flujo de carga factorizado en coordenadas...

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Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Grado

Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales

Flujo de Carga Factorizado en Coordenadas

Cartesianas

Autor: Jose Manuel Ruiz Oltra

Tutores: Catalina Gómez Quiles

Antonio Gómez Expósito

Dep. de Ingeniería Eléctrica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

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Proyecto Fin de Grado

Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales

Flujo de Carga Factorizado en Coordenadas

Cartesianas

Autor:

Jose Manuel Ruiz Oltra

Tutores:

Catalina Gómez Quiles

Profesor Contratado Doctor


Catedrático de Universidad

Dep. de Ingeniería Eléctrica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

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Proyecto Fin de Grado: Flujo de Carga Factorizado en Coordenadas Cartesianas

Autor: Jose Manuel Ruiz Oltra

Tutores: Catalina Gómez Quiles


El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2015

El Secretario del Tribunal

AGRADECIMIENTOS

Llegado a este punto, me gustaría agradecer primero la gran disponibilidad, ayuda y consejo que he recibido

durante todo el curso por parte de mis tutores, Cati y Antonio, sin olvidar todo lo que he aprendido gracias a

ellos. También agradecerles que me hubieran escogido para llevar a cabo todo este trabajo, del cual estoy muy

satisfecho y contento.

Agradecer a todo el personal docente de la Escuela Superior Técnica de Ingeniería de Sevilla toda la atención y

ayuda prestada durante estos cuatro años de aprendizaje, sin ella nada de esto habría sido posible. Me gustaría

no olvidar dar las gracias a los servicios de la escuela que también han aportado su granito de arena, y por último

y no por ello menos importante, gracias a mi familia y amigos por su gran apoyo y compañía.

Jose Manuel Ruiz Oltra

Sevilla, 2015

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vii

RESUMEN

En este proyecto se presenta el ‘Flujo de cargas factorizado en coordenadas cartesianas’ (FLFRC) que es un

método distinto al tradicional flujo de cargas resuelto por el método de Newton-Raphson, siendo su predecesor

el ‘Flujo de cargas factorizado’ (FLF), cuya formulación está escrita en coordenadas polares. El FLFRC se trata

de un método completamente nuevo que nunca se había implementado, hasta ahora, extrayéndose de él varias

conclusiones muy interesantes.

En este trabajo se hará un breve recorrido por los métodos convencionales de resolución del problema del flujo

de cargas, se describirán y se mostrarán las principales ventajas del citado FLF y, como núcleo del proyecto y

novedad, se presentará y se analizará detalladamente el FLFRC.

Para ilustrar todo lo anterior se expondrán breves y detallados ejemplos de aplicación directa de los métodos

factorizados en sistemas muy simples, se resumirán de forma esquemática las fases de programación que se han

llevado acabo y se expondrán y analizarán los resultados obtenidos de aplicar el FLFRC a cinco redes de distintos

tamaños, desde una red pequeña de transporte de 14 nudos, hasta la red de transporte del verano de 2008 de

Polonia constituida por 3012 nudos, obteniendo resultados muy interesantes. También se verá un ejemplo de

una posible aplicación muy prometedora del FLFRC, la cual consiste en determinar los nudos o zonas más

críticas de una red y se concluirá analizando parte del trabajo futuro que ofrece la implantación de este método.

ÍNDICE

Agradecimientos vi

Resumen vii

Índice viii

Índice de Tablas ix

Índice de Figuras x

1 Introducción 1

2 Solución convencional del flujo de cargas 2 Método de Newton-Raphson 5 Formulación 6

2.2.1 Formulación en polares 6 2.2.2 Formulación en cartesianas 8

Límites de reactiva en nudos PV 10

3 Solución factorizada en polares 11 Formulación 11 Algoritmo de resolución 13 La importancia del perfil de tensiones inicial 16

4 Solución factorizada en cartesianas 21 El riesgo de los logaritmos de complejos de parte real negativa 21

4.1.1 Identificación del problema 21 4.1.2 Offset como solución 22

Formulación 23 4.2.1 Formulación con offset 23

Algoritmo de resolución con offset 30 Límites de reactiva en nudos PV generalizada 33

5 Entorno de programación 34

6 Resultados 36 Tablas comparativas para distintas redes 36 Cuenca de atracción del FLFRC para el caso ejemplo de dos nudos 39 Comportamiento del FLFRC ante la variación de distintos parámetros 40 Análisis del número de iteraciones usando mapas de colores 43 Ejemplo de aplicación del FLFRC 46

7 Conclusiones 52

8 Trabajo futuro 53

Anexo 54 FLFRC: Formulación sin offset 54 Demostraciones 61 Otras figuras 64

Referencias 70

ix

ix

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Expresiones para los términos del jacobiano en la formulación polar 7

Tabla 2. Expresiones para los términos del jacobiano en la formulación rectangular 9

Tabla 3. Pimer análisis del FLFRC ante casos bases de distintas redes 36

Tabla 4. Iteraciones y tiempo de cálculo para el caso base 37

Tabla 5. Iteraciones y tiempo de cálculo para el límite de máxima cargabilidad 37

Tabla 6. Iteraciones y tiempo de cálculo en el límite de máxima cargabilidad con límites de reactiva 38

Tabla 7. Comparación de cargas máximas de convergencia entre el FLF y el FLFRC 38

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Estados de un sistema eléctrico según su seguridad 1

Figura 2. Algoritmo de resolución del FLF 15

Figura 3. Sistema de 2 nudos (versión 1) 16

Figura 4. Región de atracción con el método de Newton-Raphson 17

Figura 5. Región de atracción con FLF 17

Figura 6. Evolución de la tensión en nudos PQ en un sistema de 14 nudos ante caso factible,

empezando desde 𝑈0 = 𝐾0 = 1 + 𝑗0.0001 18

Figura 7. Evolución de la tensión en nudos PQ en un sistema de 14 nudos ante caso factible,

empezando desde 𝑈0 = 𝐾0 = 0.5 + 𝑗0.5 19

Figura 8. Evolución de la tensión en nudos PQ en un sistema de 14 nudos ante caso infactible,

empezando desde 𝑈0 = 𝐾0 = 1 + 𝑗0.0001 para 𝜆 = 4.2 19

Figura 9. Evolución de la tensión en nudos PQ en un sistema de 14 nudos ante caso infactible,

empezando desde 𝑈0 = 𝐾0 = 0.5 + 𝑗0.5 para 𝜆 = 4.2 20

Figura 10. Sistema de 2 nudos (versión 2) 27

Figura 11. Algoritmo de resolución del FLFRC 32

Figura 12. Nudo fuera de límites de reactiva 33

Figura 13. Fases de la programación 35

Figura 14. Región de atracción con FLFRC 39

Figura 15. Comportamiento de la componente e para un sistema de 14 nudos 40

Figura 16. Comportamiento de la componente f para un sistema de 14 nudos 40

Figura 17. Evolución del residuo para el caso base de una red de 14 nudos 41


Figura 19. Aplicación de distintos perfiles ante la evolución de la carga para la red de 14 nudos 42


Figura 21. Iteraciones frente a la variación de la semilla imaginaria y la carga en la red de 14 nudos 43


Figura 23. Iteraciones frente a la variación del offset y la carga en la red de 14 nudos 45


Figura 25. Aplicación del FLFRC para determinar nudos críticos (versión 1) 48

Figura 26. Aplicación del FLFRC para determinar nudos críticos (versión 2) 51






xi

xi








1

1

1 INTRODUCCIÓN

omo se explica en [1] el problema conocido como flujo de cargas (load flow o power flow en lengua

inglesa) consiste en obtener las condiciones de operación en régimen permanente de un sistema de energía

eléctrica. Más concretamente, dados los consumos en cada nudo, y la potencia generada por los

alternadores, se trata de encontrar las tensiones en los nudos y los flujos de potencia por las líneas y

transformadores.

Sin duda alguna, la rutina del flujo de cargas es la más empleada por los ingenieros involucrados en la

explotación y planificación de los sistemas de potencia, bien como aplicación independiente o como subrutina

de aplicaciones más complejas (estabilidad transitoria, colapso de tensiones, problemas de optimización,

simuladores de entrenamiento, etc.).

En la operación diaria, constituye la base del análisis de seguridad del sistema o análisis de contingencias. Esta

herramienta se ejecuta periódicamente para identificar posibles problemas de sobrecargas o tensiones

inaceptables, como consecuencia de la evolución de la carga, o cuando ocurre algún cambio brusco (inesperado

o programado) en la topología de la red. En la planificación, permite simular el estado en que se encontrarán los

distintos escenarios que se están analizando ante una demanda estimada. En la siguiente figura (Figura 1) se

especifica los posibles estados de un sistema eléctrico en función de la seguridad, en el que la aplicación del

flujo de cargas es vital para analizar cada estado, ya sea de manera preventiva o correctiva.

El flujo de cargas consta básicamente de dos etapas: la primera y más decisiva consiste en obtener las tensiones

complejas en todos los nudos eléctricos. Para este propósito no es posible utilizar las herramientas

convencionales de análisis de circuitos lineales, porque las restricciones de contorno no se especifican en

términos de impedancias (cargas) y fuentes de tensión (generadores) sino de potencias, lo cual conduce a un

sistema no lineal de ecuaciones. La segunda etapa consiste simplemente en el cálculo de todas las magnitudes

de interés, como flujos de potencia activa y reactiva, pérdidas, etc., lo cual es inmediato.

Una de las claves del éxito que tuvieron los programas de flujos de carga a comienzos de los setenta fue la

introducción de técnicas numéricas eficientes para la solución de grandes sistemas de ecuaciones lineales. Estas

técnicas, desarrolladas por ingenieros eléctricos específicamente para resolver este problema, marcaron un hito

fundamental en el análisis de los sistemas de potencia.

En este trabajo, además de explicar con detalle las técnicas más utilizadas para el cálculo del flujo de cargas,

incluyendo aspectos complementarios tales como el tratamiento de los límites de reactiva de los generadores, se

explican y se muestran nuevos métodos de aplicación del flujo de cargas, caracterizados por poseer numerosas

e importantes ventajas respecto a las técnicas tradicionalmente utilizadas (ver [2]). Estos métodos son los

denominados ‘Flujo de carga factorizado en coordenadas polares’ (expuestos en la Sección 3) y ‘Flujo de carga

factorizado en coordenadas cartesianas’ (ver Sección 4), siendo este el que se explica con más detalle, debido

a ciertas ventajas y consecuencias importantes que se explicarán posteriormente.

C

Figura 1. Estados de un sistema eléctrico según su seguridad

2

2

Además, como consecuencia del FLFRC, se propondrá y explicará una nueva forma de tratar los límites de

reactiva en generadores, y se introducirá una aplicación de este nuevo método para averiguar los nudos más

críticos en una red dada, en función de su cargabilidad.

Para ilustrar este último método, se hará uso de cinco redes de tamaños muy diferenciados entre sí. Las tres

primeras son redes de prueba del IEEE, disponibles en [3] y son de 14, 118 y 300 nudos. Las dos últimas redes

usadas son redes de transporte reales y recientes, y constan de 1354 y 3120 nudos [4].

2 SOLUCIÓN CONVENCIONAL DEL FLUJO DE

CARGAS

omo se desarrolla en [5], el estado de una red eléctrica de n nudos queda determinado completamente

mediante las tensiones complejas en todos sus nudos. Las leyes de Kirchhoff y los modelos para cada

componente de la red se condensan en las ecuaciones nodales, que en forma compleja se escriben

como:

ℐ = 𝒴𝒰 (1)

ℐ𝑖 = ∑𝒴𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

𝒰𝑗 𝑗 = 1,2,… , 𝑛 (2)

donde 𝒰 es el vector de tensiones nodales, ℐ el vector de intensidades netas inyectadas en los nudos e 𝒴 la matriz

𝑛 × 𝑛 de admitancias de nudos.

Además, en cada nudo debe cumplirse que:

𝒮𝑖 = 𝒮𝐺𝑖 − 𝒮𝐶𝑖 = 𝒰𝑖ℐ𝑖∗ (3)

siendo 𝒮𝑖 la potencia compleja neta inyectada en el nudo 𝑖, obtenida en el caso general como diferencia entre la

potencia generada y la consumida por la carga en dicho punto. La ecuación anterior, aplicada a todos los nudos,

puede escribirse en forma matricial como:

𝒮 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝒰)ℐ∗ (4)

donde 𝒮 es el vector de potencias complejas nodales y 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝒰) denota la matriz diagonal cuyos elementos son

los del vector 𝒰.

Conocida la matriz de admitancias, las expresiones (1) y (4) constituyen un sistema de 2𝑛 ecuaciones

complejas en términos de las 3𝑛 incógnitas complejas contenidas en 𝒮, 𝒰 e ℐ. En teoría, conociendo 𝑛 de dichas

incógnitas podría resolverse el sistema no lineal resultante para obtener las 2𝑛 restantes. En la práctica, las

intensidades complejas nodales nunca son conocidas o especificadas a priori en un sistema de potencia, por lo

que se prefiere eliminarlas sustituyendo (1) en (4). Esto conduce al sistema no lineal de 𝑛 ecuaciones complejas

siguiente:

𝒮 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝒰)[𝒴𝒰]∗ (5)

C

3

3

Descomponiendo la potencia compleja en su parte real e imaginaria, 𝒮 = 𝑃 + 𝑗𝑄, y utilizando coordenadas

cartesianas para los elementos de la matriz de admitancias, 𝒴 = 𝐺 + 𝑗𝐵, la ecuación anterior se convierte en:

𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝒰)[𝐺 − 𝑗𝐵]𝒰∗ (6)

𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖 = 𝒰𝑖 ∑[𝐺𝑖𝑗 − 𝑗𝐵𝑖𝑗]𝒰𝑗∗

𝑛

𝑗=1

𝑖 = 1,2,… , 𝑛 (7)

Los métodos iterativos más importantes que se describirán posteriormente no pueden trabajar con las

ecuaciones complejas anteriores, porque la presencia de variables conjugadas impide llevar a cabo derivadas en

forma compleja. Es preciso, por tanto, separar dichas ecuaciones en 2𝑛 ecuaciones reales. Habitualmente, las

tensiones se expresan en coordenadas polares, 𝒰 = 𝑉 ∟𝜃, lo que conduce a:

𝑃𝑖 = 𝑉𝑖 ∑𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 sin 𝜃𝑖𝑗)

𝑛

𝑗=1

(8)

𝑄𝑖 = 𝑉𝑖 ∑𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 sin𝜃𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗)

𝑛

𝑗=1

(9)

𝑖 = 1,2,… , 𝑛

mientras que si se utilizan coordenadas cartesianas o rectangulares, 𝒰 = 𝑉𝑟+𝑗𝑉𝑥 , se obtiene:

𝑃𝑖 = 𝑉𝑟𝑖 ∑(𝐺𝑖𝑗𝑉𝑟𝑗 − 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑥𝑗)

𝑛

𝑗=1

+ 𝑉𝑥𝑖 ∑(𝐺𝑖𝑗𝑉𝑥𝑗 + 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑟𝑗)

𝑛

𝑗=1

(10)

𝑄𝑖 = 𝑉𝑥𝑖 ∑(𝐺𝑖𝑗𝑉𝑟𝑗 − 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑥𝑗)

𝑛

𝑗=1

− 𝑉𝑟𝑖 ∑(𝐺𝑖𝑗𝑉𝑥𝑗 + 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑟𝑗)

𝑛

𝑗=1

(11)

𝑖 = 1,2,… , 𝑛

En lo sucesivo, salvo indicación contraria, nos referimos a las ecuaciones en coordenadas polares.

Obsérvese que cada nudo aporta dos ecuaciones y cuatro incógnitas, por lo que deben especificarse dos

magnitudes por nudo para que las ecuaciones anteriores puedan resolverse. En función de las condiciones de

contorno impuestas, pueden distinguirse dos tipos principales de nudos:

Nudos de consumo o nudos PQ: nudos donde se conoce el consumo de potencia activa (𝑃𝐶𝑖𝑒𝑠𝑝

) y reactiva

(𝑄𝐶𝑖𝑒𝑠𝑝

), siendo nula la potencia generada (𝑃𝐺𝑖 = 𝑄𝐺𝑖 = 0).

Las restricciones impuestas son, por tanto,

𝑃𝑖𝑒𝑠𝑝

= −𝑃𝐶𝑖𝑒𝑠𝑝

; 𝑄𝑖𝑒𝑠𝑝

= −𝑄𝐶𝑖𝑒𝑠𝑝 (12)

4

4

quedando como incógnitas las dos componentes de la tensión nodal respectiva. La gran mayoría de

nudos de una red, sobre todo en niveles de menor tensión, son de este tipo.

Nudos de generación o nudos PV: nudos donde un generador regula la tensión a un valor especificado

(𝑉𝑖𝑒𝑠𝑝

) e inyecta una potencia activa (𝑃𝐺𝑖𝑒𝑠𝑝

) determinada previamente por consideraciones económicas.

Las restricciones resultantes, que tienen en cuenta el posible consumo local, son:


= 𝑃𝐺𝑖𝑒𝑠𝑝

− 𝑃𝐶𝑖𝑒𝑠𝑝

; 𝑉𝑖 = 𝑉𝑖𝑒𝑠𝑝 (13)

quedando 𝑄𝑖 y 𝜃𝑖 como incógnitas.

Ahora bien, si sólo se considerasen ambos tipos de nudos, todas las potencias activas inyectadas deberían

especificarse de antemano, lo cual es imposible porque las pérdidas en la red, que también deben ser aportadas

por los generadores, no se conocen hasta que se obtienen los flujos de potencia por cada elemento. Es decir, la

potencia activa de al menos un generador no puede ser especificada y debe calcularse al final del proceso.

Afortunadamente, esta incógnita adicional se compensa con el hecho de que, cuando se trabaja con fasores, uno

de los ángulos de fase puede tomarse libremente como origen de fases. Por simplicidad de cálculo, se toma como

origen de fases precisamente el nudo de generación cuya potencia se deja libre. Este nudo, que suele ser un

generador importante con capacidad para regular frecuencia (ver [6]), o un nudo de interconexión con el exterior,

se denomina nudo de referencia, nudo oscilante o, más comúnmente, nudo slack.

Sea 𝑛𝐷 el número de nudos de consumo. Entonces, el número de nudos de generación, sin contar el nudo

slack, será 𝑛𝐺 = 𝑛 − 𝑛𝐷 − 1. Sin pérdida de generalidad, supondremos que los 𝑛𝐷 primeros nudos son de

consumo y que el nudo de referencia es el último. En base a la clasificación de nudos realizada anteriormente,

las ecuaciones que intervienen en el problema del flujo de cargas son las siguientes:


= 𝑉𝑖 ∑𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 sin𝜃𝑖𝑗)

𝑛

𝑗=1

(14)

𝑖 = 1,2,… , 𝑛𝐷 + 𝑛𝐺

𝑄𝑖𝑒𝑠𝑝

= 𝑉𝑖 ∑𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 sin𝜃𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗)

𝑛

𝑗=1

(15)

𝑖 = 1,2,… , 𝑛𝐷

La solución de este problema consiste en encontrar los desfases 𝜃𝑖 , 𝑖 = 1,2,… , 𝑛𝐷 + 𝑛𝐺 , y los módulos de

tensiones 𝑉𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝐷 , que satisfacen las 2𝑛𝐷 + 𝑛𝐺 ecuaciones (14) y (15).

Nótese que fijar la tensión compleja del nudo oscilante, y dejar libre su potencia compleja, implica

simplemente que las dos ecuaciones respectivas no intervienen en el proceso. Dichas ecuaciones servirán

después, una vez resuelto el problema, para hallar precisamente la potencia compleja de dicho nudo.

Del mismo modo, las 𝑛𝐺 ecuaciones (9) excluidas de (15) permitirán calcular la potencia reactiva que necesita

inyectar o absorber cada generador para mantener su tensión al valor especificado. Como la capacidad de un

generador para absorber o generar reactiva está limitada, es necesario comprobar que no se viola ninguno de los

límites, lo cual complica y alarga normalmente el proceso de solución. Más adelante se explicará cómo se aborda

este problema según la metodología adoptada (Sección 2.3).

5

5

Dado que las ecuaciones resultantes son no lineales, su solución debe ser forzosamente iterativa, por lo que es

necesario adoptar unos valores iniciales para las variables del problema. La búsqueda de valores iniciales

adecuados, que hagan converger el proceso iterativo hacia un punto físicamente viable, de entre las muchas

soluciones matemáticamente posibles, no es un problema trivial en el caso general. Afortunadamente, las

características especiales del problema del flujo de cargas, donde sabemos de antemano que las tensiones se

mueven en una banda relativamente pequeña alrededor de su valor nominal, y que los desfases entre nudos

adyacentes se mueven en márgenes estrechos por motivos de estabilidad, hacen que el denominado perfil plano

sea casi siempre la mejor opción para iniciar el proceso iterativo. Dicho perfil consiste en hacer 𝜃𝑖0 = 0 para

todos los nudos y 𝑉𝑖0 = 1 𝑝𝑢 para los nudos de consumo. Si se ha ejecutado previamente un flujo de cargas, y

los cambios en el estado del sistema han sido menores, puede iniciarse el proceso con la solución del caso

anterior. Esto es especialmente útil cuando se analizan distintas perturbaciones partiendo del mismo caso base

(ver [7]). La experiencia demuestra, sin embargo, que utilizar unos valores aparentemente más próximos a la

solución, pero arbitrarios, suele dar peores resultados que el perfil plano.

Una vez resueltas las ecuaciones (14) y (15) es posible calcular cualquier magnitud deseada (los programas

comerciales de flujos de cargas generan una serie de ficheros o salidas gráficas con toda la información que el

usuario especifique). Los flujos de potencia para un único elemento conectado entre los nudos i y j se pueden

obtener de:

𝑃𝑖𝑗 = 𝑉𝑖𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 sin𝜃𝑖𝑗) − 𝐺𝑖𝑗𝑉𝑖2 (16)

𝑄𝑖𝑗 = 𝑉𝑖𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 sin𝜃𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗) + 𝑉𝑖2(𝐵𝑖𝑗 − 𝑏𝑝𝑖𝑗) (17)

donde 𝑏𝑝 denota la suceptancia paralelo del modelo en π visto en [8]. Cuando existen varios elementos en

paralelo de distintas características, debe recurrirse directamente a dicho modelo para calcular los flujos

individuales.

Análogamente, las pérdidas totales del sistema pueden calcularse, una vez hallada la potencia del nudo slack,

mediante suma de las inyecciones de todos los nudos, o bien como suma de las pérdidas de cada elemento.

Método de Newton-Raphson

Antes de detallar este método, cabe destacar a su predecesor, denominado ‘Método de Gauss-Seidel’ (ver [9]),

cuya convergencia es bastante pobre. Su única utilidad hoy día es su utilización como forma de generar valores

iniciales para el método de Newton-Rapshon, en aquellos raros casos en los que la convergencia de éste sea

problemática partiendo del perfil plano.

En general, estos métodos consisten en encontrar el vector x que satisface el sistema no lineal

𝑓(𝑥) = 0 (18)

Como se explica en [2], el método de Newton-Rapshon obtiene sucesivamente nuevos valores mediante

aproximaciones de primer orden de las funciones no lineales involucradas. La ecuación (18) puede aproximarse

por su desarrollo en serie alrededor del punto 𝑥𝑘:

𝑓(𝑥) ≅ 𝑓(𝑥𝑘) + 𝐹(𝑥𝑘)(𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘) = 0 (19)

6

6

donde 𝐹 =𝜕𝑓

𝜕𝑥 es el jacobiano de 𝑓(𝑥). Partiendo del valor inicial 𝑥0 se obtienen correciones ∆𝑥𝑘 resolviendo

el sistema lineal:

−𝐹(𝑥𝑘)∆𝑥𝑘 = 𝑓(𝑥𝑘) (20)

y nuevos valores 𝑥𝑘+1 de:

𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + ∆𝑥𝑘 (21)

El proceso iterativo se detiene cuando se cumple que:

𝑚𝑎𝑥𝑖 |𝑓𝑖(𝑥𝑘)| ≤ 𝜀

para un ε suficientemente pequeño (como por ejemplo, 10−5). Para valores 𝑥0 próximos a la solución, el método

de Newton-Raphson converge cuadráticamente (cuando diverge también lo hace cuadráticamente). En el caso

concreto del flujo de cargas, con independencia del tamaño de la red, el número de iteraciones oscila

habitualmente entre 3 y 5 partiendo de perfil plano [10], aunque la actualización de variables de control descrita

en [11] puede aumentar significativamente este número.

A diferencia de otros métodos (ver [9]), que pueden implementarse directamente en forma compleja, la

presencia del conjugado en las expresiones de la potencia obliga a trabajar en forma real cuando se trata de

calcular derivadas.

Formulación

Según la forma en que se expresen las tensiones, se obtiene la formulación polar o rectangular, siendo con

diferencia la primera de ellas la más extendida.

2.2.1 Formulación en polares

Siguiendo la formulación desarrollada en [12] se obtiene que en este caso el vector x, de dimensión 2𝑛𝐷 + 𝑛𝐺,

viene dado por:

𝑥 = [𝜃|𝑉]𝑇 = [𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑛−1|𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉𝑛𝐷]𝑇 (22)

y las funciones que queremos anular pueden expresarse, para cada nudo, como el residuo o diferencia entre la

potencia especificada y la potencia calculada en el estado actual, es decir:

𝑓(𝑥) = [∆𝑃|∆𝑄]𝑇 = [∆𝑃1, ∆𝑃2, … , ∆𝑃𝑛−1|∆𝑄1, ∆𝑄2, … , ∆𝑄𝑛𝐷]𝑇 (23)

7

7

siendo:

∆𝑃𝑖 = 𝑃𝑖𝑒𝑠𝑝

− 𝑉𝑖 ∑𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 sin 𝜃𝑖𝑗)

𝑛

𝑗=1

(24)

𝑖 = 1,2,… , 𝑛 − 1

∆𝑄𝑖 = 𝑄𝑖𝑒𝑠𝑝

− 𝑉𝑖 ∑𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 sin𝜃𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗 cos𝜃𝑖𝑗)

𝑛

𝑗=1

(25)

𝑖 = 1,2,… , 𝑛𝐷

Con esta notación, y dividiendo el jacobiano en submatrices como se ha hecho con los vectores anteriores, la

ecuación (20), aplicada al problema del flujo de cargas, se convierte en ( [13], [14]):

[𝐻 𝑁𝑀 𝐿

]𝑘

[∆𝜃

∆𝑉/𝑉]𝑘

= [∆𝑃∆𝑄

]𝑘

(26)

y la (21)

[𝜃𝑉]𝑘+1

= [𝜃𝑉]𝑘

+ [∆𝜃∆𝑉

]𝑘

(27)

La utilización de ∆𝑉/𝑉 en lugar de ∆𝑉 no afecta numéricamente al algoritmo, pero simplifica los términos

del jacobiano haciéndolo numéricamente más simétrico (estructuralmente ya lo es). Teniendo en cuenta que

−𝜕(𝑓𝑖𝑒𝑠𝑝

− 𝑓𝑖)

𝜕𝑥𝑗=

𝜕𝑓𝑖𝜕𝑥𝑗

(28)

donde 𝑓 es indistintamente 𝑃 o 𝑄 y x se refiere a 𝑉 o 𝜃, los términos del jacobiano se obtienen de las siguientes

definiciones:

𝐻𝑖𝑗 =𝜕𝑃𝑖

𝜕𝜃𝑗 𝑁𝑖𝑗 = 𝑉𝑗

𝜕𝑃𝑖

𝜕𝑉𝑗 𝑀𝑖𝑗 =

𝜕𝑄𝑖

𝜕𝜃𝑗 𝐿𝑖𝑗 = 𝑉𝑗

𝜕𝑄𝑖

𝜕𝑉𝑗 (29)

Para 𝑖 ≠ 𝑗

𝐻𝑖𝑗 = 𝐿𝑖𝑗 = 𝑉𝑖𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 sin 𝜃𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗)

𝑁𝑖𝑗 = −𝑀𝑖𝑗 = 𝑉𝑖𝑉𝑗(𝐺𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 sin𝜃𝑖𝑗)

Para 𝑖 = 𝑗

𝐻𝑖𝑖 = −𝑄𝑖 − 𝐵𝑖𝑖𝑉𝑖2 𝐿𝑖𝑖 = 𝑄𝑖 − 𝐵𝑖𝑖𝑉𝑖

2

𝑁𝑖𝑖 = 𝑃𝑖 + 𝐺𝑖𝑖𝑉𝑖2 𝑀𝑖𝑖 = 𝑃𝑖 − 𝐺𝑖𝑖𝑉𝑖

2

Tabla 1. Expresiones para los términos del jacobiano en la formulación polar

8

8

Los valores respectivos se muestran en la tabla anterior (Tabla 1). Obsérvese que entre las expresiones del

jacobiano y las de ∆𝑃 y ∆𝑄 hay muchos términos comunes, lo cual debe aprovecharse para ahorrar esfuerzo de

cálculo. De este modo, el cálculo del jacobiano es casi un subproducto del cálculo de los residuos de potencia.

La solución del flujo de cargas mediante el método de Newton-Rapshon consta entonces de los siguientes

pasos:

1. Inicializar tensiones con el perfil plano o usar la solución de un caso anterior.

2. Calcular [∆𝑃|∆𝑄], así como los términos del jacobiano. Si todas las componentes de este vector son

menores que ε, detener el proceso. En caso contrario, continuar.

3. Obtener [∆𝜃|∆𝑉/𝑉] resolviendo el sistema (26) con las técnicas explicadas en [15].

4. Actualizar [𝜃|𝑉] y volver al paso 2.

Recuérdese que, por cada nudo PV, nos ahorramos una ecuación en el sistema anterior, lo cual constituye la

principal ventaja de la formulación polar.

En muchos casos se consiguen mejoras de convergencia si se trabaja con ∆𝑄/𝑉 en lugar de ∆𝑄, lo cual se

consigue dividiendo simplemente la fila respectiva por 𝑉𝑖. La razón es que, de ese modo, sólo el término

𝑄𝑖𝑒𝑠𝑝

/𝑉𝑖, numéricamente menor que los demás, permanece no lineal en 𝑉𝑖, y a mayor linealidad mayor

convergencia.

Aunque, por claridad de presentación, el jacobiano se ha dividido en submatrices compatibles con las

particiones realizadas en los vectores de tensiones y potencias, en la práctica, las dos ecuaciones de un nudo PQ

y sus dos variables asociadas se ordenan consecutivamente.

2.2.2 Formulación en cartesianas

A diferencia del apartado anterior y como se ve en [16], la dimensión del vector x es ahora 2𝑛 − 2, estando

constituido por los siguientes elementos:

𝑥 = [𝑉𝑟1, 𝑉𝑟2, … , 𝑉𝑟(𝑛−1)|𝑉𝑥1, 𝑉𝑥2, … , 𝑉𝑥(𝑛−1)]𝑇 (30)

El cálculo de los residuos de potencia se realiza en este caso mediante las ecuaciones

∆𝑃𝑖 = 𝑃𝑖𝑒𝑠𝑝

− [𝑉𝑟𝑖 ∑(𝐺𝑖𝑗𝑉𝑟𝑗 − 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑥𝑗)

𝑛

𝑗=1

+ 𝑉𝑥𝑖 ∑(𝐺𝑖𝑗𝑉𝑥𝑗 + 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑟𝑗)

𝑛

𝑗=1

] (31)

𝑖 = 1,2,… , 𝑛 − 1

∆𝑄𝑖 = 𝑄𝑖𝑒𝑠𝑝

− [𝑉𝑥𝑖 ∑(𝐺𝑖𝑗𝑉𝑟𝑗 − 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑥𝑗)

𝑛

𝑗=1

− 𝑉𝑟𝑖 ∑(𝐺𝑖𝑗𝑉𝑥𝑗 + 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑟𝑗)]

𝑛

𝑗=1

(32)

𝑖 = 1,2,… , 𝑛𝐷

9

9

Como se observa claramente, el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas. La razón es que aún

falta por imponer en los nudos de generación la restricción:

∆𝑉𝑖2 = (𝑉𝑖

𝑒𝑠𝑝)2 − 𝑉𝑟𝑖

2 − 𝑉𝑥𝑖2 = 0 𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝐺 (33)

En forma matricial, el flujo de cargas en coordenadas cartesianas queda formulado entonces como:

[𝑆 𝑇𝑈 𝑊𝐶 𝐷

]

𝑘

[∆𝑉𝑟∆𝑉𝑥

]𝑘

= [∆𝑃∆𝑄

∆𝑉2

]

𝑘

(34)

[𝑉𝑟𝑉𝑥

]𝑘+1

= [𝑉𝑟𝑉𝑥

]𝑘

+ [∆𝑉𝑟∆𝑉𝑥

]𝑘

(35)

Para 𝑖 ≠ 𝑗

𝑆𝑖𝑗 = −𝑊𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝑗𝑉𝑟𝑖 + 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑥𝑖

𝑇𝑖𝑗 = 𝑈𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝑗𝑉𝑥𝑖 − 𝐵𝑖𝑗𝑉𝑟𝑖

𝐶𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 = 0

Para 𝑖 = 𝑗

𝑆𝑖𝑖 = 𝐼𝑟𝑖 + 𝐺𝑖𝑖𝑉𝑟𝑖 + 𝐵𝑖𝑖𝑉𝑥𝑖 𝑈𝑖𝑖 = −𝐼𝑥𝑖 − 𝐵𝑖𝑖𝑉𝑟𝑖 + 𝐺𝑖𝑖𝑉𝑥𝑖

𝑊𝑖𝑖 = 𝐼𝑟𝑖 − 𝐺𝑖𝑖𝑉𝑟𝑖 − 𝐵𝑖𝑖𝑉𝑥𝑖 𝑇𝑖𝑖 = 𝐼𝑥𝑖 − 𝐵𝑖𝑖𝑉𝑟𝑖 + 𝐺𝑖𝑖𝑉𝑥𝑖

𝐶𝑖𝑖 = 2𝑉𝑟𝑖 𝐷𝑖𝑖 = 2𝑉𝑥𝑖

Tabla 2. Expresiones para los términos del jacobiano en la formulación rectangular

siendo los elementos del jacobiano los recogidos en la tabla anterior (Tabla 2). En dicha tabla, 𝐼𝑟𝑖 e 𝐼𝑥𝑖 se refieren

a la parte real e imaginaria, respectivamente, de la corriente neta inyectada en el nudo i, que se calcula de la

expresión:

𝐼𝑟𝑖 + 𝑗𝐼𝑥𝑖 = ∑(𝐺𝑖𝑗 + 𝑗𝐵𝑖𝑗)(𝑉𝑟𝑗 + 𝑗𝑉𝑥𝑗)

𝑛

𝑗=1

(36)

El proceso iterativo consta de los mismos pasos descritos para la formulación polar (Sección 2.2.1), cambiando

simplemente las expresiones utilizadas.

10

10

Límites de reactiva en nudos PV

Como se desarrolla en [11], la metodología descrita hasta ahora (Secciones 2.2.1 y 2.2.2) sólo tiene en cuenta

las restricciones de igualdad impuestas por los nudos de consumo y generación. En la práctica, sin embargo, las

soluciones suministradas por un programa industrial de cálculo de flujos de carga deben tener en cuenta

restricciones de contorno adicionales. Estas restricciones pueden ser de desiguladad (límites impuestos a ciertas

variables reguladas y de control) o de igualdad (valores deseados para ciertas variables independientes). Los más

importantes son:

Límites de reactiva en nudos PV. Se aplican a la reactiva generada o absorbida por los alternadores, o

compensadores, que regulan la tensión de un nudo. Cuando se alcanza uno de estos límites el nudo PV

pasa a ser PQ.

Límites de tensión en nudos PQ. Menos comunes que los anteriores. Si se alcanza alguno de esto límites

el nudo se convierte en PV por la activación de algún elemento regulador (normalmente la toma de un

transformador).

Otras restricciones que se suelen tener en cuenta son: transformadores de regulación, transformadores

desfasadores e intercambio de potencia entre áreas, aunque estas no son muy comunes. En todos los casos, lo

que se pretende es controlar una magnitud basándose en una o varias variables de control.

La forma de llevar a cabo estos ajustes depende del método numérico utilizado. Básicamente, los

procedimientos existentes pueden agruparse en dos categorías [17]:

1. El vector de estado se adapta dinámicamente, ampliando o disminuyendo el número de variables, para

tener en cuenta en cada caso los límites alcanzados.

2. Se utiliza un proceso realimentado de ajuste de la variable de control, para conocerlo con más detalle,

consultar [11].

La implantación de cualquiera de estos mecanismos incrementa notablemente el número de iteraciones, así

como la complejidad del código.

Centrándonos en límites de reactiva en nudos PV, sea cual sea el método utilizado, la reactiva que tiene que

inyectar un generador o compensador para mantener su tensión constante debe calcularse en cada iteración y

compararse con sus límites. Si se viola algún límite, 𝑄𝑙𝑖𝑚, la tensión del nudo regulado no puede mantenerse al

valor 𝑉𝑒𝑠𝑝, pasando a ser éste un nudo de consumo (PQ) con 𝑄𝑒𝑠𝑝 = 𝑄𝑙𝑖𝑚. A partir de ese momento hay que

monitorizar la tensión de este nudo PQ virtual. Si 𝑉𝑘 > 𝑉𝑒𝑠𝑝 y 𝑄𝑒𝑠𝑝 = 𝑄𝑚𝑎𝑥, o si 𝑉𝑘 < 𝑉𝑒𝑠𝑝 y 𝑄𝑒𝑠𝑝 = 𝑄𝑚𝑖𝑛,

entonces dicho nudo vuelve a ser PV (esto puede ocurrir por interacción entre varios nudos PV).

En el método de Gauss-Seidel este mecanismo se lleva a cabo de forma trivial.

La implantación de este proceso tampoco es difícil en el método de Newton-Raphson en coordenadas polares,

puesto que en cada iteración hay que calcular el jacobiano. Basta con incluir ∆𝑄𝑖 en el vector de residuos y ∆𝑉𝑖

en el vector de estado cuando el nudo i pasa de PV a PQ, y excluirlos en caso contrario, actualizando

acordemente las filas y columnas del jacobiano.

11

11

3 SOLUCIÓN FACTORIZADA EN POLARES

aciendo referencia al artículo [18], las herramientas que existen actualmente del flujo de cargas hacen

uso del método iterativo de Newton-Raphson, ya sea en forma polar (Sección 2.2.1) o recurriendo a

coordenadas rectangulares (Sección 2.2.2). Para casos donde la velocidad de la solución es más

importante que la fiabilidad de la misma, se desarrollaron nuevos métodos computacionalmente menos costosos,

como son el ‘Flujo de cargas en continua’ [19] y el ‘Método desacoplado rápido’ [20] (Fast decoupled load

flow method en inglés), siendo éste último el más popular. La principal diferencia entre estos dos métodos y el

método convencional de Newton-Raphson reside en el tratamiento del jacobiano, el cuál se mantiene constante

en las dos metodologías anteriormente citadas y es calculado únicamente al principio.

La principal ventaja del método de Newton-Raphson sobre los métodos anteriormente descritos, es que éste

posee convergencia cuadrática cuando la solución está lo suficientemente cerca. Esto explica por qué el número

de iteraciones suele resultar indepediente del tamaño del sistema cuando se adopta un perfil inicial plano. Sin

embargo, si la suposición inicial no está lo suficientemente cerca de la solución, como ocurre cuando la red está

muy cargada, el método de Newton-Raphson diverge a la misma velocidad (divergencia cuadrática), aunque el

caso que se esté resolviendo se encuentre en zona factible. Es por ello por lo que las herramientas comerciales

suelen permitir al usuario adoptar distintas alternativas como perfil de inicio, basadas en métodos iterativos más

simples ( [19] y [20]).

En los últimos años ha emergido una aproximación muy prometedora para la solución de sistemas

sobredeterminados gracias a la idea de desglosar el sistema no lineal original en dos subsistemas, uno de ellos

lineal, el cual es resuelto en dos pasos [21].

Recientemente ha sido demostrado que la misma idea anterior también puede ser aplicada en el problema del

flujo de cargas (ver [22]), denomidado ‘Flujo de cargas factorizado’ (FLF), cuya convergencia es más fiable

que el método convencional de Newton-Raphson, particularmente en casos cercanos al límite de máxima

cargabilidad del sistema. El FLF implica la solución de dos sistemas de ecuaciones por cada iteración, siendo el

primero un problema lineal de mínima distancia, y el segundo, un paso similar al de Newton-Raphson.

Como novedad de este método (FLF) se demuestra que, con una inicializacíon acertada puede converger

fiablemente a dos tipos de soluciones, una real y otra compleja. La solución real se alcanza cuando el sistema se

encuentra en zona factible, y la solución compleja cuando se trata de un caso infactible. En [18] se analizan y se

prueban distintas estrategias de inicialización, con el objetivo de reducir el número de iteraciones en cuanto sea

posible, ante distintos estados de carga en la red.

Formulación

Una forma compacta de escribir el sistema de ecuaciones del flujo de cargas por el método de Newton-Raphson

es:

ℎ(𝑥) = 𝑝 (37)

donde,

𝑝 es el vector de potencias activa y reactiva especificadas. En la expresión polar contiene la potencia

activa inyectada en todos los nudos, menos en el nudo slack, y la potencia reactiva inyectada en todos

los nudos de consumo (nudos PQ). Luego, el vector 𝑝 viene dado por:

𝑝 = [𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑁−1|𝑄1, 𝑄2, … , 𝑄𝑁𝑃𝑄]𝑇 (38)

H

12

12

𝑥 es el vector de estado. En la formulación polar convencional contiene: ángulos de desfase de todos

los nudos, menos el slack, y módulos de las tensiones de todos los nudos de consumo (nudos PQ).

Luego este vector es de la forma:

𝑥 = [𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉𝑁𝑃𝑄|𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑁−1]

𝑇 (39)

Partiendo de un valor inicial, 𝑥0, el método de Newton-Raphson devuelve una solución resolviendo de forma

iterativa el siguiente sistema:

𝐻𝑘∆𝑥𝑘 = ∆𝑝𝑘 = 𝑝 − ℎ(𝑥𝑘) (40)

donde ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘, 𝐻𝑘 es el jacobiano de ℎ(∙), calculado en el punto actual 𝑥𝑘, y ∆𝑝𝑘 es la diferencia de

potencias o vector de residuos.

La solución del FLF recurre a un vector de estado ligeramente modificado, 𝑥, y requiere la introducción de

dos vectores auxiliares, 𝑢 e 𝑦, como se ve en [22]:

El vector de estado 𝑥, compuesto por 𝑛 = 2𝑁 − 1 elementos, en el que los módulos de las tensiones

han sido reemplazados por una expresión equivalente:

𝑥 = [𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑁|𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑁−1]𝑇 (41)

donde 𝛼𝑖 = ln𝑉𝑖2.

Vector 𝑦:

𝑦 = {𝑈𝑖 , 𝐾𝑖𝑗, 𝐿𝑖𝑗} (42)

donde 𝑈𝑖 = 𝑉𝑖2 y, para cada rama que conecta el nudo 𝑖 con el nudo 𝑗, la pareja de variables 𝐾𝑖𝑗, 𝐿𝑖𝑗

viene dada por:

𝐾𝑖𝑗 = 𝑉𝑖𝑉𝑗𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖𝑗 (43)

𝐿𝑖𝑗 = 𝑉𝑖𝑉𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖𝑗 (44)

Este vector 𝑦 está compuesto por 𝑚 variables, donde 𝑚 = 2𝑏 + 𝑁, siendo 𝑏 el número de ramas y

𝑁 el número de nudos.

Vector 𝑢, compuesto también por 𝑚 variables:

𝑢 = {𝛼𝑖, 𝛼𝑖𝑗 , 𝜃𝑖𝑗} (45)

donde

𝛼𝑖𝑗 = 𝛼𝑖 + 𝛼𝑗 (46)

𝜃𝑖𝑗 = 𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 (47)

13

13

El FLF desglosa el sistema original (37) en los siguientes problemas más simples [23]:

𝐸𝑦 = 𝑝 (48)

𝑢 = 𝑓(𝑦) (49)

𝐶𝑥 = 𝑢 (50)

donde 𝐸 y 𝐶 son matrices rectangulares de tamaño 𝑛 × 𝑚 y 𝑚 × 𝑛, respectivamente, y el vector 𝑓(∙) está

definido en términos de funciones elementales no lineales, que pueden ser fácilmente invertidas, obteniéndose

así:

𝑦 = 𝑓−1(𝑢) (51)

El sistema aumentado de arriba, puede ser expresado de manera más compacta, eliminando el vector 𝑢:

𝐸𝑦 = 𝑝 (52)

𝐶𝑥 = 𝑓(𝑦) (53)

Resaltar que (52) es un sistema lineal subdeterminado, mientras que (53) es sobredeterminado. Entre las

infinitas soluciones de (52), sólo la que satisface (53) constituye una solución para el problema original no lineal

(37). Cuando el vector auxiliar restante 𝑦 es eliminado, se obtiene el sistema original:

𝐸𝑓−1(𝐶𝑥) = 𝑝 (54)

obteniendo una solución parecida al sistema original de Newton-Raphson:

[𝐸𝐹𝑘−1𝐶]∆𝑥𝑘 = 𝑝 − 𝐸𝑓−1(𝐶𝑥) = ∆𝑝𝑘 (55)

donde 𝐹 es el jacobiano de 𝑓(∙).

Algoritmo de resolución

Como vimos anteriormente, el FLF puede dividirse en dos problemas, uno lineal y otro no lineal. El primero

de ellos es un problema de mínima distancia, y el último es un procedimiento muy similar al de Newton-

Raphson. Las dos fases del procedimiento surgen de la representación factorizada de sistemas no lineales, luego

puede ser formalmente ejecutado como sigue, asumiendo la no singularidad del jacobiano ( [22], [23]):

Paso 0: inicialización

Para un valor inicial, 𝑥0, construir 𝑦0 = 𝑓−1(𝐶𝑥0). A diferencia del método de Newton-Raphson, en el FLF

es posible inicializar directamente con 𝑦𝑘 = 𝑦0, pudiendo resultar ventajoso a la hora de enfrentarse a casos mas

complejos.

Paso 1:

1.1. Calcular 𝜆 resolviendo el sistema lineal,

(𝐸𝐸𝑇)𝜆 = 𝑝 − 𝐸𝑦𝑘 (56)

14

14

1.2. Obtener �̃� de:

�̃�𝑘 = 𝑦𝑘 + 𝐸𝑇𝜆 (57)

1.3. Calcular �̃�𝑘 = 𝑓(�̃�𝑘)

Paso 2:

2.1. Obtener 𝑥𝑘+1 resolviendo:

�̃�𝑥𝑘+1 = 𝐸�̃�−1�̃�𝑘 (58)

donde �̃� = 𝐸�̃�−1𝐶, calculado en �̃�𝑘 = 𝑓(�̃�𝑘).

2.2. Actualizar 𝑦𝑘+1 = 𝑓−1(𝐶𝑥𝑘+1).

2.3. Comprobar la convergencia: si ||𝑝 − 𝐸𝑦𝑘+1||∞ es lo suficientemente pequeño, entonces parar. En

caso contrario, volver al paso 1.

En la figura de la siguiente página (Figura 2) se muestra un diagrama de flujo que recoge de manera mas visual

toda la información anterior.

Cabe destacar que el coste computacional del paso 1 es muy alto. Aún así, este esfuerzo extra es compensado

por el paso 2, siendo este menos costoso que el paso convencional de Newton-Raphson. En general, cada

iteración (que incluye la resolución de los dos pasos anteriores) ha mostrado ser más rápida que el

procedimiento de Newton-Raphson para problemas reales complejos y grandes [22].

Además, se conoce que la matriz del jacobiano de Newton-Raphson se convierte singular cuando se alcanza

el punto crítico o “curva de la nariz” (bifurcación). Después de ese punto, no existen soluciones físicas y el

proceso iterativo de Newton-Raphson deja de funcionar [22].

Resultados mostrados en [22] demuestran que para sistemas muy grandes, el FLF es más robusto en términos

de convergencia que el método tradicional de Newton-Raphson, particularmente en escenarios muy cargados,

en el borde del límite de cargabilidad.

Otra gran ventaja, además novedosa, del FLF es que las soluciones físicamente posibles (caso factible) pueden

ser siempre alcanzadas en el dominio real, mientras que cuando se va superando el límite de máxima cargabilidad

del sistema, empiezan a surgir componentes imaginarias en la solución (ver [18]).

15

15

Figura 2. Algoritmo de resolución del FLF

16

16

La importancia del perfil de tensiones inicial

Como se explicó en el Capítulo 2, al tratarse de un problema iterativo, es necesario empezar suponiendo una

solución (perfil inicial), generalmente en las variables del problema (tensiones y fases). Existen muchas

posibilidades de perfiles iniciales, dando lugar a varias posibilidades como solución. La primera opción posible

es que el proceso converja a una solución real, tras más o menos iteraciones. Otra posibilidad es que el proceso

iterativo converja a soluciones físicamente imposibles o inviables, o incluso que no converja a ninguna solución,

debido a la lejanía entre la suposición inicial y una posible solución del problema. Es por ello por lo que la

elección de un perfil inicial correcto es muy importante, marcando la diferencia entre resolver el problema o no.

La elección del perfil no es trivial, debido a la cantidad de soluciones matemáticas posibles. Afortunadamente,

en la explotación normal del sistema eléctrico, las tensiones se mantienen muy próximas al valor en por unidad

(oscilan en una banda muy pequeña) y los desfases entre nudos adyacentes se mueven en márgenes estrechos.

Por este motivo la elección de un perfil inicial plano es casi siempre la mejor opción para iniciar el proceso

iterativo, y consiste en hacer 𝜃𝑖0 = 0 para todos los nudos y 𝑉𝑖

0 = 1 (pu) para los nudos de consumo (nudos

PQ).

Aunque el perfil plano funciona en la mayoría de los casos, la convergencia nunca está garantizada. Como se

ve en [24], la única forma de saber si un valor inicial es adecuado para obtener una solución, es determinar la

zona de atracción del perfil inicial. Estas zonas pueden ser de tres tipos:

1. El perfil inicial está en el interior de la región de atracción de la solución y el método numérico converge.

2. El perfil inicial está fuera del área de atracción de la solución. El método numérico diverge si se parte

de dicha suposición inicial.

3. Aunque el perfil inicial se encuentre dentro de la región de atracción, el método numérico diverge.

Desgraciadamente no es posible definir analíticamente la región de atracción, por lo que para definirla se usan

métodos numéricos. Una forma de hacerlo es crear una malla en el plano XY, de manera que cada punto sea un

perfil inicial distinto. Por ejemplo, se usará el eje de ordenadas como módulo de tensiones (𝑉𝑖0) y el eje de

abscisas como ángulo de fase (𝜃𝑖0), en grados. Una vez que se tiene la malla con todos los perfiles iniciales, basta

con aplicar en cada punto el método numérico escogido y representar en la misma malla el resultado en términos

de iteraciones para analizar la convergencia.

A continuación, se presenta un ejemplo que pone en práctica lo dicho anteriormente (Figura 3). El sistema de

estudio consta de dos nudos, uno de ellos es el nudo slack, por lo que el problema queda resuelto al obtener la

tensión del otro nudo, siendo ésta de 𝑉2 = 0.9209 − 𝑗0.0913 𝑝𝑢, conociendo que su potencia compleja

demanda es de 𝒮2 = 0.9 + 𝑗0.6 𝑝𝑢. La malla de valores iniciales que se toma es bastante amplia, el eje de

abscisas (ángulo de fases) está comprendido entre -150 y 150 grados, y el eje de ordenadas (módulo de tensiones)

comprende los valores desde 0 a 10 en pu.

Figura 3. Sistema de 2 nudos (versión 1)

Esta idea se ha aplicado a dos métodos numéricos distintos, el primero (Figura 4) es el método convencional

de Newton-Raphson, y el segundo (Figura 5), el FLF. Cabe destacar que la región de atracción depende del

algoritmo de resolución o del método numérico que se aplique.

17

17

Figura 4. Región de atracción con el método de Newton-Raphson

Figura 5. Región de atracción con FLF

Nota: para ambos métodos se ha aplicado la misma tolerancia o criterio de convergencia, 10−5, y las dos

figuras han sido extraídas de [25] .

Los diferentes colores significan el número de iteraciones necesarias para obtener una solución, mientras que

la zona más oscura o marrón significa que el método no converge.

En la figura donde se aplica el método de Newton-Raphson (Figura 4), vemos que la región de atracción es

bastante amplia, siendo el perfil plano (𝑉𝑖0 = 1 + 0𝑗) el área que requiere menos iteraciones. Si la comparamos

con la figura en la que se aplica el FLF (Figura 5) notamos que la región de atracción es enormemente más

amplia que en el caso anterior y que la zona de no convergencia se ha reducido notablemente. También merece

destacar que en este último caso, en general, son pocas las iteraciones que se usan para alcanzar la solución (tres

iteraciones en una zona bastante amplia) por lo que, como conclusión, podríamos decir que el FLF tiene una

región de atracción mucho más amplia que la del método de Newton-Raphson, y que además necesita menos

iteraciones para alcanzar la solución. Esto último lo convierte, de nuevo, en un método más robusto y fiable que

el método de Newton-Raphson.

18

18

Más adelante (Sección 6), se aplicará esta misma idea al mismo sistema, pero haciendo uso del ‘Flujo de

Cargas Factorizado en Coordenadas Cartesianas’ (FLFRC), obteniendo distintas conclusiones muy

interesantes. El método anteriormente nombrado, FLFRC, es un algoritmo de resolución algo distinto que el

anterior FLF, el cual se definirá y se explicará detalladamente en la próxima sección (Sección 4).

Hasta ahora se ha hablado sobre la estrategia de inicialización para el flujo de cargas, concretamente para el

caso base del sistema. Sin embargo, a medida que la cargabilidad del sistema va aumentando y usamos el método

convencional de Newton-Raphson, el perfil inicial plano va perdiendo las ventajas que indicamos anteriormente,

debido a que las tensiones van disminuyendo desde su valor nominal. Incluso cuando nos acercamos al límite

de máxima cargabilidad, si empezamos con perfil plano, es muy posible que no converja a una solución.

Como se dijo, el FLF ofrece más rubostez que el método convencional de Newton-Raphson. Gracias a esta

nueva técnica, adoptar un perfil plano como perfil de inicio sigue siendo una buena opción a la hora de ir

aumentando la carga del sistema, incluso funciona bien si nos acercamos al límite de máxima cargabilidad, tal

y como se demuestra en [18].

Por otra parte, cuando superamos el límite de máxima cargabilidad del sistema, el método de Newton-Raphson

no converge a ninguna solución, a diferencia del FLF que sí converge, obteniendo resultados con componentes

imaginarias. En este caso, si se sigue haciendo uso del perfil inicial plano, se alcanza un número alto de

iteraciones; sin embargo, si se usa un perfil inicial con una cierta componente imaginaria, como se demuestra en

[18], mejora bastante el comportamiento del FLF ante casos infactibles (mas allá del límite de máxima

cargabilidad), reduciendo el número de iteraciones. A continuación se exponen algunos ejemplos recogidos en

[18] sobre lo mencionado anteriormente:

Figura 6. Evolución de la tensión en nudos PQ en un sistema de 14 nudos ante caso factible, empezando

desde 𝑈0 = 𝐾0 = 1 + 𝑗0.0001

En la Figura 6 se ha fijado el nivel de carga en 𝜆 = 4, justo antes del límite de máxima cargabilidad de esta

red (éste es de 𝜆 = 4.03). Se observa que adoptando un perfil inicial plano con una componente imaginaria casi

nula, el número de iteraciones es bastante bajo, a pesar de que nos encontramos casi en el límite de máxima

cargabilidad, lo que demuestra la robustez del método.

En la Figura 7 se analiza el mismo caso anterior, pero esta vez se ha tomado un perfil inicial distinto, en el que

la componente imaginaria es mayor, siendo este 𝑈0 = 𝐾0 = 0.5 + 𝑗0.5.

19

19

Figura 7. Evolución de la tensión en nudos PQ en un sistema de 14 nudos ante caso factible, empezando

desde 𝑈0 = 𝐾0 = 0.5 + 𝑗0.5

En la figura anterior observamos que a pesar de empezar con una cierta componente imaginaria más elevada,

el método converge, aunque en una iteración más que en el caso anterior (Figura 6). A medida que se va

avanzando en las iteraciones, notamos como las componentes imaginarias de los módulos de tensiones se van

anulando poco a poco, ya que nos encontramos ante un caso factible. Cabe destacar que aunque el perfil inicial

es distinto al anterior, se alcanza la misma solución en ambos casos.

Ahora, analizemos de nuevo los dos casos anteriores, pero esta vez cambiando la carga a 𝜆 = 4.2, carga que

supera el límite de máxima cargabilidad para esta red de 14 nudos:

Figura 8. Evolución de la tensión en nudos PQ en un sistema de 14 nudos ante caso infactible, empezando

desde 𝑈0 = 𝐾0 = 1 + 𝑗0.0001 para 𝜆 = 4.2

20

20

Figura 9. Evolución de la tensión en nudos PQ en un sistema de 14 nudos ante caso infactible, empezando

desde 𝑈0 = 𝐾0 = 0.5 + 𝑗0.5 para 𝜆 = 4.2

Observamos que en la Figura 8 se alcanza una solución compleja en 16 iteraciones, notando un

comportamiento oscilatorio, mientras que en la Figura 9 se consigue la misma solución compleja, pero esta vez

en bastantes menos iteraciones, 5. También se puede apreciar como en este caso la componente imaginaria de

cada módulo de las tensiones de los nudos es distinta de cero, ya que nos encontramos ante un caso infactible.

Como conclusión de lo anterior, si se recurre a un inicio complejo, aumenta significativamente el área de

convergencia del FLF ante casos infactibles. En cambio, si se usa este mismo tipo de perfil ante casos factibles,

se empeora un poco la convergencia del método, pudiendo tardar algo más en converger el FLF (normalmente

una iteración más). Para más información acerca de la estrategia de inicialización, consultar [18].

21

21

4 SOLUCIÓN FACTORIZADA EN CARTESIANAS

n este apartado se introducirá, se explicará y analizará detalladamente una variante del FLF visto en el

apartado anterior, denominado ‘Flujo de Cargas Factorizado en Coordenadas Cartesianas’ (FLFRC).

En cuanto a la formulación, la diferencia entre el FLF y FLFRC es que, en el primero, se usan coordenadas

polares para definir el vector tensión de cada nudo, mientras que en el segundo, se hace uso de coordenadas

cartesianas:

𝒰𝑖 = 𝑉𝑖𝑒𝑗𝜃𝑖 = 𝑒𝑖 + 𝑗𝑓𝑖 (59)

Esto implica varios cambios importantes en la formulación del problema y en el método de resolución,

obteniéndose distintas conclusiones respecto a las que se vieron del FLF, las cuales se especificarán en apartados

posteriores.

El riesgo de los logaritmos de complejos de parte real negativa

4.1.1 Identificación del problema

Anteriormente, en el FLF, se vió que una vez pasado el límite de máxima cargabilidad del sistema empiezan

a surgir componentes imaginarias en la solución (𝑉𝑖 y 𝜃𝑖). Sin embargo, llegado a un cierto valor muy alto de la

carga del sistema (ya en caso infactible), el método no converge, dando resultados ‘NaN’ (‘Not a Number’).

El problema anterior aparece a la hora de calcular logaritmos de números complejos cuya parte real es negativa.

Esto implica que pueda no cumplirse la propiedad ln(𝑎 ∗ 𝑏) = ln(𝑎) + ln (𝑏), lo que influye en el cálculo de

la matriz 𝐶, matriz que se mantiene numéricamente y dimensionalmente constante mientras no se cambie la

topología de la red, haciendo que el método no converja a ninguna solución.

A continuación se detalla el porqué cuando la parte real de 𝑎 o 𝑏, o ambas, se hace negativa, la propiedad

ln(𝑎 ∗ 𝑏) = ln(𝑎) + ln (𝑏) puede no cumplirse:

Como se ve en [26], el logaritmo natural de un número complejo 𝑎 es otro número complejo 𝑥 = ln (𝑎) que

sea solución de la ecuación:

𝑎 = 𝑒𝑥 (60)

La ecuación anterior no tiene solución única, de hecho, tiene un número infinito de soluciones. Si 𝑎 = 𝑣 + 𝑗𝑤,

entonces:

ln(𝑎) = ln|𝑎| + 𝑗𝐴𝑛𝑔(𝑎) + 𝑗2𝜋𝑘 (61)

donde |𝑎| es el módulo de 𝑎 (|𝑎| = √𝑣2 + 𝑤2), y 𝐴𝑛𝑔(𝑎) es el argumento principal de 𝑎 (𝐴𝑛𝑔(𝑎) =

tan−1 𝑤

𝑣), que está comprendido entre (−𝜋, 𝜋].

Lo anterior hace que la propiedad ln(𝑎 ∗ 𝑏) = ln(𝑎) + ln (𝑏) pueda no ser correcta, ya que ambos lados de

la igualdad pueden diferir por un entero múltiplo de 𝑗2𝜋. A continuación se exponen algunos ejemplos:

E

22

22

Ejemplos

ln(−𝑗) = −𝜋

2𝑗 ≠

𝜋

2𝑗 + 𝜋𝑗 = ln(𝑗) + ln (−1)

Sea 𝑎 un entero negativo:

ln(𝑎 ∗ 𝑎) = ln|𝑎|2 ≠ ln(𝑎) + ln (𝑎)

ln((−2) ∗ (−2)) = ln((−2)2) = 1.3863 ≠ 1.3863 + 𝑗2𝜋 = ln(−2) + ln (−2)

Sea 𝑎 = −0.5 + 𝑗 y 𝑏 = 2 + 𝑗0.5

ln(𝑎 ∗ 𝑏) = 0.835 + 𝑗2.2794 = ln(𝑎) + ln (𝑏), luego se cumple la propiedad.

Sea 𝑎 = −0.5 + 𝑗 y 𝑏 = −2 + 𝑗0.5

ln(𝑎 ∗ 𝑏) = 0.835 − 𝑗1.3521 ≠ 0.835 + 𝑗4.9311 = ln(𝑎) + ln (𝑏)

Fin de ejemplo

Como conclusión, cuando aparecen partes reales negativas, puede no cumplirse la propiedad ln(𝑎 ∗ 𝑏) =ln(𝑎) + ln (𝑏), por lo que la construcción de la matriz 𝐶 no sería válida, lo que hace que el problema diverja.

4.1.2 Offset como solución

Como solución al problema anterior, se introduce la idea de sumar un offset que se basa en añadir un número

natural positivo 𝑚 a las variables del problema. Es decir, consiste en sumar una constante a todas las 𝑒 y 𝑓 de

cada nudo, obteniendo un vector de tensiones ampliado 𝒰𝑖′:

𝒰𝑖 = 𝑒𝑖 + 𝑗𝑓𝑖

𝒰𝑖′ = 𝑒𝑖

′ + 𝑗𝑓𝑖′ = (𝑒𝑖 + 𝑚) + 𝑗(𝑓𝑖 + 𝑚)

Esta suma se realiza en el momento en el que se construye el perfil inicial de tensiones, y cuando el problema

converja a una solución, se obtendrán las componentes 𝑒𝑖′ y 𝑓𝑖

′ a las que se tendrán que restar el offset introducido

para obtener la solución real:

𝑒𝑖 = 𝑒𝑖′ − 𝑚

𝑓𝑖 = 𝑓𝑖′ − 𝑚

Esta idea permite que a la hora de calcular logaritmos, la parte real nunca sea negativa. Lo anterior implica que

la matriz 𝐶 (que siempre es constante durante el problema, a menos que cambie la topología de la red) sea

siempre válida, al cumplirse siempre la relación ln(𝑎 ∗ 𝑏) = ln(𝑎) + ln (𝑏).

Todo esto permite, una vez pasado el límite de máxima cargabilidad, conseguir la convergencia del método

para cargas mayores que con el FLF, ya que éste último se quedaba en una cierta carga como límite, debido a la

aparición de logaritmos de complejos con parte real negativa. La solución del offset no es extensible al FLF, ya

que se complica bastante la formulación matemática.

23

23

La introducción del offset como solución implica dos problemas:

1. Complica y cambia bastante la formulación y el algoritmo de resolución respecto al FLFRC sin offset,

tal y como se explicará y analizará posteriormente (Sección 4 y Sección 4.3).

2. El offset se trata de un parámetro libre del problema, es decir, se podrá variar como convenga,

dependiendo de la situación. Este offset no afecta al valor numérico de la solución, pero, el problema

radica en que cada red necesita distintos offsets, dependiendo del valor de la carga (una vez pasado el

límite de máxima cargabilidad, cuando aparecen logaritmos de números negativos). Como se verá

posteriormente, para casos factibles e infactibles sin riesgo de logaritmos de números negativos, el valor

del offset no importa (siempre que sea distinto de 0).

Formulación

A continuación, se verá la formulación del FLFRC con la introducción del offset, para ayudar a comprenderla

mejor, se introducirá un ejercicio resuelto paso a paso a modo de ejemplo aplicado a un caso muy sencillo de

una red de dos nudos. Antes de empezar con la formulación anterior, cabe destacar que anterior a ella se implantó

y se estudió otra formulación distinta, sin offset. Esta formulación fue la primera en analizarse, y tenía algunas

ventajas tales como el reducido número de variables y su similitud con el FLF en cuanto a la formulación. Sin

embargo, fue aquí donde nos dimos cuenta del problema citado anteriormente, concretamente se localizó en dos

variables del problema, observando que la parte real del logaritmo complejo se hacía negativa. Esta primera

formulación sin offset está recogida en el apartado Anexo, y al igual que en la formulación con offset, se ha

añadido el mismo ejemplo de ejercicio, con el objetivo de ayudar a comprender mejor esta formulación. Todo

lo anterior dió lugar a la introducción del offset del cuál se habló antes, y cuya formulación se detalla a

continuación.

4.2.1 Formulación con offset

Al introducir el offset en el vector complejo de tensiones, la formulación del FLFRC cambia drásticamente

con respecto a la formulación sin offset recogida en Anexo.

Como ya se dijo, el vector de tensiones 𝒰𝑖 se sustituye por 𝒰𝑖′:

𝒰𝑖 = 𝑒𝑖 + 𝑗𝑓𝑖 → 𝒰𝑖′ = 𝑒𝑖

′ + 𝑗𝑓𝑖′ = (𝑒𝑖 + 𝑚) + 𝑗(𝑓𝑖 + 𝑚)

donde 𝑚 es el valor del offset. Luego, las variables nuevas son ahora 𝑒𝑖′ = 𝑒𝑖 + 𝑚 y 𝑓𝑖

′ = 𝑓𝑖 + 𝑚

Recordemos que la introducción del offset se realiza cuando se construye el perfil inicial de tensiones, y que

cuando el problema converge, basta con obtener [𝑒1′ , 𝑒2

′ , … , 𝑒𝑁′ |𝑓1

′, 𝑓2′, … , 𝑓𝑁

′ ] y deshacer el cambio de la

siguiente forma:

𝑒𝑖 = 𝑒𝑖′ − 𝑚 (62)

𝑓𝑖 = 𝑓𝑖′ − 𝑚 (63)

En este caso, el sistema de ecuaciones a resolver sigue siendo el mismo visto en la Sección 3.1:

𝐸𝑦 = 𝑝 (64)

𝑢 = 𝑓(𝑦) (65)

𝐶𝑥 = 𝑢 (66)

24

24

La introducción del offset hace que vuelva a cambiar el vector de estado 𝑥, y con ello todas las variables del

problema, las cuales se definen de la siguiente forma:

El vector de estado 𝑥, compuesto por 2𝑁 elementos:

𝑥 = [𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑁|𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑁]𝑇 (67)

donde

𝛼𝑖 = ln 𝑒𝑖′ = ln(𝑒𝑖 + 𝑚) (68)

𝛽𝑖 = ln𝑓𝑖′ = ln(𝑓𝑖 + 𝑚) (69)

Vector 𝑦, cuya dimensión es ahora 4(𝑁 + 𝑏):

𝑦 = {𝑒𝑖′2, 𝑓𝑖

′2, 𝑒𝑖′, 𝑓𝑖

′, 𝑒𝑖′𝑒𝑗

′, 𝑓𝑖′𝑓𝑗

′, 𝑒𝑖′𝑓𝑗

′, 𝑓𝑖′𝑒𝑗

′} (70)

El vector 𝑢, también de dimensión 4(𝑁 + 𝑏), se obtiene de una forma más sencilla de la que se vió en

la formulación anterior:

𝑢 = ln𝑦 = {ln(𝑒𝑖′2) , ln(𝑓𝑖

′2) , ln 𝑒𝑖′ , ln 𝑓𝑖

′ , ln(𝑒𝑖′𝑒𝑗

′) , ln(𝑓𝑖′𝑓𝑗

′) , ln(𝑒𝑖′𝑓𝑗

′) , ln(𝑓𝑖′𝑒𝑗

′)} (71)

volviéndose a cumplir la relación

𝑦 = exp(𝑢) = 𝑓−1(𝑢)

Vector 𝑝, de 2𝑛 − 1 componentes:

𝑝 = [𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 , 𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑁𝑃𝑉|𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑁−1|𝑄1, 𝑄2, … , 𝑄𝑁𝑃𝑄

]𝑇 (72)

Sin embargo, a la hora de resolver 𝑝 = 𝐸𝑦, no se usa el vector 𝑝. En su lugar, se recurre a un vector 𝑝

modificado, �̂�, como sigue a continuación :

�̂� = 𝑝 − 𝑝𝐼 (73)

donde 𝑝𝐼 es un vector que contiene los términos independientes que resultan al aplicar las siguientes

ecuaciones:

𝑈𝑖𝑆𝑃 = 𝑈𝑖 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑃𝑉) (74)

𝑃𝑖𝑆𝑃 = 𝐺𝑖𝑖𝑈𝑖 + ∑[𝐺𝑖𝑗𝑈𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗𝑊𝑖𝑗]

𝑁−1

𝑗≠𝑖

(75)

𝑄𝑖𝑆𝑃 = −𝐵𝑖𝑖𝑈𝑖 + ∑[𝐺𝑖𝑗𝑊𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗𝑈𝑖𝑗]

𝑁𝑃𝑄

𝑗≠𝑖

(76)

25

25

donde

𝑈𝑖 = 𝑉𝑖2 = 𝑒𝑖

2 + 𝑓𝑖2 (77)

𝑈𝑖𝑗 = 𝑒𝑖𝑒𝑗 + 𝑓𝑖𝑓𝑗 (78)

𝑊𝑖𝑗 = −𝑒𝑖𝑓𝑗 + 𝑓𝑖𝑒𝑗 (79)

Los términos independientes citados anteriormente son aquellos que no dependen de ninguna variable

contenida en el vector 𝑦, definido en (70). Todo esto se verá mas claramente en un ejemplo de aplicación

del FLFRC con offset.

Al cambiar el vector auxiliar 𝑦, la construcción de la matriz 𝐸 también cambia drásticamente, pues esta

expresa la relación del vector 𝑦 con el vector 𝑝. Esta relación viene dada por las ecuaciones (74), (75)

y (76) para las cuales es necesario transformar las variables {𝑈𝑖 , 𝑈𝑖𝑗 ,𝑊𝑖𝑗}, para que estén dadas en

función de 𝑒𝑖′ y 𝑓𝑖

′, ya que originalmente están escritas en función de 𝑒𝑖 y 𝑓𝑖:

Sustituyendo (62) y (63) en (77), (78) y (79), se obtienen las siguientes expresiones en función de las

variables 𝑒𝑖′ y 𝑓𝑖

′ de {𝑈𝑖 , 𝑈𝑖𝑗 ,𝑊𝑖𝑗}:

𝑈𝑖 = 𝑒𝑖′2 + 𝑓𝑖

′2 − 2𝑚𝑒𝑖′ − 2𝑚𝑓𝑖

′ + 2𝑚2 (80)

𝑈𝑖𝑗 = 𝑒𝑖′𝑒𝑗

′ + 𝑓𝑖′𝑓𝑗

′ − 𝑚𝑒𝑖′ − 𝑚𝑒𝑗

′ − 𝑚𝑓𝑖′ − 𝑚𝑓𝑗

′ + 2𝑚2 (81)

𝑊𝑖𝑗 = −𝑒𝑖′𝑓𝑗

′ + 𝑓𝑖′𝑒𝑗

′ + 𝑚𝑒𝑖′ − 𝑚𝑒𝑗

′ − 𝑚𝑓𝑖′ + 𝑚𝑓𝑗

′ (82)

Aplicando las ecuaciones anteriores a (74), (75) y (76) ya es posible construir la nueva matriz 𝐸, de

dimensiones 𝑛 × 4(𝑁 + 𝑏).

Matriz 𝐶, obtenida igual que anteriormente, de dimensiones 4(𝑁 + 𝑏) × 2𝑁 y definida por las

siguientes igualdades:

ln 𝑒𝑖′2 = 2 ln 𝑒𝑖

′ = 2𝛼𝑖

ln 𝑓𝑖′2 = 2 ln 𝑓𝑖

′ = 2𝛽𝑖

ln 𝑒𝑖′ = 𝛼𝑖

ln 𝑓𝑖′ = 𝛽𝑖

ln 𝑒𝑖′𝑒𝑗

′ = ln 𝑒𝑖′ + ln 𝑒𝑗

′ = 𝛼𝑖 + 𝛼𝑗

ln 𝑓𝑖′𝑓𝑗

′ = ln𝑓𝑖′ + ln𝑓𝑗

′ = 𝛽𝑖 + 𝛽𝑗

ln 𝑒𝑖′𝑓𝑗

′ = ln 𝑒𝑖′ + ln𝑓𝑗

′ = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑗

ln 𝑓𝑖′𝑒𝑗

′ = ln𝑓𝑖′ + ln 𝑒𝑗

′ = 𝛽𝑖 + 𝛼𝑗

Cabe destacar que las igualdades anteriores sólo son ciertas si no existen logaritmos con parte real

negativa, tal y como se vio en el apartado 4.1.

26

26

Una vez obtenidas estas expresiones, la relación entre 𝑢 y 𝑥 es inmediata:

[ ln 𝑒𝑖

′2

ln 𝑓𝑖′2

ln 𝑒𝑖′

ln 𝑓𝑖′


′


′


′


′]

= 𝐶

[ 𝛼1

⋮𝛼𝑁

𝛽1

⋮𝛽𝑁]

Finalmente, se obtiene el mismo sistema de ecuaciones que se obtuvo anteriormente, pero este presenta algunas

diferencias:

[𝐸�̃�−1𝐶′]𝑥𝑘+1′ = 𝐸�̃�−1�̂� (83)

1) 𝐶′ es la matriz reducida de 𝐶 y se usa para que el producto [𝐸�̃�−1𝐶′] sea invertible. Esta matriz se

obtiene suprimiendo la columna correspondiente a 𝛽𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 de 𝐶, pero, al ser no nulo 𝛽𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 debido a que

𝛽𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 = ln 𝑓𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘′ = ln(𝑓𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 + 𝑚) = ln𝑚 (suponiendo que 𝑓𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 es nulo), hay que hacer una

corrección en el vector 𝑢.

2) �̂� es una versión corregida del vector 𝑢, producto del problema anterior. Este se obtiene restando a 𝑢 la

columna correspondiente a 𝛽𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 de la matriz 𝐶:

�̂� = 𝑢 − 𝐶(: , 𝛽𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘) ln(𝑚) (84)

En este caso, el jacobiano de 𝑓(∙) es de una forma más simple que la vista en el FLFRC sin offset:

�̃�−1 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑦) (85)

donde 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑦) es una matriz diagonal, de tamaño 4(𝑁 + 𝑏) × 4(𝑁 + 𝑏), cuyos elementos son los del vector

auxiliar 𝑦. La demostración de la expresión (85) queda recogida en el apartado ‘Anexo’.

Por último, decir que del sistema de ecuaciones final (83) se obtiene 𝑥𝑘+1′ , siendo 𝑥′ un vector reducido del

vector de estado 𝑥. Para obtener éste último vector, habría que añadir 𝛽𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 a 𝑥′, siendo 𝛽𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 = ln (𝑚) (con

la suposición que se vió anteriormente).

27

27

Ejemplo. Aplicación del FLFRC con offset a un sistema de dos nudos

Al igual que en el ejemplo desarrollado en el Anexo, se analiza el siguiente sistema:

Figura 10. Sistema de 2 nudos (versión 2)

El objetivo del problema es obtener la tensión compleja del nudo dos de la figura, 𝑉 ∟𝜃, sabiendo que la

potencia demandada en ese punto es de 200 MW y la reactiva demandada de 50 MW. Sabemos que la solución

es 𝒰2 = 0.9001 − 𝑗0.2 .

Empezamos definiendo el valor del offset y el criterio de convergencia:

Valor del offset: 𝑚 = 2

Criterio de convergencia, ∆𝑝𝑘 ≤ 0.001.

Datos de la red:

𝒴 = [𝐺11 + 𝑗𝐵11 𝐺12 + 𝑗𝐵21

𝐺21 + 𝑗𝐵21 𝐺22 + 𝑗𝐵22] = [

−𝑗10 𝑗10𝑗10 −𝑗10

], donde 𝒴 es la matriz de admitancias.

𝑈1 = 𝑒12 + 𝑓1

2 = 1 𝑝𝑢

𝑝 = [𝑈1

𝑃2

𝑄2

] = [1

−2−0.5

] 𝑃2 =−200 𝑀𝑊

100 𝑀𝑊= −2 𝑝𝑢

𝑄2 =−50 𝑀𝑊

100 𝑀𝑊= −0.5 𝑝𝑢

Vector de estado 𝑥 y vectores auxiliares, 𝑢 e 𝑦:

𝑥 = [

𝛼1

𝛼2

𝛽1

𝛽2

] → 𝑥′ = [

𝛼1

𝛼2

𝛽2

] ; 𝑦 =

[ 𝑒1

′2

𝑒2′ 2

𝑓1′2

𝑓2′2

𝑒1′

𝑒2′

𝑓1′

𝑓2′

𝑒1′𝑒2

′

𝑓1′𝑓2

′

𝑒1′𝑓2

′

𝑓1′𝑒2

′ ]

; 𝑢 = ln𝑦 =

[

2𝛼1

2𝛼2

2𝛽1

2𝛽2

𝛼1

𝛼2

𝛽1

𝛽2

𝛼1 + 𝛼2

𝛽1 + 𝛽2

𝛼1 + 𝛽2

𝛽1 + 𝛼2]

28

28

Matriz 𝐸 y vector �̂�:

𝑈1 = 𝑒1′2 + 𝑓1

′2 − 2𝑚𝑒1′ − 2𝑚𝑓1

′ + 2𝑚2

𝑈21 = 𝑒2′𝑒1

′ + 𝑓2′𝑓1

′ − 𝑚𝑒2′ − 𝑚𝑒1

′ − 𝑚𝑓2′ − 𝑚𝑓1

′ + 2𝑚2

𝑊21 = −𝑒2′𝑓1

′ + 𝑓2′𝑒1

′ + 𝑚𝑒2′ − 𝑚𝑒1

′ + 𝑚𝑓1′ − 𝑚𝑓2

′

𝑈1 = 𝑈1

𝑃2 = 𝐺22𝑈2 + 𝐺21𝑈21 + 𝐵21𝑊21

𝑄2 = −𝐵22𝑈2 + 𝐺21𝑊21 − 𝐵21𝑈21

Sustituyendo las expresiones anteriores en las expresiones de 𝑈1, 𝑃2 y 𝑄2 , y ordenando los términos,

obtenemos:

𝑈1 = 𝑒1′2 + 𝑓1

′2 − 2𝑚𝑒1′ − 2𝑚𝑓1

′ + 2𝑚2

𝑃2 = 𝐺22𝑒2′ 2 + 𝐺22𝑓2

′2 + 𝑒2′(−2𝑚𝐺22 − 𝑚𝐺21 + 𝑚𝐵21) + 𝑓2

′(−2𝑚𝐺22 − 𝑚𝐺21 − 𝑚𝐵21)+ 𝑒1

′(−𝑚𝐺21 − 𝑚𝐵21) + 𝑓1′(−𝑚𝐺21 + 𝑚𝐵21) + 𝑒1

′𝑒2′(𝐺21) + 𝑓1

′𝑓2′(𝐺21)

+ 𝑒2′𝑓1

′(−𝐵21) + 𝑓2′𝑒1

′(𝐵21) + 2𝑚2(𝐺22 + 𝐺21)

𝑄2 = −𝐵22𝑒2′ 2 − 𝐵22𝑓2

′2 + 𝑒2′(2𝑚𝐵22 + 𝑚𝐺21 + 𝑚𝐵21) + 𝑓2

′(2𝑚𝐵22 − 𝑚𝐺21 + 𝑚𝐵21)+ 𝑒1

′(𝑚𝐵21 − 𝑚𝐺21) + 𝑓1′(𝑚𝐵21 + 𝑚𝐺21) + 𝑒1

′𝑒2′(−𝐵21) + 𝑓1

′𝑓2′(−𝐵21)

+ 𝑒2′𝑓1

′(−𝐺21) + 𝑓2′𝑒1

′(𝐺21) + 2𝑚2(−𝐵22 − 𝐵21)

Con esto, la matriz queda definida como:

𝐸 = [1 0 1 0 −4 0 −4 0 0 0 0 00 0 0 0 −20 20 20 −20 0 0 10 −100 10 0 10 20 −20 20 −20 −10 −10 0 0

]

Y por último, el vector �̂�:

𝑝𝐼 = [

2𝑚2

2𝑚2(𝐺22 + 𝐺21)

−2𝑚2(𝐵22 + 𝐵21)

] = [800]

�̂� = 𝑝 − 𝑝𝐼 = [1

−2−0.5

] − [800] = [

−7−2

−0.5]

29

29

Cálculo de la matriz 𝐶 y de �̂�:

𝑢 = 𝐶𝑥 → ln(𝑦) = 𝐶 [

𝛼1

𝛼2

𝛽1

𝛽2

] =

[

2𝛼1

2𝛼2

2𝛽1

2𝛽2

𝛼1

𝛼2

𝛽1

𝛽2

𝛼1 + 𝛼2

𝛽1 + 𝛽2

𝛼1 + 𝛽2

𝛽1 + 𝛼2]

luego 𝐶 =

[ 2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 21 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 11 1 0 00 0 1 11 0 0 10 1 1 0]

→ 𝐶′ =

[ 2 0 00 2 00 0 00 0 21 0 00 1 00 0 00 0 11 1 00 0 11 0 10 1 0]

�̂� = 𝑢 − 𝐶(: , 𝛽1) ∗ ln(𝑚) = 𝑢 −

[ 002000100101]

ln 2

�̃�−1 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑦)

Una vez definidas y construidas todas las variables del problema, se ejecuta el mismo proceso iterativo que se

ha desarrollado en el Ejemplo del apartado Anexo, hasta que se cumple la condición:

max(|∆𝑝𝑘|) ≤ 0.001

30

30

Una vez cumplida, se obtienen los valores de 𝛼2 y 𝛽2, por lo que hay que deshacer el cambio:

𝑒2′ = exp(𝛼2) → 𝑒2 = 𝑒2

′ − 𝑚 = 0.9000

𝑓2′ = exp(𝛽2) → 𝑓2 = 𝑓2

′ − 𝑚 = −0.2000

obteniéndose como solución:

𝒰2 = 0.9000 − 𝑗0.2000 ≈ 0.9001 − 𝑗0.2

Fin de ejemplo

Algoritmo de resolución con offset

De forma muy similar al algoritmo de resolución del FLF, se definen los siguientes pasos de resolución:

Paso 0: inicialización

Se escoge un perfil inicial de tensiones, normalmente un perfil plano, además es necesario fijar un valor para

el offset distinto de 0, ya que sin él, el proceso no podría ejecutarse debido a que el producto 𝐸𝐸′ se convierte

en singular. Con él se obtiene el vector de estado 𝑥0′ = [ln 𝑒1

′ , ln 𝑒2′ , … , ln 𝑒𝑁

′ | ln 𝑓1′, ln 𝑓2

′, … , ln 𝑓𝑁′ ]𝑇.

Una vez se tiene 𝑥0′ , se construye 𝑦0 = 𝑓−1(𝐶𝑥0

′ ).

Cabe destacar que, si vamos a analizar un caso que se encuentre en zona infactible, hay que inicializar el

método con un perfil con una cierta componente imaginaria en las variables 𝑒′ y 𝑓′ (es decir, 𝑒′ y 𝑓′ ambas

complejas), pues en caso contrario, el método no funciona. El valor óptimo de esta semilla imaginaria se verá

en la Sección 6, aunque podemos adelantar que con un valor muy pequeño (por ejemplo, 𝑗0.001), ya es

suficiente para que converja. En caso de que no sepamos si se trata de un caso factible o infactible, podemos

inicializar siempre con un perfil complejo. Esto último puede implicar que en zona factible se tarde un poco más

en converger (una iteración más, normalmente), tal y como se verá en la Sección 6.

Paso 1:

1.1. Construir �̂� = 𝑝 − 𝑝𝐼

1.2. Calcular ∆�̂�𝑘 = �̂� − �̂�𝑘, donde �̂�𝑘 = 𝐸𝑦𝑘

1.3. Obtener ∆𝑦𝑘, resolviendo:

∆�̂�𝑘 = 𝐸∆𝑦𝑘

1.4. Obtener �̃�𝑘 de:

�̃�𝑘 = 𝑦𝑘 + ∆𝑦𝑘

31

31

Paso 2:

2.1. Calcular 𝑢𝑘, transformarlo en �̂�𝑘 y calcular el jacobiano �̃�−1:

𝑢𝑘 = ln �̃�𝑘

�̃�−1 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(�̃�𝑘)

Paso 3:

3.1. Obtener 𝑥𝑘+1′ , resolviendo:

[𝐸�̃�−1𝐶′]𝑥𝑘+1′ = 𝐸�̃�−1�̂�𝑘

3.2. Completar 𝑥𝑘+1′ con ln𝑚 , para obtener 𝑥𝑘+1

3.3. Obtener 𝑦𝑘+1:

𝑦𝑘+1 = ln𝑢𝑘+1

donde, 𝑢𝑘+1 = 𝐶𝑥𝑘+1

Paso 4:

4.1. Comprobar la convergencia, si ||�̂� − 𝐸𝑦𝑘+1||∞ es lo suficientemente pequeño, entonces seguir con

el paso 5. En caso contrario, volver al paso 1.2.

Paso 5:

5.1. Obtener:

[𝑒1′ , 𝑒2

′ , … , 𝑒𝑁′ |𝑓1

′, 𝑓2′, … , 𝑓𝑁

′ ]𝑇 = exp (𝑥′)

5.2. Deshacer el cambio, restando el valor del offset 𝑚 a cada componente del vector anterior,

obteniendo:

[𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑁|𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑁]𝑇

5.3. Construir el vector de tensiones en forma rectangular:

𝒰 = [

𝑒1 + 𝑗𝑓1𝑒2 + 𝑗𝑓2

⋮𝑒𝑁 + 𝑗𝑓𝑁

]

En la Figura 11 se muestra un diagrama de flujo que resume todo el proceso de manera más gráfica, al igual

que se hizo con el FLF.

32

32

Figura 11. Algoritmo de resolución del FLFRC

33

33

Límites de reactiva en nudos PV generalizada

Al igual que se vió en la Sección 2.3, la formulación del FLF y del FLFRC sólo tienen en cuenta las

restricciones de igualdad impuestas por los nudos de consumo y de generación. Sin embargo, en la realidad se

tienen en cuenta otros tipos de restricciones.

La restricción adicional más habitual es

la de límite de reactiva en nudos PV,

aplicándose a la potencia reactiva

generada o absorbida por los generadores

que regulan la tensión de un nudo.

Cuando se sobrepasa unos de estos

límites, el nudo de generación (nudo PV)

pasa a ser un nudo de consumo ficticio,

PQ (inyectando o absorbiendo potencia).

La implantación de un algoritmo que

tenga en cuenta la restricción anterior

hace que se incremente el número de

iteraciones del método numérico. El

algoritmo que se usaba anteriormente

implicaba calcular en cada iteración la

reactiva que un generador tiene que

inyectar para mantener su tensión

constante, y compararla con los límites. Si

se viola algún límite, la tensión del nudo

regulado no puede mantenerse en el valor

𝒰𝑒𝑠𝑝, pasando a ser éste un nudo de

consumo con 𝑄𝑒𝑠𝑝 = 𝑄𝑙𝑖𝑚. En las

ilustraciones de la derecha se expone un

ejemplo muy sencillo de un generador

que, debido a un aumento en la demanda,

supera los límites de reactiva,

convirtiéndose en un nudo PQ ficticio.

Como novedad, se propone un nuevo

algoritmo de tratamiento de límites de

reactiva en nudos PV. Éste está basado en

la idea de no tener que calcular la reactiva

inyectada por los generadores ni tener que

compararla con los límites en cada

iteración, sino sólamente cuando estamos

los suficientemente cerca de una solución

fiable.

Para implementar este algoritmo, basta con iniciar el método con un perfil complejo. Al traterse de zona

factible (ya que el control de reactiva en zona infactible carece de sentido), se convergerá siempre a una solución

en el dominio real, lo que implica que la parte imaginaria introducida en el perfil inicial de tensiones se irá

haciendo en cada iteración más pequeña, hasta hacerse nula.

Aprovechando la propiedad anterior, basta con incluir la condición de que se realice el control de reactiva sólo

cuando se está lo suficientemente cerca de una solución, es decir, cuando la parte imaginaria que se mencionó

anteriormente sea menor que un valor lo suficientemente pequeño, como por ejemplo de 10−4. Todo esto

ayudaría a rebajar la parte de cálculo del método numérico completo, ya que no se calcularía la reactiva ni se

compararía con sus límites en todas las iteraciones. Por último cabe destacar que al modificarse la topología de

un nudo (pasar de PV a PQ) implica un cambio importante en la matriz 𝐸 y en los vectores 𝑝 y 𝑝𝐼, lo que

complica bastante la programación del método, ya que hay que añadir y quitar dinámicamente filas y columnas

de los elementos anteriormente nombrados.

Figura 12. Nudo fuera de límites de reactiva

34

34

5 ENTORNO DE PROGRAMACIÓN

in entrar en detalle en el código del programa y en sus respectivas partes, el objetivo de este apartado

es definir e ilustrar las fases en las que se ha dividido la programación completa del FLFRC. El siguiente

esquema resumiría todo lo anterior:

S

35

35

Figura 13. Fases de la programación

Como se observa, consta de cuatro fases, pero la primera fase de lectura de párametros de la red solo sería

necesario que se ejecutara una única vez, mientras la topología de la red no cambie. De esta forma se guardan

los datos obtenidos en esa primera fase y empezaríamos directamente desde la segunda. La definición de los

parámetros de entrada dependen del usuario y del tipo de análisis que quiera realizar, y a ello le seguiría la

ejecución del FLFRC, en el cual se ha implementado la medición del tiempo de ejecución para extraer

conclusiones y compararlo con otros programas. Por último vendría la presentación de aquellos resultados en

los que se esté interesado, ya que resuelto el problema de tensiones, todas las demás magnitudes eléctricas son

conocidas.

36

36

6 RESULTADOS

n este apartado se aplicará el FLFRC a cinco redes muy distintas con el objetivo de analizar el método

y extraer conclusiones. Para ello se ha realizado una serie de tablas comparativas, que recogen

información de todas las redes (cinco en total). Posteriormente se desarrollará un estudio más detallado

en dos de éstas redes, de manera más gráfica. La primera red de las dos nombradas anteriormente consta de 14

nudos, y es una red de prueba propuesta por la IEEE [3], la segunda red consta de 3120 nudos, y representa la

red polaca de transporte del verano de 2008 [4]. En el apartado Anexo se realizará el mismo estudio a otras redes

de diversos tamaños, dos de ellas son otras redes de prueba, propuestas por la IEEE, de 118 y 300 nudos [3] y

otra de 1354 nudos que representa la red de trasnporte europea de alto voltaje [4].

Uno de los objetivos que se persigue, entre otros, es el de minimizar el número de iteraciones y el tiempo de

cálculo, aunque, para este último el programa desarrollado no ha sido optimizado. Sin embargo, se obtienen

unos tiempos bastante buenos en comparación con otra plataforma, MatPower V5.1. [4], cuyos resultados

veremos a continuación en forma de tablas.

Antes de analizar los resultados cabe destacar que el FLFRC contiene hasta dos parámetros libres, los cuales

hay que fijar antes de iniciar el método, siendo estos: el valor del offset (𝑚) y la semilla imaginaria (S.I.). El

hecho de tener esta libertad no es un problema si nuestro único objetivo es el de obtener el estado de la red, pero

si queremos reducir el número de iteraciones y el coste computacional, habrá que sintonizar las variables

adecuadas al valor óptimo.

El nivel de carga del sistema se identifica con la letra 𝜆, y es un valor constante que multiplica a todas las

potencias de todos los nudos, ya sean generadas o demandadas, lo que aumenta o disminuye el nivel de carga

original del sistema. Este valor pertenece al modelo de la red, por lo que se establece antes de aplicar el FLFRC.

A partir de un cierto valor de 𝜆 el caso se convierte en infactible, obteniéndose resultados con parte imaginaria

en cada componente, este valor es denominado como límite de máxima cargabilidad.

Nota: los estudios se han realizado en un ordenador portátil con un procesador Intel Celeron P4600, 2.00 GHz

2.00 GHz, con una memoria RAM de 3GB y con Windows 8.1 como sistema operativo.

Tablas comparativas para distintas redes

A continuación se recoge en forma de tabla un primer análisis del FLFRC aplicado al caso base de cada red

citada anteriormente. Consideramos el caso base como aquel en el que el nivel de carga es el original que traen

las redes. En este primer estudio se ha utilizado un perfil plano, usando una semilla imaginaria (𝑆. 𝐼.) nula y el

valor del offset (𝑚) que minimiza el número de iteraciones y tiempo de cálculo. El límite de convergencia se ha

establecido en 10−4, valor a partir del cual (valores menores del límite de convergencia) se considera que se ha

obtenido una solución lo suficientemente fiable.

Tabla 3. Pimer análisis del FLFRC ante casos bases de distintas redes

E

37

37

Ahora se analizan los mismos casos anteriores realizando algunas modificaciones. En las siguientes tablas que

se muestran, las primeras dos columnas, se trata el método variando la semilla imaginaria. La primera de ellas

es con una 𝑆. 𝐼. de 𝑗0.3 y la otra con una 𝑆. 𝐼. nula que son sumadas al perfil plano, usando siempre el mismo

valor de offset (𝑚 = 50), valor genérico que permite la convergencia en todos estos casos. Todo lo anterior se

compara con una herramienta de flujo de cargas, denominado MatPower. La primera tabla que se observa se ha

realizado para el caso base de cada sistema, y la siguiente a ella, para el límite de máxima cargabilidad. En ellas

se analiza también las iteraciones y el tiempo de cálculo que el método ha necesitado.

Tabla 4. Iteraciones y tiempo de cálculo para el caso base

Tabla 5. Iteraciones y tiempo de cálculo para el límite de máxima cargabilidad

En la Tabla 4 se ha ejecutado el FLFRC ante el caso base de cada red. Se observa que se obtienen unos

resultados muy parecidos si lo comparamos con MatPower, a pesar de no estar optimizado el código, y que la

principal diferencia entre inicializar el método con una semilla imaginaria o no, reside en el tiempo de cálculo,

siendo este menor cuando no se incluye una semilla imaginaria.

Si comparamos la Tabla 3 con la segunda columna de la Tabla 4 observamos que el hecho de tomar un offset

genérico que sirva ante todos los casos, en vez de usar un offset óptimo para cada red, implica a veces una

iteración más. En concreto lo anterior sucede para las redes de 118 y 300 nudos. Como ventaja se observa que

para la red más grande, de 3120 nudos, el FLFRC converge en una iteración menos que el método de Newton-

Raphson, sin embargo, para las redes de 300 y 1354 nudos, ocurre lo contrario.

En la Tabla 5, se ha realizado el mismo estudio que en la Tabla 4 con la diferencia de que en ésta se ha variado

el estado de la carga, el cuál se ha fijado en el máximo posible (límite de máxima cargabilidad), justo antes de

que aparezcan componentes imaginarias en la solución. Se extraen las mismas conclusiones que anteriormente

y cabe destacar que es posible reducir el número de iteraciones y el tiempo de cálculo escogiendo los valores

óptimos de los parámetros libres para cada red.

En la siguiente tabla se analizará el mismo caso que vimos en la tabla anterior, es decir, se analizará el límite

de máxima cargabilidad, pero esta vez implementando el control de límites de reactiva en nudos PV. Este control

se ha realizado de dos formas distintas:

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38

FLFRC 1: se calcula la reactiva inyectada por los generadores y se compara con los límites cuando se

está lo suficientemente cerca de una solución que, en este caso, se considera cuando se alcanzan tres

iteraciones. Es decir, cuando el programa ha realizado tres iteraciones, se implementa el control de

reactiva.

FLFRC 2: el algoritmo que se utiliza es el límite de reactiva para nudos PV generalizada, visto en el

Apartado 4.4. Como en este caso es necesario una semilla imaginaria, se ha escogido una de valor 𝑗0.01

para todas las redes, aunque éste no es el valor óptimo, valor que se podría sintonizar para cada red con

el objetivo de reducir el número de iteraciones.

Tabla 6. Iteraciones y tiempo de cálculo en el límite de máxima cargabilidad con límites de reactiva

En la Tabla 6 se puede observar cómo el primer método (FLFRC 1) realiza un número de iteraciones mayor

que en el segundo método (FLFRC 1) para redes pequeñas, aunque para redes grandes ocurre lo contrario.

Además también se ve cómo entre ambos métodos varía ligeramente el límite máxima cargabilidad, como por

ejemplo para el caso de 118 y 1354 nudos. Los resultados obtenidos son muy similares a los de MatPower,

aunque hay que resaltar que este programa no puede realizar este estudio para la red de 3120 nudos.

Como novedad del FLFRC se muestra la Tabla 7, ofreciéndose una comparativa entre el FLF y el FLFRC,

la cual justifica por qué se formuló esta versión del FLFRC con offset, ya que el resultado de introducir el offset

en la formulación en polares (FLF) resulta un modelo matemático mas complejo, y si no se introduce el offset

se corre el peligro de ejecutar un caso en polares que no converja debido al problema de los logaritmos de

complejos de parte real negativa.

En esta tabla podemos apreciar la carga máxima que soporta la fomulación en polares (FLF), a partir de la cual

el método no converge. Con estos niveles de carga nos referimos al 𝜆𝑚𝑎𝑥 para que el método converja, ya en

zona infactible con resultados complejos. Estos valores se comparan con las cargas máximas que se han podido

alcanzar en el FLFRC de dos formas distintas, la primera usando el valor típico del offset, y la segunda regulando

los parámetros para lograr la convergencia. Sin embargo este límite mostrado es superable si se escogen los

parámetros libres óptimos para cada carga, lo que implicaría un estudio más complejo sobre estrategias de

inicialización que se deja pendiente como trabajo futuro (ver Sección 8).

Tabla 7. Comparación de cargas máximas de convergencia entre el FLF y el FLFRC

39

39

Se observa que se alcanzan cargas mucho mayores de las que se consiguen en el FLF, lo que implica una

novedad ventajosa. Se aprecia como usando un valor del offset genérico puede obtenerse un ligero aumento en

la carga máxima de convergencia para cada red respecto al FLF. Sin embargo, si se regula éste valor del offset

y la semilla imaginaria, observamos cómo la carga máxima de convergencia aumenta notablemente para cada

red, en especial para la red de 14 nudos en la que se ha alcanzado un valor muy extremo, lo que demuestra la

robustez del método. A pesar de todo esto, aunque resulte una ventaja respecto al FLF, estos valores de carga

tan extremadamente altos no tienen sentido en la realidad, ya que nunca se alcanzarían estos valores.

Una vez visto resultados del FLFRC en forma de tablas, se analizarán otros temas de manera mas visual,

gráficamente. Principalmente se verá la relación que existe entre los parámetros libres y el número de iteraciones,

concluyéndose con una aplicación muy interesante del FLFRC.

Cuenca de atracción del FLFRC para el caso ejemplo de dos nudos

Como se comentó en el Apartado 3.3, se ha aplicado la idea de visualizar la región de atracción del FLFRC

para el sistema de la Figura 3. El resultado es el siguiente:

Figura 14. Región de atracción con FLFRC

Podemos apreciar que se obtienen bastantes diferencias respecto al método convencional de Newton-Raphson

(Figura 4) y el FLF (Figura 5). En este caso se observa que la zona de convergencia es del 100%, a diferencia

que en los anteriores métodos, lo que le convierte en un método más robusto. La zona amarilla situada en la

parte inferior, significa que se ha alcanzado una solución en 20 iteraciones, pero esta solución no es la solución

real del problema (recordemos que ésta era de 𝒰2 = 0.9209 − 𝑗0.0913 𝑝𝑢), resultando |𝒰2| = 0.118 𝑝𝑢,

solución que es totalmente inviable. A pesar de la ventaja de mayor robustez, observamos que el FLFRC necesita

algunas iteraciones más para converger si lo comparamaos con el FLF, para ciertas zonas (ver Figura 5).

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Comportamiento del FLFRC ante la variación de distintos parámetros

En este apartado se analizará el comportamiento del FLFRC ante la variación de distintos parámetros, como

por ejemplo el nivel de carga 𝜆, el perfil inicial, la semilla imaginaria, etc.

En la Figura 15 y Figura 16 se muestran la parte real e imaginaria de las componentes e y f, respectivamente,

para cada nudo de la red de 14 nudos. El estudio se ha realizado variando el nivel de la carga, de manera que se

diferencien el caso factible del infactible, con el objetivo de visualizar cuando empiezan a aparecer componentes

imaginarias en la solución. Se ha tomado un valor genérico del offset 𝑚 = 50, y una semilla imaginaria de 𝑗0.5.

Figura 15. Comportamiento de la componente e para un sistema de 14 nudos

Figura 16. Comportamiento de la componente f para un sistema de 14 nudos

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Se observa que conforme aumenta la carga, la tensión de cada nudo va disminuyendo y que, una vez superado

el límite de máxima cargabilidad (𝜆 = 4.0602), empiezan a aparecer componentes imaginarias en la solución.

En las próximas gráficas se muestra como evoluciona el máximo residuo conforme se avanza en las iteraciones

necesarias para alcanzar la solución, con dos métodos distintos. El primero de ellos es el FLFRC y el segundo

el método de Newton-Raphson, obtenido desde MatPower. Para este estudio se ha tomado como offset 𝑚 = 10,

siendo nula la semilla imaginaria, partiéndose desde un perfil plano.

Figura 17. Evolución del residuo para el caso base de una red de 14 nudos


42

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Observamos que la curva del FLFRC está por encima de la curva de Newton-Raphson para la red de 14 nudos,

demostrando una desventaja. Sin embargo, en la red de 3120 nudos ocurre lo contrario, lo cual resulta ventajoso

ya que se converge antes.

A continuación se expone como afecta el uso de distintos perfiles iniciales ante un aumento progresivo del

nivel de la carga, desde zona factible a zona infactible. Ante zona factible, se usan dos perfiles iniciales distintos,

el primero de ellos es el perfil plano, y el segundo un perfil con una cierta componente imaginaria (1 + 𝑗0.5).

Ante zona infactible siempre se usa el perfil inicial complejo, 1 + 𝑗0.5.

Figura 19. Aplicación de distintos perfiles ante la evolución de la carga para la red de 14 nudos


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43

Observamos que comenzar con un perfil complejo requiere a veces una iteración más que si se empezara con

el perfil plano. A partir del límite de máxima cargabilidad (marcado con una línea roja vertical) se usa siempre

un perfil inicial complejo, con parte imaginaria de 𝑗0.5. Cabe destacar que las puntas que se observan

(iteraciones) pueden reducirse si se usan los valores óptimos del offset y de la semilla imaginaria.

Análisis del número de iteraciones usando mapas de colores

Para concluir con las gráficas, en este apartado se analizará el comportamiento del método ante la variación de

distintos parámetros para analizar cómo varía el número de iteraciones necesario para converger.

Las gráficas siguientes se tratan de mapas de colores, cada color significa un número distinto de iteraciones,

cuya leyenda se muestra en el margen derecho. Los tonos más cálidos indican un mayor número de iteraciones,

mientras que los azulados significan un número de iteraciones más reducido.

La Figura 21 y la Figura 22 se han realizado manteniendo constante el valor del offset en 𝑚 = 50, variando

la semilla imaginaria (eje vertical) y el nivel de carga 𝜆 (eje horizontal), apreciándose las distintas iteraciones

con distintos colores. La parte real del perfil inicial de tensiones es siempre 1 𝑝𝑢.

Figura 21. Iteraciones frente a la variación de la semilla imaginaria y la carga en la red de 14 nudos

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44


En zona factible (parte izquierda de la franja negra vertical) se observa que conforme menos semilla imaginaria

se use, menor número de iteraciones necesita para converger, aunque en el rango de semilla imaginaria que se

muestra siempre se converge en pocas iteraciones. Si nos fijamos en la parte derecha de la franja, es decir, en

zona infactible, se observa que conforme nos acercamos al límite superior e inferior del eje de ordenadas el

número de iteraciones crece bastante, empeorando el comportamiento del método. Es en la zona intermedia de

este eje donde se alcanza el menor número de iteraciones, es decir, con una semilla imaginaria de 𝑗0.5

aproximadamente, aunque 𝑗0.3 también es un buen valor.

Como conclusión podemos extraer que es posible establecer un perfil general complejo para todo tipo de

situaciones, cuya parte imaginaria está entorno a 𝑗0.3 y 𝑗0.5, lo que ayudaría al método a agilizar los cálculos,

reduciendo el número de iteraciones necesario en zona infactible para cualquier red, aunque el precio a pagar es

que en zona factible puede aumentar levemente el número de iteraciones.

Todo esto no significa que nos encontremos en el valor óptimo de la semilla imaginaria, pero si que sería una

posible aproximación. Destacar por último que este estudio se ha realizado fijando el offset en 70, luego el

resultado mostrado puede variar si se varía este valor, mejorando o empeorando el método.

En los mapas de colores que se exponen a continuación se ha aplicado la misma idea que en la Figura 21 y

Figura 22, con la diferencia de que en este caso se ha fijado la semilla imaginaria en 𝑗0.3, variando el offset (eje

vertical) y la carga del sistema (eje horizontal).

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45

Figura 23. Iteraciones frente a la variación del offset y la carga en la red de 14 nudos


Ante zona factible, comprobamos que con cualquier valor del offset el método converge, y que este valor no

influye en el número de iteraciones ante una carga dada, ya que se observa que el cambio del número de

iteraciones se produce una vez pasado un determinado valor de la carga.

Ante zona infactible observamos que el offset sí que puede influir en el número de iteraciones ante una carga

constante. Como conclusión se puede decir que conforme aumenta la carga del sistema, habría que aumentar el

valor del offset.

Cabe destacar que si el offset es nulo, el método no converge, de ahí ese color marrón oscuro en la parte

inferior. Por último decir de nuevo que, el valor de la semilla imaginaria se ha fijado en 𝑗0.3 para realizar el

estudio pero, si la variamos, los resultados podrían cambiar a peor o a mejor.

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Ejemplo de aplicación del FLFRC

Para concluir con los resultados, se ilustrará una de las posibles aplicaciones del FLFRC. En concreto veremos

cómo determinar los nudos más críticos de una red, basándonos en la solución compleja que ofrece el FLFRC

ante casos infactibles.

A medida que va aumentando la carga, aquel nudo donde empiecen a aparecer componentes imaginarias en la

solución, será el más crítico, pudiéndose definir zonas críticas atendiendo a este criterio. Para ello es necesario

establecer un criterio que nos permita decidir cuando considerar si un nudo es crítico o no. Se ha escogido el

siguiente:

Descomponiendo las componentes del vector tensión:

𝒰 = 𝑒 + 𝑗𝑓 = (𝑒𝑟 + j𝑒𝑖) + (𝑓𝑟 + j𝑓𝑖)𝑗 = (𝑒𝑟 + 𝑓𝑟𝑗) + (−𝑓𝑖 + 𝑒𝑖𝑗) = 𝒰𝑟 + 𝒰𝑖

donde 𝑒𝑟 y 𝑒𝑖 es la parte real e imaginaria de la componente 𝑒, respectivamente (al igual ocurre con la

componente 𝑓). 𝒰𝑟 y 𝒰𝑖 representarían la contribución al vector 𝒰 por parte de componentes reales e

imaginarias, respectivamente.

Cuando estamos en caso factible, 𝒰 = 𝒰𝑟, ya que las componentes imaginarias de 𝑒 y 𝑓 son nulas.

Cuando pasamos al caso infactible la componente 𝒰𝑖 = (−𝑓𝑖 + 𝑒𝑖𝑗) empieza a ser distinto de cero, por

lo que el criterio que se escoge para determinar si un nudo es crítico o no, consiste en estudiar la siguiente

inecuación:

√𝑓𝑖2 + 𝑒𝑖

2 ≥ 𝑘

donde 𝑘 es un umbral a partir del cual el resultado se considera complejo, es decir, un resultado

infactible. Este umbral podemos fijarlo, por ejemplo, en 0.1, aunque la elección de este parámetro es

algo libre, ya que podríamos haber escogido 0.001 en vez de 0.1.

Los primeros nudos que sobrepasen éste límite 𝑘 aumentando la carga poco a poco, lo consideraremos nudos

críticos, ya que serán los nudos cuya componente imaginaria será la de mayor valor. El primer nudo que

sobrepase ese valor será el más crítico, pero conforme aumentamos la carga podemos ir definiendo zonas

críticas, catalogándolas como zonas más vulnerables.

Para ilustrar esta aplicación se ha escogido una red de 118 nudos, red de prueba propuesta por IEEE [3]. En el

siguiente diagrama se muestra como va evolucionando la red aplicando toda la teoría desarrollada anteriormente,

observando como poco a poco ciertos nudos se van convirtiendo en nudos críticos.

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Figura 25. Aplicación del FLFRC para determinar nudos críticos (versión 1)

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En este primer mapa observamos que los nudos más críticos son los nudos 34 y 36, entre los que se encuentran

dos unidades de generación y otras dos de consumo. Si seguimos aumentando la carga poco a poco, empiezan

a surgir nuevas zonas críticas, todas ellas caracterizadas por tener bastantes nudos de generación.

Visto esto, nos formulamos la siguiente pregunta, ¿qué pasaría si en vez de cargar toda la red, cargamos todos

los nudos a excepción de los más críticos (nudos 34 y 36)? La respuesta se ilustra a continuación:

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Figura 26. Aplicación del FLFRC para determinar nudos críticos (versión 2)

En este caso vemos que los nudos más críticos vuelven a ser el 34 y 36, obteniendo casi las mismas zonas

críticas que se obtuvieron anteriormente. Como principal diferencia vemos que la carga necesaria para que

aparezcan los nudos críticos (𝜆 = 3.4919) es mayor de la que se obtenía en el mapa anterior (𝜆 = 3.1949), por

lo que el límite de máxima cargabilidad ha aumentado. Como conclusión podemos decir que, efectivamente, los

nudos 34 y 36 son los más críticos de la red, por lo que si se “refuerzan” estos nudos, como por ejemplo

aumentando la capacidad de generación, reforzando las líneas o añadiendo elementos compensadores, la red

estaría preparada para una mayor carga.

Nota: el esquema de la red de 118 nudos usado en esta aplicación ha sido obtenido de [27].

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7 CONCLUSIONES

na vez analizado el comportamiento del FLFRC se concluye este trabajo mencionando algunas de las

conclusiones más importantes que se han extraído a lo largo del desarrollo del mismo. Antes de

continuar, hay que aclarar que la aparición de componentes imaginarias en el módulo y argumento

de la tensión de un nudo carece de sentido, ya que se tratan de magnitudes que no se podrían dar en la realidad.

A pesar de todo ello, tiene bastante utilidad, ya que gracias a éste fenómeno podríamos averiguar los nudos más

críticos de una red, o determinar ante casos infactibles como de alejados estamos del límite de máxima

cargabilidad.

Como se explicó al principio del apartado de Resultados, el FLFRC tiene una mayor región de atracción que

el método convencional de Newton-Raphson y que el FLF. Además siempre converge ante una gama muy

amplia de perfiles iniciales para el sistema de dos nudos que se analizó, luego esto lo convierte en un método

más robusto. Como desventaja presenta que en determinadas regiones el FLFRC necesita más iteraciones que

el FLF para alcanzar la solución.

Fijándonos en las tablas mostradas en el capítulo de Resultados, se observa que el número de iteraciones es

bastante parecido si lo comparamos con la aplicación MatPower V5.1., aunque el FLFRC conlleva a veces

alguna iteración más. Además, el tiempo de cálculo es bastante similar en ambos casos a pesar de no estar

optimizado el código del FLFRC. No hay que olvidar que es posible reducir el número de iteraciones de las

tablas donde se estudia cada red en su límite de máxima cargabilidad, para ello hay que sintonizar los parámetros

libres en los valores óptimos para cada red. Como ventaja del FLFRC también se ha visto como aumenta bastante

la carga máxima sin que el método no converja (carga máxima de convergencia) respecto al FLF, gracias a la

introducción del offset para solucionar el problema con los logaritmos complejos de parte real negativa.

En cuanto a la evolución del residuo en cada iteración, observamos que el FLFRC saca ventaja al método de

Newton-Raphson cuando se trata de redes grandes, a pesar de que en redes pequeñas a veces ocurre lo contrario,

lo que no resulta ventajoso.

Si nos fijamos en las demás gráficas podemos afirmar que si sintonizamos adecuadamente los parámetros

libres del FLFRC podemos minimizar el número de iteraciones necesario para alcanzar una solución ante un

determinado caso. Además, es posible definir un perfil general de parámetros libres que sirva para abordar

cualquier caso, ya sea factible o infactible. Este se puede definir estableciendo el valor del offset entre 50 o 70,

por ejemplo, y una semilla imaginaria entre 𝑗0.3 y 𝑗0.5. La desventaja de iniciar el proceso con el perfil general

anterior es que, ante casos factibles, el método suele tardar más en converger, normalmente una iteración más,

ya que se debe anular la componente imaginaria que se añadió en el perfil inicial de tensiones.

También se ha desarrollado una aplicación muy interesante del FLFRC para detemrinar los nudos más críticos

de una red, pudiendo aumentar el límite de máxima cargabilidad de una red si los nudos más críticos de la misma

se refuerzan, tal y como se vió en el final de la Sección 6.

Por último hay que destacar que todo esto no es un tema cerrado, ya que quedan muchos aspectos que mejorar

y problemas interesantes que resolver en un futuro próximo. En la siguiente sección se incluyen algunos de éstos

propósitos.

U

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53

8 TRABAJO FUTURO

n este apartado se indican algunas ideas que han ido surgiendo durante la realización de este trabajo, y que

podrían desarrollarse en un futuro próximo para tratar de mejorar ciertos aspectos del FLFRC. Algunas

de ellas son:

Optimización del código: el objetivo es reducir el tiempo de ejecución del programa.

Carga máxima sin que no converja: consiste en averiguar el valor λmax después del límite y compararla

con la que se obtuvo en el FLF.

Offset personalizado en cada nudo: como actualmente se presenta el problema de que se alcanza un

determinado estado de carga máximo (tras sobrepasar el límite de máxima cargabilidad), se pretende

aumentar este límite utilizando distintos offset para los distintos nudos.

Estudio de la cargabilidad de cada nudo: se trata de profundizar más en la última aplicación mostrada

en el Capítulo 6, es decir, buscar el 𝜆𝑚𝑎𝑥 por nudo.

Otras estrategias de inicialización: consiste en encontrar nuevas estrategias para inicializar el proceso

iterativo ante casos factibles e infactibles, como por ejemplo empezando directamente con el vector

auxiliar ‘𝑦’ como perfil inicial o encontrar otros valores óptimos. Con esto se pretende mejorar el

comportamiento del FLFRC, además de aumentar aún más la carga máxima de convergencia.

E

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ANEXO

FLFRC: Formulación sin offset

De forma similar a la formulación vista en el FLF (Sección 3.1), tenemos el sistema de ecuaciones original del

flujo de carga:

ℎ(𝑥) = 𝑝 (86)

El FLFRC hace desglosar el sistema anterior (86) en el mismo sistema de tres ecuaciones que vimos en la

Sección 3.1:

𝐸𝑦 = 𝑝 (87)

𝑢 = 𝑓(𝑦) (88)

𝐶𝑥 = 𝑢 (89)

La solución del FLFRC implica una modificación en el vector de estado 𝑥, pues ahora se hace uso de

coordenadas cartesianas (𝒰𝑖 = 𝑒𝑖 + 𝑗𝑓𝑖 ), lo que conlleva un cambio en todas las variables del problema:

El vector de estado 𝑥, compuesto por 𝑛 = 2𝑁 elementos (𝑁 es el número de nudos), viene dado por:

𝑥 = [𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑁|𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑁]𝑇 (90)

donde,

𝛼𝑖 = ln𝒰𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑗𝑏𝑖 (91)

Vector y:

𝑦 = {𝑈𝑖, 𝑈𝑖𝑗 ,𝑊𝑖𝑗} (92)

donde

𝑈𝑖 = 𝑉𝑖2 = 𝑒𝑖

2 + 𝑓𝑖2 (93)

y para cada rama que conecta el nudo 𝑖 con el nudo 𝑗, la pareja de variables 𝑈𝑖𝑗 y 𝑊𝑖𝑗 viene dada

por:

𝑈𝑖𝑗 = 𝑒𝑖𝑒𝑗 + 𝑓𝑖𝑓𝑗 (94)

𝑊𝑖𝑗 = −𝑒𝑖𝑓𝑗 + 𝑓𝑖𝑒𝑗 (95)

Dándose las siguientes propiedades:

𝑈𝑖𝑗 = 𝑈𝑗𝑖

𝑊𝑖𝑗 = −𝑊𝑗𝑖

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55

Al igual que anteriormente, el vector 𝑦 está compuesto por 𝑚 = 2𝑏 + 𝑁 variables, siendo 𝑏 el

número de ramas y 𝑁 el número de nudos.

El vector 𝑢, compuesto también por 𝑚 variables, obedece a la relación no lineal 𝑢 = 𝑓(𝑦) (88), por

lo que viene dado por:

𝑢 = [

ln𝑈𝑖

𝑅𝑒(ln𝑤𝑖𝑗)

𝐼𝑚(ln𝑤𝑖𝑗)] (96)

donde,

𝑤𝑖𝑗 = 𝒰𝑖𝒰𝑗∗ = 𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗 (97)

𝑈𝑖 = 𝒰𝑖𝒰𝑖∗ = 𝑒𝑖

2 + 𝑓𝑖2 (98)

Verificándose la siguiente igualdad:

𝑦 = exp(𝑢) = [

𝑈𝑖

𝑈𝑖𝑗

𝑊𝑖𝑗

] = 𝑓−1(𝑢) (99)

𝑢 = ln 𝑦 = [

ln𝑈𝑖


𝐼𝑚(ln𝑤𝑖𝑗)] (100)

Antes de continuar, cabe destacar que fue aquí donde se identificó el problema citado en el primer

párrafo de la Sección 4.2, el cuál dió lugar a la formulación con offset. Concretamente se observó

que la parte real de 𝑤𝑖𝑗, es decir 𝑈𝑖𝑗, se hacía negativa, luego aparecían logaritmos complejos de

parte real negativa, dando lugar al problema citado en la Sección 4.1.1.

El vector 𝑝 también es diferente al del FLF. Este contiene el módulo de la tensión al cuadrado de

cada nudo de generación (nudos PV), la potencia activa inyectada en todos los nudos, menos en el

nudo slack, y la potencia reactiva inyectada en todos los nudos de consumo (nudos PQ). Luego viene

dado por:

𝑝 = [𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑁𝑃𝑉|𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑁−1|𝑄1, 𝑄2, … , 𝑄𝑁𝑃𝑄

]𝑇 (101)

A la hora de calcular la relación entre el vector 𝑝 con el vector 𝑦, es decir, la matriz 𝐸 (87), es

necesario conocer la expresión analítica de la potencia activa y reactiva inyectada en cada nudo,

además de la tensión de cada nudo de generación. Al tratarse de coordenadas cartesianas, estas

expresiones vienen dadas de la siguiente forma, ya escritas en variables del vector 𝑦, lo que conduce

a una relación directa entre los vectores 𝑝 e 𝑦:

𝑈𝑖𝑆𝑃 = 𝑈𝑖 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠 𝑃𝑉) (102)

𝑃𝑖𝑆𝑃 = 𝐺𝑖𝑖𝑈𝑖 + ∑[𝐺𝑖𝑗𝑈𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗𝑊𝑖𝑗]

𝑁−1

𝑗≠𝑖

(103)

56

56

𝑄𝑖𝑆𝑃 = −𝐵𝑖𝑖𝑈𝑖 + ∑[𝐺𝑖𝑗𝑊𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗𝑈𝑖𝑗]

𝑁𝑃𝑄

𝑗≠𝑖

(104)

siendo la dimensión de 𝐸 de 𝑛 × 𝑚, donde 𝑛 = 2𝑁 − 1, en cuya matriz no se incluye la relación

con la tensión del nudo slack, 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 .

Al variar la forma del vector de estado 𝑥 y el vector auxiliar 𝑢, la matriz 𝐶 que los relaciona también

se ve modificada, cumpliéndose la siguiente ecuación:

𝑢 = 𝐶′𝑥′ (105)

𝑢 = [

ln𝑈𝑖


𝐼𝑚(ln𝑤𝑖𝑗)] = [

2𝑎𝑖

𝑎𝑖 + 𝑎𝑗

𝑏𝑖 − 𝑏𝑗

] (106)

Gracias a la anterior relación (106), se obtienen los coeficientes de la matriz 𝐶. La dimensión de 𝐶′ es de 𝑚 × (𝑛 − 1), luego la dimensión de 𝐶 será de 𝑚 × (𝑛 + 1).

Notar que 𝑥′ es una expresión reducida del vector de estado 𝑥, en la cual no se tiene en cuenta ni la

componente 𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 ni 𝑏𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 ya que al tratarse del nudo slack, la tensión y fase ya son conocidas,

permitiendo que las ecuaciones en las que interviene sean dimensionalmente correctas.

Al igual que anteriormente, 𝐶′ es una matriz reducida de la matriz completa 𝐶 obtenida al eliminar

las columnas referentes a 𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 y 𝑏𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 de la matriz 𝐶.

Eliminando el vector 𝑢, se puede escribir de forma más compacta el sistema de ecuaciones desglosado:

𝐸𝑦 = 𝑝 (107)

𝐶𝑥 = 𝑓(𝑦) (108)

Cuando se elimina el vector 𝑦, se obtiene el sistema:

𝐸𝑓−1(𝐶𝑥) = 𝑝 (109)

a partir del cual, al igual que en el FLF, se obtiene una solución parecida a la del sistema original de Newton-

Raphson:

[𝐸𝐹𝑘−1𝐶]∆𝑥𝑘 = 𝑝 − 𝐸𝑓−1(𝐶𝑥) = ∆𝑝𝑘 (110)

Por lo que, finalmente, el vector de estado reducido 𝑥′ se obtiene de la siguiente forma:

�̃�𝑥𝑘+1′ = 𝐸�̃�−1�̃�′ (111)

[𝐸�̃�−1𝐶′]𝑥𝑘+1′ = 𝐸�̃�−1�̃�′ (112)

siendo �̃� el jacobiano de 𝑓(∙); Por tanto que �̃�−1 viene dado por:

57

57

�̃�−1 = [𝜕𝑦

𝜕𝑢] = [

𝑈𝑖 0 00 𝑈𝑖𝑗 −𝑊𝑖𝑗

0 𝑊𝑖𝑗 𝑈𝑖𝑗

] (113)

Cabe destacar que la relación anterior no es trivial, y en el Anexo se da su demostración.

Por último, no hay que olvidar que las matrices involucradas en este problema para redes grandes, son muy

dispersas, debido a que tienen mucha cantidad de elementos nulos.

Ejemplo. Aplicación del FLFRC sin offset a un sistema de dos nudos

Para ilustrar mejor la formulación vista anteriormente, se resolverá el siguiente problema:

El objetivo del problema es obtener la tensión compleja del nudo dos, 𝑉 ∟𝜃, sabiendo que la potencia

demandada en ese punto es de 200 MW y la reactiva demandada de 50 MW. Sabemos que la solución es 𝒰2 =0.9001 − 𝑗0.2 (problema ya resuelto en [18]).

Primero, establecemos un criterio de convergencia, ya que se trata de un proceso iterativo. Se escoge:

∆𝑝𝑘 ≤ 0.001

A continación, obtenemos los datos de la red:

𝒴 = [𝐺11 + 𝑗𝐵11 𝐺12 + 𝑗𝐵21

𝐺21 + 𝑗𝐵21 𝐺22 + 𝑗𝐵22] = [

−𝑗10 𝑗10𝑗10 −𝑗10

], donde 𝒴 es la matriz de admitancias.

Ahora, definamos el vector de estado 𝑥 y los vectores auxiliares 𝑢 e 𝑦:

𝒰1 = 1 + 𝑗0 → 𝛼1 = ln𝒰1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 = 0

𝒰2 = 𝑒2 + 𝑗𝑓2 → 𝛼2 = ln𝒰2 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2

𝑃2 =−200 𝑀𝑊

100 𝑀𝑊= −2 𝑝𝑢

𝑝 = [𝑃2

𝑄2] = [

−2−0.5

]

𝑄2 =−50 𝑀𝑊

100 𝑀𝑊= −0.5 𝑝𝑢

58

58

𝑥 = [

𝑎1

𝑎2

𝑏1

𝑏2

] → 𝑥′ = [𝑎2

𝑏2] ; 𝑦 = [

𝑈1

𝑈2

𝑈12

𝑊12

] ; 𝑢 =

[

ln 𝑈1

ln 𝑈2

𝑅𝑒(ln(𝑤12))

𝐼𝑚(ln(𝑤12))] = [

2𝑎1

2𝑎2

𝑎1 + 𝑎2

𝑏1 − 𝑏2

]

siendo 𝑤12 = 𝑈12 + 𝑗𝑊12

Cálculo de las matrices 𝐸 y 𝐶, matrices que se mantienen constante durante todo el problema:

𝑃2 = 𝐺22𝑈2 + 𝐺21𝑈21 + 𝐵21𝑊21 = {𝑈21 = 𝑈12} = 𝐺22𝑈2 + 𝐺21𝑈12 + 𝐵21𝑊12

𝑄2 = −𝐵22𝑈2 + 𝐺21𝑊21 − 𝐵21𝑈21 = {𝑊21 = −𝑊12} = −𝐵22𝑈2 − 𝐺21𝑊12 − 𝐵21𝑈12

𝑝 = 𝐸𝑦 → [𝑃2

𝑄2] = 𝐸 [

𝑈1

𝑈2

𝑈12

𝑊12

] = [0 𝐺22 𝐺21 −𝐵21

0 −𝐵22 −𝐵21 −𝐺21] [

𝑈1

𝑈2

𝑈12

𝑊12

]

luego 𝐸 = [0 0 0 −100 10 −10 0

]

Para el cálculo de la matriz 𝐶:

𝑢 = 𝐶𝑥 →

[

ln 𝑈1

ln 𝑈2


𝐼𝑚(ln(𝑤12))] = 𝐶 [

𝑎1

𝑎2

𝑏1

𝑏2

] = [

2𝑎1

2𝑎2

𝑎1 + 𝑎2

𝑏1 − 𝑏2

]

luego 𝐶 = [

2 0 0 00 2 0 01 1 0 00 0 1 −1

] → 𝐶′ = [

0 02 01 00 −1

]

Una vez obtenido todo lo necesario, empieza el proceso iterativo:

Primera iteración:

Suponiendo un perfil inicial plano:

𝒰0 = [𝒰1

𝒰2] = [

1 + 𝑗01 + 𝑗0

] → 𝑦0= [

𝑈1

𝑈2

𝑈12

𝑊12

] = [

1

1

1

0

]

59

59

∆𝑝0 = 𝑝 − 𝑝0 = 𝑝 − 𝐸𝑦0 = [−2

−0.5] − 𝐸 [

1110

] = [−2

−0.5]

Como max(|∆𝑝0|) > 0.001, sigue el proceso iterativo:

∆𝑝0 = 𝐸∆𝑦0 → ∆𝑦0 = [

0−0.05

00.2

] → �̃�0 = 𝑦0 + ∆𝑦0 = [

00.95010.2

]

�̃�0 =

[

ln 𝑈1

ln 𝑈2


𝐼𝑚(ln(𝑤12))] = [

0−0.05130.01960.1974

]

�̃�−1 =

[ 𝑈1 0 0 00 𝑈2 0 00 0 𝑈𝑖𝑗 −𝑊𝑖𝑗

0 0 𝑊𝑖𝑗 𝑈𝑖𝑗 ] = [

1 0 0 00 0.95 0 00 0 1 −0.20 0 0.2 1

]

Ahora, basta con resolver la siguiente ecuación, obteniendo 𝑥1′ :

[𝐸�̃�−1𝐶′]𝑥1′ = 𝐸�̃�−1�̃�0 → 𝑥1

′ = [𝑎2

1

𝑏21] = [

−0.0804−0.2174

]

Luego el vector tensión será 𝒰21 = exp(𝑎2

1 + 𝑗𝑏21) = 0.9010 − 𝑗0.1990

Una vez obtenida la solución, calculamos el residuo de potencias:

Continuando con la solución anterior:

𝒰1 = [𝒰1

1

𝒰21] = [

1 + 𝑗00.9010 − 𝑗0.1990

] → 𝑦1= [

𝑈1

𝑈2

𝑈12

𝑊12

] = [

1

0.8514

0.901

0.199

]

∆𝑝1 = 𝑝 − 𝑝1 = 𝑝 − 𝐸𝑦1 = [−2

−0.5] − 𝐸 [

10.85140.9010.199

] = [−0.01−0.004

]

Como max(|∆𝑝1|) > 0.001, continuamos con el proceso iterativo:

60

60

Segunda iteración:

∆𝑝1 = 𝐸∆𝑦1 → ∆𝑦1 = [

0−0.0004

00.001

] → �̃�1 = 𝑦1 + ∆𝑦1 = [

10.8510.9010.2

]

�̃�1 =

[

ln 𝑈1

ln𝑈2


𝐼𝑚(ln(𝑤12))] = [

0−0.1613−0.08020.2184

]

�̃�−1 =

[ 𝑈1 0 0 00 𝑈2 0 00 0 𝑈𝑖𝑗 −𝑊𝑖𝑗

0 0 𝑊𝑖𝑗 𝑈𝑖𝑗 ] = [

1 0 0 00 0.851 0 00 0 0.901 −0.20 0 0.2 0.901

]

Ahora, se resuelve de nuevo la siguiente ecuación, obteniendo 𝑥2′ :

[𝐸�̃�−1𝐶′]𝑥2′ = 𝐸�̃�−1�̃�1 → 𝑥2

′ = [𝑎2

2

𝑏22] = [

−0.0812−0.2186

]

Luego el vector tensión será: 𝒰22 = exp(𝑎2

2 + 𝑗𝑏22) = 0.9001 − 𝑗0.1999

Una vez obtenida la solución, calculamos de nuevo el residuo de potencias:

Continuando con la solución anterior:

𝒰2 = [𝒰1

2

𝒰22] = [

1 + 𝑗00.9001 − 𝑗0.1999

] → 𝑦1= [

𝑈1

𝑈2

𝑈12

𝑊12

] = [

1

0.8501

0.9001

0.1999

]

∆𝑝2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝 − 𝐸𝑦2 = [−2

−0.5] − 𝐸 [

10.85010.90010.1999

] = [−0.001

0]

Como max(|∆𝑝2|) = 0.001, finaliza el proceso iterativo, por lo que podemos decir que se ha encontrado la

solución haciendo dos iteraciones completas, obteniendo la solución:

𝒰2 = 0.9001 − 𝑗0.1999 ≈ 0.9001 − 𝑗0.2

Fin de ejemplo

61

61

Demostraciones

Jacobiano para el FLF

𝐹−1 =𝜕𝑦

𝜕𝑢= [



]

Partiendo de 𝑦 = [

𝑦1

𝑦2

𝑦3

] = [

𝑈𝑖

𝑈𝑖𝑗

𝑊𝑖𝑗

] y de 𝑢 = [

𝑢1

𝑢2

𝑢3

] = [

ln𝑈𝑖


𝐼𝑚(ln𝑤𝑖𝑗)] = [

ln𝑈𝑖

𝑅𝑒(ln(𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗))

𝐼𝑚(ln(𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗))] tenemos que:

𝐹−1 =

[ 𝜕𝑦1

𝜕𝑢1

𝜕𝑦1

𝜕𝑢2

𝜕𝑦1

𝜕𝑢3

𝜕𝑦2

𝜕𝑢1

𝜕𝑦2

𝜕𝑢2

𝜕𝑦2

𝜕𝑢3

𝜕𝑦3

𝜕𝑢1

𝜕𝑦3

𝜕𝑢2

𝜕𝑦3

𝜕𝑢3]

𝜕𝑦1

𝜕𝑢1=

𝜕(𝑈𝑖)

𝜕(ln𝑈𝑖) →

𝜕(ln𝑈𝑖)

𝜕(𝑈𝑖)=

1

𝑈𝑖 →

𝜕𝑦1

𝜕𝑢1= 𝑈𝑖

𝜕𝑦1

𝜕𝑢2= 0

𝜕𝑦1

𝜕𝑢3= 0

𝜕𝑦2

𝜕𝑢1= 0

𝜕𝑦2

𝜕𝑢2=

𝜕(𝑈𝑖𝑗)

𝜕(𝑅𝑒(ln(𝑈𝑖𝑗+𝑗𝑊𝑖𝑗)))

Ayudándonos de la siguiente igualdad:

𝑢2 + 𝑗𝑢3 = ln(𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗) → 𝑒𝑢2+𝑗𝑢3 =𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗

e identificando términos (parte real igual a parte real y parte imaginaria igual a parte imaginaria):

62

62

𝜕𝑒𝑢2+𝑗𝑢3

𝜕𝑢2= 𝑒𝑢2+𝑗𝑢3 = 𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗

𝜕𝑈𝑖𝑗

𝜕𝑢2= 𝑈𝑖𝑗 =

𝜕𝑦2

𝜕𝑢2

𝜕𝑊𝑖𝑗

𝜕𝑢2= 𝑊𝑖𝑗 =

𝜕𝑦3

𝜕𝑢2


𝜕𝑢2=

𝜕(𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗)

𝜕𝑢2=

𝜕𝑈𝑖𝑗

𝜕𝑢2+ 𝑗

𝜕𝑊𝑖𝑗

𝜕𝑢2

𝜕𝑦2

𝜕𝑢3=

𝜕(𝑈𝑖𝑗)

𝜕(𝐼𝑚(ln(𝑈𝑖𝑗+𝑗𝑊𝑖𝑗)))

Ayudándonos de nuevo de la igualdad anterior:

𝑢2 + 𝑗𝑢3 = ln(𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗) → 𝑒𝑢2+𝑗𝑢3 =𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗

e identificando términos (parte real igual a parte real y parte imaginaria igual a parte imaginaria),


𝜕𝑢3= 𝑗𝑒𝑢2+𝑗𝑢3 = −𝑊𝑖𝑗 + 𝑗𝑈𝑖𝑗

𝜕𝑈𝑖𝑗

𝜕𝑢3= −𝑊𝑖𝑗 =

𝜕𝑦2

𝜕𝑢3

𝜕𝑊𝑖𝑗

𝜕𝑢3= 𝑈𝑖𝑗 =

𝜕𝑦3

𝜕𝑢3


𝜕𝑢3=

𝜕(𝑈𝑖𝑗 + 𝑗𝑊𝑖𝑗)

𝜕𝑢3=

𝜕𝑈𝑖𝑗

𝜕𝑢3+ 𝑗

𝜕𝑊𝑖𝑗

𝜕𝑢3

𝜕𝑦3

𝜕𝑢1= 0

Por lo que finalmente queda demostrado que:

𝐹−1 =𝜕𝑦

𝜕𝑢=

[ 𝜕𝑦1

𝜕𝑢1

𝜕𝑦1

𝜕𝑢2

𝜕𝑦1

𝜕𝑢3

𝜕𝑦2

𝜕𝑢1

𝜕𝑦2

𝜕𝑢2

𝜕𝑦2

𝜕𝑢3

𝜕𝑦3

𝜕𝑢1

𝜕𝑦3

𝜕𝑢2

𝜕𝑦3

𝜕𝑢3]

= [



]

63

63

Jacobiano para el FLFRC

𝐹−1 =𝜕𝑦

𝜕𝑢=

[ 𝑒𝑖

′2 0 0 0 0 0 0 0

0 𝑓𝑖′2 0 0 0 0 0 0

0 0 𝑒𝑖′ 0 0 0 0 0

0 0 0 𝑓𝑖′ 0 0 0 0

0 0 0 0 𝑒𝑖′𝑒𝑗

′ 0 0 0

0 0 0 0 0 𝑓𝑖′𝑓𝑗

′ 0 0

0 0 0 0 0 0 𝑒𝑖′𝑓𝑗

′ 0

0 0 0 0 0 0 0 𝑓𝑖′𝑒𝑗

′]

Partiendo de 𝑦 =

[ 𝑦1

𝑦2

𝑦3

𝑦4

𝑦5

𝑦6

𝑦7

𝑦8]

=

[ 𝑒𝑖

′2

𝑓𝑖′2

𝑒𝑖′

𝑓𝑖′

𝑒𝑖′𝑒𝑗

′

𝑓𝑖′𝑓𝑗

′

𝑒𝑖′𝑓𝑗

′

𝑓𝑖′𝑒𝑗

′]

y de 𝑢 =

[ 𝑢1

𝑢2

𝑢3

𝑢4

𝑢5

𝑢6

𝑢7

𝑢8]

=

[ ln 𝑒𝑖

′2

ln 𝑓𝑖′2

ln 𝑒𝑖′

ln 𝑓𝑖′


′


′


′


′]

tenemos que:

𝜕𝑦𝑖

𝜕𝑢𝑖= (

𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑦𝑖)−1 = (

1

𝑦𝑖)−1 = 𝑦𝑖 𝑖 = 1,2, … ,8

La expresión anterior es válida gracias a que todas las derivadas parciales son de la forma 𝜕𝑥

𝜕 ln𝑥

𝜕𝑦𝑖

𝜕𝑢𝑗= 0

La expresión anterior es válida para 𝑖, 𝑗 = 1,2,… ,8 con 𝑖 ≠ 𝑗 .

Por lo que finalmente queda demostrado la expresión final del jacobiano para el FLFRC.

64

64

Otras figuras

A continuación se muestran las mismas figuras expuestas en la Sección 6 pero aplicadas a otras redes de 118,

300 y 1354 nudos:



65

65



66

66



67

67



68

68



69

69



70

70

REFERENCIAS

[1] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Introducción,» de Análisis y operación de sistemas

de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 139-140.

[2] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Método de Newton-Raphson,» de Análisis y

operación de sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 147-152.

[3] [En línea]. Available: http://www.ee.washington.edu/research/pstca/. [Último acceso: 2015].

[4] [En línea]. Available: http://www.pserc.cornell.edu//matpower/.

[5] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Formulación del problema,» de Análisis y


[6] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Control de frecuencia y de tensiones,» de Análisis y operación de

sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 217-259.

[7] J. L. Martínez Ramos y V. H. Quintana, «Operación del sistema de transporte,» de Análisis y operación

de sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 311-381.

[8] A. Fernández Otero y J. Cidrás Pidre, «Elementos de los sistemas de energía eléctrica,» de Análisis y


[9] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Métodos iterativos simples,» de Análisis y


[10] B. Stott, «Effective Starting Process for Newton Raphson Load Flows,» de IEEE Proceedings, vol.118,

1971, pp. 983-987.

[11] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Ajuste de límites y reguladores,» de Análisis y


[12] A. Gómez Expósito y F. L. ALvarado, «Flujo de cargas, Formulación polar,» de Análisis y operación de

sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 148-150.

[13] W. F. Tinney y C. E. Hart, «Power Flow Solution by Newton's Method,» de IEEE Transactions on Power

Apparatus and Systems, vol. PAS-86, 1967, pp. 1449-1460.

[14] J. W. Walker y W. F. Tinney, «Direct Solutions of Sparse Network Equations by Optimally Ordered

Triangular Factorization,» de Proceedings of the IEEE, vol. 55, 1967, pp. 1801-1809.

[15] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Sistema de gran dimensión,» de Análisis y


71

71

[16] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Formulación cartesiana,» de Análisis y operación

de sistemas de energía eléctrica, McGraw-Hill, 2002, pp. 151-152.

[17] B. Stott, «Review of Load Flow Calculation Methods,» de Proceedings of the IEEE, vol. 62, 1974, pp.

916-929.

[18] A. Gómez Expósito, C. Gómez Quiles y W. Vargas, «Factored Solution of Infeasible Load Flow Cases,»

In Power Systems Computation Conference (PSCCT), (pp. 1-7). IEEE., 2014.

[19] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Flujo de cargas en continua,» de Análisis y


[20] A. Gómez Expósito y F. L. Alvarado, «Flujo de cargas, Método desacoplado rápido,» de Análisis y


[21] A. Gómez Expósito, A. Abur, A. de la Villa Jaén y C. Gómez Quiles, «A Multilevel State Estimation

Paradigm for Smart Grids,» de Proceedings of the IEEE, vol 99 (6), 2011, pp. 952-976.

[22] A. Gómez Expósito y C. Gómez Quiles, «Factorized Load Flow,» de IEEE Transactions on Power

Systems, vol. 28 (4), 2013, pp. 4607-4614.

[23] A. Gómez Expósito, «Factored Solution of Nonlinear Equation Systems,» Proceedings of the Royal

Society - A..

[24] F. Milano, «Power Flow Analysis,» de Power System Modelling and Scripting, pp. 79-82.

[25] W. Vargas, C. Gómez Quiles y A. Gómez Expósito, «Fast Computation of Maximum Loading Points via

the Factored Load Flow,» enviado a IEEE Transactions on Power Systems, actualmente en revisión.

[26] «Wikipedia,» [En línea]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_complejo.

[27] [En línea]. Available: http://www.medwelljournals.com/fulltext/?doi=ijepe.2009.276.288.

flujo de carga factorizado en coordenadas...

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