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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Fonctions trigonométriquesTerminale S
Année scolaire 2013-2014
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Mesure des angles et cercle trigonométriqueMesure des anglesCercle trigonométrique
Fonction cosinus et fonction sinusDé�nitionsPropriétésDérivationSignes et variations
Etude de la fonction tangenteDé�nitionPropriétés gémétriquesEtude de la fonctionReprésentation graphique
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Mesure desangles
Cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Mesure des angles
Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
4rad
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Mesure desangles
Cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Mesure des angles
Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.
L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
4rad
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Mesure desangles et cercletrigonométrique
Mesure desangles
Cercletrigonométrique
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Etude de lafonctiontangente
Mesure des angles
Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le
degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
4rad
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Mesure desangles et cercletrigonométrique
Mesure desangles
Cercletrigonométrique
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Mesure des angles
Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré,
mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
4rad
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Mesure des angles
Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le
radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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Mesure des angles
Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.
Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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Mesure des angles
Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés =
π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles.L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plusutilisée est le radian.Ces deux unités sont reliées par la formule :
180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=
π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad
45�=π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
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π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=
π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad
30�=π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
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4rad ou −π
4rad
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=
2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
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4rad ou −π
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad
ou −π4rad
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou
−π4rad
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180 degrés = π radians
Exemple 1
90�=π
2rad 45�=
π
4rad
60�=π
3rad 30�=
π
6rad
120�=2π
3rad 315�=
7π
4rad ou −π
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Cercle trigonométrique
On se place dans un repère orthonormé (O;→i ;→j ) du
plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).
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Fonctioncosinus etfonction sinus
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On se place dans un repère orthonormé (O;→i ;→j ) du
plan.
Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).
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On se place dans un repère orthonormé (O;→i ;→j ) du
plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1.
Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).
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On se place dans un repère orthonormé (O;→i ;→j ) du
plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle
cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).
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On se place dans un repère orthonormé (O;→i ;→j ) du
plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.
Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).
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plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C,
il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).
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plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt
∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).
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tel que les coordonnées de M soient(cos(t); sin(t)).
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plan. Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Cecercle s'appelle cercle trigonométrique.Pour tout point M de C, il existe un unique réelt ∈ [0; 2π[ tel que les coordonnées de M soient
(cos(t); sin(t)).
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1−1
−1
1
cos(t)
sin(t)
OI
JM
t
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Question.
Pour tout point M de C, existe-t-il un unique réel ttel que les coordonnées de M soient (cos(t); sin(t)) ?
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Question.
Pour tout point M de C,
existe-t-il un unique réel ttel que les coordonnées de M soient (cos(t); sin(t)) ?
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Question.
Pour tout point M de C, existe-t-il un unique réel t
tel que les coordonnées de M soient (cos(t); sin(t)) ?
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Question.
Pour tout point M de C, existe-t-il un unique réel ttel que les coordonnées de M soient
(cos(t); sin(t)) ?
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Question.
Pour tout point M de C, existe-t-il un unique réel ttel que les coordonnées de M soient (cos(t); sin(t)) ?
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Dé�nition 1
La fonction qui à tout nombre réel t, associe le nombrecos(t) est appelée fonction cosinus.
cos : t 7−→ cos(t)
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Dé�nition 1
La fonction qui à tout nombre réel t,
associe le nombrecos(t) est appelée fonction cosinus.
cos : t 7−→ cos(t)
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La fonction qui à tout nombre réel t, associe le nombrecos(t) est appelée fonction
cosinus.
cos : t 7−→ cos(t)
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La fonction qui à tout nombre réel t, associe le nombrecos(t) est appelée fonction cosinus.
cos : t 7−→ cos(t)
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cos : t 7−→ cos(t)
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La fonction qui à tout nombre réel t,
associe le nombresin(t) est appelée fonction sinus.
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sinus.
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Fonctionstrigonométriques
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On dit que la fonction cosinus est paire.
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paire.
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Pour tout réel t, cos(−t) = cos(t).On dit que la fonction cosinus est paire.
Pour tout réel t, sin(−t) = − sin(t).On dit que la fonction sinus est impaire.
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Dé�nitions
Propriétés
Dérivation
Signes etvariations
Etude de lafonctiontangente
Conséquence graphique
Propriété 3
◦ La courbe représentative de la fonction cosinus estsymétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
◦ La courbe représentative de la fonction sinus estsymétrique par rapport à l'origine du repère.
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◦ La courbe représentative de la fonction cosinus
estsymétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
◦ La courbe représentative de la fonction sinus estsymétrique par rapport à l'origine du repère.
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◦ La courbe représentative de la fonction cosinus estsymétrique par rapport
à l'axe des ordonnées.
◦ La courbe représentative de la fonction sinus estsymétrique par rapport à l'origine du repère.
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◦ La courbe représentative de la fonction sinus estsymétrique par rapport à l'origine du repère.
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◦ La courbe représentative de la fonction cosinus estsymétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
◦ La courbe représentative de la fonction sinus
estsymétrique par rapport à l'origine du repère.
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◦ La courbe représentative de la fonction sinus estsymétrique par rapport
à l'origine du repère.
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◦ La courbe représentative de la fonction sinus estsymétrique par rapport à l'origine du repère.
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Propriété 4 Déphasage
Pour tout t ∈ R,cos(t− π
2
)= sin(t).
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Pour tout t ∈ R,
cos(t− π
2
)= sin(t).
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Pour tout t ∈ R,cos(t− π
2
)=
sin(t).
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Pour tout t ∈ R,cos(t− π
2
)= sin(t).
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π
y = cos(x)
y = sin(x)
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y = sin(x)
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Pour tout réel x,
− 1 ≤ cos(x) ≤ 1− 1 ≤ sin(x) ≤ 1
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− 1
≤ cos(x) ≤
1− 1 ≤ sin(x) ≤ 1
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1− 1 ≤ sin(x) ≤ 1
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− 1
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Pour tout réel x, − 1 ≤ cos(x) ≤ 1− 1 ≤ sin(x) ≤
1
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cos2(x) + sin2(x) = 1.
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1.
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◦ Pour tout x ∈ R, (cos(x))′ = − sin(x).
◦ Pour tout x ∈ R, (sin(x))′ = cos(x).
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◦ Pour tout x ∈ R,
(cos(x))′ = − sin(x).
◦ Pour tout x ∈ R, (sin(x))′ = cos(x).
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◦ Pour tout x ∈ R, (cos(x))′ =
− sin(x).
◦ Pour tout x ∈ R, (sin(x))′ = cos(x).
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◦ Pour tout x ∈ R, (cos(x))′ = − sin(x).
◦ Pour tout x ∈ R, (sin(x))′ = cos(x).
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◦ Pour tout x ∈ R, (cos(x))′ = − sin(x).
◦ Pour tout x ∈ R,
(sin(x))′ = cos(x).
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◦ Pour tout x ∈ R, (cos(x))′ = − sin(x).
◦ Pour tout x ∈ R, (sin(x))′ =
cos(x).
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Fonctioncosinus etfonction sinus
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Propriété 7 Dérivation
◦ Pour tout x ∈ R, (cos(x))′ = − sin(x).
◦ Pour tout x ∈ R, (sin(x))′ = cos(x).
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Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, onpeut réduire leur étude à un intervalle de longueur 2π.
x
cos(x)
−π −π2
π2
π
− 0 + 0 −
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Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques,
onpeut réduire leur étude à un intervalle de longueur 2π.
x
cos(x)
−π −π2
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π
− 0 + 0 −
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Les fonctions sinus et cosinus étant 2π-périodiques, onpeut réduire leur étude à un intervalle de longueur
2π.
x
cos(x)
−π −π2
π2
π
− 0 + 0 −
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x
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−π −π2
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x
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x
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x
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−π −π2
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0 + 0 −
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x
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x
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x
sin(x)
−π 0 π
− 0
+
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sin(x)
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− sin(x)
−π 0 π
+ 0 −
−π2
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−1
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−π
0 π
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0 −
−π2
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x
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+ 0
−
−π2
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Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R.
◦ Pour tout x ∈ I, (cos(u(x)))′ =
− u′(x) sin(u(x)).
◦ Pour tout x ∈ I, (sin(u(x)))′ = u′(x) cos(u(x)).
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Dé�nitions
Propriétés
Dérivation
Signes etvariations
Etude de lafonctiontangente
Dérivation
Propriété 8
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R.
◦ Pour tout x ∈ I, (cos(u(x)))′ = − u′(x) sin(u(x)).
◦ Pour tout x ∈ I, (sin(u(x)))′ = u′(x) cos(u(x)).
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Fonctioncosinus etfonction sinus
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Propriétés
Dérivation
Signes etvariations
Etude de lafonctiontangente
Dérivation
Propriété 8
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R.
◦ Pour tout x ∈ I, (cos(u(x)))′ = − u′(x) sin(u(x)).
◦ Pour tout x ∈ I,
(sin(u(x)))′ = u′(x) cos(u(x)).
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Propriété 8
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R.
◦ Pour tout x ∈ I, (cos(u(x)))′ = − u′(x) sin(u(x)).
◦ Pour tout x ∈ I, (sin(u(x)))′ =
u′(x) cos(u(x)).
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Propriété 8
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R.
◦ Pour tout x ∈ I, (cos(u(x)))′ = − u′(x) sin(u(x)).
◦ Pour tout x ∈ I, (sin(u(x)))′ = u′(x) cos(u(x)).
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Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
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Etude de la fonction tangente
Dé�nition 3 Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ k ∈ Z par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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Dé�nition 3 Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée
tan, dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ k ∈ Z par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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Dé�nition 3 Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée tan,
dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ k ∈ Z par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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Dé�nition 3 Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie
pour tout x 6=
π
2+ kπ k ∈ Z par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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Dé�nition 3 Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ
k ∈ Z par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ k ∈ Z
par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ k ∈ Z par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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Dé�nition 3 Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ k ∈ Z par :
tan(x) =
sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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Dé�nition 3 Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ k ∈ Z par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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Dé�nition 3 Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée tan, dé�nie
pour tout x 6= π
2+ kπ k ∈ Z par :
tan(x) =sin(x)
cos(x).
Son ensemble de dé�nition est : R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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Propriété 9
La fonction tangente est
π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =
sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)
=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=
− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)
= tan(x)�.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)
�.
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La fonction tangente est π-périodique.
Preuve de la propriété.
Pour x ∈ R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}:
tan(x+ π) =sin(x+ π)
cos(x+ π)=− sin(x)
− cos(x)= tan(x)�.
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π
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x
π
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Dé�nition
Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
Représentationgraphique
Périodicité
x
π
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
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Dé�nition
Propriétésgémétriques
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Périodicité
x
π
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Mesure desangles et cercletrigonométrique
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Dé�nition
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Etude de lafonction
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Périodicité
x
π
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Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
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Dé�nition
Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
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Périodicité
xπ
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Dé�nition
Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
Représentationgraphique
Périodicité
Remarque 1
Il su�t donc d'étudier la fonction tangente sur unintervalle de longueur π.
Intervalle d'étude :]−π2;π
2
[.
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Fonctionstrigonométriques
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Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Dé�nition
Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
Représentationgraphique
Périodicité
Remarque 1
Il su�t donc d'étudier la fonction tangente sur unintervalle de longueur
π.
Intervalle d'étude :]−π2;π
2
[.
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Dé�nition
Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
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Périodicité
Remarque 1
Il su�t donc d'étudier la fonction tangente sur unintervalle de longueur π.
Intervalle d'étude :]−π2;π
2
[.
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Remarque 1
Il su�t donc d'étudier la fonction tangente sur unintervalle de longueur π.
Intervalle d'étude :
]−π2;π
2
[.
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Remarque 1
Il su�t donc d'étudier la fonction tangente sur unintervalle de longueur π.
Intervalle d'étude :]−π2;π
2
[.
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Dé�nition
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Parité
Propriété 10
La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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Parité
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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Parité
Propriété 10
La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente est
symétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) =
sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=
− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)
= − tan(x).
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)=
− tan(x).
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La fonction tangente est impaire.
Preuve de la propriété.
L'ensemble de dé�nition de la fonction tangente estsymétrique par rapport à 0.
tan(−x) = sin(−x)cos(−x)
=− sin(x)
cos(x)= − tan(x).
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Conséquence graphique de ces propriétés.
◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.
◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.
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Conséquence graphique de ces propriétés.
◦ Comme tan est
π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.
◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.
![Page 236: Fonctions trigonométriques - Terminale Ssarmate.free.fr/ressources/A8/classeTS/cours_08_beamer.pdf · onctionsF trigonométriques Mesure des angles et cercle trigonométrique onctionF](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022021803/5b9e138309d3f253238d546b/html5/thumbnails/236.jpg)
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Parité
Conséquence graphique de ces propriétés.
◦ Comme tan est π-périodique
sa représentationgraphique est invariante par translation.
◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.
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◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par
translation.
◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.
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◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.
◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.
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◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.
◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.
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◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.
◦ Comme tan est impaire
sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.
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◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.
◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est
symétrique parrapport à l'origine.
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Conséquence graphique de ces propriétés.
◦ Comme tan est π-périodique sa représentationgraphique est invariante par translation.
◦ Comme tan est impaire sa représentation graphiquedans un repère orthonormé est symétrique parrapport à l'origine.
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Fonctioncosinus etfonction sinus
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Dé�nition
Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
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Etude de la fonction
Propriété 11
La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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Propriété 11
La fonction tangente est dérivable
sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Dé�nition
Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
Représentationgraphique
Etude de la fonction
Propriété 11
La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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Propriété 11
La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}
et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =
1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)
= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)=
1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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La fonction tangente est dérivable sur
R\{π2+ kπ, k ∈ Z
}et :
(tan(x))′ =1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
pour tout x de l'ensemble de dé�nition.
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Preuve de la propriété.
tan′(x) =cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)
cos2(x)
=1
cos2(x)
=cos2(x)
cos2(x)+
sin2(x)
cos2(x)
= 1 + tan2(x)
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Preuve de la propriété.
tan′(x) =
cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)
cos2(x)
=1
cos2(x)
=cos2(x)
cos2(x)+
sin2(x)
cos2(x)
= 1 + tan2(x)
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Preuve de la propriété.
tan′(x) =cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)
cos2(x)
=1
cos2(x)
=cos2(x)
cos2(x)+
sin2(x)
cos2(x)
= 1 + tan2(x)
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tan′(x) =cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)
cos2(x)
=
1
cos2(x)
=cos2(x)
cos2(x)+
sin2(x)
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= 1 + tan2(x)
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tan′(x) =cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)
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=1
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=cos2(x)
cos2(x)+
sin2(x)
cos2(x)
= 1 + tan2(x)
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tan′(x) =cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)
cos2(x)
=1
cos2(x)
=
cos2(x)
cos2(x)+
sin2(x)
cos2(x)
= 1 + tan2(x)
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tan′(x) =cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x)
cos2(x)
=1
cos2(x)
=cos2(x)
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sin2(x)
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= 1 + tan2(x)
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=1
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cos2(x)
=
1 + tan2(x)
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=1
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=cos2(x)
cos2(x)+
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Propriété 12
La fonction tangente est strictement croissante surchaque intervalle de son ensemble de dé�nition.
Preuve de la propriété.
Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.
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Propriété 12
La fonction tangente est
strictement croissante surchaque intervalle de son ensemble de dé�nition.
Preuve de la propriété.
Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.
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Preuve de la propriété.
Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.
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La fonction tangente est strictement croissante surchaque intervalle de son ensemble de dé�nition.
Preuve de la propriété.
Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion
tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.
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La fonction tangente est strictement croissante surchaque intervalle de son ensemble de dé�nition.
Preuve de la propriété.
Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.
Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.
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Preuve de la propriété.
Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) =
1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.
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Preuve de la propriété.
Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0,
d'où le résultat.
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Preuve de la propriété.
Pour tout x de l'ensemble de dé�ntion tan2(x) ≥ 0.Ainsi, tan′(x) = 1 + tan2(x) > 0, d'où le résultat.
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tan(0) =sin(0)
cos(0)=
0
1= 0
limx→π/2−
tan(x) = +∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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tan(0) =
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cos(0)=
0
1= 0
limx→π/2−
tan(x) = +∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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tan(0) =sin(0)
cos(0)
=0
1= 0
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tan(x) = +∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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1= 0
limx→π/2−
tan(x) = +∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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Fonctionstrigonométriques
Mesure desangles et cercletrigonométrique
Fonctioncosinus etfonction sinus
Etude de lafonctiontangente
Dé�nition
Propriétésgémétriques
Etude de lafonction
Représentationgraphique
Tableau de variation complété
tan(0) =sin(0)
cos(0)=
0
1
= 0
limx→π/2−
tan(x) = +∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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Tableau de variation complété
tan(0) =sin(0)
cos(0)=
0
1=
0
limx→π/2−
tan(x) = +∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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tan(0) =sin(0)
cos(0)=
0
1= 0
limx→π/2−
tan(x) = +∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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tan(0) =sin(0)
cos(0)=
0
1= 0
limx→π/2−
tan(x) =
+∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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tan(0) =sin(0)
cos(0)=
0
1= 0
limx→π/2−
tan(x) = +∞
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tan(0) =sin(0)
cos(0)=
0
1= 0
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tan(x) = +∞
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tan(x) =
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tan(0) =sin(0)
cos(0)=
0
1= 0
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tan(x) = +∞
limx→−π/2+
tan(x) = −∞
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x
tan(x)
−π2
π20
0
−∞
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x
tan(x)
−π2
π20
0
−∞
+∞
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−3π/2 3π/2π/2−π/2
1
0
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−3π/2 3π/2π/2−π/2
1
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−3π/2 3π/2π/2−π/2
1
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