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Flujo Potencial aplicada a Ecuaciones Diferenciales FinitasMecnica de fluidos I

Ing. Hugo Amado Rojas Rubio

I. INTRODUCCION:

En el presente informe daremos a conocer la informacin obtenida para dar a conocer el flujo potencial y su aplicacin por el mtodo de diferencias finitas ya que una de las tareas fundamentales del ingeniero consiste en el "clculo", esto es la prediccin cuantitativa del comportamiento de un sistema tecnolgico para proceder a su diseo eficiente.

Para ello debe hacer uso de conceptos de fsica y matemtica, adems de cuestiones relacionadas con el estado del arte de una aplicacin en particular, para formular un modelo matemtico del sistema en consideracin. Dicho modelo no es ms que un sistema de ecuaciones cuyas incgnitas representan magnitudes de inters tecnolgico que permiten describir el comportamiento del objeto bajo anlisis. Consecuentemente, para llevar a cabo la prediccin en s misma, el ingeniero debe resolver cuantitativamente las mencionadas ecuaciones para dedicarse, a continuacin, a la interpretacin tcnica y al anlisis de los resultados.

En muchas situaciones, los modelos pertinentes involucran problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. Por mencionar algunos de dichos casos pueden citarse el estudio estructural de automviles, aviones, puentes, o el anlisis de campo de flujo de calor en componentes de mquinas, flujo de fluidos, filtracin en presas de tierra, etc.

II. OBJETIVOS:

A) Generales.-

Aplicar en forma adecuada el mtodo de diferencias finitas para resolver problemas de flujo potencial.

B) Especficos.-

Encontrar las ecuaciones de diferencias finitas para el potencial de velocidades dentro de un canal rectangular y circular.

Haciendo uso del mtodo de diferencias finitas para la funcin de corriente graficar las lneas de corriente del flujo y las graficas de distribuciones en las paredes del cilindro.

III. Fundamento teorico:

1. Flujo Potencial

Los flujos potenciales son flujos no viscosos e irrotacionales, los resultados tericos bsicos se aplican a los problemas de la superficie de sustentacin y despus se modifican para incluir los efectos de la compresibilidad y de la viscosidad.

El caso ms simple es el flujo potencial de dos dimensiones que ilustra este proceso. Discutiremos el flujo potencial incompresible y la mencin justa la extensin al flujo compresible lnea rizado.

Para este caso la ecuacin relevante es ecuacin de Laplace :

Hay varias maneras de generar soluciones fundamentales a este linear, homogneas, ecuacin diferencial de la segunda orden con coeficientes constantes. Dos mtodos son particularmente tiles: Separacin de variables y del uso de variables complejas.

Las variables complejas son especialmente tiles en la ecuacin de Laplace que soluciona debido a el siguiente: Sabemos, de la teora de variables complejas, que en una regin donde est analtica una funcin de la variable compleja z = x + iy, el derivado con respecto a z est igual en cualquier direccin. Esto conduce a las condiciones famosas de Cauchy-Riemann para una funcin analtica en el plano complejo.

Considere la funcin compleja:

W = + i

Las condiciones de Cauchy-Riemann son:

Distinguir la primera ecuacin con respecto a x y al segundo con respecto a y y la adici da:

As, la funcin analtica de una variable compleja es una solucin a la ecuacin de Laplace y se puede utilizar como parte de una solucin ms general.

W = + i , se llama el potencial complejo.

Consiste en el potencial generalmente de la velocidad como la parte real y la funcin de la corriente como su parte imaginaria.

Las velocidades del flujo se escriben como un nmero complejo:dW/dz = u - intravenoso (intento que deriva esto.)

Consideramos algunas funciones analticas simples para W que estn de gran uso en aerodinmica aplicada:

Flujo uniforme:

Fuente o vrtice de la lnea:

Doblete:

2. CIRCULACINLa circulacin se define como la integral de lnea alrededor de una trayectoria cerrada en el instante t de la componente tangencial de la velocidad a lo largo de la trayectoria. Si r denota la circulacin, se tiene:

Donde c es la trayectoria cerrada:Fig. 01: Trayectoria cerrada c para determinar la circulacin

3. METODOLOGAS DE SOLUCIN PARA FLUJO POTENCIAL

Las diferentes tcnicas para encontrar una solucin son:

3.1.- TCNICAS GRFICAS

El procedimiento consiste en empezar en una regin donde se tenga flujo uniforme o donde exista un flujo conocido. Para el primer caso, se empieza en la regin de flujo uniforme con un conjunto de lneas de corriente igualmente espaciadas; para el segundo caso, donde existe un flujo conocido, las lneas de corriente se localizan de manera que caudales (q) iguales se presenten entre ellas. Con respecto a esto, ntese que para tales flujos q = (N)(V). Donde N es la distancia entre las lneas de corriente y Ves la velocidad media entre las lneas de comente. Las lneas de corriente se continan de manera que sigan las fronteras.

Se dibujan las lneas equipotenciales y, junto con las lneas de corriente, se hacen ajustes manera que la malla tenga un sistema de cuadrados curvilneos de tamao diferente. Cuanto ms fina sea la red de flujo, estos cuadrados curvilneos se parecern ms a cuadrados reales.

Una vez que la red de flujo se ha ajustado de manera que parezca razonable, puede calcularse la velocidad que cruza el segmento de lnea potencial en cada cuadrado curvilneo utilizando simples consideraciones de continuidad, conociendo el q para el par de lneas de corriente asociadas y midiendo N del segmento de lnea potencial entre estas lneas de corriente en la posicin de inters. Adems, las presiones pueden calcularse utilizando la ecuacin de Benoulli. Por ltimo ,si se dibujan diagonales a los cuadrados curvilneos, se tiene un medio para verificar la exactitud de la red de flujo, midiendo que tan cerca estn estas diagonales de conformar cuadrados, es decir, cuanto ms cerca se hallen, mejor es la red de flujo.

Fig. 02: Red de flujo, flujo Bidimensional

3.2 TCNICAS ANALTICAS

Aqu se presentan funciones armnicas ya sea para una funcin potencial o para una funcin de corriente. Una vez que una funcin se presenta, ejemplo, una funcin de comente, puede obtenerse la funcin potencial asociada o viceversa utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Cada una de estas funciones genera un flujo tericamente vlido.

Luego pueden suponerse ciertos flujos simples para formar otros flujos tiles. Esto es posible debido a la realidad de la ecuacin de Laplace. Para tales flujos es conveniente sealar una tcnica til para dibujar las lneas de corriente del flujo combinado: Primero se dibujan las lneas de corriente para los flujos constitutivos simples utilizando las lneas de nivel de las funciones de corriente para cada familia constitutiva con conjuntos de constantes idnticos, cuyas diferencias sucesivas tengan el mismo valor.

En los sitios donde se intersequen las lneas de corriente, la lnea de nivel combinada que pase por el punto tendr como valor la suma de los valores de de los constitutivos en el punto. Pasando simplemente curvas por los puntos que tengan el mismo valor total de en las esquinas de los paraleleppedos curvilneos, formados mediante la interseccin de las lneas de corriente constitutivas, puede hacerse un esquema de las lneas de corriente para el flujo combinado.

Fig. 03: Construccin de un patrn combinado de lneas de corriente utilizando patrones constitutivos

3.3.- TCNICAS NUMRICAS

Los mtodos directos ms importantes que utilizan mtodos numricos son:

Diferencias finitas; Este es un mtodo antiguo que se ha vuelto ms til con la llegada de los computadores de alta velocidad.

Fig. 04: Red de flujo para flujo uniforme

Elementos finitos; Este es un mtodo desarrollado en la dcada de 1950 por la industria aeronutica para diseo estructural. Requiere el uso del computador. Actualmente se utiliza en muchos campos, incluidos el flujo de fluidos y la transferencia de calor.

Elementos frontera; Este es un desarrollo ms nuevo que esta aumentando su popularidad. Tambin se basa en el uso del computador y puede ser muy efectivo cuando las fronteras son muy pequeas comparadas con el tamao del dominio.

4. DIFERENCIAS y FUNDAMENTOS DEL MTODO DE DIFERENCIAS FINITAS APLICADAS A LA INGENIERA

Este mtodo constituye un mtodo numrico destinado a resolver mediante ecuaciones matriciales las ecuaciones diferenciales que se plantean en sistemas discretos (estructuras) o continuos (campos).

Actualmente, se considera al mtodo de las Diferencias Finitas como una subclase del mtodo de los Elementos Finitos y de hecho se puede demostrar [Silvester-Chari] que el mtodo FEM (mtodo de elementos finitos) se reduce al mtodo DF (diferencias finitas) cuando las mallas son regulares.

Las aplicaciones actuales del mtodo son muy extensas e incluyen sistemas lineales y no lineales, estticos, dinmicos tales como Mecnica de Slidos, Teora de la Elasticidad, Mecnica de Fluidos, Transmisin de Calor y Electromagnetismo.

En el caso de sistemas continuos, el mtodo consiste en discretizar el dominio de inters en Elementos Finitos y resolver, mediante una funcin de prueba o de aproximacin, la ecuacin que rige el sistema en cada EF para luego sumar todas las soluciones.

Se trata de un mtodo general para la solucin de problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En esencia se trata de una tcnica que sustituye el problema diferencial por otro algebraico, aproximadamente equivalente, para el cual se conocen tcnicas generales de resolucin. Para ello hace uso de la "discretizacin" o subdivisin de una regin sobre la cual estn definidas las ecuaciones en formas geomtricas simples denominadas elementos finitos. Las propiedades materiales y relaciones gobernantes en estos elementos se expresan en funcin de los valores desconocidos en las "esquinas" de los elementos o nodos.

Una de las ventajas de este mtodo es su facilidad de implementacin en un programa computacional, que a su vez es una condicin bsica para su utilizacin ya que para el tratamiento de un problema en particular debe efectuarse un nmero muy elevado de operaciones para resolver sistemas algebraicos del orden de cientos o miles de ecuaciones.

No obstante, esta cantidad no es una limitacin con las computadoras estndar de hoy. Las ideas bsicas de este mtodo se originaron en avances en el anlisis estructural de la industria aeronutica en la dcada del '50. En la dcada del '60 el mtodo fue generalizado para la solucin aproximada de problemas de anlisis de tensin , flujo de fluidos y transferencia de calor. El primer libro sobre elementos finitos fue publicado en 1967 por Zienkiewicz y Cheung. En la dcada del '70 el mtodo fue extendido al anlisis de problemas no lineales de la mecnica del continuo. Hoy el mtodo permite resolver prcticamente cualquier situacin fsica que pueda formularse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales.

En sus principios el mtodo de los elementos finitos no lleg masivamente a la prctica de la ingeniera debido a la no disponibilidad de computadoras en los estudios de ingeniera y por el otro al requisito de conocimientos profundos no solamente de la tcnica y de los modelos matemticos pertinentes sino tambin de programacin computacional. Actualmente, la situacin es completamente diferente, ya que las modernas computadoras personales soportan sin inconvenientes poderosos programas de propsito general de fcil utilizacin. IV. MTODO DE CALCULO O PROCEDIMIENTO:

Para el clculo del flujo de un fluido, el mtodo de diferencias finitas da un enfoque de la dinmica de fluidos computacional (DFC). En este mtodo las ecuaciones computacionales se formulan comenzando con las ecuaciones diferenciales y despus aproximando las derivadas de las ecuaciones por medio de diferencias finitas. En general se piensa aproximar un flujo obteniendo valores en puntos de la malla en lugar de obtenerlos para los volmenes diminutos que encierran los puntos.

Los pasos bsicos en un clculo de diferencias finitas son los siguientes:

Para definir un nmero grande de puntos, sobre el campo de flujo se superpone una malla. En estos puntos se definen las variables de flujo (velocidad, presin, potencial y funcin de corriente, etc). En cada punto, las ecuaciones diferenciales apropiadas se aproximan reemplazando cualquier derivada por cocientes de diferencias finitas que incluyan las variables de flujo en puntos vecinos. De igual manera, las condiciones de frontera se aproximan para los puntos sobre o cerca de las fronteras de flujo. El resultado es un sistema de ecuaciones algebraicas.Consideremos el problema de calcular la funcin de corriente para el flujo potencial de un conducto convergente. Si se encuentra la funcin de corriente se puede entonces obtener la velocidad por diferenciacin y graficar las lneas de corriente conectando los puntos que tienen el mismo valor . Para calcular la corriente en el conducto, se debe encontrar , tal que:

d 2 /dx2 + d 2 /dy2 =0 hU0

En todo conducto. tambin se debe satisfacer las condiciones de frontera:

= 0 (en la parte inferior)

= U0ht (en la parte superior)

= U0y (en la entrada)

= U0 (h1/h2) (y-(h1-h2)) (en la salida)

El problema se formulara en funcin de en vez de , ya que las condiciones de frontera son ms sencillas.Como se muestra en la figura el campo se supone con una malla rectangular. Se buscan valores para la funcin de corriente en los puntos definidos por esta malla. Se debe tener tantas ecuaciones independientes como incgnitas de la funciona de corriente, en consecuencia, se requiere una ecuacin para cada punto interior en el campo. Los puntos que se encuentran sobre las fronteras tienen valores conocidos de .las ecuaciones necesarias para las incgnitas se obtienen aproximando la ecuacin empleando cocientes de diferencias finitas para las derivadas.

La figura muestra un punto tpico en el campo marcado como p, y sus puntos vecinos denominados N, E, S, O, . La primera derivada de se puede aproximar ya sea como:

N

PN

WPW PPEE

PS

S

d/dx)p E P /x d/dx)p P w /x

Estas dos aproximaciones, llamadas respectivamente diferencia hacia adelante y diferencia hacia atrs, se hacen mas precisas a medida que X se vuelve mas pequea.

Si X = Y (una malla cuadrada) se obtiene:

p = (E+W+N+S)

Esta ecuacin se puede escribir para cada punto en la malla (excepto en los puntos sobre las fronteras).

V. APLICACIONES:

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1. En la figura, el flujo potencial hacia la izquierda y la derecha de la pequea obstruccin es un flujo uniforme en un rectangular de velocidad u = 1 m/s y v = 0 m/s, lejos hacia la izquierda de la obstruccin. Escriba las ecuaciones de diferencias finitas para el potencial de velocidades de los doce puntos indicados por las letras minsculas a a l. y

=1abc =1

=1

=1def

=1

ghi

=1

jkl =1

xDatos:

SOLUCINPor teora se cumplen las condiciones de frontera.

Por:

Luego se transforma en funcin de lnea de corriente para calcular los puntos y luego se transforma en .Resolviendo las ecuaciones:

2. La figura muestra un cilindro circular colocado en el tnel de viento. Aire( p=105 kPa, =1.25 Kg./m3 ) a 10 m/s se aproxima al cilindro. Use el mtodo de diferencias finitas con una malla de 1 cm.* 1 cm. para la funcin de corriente. Emplee su solucin para:

a. Graficar las lneas de corriente del flujo.

b. Calcular y graficar la distribucin de presin en las paredes superior e inferior

c. Calcular y graficar la distribucin de presin sobre el cilindro Igualmente grafique la distribucin de presiones para el cilindro en una corriente sin confinamiento.

a) Grfica de las lneas de corriente

Utilizando mtodos numricos se hallan los valores de .b) Grfica de la distribucin de presin en las paredes superior e inferior

Por teora se sabe que:

0153045607590105120135150165180

CP10.73-2-1-2-2.73-3-2.73-2-100.731

Reemplazando en (*):

VI. CONCLUSIONES:

El mtodo de diferencias finitas es una tcnica til solo para generar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales.

El mtodo de diferencias finitas requiere de un clculo extenso por el gran nmero de ecuaciones algebraicas, por lo tanto la solucin ms realista para estos clculos es la solucin por computador.

Los resultados obtenidos en el desarrollo de los problemas propuestos fueron solucionados con clculos manuales, puesto que el flujo potencial es un rea donde se pueden obtener aproximaciones razonables.

VII. RECOMENDACIONES:

La eleccin ms realista para el clculo de un gran nmero de ecuaciones y un clculo extenso es la solucin por computador.

VIII. BIBLIOGRAFA:

IRVING SHANES, Mecnica de Fluidos.

ROUSE HUNTER, Mecnica de Fluidos.

GAUSS SEIDER, Mtodos Numricos.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

DIFERENCIAS FINITAS

ELEMENTOS FINITOS

EMBED Equation.3

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EMBED Equation.3

EMBED AutoCAD.Drawing.15

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