naprezanja je Prandtlova relacija:

∆y = ky (14)

pri cemu je pokusima utvrdeno da se k uglavnom krece izmedu 0,36 i 0,42. U teorijskimracunima stoga se uglavnom koristi vrijednost k = 0, 40 (1/k = 2, 5) pa ce se i ovdje koristititu vrijednost.

0.2 Profil brzine kod vrtloznog toka

Kombiniranjem Prandtlove relacije (14) i izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja(12) dobije se:

vtg = kydv

dy(15)

6

sto preslagivanjem i upotrebom vrijednosti k = 0, 40 daje:

dv

dy= 2, 5vtg (16)

odnosno, nakon integracije:

v

vtg

= 2, 5 ln y + C (17)

Nazalost, detaljnija analiza gornje jednadzbe pokazuje da ona ne moze biti tocna. Naimeza stijenku cijevi (y=0!) gdje brzina toka mora biti jednaka nuli, gornji izraz daje beskonacnubrzinu i to u negativnom smjeru! Problem je u tome da se tijekom dosadasnjege razmatranjaradilo kao da turbulentni tok postoji sve do same stijenke. I pokusi i fizikalni argumentigovore nam da to ne moze biti tocno. Naime zbog viskoziteta se fluid na stijenci ”lijepi” zanju, pa uz samu stijenku brzina toka mora biti jako mala, sto znaci da ce tecenje uz stijenkubiti laminarno (Reynoldsov broj je uz stijenku vrlo malen). Tek sa udaljavanjem od stijenkemoze se ocekivati da ce povecanje brzine dovesti do postupnog razvoja vrtloznoga toka, stose detaljnim pokusima zaista i potvrdilo. Stvarna je situacija ilustrirana na slici 4.

Slika 4: Ovisnost brzine vrtloznoga toka u blizini sitjenke cijevi. Uz samu stijenku i daljepostoji sloj fluida koji tece laminarno. Taj sloj naziva se granicni laminarni sloj, a njegovadebljina obicno se oznacava sa δ. Izvan toga sloja strujanje lagano prezali u vrtlozno, unutarsloja koji se naziva zona mijesanja, a tek izvan nje postoji potpuno formiran vrtlozni tok.

Uz samu stijenku, prema tome, uvijek postoji sloj fluida koji tece laminarno. Taj slojnaziva se granicni laminarni sloj. Izvan tog sloja strujanje lagano prelazi u vrtlozno, unutar

0.2: PROFIL BRZINE KOD VRTLOZNOG TOKA 7

sloja koji se naziva zona mijesanja, a tek izvan nje postoji potpuno formiran vrtlozni tok. Ulaminarnom granicnom sloju profil brzine je parabolican, ali se moze aproksimirati pravcem,jer je debljina granicnog sloja daleko manja od polumjera cijevi. S druge strane, u vrtloznomdijelu toka profil brzine je logaritamski. Taj profil u blizini stijenke sijece y-os u tocki yo

u kojoj vrtlozna brzina iscezava. Rjesenje problema sa negativnim vrijednostima koje uzstijenku daje izraz (17) je da od stijenke do tocke B, u kojoj se ova dva profila brzine sijeku,koristi laminarni profil brzine, a od tocke B pa sve do osi cijevi vrtlozni. U stvarnosti jetaj prijelaz postupan (nema loma u profilu brzine koji u ovom modelu imamo u tocki B) iprikazan je crtkanom krivuljom koja ide od tocke A do tocke C. Za racun je pretpostavkaipak dovoljno dobra, pe se nece ici u dodatnu komplikaciju konstrukcije glatke krivulje kojapovezuje tocke A i C. Iz cinjenice da izraz (17) iscezava u tocki yo odredi se konstantaintegracije:

C = −2, 5 ln y◦ (18)

pa je:

v

vtg

= 2, 5 lny

y◦(19)

Ni tocku yo nije moguce odrediti teorijski, pa se opet mora upotrijebiti iskustveni izrazza nju. Tako je za cijevi s glatkim stijenkama (stijenke se smatra glatkima ako je njihovahrapavost toliko mala da ne utjece na tok u cijevi, o cemu ce biti vise rijeci nesto kasnije)yo dan pribliznim izrazom (autor: Nikuradze):

y◦ ≈ 0, 108ν

vtg

(20)

Tu je ν kinematicki koeficijent viskozosti fluida. Izraz za brzinu time postaje:

v

vtg

= 2, 5 lnyvtg

ν+ 5, 56 (21)

a nepoznata je jos brzina tangencijalnoga naprezanja. Da se nekako dode do nje, oznacise prvo maksimalna brzina toka sa vmax. Kako se zna da je brzina toka maksimalna u osicijevi (tj. za y = R, gdje je R polumjer cijevi) moze se iz izraza (21) napisati:

vmax = vtg

(2, 5 ln

Rvtg

ν+ 5, 56

)(22)

v = vtg

(2, 5 ln

yvtg

ν+ 5, 56

)(23)

Oduzimanjem (23) od (22) dolazi se konacno do formalnog izraza za profil brzine (ukojem je vtg jos nepoznat):

v = vmax − 2, 5vtg lnR

y(24)

I ovaj izraz ima problem da uz stijenku cijevi brzina ide u minus beskonacno. No, kakoje tocka (yo) u kojoj brzina vrtloznoga strujanja postaje nula vrlo blizu stijenci cijevi, to cese u iducem koraku zanemariti. Uz pomoc ovog izraza za brzinu formalno ce se izracunatiprotok kroz cijev, pri cemu se trebaograniciti na cijev kruznoga presjeka. U tom je slucajuprotok kroz cijev:

8

Q = 2π∫ R

0v(R− y)dy (25)

Uvrstavanjem izraza za brzinu (24) i integracijom konacno je:

Q = πR2(vmax− 15vtg

4

)(26)

Srednja brzina tecenja (u ovom slucaju brzina toka usrednjena preko povrsine presjekacijevi!) nalazi se iz definicije protoka:

v =Q

A= vmax − 3, 75vtg (27)

Gubici i koeficijent trenja cijevi vezani su izrazom (jedn. ??):

∆p = −λl

4Rh

ρv2

2(28)

No s druge strane, gubici i smicno naprezanje na stijenci takoder su u vezi preko (??):

−dp = τdlO

A=

τ

Rh

dl (29)

pa uz ogranicenje za okrugli presjek cijevi (uz pomoc kojega se doslo i do izraza za srednjubrzinu!) je :

λ = 8τ

ρv2(30)

Ukupno naprezanje na stijenci cijevi, τ , zbroj je naprezanja u laminarnom sloju i naprezanjau vrtloznom dijelu toka. No, kako je laminarni sloj vrlo tanak, a brzine u njemu male, mozese doprinos laminarnoga naprezanja zanemariti i ukupno naprezanje izjednaciti s vrtloznimnaprezanjem. Uz ovu pretpostavku i definiciju prividne brzine tangencijalnoga naprezanja (12) dolazi se konacno i do izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja:

vtg = 0, 353v√

λ (31)

Pomocu ovoga izraza relacije konacno se moze naci veza izmedu srednje i maksimalnebrzine:

v =vmax

1 + 1, 326√

λ(32)

te koeficijent brzine:

β =v

vmax

=1

1 + 1, 326√

λ(33)

Coriollis-ov koeficijent:

δ = 1 + 2, 7λ (34)

a na kraju i profil brzine kod vrtloznoga strujanja kroz cijev:

0.2: PROFIL BRZINE KOD VRTLOZNOG TOKA 9

v = v[1 +

√λ

(1, 326 + 2, 04 log

y

R

)](35)

Provjera pokusima pokazuje da ovaj teorijski profil odgovara onom koji se opaza ustvarnosti, a uz manje promjene koeficijenata slaganje je jos bolje:

v = v[1 +

√λ

(1, 435 + 2, 15 log

y

R

)](36)

Napominje se da male korekcije koeficijenata popravljaju pogreske koje su se u teoret-skom racunu napravile zanemarivanjem malih doprinosa i aproksimacijama pojedinih izrazaiskustvenim formulama.

Preko raspodjele brzine, protoka i veze prosjecne i maksimalne brzine vrtloznoga tokadolazi se i do izraza za koeficijent trenja glatke cijevi (glatkoca stijenke je bila jedna odpretpostavki pod kojima su se izvele sve dosadasnje formule!):

1√λg

= 2 log

Re

√λg

2, 51

(37)

Ovo je tzv. Prandtl-Karmanova formula. Njezin veliki nedostatak je da se mora rjesavatiiterativno, pa se u praksi cesto puta zamjenjuje jednostavnijom Blasiusovom formulom:

λg = 0, 3164R− 1

4e (38)

koja vrijedi ako je Re < 105. Uvrstimo li Blasiusovu formulu u izraz za profil brzine (35),dobija se vrlo jednostavan izraz za profil brzine:

v = vmax

(y

R

) 17

(39)

Slika 5: Karmanov 1/7-ki profil brzine. Za usporedbu je crtkan naznacen i parabolicni profillaminarnoga strujanja.

Ovaj izraz za profil brzine naziva se i Karmanov 1/7-ki zakon. On je prikazan na slici (5).U usporedbi s laminarnim tokom, moze se odmah zakljuciti da je profil brzine vrtloznoga toka

10

znatno ravniji, tj. u najvecem dijelu presjeka brzina toka vrlo malo odstupa od maksimalne,a naglo se smanjuje tek u blizini stijenke cijevi. Upotrebom Karmanova zakona moze sedobiti i jednostavnije izraze za koeficijent brzine i Coriolissov koeficijent:

βg ≈ 0, 84± 0, 04 δg ≈ 1 (40)

¡prema tome kod vrtloznog toka Coriolissov koeficijent u Bernoullijevoj jednadzbi slo-bodno se moze zanemariti. Napominje se da je za formiranje vrtloznog¡ toka, slicno kao ikod laminarnog toka, potrebna odredena duzina toka. Za vrtlozni tok pokusima je ustanovl-jeno da je ona obicno 25 do 40 promjera cijevi kroz koju se tok odvija:

Lturb ≈ 25d− 40d (41)

0.3 Hidraulicka glatkost

Slika 6: Kod hidraulicki glatke cijevi neravnine (hrapavost) stijenke (e) znatno su manje oddebljine granicnoga laminarnog sloja (llam).

Stijenka cijevi nikada nije idealno glatka, vec posjeduje manju ili vecu hrapavost. Ova hra-pavost posljedica je nacina izrade cijevi a najvise ovisi o materijalu stijenke. Kod cijevi kojesu dugo u upotrebi korozija i abrazija stijenke moze znatno promijeniti hrapavost stijenke.Ako je debljina granicnoga laminarnog sloja dovoljno velika, turbulenta jezgra toka neceosjetiti posljedice te hrapavosti. U takvom slucaju kaze se da je cijev hidraulicki glatka(slika 6). Pokusi pokazuju da debljina granicnoga laminarnog sloja ovisi o Reynoldsovombroju i redovito se smanjuje s njegovim povecanjem. Tako je pokusima na glatkim cijevimanustanovljeno da je debljina granicnog laminarnog sloja otprilike dana sljedecim izrazom:

llam = 6, 3d

R78e

(42)

gdje je d promjer cijevi. Tipicna velicina hrapavosti stijenke razlicitih vrsta cijevi danaje u tablici 3.

Pokusi s hrapavim cijevima znatno su tezi jer hrapavost stijenke moze imati razliciteoblike. Zbog toga se cak i kod iste visine neravnina stijenke rezultati mogu znatno razlikovati,ovisno o tome kako te neravnine izgledaju, te kako su rasporedene po stijenci cijevi. No

0.3: HIDRAULICKA GLATKOST 11

Tablica 1: Hrapavost stijenke razlicitih vrsta cijevi (nove cijevi).

vrsta cijevi e (mm)

staklene <0,001

bakrene, plasticne 0,01

celicne valjane 0,1

celicne lijevane 0,5

betonske 2

opci je zakljucak vidljiv i iz formule (42): s povecanjem Reynoldsovog broja (sto za danucijev znaci povecanje brzine toka), debljina granicnoga laminarnog sloja se smanjuje. Toznaci da ce se kod neke brzine debljina granicnoga laminarnog sloja toliko smanjiti da cenajvece neravnine stijenke poceti izvirivati iz njega i tako utjecati na turbulentnu jezgru toka.Opcenito se smatra da se cijev moze smatrati hidraulicki glatkom, ako je visina neravninamanja od jedne cetvrtine debljine granicnoga laminarnog sloja:

llam > 4e (43)

Ako je pak visina neravnina stijenke veca od dvije debljine granicnoga laminarnog sloja,cijev se naziva hidraulicki hrapavom (slika 7):

llam <e

2(44)

Slika 7: Kod hidraulicki hrapave stijenke debljina granicnoga laminarnog sloja znatno jemanja od visine neravnina stijenke.

Nalazi li se odnos debljine granicnoga laminarnog sloja i visine neravnina stijenke izmeduova dva granicna slucaja, govori se o tzv. prijelaznom podrucju (rezimu).

12

0.4 Koeficijent trenja hrapavih cijevi

Za hidraulicki hrapave cijevi pokusi i teorija daju slicne rezultate. Kao prvo, pokazuje seda koeficijent trenja ovisi samo o omjeru e/d, tj. o tzv. relativnoj hrapavosti. Sam koeficijettrenja opisuje se Nikuradzeovom formulom:

1√λh

= 2 log

(3, 715

d

e

)(45)

odnosno

λh =1

4[log

(3, 175d

e

)] (46)

koja vrijedi ako je e > 6l.Nikuradzeova formula pokazuje da je za danu cijev (e/d je konstantan) u hrapavom

rezimu koeficijent trenja konstantan, a ukupni gubici proporcionalni su kvadratu srednjebrzine toka:

∆hh = λhl

d

v2

2g(47)

U prijelaznom podrucju situacija je znatno slozenija jer koeficijent trenja ovisi i o Reynoldsovombroju i o relativnoj hrapavosti, pa se za izracun koeficijenta trenja koriste iskustvene formule,od kojih je najpoznatija Colebrook-Whiteova formula:

1√λh

= −2 log

(2, 51

Re

√λ

+e

3, 715d

)(48)

Njezina velika prednost je ta da ona vrijedi za sve rezime turbulentnog toka, a odstupanjaod eksperimentalnih mjerenja su manja od nekoliko postotaka. Nazalost, ona je iterativna,pa se umjesto nje vrlo cesto koriste razne pojednostavljene formule ili Moodyev dijagramu kojem su graficki prikazani koefcijenti trenja izracunati na osnovi analize tada dostupnihpodataka koju je izveo Moody.

Da bi se jednim grafikonom prikazalo cijelo podrucje Reynoldsovih brojeva koje se po-javljuje u praksi, Moodyev dijagram je crtan u log-log skali. U grafikon je ucrtana familijakrivulja ciji parametar je relativna hrapavost, e/d. Kod odredivanja koeficijenta trenja uzpomoc ovog grafikona potrebno je prvo odrediti Reynolds-ov broj za dani slucaj. Nakontoga se odabire krivulja koja odgovara relativnoj hrapavosti cijevi za koju se trazi koefici-jent trenja, i s nje se, za odredenu vrijednost Reynoldsovoga broja sa osi ordinata ocitavapripadajuca vrijednost koeficijenta trenja.

Preostalo je jos samo da se postavi kriterije za odredivanje o kojoj vrsti tecenja se u danomslucaju radi. Onaj za laminarno tecenje poznat je od ranije, a ostali su postavljeni na osnoviusporedbe debljine granicnoga laminarnog sloja i relativne hrapavosti cijevi. Rezultati susazeti u tablici 2.

0.4: KOEFICIJENT TRENJA HRAPAVIH CIJEVI 13

Tablica 2: Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima.

vrsta toka kriterij

laminarni Re < 2300

turbuletni, glatki 2300 < Re < 12

de

turbuletni, prijelazni 12

de

< Re < 500de

turbuletni, hrapavi Re > 500de

14

Slika 8: Moodyev dijagram (preuzeto od R. Zugaj, Hidrologija). Na apscisi je nanesenReynoldsov broj, a na ordinati koeficijent trenja. Parametar krivulja u grafu je relativnahrapavost, e/d.

0.5: LOKALNI GUBICI 15

0.5 Lokalni gubici

Lokalni gubici su svi gubici koji nastaju na razmjerno maloj udaljenosti zbog promjenapresjeka ili smjera toka u cijevima. Njih izazivaju elementi cijevne armature, primjericekoljena, ventili, suzenja i prosirenja, itd. S obzirom na malu udaljenost na kojoj se ti gubicidogadaju, za potrebe proracunavanja ukupnih gubitaka tretira ih se kao da nastaju tocnona mjestu gdje se dani element armature (tocnije, njegova sredina) nalazi. Drugim rijecima,u takvom racunu zanemaruje se duljina lokalnoga elementa. Analogno formuli za gubitkeu cijevima, lokalne gubitke opisuje se produktom koeficijenta lokalnoga otpora ζ i kvadratabrzine:

∆hl = ζv2

2g(49)

Slika 9: Na mjestima lokalnih gubitaka najcesce dolazi do promjene brzine toka. Za racunskepotrebe uzima se da se brzina v1 skokovito mijenja u brzinu v2 u sredini elementa koji izazivalokalni gubitak (crtkana linija). To fizikalno nije moguce, i u stvarnosti se promjena brzineodvija glatko i postupno na duzini toka koja je nekoliko puta veca od dimenzije samogalokalnog elementa, ali ovu slozenost se kod racunanja zanemari s obzirom na veliku duljinucijevi u odnosu na duljinu samog lokaliteta.

Kako kod lokalnih gubitaka obicno dolazi do promjene srednje brzine toka, mora se znatina koju brzinu se koeficijent lokalnoga otpora veze: na brzinu toka ispred samoga elementakoji taj gubitak izaziva, ili na brzinu iza njega (slika 9). Ako se koeficijent lokalnoga gubitkaodnosi na brzinu ispred samoga elementa, oznacen je indeksom 1, a ako se odnosi na brzinuiza, dobija indeks 2. U slucajevima kad je jedna od ovih brzina toliko mala da se zanemaruje,odnosi se koeficijent lokalnoga gubitka uvijek na onu brzinu koja ne iscezava, a indeks secesto ispusta. Tako primjerice kod utjecanja tekucine u cijev iz velikoga rezervoara je brzinatekucine u samom rezervoaru zanemariva (to je brzina ispred ulaznog otvora u cijev) pa se zataj slucaj uvijek navodi koeficijent lokalnoga gubitka za brzinu u cijevi (iza mjesta nastankalokalnoga gubitka). U skladu s gore navedenim, lokalne gubitke racuna se na sljedeci nacin:

∆hl = ζ1v2

1

2g= ζ2

v22

2g(50)

Redovito se za racun uvijek koriste koeficijenti lokalnog gubitka i brzine iza mjesta nakojem taj gubitak nastaje. Koeficijente lokalnih gubitaka teorijski je uglavnom vrlo tesko

16

odrediti, pa se koriste eksperimentalno izmjereni koeficijenti koji su obicno tabelirani urazlicitim tehnickim prirucnicima, a cesto puta ih navode i proizvodaci elemenata armatureza svoje elemente. Napominje se na kraju da koeficijenti lokalnoga otpora vrijede za izoliranielement, tj. za element ispred i iza kojeg se nalazi ravna cijev duga barem 5-10 duljinasamoga razmatranoga elementa. Nalaze li se dva elementa blize jedan drugome, dolazi domedudjelovanja medu njima i tu se koeficijent otpora za oba elementa zajedno moze odreditisamo pokusom. Slijedi pregled koeficijenata otpora za najcesce koristene elemente cijevnearmature.

0.5.1 Ulazni otvori

Slika 10: Fluid u cjevovod obicno ulazi iz nekog rezervoara, koji je tako velik da se brzinatecenja u njemu moze slobodno zanemariti. Rezervoar osim sto sluzi cuvanju potrebne zalihefluida, ujedno osigurava i konstantan tlak na ulazu u cjevovod.

Fluid u cjevovod najcesce dolazi iz nekoga rezervoara. Funkcija takvoga rezervoara naulazu cjevovoda je dvojaka: da osigura dovoljnu kolicinu fluida za neprekidan rad cjevovoda(ulaz u rezervoar moze imati promjenjiv dotok) te da osigura razmjerno konstantan tlak naulazu u cjevovod. Koeficijent gubitka za ulazni otvor jako ovisi o tome na koji je nacin cijevspojena na rezervoar, tj. kako izgleda rub ulaznoga otvora. U najjednostavnijem slucaju,kada je rub ostar, ulazni gubitak je razmjerno velik, a moze se znatno smanjiti zaobljavanjemrubova ulaznoga otvora (slika 11). Umetanje ulazne cijevi u unutrasnost rezervoara (prim-jerice kada se na njen kraj jos dodatno ugradi zastitna mrezica) znatno povecava ulaznegubitke (slika 12).

0.5: LOKALNI GUBICI 17

Slika 11: Zaobljavanje rubova ulaznoga otvora tako da slijede oblik strujnica fluida koji ulaziu cijev moze znatno smanjiti ulazne gubitke. Na ovaj nacin se koeficijent ulaznoga otporamoze smanjiti ispod 0,01. Potreban oblik zaobljenja moze se naci u tehnickim prirucnicima.

Slika 12: Umetanje ulazne cijevi u unutrasnjost rezervoara povecava koeficijent ulaznogaotpora na 1,0. Stavlja li se na ulaz cijevi jos i zastitna mrezica ili resetka, koeficijent ulaznogaotpora moze biti i znanto veci od 1,0.

Tablica 3: Koeficijenti ulaznoga otpora za razlicite oblike ulaznih otvora.

oblik otvora ζ2

ostar rub, na stijenci rezervoara 0,5

zaobljen rub (R=0,05D), na stijenci rezervoara 0,22

zaobljen rub (R=0,2D), na stijenci rezervoara 0,03

zaobljen rub, slijedi strujnicu, na stijenci rezervoara 0,01

ostar rub, ulazna cijev u rezervoaru 1

18

0.5.2 Dijafragme i sapnice

Slika 13: Dijafragma je ravna metalna ploca sa okruglom rupom u sredini koja se stavlja utok.

Dijafragme se stavljaju u tok na mjestu gdje je lokalno potrebno povecati brzinu toka.Smanjivanje presjeka toka znatno povecava gubitke pa dolazi i do ogranicavanja protoka.Dijafragma se opisuje omjerom povrsine slobodnoga otvora i ukupne povrsine presjeka tokaispred dijafragme:

m =A2

A1

(51)

Tablica 4: Koeficijenti ulaznog otpora za dijafragmu.

m 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

ζ1 81 16 5,4 2,3 1,0 0,44 0,2

Dijafragme zbog vrtlozenja uz ostre rubove otvora proizvode velike gubitke. Zato seumjesto njih cesto puta koriste sapnice. Kod sapnica su rubovi otvora zaobljeni tako dasu gubici sto je moguce manji. Postoji nekoliko oblika zaobljenja, no najcesce se korististandardizirani oblik koji se po standardu unutar kojeg je opisan naziva sapnica po ISOstandardu (slika 14).

Tablica 5: Koeficijenti ulaznoga otpora za sapnicu izradenu po ISO standardu.

m 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

ζ1 81 16 5,4 2,3 1,0

0.5: LOKALNI GUBICI 19

Slika 14: Sapnica je dijafragma s posebno zaobljenim (fino hidraulicki oblikovanim) rubovimakako bi se gubici sveli na minimum.

20

0.5.3 Suzenja

Slika 15: Naglo suzenje izaziva jako vrtloznje na mjestu suzenja i tzv. kontrakciju (suzenje)mlaza kod koje je presjek stvarnoga toka manji od fizickoga presjeka cijevi.

U slucaju nagloga suzenja dolazi do jakoga vrtloznja na mjestu suzenja. Zbog ostrihkuteva rubne strujnice ne mogu slijediti oblik suzenja i odvajaju se od stijenke, a u prostoruizmedu stijenke i rubne strujnice dolazi do jakoga vrtlozenja ili cak i kavitacije (kavitacija jepojava nagloga isparavanja tekucine na mjestima gdje je ukupni apsolutni tlak toliko malida je usporediv s tlakom para tekucine). To su obicno mjesta gdje je brzina toka velikaili se naglo mijenja. Kavitacija izaziva velike sile i ubrzano ostecivanje stijenki cijevi pa semora izbeci ako je to ikako moguce. Neime, na mjestu gdje je apsolutni tlak toliko nizak daje usporediv s tlakom para tekucine dolazi do isparavanja i stvaranja mjehurica pare. Kadtakav mjehuric nosen strujanjem dode na mjesto veceg tlaka, naglos e zgusnjava i ponovnopretvara u tekucinu. To dovodi do vrlo velikih promjena tlaka na tom mjestu (tlacni udarreda velicine 104 Bara) koji osteccuje i najcvrsce materijale.

Kod ostrih rubova prijelaza uvijek se javlja i tzv. kontrakcija mlaza, tj. presjek stvarnogtoka manji od fizickog presjeka cijevi. Kontrakcija mlaza opisuje se koeficijentom kontrakcijeµ:

µ =As

A2

(52)

Koeficijent kontrakcije mlaza obicno se ne moze tocno proracunati pa se koeficijent gu-bitaka odreduje eksperimentalno.

Kod proracuna brzine u kontrahiranom mlazu, faktor kontrakcije ulazi u racun prekojednadzbe kontinuiteta, ali se ne vidi u koeficijentu otpora jer je on vezan za brzinu, a nepresjek. Medutim, u dijelu literature se faktor kontrakcije ukljucuje u koeficijent otpora, pakod koristenja literature na to treba obratiti pozornost. U slucaju da je faktor kontrakcijeukljucen u faktor otpora, racun brzine provodi se kao da kontrakcije nema (drugim rijecima,racuna se brzina u cijevi dovoljno daleko nizvodno od mjesta promjene presjeka, kad tokopet ispunjava cijelu cijev).

Otupljivanje ostrih rubova smanjuje gubitke i do 50%, a zaobljavanje i do 75% (slika 16).Da bi se izbjegli gubici kod suzenja cijevi, izraduju se tzv. postupna suzenja (konfuzori).

Radi se o konusnom dijelu cijevi sa malim vrsnim kutem. Kod konfuzora gubici dolaze samood trenja pa su jako maleni. Kod malih kutova (ispod 30o) ih se u cjelosti zanemaruje. Akoje kut veci od 60o prijelaz se vise ne moze smatrati postupnim.

0.5: LOKALNI GUBICI 21

Slika 16: Otupljavnaje ili zaobljavanje rubova naglog suzenja bitno smanjuje gubitke.

Slika 17: Konfuzor je konicni dio cijevi sa vrsnim kutem φ manjim od 60o.

22

Tablica 6: Koeficijenti gubitka za naglo suzenje.

m 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8

ζ1 41 9,4 1,8 0,54 0,16

Tablica 7: Koeficijenti gubitaka za konfuzor.

φ 30o 45o 60o

ζ2 0,02 0,04 0,07

0.5: LOKALNI GUBICI 23

0.5.4 Prosirenja

Slika 18: Naglo prosrenje takoder izaziva jako vrtloznje na mjestu prosrenja.

Kod nagloga prosirenja hidrauliki gubici su prilicno veliki. No, u ovom slucaju, njihje moguce tocno teorijski proracunati pa se gubici kod nagloga prosrenja nazivaju Bourda-Carnotovi gubici. Oni se mogu izracunati uz pomoc Bourda-Carnotove formule:

∆hl =(∆v)2)

2g(53)

gdje je ∆v = v1 − v2 promjena brzine do koje dolazi kroz prolaska kroz suzenje. Koefici-jenti gubitaka takoder se mogu tocno izracunati:

ζ1 =(

A1

A2− 1

)2

ζ2 =(

A2

A1− 1

)2 (54)

Kao i kod suzenja, gubici se smanjuju izradom postepenih prosirenja, koji se nazivajudifuzori. Tu je problem da kod kuteva vecih od oko 30o dolazi do odvajanja toka od stijenkei nagloga povecanja gubitaka, pa su difuzori obicno prilicno dugi. Za proracun gubitakakoriste se eksperimentalno dobivene priblizne formule:

LA2−A1

≈ 4...8 ζ1 ≈ (0, 4...0, 25)[1−

(A1

A2

)2]

LA2−A1

> 8 ζ1 ≈ (0, 2)[1−

(A1

A2

)2] (55)

u kojima je L duzina difuzora.

24

Slika 19: Difuzor je konicni dio cijevi sa vrsnim kutem φ manjim od 30o, a opisuje se svojomduzinom i vrsnim kutem.

0.5: LOKALNI GUBICI 25

0.5.5 Venturijeva cijev

Slika 20: Venturi-jeva cijev kombinacija je konfuzora i difuora i sluzi za lokalno povecanjebrzine toka.

Ako je na nekom mjestu potrebno povecati brzinu toka, npr. radi mjerenja protoka,ili snizenja tlaka, koristi se Venturi-jeva cijev. Koeficijent gubitaka i ovdje se odredujepokusima, a neki primjeri navedeni su u tablici 8.

Tablica 8: Koeficijenti gubitka za Venturijevu cijev.

m 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

ζ1 17 7 3 2 1 0,5 0,3

26

0.5.6 Ventili

Ventilima se regulira protok ili potpuno zatvaraju/otvaraju pojedine grane cjevovoda. Kakose radi o elementima slozene geometrije i kod njih se koeficijenti otpora moraju odreditipokusima. Oni se za odredenu vrstu/tip ventila prikazuju graficki ili tabelarno u ovisnostio nekom parametru koji opisuje koliko je taj ventil otvoren (obicno omjer otvorene i cijelepovrsine presjeka toka na mjestu ventila). Za racunsu obicno najvazniji minimalni gubici,koji nastaju kad je ventil potpuno otvoren, a oni znatno ovise o konstrukciji ventila.

Tablica 9: Minimalni koeficijenti otpora za razne konstrukcije ventila.

tip konstrukcije ζ1

standardni ventil za vodu (slavina) 0,6-3,9

zasun 0,05

kuglasti ventil 0,05-0,1

0.5: LOKALNI GUBICI 27

0.5.7 Koljena i lukovi

Slika 21: Ostra koljena (izrada od zavarenih cijevi) se izbjegavaju zbog vecih gubitaka, pase u izradi cjevovoda uglavnom koriste zaobljena koljena. Upotrebom lukova (koljena savelikim polumjerom zakrivljenosti) moze se koeficijent gubitaka smanjiti do oko 0,2.

0.5.8 Filteri i resetke

Za uklanjanje krutih cestica iz toka fluida sluze filteri i resetke u razlicitim izvedbama.Oni uglavnom sluze za zastitu cjevovoda i uredaja prikljucenih na njega od tih cestica, iliprociscavanju samog fluida kad je to potrebno (npr. uklanjanje prasine iz zraka u sustavuklimatizacije). Vecina tih elemenata izaziva vrlo velike gubitke kao sto je to vidljivo iz tablice10.

Tablica 10: Tipicni koeficijenti otpora za razne vrste filtera.

tip konstrukcije ζ1

zastitna resetka) 0,1-2,5

rijetko platno (gaza) 2-25

gusto tkanje (platno) ili filter papir 100-800

0.5.9 Racve i spojnice

Kod grananja ili spajanja tokova takoder dolazi do gubitaka. U oba slucaja gubici oviseo kutu racvanja (spajanja) i presjecima toka ispred i iza grananja. Pokusi pokazuju da sukoeficijenti gubitaka kod racvanja obicno izmedu 0,5 i 1,5,a kod spajanja iznedu 0,05 i 3.

28

0.5.10 Izlazni otvori

Kod izlaznih otvora se u vecoj ili manjoj mjeri primijecuje kontrakcija mlaza, a ukupnigubici ovise o obliku samoga otvora. Neki od tipicnih slucajeva (svi pretpostavljaju otvorekruznoga presjeka!) prikazani su na sljedecim slikama:

Slika 22: Ovisno o obliku i izvedbi izlaznoga otvora, gubici na njemu mogu biti razliciti. Uslucajevima s ove slike oni su zanemarivi.

Slika 23: Kod otvora na samoj stijenci rezervoara, ili kratkih izlaznih cijevi, lokalni gubicimogu biti znatni, a kontrakcija mlaza je uvijek prisutna.

0.5: LOKALNI GUBICI 29

0.5.11 Izlazna energija

Na kraju cjevovoda fluid najcesce slobodno istjece u okolni prostor. Preostala energija kojuon sa sobom nosi s gledista cjevovoda takoder predstavlja gubitak koji se naziva izlaznaenergija. Kako fluid kod napustanja cjevovoda sa sobom odnosi ukupnu preostalu energiju,uz uvjet da se istjecanje odvija na atmosferskom tlaku, gubitak za cjevovod je jednak tojenergiji:

∆hi =v2

i

2g(56)

Izlazni gubitak uvijek se veze na brzinu na mjestu istjecanja, pa je koeficijent gubitaka(za brzinu ispred, tj. ζ1) jednak 1, a Bernoullijeva jednadzba za cijeli sustav (istjecanje uokolnu atmosferu!) glasi

v2ul

2g+

pul

ρg+ zul =

v2iz

2g+ ziz + ∆hu (57)

To znaci da na ulazu u cjevovod mora postojati energetska visina jednaka ukupnimgubicima u sustavu:

∆hu =v2

ul

2g− v2

iz

2g+

pul

ρg+ zul − ziz (58)

Ova energija jednaka je tlacnoj visini na ulazu (ako teucina ulazi u cjevovod iz rezervoara),nadtlaku u zatvorenom rezervoaru ili ulaznom tlaku koji proizvodi neki uredaj, npr. pumpai sl.

Slika 24: Kod horizontalne cijevi konstantnoga presjeka izracun izlaznih gubitaka vrlo jejednostavan.

Primjerice, kod horizontalne cijevi konstantnoga presjeka izlazna brzina jednaka je ulaznoj,pa je ulazna energetska visina jednaka tlacnoj visini na ulazu (slika 24):

∆hu =pul

ρg(59)

30

0.6 Zbrajanje otpora

Slika 25: Otpori pojedinih dijelova cjevovoda su aditivni, tj. zbrajaju se kako idemo u smjerutoka.

Ukupni otpor cjevovoda jednak je zbroju svih otpora njegovih dijelova, a suma se obicnorazdvaja na sumu svih gubitaka u cijevima i na sumu svih lokalnih gubitaka:

∆hu =∑

i

λili2ri

v2i

2g+

∑

j

ζj

v2j

2g(60)

Grananja i spajanja cjevovoda pretstavljaju dodatnu slozenost. U takvim situacijamamora se racunati ukupni otpor svaje pojedine grane, a onda se ukupni otpori zbrajaju uskladu s Kirchofovim zakonom zbrajanja za paralelne otpore:

1

∆hu

=∑

i

1

∆hi

(61)

Slika 26: Ukupni otpori pojedinih grana cjevovoda moraju se zbrajati po Kirchofovom za-konu.

Kod proracuna otpora cjevovoda u kojem postoji grananje/spajanje, prvo se racunaukupni otpor do mjesta grananja, a zatim ukupni otpori pojedinih grana. Nakon toga seprimjenom Kichofova zakona izracuna zajednicki otpor svih grana koji se pribraja ukupnom

0.6: ZBRAJANJE OTPORA 31

Slika 27: Ukupni otpor svih grana cjevovoda se nakon njegovoga izracuna po Kirchofovomzakonu pribraja otporu dijela cjevovoda ispred mjesta grananja.

otporu cjevovoda ispred mjesta grananja. Tako se postupa u svakoj tocki grananja ili spa-janja, a postupak moze biti vrlo slozena. Danas se slozeniji problemi ovog tipa rjesavajuupotrebom racunalnih programa.