fonctions trigonometriques h12

Dérivée des fonctions

trigonométriques

Larry Gingras, professeur

Adapté par Jacques Paradis, professeur

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre

Angles – Rappel

Définition des fonctions sinus et cosinus

Identités trigonométriques

Autres fonctions trigonométriques et

trigonométrie du triangle rectangle

Dérivée des fonctions sinus et cosinus

Dérivée des fns tangente et cotangente

Dérivé des fns sécante et cosécante

Applications aux taux liés

Angle se calcule en degré ou en radian :

1 radian = longueur du rayon

2 radians = 360° et radians = 180°

Exemples :

/6 = ?°; /3 = ?°; 45° = ? rad; 90 ° = ?

Signe d’un angle :

Angle positif : sens anti-horaire

Angle négatif : sens horaire

Remarque : les formules de dérivation des fonctions

trigonométriques ne sont valables que pour des angles mesurés

en radians.

Angles (rappel)


-


Fonctions sinus et cosinus Soit le cercle trigonométrique, cercle de rayon

égal à 1 et centré à l’origine du plan cartésien:

Sinus = sin = ordonnée du point P : y

Cosinus = cos = abscisse du point P : x

Exemples :

sin0= 0

cos0 = 1

sin(/2) = 1

cos(/2) = 0

sin(/6) = ?

cos((/3) = ?

P

(1 , 0)

(0 , 1)


Identités trigonométriques

sin2𝜃 + cos2𝜃 = 1

tan2𝜃 + 1 = sec2𝜃

1 + cot2𝜃 = cosec2𝜃

cos 𝜃 = sin(/2 - 𝜃 )

sin 𝜃 = cos(/2 - 𝜃 )

sin(𝜃 ± 𝜑) = sin(𝜃)cos(𝜑) ± cos(𝜃)sin(𝜑)

)cos(𝜃 ± 𝜑) = cos(𝜃)cos(𝜑) ∓ sin(𝜃)sin(𝜑

(a , b)

(b , a)

(/2) –

Tangente, cotangente, sécante et cosécante

Trigonométrie du triangle rectangle :


Autres fonctions trigonométriques

sintan

cos

coscot

sin

1sec

cos

1csc

sin

coté opposé asin

hypoténuse c

coté opposé atan

coté adjacent b

coté adjacent bcos

hypoténuse c

b

ac


Moyen mnémotechnique

S inus

O pposé

H ypothénuse

C osinus

A djacent

H ypothénuse

T angente

O pposé

A djacent

opphyp

adj


Moyen mnémotechnique

Sinus

Cosécante

cosec x = 1/sin x


Limites (1de 2)

10

x

x

x

)sin(lim

0

tan 3lim ?

2x

x

x


Limites (2de 2)

01

0

x

x

x

)cos(lim


Dérivée de la fonction sinus

xxdx

dcossin

-


Démonstration

h

xhxx

dx

d

h

)sin()sin(limsin

0

h

xhxhx

h

)sin(sincoscossinlim

0

h

hx

h

xhx

h

sincos)sin(cossinlim

0

h

hx

h

hx

hh

sincoslim

cossinlim

00

1

0 0

cos 1 sinsin coslim lim

h h

h hx x

h h

10 xx cossin xcos

[sin f (x)] [cosf (x)] f (x) ' '


Dérivée de la fonction cosinus

xxdx

dsincos

/2-/2


Démonstration

cos( x) x '2 2

cos( x) ( 1)2

d dcosx sin( x)

2dx dx

cos( x)2

sinx

(a , b)

(b , a)

x

(/2) – x


Sinus et cosinus

-

/2-/2

On peut voir que la

variation de la pente

de la tangente de la

fonction sinus

correspond bien à la

fonction cosinus


Dérivée de tan x et cot x

-/2-/2

xxdx

d 2sectan xxdx

d 2csccot

x

xx

cos

sintan

x

xx

sin

coscot


Démonstration

2x

xxxx

x

x

dx

dx

dx

d

cos

'cossincos'sin

cos

sintan

Rem: La démonstration pour cot x se fait de façon similaire

x

xxxx2cos

sinsincoscos

xx

xx22

22 1

coscos

sincos

21

xcos

2sec x


-/2-/2

Dérivée de sec x et csc x

xx

cossec

1

xx

sincsc

1

xxxdx

dtansecsec xxx

dx

dcotcsccsc


Démonstration

xdx

d

xxdx

dx

dx

dcos

coscossec

2

11

Rem: La démonstration pour csc x se fait de façon similaire

xx

sincos

2

1

x

x

x cos

sin

cos

1

xx tansec


Résumé

d

sinf(x) cosf(x) f '(x)dx

d

cosf(x) sinf(x) f '(x)dx

2d

tanf(x) sec f(x) f '(x)dx

2d

cot f(x) csc f(x) f '(x)dx

d

sec f(x) sec f(x)tanf(x) f '(x)dx

d

csc f(x) csc f(x)cot f(x) f '(x)dx


Exemples : Trouver la dérivée de :

1)

2)

3)

3( ) tan 4f x x

xxxf cotcos)( 1

x

xxy

sec

sin


Exercices

Calculer f’(x) si

a) f(x) = sinx3

b) f(x) = sin3x

c) f(x) = sin(x2 + 2)5 cosx

d)

e)

Remarque : sin3x n’est pas le produit de 2 fonctions.

2

cos2xf(x)

sin (x 1)

3 4x y tany sec3x


Application aux taux liés (exemple)

Un homme est assis au bout d’un quai situé 5

m au-dessus du niveau de l’eau. À l’aide d’une

câble attaché à sa chaloupe, il ramène celle-ci

vers le quai. S’il tire le câble à une vitesse de 2

m/s, à quel taux varie l’angle entre le câble et

la surface de l’eau quand la longueur du câble

entre l’homme et la chaloupe est de 10 m?

5 mz


Application aux taux liés (exercice)

Une échelle de 6 m de longueur est appuyée

contre un mur. Le pied de l’échelle s’éloigne du

mur à la vitesse de 0,5 m/s. Donner le taux de

variation par rapport au temps t de l’angle

formé par le haut de l’échelle et le mur lorsque

le pied de l’échelle est à 3 m du mur.

6 m

x


Devoir Test préliminaire, page 359, partie A : nos 1(e, f, g),

2, 3, 4 et 6, partie B : nos 1 et 4a.

Exercice 9.1, page 366, nos 1, 2, 3 et 6.

Exercice 9.2, page 372, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5a et 5b.

Exercice 9.3, page 380, nos 8, 9a et 9b.

Exercices récapitulatifs, page 383, no11(remarque: 18 km/h = 5 m/s et tan = x/20 où x : distance parcourue par le train) et 13, 18a,18b et 18c (i).

Réponses : 11b) 0,001 rad/s et 11c) 1/104 rad/s

18a) 13+5sin, 18b) 20cos m/min, 18c) i) h= 18 m et v = 20 m/min.


Exemple 1

3( ) tan 4f x x

3( ) (tan 4 )f x x

2 2'( ) 3(tan 4 ) (sec 4 ) 4 f x x x

2 2'( ) 12 tan 4 sec 4f x x x


Exemple 2

xxxf cotcos)( 1

'cotcoscot'cos)(' xxxxxf 11

xxxxxf 210 csccoscotsin)('

x

xxx

x

xxxf

2

2

2

11

sin

cossincos

sin

coscos)('

2

cos 1'( ) sin cos 1

sin sin

xf x x x

x x


Exemple 3

x

xxy

sec

sin 2x

xxxxxx

dx

dy

sec

'secsinsec'sin

x

xxxxxxxxx2sec

tansecsinsec)'(sinsin)'(

x

xxxxxxxx2

1

sec

tansecsinsec)(cossin

2

sec sinsin cos sin

sec cos

sincos sin cos sin

cos

x xx x x x x

x x

xx x x x x x

x

xxxxxx 22 sincoscossin

fonctions trigonometriques h12

Education